BAB I PENDAHULUANI.1 Deskripsi Dasar Gejala FisisGejala-gejala fisis secara garis besar dapat diklasifikasi menjadi: gejala deterministic atau non deterministic.Gejala deterministic adalah gejala yang besaran-besaran fisisnya dapat dinyatakan oleh suatu hubungan matematis yang eksplisit.

System massa-pegas sederhana t ; t 0 Amplitude k= konstanta pegas m= massa benda Contoh : benda jatuh bebas, gerak pegas, dan sebagainya.

kX(t)

Kedudukan seimbang

Simpangan pada saat t

Gejala non deterministic adalah gejala-gejala yang besaran-besaran fisisnya tak dapat dinyatakan secara eksplisit oleh suatu hubungan matematis.Contoh : Out put listrik dari generator bising. Data pengamatan gejala non deterministic adalah acak dan harus dinyatakan dalam pernyataan statistic dan rata-rata statistic.A. Klasifikasi Gejala Deterministik

Deterministik

TransientHampir periodikNon periodikPeriodik komplekSinusoidalPeriodik

Periodik Sinusoidal : gejala yang dapat dinyatakan secara matematis oleh fungsi berubah waktu berbentuk

frekuensiSudut phase awalRepresentasi : dalam domain waktu : sejarah waktu

x-xperiode

Representasi dalam domain frekuensi :

xamplitudofrekuensiSpectra diskret atau spectra garis

Periodik Komplek : dinyatakan oleh fungsi matematis berubah waktu yang bentuk gelombangnya tepat berulang kembali pada selang-selang regular.Misal : Dalam Domain Waktu : dapat diuraikan ke dalam deret Fourier

Dengan frekuensi fundamental = Perioda

atau

n= 1, 2 dengan

amplitudofrekuensiDalam domain frekuensi : spectrum periodik komplek

Hampir periodic : dinyatakan oleh fungsi matematis berubah waktu yang berbentuk

Dengan

amplitudofrekuensiSpectrum :

Non periodik transien : adalah gejala-gejala non periodik yang tak termasuk dalam gejala hamper periodik. Karakteristik yang penting : representasi spectral diskret tak mungkin diperoleh. Representasi spectral kontinu dalam hamper semua kasus dapat diperoleh dari intergral Fourier. yang umumnya komplek

argumen

Magnitudo x(f) Contoh-contoh :DefinisiDomain waktuDomain frekuensi

AX(t)tf0

A0X(f)0f

AX(t)0CtCAX(f)0f

B. Klasifikasi gejala random (acak)

Suatu sejarah waktu tunggal yang menyatakan gejala acak dinamakan fungsi sample (cuplikan) atau record sample. Koleksi semua fungsi sample yang mungkin dinamakan proses acak (random) atau proses stekastik. Jadi record sample adalah salah satu realisasi fisis proses acak.

Record-record sample output generator bising termal Proses random stasioner : koleksi fungsi sample, dinamakan ensemble, meyatakan proses acak. Sifat-sifat gejala dapat dinyatakan pada setiap saat dengan menghitung rata-rata pada ensemble.contoh : mean value (momen pertama), korelasi (momen bersamaan) antara harga-harga proses acak pada dua saat yang berlatihan, ytang dinamakan fungsi auto korelasi. x (t1) =rata-rata ensemble

Dan seterusnya Xk (t) .................XN (t) Jika x (t1) dan Rx (t1, ti + )berubah jika t1 berubah, maka proses acak {x(t)} dinamakan nonstasioner. Jika x (t1) dan Rx (t1, ti + ) tak berubah jika t1 berubah maka proses acak {x(t)} dinamakan stasioner secara lemah atau stasioner dalam arti luas. x (t1) = x Rx(t1, ti + )= Rx() Jika semua momen dan momen bersamaan yang mungkin invarian terhadap waktu, proses acak {x(t)} dinamakan stasioner secara kuat atau stasioner dalam arti sempit.Tinjau fungsi sample ke-k proses acak.Harga mean x (k) dan fungsi autokorelasi Rx(,k) fungsi sample ke k

Rata-rata terhadap waktu (k+) dt

Jika proses acak {x(t)} stasioner dan x (k) dan Rx(,k) tidak berbeda jika dihitung dengan fungsi-fungsi sample yang berbeda, maka proses acak dikatakan ergadic. Dalam proses acak ergedic, harga mean dan fungsi autokorelasi dirata-ratakan waktu sama dengan harga dirata-ratakan ensemble. Proses acak tak stasioner semua proses acak yang tak memenuhi persyaratan untuk kestasioneran.Deskripsi dasar sifat-sifat proses acak.Empat tipe utama fungsi statistik dapat dipergunakan untuk menyatakan sifat dasr gejala acak.a. Fungsi rapat kemungkinan;b. Harga kwadrat mean;c. Fungsi autokorelasi;d. Fungsi rapat spektral daya.Nama Sifat

