key o net math6 y50

µiÇoo¹äÅ¹ �¿ÃÕ! ¡aºe¡ �§´Õ o·¤oÁ

เฉลย O-NET กมภา 50 วชา คณตศาสตร สอบวนเสารท 24 กมภาพนธ พ.ศ. 2550 เวลา 15.00-17.00 น

1. ตอบ choice 4

คาอธบาย

พจารณา 2

121− พบวา

21

21< จะไดวา

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

21

21

21

21

พจารณา 22 − พบวา

22 > จะไดวา 22 − ( )22 −=

∴2

121− - 22 −

= ( )222

121

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= 222

121

+−+−

= 222

222

22

21

21

⋅+⋅−⋅+−

= 2

22421 +−+−

= 2

2325+−

2. ตอบ choice 3 คาอธบาย

( )( )

( )( )2

121

2

41

24

32

321

4

32

32

23

32

26)18(

1448

×

⋅⋅

⋅

=⋅

21

21

21

21

2

32

23

32

2

⋅

⋅⋅

⋅

=

21

211

211

212

32−−−−+

⋅= = 2

www.kengdee.com 1




( 1 - 2 )2 ( 2 + 8 )2 ( 1+ 2 )3 ( 2 - 8 )3

= [( 1 - 2 )2 ( 1 + 2 )2 ] [( 2+ 8 )2 ( 2 - 8 )] x (1 + 2 ) ( 2 - 8 ) = [( 1 - 2 ) ( 1 + 2 ) ]2 [( 2+ 8 ) ( 2 - 8 )]2 x (2- 8 + 2 2 - 16 ) = ( 1 - 2)2 ( 4 - 8)2 [2 - 2 2 + 2 2 - 4 ]

= 1 x 16 x (-2) = -32


สมมต x = -6 พจารณา choice 1 ; x2 ≤ 25 (-6)2 = 36 ≤/ 25 ∴ choice 1 ผด พจารณา choice 2 ; | x | ≤ 5 | -6 | = 6 ≤/ 5 ∴choice 2 ผด พจารณา choice 4 ;(x- | x |)2 ≤ 25 ( -6 -| -6 |)2 = (-6-6) 2 = (-12) 2

= 144 ≤/ 25 ∴choice 4 ผด พจารณา choice 3 ; x | x | ≤ 25 กรณ 1; 0 x ≤ 5 จะได x | x | =≤ xx ⋅ = x2

∴0 x | x | 25 ≤ ≤

กรณ 2 ; x < 0 จะได x | x | = x(-x) =(x)2

∴x | x | < 0 ซงนอยกวา 25 อยแลว

www.kengdee.com 2




xx 33

83

824

833 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= xxx 3313

278

278

827 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

จากโจทย 8116

833

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x

จะได

8116

278 3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− x

4

43

3

3

32

32

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− x

433

32

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− x

49

32

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− x

∴ -9x = 4

x = 94

−

6. ตอบ choice 3จากโจทย x = 21

− เปนรากของสมการ ax2 + 3x – 1= 0


จะได a2

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− + 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

21 – 1 = 0

a = 10 แทนคา a = 10 ในสมการจะได 10x2 + 3x -1 = 0 (2x + 1) (5x- 1) = 0

∴ x = 51,

21

−

∴ อกรากหนงของสมการคอ 51

www.kengdee.com 3





n[(A-B) U (B-A)] = 76 n(A B) = n (A B) – n[(A-B) (B-A)] I U U

= 88 -76 = 12 n(A B) = n (A) + n(B)- n(AI B) U

88 = 45 + n(B) -12 n(B) = 55


ใชสญลกษณ Y แทนเสอสเหลอง ใชสญลกษณ B แทนเสอสฟา จากโจทยจะไดวา n(Y U B) = 46, n (Y) =39, n(B) =19 n(Y U B) = n (Y) + n(B) – n(Y B) I

