készítette: nagy mihály tan á r perecsen, 2006
DESCRIPTION
Készítette: Nagy Mihály tan á r Perecsen, 2006. A függvény. Halmazok Descartes-szorzata. A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza. Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}. Általában: AXB ≠ BXA. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Halmazok Descartes-szorzata
A halmazok Descartes-szorzata:
Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza.
Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}.
Általában: AXB≠ BXA .
A derékszögű koordináta-rendszer
A valós számok halmazának geometriai ábrázolása egy egyenes (számegyenes). Két egymásra merőleges számegyenes egy Descartes-féle koordináta-rendszert alkot. Az RXR={(x,y)|xR, y R} szorzat minden elempárja ábrázolható ebben a rendszerben. Az OX az abszcissza, OY az ordináta tengely. O a kezdőpont (origó).
Az egyenesek négy negyedet határoznak meg: I., II., III., IV. negyed. A számozás az óra járásával ellenkező irányban történik.
II I
III IV
Az M pont koordinátái 2 és 3. A 2 az abszcissza, a 3 az ordináta. Az N pont koordinátái a -3 illetve a -1. Az RXR szorzat bármely elemének megfelel egy pont a síkban. Vagyis bármely számpár ábrázolható a koordináta-rendszerben.
A függvény fogalmaTekintsük az A(-2,-4), B(-1,-2), C(0,0), D(1,2), E(2,4). Készítsünk táblázatot:
x -2 -1 0 1 2
y -4 -2 0 2 4
Megfigyelhetjük, hogy y = 2x. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a pontokat:
Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és B={0, 1, 4} halmaz. A két halmaz alapján az alábbi táblázatot készíthetjük:x -2 -1 0 1 2y 4 1 0 1 4Észrevesszük, hogy y = x2.Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben:
Készítsünk diagramokat és nyílakkal ábrázoljuk az elelemek közötti kapcsolatokat (relációkat):1. 2.
-2
-1
0
1
2
0
1
4
-2
-1
0
1
2
-4
-2
0
2
4
Tanulmányozzuk egy kicsít az előbbi relációkat:
Az 1., 2. és 3. ábrán az első halmaz bármely elemének a második halmazból egy és csak egy elem felel meg.
Ezek függvényszerű relációk. A negyedik ábrán a C halmaz a elemének a D halmazban több elem felel meg. Ez a reláció nem függvényszerű.
Mondhatjuk, hogy az első három reláció függvény, az utolsó viszont nem függvény.
Értelmezés:Adott az A és B halmaz. Ha valamilyen eljárással (f) az A halmaz bármely x elemének megfeltetünk egy és csak egy y elemet a B halmazból úgy, hogy y = f(x), azt mondjuk, hogy egy f :A B függvény értelmeztünk.
Az A halmazt értelmezési tartománynak, a B halmazt értéktartománynak nevezzük.
Az f a megfeleltetési szabály, törvény, eljárás ami lehet képlet vagy egyéb összefüggés.
Az előbbiek alapján látható, hogy a függvényeket háromféleképpen határozhatjuk meg:
•táblázattal: x 1 2 3 4y 1 4 9 16
•diagrammal:
•képlettel
f(x) = x2
12
34
14
916
A függvény grafikus képe
A Gf={(x,y)|x A,y=f(x)} halmazt az f:A B függvény grafikus képének nevezzük, ahol GfAXB. A Gf számossága mindig egyenlő az A halmaz számosságával.
Például: Legyen A={-1, 0, 1, 2}. Tekintsük az f: A B , f(x) = 2x + 1 függvényt. Akkor a Gf = {(-1,-1), ( 0,1), (1,3), (2,5)}. Az A és B halmaz lehet éppen az R.Ebben az esetben Gf RXR.
Az elsőfokú függvény
Az f::A B, f(x) = ax + b, a, bR alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Amint előbb láttuk ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenesbe eső pontok. Ezért tévesen egyes tankönyvekben lineáris függvényként emlegetik. Ha A R, akkor a grafikon egy szakasz, félegyenes vagy egyenes. Az f : R R, f(x) = ax + b az elsőfokú függvény általános alakja.
A tengelyekkel való metszéspontok meghatározása
Legyen f:R R, f(x)=ax+b az elsőfokú függvény általános alakja.
Ha x=0, akkor f(0)=b, tehát A(0,b) az OY tengellyel való metszéspont.
Ha f(x)=0, akkor ax+b=0, vagyis x=
tehát B( ,0), az OX tengellyel való
metszéspont. A két ponton áthaladó egyenes a függvény grafikonja.
a
b
a
b
Példa: Tekintsük az f:R R, f(x)=2x-6 függvényt. Keressük meg a tengelyekkel való metszéspontokat és ábrázoljuk.
Ha x=0, akkor f(0)=-6, tehát A(0,-6) pontban metszi az OY tengelyt.
Ha f(x)=0, akkor 2x-6=0, azaz x=3, tehát a B(3,0) pontban metszi az OX tengelyt.
Mivel az elsőfokú függvény grafikonja egy egyenes és két pont mindig meghatároz egy egyenest, ezért a két ponton átmenő egyenes a függvény grafikonja.
Függvény meghatározása két pontja segítségével
Példa: Határozzuk meg az A(-2,3) és B(4,-1) pontokon áthaladó függvényt!
Megoldás: Az elsőfokú függvény általános alakja f(x)=ax+b. Kiszámítjuk az f(-2) és f(4) értékeket, azután pedig megoldjuk az f(-2)=3 és f(4)=-1 egyenletekből álló egyenletrendszert.
Innen kapjuk, hogy a = és
b = .
A függvény:
14
32
ba
ba3
2
3
5
3
2 xxf
5
3
Feladat: Határozzuk meg az f:R R, f(x)=3x+6 függvény grafikonja és a tengelyek által határolt alakzat területét!
x=0, f(x)=6, tehát A(0,6)
f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0)
f(x)
xO
A(0,6)
B(-2,0)
62
62
2
OAOBT
Az elsőfokú függvény tulajdonságai
• Növekvő, ha a<b, akkor f(a)<f(b)
• Állandó, ha a<b, akkor f(a)=f(b)
•Csökkenő, ha a<b, akkor f(a)>f(b)
y
O x
yf(a)
a b
f(b)
O xa
f(b)
f(a)
b O x
y
ba
f(a) f(b)
Intervallumokon értelmezett elsőfokú függvények
Az f:I R, f(x)=ax+b függvény a g:R R, g(x)=ax+b függvénynek az I intervallumra való leszűkítése. Az f függvény grafikus képe a g függvény képének (d) egy része, ami lehet szakasz vagy félegyenes.
Ahogy az értelmezési tartomány zárt vagy nyílt intervallum, úgy a grafikon zárt vagy nyílt szakasz.
Nézzünk egy pár példát: