Kesikli Şans Değişkenleri İçin;

• Olasılık Dağılımları

• Beklenen Değer ve Varyans

• Olasılık Hesaplamaları

1

Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Şans Değişkenleri

Kesikli Şans Değişkenleri Sürekli Şans Değişkenleri

2

Kesikli Şans Değişkeni Örnekleri

Deney ŞansDeğişkeni

MümkünDeğerler

100 Satış yapmak Satış sayısı 0, 1, 2, ..., 100

70 radyoyu muayene etmek Kusurlu sayısı 0, 1, 2, ..., 70

33 soruya cevap vermek Doğru sayısı 0, 1, 2, ..., 33

11:00 ile 13:00 arasında

gişedeki araba sayısı

Gelen araba

sayısı0, 1, 2, ...,

3

Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık FonksiyonlarıX, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı

Pr{X=x}şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için 1. P(x) 0 , tüm x değerleri için

2.

şartlarını sağlaması gerekir.

Tümx

xP 1)(

4

Örnek: Hilesiz bir zarın atıldığında x şans değişkeni üst yüze gelen sayıyı ifade etmek üzere bu x şans değişkeninin olasılık fonksiyonunu elde ediniz.

S = { x / 1,2,3,4,5,6 } P ( X = xi ) = 1 / 6

X 1 2 3 4 5 6

P ( X = xi )

1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6

dd

x

x

x

x

x

x

xXP

.0

661

561

461

361

261

161

)(

İki farklı şekilde ifade edilen x şans değişkeninin dağılımına bakıldığında P(Xi) ≥ 0 ve tüm x değerleri için ∑P(X=x)= 1 şartları sağlandığı görülmekte ve P(X=x) ‘in bir olasılık fonksiyonu olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır.

5

Beklenen Değer

Bir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans değişkeninin beklenen değeridir.

X şans değişkeninin beklenen değeri; E (x)ile gösterilir.

• Bir şans değişkenin beklenen değeri o şans değişkeninin ortalamasına eşittir.

• E (x) = µ 6

Beklenen Değer Kullanarak

Varyansın Elde Edilmesi

22 )]([)()( xExExVar

222 )]([)( xExE

E(x2) : x şans değişkeninin karesinin beklenen değeri

2)()( xExVar7

Kesikli Şans Değişkenleri İçin Beklenen Değer ve Varyans

Tümx

ii xPxxE )()(

22 )]([)()( xExExVar 2

2 )()()(

xtümii

xtümii xPxxPxxVar

Tümx

iixPxxE )()( 22

8

Kesikli şans değişkeninin beklenen değer ve varyansı ile ilgili bir örnek

Kesikli şans değişkeninin beklenen değer ve varyansı ile ilgili bir örnek

1 1 2 2( ) ... n nE x x P x P x P • Beklenen değer:• Beklenen değer:

1

( )n

i ii

E x x P

X= x f(x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

5 1/6

1

X= x f(x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

5 1/6

1

( ) 1.1/ 6 2.1/ 6 ... 6.1/ 6 3.50E x

• Bir zar atılıyor. Anlaşmaya göre Ali babasından her atışta kaç gelirse o kadar TL para alacaktır. Atış başına Ali nin beklediği parayı bulunuz.

• Bir zar atılıyor. Anlaşmaya göre Ali babasından her atışta kaç gelirse o kadar TL para alacaktır. Atış başına Ali nin beklediği parayı bulunuz.

Ali’nin atış başına ortalama kazancı Ali’nin atış başına ortalama kazancı 9

• Varyans:• Varyans:2

2 2

( ) [ ( )]

( ) ( ) [ ( )]

V X E X E X

V X E X E X

Örnek: Bir kitaptaki bir sayfadaki yanlış sayısı ile ilgili X’in olasılık fonksiyonu şöyledir:

Örnek: Bir kitaptaki bir sayfadaki yanlış sayısı ile ilgili X’in olasılık fonksiyonu şöyledir:

• P(x=0)=0.81 hiç yanlış olmaması

• P(x=1)=0.17 bir yanlış olması

• P(x=2)=0.02 iki yanlış olması

• P(x=0)=0.81 hiç yanlış olmaması

• P(x=1)=0.17 bir yanlış olması

• P(x=2)=0.02 iki yanlış olması

Sayfa başına ortalama yanlış sayısını bulunuz.

Sayfa başına ortalama yanlış sayısını bulunuz.

( ) . 0.(0.81) 1.(0.17) 2.(0.02) 0.21i iE x x P Sayfa başı ortalama 0.21 yanlış bulunur.Sayfa başı ortalama 0.21 yanlış bulunur.

10

• Varyansını bulunuz.• Varyansını bulunuz.

2 2 2 2 2( ) . 0 (0.81) 1 .(0.17) 2 .(0.02) 0.25i iE X x P 2 2 2( ) ( ) [ ( )] 0.25 [0.21] 0.2059V X E X E X

( ) 0.2059 0.45x V X

Sayfa başına yanlış sayısının varyansıSayfa başına yanlış sayısının varyansı

11

Örnek: Bir otomobil bayisinin günlük araba satışlarının dağılımının aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir.

Bu dağılışa göre bayinin;

a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz

P(X = 6) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) = 0,15

b) Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız.

E(X) = = (0)(0,02)+(1)(0,08)+(2)(0,15)+….+(8)(0,01) =3,72

Bayinin 100 günde 372 araba satışı yapması beklenir.

c) Satışların varyansını bulunuz.

E(X2) = =(02)(0,02)+(12)(0,08)+… ….+ (82)(0,01) = 16,68

Var(X)= E(X2) - [E(X)] 2 = 16,68 - (3,72)2 = 2,84

)( ixxP

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(X) 0,02 0,08 0,15 0,19 0,24 0,17 0,10 0,04 0,01

)(2

ixPx

12

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI

• Kesikli Üniform Dağılımı

• Bernoulli Dağılımı

• Binom Dağılımı

• Negatif Binom Dağılımı

• Geometrik Dağılım

• Hipergeometrik Dağılım

• Poisson Dağılımı13

Kesikli Üniform Dağılımı• Kesikli bir şans değişkeni tanımlı olduğu tüm noktalarda eşit olasılık değerine sahip ise bir başka ifadeyle tanımlı olduğu değerlerin hepsinde olasılık fonksiyonun aldığı değer sabit ise bu kesikli şans değişkeni üniform dağılımına uygundur.

• Üniform dağılımı gösteren bir şans değişkeni k farklı noktada tanımlı ise olasılık dağılımı;

şeklinde ifade edilir.

d.d0

k....,3,2,1xk

1)xX(P

14

Kesikli Üniform Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

2

1

2

)1(11)()(

11

kkk

kx

kxPxxE

k

xi

k

xii

12

)1)(1()(

kkxVar

• =• =

22 xExE)x(Var 2

n

1x

2

2

1k

k

1x

4

)1k(

6

)1k2)(1k(k

k

1 2

15

Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında X şans değişkeni ortaya çıkabilecek farklı durum sayısını ifade ettiğine göre X’in olasılık dağılımını oluşturarak beklenen değerini ve varyansını bulunuz.

S = { x / 1,2,3,4,5,6 }

Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar x şans değişkeninin dağılımı k = 6 olan kesikli üniform dağılımına uygundur.

12

35

12

)16)(16()(

xVar5,3

2

16)(

xE

dd

xxXP

.0

6,5,4,3,2,16

1)(

16

17

Bernoulli Dağılımı

• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için

ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının

sağlanması gereklidir.

Bernoulli Deneyinin Varsayımları:

1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip

olmalıdır.

2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemektedir (Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)

4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.18

Örnekler:• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması, • Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi, • Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi,

• Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan

biri tanesi başarı durumu, diğeri ise

başarısızlık olarak ifade edilir. Bernoulli şans

değişkeninin dağılımı ifade edilirken deneyin

sadece 1 kez tekrarlanması gereklidir. 19

Bernoulli dağılışında X şans değişkeni başarı

durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini

alır.