แทนคาได 46 = 39 + 19 - n(Y B) I

n(Y I B) = 58 -46 = 12 9. ตอบ choice 2

คาอธบาย เมอ n =4 ได m 4, 3, 2, 1 เมอ n=3 ได m 3, 2, 1 เมอ n=2 ได m 2, 1 เมอ n=1 ได m 1 เพราะฉะนน r = { (4,4),( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), }

www.kengdee.com 4




จากโจทยพาราโบลามเสนสมมาตรขนานกบแกน Y มจดสงสดอยทจด (a,b) เขยนกราฟไดดงรป จด a เปนจดบนเสนสมมาตร

a = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

251

∴

= 2


DBC ˆ = 180º CDBDC ˆˆ −B−

= 180º - 90º - 70º = 20º

∴ DBCDBACBA ˆˆˆ +=

= 10º + 20º = 30

( )CBABCAB

ˆcos1

=

แทนคา

30cos1

6=

AB

3312

3126

30cos6

23

⋅====AB

= 34 12. ตอบ choice 2

คาอธบาย a30 = a1 + 29 d a10 = a1 + 9 d จากโจทย a30 - a10 =30 จะได (a1 + 29 d) – (a1 + 9 d) = 30 20 d = 30 d = 2

3 = 1.5

www.kengdee.com 5




พจารณา choice 1 an = nn 232 ⋅

an = = nn 232 ⋅ ( )nn 232 ⋅ = nn 92 ⋅

= ( = 18)n92 ⋅ n

จาก an = 18n ได a1 = 18, a2 = 182, a3 = 183

พบวา an เปนลาดบเรขาคณตทม a1 = 18, r = 18 14. ตอบ choice 1


หา n(s) เลขหลกแรกสามารถเปนได 10 ตว คอ 0,1,2,.......,9 เลขหลกทสองสามารถเปนได 10 ตว คอ 0,1,2,.......,9 n(s) = 10x10 =100 ∴

หา n(E) เลขหลกแรกสามารถเปนได 10 ตว คอ 0,1,2,.......,9 เลขหลกทสองสามารถเปนไดเพยง 1 ตว คอตวเดยวกบเลขหลกแรก n(E) = 10x1 = 10 ∴

P(E) = ∴101

10010

)()(

==SnEn


พจารณา Q3

ตาแหนง ของ Q3 = ⋅43 (19+1) = 15

Q∴ 3 = 23 พจารณา P45

ตาแหนงของ P45 = 10045 (19 + 1) = 9

P∴ 45 = 18 Q∴ 3 ตางจาก P45 อย 23 -18 = 5

www.kengdee.com 6




เกรดเฉลย = 5.115.11

)2)(5.1(2)5.3(1)3)(5.1()5.2(1+++

+++

= 5

5.13 = 2.7


คาอธบาย X รวม Nรวม = X ชาย N ชาย + X หญง N หญง

31 (N ชาย + N หญง ) = 25 N ชาย + 35 N หญง 31 N ชาย + 31 N หญง = 25 N ชาย + 35 N หญง 6 N ชาย = 4 N หญง

ชาย

หญง

NN

=23


คาอธบาย จากสมการ y = 2x -30 จะได y = 2 x – 30 ดวย

355

3936353431=

++++=x

แทนคา x ในสมการ จะได y = 2 (35) – 30 = 40

www.kengdee.com 7




ชวงอาย (ป) xi ความถ (คน)

1-5 3 4 6-10 8 9

11-15 13 2 16-20 18 5

∑∑=

fifixi

x

( ) ( ) ( ) ( )5294

5182139843+++

⋅+⋅+⋅+⋅=

1020200

==


คาอธบาย นาตวเลขททราบคามาเรยงใหมได

จะเหนวาไมวา X จะอยทตาแหนงใด กจะได Med = 6 เสมอ จากโจทย ∴ x = Med = 6

จะได ∴5

106636 x++++=

X = 5

www.kengdee.com 8




8x - 8( x+1) + 8( x+2) = 228 xxx 88888 2 ⋅+⋅− = 228

= 228 xxx 864888 ⋅+⋅−

(1-8+64) 8x = 228 = 288 x857 ⋅

8x = 4 (23) x = 22

23x = 22

3x = 2 x = ∴32


พจารณา choice 1 จะได r = {(3,3), (2,4), (2,10), (5,10)} (2,4), (2,10) ∈r เพราะฉะนน r ไมเปนฟงกชน พจารณา choice 2 จะได r = {(2,2), (3,3), (3,15), (5,15)} (3,3), (3,15) ∈ r เพราะฉะนน r ไมเปนฟงกชน พจารณา choice 3 จะได r = {(2,0), (3,0), (5,0), (3,3), (2,10), (5,10)} (2,0), (2,10) ∈ r เพราะฉะนน r ไมเปนฟงกชน พจารณา choice 4 จะได r = {(2,4), (5,5), (3,9)} จะเหนวา r เปนฟงกชน

www.kengdee.com 9




พจารณา choice 1

109.0109.0 +<+ ( ) ( )109.010109.010 +<+ ( )10109.010)109.0(10 ⋅+⋅<+

1009109 +< 10.44 < 13 จรง choice 1 ถก ∴


( ) ( ) ( ) ( )41

21

4 9.09.09.09.0 =⋅

= ( ) ( ) ( ) 411

43

41

21

9.09.09.0 −+ ==

= 41

9.0

9.0

เนองจาก 41

41

19.0 <

∴41

41

1

9.0

9.0

9.0>

choice 2 ผด ∴


( )( ) ( )( )33 9.01.11.19.0 <

( )( )( )( )

