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Tabla de Contenido

Capítulo 1: Prerrequisitos para el Precálculo 1

Clasificación de los Números 2

Notación de Intervalos 2

Intervalos acotados 2

Intervalos no acotados 3

Propiedades Algebraicas 3

La propiedad asociativa 3

La propiedad conmutativa 4

La propiedad distributiva 4

Elementos identidad 4

Propiedades inversas 5

Expresiones Exponenciales 5

Expresiones Radicales 7

Propiedades de los radicales 7

Simplificación de radicales 7

Operaciones con radicales 8

Racionalizar Expresiones 8

Expresiones Polinómicas 9

Clasificación de polinomios 9

Sumar y restar polinomios 10

Multiplicar polinomios 10

Expresiones Racionales 10

Sumar y restar expresiones racionales 10

Multiplicar expresiones racionales 11

Simplificar fracciones complejas 11

Ecuaciones e Inecuaciones 12

Resolver ecuaciones 12

Resolver inecuaciones lineales 13

Resolver inecuaciones con valor absoluto 13

Casos de inecuaciones especiales 14

Hallar Ecuaciones Lineales 15

Capítulo 2: Funciones 19

Relaciones versus Funciones 19

Entender relaciones 19

Definir funciones 19

Escribir funciones 20

Gráficas de Funciones 21

ii

El criterio de la recta vertical 22

Hallar simetría 23

Cálculo de intersecciones 23

Determinación del dominio y del recorrido 24

Ocho Gráficas de Funciones Claves 24

Transformaciones de Funciones Básicas 25

Desplazamientos verticales y horizontales 26

Reflexiones 27

Estirar y comprimir 28

Transformaciones múltiples 28

Combinación y Composición de Funciones 29

Combinaciones aritméticas 29

La composición de funciones 30

Funciones Inversas 30

¿Qué es una función inversa? 30

Gráficas de funciones inversas 31

Hallar funciones inversas 31

Capítulo 3: Funciones Polinómicas y Racionales 33

Factorización de Polinomios 33

Máximos factores comunes 33

Factorización por agrupamiento 33

Factorización de trinomios cuadráticos 34

Patrones de factores especiales 34

Resolver Ecuaciones Cuadráticas 35

Factorización 35

La fórmula cuadrática 36

Completar el cuadrado 36

División Polinómica 37

División larga 37

División sintética 38

Teoremas Importantes para Hallar Raíces 39

El teorema del residuo 39

El teorema del factor 40

Cálculo de Raíces 40

El Teorema Fundamental del Álgebra 40

Regla de los Signos de Descartes 41

El Criterio de Raíces Racionales 41

Determinación de raíces 42

Técnicas Avanzadas de Graficar 43

iii

El Criterio del Coeficiente Dominante 43

Hallar asíntotas racionales 44

iv

Capítulo 1

REQUISITOS PARA EL PRE-CÁLCULO

Para tener éxito en pre-cálculo es esencial tener un conocimiento algebraico sólido. Antes de comenzar a explorar tópicos más avanzados, se debe tener un dominio firme de los fundamentos. En este capítulo se repasarán y practicarán conceptos y habilidades básicas.

Clasificación de los Números

Muchas veces en un curso de pre-cálculo, se manejarán tipos específicos de números, de modo que es importante entender cómo los matemáticos clasifican los números y cuáles son las clasificaciones principales. Tenga presente que los números pueden caer en más de un grupo. En la misma forma que un ciudadano venezolano también puede clasificarse como un ciudadano suramericano o un ciudadano del planeta tierra, los números también pueden pertenecer a varias categorías simultáneamente.

Los matemáticos generalmente están de acuerdo en que los siguientes grupos, o conjuntos de números, son las clasificaciones más comunes de los números. Aquí se da una lista por orden de tamaño, desde el más pequeño al más grande:

Números naturales. El conjunto de los números que hemos usado desde muy jóvenes cuando contamos (como tales, los números naturales también pueden llamara los números de conteo): {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

Números completos. Los números completos incluyen todos los números naturales y, también, el número 0: {0, 1, 2, 3, 4, 5, }… .

Enteros. Todos los números enteros y sus opuestos conforma el conjunto de los enteros. En otras palabras, cualquier número sin un decimal adicional o una fracción anexada es considerado un entero: { , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }− − −… … . Como los enteros no contienen fracciones o decimales obvios, podemos estar tentados a llamarlos números completos, pero esto no es completamente preciso, ya que el conjunto de números completos no incluye los números negativos.

Números racionales. Un número se clasifica como racional si se cumple alguna de las condiciones siguientes:

El número puede expresarse como una fracción. En otras palabras, el números puede escribirse como ab

, donde a y b son enteros y b ≠ 0.

El número es un decimal que termina; en otras palabras un decimal que termina (como, por ejemplo, 6.25) en vez de uno que continúa indefinidamente.

El número es un decimal que se repite en un patrón infinito, como por ejemplo 5.297297297….

Básicamente, cualquier número que pueda escribirse como una fracción es racional. Ejemplo 1: Demuestre que cualquier entero debe también ser un número racional.

Cualquier entero a también puede escribirse como 1a

, ya que dividir por 1 no altera el valor del entero. Como a

puede expresarse como una fracción cuyo numerador y denominador son ambos enteros, a debe ser racional por definición.

Números irracionales. Un número que no pueda escribirse como una fracción se considera irracional. El indicador más obvio de un número irracional es un decimal que no se repite indefinidamente a sí mismo y que no termina. Por ejemplo, π es un número irracional cuyo equivalente decimal 3.14159265359… nunca

2

termina y tampoco sigue ningún patrón de repetición. Muchos radicales, como 3 , son números irracionales.

Números reales. Los números reales están formados por los números racionales y los números irracionales en conjunto, como muestra la Fig. 1-1.

Números racionales

Números irracionales

Los Números

Reales

Figura 1-1 Los números racionales e irracionales conforman todo el conjunto de los números reales. Observe que este dibujo no está a escala. Existen muchos más números irracionales que racionales.

Números complejos. Los números complejos difieren completamente de los números reales en su apariencia. Los números complejos usualmente tienen dos partes distintas y se parecen a a + bi, donde a es la parte real,

b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria e igual al valor imaginario 1− . Sin embargo, los números que tienen que contener las dos partes para ser considerados complejos. Por ejemplo, como el número real 3 puede escribirse como 3 + 0i, 3 es un número complejo. Sencillamente, no contiene una parte imaginaria.

Notación de Intervalos

Las expresiones tradicionales de desigualdades pueden escribirse usando notación de intervalos, un método abreviado que expresa el mismo significado pero usualmente lo hace en una forma más compacta e intuitiva. Esto se debe en gran parte al hecho de que la notación de intervalos define claramente las fronteras de la desigualdad con la cual estamos trabajando. Intervalos Acotados

Si se nos da una desigualdad que está acotada en ambos lados por un número real, esa expresión puede escribirse como un intervalo acotado. Para crear un intervalo acotado, escriba los dos extremos numéricos del intervalo en orden, siempre del más bajo al más alto. (El intervalo siempre se parecerá a un par de coordenadas.) Entonces, indique si ese punto debe incluirse en el intervalo. Si debe incluirse, use un corchete con ese extremo; si no, use un paréntesis. Ejemplo 2: Reescriba las siguientes desigualdades usando notación de intervalos:

(a) 5 3x− ≤ ≤ -

Como los signos de la desigualdad estipulan menor que o igual a, los puntos extremos deben incluirse en el intervalo. Si la igualdad no hubiese sido una posibilidad, esos puntos de los extremos no se incluirían. Use corchetes para indicar la inclusión: [−5, 3].

(b) 1 0x> >

3

Aunque este intervalo está escrito de forma que la frontera superior está a la izquierda, la notación de intervalos requiere que se escriba en orden de menor a mayor. Use paréntesis para indicar que los puntos de los extremos no están incluidos en el intervalo: (0, 1).

(c) 2 4x− ≤ <

El punto del extremo inferior está incluido pero el superior no lo está: [−2, 4). Si ambos puntos extremos del intervalo están incluidos (como en la parte (a) del Ejemplo 2), se dice que el intervalo está cerrado. Por otra parte, si ningún punto extremo está incluido (como en la parte (b) del Ejemplo 3), es un intervalo abierto.

Intervalos No Acotados

Algunas veces, sólo uno de los extremos de un intervalo está definido explícitamente y el otro se implica. Por ejemplo, considere la desigualdad x > 3. Claramente, la frontera inferior del intervalo es 3, pero ¿cuál es la frontera superior? Puesto que no se da un valor finito para el punto extremo superior, se usa infinito. Si se entiende que uno o más de los puntos extremos de un intervalo son infinitos, se dice que el intervalo no está

acotado.

Se usarán dos fronteras infinitas diferentes:

∞, si la frontera es infinita positiva (se usa como la cota superior del intervalo)

−∞, si la frontera es infinita negativa (se usa como la cota inferior del intervalo) Infinito no es técnicamente un número real, lo que significa que nunca puede usar un corchete para indicar su inclusión en el intervalo. Más bien, siempre use un paréntesis. Ejemplo 3: Reescriba las siguientes desigualdades usando notación de intervalos:

(a) x > −1

La cota inferior del intervalo es −1 y la cota superior es infinitamente grande, ya que cualquier número positiva hará verdadera la afirmación. La cota inferior no debe incluirse, porque la relación es “mayor que”, no “mayor que o igual a”: (−1, ∞).

(b) x ≤ 3

En este intervalo, 3 es la cota superior. Si la cota inferior de un intervalo es infinito, eso se debe indicar usando un infinito negativo: (−∞, 3].

(c) Todos los números reales

Cualquier número real, dese el infinito negativo hasta el infinito positivo, debe incluirse en este intervalo: (−∞, ∞).

Propiedades Algebraicas

Propiedades, también llamadas leyes o axiomas, son principios matemáticos fundamentales que se suponen ciertos. Aunque no hay manera de demostrar las propiedades de forma irrefutable, ellas tienen suficiente sentido común intrínseco que son universalmente aceptadas por los matemáticos. Esto es importante, porque estas leyes forman la columna vertebral del álgebra. La Propiedad Asociativa

Dada una cadena de números sumados conjuntamente, los números se pueden agrupar en cualquier orden que se desee y ello no afectará la respuesta que se obtiene. Ésta es la premisa básica de la propiedad asociativa para la adición. En otras palabras, no importa cuántos números se asocian, al final se obtendrá el mismo resultado:

4

( ) ( )1 5 5 1 3 5

4 5 1 8

9 9

+ + = + +

+ = +

=

La propiedad asociativa también se cumple para la multiplicación, pero falla para la resta y la división. A continuación se dan las definiciones matemáticas oficiales para las formas válidas de la propiedad:

La propiedad asociativa para la adición:

( ) ( )a b c a b c+ + = + +

La propiedad asociativa para la multiplicación:

( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Observe que aquí se usó el símbolo ⋅ para la multiplicación en vez del otro símbolo tradicional para la multiplicación, ×. Esto se debe a que es más fácil confundir la operación × con la variable x cuando se trabaja un problema. La Propiedad Conmutativa

Esta propiedad (como su hermana, la propiedad asociativa) funciona solamente para la adición y la multiplicación. En esencia, dice que dada una cadena de números que se suman o que se multiplican, el orden en el cual se completa esa operación no importa:

3 9 9 3

27 27

⋅ = ⋅

=

La Propiedad Conmutativa para la Adición:

a b b a+ = +

La Propiedad Conmutativa para la Multiplicación:

a b b a⋅ = ⋅

La Propiedad Distributiva

De acuerdo con la propiedad distributiva, si se están sumando o restando términos encerrados entre paréntesis y aparece un número “fuera” de ese grupo de términos, se puede multiplicar el número externo por cada número en el interior de los paréntesis:

( )a b c ab ac+ = +

Ejemplo 4: Reescriba usando la propiedad distributiva:

( )3 7x −

Multiplique cada término entre paréntesis por 3:

3 3 7

3 21

x

x

⋅ − ⋅

−

Elementos Identidad

Existen números fijos denominados elementos identidad para las dos operaciones de adición y multiplicación. Estos elementos no alteran el valor (o identidad) de un número cuando la operación se les aplica a ellos. El elemento identidad para la adición (también llamada la identidad aditiva) es 0, porque si se suma 0 a cualquier número, se recupera el número con el cual comenzamos:

5

2 0 2+ =

En forma similar, el elemento identidad para la multiplicación (también llamada la identidad multiplicativa) es 1, ya que la multiplicación de cualquier número por 1 no cambiará el valor de ese número:

3 1 3⋅ =

Estos elementos identidad son importantes porque son una componente principal en las propiedades inversas. Propiedades Inversas

Una vez más, las operaciones de adición y multiplicación tienen una propiedad que es específica para ellas. En ambos casos, una propiedad inversa asegura que no importa cuál sea la entrada, existe una forma de “cancelarla”,

Propiedad Aditiva Inversa: Para cualquier número real a, existe un número real −a (el opuesto de a) tal que ( ) 0a a+ − = :

( )4 4 0+ − =

Propiedad Multiplicativa Inversa: Para cualquier número real a diferente de cero, existe un número real 1a

tal que 1

1aa

⋅ = :

17 1

7⋅ =

Observe que cuando se “deshace” la adición y la multiplicación usando estas propiedades inversas, el resultado será el elemento identidad para la operación correspondiente.