Fungsi rapat kemungkinan Kemungkinan besaran mempunyai harga dalam range tertentu

Harga kwadrat mean Harag rata-rata harga kwadrat sejarah waktu (intensitas)

Fungsi autokorelasi Kebergantungan umum harga besaran pada suatu saat pada saat yang lain

Fungsi rapat spektral daya Komposisi frekwensi umum proses acak dalam rapat spektral harga kwadrat meannya

Note Rx ()

I.2. A.Transformasi FourierTransformasi Fourier merupakan alat yang sangat ampuh dalam analisa sistem linier.Tinjau dua fungsi h(x) dalam domain ruang spatial dan waktu dan H (s) dalam domain frekwensi spatial atau frekwensi temporal yang didefinisikan sebagai :h(x) = Wave form (bentuk gelombang)H(s) = spektrumMaka fungsi h(x) dan H(s) dikatakan Transformasi Fourier satu sama lain atau membentuk Pasangan Fourier dan diberi symbol h(x) H(s)Beberapa teorema dasar ialah :Pasangan Transformasi FourierPasangan Dasarh(x) H(s)

Argumen negatifh(-x) H(-s)

Konyugasi komplekh * (x) H * (-s)

Konyugasi komplek dan Argumen negatifh * (-x) H * (s)

Penskalaan dengan kostanta positifh( x/a ) a H( as )

Perkalian dengan konstantach(x) cH(s)

superposisih1(x) + h2(x) H1(s) + H2(s)

Pergeseran dalam xh ( x- x1 ) H( s )

Pergeseran dalam sh( x ) H ( s- s1 )

Konvolusi dalam x1 ( x1) h2 ( x- x1 )dx1H1 ( s ) H2 (s )

Konvolusi dalam ch1 ( x ) h2 ( x ) 1 ( s1) H2 ( s - s1 ) ds1

Autokorelasi dalam x1 ( x1) h * ( x1- x )dx1 H(s ) H* (s )

Autokorelasi dalam sh(x) h * ( x ) ( s1) H* ( s1 - s ) ds1

Sifat sifat simitri Transformasi Fourierh(x)H(s)GENAPGENAP

Riil dan genapRiil dan genap

Komplek dan genap Komplek dan genap

GANJILGANJIL

Riil dan ganjilImaginer dan ganjil

Komplek dan ganjilKomplek dan ganjil

Riil genap dan imagine ganjilRiil

Riil ganjil dan imaginer genapImaginer

Imaginer dan genapImaginer dan genap

RiilHermite

ImaginerAnti hermite

Korelasi silang dalam x1 ( x1) h2 * ( x - x1 )dx1 H1(s) H2* (s )Korelasi silang dalam s h1(x) h2 * ( x )1 ( s1) H2* (s s1) ds1Diferensiasi dalam x h1 ( x ) js H(s)Diferensiasi dalam s -jx h(x) H1 ( s )Note : Notasi Integral Konvolusih(x) = 1 ( x1) h2 ( x- x1 ) = h1 (x) / h2 (x)Laplacean -4Teorema Rayleigh2 dx = 2 dsUntuk fungsi variabel spatial x , Transformasi Fourier dengan mudah dapat diperluas pada fungsi dua atau iga variabel. Jika fungsi f (x,y) fungsi kontinu dan dapat diintegal, dan F(U,v) dapat diintegral, ada transformasi Fourier dua dimensi F(U,v) = f = danf(x,y) = f1 = dengan u dan v variable frekwensi spatialI.2. B.Transformasi LaplaceTransformasi lain yang sangat ampuh dalam analisa sistem linier adalah transformasi Laplace.Transformasi Laplace dapa dipandang sebagai perluasan transformasi Fourier ke domain komplek. Transformasi Laplace fungsi h(x) dalam domain ruang spatial atau waktu kedalam domain Laplace didefinisikan sebagai F(s) = = dan invers transformasi Laplace adalah sebagai berikut: F(x) = = Dengan s menyatakan variabel Laplace yang merupakan variabel komplek s= sehingga s sering dinamakan frekwensi komplek dan domain Laplace dinamakan domain frekwensi komplek.Seperti halnya transformasi Fourier, transformasi Laplace mempunyai sifat istimewa yaitu :Sifat linier : Sifat diferensiasi: Sifat integrasi: Sifat pergeseran: Sifat translasi: Sifat korelasi: f(x)