( )( )( )( )3

3

3

3

9.09.09.01.1

9.09.01.19.0

<

9.01.1

9.01.1

3

3

<

21

31

9.01.1

9.01.1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21

31

911

911

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ จรง

∴ choice 3 ถก

www.kengdee.com 10



ขอ 23 (ตอ) พจารณา choice 4 จากโจทย

200300 100125 <

( ) ( )2001

23001

3 105 <

1001

1001

105 < จรง ∴ choice 4 ถก


จดทกราฟตดแกน X จะไดวา Y = 0 พจารณา choice 1 แทนคา Y = 0 ได 0 = 1 + X2

X2 = -1 จะไดวา X ไมมคาตอบ ∴ กราฟไมตดแกน X พจารณา choice 2 แทนคา Y = 0 ได 0 = | X | -2 | X | = 2 X = -2,2 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (-2,0) และ (2,0) พจารณา choice 3 แทนคา Y = 0 ได 0 = |X-1| 0 = X – 1 X = 1

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (1,0) พจารณา choice 4 แทนคา Y = 0 ได

0 =x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

จะไดวา X หาคาไมได ∴กราฟจงไมตดแกน X

www.kengdee.com 11



25. ตอบ choice 3 คาอธบาย หาจด A,B (จดตดแกน X) จดทกราฟตดแกน X จะมคา Y = 0 ∴แทน Y = 0 ; 0 = X2 – 2X -8

0 = (X- 4) (X+ 2) X = -2, 4

กราฟตดแกน X ทจด A (-2,0), B(4,0) ∴

หาจด C (จดวกกลบ) จาก y = X2 – 2X -8 จดรป y = X2 – 2X+12 - 12 -8 Y = (X -1)2 – 9 (y + 9) = (X – 1) 2

จากสมการไดจกวกกลบ คอ C (1,-9)

จากกราฟ พนทสามเหลยม ABC

= 9621

××

= 27 ตารางหนวย

www.kengdee.com 12




จาก x2 - mx + 4 = 0 จะได

(1) )1(2)4)(1(4)()( 2 −−±−−

=mm

x

จากสมการ (1) จะไดวา รากของสมการ x2 - mx + 4 = 0 จะเปนจานวนจรงเมอ (-m)2 - 4 (1) (4) ≥0 m2 – 16 0 ≥

(m – 4) (m + 4) 0 ≥

∴ ไดจดแบงชวงคอ m = -4, 4 นามาสรางเสนจานวนได

ได m = ( ] [ )∞−∞− ,44, U ซง ( ] [ )∞−∞− ,44, U เปนสบเซตของ เซต ( ) [ )∞−∞− ,43, U 27. ตอบ choice 3

คาอธบาย พจารณา choice 1 ถา a = -1, x = 2 จะได ax = (-1)2 = 1 </ 0 choice 1 ผด ∴

พจารณา choice 2 ถา a = -1, x = 2 จะได a-x = (-1)2 = 1 </ -1 choice 2 ผด ∴

www.kengdee.com 13



ขอ 27 (ตอ)

พจารณา choice 3 กรณ a = 1 ได 1-x = 1 เสมอ กรณ a = ( ) ( )∞,11,0 U ได a-x เปนฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ซงมเรนจเปนจานวนจรงบวกเสมอ choice 3 ถก ∴


