Distribusi Probabilitas Uniform

f y b ajika a y b( )

1

0

a b

2 2

2

12

( )b a

Distribusi Probabilitas Normal

f y e y( ) ( ) /( ) 1

2

2 22

, - < y <

Teorema :Jika y adalah variabel random normal dengan rata-rata dan variansi 2, maka

adalah variabel random normal dengan rata-rata 0 dan variansi 1. Variabel random z tersebut disebut variabel normal standard.

σ

μyz

Metode untuk menguji NormalitasPenentuan apakah data merupakan pendekatan

distribusi normal

1. Buatlah salah satu histogram frekuensi relatif atau tampilan stem and leaf data. Jika data mendekati normal, maka bentuk dari grafik akan sesuai dengan kurva normal.

2. Dapatkan kisaran interquartile, IQR dan deviasi standard, s, untuk sampel tersebut, kemudian hitung rasio IQR/s. Jika data mendekati normal, maka IQR/s 1.3

3. Dibuat plot probabilitas normal dari data. Jika data mendekati normal, titik-titiknya akan jatuh mendekati garis lurus.

Membuat Plot Probabilitas Normal dari sekumpulan data

1. Catat pengamatan kumpulan data sampel dengan urutan naik, dimana xi adalah nilai urutan ke-i.

2. Untuk masing-masing pengamatan, hitung daerah akhir dari distribusi normal standard (z),

25

375

.

.

n

i

n adalah ukuran sampel.

Membuat Plot Probabilitas Normal dari sekumpulan data

Hitung nilai estimasi yang diharapkan dari xi

dibawah normal menggunakan persamaan berikut :

s adalah deviasi standard sampel dan Z(A) adalah nilai z yang dipotong pada daerah A pada bagian akhir yang lebih rendah dari distribusi normal standard.

E x s Z Ai

Membuat Plot Probabilitas Normal dari sekumpulan data

Plot hasil pengamatan xi sesuai dengan urutan di atas pada sumbu vertikal dan nilai estimasi yang diharapkan, E(xi), pada sumbu horisontal.

Z(A) 0

A

CONTOH :• Deptan telah membuat paten suatu proses yang

menggunakan suatu bakteri untuk menghilangkan rasa pahit jus jeruk. Secara teori, hampir semua rasa pahit dapat dihilangkan dengan proses tsb, tetapi utk tujuan praktis Deptan menginginkan penghilangan 50% rasa pahit tsb. Jubir deptan mengklaim bahwa persentase rasa pahit yang dihilangkan dari 8 gelas jus jeruk segar terdistribusi normal dengan mean 50,1 dan standar deviasi 10,4. Untuk menguji klaim ini, proses penghilangan rasa pahit diaplikasikan secara random pada 8 gelas jus jeruk.

• Berapakah probabilitas bahwa proses tsb menghilangkan kurang dari 33,7% rasa pahit ?

Penyelesaian :• y = 33,7 = 50,1 = 10,4

• z = - 1,58• P (y 33,7) = P (z - 1,58) = 0,5 – 0,4429 • P = 0,0571

σ

μyz

Distribusi Probabilitas Type Gamma

Fungsi Densitas Probabilitas variabel random type gamma adalah :

• Rata-rata dan variansi dari variabel random tipe gamma, adalah,

• = 2 = 2

f yy e

jika yy

( ) ( ); ;

/

1

0 0 0

0

0

1 dyey y )(

Distribusi Probabilitas Chi-Kuadrat

• Variabel Random Chi-Kuadrat (2) adalah variabel random type gamma dengan :

• = /2 dan = 2

f c e( ) ( ) ( )( / ) / 2 2 2 1 2 22

0

c 1

2 22

/

Distribusi Probabilitas Chi-Kuadrat

• Rata-rata dan variansi dari variabel random chi-kuadrat adalah,

• = 2 = 2• Parameter disebut jumlah derajat

kebebasan dari distribusi chi-kuadrat

Distribusi Probabilitas Eksponensial

• Distribusi Eksponensial adalah fungsi densitas gamma dengan = 1

f ye

yy

( ) ( )/

0

dengan rata-rata dan variansi = 2 = 2

Distribusi Probabilitas Weibull

f yy e jika yy

( ); ;/

1 0 0 0

0

1 1/

12 222 /

Distribusi Probabilitas Type Beta

• Fungsi densitas probabilitas dari variabel random type beta adalah :

f y

y y

Bjika y( ) ,

; ;

1 11

0 1 0 0

0

, ( )

y y dy1

0

1 1

1

2

21

a y e dya y

1

0

() = ( - 1)! Jika adalah bilangan bulat positif

• Rumus standar deviasi• Biar makin jelas mari kita berikan contoh kasus secara langsung saja..• Misalkan data hasil pengamatan dari 10 kali pengambilan data adalah

sebagai berikut.• 5; 3; 4; 5; 6; 4; 5; 3; 4; 5• dari rumus tersebut diatas lambang x bar merupakan rata-rata hasil

pengukuran.• Sehingga dari rata rata pengukuran dapat kita hitung yaitu :• rata-rata = (5+3+4+5+6+4+5+3+4+5)/10 = 4.4• Kemudian data yang didapatkan dari pengurangan hasil pengukuran

terhadap rata rata tersebut adalah berturut-turut :• 0.6; -1.4; -0.4; 0.6; 1.6; -0.4; 0.6; -1.4; -0.4; 0.6• Dan kuadrat dari data tersebut diatas adalah :• 0.36; 1.96; 0.16; 0.36; 2.56; 0.16; 0.36; 1.96; 0.16; 0.36• Jika dijumlahkan mendapatkan nilai sebesar = 8.4, hasil ini dibagi dengan

9 dimana angkan 9 ini didapatkan dari “hasil pengamatan – 1″ (10 – 1 = 9)

• Sehingga standar deviasi (s) = 0.966092

Fitur penting distribusi student’s t

• Penggunaan statistik t mengasumsikan bahwa distribusi induk Gaussian

• Tingkat dimana distribusi t mendekati distribusi gaussian tergantung pada N (derajat kebebasan)

• Sebagai N semakin besar (di atas 30 atau lebih), perbedaan antara t dan z menjadi diabaikan

ExerciseExercise

The mean age of the 20 participants in one workshop is 27 years, with a standard deviation of 4 years. Next door, another workshop has 16 participants with a mean age of 29 years and standard deviation of 6 years.

Is the second workshop attracting older technologists?

SolutionSolutionFirst, calculate the t statistic for the two

means:

19.1

16

4

20

6

)2729(

)()(

22

2

22

1

21

21

2

2

1

1

21

N

s

N

s

xx

N

s

N

s

xxt

19.1

16

4

20

6

)2729(

)()(

22

2

22

1

21

21

2

2

1

1

21

N

s

N

s

xx

N

s

N

s

xxt

Solution, cont.Solution, cont.

Next, determine the degrees of freedom:

N N Ndf

1 2 2

16 20 2

34

Statistical TablesStatistical Tables

df t0.050 t0.025 t0.010

- - - -

34 1.645 1.960 2.326

- - - -

ConclusionConclusion

Karena 1,16 kurang dari 1,64 (nilai t sesuai dengan batas kepercayaan 90%), perbedaan antara usia rata-rata untuk peserta dalam dua workshop tidak signifikan