Expresiones Exponenciales

La multiplicación repetida puede reescribirse usando exponentes, números escritos arriba y a la derecha del número base. En lugar de escribir “ x x x⋅ ⋅ ”, se puede escribir “ 3x ”, que se lee x a la tercera potencia”. La potencia de un exponente es el número de veces que el objeto se multiplica por sí mismo. Por tanto, en la

expresión 3x , x se considera la base y 3 es la potencia.

Hay seis reglas importantes que debemos conocer cuando emprendemos cualquier aritmética que involucre exponentes:

Regla 1: a b a bx x x +⋅ =

Si se multiplican dos expresiones con bases idénticas, el resultado es que la base elevada a un exponente es igual a la suma de las dos potencias:

4 7 4 7 11x x x x+⋅ = =

Regla 2: a

a b

b

xx

x

−=

Si se dividen dos expresiones exponenciales con bases idénticas, el resultado es que la base elevada a un exponente es igual a la potencia en el numerador menos la potencia en el denominador:

88 5 3

5

xx x

x

−= =

Regla 3: ( )b a bax x ⋅

=

Si una expresión exponencial es elevada a una potencia, el resultado es la base elevada al producto de las dos potencias:

6

( ) 2 62 126x x x⋅= =

Regla 4: ( )ca b ac bcx y x y=

Si varios factores exponenciales se elevan a una potencia, multiplique la potencia interna por cada una de las potencias internas:

( )3 2 3 5 52 5 6 15x y x y x y⋅ ⋅

= =

Regla 5: 1a

ax

x

−= y

1 b

bx

x−=

Un exponente negativo indica que la expresión está el parte incorrecta de la fracción. Para que el exponente se vuelva positivo de nuevo (ninguna expresión algebraica está completamente simplificada mientras contenga exponentes negativos), mueva la expresión exponencial al otro lado de la barra de fracción. Por ejemplo, si está en el numerador, muévala al denominador y deje la base igual:

32

3 2

yx

y x

−

−=

Regla 6: 0 1x = (si x ≠ 0)

Cualquier número real elevado a la potencia 0 es igual a 1 (con la excepción de 00 , el cual no tiene un valor numérico real).

Ejemplo 5: Simplificar usando las reglas exponenciales:

(a) 3 5 2

7 2

x y z

xy z

Reescriba la fracción usando la Regla 2. Como la x en el denominador no tiene un exponente visible, se sobreentiende que es 1:

3 1 5 7 2 2

2 2 0

x y z

x y z

− − −

−

Una solución simplificada completamente no contiene exponentes negativos. Aplique la Regla 5 para lograr

este objetivo. Adicionalmente, escriba 0z como 1:

2

2

x

y

(b) ( )( )2 3 7 3x y x yz

Los términos se pueden reacomodar gracias a la propiedad conmutativa y luego se suman las potencias exponenciales de bases iguales, gracias a la Regla 2. Una vez más, como la y en el segundo grupo de paréntesis no tiene exponente visible, se sobreentiende que es 1.

2 7 3 1 3

9 4 3

x y z

x y z

+ +

(c) 22 2

3

x y

z

−−

−

Comenzamos por aplicar la Regla 4: 4 4

6

x y

z

−

7

Use la Regla 5 para eliminar los exponentes negativos:

4

4 6

y

x z

Expresiones Radicales

Aunque la mayor parte del tiempo los exponentes que veremos serán enteros, podemos también encontrar algunas potencias fraccionarias. Estos tipos de potencias se traducen en radicales (también llamados raíces):

( ) o aba b a bx x x=

Se puede usar cualquiera de las notaciones para reescribir la potencia fraccional como un radical. En algunos casos, una forma será más útil que la otra cuando se está simplificando.

Un radical típico, n ax , contiene dos partes: el índice (el pequeño número en frente del radical) y el radicando, la cantidad en el símbolo del radical. Se lee “la raíz n-ésima de x a la a-ésima potencia”. Observe que si no se da un índica para el radical, se sobreentiende que el índice es 2.

Para muchos estudiantes, es más fácil entender radicales si consideran la notación como una pregunta. Por

ejemplo, el radial 3 8 hace la pregunta “¿Cuál es el número que multiplicado 3 veces por sí mismo es igual a 8?

La respuesta es 2, esto es, 3 8 2= . Propiedades de los Radicales

Como los radicales son realmente radicales disfrazados (aun cuando sean exponentes fraccionarios), los radicales poseen las mismas propiedades que los exponentes. Adicionalmente, tienen las propiedades siguientes:

na b a bn nx y x y= ⋅

Factores que se multiplican bajo un radical pueden dividirse y escribirse como el producto de dos radicales con el mismo índice que el original. Vale decir, la raíz de un producto es igual al producto de las raíces individuales.

na a

nb bn

x x

y y=

Igual que en la multiplicación, los problemas de la división encerrada por radicales puede dividirse también en radicales separados y más pequeños. Así, la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces individuales.

Simplificación de Radicales

La tarea más común que se encontrará en el estudio de radicales es la necesidad de simplificar expresiones que contienen radiales. Ejemplo 6: Use las propiedades de los radicales para simplificar estas expresiones:

(a) 2200x y

El objetivo será separar este radical en dos radicales diferentes, uno que contiene todos cuadrados perfectos y el otro que contiene todo lo demás. Los cuadrados perfectos son cantidades generadas al multiplicar algún valor por sí mismo.

8

2

2

100 2

100 2

x y

x y

⋅ ⋅ ⋅

⋅

Ambos 100 y 2x son cuadrados perfectos (ya que 100 10 10= ⋅ y 2x x x= ⋅ ); el radical más a la izquierda será eliminado:

10 2x y

Podríamos no haber esperado los signos de valor absoluto. Son raros pero necesarios cuando tenemos la

situación n nx y n es un entero par. Esta precaución nos asegura que la respuesta es positiva, porque un radical con un índice par siempre debe ser positivo.

(b) 2 83 108x y−

Una vez más, divida el radical, pero esta vez junte todos los cubos perfectos (valores generador al multiplicar una cosa por sí misma tres veces):

( )

6 2 2 23 3

2 2 23

27 100 4

3 4

y x x y

y x y

− ⋅

−

No hay necesidad de preocuparse por los signos de valor absoluto porque el índice de este radical es impar.

Operaciones con Radicales

Sumar y restar expresiones radicales es un poco más difícil que multiplicarlos y dividirlos. De hecho, los radicales deben tener el mismo índice y el mismo radicando para realizar la adición y la sustracción, pero éste no es el caso para la multiplicación y la división. Ejemplo 7: Simplifique las expresiones siguientes:

(a) 5 2 3 8−

Aunque los índices son los mismos (son iguales a 2), los radicandos parecen diferentes a primera vista. Eso cambia cuando se simplifica la expresión:

5 2 3 4 2

5 2 6 2

−

−

Ahora que también comparte el mismo radicando, se pueden combinar los coeficientes y obtener 2− .

(b) ( )( )3 2x x

Comenzamos por reescribir los radicales como expresiones exponenciales:

1 2 2 3x x⋅

Aplique la Regla 1 para las expresiones exponenciales:

61 2 2 3 3 6 4 6 7 6 7x x x x+ += = =

Se puede escribir la respuesta final bien sea en forma exponencial o en forma radical; ellas son equivalentes: Racionalizar Expresiones

Algunos maestros requieren que usted racionalice sus respuestas, cuando sea apropiado. Esto significa que no quieren una respuesta que contenga un signo radical en su denominador.

9

Ejemplo 8: Racionalizar la siguiente fracción:

3

x

Para eliminar el radical, multiplique el numerador y el denominador por un valor de 3 . Esto equivale a multiplicar por1, así no cambia el valor de la fracción y crea un cuadrado perfecto en el denominador:

3 3 333 3 9

x x x⋅ = =

Expresiones Polinómicas

Los polinomios son cadenas de términos sumados o restados unos de otros. Cada término está conformado por números y variables (usualmente elevados a potencias de números enteros). Por ejemplo, el polinomio

3 24 2 7x x x− + +

está formado por cuatro términos. El coeficiente es el valor numérico que precede a la variable en cada término. El primer término, 34x , tiene un coeficiente de 4 y el segundo término tiene un coeficiente de −2. El grado de este polinomio, definido por el exponente más alto hallado en el polinomio, es 3. El coeficiente dominante es el coeficiente que acompaña la variable elevada al valor exponencial más alto. En este ejemplo, el coeficiente dominante es 4.

Clasificación de Polinomios

Los polinomios típicamente se categorizan ya sea según el número de términos que poseen o según el grado del polinomio.

Clasificación según el número de términos

Un polinomio que contiene solamente un término se denomina un monomio. Si están presentes dos términos, el polinomio se considera un binomio, en tanto que tres términos indican un trinomio. No se tienen disponibles términos de uso común que indiquen un polinomio que contenga cuatro, cinco o más términos.

Clasificación según el grado

Es fácil categorizar un polinomio de acuerdo con su grado. Simplemente buscamos el exponente más alto en el polinomio. La Tabla 1-1 da la clasificación basada en el grado de un polinomio.

Tabla 1-1 Clasificaciones por Grados de Polinomios

Grado Categoría Ejemplo

0 constante 7

1 lineal -x + 7

2 cuadrático 25 7x x+ +

3 cúbico 3 1x −

4 cuártico 4 3 27 2 5 3x x x x− − + + −

5 quíntico 5 2x x x− +

10

Las clasificaciones en la Tabla 1-1 no son las únicas; existen nombres adicionales para polinomios de grados más altos, pero éstos son los de uso más común. Sumar y restar polinomios

Recuerde que sólo se pueden sumar o restar radicales que contienen el mismo radicando y el mismo índice. En la misma forma, solo se puede sumar o restar términos polinómicos que contengan las mismas variables y exponentes. Esos términos se denominan términos semejantes. Ejemplo 9: Simplificar las expresiones siguientes:

(a) ( ) ( )3 2 3 26 3 4 4 2 10 5x x x x x x− + + + + − −

De acuerdo con las propiedades conmutativa y asociativa de la adición, los términos se reordenar y agrupar de forma diferente. Los reescribimos como grupos de términos semejantes:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2

3 2

4 6 2 3 10 4 5

5 4 7 1

x x x x x x

x x x

+ + − + + − + −

− − −

(b) ( ) ( )2 2 1 2 6x x x+ + − +

Usamos la propiedad distributiva para simplificar antes de combinar términos semejantes:

( )

( ) ( )

2

2

2

2 1 2 12

2 2 1 12

11

x x x

x x x

x

+ + − −

+ − + −

−

Multiplicar polinomios

Los términos no tienen que ser semejantes para multiplicarlos. De hecho, para multiplicar polinomios, todo lo que se necesita es la propiedad distributiva. Ejemplo 10: Multiplique las siguientes expresiones y simplifique su respuesta:

(a) ( )( )22 1 3x x+ −

( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 2

2 2 3 1 1 3

2 6 3

x x x x

x x x

⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

− + −

(b) ( )( )22 4 5x x x− − +

( ) ( )2 2

3 2 2

3 2

4 5 2 4 5

4 5 2 8 10

6 13 10

x x x x x

x x x x x

x x x

− + − − +

− + − + −

− + −

Expresiones Racionales

En la misma forma como cualquier número puede expresarse como una fracción se denomina un número racional, cualquier expresión escrita como una fracción se llama una expresión racional. Las operaciones sobre las expresiones racionales siguen las mismas reglas que rigen las operaciones sobre fracciones. Sumar y restar expresiones racionales

Todas las fracciones deben tener denominadores comunes antes de que puedan combinarse usando suma o resta.

11

Ejemplo 11: Simplifique la expresión

3 12 5

x x

x x x

−+ −

+ −

El mínimo común denominador (mcd) para esta expresión es ( )( )2 5x x x+ − , ya que ésta es la expresión más pequeña que cada una de las partes de cada denominador. Multiplique cada fracción por los valores necesarios para obtener ese denominador. Recuerde que multiplicar una fracción que tiene el mismo numerador y denominador equivale a multiplicar por 1, de modo que no estamos cambiando los valores de las fracciones originales:

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

2 2 2

3 2 5 1 5 22 5 2 5 5 2

3 3 10 1 5 22 5 2 5 2 5

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x

+ − − − +⋅ + ⋅ − ⋅

+ − + − − +

− − − − ++ −

+ − + − + −

Ahora, todos los numeradores pueden escribirse sobre el mcd:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2

3 2

3 3 10 1 5 22 5

5 4 30

3 10

x x x x x x x

x x x

x x

x x x

− − + − − − +

+ −

− − −

− −

Multiplicar expresiones racionales

Para multiplicar expresiones racionales no se necesitan denominadores comunes. Para hallar el producto de dos fracciones, simplemente se multiplica el numerador del primero por el numerador del segundo; después se hace lo mismo con los denominadores. Ejemplo 12: Simplifique la expresión

( )( )

2

2

3 2

3 15 2

3 15 2

3 310

x x

x

x x

x

x x x

x

+ −

+ −

⋅

+ − −

Simplificar fracciones complejas

Cuando se dividen fracciones, el resultado es una fracción compleja, una fracción que ella misma contiene fracciones. Para simplificar estas fracciones, se emplea un método que cambia el problema de división en uno de multiplicación. Ejemplo 13: Simplificar la fracción compleja

2

1

2 3

x

x

x

x

+

−

Comenzamos por reescribir la fracción compleja como un problema de división:

212 3

x x

x x

+÷

−

12

Tomamos el recíproco de la segunda fracción y cambio el signo de división a uno de multiplicación:

2

1 2 3x x

x x

+ −⋅

Ahora multiplicamos en la misma forma que lo haríamos con fracciones ordinarias:

2

3

2 3x x

x

− −

Ecuaciones e Inecuaciones

Nuestra primera tarea como estudiantes de precálculo será resolver ecuaciones e inecuaciones usando una variedad de técnicas, así que es importante que nos aseguremos de tener un buen dominio de las técnicas que conocemos hasta este punto. Resolver ecuaciones

Para resolver una ecuación en una variable (esto es, aislar la variable en un lado del signo de igualdad), se puede hacer lo siguiente:

Sumamos o restamos la misma cantidad en ambos lados del signo de igualdad.

Multiplicamos o dividimos ambos lados del signo de igualdad por la misma cantidad diferente de cero. Sin embargo, debemos asegurarnos que no multiplicamos o dividimos por una cantidad variable, si ello es posible. El hacer esto podría resultar en soluciones adicionales o perdidas, respectivamente.

Multiplicar en cruz para eliminar fracciones:

se convierte en a c

ad bcb d

= =

Ejemplo 14: Resolver las ecuaciones siguientes:

(a) ( )2 4 3 9 2x x− = − +

Distribuya el 3 y después mueva las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho de la ecuación:

2 4 3 26 2

21

x x

x

− = − +

− = −

Divida ambos lados por −1 para obtener la respuesta: x = 21.

(b) 2

21 2

x x

x x

++ =

− +

Reste la segunda fracción de ambos lados:

2 22

1 2 2

2 41 2

x x x

x x x

x x

x x

+ + = −

− + +

+ +=

− +

Multiplique en cruz y resuelva: ( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 1 4

4 4 3 4

8

x x x x

x x x x

x

+ + = − +

+ + = + −

= −

(c) 3 1 7x + =

13

Si en el lado izquierdo aparece únicamente la cantidad en valores absolutos, la ecuación se puede reescribir como dos ecuaciones diferentes, ambas sin signos de valor absoluto. En una, simplemente los lados son iguales; en la otra, el lado derecho de la ecuación se escribe como su opuesto:

3 1 7 o 3 1 7

3 6 o 3 8

82 o

3

x x

x x

x x

+ = + = −

= = −

= = −

Resolver inecuaciones lineales

Las inecuaciones lineales se trabajan casi exactamente como ecuaciones. La única diferencia es que multiplicar o dividir ambos lados de la inecuación por un valor negativo invierte el signo de la desigualdad. Por ejemplo, ≥ se convierte en ≤ y < se convierte en >. Ejemplo 15: Dé las soluciones en notación de intervalos:

(a) ( )3 4 5 7 1x x x+ < + −

Distribuya el 7 e aísle los términos en x como si la relación fuese una ecuación:

3 4 5 7 7

3 4 12 7

9 11

x x x

x x

x

+ < + −

+ < −

− < −

Para finalizar, se tiene que dividir por −, así que se invierte el símbolo de desigualdad:

119

x >

En forma de intervalo, la respuesta es 11

, 9

∞

(b) 5 2 3 13x− ≤ + <

Sustraiga 3 de todas las partes de la inecuación y luego divida todo por 2 para aislar la x:

8 2 10

4 5

x

x

− ≤ <

− ≤ <

La respuesta en forma de intervalo es [−4, 5). Resolver inecuaciones de valor absoluto

En la misma forma que las ecuaciones de valor absoluto requieren de la solución de dos ecuaciones, las inecuaciones de valor absoluto también requieren de la solución de dos inecuaciones. Los procedimientos son diferentes para problemas que involucran signos de menor que y aquellos que involucran signos de mayor que. Ejemplo 16: Dé las soluciones en notación de intervalos:

(a) 4 3 6x − − <

Aísle la cantidad de valor absoluto en el lado izquierdo:

4 9x − <

Transforme ésta en una doble inecuación, removiendo el signo de valor absoluto. La cantidad en el lado más a la izquierda será el opuesto de la cantidad en el lado más a la derecha y los signos de desigualdad serán los mismos:

14

9 4 9x− < − < Resuelva ésta como el Ejemplo 15(b):

5 13x− < <

La respuesta es (−5, 13).

(b) 3 1 4x + ≥

Las inecuaciones que involucran el símbolo mayor que deben reescribirse como dos inecuaciones lineales. En la primera, simplemente omita el signo de valor absoluto. En la segunda, invierta el signo y cambie la constante en la derecha a su opuesto:

3 1 4 o 3 1 4

3 3 o 3 5

51 o

3

x x

x x

x x

+ ≥ + ≤ −

≥ ≤ −

≥ ≤ −

En forma de intervalos, la respuesta es [ )1, ∞ o 5

, 3

−∞ −

. La palabra “o” se puede reemplazar con el

símbolo ∪; ambas notaciones son correctas. Casos de inecuaciones especiales

Siempre que se presentan problemas de inecuaciones que contienen expresiones racionales o polinomios de grado mayor que uno, se usar un método completamente diferente. A continuación se dan los pasos que se deben seguir:

1. Mueva todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad, dejando solamente 0 en el lado derecho.

2. Halle los números críticos, esto s, los valores para los cuales el lado izquierdo de la inecuación es igual a 0 o no está definida. (Recuerde, una fracción es igual a 0 cuando su numerador es igual a 0 y no está definida cuando su denominador es igual a 0.)

3. Dibuje una recta de números y marque en ella los puntos críticos. Use un punto sólido para representar los puntos incluidos (puntos que podrían ser una solución) y un punto vacío para representar puntos no alcanzables (tales como sitios donde la expresión no está definida o donde el signo de desigualdad no permite la posibilidad de igualdad.

4. Trate esos puntos como bordes o fronteras que separa la recta de números en intervalo y seleccione un valor (denominado un punto de prueba) en cada segmento, entre los números críticos.

5. Cada intervalo cuyo punto de prueba hace que la inecuación original sea verdad es una solución. Ejemplo 17: Dé la solución en notación de intervalos:

(a) 1

32

x

x

+≥

−

Reste 3 de ambos lados y simplifique:

1 23 0

2 2

1 3 60

2

2 70

2

x x

x x

x x

x

x

x

+ −− ⋅ ≥

− −

+ − +≥

−

− +≥

−

15

El numerador es igual a 0 cuando 72

x = y el denominador es igual a 0 cuando x = 2; ambos son números

críticos. Puesto que la inecuación incluye la posibilidad de igualdad, se usa un punto sólido para 72

x = . Sin

embargo, 2 vuelve indefinida la fracción y no puede ser una solución; use un punto vacío para marcarlo, como se muestra en la Fig. 1-3.

Figura 1-3 Los números críticos 2 y 72

dividen la recta de número en tres intervalos distintos.

Los números x = 0, 3 y 5 pertenecen a los intervalos mostrados, de izquierda a derecha. Cuando se colocada cada uno en la desigualdad original, sólo x = 3 la vuelve verdadera. Por tanto, el intervalo al cual pertenece

es la solución, es decir: 7

2, 2

.

(b) 22 5 3 0x x− − <

Dondequiera que el trinomio sea igual a cero, marque el punto crítico con un punto vacío en la recta de números. Se necesita factorizar para hallar estos valores:

( )( )3 2 1x x− +

Iguale a 0 ambos factores a 0 para obtener los números críticos de x = 3 y 12

− . Selecciones valores de prueba

de los intervalos resultantes de 1

, 2

−∞ −

, 1

, 32

−

y (3, ∞) y pruébelos en la inecuación original. La

respuesta correcta es 1

, 32

−

.

Hallar Ecuaciones Lineales

Sólo se necesitan dos datos para escribir la ecuación de cualquier línea recta; su pendiente (una fracción que describe la rapidez con la cual la recta se eleva en comparación a cómo crece horizontalmente) y cualquier punto en la recta. Una vez que se tiene esa información, se introduce en los lugares correctos de la forma punto-

pendiente para una ecuación lineal:

( )1 1y y m x x− = −

donde m es la pendiente y el punto que se nos dio en la recta es ( )1 1, x y .

Si no se conoce la pendiente de la recta pare se dan dos puntos, ( )1 1, x y y ( )2 2, x y , se puede calcular la

pendiente usando la ecuación

2 1

2 1

y ym

x x

−=

−

Ejemplo 18: Hallar las ecuaciones de las rectas siguientes:

(a) recta l, que tiene pendiente −2 y pasa por el punto (−1, 5)

Haga m = −2, x1 = −1 y y1 5; introduzca estos valores en la forma punto-pendiente:

16

( )

( )( )

1 1

5 2 1

5 2 2

y y m x x

y x

y x

− = −

− = − − −

− = − −

Si despeja y en esta ecuación, se obtiene la forma pendiente-intersección para una recta ( )y mx b= + , donde

m es una vez más la pendiente y b es la y-intersección de la recta:

2 3y x= − +

(b) la recta k que pasa por los puntos (−2, 6) y (3, −5)

Comenzamos por calcular la pendiente:

( )

2 1

2 1

5 6

3 2

11

5

y ym

x x

−=

−

− −=

− −

= −

Ahora usamos la forma punto-pendiente con cualquiera de los puntos dados:

( )

( )( )

1 1

11 6 2

5

11 22 6

5 5

11 8

5 5

y y m x x

y x

y x

y x

− = −

− = − − −

− = − −

= − +

No importa cuál punto se elige para introducir en la forma punto-pendiente; se obtendrá la misma respuesta cuando se obtiene y y la respuesta se expresa en la forma pendiente-intersección.

(c) recta n, la cual tiene y-intersección igual a −3 y es paralela a 2 1y x= +

Las rectas que son paralelas tienen pendientes iguales, de modo que la pendiente de la recta n será igual a 2. (Las rectas perpendiculares tienen pendientes que recíprocas negativas.) Como ya conocemos la y-intersección para la recta n, usamos la forma pendiente-intersección: 2 3y x= − .