• S = { x / 0,1 }

Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;

= E ( x ) = p 2= Var ( x ) = p (1-p) = pq

dd

xppxXP

xx

.0

1,0)1()(

1

20

Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.

x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)

S = { x / 0,1 }

P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52

dd

xxXP

xx

.0

1,052

48

52

4)(

1

21

Binom Dağılımı• Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir

araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli

deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.

• Binom şans değişkeni X, n adet denemedeki başarı

sayısını ifade etmektedir.

• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı

gözlenebileceğinden

S = { x / 0,1,2,……,n }olur.

22

Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde Edilmesi

Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden

bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu

olarak ifade edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa

tekrarlandığı durumda toplam x adet başarı olmasının

olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile

n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını

içermelidir.

0,11 xq.pP(x) xx

23

Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya çıktığı için ;

xnCx

n

dd

nxp..px

n

xXPxnx

.0

,....,2,1,0)1()(

olarak elde edilir.24

Örnekler:

• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen 2’sinin hatalı olması ,

• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi,

• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1 kez çift gelmesi,

25

Binom Dağılımının Karakteristikleri

Aritmetik Ortalama

Varyans

E X np

( )

npqpnp )1(

26

Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,

a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,

b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız.

p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5

a)P ( X = 1 ) = ?

b)P ( X ≥ 4 ) = ?

P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )

23,0)94,0()06,0(1

5)1( 41

..XP

0514 )94,0()06,0(5

5)94,0()06,0(

4

5....

27

Örnek: Metal hilesiz bir para 10 kez fırlatılıyor (n=10 p=q=1/2=0.5)

a)bir kez yazı gelmesi olasılığı

Örnek: Metal hilesiz bir para 10 kez fırlatılıyor (n=10 p=q=1/2=0.5)

a)bir kez yazı gelmesi olasılığı

1 9 10 1010 10! 10.9!1 . 0,5 . 0,5 (0.5) (0.5)

1 1!9! 9!p x

b) hiç yazı gelmemesi olasılığıb) hiç yazı gelmemesi olasılığı

0 10 10100 . 0,5 . 0,5 0,5

0p x

c) en az 2 kez yazı gelmesi olasılığıc) en az 2 kez yazı gelmesi olasılığı

10...22 xpxpxp

28

1 9 0 10

10 10 10 10

1 2

1 1

1 1 0

10 101 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5

1 0

1 10.(0.5) (0.5) 1 (0.5) (10 1) 1 11(0.5)

p x

p x

p x p x

29

Negatif Binom (Pascal)Dağılımı

• Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom

dağılımı içinde geçerlidir.

• Binom dağılımında n denemede x adet başarı olasılığı

ile ilgilenilirken, negatif binom dağılımında ise şans

değişkeni (X), k ncı başarıyı elde edinceye kadar yapılan

deney sayısına karşılık gelir.• Örnekler: Bir parayı 5 kez tura gelinceye kadar attığımızda 5 nci turayı elde ettiğimiz deneme sayısı, Bir basketbolcunun 3 sayılık atışlarda 10 ncu isabeti sağlaması için gerekli olan atış sayısı. 30

• x : deney sayısı k : başarı sayısı• p : başarı olasılığı S = { x / k, k+1, k+2, k+3… }

1 2 3 ………………. x-1 x

1 2 3 ...……………. k-1 k

dd

kkkxppk

x

xXPkxk

.0

,.....2,1,11

1

)(

Binom dağılımını kullanarak x-1 denemede k-1 adet başarı

olasılığı hesaplanır ve x nci denemedeki k ncı başarıyı

elde etme olasılığı p ile bağımsız olaylar olduğundan

çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu elde edilir.

31

Negatif Binom Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

p

kxE )(

2

)1()(

p

pkxVar

32

Örnek: Bir kişinin hilesiz bir zarı 10 kez atması sonucunda, 10 ncu atışında 5 nci kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız.

p = 1 / 6 1- p = 5 / 6 x = 10 (deney sayısı) k = 5 (başarı sayısı)

5 510 1 1 5( 10; 5) ( ) ( )

5 1 6 6P X k . .