ถา a = 2, x = -1 จะได ax = 2-1 = 221>/

∴ choice 4 ผด 28. ตอบ choice 4


( )3214 542 2

≤−− xx

( )( )5

5422

212

2

≤−− xx

( ) ( ) 55422 222 −−− ≤xx

จะไดวา 2(2x2-4x-5) -5 ≤

4 x2 – 8x -10 -5 ≤

4 x2 – 8x -5 0 ≤

(2x-5) (2x+1) 0 ≤

ไดจดแบงชวงท x = ∴25,

21

−

สรางเสนจานวนได

ได ∴ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

25,

21x

www.kengdee.com 14




จากรป

o30sin1

=DEBE

102

15

30sin===

o

DEBE

พจารณา ABC

=BCAC Sin 30º

( )2161030sin ⋅+=⋅= oBCAC = 8 หนวย


คาอธบาย จากสมบตของวงกลมจะไดวา = 90º CBA ˆ

( )CBAACAB ˆcos=

( ) o60cos12ˆcos ×=⋅= CBAACAB

= 2112× = 6 หนวย

( )CBAACBC ˆsin=

( ) o60sin12ˆsin =⋅= CBAACBC

= 362312 =× หนวย

∴ พนทของรปสามเหลยม ABC

= 36621

21

××=×× BCAB

= 318 ตารางหนวย

www.kengdee.com 15




จากโจทย a1 = 6251

r = 55125

625

6251

51251

1

2 ===aa

∴ ( )1515116 5

6251

×=⋅= raa

= 274

215

215

4 55551

==⋅−

= 5125 32. ตอบ choice 1 คาอธบาย a = 101 + 103 +105 + …+ 997 + 999 เปนอนกรมเลขคณตทม a1 = 101, d = 21 , an = 9 จาก an = a1 + (n-1)d แทนคา 999 = 101 + (n-1) (2) 898 = 2n -2 n = 450

a = S∴ n = 2n (a1 + an) = 2

450 (101 + 999)

a = 225 (1100) b = 102 + 104 +106 + …… + 996 + 998

เปนอนกรมเลขคณตทม a1 = 102, d = 21 an = 998 จาก an = a1 + (n-1)d แทนคา 998 = 102 + (n-1) (2) 898 = 2n – 2 n = 449

b = S∴ n = 2n (a1 + an) = 2

449 (102 + 998)

b = 224.5 (1100) b – a = 224.5 (1100) – 255 (1100) ∴

= (224.5 – 225) (1100) = ( -0.5) (1100) = -550

www.kengdee.com 16




คาอธบาย พจารณาขอความท 3 สามารถสรางแผนภาพไดดงรป

พจารณาขอความท 1 เมอนามารวมกบขอความท 3 สามารถสรางแผนภาพไดดงรป

หรอ

แตเมอพจารณาขอความท 2 พบวามคนทมสขภาพดบางคนเทานนทเปนคนด จงสรปไดวาแผนภาพเปนดงรป

www.kengdee.com 17




หา n(s) โยนลกเตา 3 ลกแตละลกม 6 แตม (1, 2,…,6) จะได n(s) = 6 x 6 x 6 = 216 หา n(E) โยนลกเตา 3 ลก แตละลกมแตมทเปนเลขคทงหมด 3 แตม (2, 4, 6) ให E เปนเหตการณณทโยนลกเตา 3 ลกไดแตมเปนเลขคทงหมด ∴

ได n(E) = 3 x 3 x 3 = 27 จานวนเหตการณของการโยนลก 3 ลกแลวไดลกเตามแตมคขนอยางนอย 1 ลก ∴

= n(s)- n(E) = 216 -27 = 189

ความนาจะเปนทลกเตาขนแตมคอยางนอย 1 ลกเทากบ ∴87

216189

=


ให F แทนนกเรยนทชอบรบประทานปลา ให s แทนนกเรยนทชอบรบประทานกง จากโจทยได n ( = 12, n(FUS)= 23 )F ′

จาก n(F) = n(U) – n ( )F ′

30 – 12 = 18 จาก n(S-F) = n (FUS) – n(F)

= 23 – 18 = 5 ∴ จานวนนกเรยนทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวม 5 คน

∴ ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยว=61

305=

www.kengdee.com 18




จากแผนภาพตนใบ จะไดวาขอมลม 12 ตวและเขยนเรยงลาดบจากนอยไปหามากไดดงน 40, 41, 42, 50, 52, 52, 53, 58, 60, 61, 63, 64 ซงไดฐานนยมคอ 52 จานวนนกเรยนทมนาหนกนอยกวาฐานนยม (n(E)) มเทากบ 4 คน ∴