17

Comprobación del Capítulo

P&R

1. Falso o Verdadero: Todos los números racionales son también números reales.

2. Exprese la desigualdad x ≥ 7 en notación de intervalos.

3. Falso o Verdadero: ( ) ( )1 2 3 3 1 2+ + = + + debido a la propiedad asociativa de la suma.

4. Simplifique este radical: 372x y .

5. Exprese la solución en notación de intervalos: 2 3 5x − + > .

6. Exprese la solución en notación de intervalos: 2 9x ≤ .

7. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, −3) y (−2, 7), y escriba la ecuación lineal en la forma pendiente-intersección.

Respuestas: 1. V 2. [7, ∞) 3. 6 2x xy 5. (−∞, 0)∪(4, ∞) 6. [−3, 3] 7. 5 3y x= − −

18

Capítulo 2

FUNCIONES

La mayoría de las ecuaciones con las cuales trabajamos en pre-cálculo son funciones. Las funciones son ecuaciones con propiedades específicas y estas propiedades permiten muchas libertades. En este capítulo se aprenderá qué son funciones, cómo reconocerlas, cómo graficarlas y después cómo manipularlas.

Relaciones versus Funciones

Una función es una clase especial de relación. Por tanto, antes de que se pueda entender qué es una función, se debe entender primero qué son relaciones. Entender relaciones

Una relación es un diagrama, ecuación o lista que define una correspondencia específica entre grupos de elementos. Ésta es una definición relativamente formal para un concepto muy básico. Consideremos la relación r definida como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 3 , 0, 9 , 1, 5 , 2, 7 , 3, 2r = −

Aquí, r expresa una relación entre cinco pares de números; cada par está definido por un conjunto separado de paréntesis. Piense en cada conjunto de paréntesis como un apareamiento de (entrada, salida); en otras palabras, el primer número en cada par representa la entrada y el segundo número es la salida que r da para esa entrada. Por ejemplo, si su entrada a r es el número −1, la relación da una salida de 3, ya que el par (−1, 3) aparece en la definición de r.

La relación r no está diseñada para aceptar todos los números reales con entradas potenciales. De hecho, sólo aceptará entrada del conjunto {−1, 0, 1, 2, 3}; estos números son el primer componente de cada par en la definición de r. Ese conjunto de entradas potenciales se llama el dominio de r. El recorrido de r es el conjunto de salidas posibles (el segundo número de cada uno de los apareamientos): {2, 3. 5. 7. 9}. Se acostumbra ordenar los conjuntos de menor a mayor. Definir funciones

Una función es una relación en la que cada entrada corresponde a una sola salida. Esto se explica mejor visualmente. En la Fig. 2-1 se ven dos relaciones, expresadas como diagramas llamados mapas de relaciones. Ambos tienen el mismo dominio {A, B, C, D} y el mismo recorrido, {1, 2, 3}, pero la relación g es una función, en tanto que h no lo es.

Observe que en h la entrada B corresponde a dos salidas diferentes, 1 y 2. Esto no está permitido si h es una función. Para ser una función, cada entrada se corresponde con solamente un elemento de salida. Visualmente, sólo puede haber una trayectoria que conduzca desde cada miembro del dominio a un miembro del recorrido. Se debe haber observado que en ambas relaciones mostradas en la Fig. 2-1, las entradas C y D resultan en la misma salida, 3. Esto sí esta permitido para funciones; dos caminos pueden conducir a una sola salida, pero dos caminos no pueden salir desde una sola entrada.

Se reserva un término especial para una función en la cual toda salida es el resultado de una entrada única. Vale decir, existe sólo un camino que sale desde cada entrada y sólo un camino que llega a cada salida. Esas funciones se conocen como uno a uno.

20

relación h

relación g

Figura 2.1 Dos relaciones, g y h, muy similares, pero g es una función y h no lo es. Para ver por qué, examine los caminos que salen desde B en las relaciones.

Escribir funciones

Si todas las relaciones se presentasen como pares ordenados o mapas visuales, sería fácil decir cuáles de ellas son funciones. Sin embargo, sería bastante tedioso e inconveniente escribir funciones que tuviesen más de un puñado de elementos en sus dominios y recorridos. Por tanto, la mayoría de las funciones se escriben usando notación de funciones. Tomemos, por ejemplo, la función 2y x= . Sabemos que y es una función de x porque

para todo número x que se introduce en 2x , se puede obtener solamente una salida correspondiente. Escrita en

notación funcional, esa función se parece a 2( )f x x= .

La notación de función es práctica por dos razones:

Contiene el nombre de la función

Es fácil saber el valor que se está introduciendo en la función Ejemplo 1: Evaluar la función 2( ) 2 3f x x x= + − para x = −1.

Evaluar la función en x = −1 es lo mismo que hallar el valor ( )1f − . Inserte −1 en todas partes donde se vea una x:

( ) ( ) ( )

( )

21 2 1 1 3

1 2 4 2

f

f

− = − + − −

− = − = −

Ocasionalmente, encontraremos funciones definidas por tramos. Éstas son funciones cuyas reglas de definición cambian basadas en el valor de la entrada y usualmente se escriben en la forma siguiente:

( ), ( )

( ),

g x x af x

h x x a

<=

≥

21

En ( )f x , cualquier entrada que sea menor que el valor a debe introducirse en g. Por ejemplo, si c < a, entonces

( ) ( )f c g c= . Por otra parte, si su entrada es mayor que o igual a a, h(x) da la salida correcta para f. Recuerde que las restricciones de la desigualdad se basan el número de la entrada, no en la salida de la función. Ejemplo 2: Halle los valores siguiente para

6, 1( )

3, 1

x xg x

x x

+ ≤=

− >

(a) g(−2)

La regla de definición para g cambia de 6x + a 3x − una vez que la entrada es mayor que 1. Sin embargo, como la entrada es −2, se debe usa la primera regla: 6x + ;

( )( 2) 6 2 6 4g x− = + = − + = (b) g(1)

Observe que g obtiene su valor de la expresión 6x + cuando la entrada es menor que o igual a 1:

(1) 6 1 6 7g x= + = + = (c) g(5)

Ahora que la entrada es mayor que 1, se usa 3x − para obtener el valor de g:

(5) 3 5 3 2g x= − = − − =

Ahora sabemos los suficientes para determinar si relaciones dadas poseen las características adecuadas para ser clasificadas como funciones. Ejemplo 3: Explique por qué, en cada una de las relaciones siguientes, y no es una función de x:

(a) 2 2 9x y+ =

Comience por despejar y: 2 2

2

9

9

y x

y x

= −

= ± −

Observe que cualquier entrada válida para x (excepto para x = −3, 0 y 3) resultará en dos salidas correspondientes. Por ejemplo, si x = 2, entonces

( )29 2

5, 5

y

y

= ± −

= + −

Recuerde, funciones sólo pueden permitir una salida por entrada.

(b) 2

2

3, 0

1, 0

x xy

x x

+ ≤=

− ≥

Cuando x = 0, esta relación tiene dos salidas. Observe que ambas condiciones en la definición por tramos incluyen el 0; por tanto, y = 3 y y = −1 cuando x = 0. Como a una entrada no le pueden corresponder dos salidas, ésta no es una función.

Gráficas de Funciones

La forma más sencilla, aunque es la que requiere más trabajo, de graficar cualquier función es introducir muchos valores de entrada para ver lo que resulta y graficar los pares (entrada, salida) en el plano coordenado. De hecho, si se quiere producir una gráfica dibujada a mano y relativamente exacta, ésta es la única alternativa una vez que

22

las funciones se tornan más complicadas que ecuaciones lineales simples. En la Fig. 2-2, cinco valores de x

diferentes proporcionan una gráfica bastante buena de la función 2( )f x x= .

punto

Figura 2-2 Si una función es sencilla o compleja, la única forma segura de obtener una gráfica precisa es evaluar esa función en varios puntos.

Más adelante en este capítulo, se aprenderán métodos más avanzados de crear gráficas más rápido pero ligeramente menos precisas. Antes de eso, debemos familiarizarnos con alguna información importante sobre las gráficas de las funciones. El criterio de la recta vertical

Se puede determinar rápidamente si una gráfica dada es, de hecho, la gráfica de una función usando el criterio

de la recta vertical. Si se puede dibujar una recta vertical a través de la gráfica y es recta corta la gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no puede ser el d una función. En la Fig. 2-3 vemos la gráfica de una relación identificada como r, la cual no puede ser una función ya que la recta vertical dibujada en x = c interseca la gráfica en dos sitios: (c, a) y (c, b).

¿Cómo trabaja el criterio de la recta vertical? Piense en los valores de x como las entradas para r y los valores de y correspondientes como las salidas. En el caso de la relación r en la Fig. 2-3, a la entrada c le corresponden dos salidas, a y b, lo cual no es permitido para funciones.

Figura 2-3 La recta x = c es sólo una de muchas rectas verticales que pueden dibujarse a través de r, intersecándola en más de un sitio.

23

Hallar simetría

Las funciones pueden exhibir simetría respecto de y o simetría respecto del origen. Una gráfica que exhibe simetría contiene partes que se reflejarán de alguna forma. Específicamente, si una función ( )f x tiene una gráfica con

simetría en y, entonces para todo punto (x, y) en la gráfica, también se encontrará el punto (−x, y). En el caso de simetría con respecto al origen, si la gráfica contiene el punto (x, y), entonces también debe contener el punto ( , )x y− − , como se muestra en la Fig. 2-4.

Figura 2-4 Una gráfica con simetría en y, como ( )f x , tiene la misma forma a cada

lado del eje y, Una gráfica con simetría respecto del origen, como ( )g x , actúa en

una forma completamente opuesta a cada lado del origen. Si un lado va hacia arriba y hacia la derecha, el otro va hacia abajo y hacia la izquierda.

Ejemplo 4: Demuestre que las gráficas de las funciones siguientes muestran el tipo de simetría indicado.

(a) 4 2( ) 2h x x x= + − , simetría en y.

Comenzamos por introducir −x por cada x:

( ) ( ) ( )

( )

4 2

4 2

2

2

h x x x

h x x x

− = − + − −

− = + −

Los exponentes pares hacen que las −x se vuelvan positivas y se encuentra que ( ) ( )h x h x− = . Cuando esto sucede, entonces h es simétrica.

(b) 5 3( )j x x x= + , simetría con respecto al origen.

Reemplace todas las x con –x y reemplace j(x) con −j(x):

( ) ( ) ( )

( )

5 3

5 3

j x x x

j x x x

− − = − + −

− − = − −

Dividiendo todo por −1, se obtiene ( ) 5 3j x x x− = +

Como el lado derecho es igual a la función original, j debe ser simétrica con respecto al origen. Las funciones simétricas con respecto al origen también se conocen como funciones impares (ya que usualmente sólo contienen exponentes de potencias impares); las funciones con simetría en y se denominan funciones pares

por la misma razón. Cálculo de Intersecciones

Las intersecciones de una función son los valores en números reales en los cuales la gráfica cruza el eje x o el eje y. En tanto que una función puede tener numerosas intersecciones con el eje x, sólo puede tener una intersección

24

con el eje y para aprobar el criterio de la recta vertical. Las intersecciones con el eje x también se conocen como las raíces o ceros de la función. Ejemplo 5: Hallar las intersecciones de la función 2( ) 7 12f x x x= − + .

Para calcular la y-intersección, sustituya x por 0:

2(0) 0 7(0) 12 12f = − + =

La y-intersección es 12, ya que ( )f x cruza el eje y en el punto (0, 12). Para hallar las x-intersecciones, sustituya

( )f x por 0:

( ) ( )

2 7 12 0

3 4 0

3, 4

x x

x x

x

− + =

− − =

=

La gráfica de f intersecará el eje x dos veces, en x = 3 y x = 4. Determinación del dominio y del recorrido

En la mayoría de los casos, es muy sencillo determinar el dominio y el recorrido de una función con base solamente en su gráfica. Puesto que el dominio representa el conjunto de entradas, o x, si un parte de la gráfica aparece por encima o por debajo de cualquier valor en el eje x, este número debe estar en el dominio de la función. En la misma forma, si una parte de la gráfica aparece a la izquierda o derecha de cualquier valor en el eje y, ese valor debe aparecer en el recorrido de la función. Ejemplo 6: Dada la gráfica (Fig. 2-5) de h(x), identifique el dominio y el recorrido de la función.

Mire a lo largo del eje x. Todo valor de x tiene una porción de la gráfica por encima o por debajo de esa porción excepto por el espacio entre x = −1 y 1. Como hay un punto en x = 1, éste está incluido en el dominio, pero

1x = − no está. Por tanto, el dominio es (−∞, −1)∪[1, ∞). A lo largo del eje y, los únicos valores que no tienen parte de la gráfica a cada lado ocurren en la pequeña franja vertical entre y = −1 y −1. Por tanto, el recorrido es ( ) [ ), 2 1, −∞ − ∪ − ∞ .

Figura 2-5 La gráfica de h(x), usada en el Ejemplo 6.

Ocho Gráficas de Funciones Claves

La gran mayoría de las gráficas que creará son realmente versiones transformadas (estiradas, desplazadas y reflejadas) de las gráficas sencillas en la Fig. 2-6. Se debe poder reconocer estas gráficas al verlas (muchas de ellas

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probablemente ya las conoce). Además, debe memorizar la gráfica, los puntos clave y el dominio y el recorrido de cada una

Función recíproca, 1

yx

= . Dominio y recorrido: ( ) ( ). 0 0, −∞ ∪ ∞ .

Puesto que esta función da como salida el recíproco de la entrada, el 0 no puede usarse como entrada ni se puede obtener 0 como salida. Por tanto, las dos rectas x = 0 y y = 0 son asíntotas.

Gráfica cuadrática, 2y x= . Dominio y recorrido: (−∞, ∞).

La parábola más gráfica de todas; esta gráfica debe tener un recorrido no negativo, porque el cuadrado de cualquier número es positivo.

Gráfica cúbica, 3y x= . Dominio: (−∞, ∞). Recorrido: [0, ∞).

Esta gráfica se parece mucho a 2y x= , pero es más empinada y su mitad izquierda se dobla hacia abajo a valores negativos de y. Esto tiene sentido, porque las cúbicas son mayores que las cuadradas y pueden tener salidas negativas.

Valor absoluto, y x= . Dominio: (−∞, ∞). Recorrido: [0, ∞). La salida para esta función es simplemente la

entrada sin ningún signo negativo. Observe que es esencialmente la gráfica de y = x, con su lado izquierdo doblado hacia arriba, de modo que salidas positivas y no negativas.

Raíz cuadrada, y x= . Dominio y recorrido: [0, ∞).

Como se toma la raíz cuadrada de un número positivo solamente y una raíz cuadrada siempre da como salida un número positivo, tanto el dominio como el recorrido para esta función deben ser no negativos. Observe que la gráfica pasa por (1, 1), ya que la raíz cuadrada de 1 es 1. En forma similar, pasa por (4, 2), ya que la raíz cuadrada de 4 es 2.

Función mayor entero, � �y x= . Dominio: (−∞, ∞). Recorrido: todos los enteros.

Esta función retorna el mayor entero menor que o igual a la entrada. Por tanto, � �5.95 5= , puesto que 5 es el mayor entero que es menor que o igual a 5.95. Los negativos son un poco complicados; observe que � �1.6 2− = − , no −1, de modo que no sólo se omite la parte decimal cuando se calcula la salida mayor entero. La salida es −2 (el mayor entero menor que −1.6). (Recuerde, −1 > −1.6.)

Función logaritmo natural, lny x= . Dominio: (0, ∞). Recorrido: (−∞, ∞).

En el Capítulo 4 se aprenderá más sobre esta función. Por ahora, recuerde que acepta sólo entradas positivas, contiene el punto (1,0) y crece muy lentamente conforme x se acrecienta.

Función exponencial natural, xy e= . Dominio: (−∞, ∞). Recorrido: (0, ∞).

Una vez más, el Capítulo 4 proporciona una mejor comprensión de esta función. Hasta entonces, sepa que la función sólo da números positivos como salidas (aunque acepta cualquier número real como entrada), contiene el punto (0, 1) y la función crece muy rápidamente conforme x se acrecienta.

Transformaciones Básicas de Funciones

Con sólo añadir una constante bien colocada, un signo negativo o un conjunto de símbolos de valor absoluto se puede contorsionar, torcer y doblar gráficas en casi cualquier forma imaginable. La aplicación práctica de este conocimiento es una técnica que facilita la creación de bosquejos rápidos de gráficas. En tanto que la tarea de

graficar la función ( )2( ) 2 3 1f x x= − + + podría parecer complicada en un principio, se vuelve mucho más fácil

una vez que vea a f como una serie de transformaciones de la gráfica mucho más sencilla de 2y x= .

26

Figura 2-6 Ocho funciones importantes que debe memorizar.

Desplazamientos verticales y horizontales

Sumar o restar un número real de una función o dentro de una función hace que toda su gráfica se desplace ya sea verticalmente u horizontalmente. Específicamente, la gráfica de ( )y f x a= + es simplemente la gráfica de

( )y f x= movida a unidades hacia arriba (si a > 0) o hacia abajo (si a < 0). Sin embargo, si se suma o se resta ese

valor dentro de la función, la gráfica se desplaza horizontalmente. Por tanto, la gráfica de ( )y f x b= + es

precisamente toda la gráfica de ( )y f x= movida b unidades hacia la derecha (si b < 0) o b unidades hacia la izquierda (si b > 0).

Observe que los desplazamientos horizontales funcionan de forma diferente que los verticales. En la descripción anterior, un valor positivo de a mueve la gráfica hacia arriba, así que se podría suponer que un valor positivo de b mueve la gráfica hacia la derecha. No lo hace; más bien, la gráfica se mueve hacia la izquierda.

Ejemplo 7: Dibuje la gráfica de ( )2( ) 2 3f x x= + − .

27

Ya sabemos que la gráfica de 2y x= es una parábola cuyo vértice está en el origen. En la función f, se está añadiendo 2 dentro de la función al cuadrado y restando 3 de la función al cuadrado. Por tanto, el 2 corresponde a un desplazamiento horizontal hacia la izquierda (ya que 2 es positivo) y 3 corresponde a desplazamiento vertical hacia abajo. Véase la Fig. 2-7 para la gráfica.

Figura 2-7 La gráfica de ( )f x es simplemente la gráfica de 2y x=

movida 2 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

Reflexiones

Hay dos clases importantes de reflexiones de gráficas y ambas son el resultado de multiplicar por −1:

La gráfica de ( )f x− es la gráfica de ( )f x reflejada con respecto al eje x. En otras palabras, todos los puntos

originales (x, y) se convierten en (x, −y). Para un ejemplo, vea la Fig. 2-8.

Figura 2-8 Las gráficas de 1( ) lnf x x= y 2( ) lnf x x= − son reflexiones una

de la otra con respecto al eje x.

La gráfica de ( )f x− es la gráfica de ( )f x reflejada en torno al eje y. En este caso, todos los puntos

originales (x, y) se convierten en (−x, y). Para un ejemplo, véase la Fig. 2-9.

28

Figura 2-9 Las gráficas de 1( )g x x= y 2( )g x x= − son reflexiones una de la otra en torno al eje y.

Estirar y comprimir

Si se multiplica toda una función por una constante positiva a, esencialmente se están multiplicando todas las salidas, o valores de y, por a. Si a > 1, esto estirará la gráfica, volviendo más positivas las alturas positivas y las alturas negativas más negativas. Si, por otra parte, 0 < a < 1, las alturas de cada punto en la gráfica disminuirán y se acercarán al eje x.

En la Fig. 2-10 se presentan tres gráficas: 2( )h x x= y dos de sus transformaciones. Observe cómo la gráfica de

2 ( )h x es estirada, comparada con la gráfica original: todas las alturas de la función están al doble de la distancia

del eje x que las originales. Por otra parte, 1

( )2

h x posee alturas que son la mitad de las de h(x).

Figura 2-10 La gráfica de ( )a h x⋅ estirará o comprimirá la gráfica de h(x) dependiendo del valor de a.

Transformaciones múltiples

Si se aplica más de una transformación a una función, éste es el orden que se debe seguir cuando se dibuja la nueva gráfica:

1. Reflexiones

2. Estirar o comprimir

3. Desplazamientos verticales y horizontales Ejemplo 8. Dibuje la gráfica de ( ) 3 1 2f x x= − − + .

29

Tome la gráfica básica de y x= , refléjela en el eje x, estírela tres veces su altura normal y luego muévala 1

unidad a la derecha y 2 unidades hacia arriba, como se muestra en la Fig. 2-11.

Figura 2-11 La gráfica de f(x), la respuesta al Ejemplo 8.

Combinación y Composición de Funciones

Se pueden crear nuevas funciones combinando funciones ya existentes. Usualmente, estas nuevas funciones son el resultado de algo más sencillo como la adición o sustracción, pero las funciones son capaces de combinarse en formas diferentes de estas sencillas operaciones binarias. Combinaciones aritméticas

Miremos primero a la forma más fácil de crear una nueva función a partir de funciones existentes realizando operaciones aritméticas básicas. Ejemplo 9: Si 2( ) 2 3f x x x= − + y ( ) 1g x x= + , halle las combinaciones siguientes:

(a) ( )( )1f g− −

Restar g(x) de ( )f x y sustituir a x por −1:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

2

( ) ( ) ( ) 2 3 ( 1) 3 2

1 1 3 1 2 1 3 2 6

f g x f x g x x x x x x

f g

− = − = − + − + = − +

− − = − − − + = + + =

(b) ( )f

xg

Dividir ( )f x por g(x). Observe que f puede factorizarse, de modo que la fracción puede entonces simplificarse.

( )( )( )

( )

2 2 3 3 13, si 1

1 1f x x x x

x x xg x x

− + − + = = = − ≠ −

+ +

Observe que el dominio de la nueva función es todos los números reales excepto por x = −1, el cual es diferente del dominio de ambas ( )f x y g(x).

30

La composición de funciones

El proceso de insertar una función en otra se denomina la composición de funciones. Cuando una función se

compone con otra, usualmente se escribe explícitamente como ( )( )f g x , que se lee “f de g de x”. En otras

palabras, x es introducida en g, y ese resultado es a su vez introducido en f. La composición de funciones también puede escribirse usando esta notación: ( )( )h k x� , que es el equivalente matemático de la expresión ( )( )h k x .

Ejemplo 10: Si 2( ) 10f x x= + y ( ) 1g x x= − halle las composiciones siguientes:

(a) ( )( )f g x

Sustituya el radical que representa a g(x) por la x en ( )f x :

( )( ) ( ) ( )

( )( )

21 1 10

1 10 9

f g x f x x

f g x x x

= − = − +

= − + = +

(b) ( )( )4g f�

Esto significa lo mismo que ( )( )4g f . Primero hallamos ( )( )g f x :

( )( ) ( ) ( )2 2 210 10 1 9g f x f x x x= + = + − = +

Ahora se puede evaluar ( )( )4g f :

( )( ) ( )24 4 9 16 9 25 5g f = + = + = =

(c) ( ) ( )f f x�

Sustituya la x en ( )f x por 2 10x + :

( )( ) ( ) ( )

( )( )

22 2

4 2

10 10 10

20 10

f f x f x x

f f x x x

= + = + +

= + +

Funciones Inversas

Usted ha usado funciones inversas desde sus primeros días de álgebra para cancelar cosas. Ahora que posee un grado más alto de competencia matemática, puede explorar mejor por que y cómo funcionan. ¿Qué es una función inversa?

La función inversa para ( )f x , identificada 1( )f x− (que se lee “f inversa de x°), contiene los mismos elementos en

el dominio y recorrido de la función original, ( )f x . Sin embargo, los conjuntos están intercambiados. En otras

palabras, el dominio de ( )f x es el recorrido de 1( )f x− y viceversa. De hecho, para todo par ordenado (a, b) que

pertenece a ( )f x , existe un par ordenado correspondiente (b, a) que pertenece a 1( )f x− . Por ejemplo, considere la función g:

( ){ }: 2, 0 , (1, 3),(5, 9g −

La función inversa es el conjunto de todos los pares ordenados invertidos:

( ){ }1 : 0, 2 , (3, 1),(9, 5g−−

Sólo las funciones uno a uno poseen funciones inversas. Como estas funciones tienen elementos en su recorrido que corresponden cada uno solamente a un elemento en el dominio, no hay peligro de que los inversos no serán

31

funciones. El criterio de la recta horizontal es una forma rápida se una gráfica es la de una función uno a uno. Funciona en la misma forma que el criterio de la recta vertical: Si se puede dibujar una recta horizontal arbitraria a través de la gráfica de ( )f x y ella interseca f en más de un punto, entonces f no puede ser una función uno a uno.