F(s)

Impuls satuan(x)

1

Tangga satuan0; x 0

u(x) ; x = 0

1 ; x 0

SinusSin x

/ (s2 + 2)

Cosinus

Cos xs / (s2 + 2)

Eksponensiale-ax1 / (s + a)

Pangkattn / n11 / (sn+1)

Beberapa pasangan transfomasi LaplaceI.2. C.Transformasi HilbertSuatu fungsi f(x) dinamakan causal (kausatif, sebab akibat) jika memenuhi sifat f(x) = 0 untuk x < 0. Untuk fungsi domain ini, baik riil maupun komplek, bagian riil dan imaginer transformasi Fouriernya berhubungan yaitu jikaf(x) = 0 untuk x < 0 dan F(s) = R(s) + j Im(s) = Maka R(s) = dan Im(s) = dan pasangan diatas dinamakan pasangan transformasi Hilbert. Bentuk lain : jika f(x) fungsionil dengan Transformasi Fourier F(s) dan z(x) = f(x) + j (x) = maka (x) = BAB II. Teori Sistem LinearII.1Sifat-sifat sistem linearTeori sistem linier biasanya dipergunakan untuk menyertakan sifat-sifat rangkaian listrikdan sistem optis. Yang dimaksud dengan sistem adalah sesuatu yang menerima suatu input dan menghasislkan suatu output.Dalam teori kita hanya tertarik pada hubungan antara input dan output, kita tak tertarik pada apa yang terdapat dalam sistem. Input dan output dapat berupa sinyal satu dimensi, dua dimensi atau dimensi yang lebih tinggi.Contoh satu dimensi: derert waktu; dua dimensi : deret dua variabel spatial.

Sistem LinearX(t) Y(t)Sistem LinearInputOutput1 dimensi

Sistem Linear2 dimensiF(x,y) g(x,y)Dalam kedua hal: input kedalam sistem menghasilkan suatu tanggapan (response) yaitu fungsi lain dengan variabel yang sama seperti dalam input.Kelinearan: Misalkan suatu sistem : untuk suatu input x1(t) menghasilkan output y1(t), yaitu x1(t) y1(t) dan input kedua x2(t) memberikan output y2(t); yaitu x2(t) y2(t) maka sistem dikatakan linear jika dan haya jika mempunyai sifat x1(t)+x2(t) y2(t)+y2(t) yaitu untuk input ketiga, yng merupakan jumlah kedua input yang pertama, menghasilkan output yang jumlah kedua output sinyal orisinil. Sebarang sistem yang tak memenuhi constrain diatas dikatakan tak linear. Dari definisi diatas juga dapat diambil kesimpulan : jika suatu sinyal input dikalikan dengan bilangan rational, maka output bertambah atau berkurang sebesar faktor yang sama, yaitu ax1(t) ay1(t).

Sistem linearHubungan juga berlaku untuk a.bilangan tak rational. Definisi umum kelinearanAx1(t)+bx2(t) ay1(t)+by2(t)Jika kita mempergunakan teori sistem linear untuk menganalisa suatu proses maka perlu disyaratkan proses yang dibuat modelnya adalah linear. Seringkali sistem yang dikenal sedikit tak linear dan dipelajari dengan teori sistem linear agar pendekatan matematikanya dapat dianalisa dengan mudah.Keinvarianan terhadap pergeseranTinjau suatu sistem linear yaitu x(t) y(t).Misalkan sinyal input kita geser dalam ruang waktu sebesar T1 maka sistem linear dikatakan invarian terahadap pergeseran jika outputnya juga tergeser dalam ruang waktu dengan besr pergeseran waktu T yang sama sedangkan besar sinyal output tak berubah.

X(t-T)y(t-T)

sistemSistem linearX(t) y(t) .. x(t-T) y(t-T)

Invarian terhadap pergeseranJadi: pergeseran input hanya menggeser output dengan besar pergeseran yang sama sedangkan sifat output tak berubah oleh pergeseran waktu.

II.2Fungsi-fungsi yang berguna dalam analisa sistem linear Pulsa segi empat (Retangular) :A x(x)= Pulsa segi tiga

(x)=B 0 Fungsi Gaussian

F(x)

x

Distribusi normal (gaussian) x0 mean ; deviasi standard, variance Fungsi impuls (Dirac) x) :Dapat dimodelkan sebagai :

Ax-x0)

x0 x2Sifat-sifat: bilangan sebarang kecil seringkali tal terdefinisikan d x=0

Fungsi tangga : 1

u(x) = u(x-x0)

0x0Sifat : =Transformasi fourier beberapa fungsi umumFungsiF(t)F(s)

Gaussian

Pulsa recctanguler

Pulsa segitiga

Implus

Tangga satuan

Kosinus

Sinus

Eksponensial komplek

Fungsi sinc

-f+fs

fs f

Analisa system linear dalam domain temporal atau spatialA. Tanggapan impuls: tanggapan (response) impuls adalah output system sebagai tanggapan terhadap impuls di dalam input pada saat t=0 . y(t)=g(t)= karena system bertanggung jawab terbentuknya output y() dari input x (t) maka dapat kita postulatkan adanya suatu fungsi f yang menyatakan tranformasi dari output ke imput. Fungsi harus diferensi baik dalam koordinat input (t) maupun output (), dan sinyal input x. jadi secara matematis hubungan sinyal input dengan sinyal output disimpulkan dalam persamaan .

Karena system linear maka harus dipenuhi : f(t,,x(t))= f(t,) x(t) dinyatakan dlam ekspresi fungsional linear (integral superposisi) hubungan umum antara x(t) dengan y(t) adalah

Jika system selain linear juga invarian terhadap pergseran titik asal waktu

Atau

Maka untuk sembarang TJadi f(t,) konstan selama perpedaan antara t dan T konstan. Maka dapat kita defenisikan fungsi baru yang hanya bergantung pada perbedaan tersebut.

Dan persamaan untuk hubungan input dan output system linear

Yang merupakan persamaan integral konvolusi.Jadi : output suatu system linear invariant terhadap pergeseran diberikan oleh konvolusi sinyal input dengan fungsi g(t) yang mengkarakterisasi system . fungsi karakteristik ini dinamakan tanggapan implus system.(Jika )B. konvolusi : konvolusi adalah komulatif : f * g = g * f

Perubahan pariabel x=t - , =t - x dan dx =-dt maka

Konvolusi distribusi terhadap pertambahan

Konvolusi assosiatif

Di bawah diferensiasi :

Arti geometri x()g(t-)

g() direfleksi dan digesert0Fungsi input

x()g(t - )g()

Superimpos fungsi0tFungsi pengkonvolusi

g(0 - )

Produk fungsi-fungsit0direfleksig()

luas gambar dibawah integral

Contoh :g()Input impuls

Tanggapan impulsg(f)

System lineartt0 2 4 6 8 input

0g(t)g()

0 2 4 6-6 -4 -2 0 2 4 6 8 Sinyal inputkonvolusi pada t=0

Argumen Luas dibawah integral 2 8 0 2Konvolusi pada t = 2

Argumen

Luas dibawah integral 6060

g( (8d (8- 2 4 6 8 konvolusi pada t=8 luas dibawah integrand

300y = [ (f)

200

100

0 2 4 6 8 10

Sinyal yang betul-betul impuls tidak dapat dibentuk secara fisis tetapi pulsa dengan lebar pulsa yang sangat sempit membentuk pendekatan yang baik jika lebar pulsa kurang dari konstanta waktu system. output dari sistem adalah sinyal yang menyebar karenakarakteristik sistem yang terbatas dan band pass. (maka itu seringkali fungsi tanggapan impuls juga dinamakan point_________spread_function= fungsi penyebar titik untuk sistem optimis linear).sembarang sinyal input dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear fungsi delta (Dirac) yang diberi bobot