และจานวนขอมลทงหมด (n(s)) = 12

∴31

124

)()()( ===

SnEnEP


คาอธบายจากโจทย

ชวงคะแนน ความถ ความถสะสม 30 - 39 1 1 40 - 49 10 11 50 - 59 7 18 60 - 69 2 20


จานวนนกเรยนทไดคะแนน 40-49 ม 10 คน คดเปนรอยละ 1002010

× = 50%

∴ choice 1 ผด

พจารณา choice 2 ชวงคะแนนทมความถมากทสด คอ ชวง 40-49 คะแนน

∴ choice 2 ผด

www.kengdee.com 19



ขอ 36 (ตอ) พจารณา choice 3 จานวนนกเรยนทไดคะแนนอยในชวง 50-69 มจานวนทงสน 7 + 2 = 9 คน ในขณะทจานวนนกเรยนทมคะแนนอยในชวง 40 – 49 ม 10 จงสามารถสรปไดวาจานวนนกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน ยอมมนอยหวาหรอเทากบ 9 คนซง ยอมนอยกวาจานวนนกเรยนทมคะแนนอยในชวง 40 – 49 คะแนน ∴ choice 3 ถก พจารณา choice 4 จานวนนกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนนเทากบ 1 + 7 = 8 คน จานวนนกเรยนทไดคะแนนมากกวา 50 คะแนนเทากบ 6 + 2 = 8 คน ∴ choice 4 ผด


กาหนดใหขอมลชดนเรยกลาดบจากนอยไปมากได a1, a2, a3, a4, a5

พจารณา a1 = 18

ตาแหนงของ a1 = )15(41

+ = 1.5

จะไดวา a∴ 1 = 221 aa + = 18

(1) พจารณา a2 = 25

a1+a2 = 36


+ = 3

จะไดวา ∴

(2) a2 = a3 = 25

พจารณา a3 = 28


+ = 4.5

จะไดวา a∴ 3 = 2

54 aa + = 28

www.kengdee.com 20



ขอ 37 (ตอ) (3) a4+a5 = 56

คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน

= ( ) ( )5

54321 aaaaa ++++

=5

1175

562536=

++ = 23.4


คาอธบาย กาหนดใหปจจบน อายของนกเรยนแตละคน กลมท หนง เปน a1, a2, a3,...,a10

และอายปจจบนของนกเรยนแตละคนในกลมท สอง เปน a11, a12, a13,…,a20

จากโจทย เมอ 2 ปทแลว นกเรยนในกลมทหนงทกคนจะมอาย 10 ป ∴ ปจจบนนกเรยนในกลมทหนงทกคนจะมอาย 12 ป หรอ a1= a2 = a3 =…= a10 = 12

จากโจทย ความแปรปรวนของอาย ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −∑N

xxi2

ของ นกเรยนในกลมทสอง เทากบ 0 เราจะสามารถสรปไดวา

อายของนกเรยนในกลมทสอง ทกคนเมอสองปทแลวเทากบอายเฉลย ซงเทากบ 8.5 ∴ ปจจบนนกเรยนในกลมทสอง ทกคนมอาย 10.5 ป หรอ a11 = a12 = a13 =…= a20 = 10.5 หาความแปรปรวนของนกเรยนทงหองในปจจบน

= ( ) ( ) ( )30

115.1020111210 222−+−

=−∑

Nxxi

=21

3015

30)5.0(20)1(10 22

==−+

www.kengdee.com 21




คาอธบาย คะแนนสอบ รายวชาท 1 คะแนนสอบ รายวชาท 2

พจารณา choice 1 จากแผนภาพ ขอมลทอยตรงระหวาง Q1 และ Q2 ของทง คะแนนสอบรายวชาท1 และท 2 มการกระจายไมเทากบขอมล ทอยระหวาง Q2 และ Q3 จงสรปไดวา ไมเปนการแจกแจงแบบปกต ∴ choice 1 ผด พจารณา choice 2 จากแผนภาพ คะแนนสอบรายวชาท 1 จานวน นกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน มนอยกวา 75 % สวนคะแนนสอบรายวชาท 2 จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ม 75 % พอด จงสรปไดวา จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มนอยกวา ในรายวชาท 2 ∴ choice 2 ผด พจารณา choice 3 จากแผนภาพ คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นนเทากบ 30 คะแนน สวนคะแนนสงสด ทอยในกลม 25 % ตาสดของผลการสอบรายวชาท 2 นน เทากบ 50 คะแนน ∴ choice 3 ถก พจารณา choice 4 จากแผนภาพ คะแนนสอบรายวชาท 1 จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60 -80 คะแนน มนอยกวา 25 % สวนคะแนนสอบรายวชาท 2 จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60-80 คะแนน ม 25 % จงสามารถสรปไดวาจานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60-80 คะแนน ในการสอบ รายวชาท 2 มากกวา ในการสอบรายวชาท 1 ∴ choice 4 ผด

www.kengdee.com 22

key o net math6 y50

Documents