Las funciones inversas tienen la propiedad única de que, cuando se componen con las funciones originales,

ambas funciones se cancelan. Matemáticamente, esto significa que ( )( ) ( )( )1 1f f x f f x x− −= = .

Gráficas de funciones inversas

Puesto que las funciones y las funciones inversas contienen los mismos números en sus pares ordenados, pero en orden inverso, sus gráficas serán reflexiones una de la otra en torno a la recta y = x, como muestra la Fig. 2-12.

Figura 2-13 Las funciones inversas son simétricas con respecto a la recta y = x.

Hallar funciones inversas

Para hallar la función inversa para una función uno a uno, siga estos pasos:

1. Reescriba la función usando y en vez de ( )f x .

2. Intercambie las variables x y y; deje todo lo demás igual.

3. Despeje y en la nueva ecuación.

4. Reemplace la y con 1( )f x− .

5. Asegúrese de que su función inversa resultante es uno a uno. Si no lo es, restrinja el dominio para que apruebe el criterio de la recta horizontal.

Ejemplo 11: Si ( ) 2 3f x x= + , halle 1( )f x− .

Siga los pasos dados en la lista, comenzando con reescribir ( )f x como y:

( )

2

1 2

2 3

2 3

2 3

1( ) 3 , 0

2

y x

x y

x y

f x x x−

= +

= +

= +

= − ≥

32

Observe la restricción x ≥ 0 para 1( )f x− . Sin esta restricción, 1( )f x− no pasaría el criterio de la recta horizontal.

Obviamente debe ser uno a uno, ya que debe poseer una inversa de ( )f x . Se debe usar esa porción de la gráfica

porque es la reflexión de ( )f x con respecto a la recta y = x, a diferencia de la porción en x < 0.

Comprobación del Capitulo

P&R

1. Falso o verdadero: La función k es uno a uno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }: 2, 3 , 1, 2 , 0, 6 , 1, 3 , 2, 7k − − − −

2. Dada la función ( )2( ) 1 5h x x= − − + :

(a) ¿Cuál es el dominio de h(x)?

(b) ¿Cuál es el recorrido de h(x)?

3. Identifique la función m mostrada en esta gráfica.

4. Si ( ) 6f x x= − y � �( )g x x= , evaluar ( ) ( )2, 3f g −� .

5. Si 5

( )2

xj x

−= , hallar 1( )j x− .

Respuestas: 1. R 2, (a) (−∞, ∞) (b) (−∞, 5] 3. ( ) 2 3m x x= − + − 4. 9 5. 1( ) 2 x 5j x−= +

Capítulo 3

FUNCIONES POLINÓMICAS Y

RACIONALES

Una vez que se encuentran las raíces de polinomios, se posee la formidable habilidad de resolver a mano casi cualquier ecuación. Las ecuaciones lineales son fáciles de resolver, pero una vez que se incrementa el grado de los polinomios, los procedimientos se hacen más complicados. Este capítulo comienza con un repaso de la factorización y de las funciones cuadráticas, y finalmente avanza hacia tópicos más avanzados en el cálculo de raíces.

Factorización de Polinomios

Factorizar, el proceso de “desmultiplicar” polinomios para obtener una cadena única de polinomios de grado menor cuyo producto es el polinomio original, es la forma más sencilla de resolver ecuaciones de grado superior. Aunque ya debe tener habilidad para factorizar, a continuación se dan los métodos que debe conocer en caso que necesite repasar. Máximos factores comunes

Si todos los términos en un polinomio contienen uno o más factores idénticos, combine esos factores semejantes en un monomio, denominado el mayor factor común, y reescriba el polinomio en forma factorizada. Ejemplo 1: Factorizar las expresiones:

(a) 3 215 5 25x x x+ −

Como cada término en el polinomio es divisible por x y 5, el factor común más alto es 5x. En forma

factorizada, el polinomio se escribe ( )25 3 5x x x+ − .

(b) 3 5 4 2 3 2 3 218 6 9x y z x yz x y z+ −

El monomio más grande por el cual cada uno de los términos es divisible, y por tanto el mayor factor común, es 2 23x yz de modo que se puede sacar como factor:

( )2 2 4 23 6 2 3x yz xy z y+ −

Factorización por agrupamiento

Algunas veces, el máximo factor común de una expresión no es solamente un monomio sino toda una cantidad entre paréntesis. Es permitido factorizar cantidades en paréntesis en la misma forma en que se pueden factorizar términos individuales. Ejemplo 2: Factorizar las expresiones siguientes:

(a) ( ) ( ) ( )3 5 2 5 10 5x x y x x− + − − −

Lo único que es divisor de cada uno de estos términos por igual es la expresión lineal ( 5)x − . Factorícelo, igual a como haría con cualquier mayor factor común, dejando atrás el monomio en cada término que era multiplicado por ( 5)x − :

( )( )5 3 2 10x x y− + −

34

(b) 23 6 4 8x x x− − +

Nada, excepto el número 1, divide por igual a cada de los términos y no se gana nada con factorizar a 1. Sin embargo, los primeros dos términos tienen un máximo factor común de 3x. Además, si se factoriza −4 de los dos términos finales, se puede factorizar por agrupamiento:

( ) ( )

( ) ( )

3 2 4 2

2 3 4

x x x

x x

− − −

− −

Factorización de trinomios cuadráticos

Su tarea de factorización más común, además de la factorización del máximo común, es cambiar un trinomio cuadrático al producto de dos binomios lineales. Ejemplo 3: Factorizar las expresiones siguientes:

(a) 2 4 12x x− −

Si el coeficiente dominante es 1, como lo es aquí, el proceso es sencillo. Halle dos números cuya suma es igual a los coeficientes del término en x y cuyo producto es igual al término constante. Los únicos dos números cuya suma es −4 y que multiplicados dan −12 son −6 y 2. Use éstos como las constantes en los factores lineales:

( )( )6 2x x− +

(b) 2 10 24x x− +

Puesto que este trinomio cuadrático tiene un coeficiente dominante de 1, halle dos números con un producto de 24 y una suma de −10. Por experimentación, encontrará que esos números son −6 y −4:

( )( )6 4x x− −

(c) 22 9 5x x+ −

Si el coeficiente dominante no es 1, se debe seguir otro procedimiento. Todavía se buscarán dos números y esos números todavía sumarán 9. Sin embargo, su multiplicación dará −10, el producto del coeficiente dominante y la constante. (Esta técnica no tuvo que usarse cuando el coeficiente dominante era 1, ya que el producto de ese coeficiente y la constante hubiera sido simplemente la misma constante.) Los números en cuestión son 10 y −1. Reescriba el coeficiente de x como la suma de esos números:

( )22 10 1 5x x+ − − Distribuya la x al 10 a al −1:

22 10 5x x x+ − −

Para finalizar, factorice por agrupamiento:

( ) ( )

( )( )

2 5 1 5

5 2 1

x x x

x x

+ − +

+ −

Patrones de factores especiales

Ocasionalmente, el único esfuerzo que tendremos que hacer en un problema de factorización es reconocer que el polinomio en cuestión se adapte a tres patrones específicos. Usted debe memorizar estas fórmulas de modo que pueda detectarlas de inmediato:

Diferencia de cuadrados perfectos: ( )( )2 2x a x a x a− = + −

Diferencia de cubos perfectos: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

Suma de cubos perfectos: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

35

Ejemplo 4: Factorizar completamente las expresiones siguientes:

(a) 327 8x +

Observe que 327x y 8 son cubos perfectos, así que aplique la fórmula de la suma de cubos perfectos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 23 23

2

27 8 3 2 3 2 3 3 2 2

3 2 9 6 4

x x x x x

x x x

+ = + = + − +

+ − +

(b) 220 405x −

Ésta no parece adaptarse a ninguno de los patrones, pero puede factorizar un máximo factor común de 5 para comenzar:

( )25 4 81x +

Ahora está claro que 24 81x + es la diferencia de cuadrados perfectos, ya que ( )2 22 4x x= y 29 81= :

( )( )5 2 9 2 9x x+ −

Resolver Ecuaciones Cuadráticas

Hay tres técnicas principales para resolver ecuaciones cuadráticas (ecuaciones formadas por polinomios de grados 2). La más sencilla, factorizar, funcionará solamente si todas las soluciones son racionales. Los otros dos métodos, la fórmula cuadrática y completar el cuadrado, funcionarán todo el tiempo sin problemas, para toda ecuación cuadrática. De esas dos, la fórmula cuadrática es la más fácil, pero usted debe aprender cómo completar el cuadrado, porque necesitará esa habilidad de nuevo en el Capitulo 9. Factorización

Para resolver una ecuación cuadrática por factorización, siga los pasos siguientes:

1. Mueva todos los términos diferentes de cero al lado izquierdo de la ecuación, efectivamente igualando a 0 el polinomio.

2. Factorice la cuadrática completamente.

3. Iguale a 0 cada factor y resuelva las ecuaciones más pequeñas.

4. Introduzca cada respuesta en la ecuación original para asegurar que convalida la ecuación. Ejemplo 5: Resuelva la ecuación

3 23 13 10x x x= − +

Sume 213x y 10x− en ambos lados de la ecuación:

3 23 13 10 0x x x+ − =

Factorice el polinomio, iguales cada factor a 0 y resuelva:

( )( )3 2 5

0, 3 2 0, 5 0

20, , 5

3

x x x

x x x

x

− +

= − = + =

= −

Como todos estos tres valores de x hacen que la ecuación sea cierta, entonces ellos son soluciones.

36

La fórmula cuadrática

Si una ecuación puede escribirse en la forma 2 0ax bx c+ + = , entonces la solución a esa ecuación puede hallarse usando la fórmula cuadrática:

2 42

b b acx

a

− ± −=

Este método es especialmente útil si la ecuación cuadrática no se puede factorizar. Una advertencia: Asegúrese que la ecuación cuadrática que está tratando de resolver se iguala a 0 antes de introducir los coeficientes de la ecuación cuadráticas a, b y c en la fórmula. Esta fórmula debe memorizarse si no lo ha hecho ya. Ejemplo 6: Resolver la ecuación cuadrática

26 4 1x x= + Iguale la ecuación a 0:

24 6 1 0x x− + − =

Los coeficientes para la fórmula cuadrática son a = −4, b = 6 y c = −1:

( ) ( )( )

( )

( )

26 6 4 4 12 4

6 20

8

6 2 5

8

2 3 58

3 5 3 5 ,

4 4

x− ± − − −

=−

− ±=

−

− ±=

−

− ±=

−

− + − −=

− −

Las respuestas también se pueden escribir como 3 5 3 5

, 4

xr

− += , el resultado de multiplicar los

numeradores y denominadores de ambas por −1. Observe que la técnica de la fórmula cuadrática puede hallar fácilmente raíces irracionales e imaginarias, a diferencia del método de factorización. Completar el cuadrado

La técnica más complicada, aunque no muy difícil, para resolver ecuaciones cuadráticas funciona creando un trinomio que es un cuadrado perfecto (de allí su nombre). A continuación se dan los pasos a seguir:

1. Ponga la ecuación en la forma 2ax bx c+ = . En otras palabras, mueva solamente el término constante hacia el lado derecho de la ecuación.

2. Si a ≠ 1, divida toda la ecuación por a.

3. Añada el valor constante 2

2b

a

a ambos lados de la ecuación.