• Zarın kaçıncı kez atılması sonucu 5 nci kez 6 gelmesini beklersiniz?

3061

5)( p

kxE

dd

kkkxppk

x

xXPkxk

.0

,.....2,1,11

1

)(

33

Geometrik Dağılım• Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometrik dağılım içinde geçerlidir. • Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur.• k = 1 olduğunda negatif binom dağılımı geometrik dağılımı olarak ifade edilir.

• Geometrik dağılım gösteren şans değişkeni X, ilk

başarıyı elde edinceye kadar yapılan deney sayısını

ifade eder. Örnekler:• Bir parayı tura gelinceye kadar attığımızda tura gelmesi için yapılan atış sayısı,

• Bir işletmenin deposundan ilk hatalı ürünü bulana kadar alınan örnek sayısı.

34

• x: deney sayısı p: başarı olasılığı

• S = { x / 1, 2, 3, 4….. }

dd

kkkxppk

x

xXPkxk

.0

,.....2,1,11

1

)(

11 111

1)( xpp

xxXP

Negatif Binom dağılımında k = 1 alındığında;

dd

xppxXP

x

.0

,.....3,2,11)(

1

35

Geometrik Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

pxE

1)(

2

1)(

p

pxVar

36

Örnek: Bir avcı hedefe isabet sağlayana kadar ateş etmektedir. Avcının hedefi vurma olasılığı 0,75 olduğuna göre avcının hedefi ilk kez 8 nci kez atış yaptığında isabet ettirmesinin olasılığını hesaplayınız. x = 8 P ( X = 8) = ?

dd

xxXP

x

.0

....3,2,175,0175,0)(

1

718 25,075,075,0175,0)8( XP

37

Hipergeometrik Dağılım

Varsayımları,

• n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir.

• Her denemenin 2 mümkün sonucu vardır.

• Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır.

• Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı

( p ) deneyden deneye değişir.

38

Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Fonksiyonu

n : örnek hacmi

N : anakütle eleman sayısı

B : populasyondaki başarı sayısı

x : örnekteki başarı sayısı

S = { x / 0,1, 2, 3, …..,n }

dd

nx

n

N

xn

BN

x

B

xXP

.0

......,3,2,1,0)(

39

Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri

p = B/N için

1

)1()(N

nNpnpxVar

pnxE )(

40

Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk 100 müşterisi içinde 60 tanesi mevduat hesabına sahiptir. İadesiz

olarak rasgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat hesabına sahip olmasının olasılığı nedir?

N= 100 B = 60 n = 8 x = 5

n : örnek hacmi

N : anakütle eleman sayısı

B : populasyondaki başarı sayısı

x : örnekteki başarı sayısı

41

dd

nx

n

N

xn

BN

x

B

xXP

.0

......,3,2,1,0)(

•N= 100 B = 60 n = 8 x = 5

60 100 60

5 8 5( 5)

100

8

P X

42

Poisson Dağılımı• Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson Dağılımıdır.

• Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda kullanım alanı bulunmaktadır.

• Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından bulunmuştur.

• Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir modeldir. 43

Poisson Sürecinin Varsayımları

1.Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama olay sayısı sabittir.

2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların kesişimi olmadığı varsayımı ile)

3.Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında en fazla bir olay gerçekleşebilir.

4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu doğru orantılıdır.

44

Örnekler

• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen

hırsızlık olayların sayısı,

• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen telefon

çağrılarının sayısı,

• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,

• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,

• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden

büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.45

Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu

: belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı

x : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı

S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }

durumlardadiger

xx

exXP

x

0

,...2,1,0!)(

46

Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Beklenen Değer

Varyans

)(xE

)(xVar

• Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit olan tek dağılıştır.

47

Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,b)Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,

ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.

a) 4 P ( x = 1 ) = ?

414

4!1

4)1(

e

eXP

24224124024

3131!2

24

!1

24

!0

241

eeee

b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.

24 P ( x > 2 ) = ?

P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]

48