x(t) = Sehingga output dari sistem linear harus kombinasi linear yang sama tanggapan impuls yang diperlambat (delayed)y ( t ) = C.Analisa sinyal-sinyal harmonic dan komplek.Dalam penerapan, biasanya sinyal dinyatakan oleh fungsi-fungsi satu atau dua variable yang berharga riil. Pengembangan sifat-sifat system linear mudah dilakukan jika kita memperbolehkan input dan output berupa fungsi-fungsi berharga komplek. Karena fungsi berharga riil dapat dipandang sebagai kaus istimewa fungsi berharga komplek, maka kita tidak akan kehilangan apa-apa dalam generalisasi ini.Sinyal-sinyal harmonik : mempunyai bentuk ( t ) = = cos t + j sint ; j = , = 2fK() ( t )f= frekwensi ( t ) = Misal, tanggapan impuls sestem linar invariant terhadap pergeseran dinyatakan dalam K() sehingga tanggapan system ( t ) = K() DenganK() = adalah komplek dan t.Misalkan ada sinyal input kedua denga dibentuk dengan menggeser waktu ( t ). ( t ) = ( t T) = = ( t ) Maka tanggapan sistem pada ( t ) ( t ) = K(- T) = K(- T) ( t )Jika ( t ) ( t ) makaDari sifat : ( t ) = a ( t ) ( t ) = a ( t )Maka ( t ) = ( t ) ( t ) = ( t ) = K() = K() ( t )Dari perbandingan kedua pernyataan untuk ( t ) kita perolehK(- T) ( t ) = K() ( t )AtauK(- T) = K() untuk sembarang pergeseran T.Pernyataan diatas hanya benar jika K() bebas t.Jadi y ( t ) = K() Tanggapan sisten linear invariant terhadap pergeseran terhadap input harmonic adalah input dikalikan dengan konstanta komplek yang gantung frekwnsi.Input harmonic selalu menghasilkan output harmonic dengan frekwensi yang sama. Fungsi K () dinamakan fungsi transfer system linear dan fungsi ini cukup untuk mengspesifikasi system secara komplit.Untuk sistem linear invariant pergeseran, fungsi transfer mengandung semua informasi yang ada mengenai sistem.Fungsi komplek K () dapat dinyatakan sebagai K () = A () dengan A () frekwensi berharga riil yang dinamakan faktor gain multiplikatif, dan () sudut penggeser phasa.Missal : input berupa fungsi kosinus, yang dapat diambil dengan bagian riil sinyal harmonik : x( t ) = cos t = Re Maka tanggapan sistem pada input harmonik : K () = A () = A ()Sehingga sinyal output sesungguhnya :y ( t ) = Re A () = Re A () cos + j sin = A () cos Ichtisar : untuk sistem linear invariant pergeseran :a. Input harmonik selalu menghasilkan output harmonik pada frekwensi sama.b. Sistem secara komplit dispesifikasikan oleh fungsi transfernya, suatu fungsi frekwensi saja yang berharga komplek.c. Fungsi transfer menghasilkan hanya dua efek pada infut harmonik, perubaha amplitudo dan pergeseran phasa (pergeseran titik asal waktu).d. Faktor gain multiplikatif A() menyatakan derajat sistem memperbesar (memperkuat) atau memperkecil (mengatenuasi) sinyal input. Sudut pergeseran phasa () hanya menggeser titik asal waktu fungsi input harmonik.

D. Penerapan Pengfilteran:Pengfilteran linear berguna dalam tiga kelas pengolahan sinyal. Deconvolution : menghilangakan efek-efek yang sebelumnya dilakukan oleh sistem linear yang dioperasi pada sinyal diluar kontrol pemakai.Contoh: menghilangkan efek aberasi lensa/ cacat-cacat lensa pada bayangan yang terbentuk.

sistem bayangan yang bagus Objek bayangan kabur

Penghilangan bising : mengurangi efek sinyal pengkontaminasi yang tak diinginkan yang ditambahkan pada sinyal secara linear.a. mengestimasi sinyal sebelum noise ditambahkanb. mendeteksi adanya sifat-sifat tertentu yang terbenam dalam latar belakang yang bisingc. penghilangan bising koheren (periodik) Perbaikan (enhancement) feature (hal-hal yang penting) menambah kontras feature spesifik (tepi, spot, citra) dengan mengurangi obyek-obyek lain dalam suatu citra pemandangan.II-4. Analisis sistem linear dalam domain frekuensi.A. Fungsi transfer :Dalam domain = waktu t g(t)f(t) h(t)f(t); sinyal inputg(t); tanggapan impulsh(t) = f(t) g(t t) dth(t); sinyal output

Dalam domain frekuensi

G()f() h()f(); spektrum sinyal inputG(); fungsi transferh();spektrum sinyal outputTeorema konvolusi : H() = F() G()Pada umumnya : taransformasi Fourier sinyal adalah spektrumnya dan inversi transformasi Fourier spektrum adalah sinyalTanggapan impuls fungsi transfer(pasangan transformasi Fourier)Dari : H() = F() G() dapat ditulis ; F() 0Maka itu g(t) = Jika input f(t) diketahui dan h(t) dapat diukur maka g(t) dapat dihitung secara integrasi numeris.

f(t) F( t -1 +1-3 +

h(t)H(

t -3 +

Contoh : f(t) = t) dan h(t) = (t), maka g(t) =

g(t) G( =(t)

eorema Pertambahanf(t) F()maka f(t) + g(t) F() + G()g(t) G()

f(t) F()

t g(t) G()

t

F() + G()f(t) + g(t)

t B. Korelasi dan spektrum day Integral konvolusi h(t) = f(t) * g(t) = = Jika salah satu fungsi tak direfleksikan kita peroleh Fungsi autokorelasi Rf(t) = f(t) * f(-t) = Fungsi korelasi silang Rfg(t) = f(t) * g(-t) =