4. Escriba el lado izquierdo de la ecuación como un cuadrado perfecto.

5. Tome las raíces cuadradas de ambos lados de la ecuación, recordando añadir el símbolo “±” en el lado derecho.

6. Despeje x.

37

Ejemplo 7: Resuelva la ecuación cuadrática completando el cuadrado:

22 12 3 0x x+ − =

Mueva la constante de modo que esté sola en el lado derecho:

22 12 3x x+ =

Divida todo por el coeficiente dominante, ya que no es 1:

2 36

2x x+ =

La mitad del coeficiente del término en x elevado al cuadrado es 26

92

=

. Sume ese valor en ambos lados de la

ecuación:

2 36 9 9

2x x+ + = +

El lado izquierdo es un cuadrado perfecto:

( )2 21

32

x + =

Despeje x. No olvide que debe incluir un signo ± cuando se saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

( )2 21

32

21 3

2

x

x

+ = ±

= − ±

La respuesta también puede escribirse como 42

32

x = − ± , si se racionaliza.

División Polinómica

Se puede usar una de dos técnicas para dividir polinomios. Cuando se determina el máximo factor común, el método más fácil es ver cuáles valores se dividían fácilmente en cada término. En la misma forma, se puede dividir polinomios para hallar factores de esos polinomios. División larga

El método de la división larga, semejante al procedimiento usado para dividir números enteros, es el método más general de hallar el cociente de polinomios.

Ejemplo 8: Dividir 4 3 23 2 7 1x x x x+ − + + por 2 2 2x x− + .

Escriba esto como un problema de división larga. Como está dividiendo por 2 2 2x x− + , éste va fuera del símbolo de división y se denomina el divisor. El polinomio de cuarto grado va dentro del símbolo de división y se denomina el dividendo:

2 4 3 22 2 3 2 7 1x x x x x x− + + − + +

Responda esta pregunta: ¿Qué puede multiplicar al primer término del divisor para obtener el primer término del dividendo? En otras palabras, ¿cuál término multiplica a 2x para obtener 4x ? La respuesta es 2x ; por tanto,

escriba eso sobre el símbolo de la división (en el espacio del cociente) y alinéelo sobre el término 22x− , el cual tiene el mismo grado:

38

2

2 4 3 2

2 2 3 2 7 1x

x x x x x x− + + − + +

Multiplique el término 2x en el cociente por cada término en el divisor y escriba los resultados debajo de los términos en dividendo de modo que los grados coincidan. Se quiere restar estos términos, así que cambia cada signo a su opuesto conforme lo escribe y combine los términos semejantes.

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

2 2 3 2 7 1

2 2 5 4

x

x x x x x x

x x x

x x

− + + − + +

− + −

−

Baje el siguiente término no usado (7x), de modo que ahora tiene el polinomio 3 25 4 7x x x− + . Repita el proceso,

esta vez respondiendo la pregunta: ¿Qué multiplica a 2x para obtener 35x (el primer término del divisor y el primer término del nuevo polinomio)? Cuando termine, baje el “+1” en el dividendo y repita el proceso:

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

5 6

2 2 3 2 7 1 2 2 5 4 7 5 10 10 6 2 1

x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

+ +

− + + − + +

− + −

− +

− + −

− +2 6 12 12

9 11x x

x− + −

−

Como 9 11x − tiene un grado menor que el divisor, ha terminado; el residuo será 9 11x − . La respuesta será el cociente más el residuo dividido por el divisor:

22

9 115 6

2 2

xx x

x x

−+ + +

− +

Antes de comenzar cualquier problema de división larga, asegures que no hay “términos faltantes” en el divisor o en el dividendo. En otras palabras, si el polinomio es de grado n, asegúrese que tiene n + 1 términos. Por

ejemplo, si quiere dividir 3 2 6x x+ + por 2 5x − , observará que el divisor tiene grado dos, pero no tiene 2 1 3+ =

términos, así que necesita escribir 2 5x − como 2 0 5x x+ − . Tendrá que hacer lo mismo con el dividendo, de modo que su disposición para el problema se parecerá a esto:

2 3 20 5 0 2 6x x x x x+ − + + +

División sintética

Si el divisor de un problema de división polinómica es lineal y su coeficiente dominante es 1, se usar la división sintética para hallar el cociente, un método más corto que la división larga, usando solamente los coeficientes del divisor y el dividendo. Ejemplo 9: Divida 3 22 3x x− + por 2x + .

Como el divisor está en la forma ( )x a+ , éste es un candidato perfecto para la división sintética (aunque la división larga todavía funcionará). Comience por escribir el opuesto del término constante del divisor (−2) en un pequeño marco y haga una lista de los coeficientes del dividendo que lo sigue. Llene cualesquiera términos faltantes con un coeficiente 0. (Este dividendo no tiene término en x, así que coloque un 0 en su lugar.) Dibuje después una recta horizontal por debajo, dejando algún espacio:

2 2 1 0 3_______________− −

39

Seleccione el primer coeficiente (2) y escríbalo debajo de la recta:

Multiplique el número en el marco (−2) por el número debajo de la recta (2) y escriba el resultado (−4) en la columna siguiente (−1):

Combine los números en la nueva columna (−1 − 4 = −5) y escriba el resultado debajo de la línea. Ahora, repita el procedimiento. Multiplique el número en la caja -2) por el número debajo de la línea (−5) y escriba el resultado (10) debajo del número en la columna siguiente (0). Continúe hasta que tenga tantos números debajo de la línea como tiene coeficiente en el dividendo:

Los números debajo de la línea son los coeficientes de su respuesta, el cociente, y su residuo. El grado del cociente será uno menos que el dividendo; como el dividendo era una cúbica, el cociente será una cuadrática. Escrita el residuo (−17) como una fracción dividida por el divisor, en la misma forma que lo hizo con la división larga. La respuesta final es

2 172 5 10

2x x

x

−− + +

+

Teoremas Importantes para Hallar Raíces

Aunque la habilidad de dividir polinomios es, por sí sola, un resultado importante, esa habilidad puede aplicarse a un objetivo mayor: factorizar y hallar las raíces de funciones polinómicas. En esta sección, se explorarán los dos teoremas que permiten extender la técnica de la división sintética al terreno de la factorización. El teorema del residuo

El teorema del residuo dice que si una función polinómica ( )f x es dividida por un término lineal de la forma ( )x a− y el residuo es r, entonces ( )f a r= .

Éste es un descubrimiento sorprendente y muy útil. La mayor parte del tiempo, la evaluación de una función para un valor constante no es una tarea de mucha exigencia, así que podría preguntarse por qué es tan importante un teorema que da un atajo para evaluar funciones. En realidad no es tan importante como su corolario, el teorema del factor, el cual se dará dentro de poco. Ejemplo 10: Demuestre el teorema del residuo verificando que ( )1f − es igual al residuo cuando el polinomio

3 2( ) 3 7f x x x x= − + + − se divide por 1x + .

Como el divisor está en la forma ( )x a− , use división sintética para calcular el residuo:

El residuo es igual a −4; por tanto, de acuerdo con el teorema, también lo debe ser ( )1f − :

40

( ) ( ) ( )

( )

3 2( ) 1 3 1 1 7

1 1 3 8 4

f x

f

= − − + − + − −

− = + − = −

El teorema del factor

Si un número diferente de cero a es un factor de otro número b, cuando divide b

a, se debe obtener un entero;

vale decir, a divide a b uniformemente sin residuo. Por ejemplo, sabemos que 5 es un factor de 20 ya que 20

45

= ,

un entero sin residuo. Lo mismo es válido para polinomios, como lo establece explícitamente el teorema del factor. De acuerdo con ese teorema, una función polinómica ( )f x tiene un factor ( )x a− si y sólo si ( ) 0f a = .

En otras palabras, si se usa división sintética para dividir ( )f x por ( )x a− y se obtiene un residuo de 0, entonces

sabemos que ( ) 0f a = (según el teorema del residuo). El teorema del factor va un paso más adelante y concluye

que un residuo de 0 implica que ( )x a− es realmente un factor de ( )f x , lo que significa que ahora se puede factorizar otros polinomios además de los cuadráticos o cúbicos que sean la suma o diferencia de cuadrados perfectos. Recuerde que el signo del medio en el factor siempre será el signo opuesto de la misma raíz.

Ejemplo 11: Demuestre que 4 es una raíz de 3 2( ) 7 14 8g x x x x= − + − y use esta información para factorizar a g(x) completamente.

Si 4 es una raíz (en otras palabras, 4 es un cero o x-intersección de g), entonces g(4) debe ser igual a 0. Esto se puede demostrar usando división sintética:

Como el residuo es 0, entonces g(4) = 0, siempre y cuando 4 sea una raíz de g(x). De hecho, el resultado de la

división sintética nos dice a qué es igual g(x) cuando el factor ( )4x − es un divisor exacto: 2 3 2x x− + . Por tanto, sabemos que la función polinómica g(x) puede factorizarse como

( )( )24 3 2x x x− − +

(No olvide que el signo del medio del factor, el “−” en 4x − , debe siempre ser del signo opuesto de la raíz, que en este caso es +4.)

Todavía no hemos terminado. La parte cuadrática del polinomio puede factorizarse como ( )( )2 1x x− − . Por tanto, la factorización completa de g(x) es

( )( )( )4 2 1x x x− − −

Ahora que g(x) está factorizada completamente, se pueden hallar las otras dos raíces del polinomio sin ningún trabajo. Como ( )2x − y ( )1x − son factores, entonces x = 2 y x = 1 son raíces de g, según el teorema del factor.

Cálculo de Raíces

Gracias al teorema del factor, sabemos que el proceso de factorizar equivale esencialmente al proceso de hallar las raíces de una función, que es útil no solamente en la solución de ecuaciones sino también para graficar, ya que las raíces de una función también son sus x-intersecciones. En esta sección se explora la teoría y práctica del cálculo de raíces.

El Teorema Fundamental del Álgebra

Varios teoremas algebraicos establecen las bases y justifican todas las técnicas para hallar raíces que hemos usados hasta ahora y también aquellas que se usarán en el resto de este capítulo. El más importante de estos

41

teoremas es el Teorema Fundamental del Álgebra, el cual garantiza que cualquier polinomio de grado n tendrá exactamente n raíces en total.

Esto no significa que estas raíces serán todos números reales. Algunas pueden ser raíces imaginarias, esto es, números complejos con una parte real (no imaginaria en el sentido de “existir sólo en los terrenos de la imaginación”). Aunque el Teorema Fundamental garantiza que esas raíces están allí, en realidad no ayuda a encontrarlas. Para hacer eso, es necesario usar métodos conocidos, como la división sintética, complementada con algunas técnicas adicionales.

Regla de los Signos de Descartes

Como el Teorema Fundamental puede garantizar solamente la existencia de raíces, se necesita otra herramienta para ayudarnos a descifrar cuántas de esas raíces garantizadas son raíces positivas y cuántas son negativas. Esto se logra con la Regla de los Signos de Descartes, un método de adivinar entre los dos tipos de raíces con base en el número de cambios de signos entre los términos de un polinomio dado. Esto se ilustra mejor con un ejemplo. Ejemplo 12: Prediga cuántas raíces reales positivas y negativa tiene la función polinómica

3 2( ) 1 3 2f x x x x= − + + − , con base en la Regla de los Signos de Descartes.

Acomode los términos del polinomio en orden de exponentes, desde el término con el exponente más alto hasta el término con el más bajo:

3 2( ) 2 3 1f x x x x= − + −

Ignore los coeficientes de los términos y preste atención solamente a sus signos. Cuente el número de veces que el signo cambia en términos adyacentes conforme se desplaza de izquierda a derecha. La Fig. 3-1 demuestra cómo contar los cambios de signo.

cambio de + a −

cambio de − a +

cambio de + a −

Figura 3-1 Conforme se desplaza de izquierda a derecha, los términos en la función f(x) cambian signo tres veces.

De acuerdo con la Regla de Descartes de los Signos, tendrá bien sea 3 raíces reales positivas o 1 raíz real positiva. Para llegar a esta conclusión, tome el número de cambios de signo y reste continuamente 2, hasta que su resultado sea negativo. Por ejemplo, si hubiesen ocurrido 6 cambios de signo en f, entonces la Regla de Descartes de los Signos dice que f tiene ya sea 6, 4, 2, o 0 raíces positivas. No se sabe cuál es verdad.

Para determinar el posible número de raíces reales negativas, comience por hallar ( )f x− :

( ) ( ) ( )3 2

3 2

( ) 2 3 1

( ) 2 3 1

f x x x x

f x x x x

= − − − + − −

= − − − −

Cuente el número de cambios de signo en términos adyacentes de izquierda a derecha. Esta vez no hay ningún cambio. Por tanto, f no tiene raíces reales negativas. Si el número hubiese sido mayor, digamos por ejemplo 5, habría considerado la posibilidad de 5, 3 o 1 raíces reales negativas, siguiendo de nuevo el procedimiento de restar 2 como se hizo cuando contaba las raíces positivas.

El Criterio de Raíces Racionales

En el Ejemplo 11 sólo se pudo factorizar la función si primero se tenía una de sus raíces. Sin esta raíz inicial, no se puede realizar la división sintética y determinar cuáles son las otras raíces.

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Por tanto, es importante aplicar un criterio cuyo objetivo es ayudar a ubicar una o más raíces de una función de modo que se pueda usar el teorema del factor y factorizar completamente la función bajo análisis. El Criterio de Raíces Racionales (también llamado el Criterio del Cero Racional) hace exactamente eso. Proporciona una lista de candidatas que pueden ser o no ser las raíces de una función, con base en el coeficiente dominante de esa función y el término constante.

El Criterio de Raíces Racionales dice que un polinomio con coeficiente dominante a y término constante b puede

poseer raíces racionales sólo de la forma p

q± , donde p es un factor de b y q es un factor de a. No puede distinguir

cuáles son realmente raíces; esa tarea recae en usted y en la división sintética. Ejemplo 13: Hallar todas las posibles raíces racionales de

3 2( ) 4 2 13 5g x x x x= − + −

Haga una lista de los factores de la constante y del coeficiente dominante, ignorando los signos de esos términos:

Factores de 5: 1, 5

Factores de 4: 1, 2, 4

La lista de las posibles raíces racionales de g(x) será la lista de todas las combinaciones posibles de los factores de la constante divididos por los factores del coeficiente dominante. (Adicionalmente, cada uno podría ser positivo o negativo, y eso se indica con un signo ±.):

5 5 1 1, , 5, , , 1

4 2 4 2± ± ± ± ± ±

Como hay 6 combinaciones posibles, y cada una de las cuales podría ser positiva o negativa, hay 12 raíces posibles para g(x). Determinación de raíces

Usando el Criterio de Raíces Racionales junto con la Regla de Descartes de los Signos, ahora podemos factorizar (y por tanto hallar las raíces de) un número mucho mayor de polinomios. Ejemplo 14: Halle todas las raíces de los polinomios siguientes:

(a) 3 2( ) 3 2 7 2f x x x x= − − −

De acuerdo con el Criterio de Raíz Racional, éstas son las raíces racionales potenciales:

1 2, , 1, 2

3 3± ± ± ±

Pruebe la división sintética con los candidatos a raíces hasta que encuentre uno con un residuo de 0. En este caso, 2 funciona. (Si le es posible, grafique la función y verifique cualesquiera raíces generadas por el Criterio de Raíz Racional que parecen intersecar el eje x de la gráfica.)

De acuerdo con la Regla de los Signos de Descartes, sólo hay una raíz positiva, así que ella debe ser x = 2. Halle las otras raíces por factorización:

( )( )

( )( )( )

22 3 4 1

2 3 1 1

x x x

x x x

− + +

− + +

Iguale cada factor a 0 y resuelva; las raíces son 1

1, y 23

x = − − .

43

(b) 4 3 2( ) 2 9 21 77 15g x x x x x= + − − +

El Criterio de Raíces Racionales da una lista de las posibles raíces:

1 3 5 15, 1, , , 3, 5, , 15

2 2 2 2± ± ± ± ± ± ± ±

Observe que 3 es una raíz:

Se obtiene la siguiente factorización de g(x):

( ) ( )3 23 2 15 24 5x x x x− + + −

Necesitamos hallar otra raíz racional, pero cuando verificamos ahora, la división sintética se realiza sobre el polinomio cúbico restante y no en el polinomio original de cuarto grado. La única otra raíz racional es _5:

Por tanto, ( ) ( )( )23 5 2 5 1x x x x− + + − . El término cuadrático no puede ser factorizado, así que tenemos que usar la ecuación cuadrática para hallar las dos raíces faltantes. (No pueden hallarse usando división sintética, ni están en la lista del Criterio de la Raíz Racional, porque son irracionales.)

( )( )

( )

25 5 4 2 1 5 332 2 4

x− ± − − − ±

= =

Las cuatro raíces son

5 33 5 335, 3, ,

4 4x

− + − −= −

(c) 4 2( ) 20 64h x x x= + +

Factorice h(x) en la misma forma que lo haría con una cuadrática:

( )( )2 2( ) 4 16h x x x= + +

Iguale cada factor a 0 y resuelva:

2 24 o 16

4 o 16

2 o 4

x x

x x

x i x i

= =

= − = ±

= ± = ±

Todas las cuatro raíces son imaginarias, −4i, −2i, 2i y 4i. Observe que la Regla de Descartes de los Signos advierte que esta función no tendrá raíces reales ni positivas ni negativas, así que todas las 4 raíces deben ser imaginarias.

Técnicas Avanzadas de Graficar

Hay dos métodos adicionales de visualización de gráficas que debe dominar antes de terminar este estudio de funciones polinómicas. El primero lo ayudará a determinar que harán los extremos finales de la gráfica de un polinomio, y el segundo lo asistirá en dibujar funciones racionales, el cociente de dos polinomios. El Criterio del Coeficiente Dominante

Una vez que pueda calcular las intersecciones y raíces de una gráfica, generalmente puede obtener una buena idea de la forma de la gráfica. No podrá construir gráficas más exactas sin colocar punto tras punto hasta que

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entienda conceptos más avanzados del cálculo, pero mientras tanto, el poner atención a la conducta terminal de una gráfica puede ayudar a visualizar cualquier función polinomial.

La conducta terminal de una gráfica es una descripción de la dirección a la que se dirige la gráfica conforme sus valores de x se vuelven infinitamente positivos o infinitamente negativos. En otras palabras, la conducta terminal describe en cuál dirección va la gráfica en los extremos lejanos por la derecha y por la izquierda de los ejes coordenados.

Se puede determinar parte de la conducta terminal con sólo examinar el grado del polinomio:

Las funciones polinómicas de grado par tiene la misma conducta terminal por la derecha y por la izquierda. En otras palabras, los extremos de la gráfica o van hacia arriba o van hacia abajo. (Considérese la gráfica de

2y x= ; ambos extremos de la parábola van hacia arriba.)

Las funciones polinómicas de orden impar tienen conducta terminal opuesta por la derecha y por la izquierda. Por ejemplo, si el extremo derecho de la gráfica va hacia arriba, el extremo izquierdo va hacia abajo. (Considérese la gráfica de 3y x= ; la gráfica va hacia abajo por la izquierda, pero hacia arriba por la derecha.)

El Criterio del Coeficiente Dominante da información adicional sobre la conducta terminal de los polinomios y solamente requiere que se conozca el coeficiente dominante del polinomio en cuestión.

Si el coeficiente dominante de un polinomio con un grado par es positivo, tanto el extremo izquierdo como el derecho irán hacia arriba. Si el coeficiente dominante es negativo, ambos extremos irán hacia abajo.

Si el coeficiente dominante de un polinomio con un grado par es positivo, el extremo izquierdo irá hacia abajo y el extremo derecho irá hacia arriba. Si el coeficiente dominante es negativo, lo contrario es válido.

Ejemplo 15: Describa la conducta terminal de cada polinomio.

(a) 6 5( ) 2 3 4 19f x x x x= − − + −

Como f tiene un grado par y un coeficiente dominante negativo, la gráfica irá hacia abajo por la izquierda y hacia abajo por la derecha.

(b) 2 3( ) 2 7 8 4g x x x x= − − − +

Aunque g no está escrita en el orden exponencial correcto, el coeficiente dominante es positivo (4) y el grado es impar (3), así que g irá hacia abajo por la izquierda y hacia arriba por la derecha.

Hallar asíntotas racionales

Recuerde, una función racional es una función definida como el cociente de dos polinomios. La mayoría de las gráficas de las funciones racionales contienen asíntotas, rectas que representa valores que la función no puede alcanzar. Las asíntotas normalmente se dibujan como rectas punteadas en una gráfica de modo que no se confundan con la misma función. Visualmente hablando, las asíntotas le dan forma a una gráfica porque ésta se dobla para no hacer contacto con las rectas.

Hay tres tipos básicos de asíntotas. La lista siguiente describe cómo hallar cada asíntota para la función racional

genérica ( )

( )( )

n xf x

d x= .

Asíntota vertical: Cualquier valor a para el cual d(a) = 0 pero n(a) ≠ 0, tiene una asíntota vertical correspondiente con ecuación x = a.

Asíntota horizontal: Compare los grados de n(x) y d(x):

Si el grado de n es mayor que el grado de d, entonces f no tiene asíntotas horizontales.

Si el grado de d es mayor que el grado de n, entonces f tiene sólo una asíntota horizontal: y = 0.

45

Si los grados de n y d son iguales, entonces f tiene la asíntota horizontal a

yb

= , donde a es el coeficiente

dominante de n(x) y b es el coeficiente dominante de d(x).

Asíntota oblicua: Una asíntota oblicua (también llamada una asíntota inclinada) es una asíntota lineal que no es ni vertical ni horizontal. La función ( )f x tiene una asíntota oblicua solamente si el grado de n(x) es uno

mayor que el grado de d(x). Para hallar su ecuación, divida n(x) por d(x) para obtener ( ) ( )q x r x+ , donde

q(x) es el cociente y r(x) es el residuo. La asíntota oblicua tendrá la ecuación ( )y q x= . Ejemplo 16: Determine las ecuaciones para todas las asíntotas de la función

3 2

2

14 24( )

9 22

x x xf x

x x

+ − −=

− −

Factorice el numerador y el denominador de ( )f x :

( )( )( )

( ) ( )

4 2 3( )

11 2x x x

f xx x

− + +=

− +

Los valores de x, 11 y −2, hacen 0 el denominador, pero f solamente tendrá la asíntota vertical x = 11, ya que −2 también hace 0 al numerador.

Como el grado del numerador es mayor que el denominador, f no tendrá asíntotas horizontales, pero como es exactamente uno mayor, f tendrá una asíntota oblicua. Para hallarla, realice una división larga sobre f:

2

98 196( ) 10

9 22

xf x x

x x

+= + +

− −

La asíntota oblicua para f tiene la ecuación 10y x= + .

Para graficar una ecuación racional, marque las intersecciones, dibuje las asíntotas y entonces sustituya un número suficiente de valores de x en la función para obtener una buena idea de la forma de la gráfica.

Ejemplo 17: Grafique la función racional 2

2

12( )

9

xg x

x

−=

−.

Factorice el numerador y el denominador de g(x):

( )( )

( ) ( )

4 3( )

3 3x x

g xx x

− +=

− +

La función tiene una x-intersección en 4 y una y-intersección en 43

. Las ecuaciones de las asíntotas son x = 3 y

1y = . (Puesto que el numerador y el denominador tienen el mismo grado, la asíntota horizontal proviene del

cociente de los coeficientes dominantes de la función y ambos son iguales a 1.) Como x = −3 hace 0 al numerador y al denominador, la gráfica tendrá un hueco en ese valor de x, como se ilustra en la Fig. 3-2.

46

Figura 3-2 La gráfica de g(x), la respuesta al Ejemplo 7.

Comprobación del Capitulo

P&R

1. Factorizar completamente las expresiones:

(a) 3 2 4 4x y x z xy x+ − −

(b) 3 364x y−

2. Haga una lista de todas las posibles raíces racionales de 3 2( ) 2 5 11 6h x x x x= + − + .

3. Halle todas las raíces de cada función.

(a) 4 3 2( ) 8 22 41 12f x x x x x= + − − +

(b) 3 2( ) 3 22 36 5g x x x x= − + −

4. Identifique las asíntotas para la gráfica de

2

1( )

3 7 20

xg x

x x

+=

+ −

Respuestas: 1. (a) ( )( )( )2 2xy z x x+ + − (b) ( )( )2 24 4 16x y x xy y− + + 2. 1 3

, 1, , 2, 3, 62 2

± ± ± ± ± ±

3. (a) 1 3

4, , , 12 4

− − (b) 7 37 7 37

5, , 6 6

+ − 4.

5, 4, 0

3x x y= = − =