"Matematyka jest delikatnym kwiatem, który rośnie nie na każdej glebie i zakwita nie wiadomo kiedy i jak." Jean Fabre Def. Niech 𝐹:𝑘:1 → oraz 𝐹 𝑥0, 𝑦0 = 0 dla 𝑥0 ∈

𝑘,𝑦0 ∈ . Jeżeli w otoczeniu punktu (𝑥0, 𝑦0) da się wyliczyd z równania F(x,y)=0 zmienną y jako funkcję zmiennej x to funkcję y=f(x) nazywamy funkcją uwikłaną zmiennej x.

Tw. o funkcji uwikłanej Jeżeli funkcja 𝐹:𝑘:1 → ma w otoczeniu punktu (𝑥0, 𝑦0) ciągłe pochodne cząstkowe oraz 𝐹𝑦′(𝑥0, 𝑦0) ≠ 0 i 𝐹 𝑥0, 𝑦0 = 0, to istnieje funkcja uwikłana y=f(x) spełniająca warunki:

1) 𝐹 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0 w otoczeniu punktu (𝑥0, 𝑦0) 2) f(x) jest funkcją ciągłą w otoczeniu 𝑥0 i ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie 𝑥0 określone wzorem

𝑓𝑥𝑖′ 𝑥0 =

−𝐹𝑥𝑖′ 𝑥0, 𝑦0

𝐹𝑦′(𝑥0, 𝑦0)

Dowód: k=1 załóżmy, że pochodna 𝐹𝑦

′ 𝑥0, 𝑦0 > 0 (dla < 0 analogicznie)

F(x,y) jest rosnąca ze względu na zmienną y w otoczeniu (𝑥0, 𝑦0) i 𝐹 𝑥0, 𝑦0 = 0 istnieje otoczenie (𝑦0 − 휀, 𝑦0 + 휀) takie, że 𝐹 𝑥0, 𝑦0 − 휀 < 0 i 𝐹 𝑥0, 𝑦0 + 휀 > 0 𝐹 𝑥0, 𝑦0 − 휀 i 𝐹 𝑥0, 𝑦0 + 휀 są ciągłe ze względu na x istnieje (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) takie że, 𝐹 𝑥, 𝑦0 − 휀 < 0 i 𝐹 𝑥, 𝑦0 + 휀 > 0 dla 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) weźmy dowolne 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) 𝐹(𝑥, 𝑦) jest ciągła i rosnąca ze względu na y i 𝐹 𝑥, 𝑦0 − 휀 < 0 i 𝐹 𝑥, 𝑦0 + 휀 > 0

istnieje dokładnie jedno y ∈ (𝑦0 − 휀, 𝑦0 + 휀) takie, że 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 przyjmijmy 𝑓: (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) ∋ 𝑥 → y ∈ (𝑦0 − 휀, 𝑦0 + 휀) tak, że 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 mamy wtedy 𝐹 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0 dla 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) weźmy 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) oraz ciąg 𝑥𝑛 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) taki, że lim

𝑛→∞𝑥𝑛 =𝑥

0 = lim𝑛→∞

𝐹 𝑥𝑛, 𝑓 𝑥𝑛 =𝐹 lim𝑛→∞

𝑥𝑛, lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 = 𝐹 𝑥 , lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 = 𝐹(𝑥 , 𝑓 𝑥 )

lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥 ) lim𝑥→𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) f jest ciągła w (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿)

𝑓𝑥′ 𝑥0 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥= ⋯

𝐹(𝑥, 𝑦) ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu (𝑥0, 𝑦0) F jest różniczkowalna w tym otoczeniu z tw Taylora ∃𝜃 ∈ 0,1 : 𝐹 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 = 𝐹 𝑥0, 𝑦0 + 𝑑 𝑥0:𝜃∆𝑥,𝑦0:𝜃∆𝑦 𝐹 ∆𝑥, ∆𝑦

niech ∆𝑦 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 = 𝑦 − 𝑦0 z ciągłości f [∆𝑥 → 0 ∆𝑦 → 0] 𝐹 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 = 𝐹 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) = 0 czyli 𝐹𝑥

′ 𝑥0 + 𝜃∆𝑥, 𝑦0 + 𝜃∆𝑦 ∙ ∆𝑥 + 𝐹𝑦′(𝑥0+𝜃∆𝑥, 𝑦0 + 𝜃∆𝑦) ∙ ∆𝑦 = 0

∆𝑦

∆𝑥=

;𝐹𝑥′ 𝑥0:𝜃∆𝑥,𝑦0:𝜃∆𝑦

𝐹𝑦′ 𝑥0:𝜃∆𝑥,𝑦0:𝜃∆𝑦

… = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥=−𝐹𝑥

′ 𝑥0, 𝑦0𝐹𝑦′ 𝑥0, 𝑦0

licznik i mianownik we wzorze na 𝑓𝑥′ 𝑥0 są ciągłe w (𝑥0, 𝑦0) 𝑓𝑥

′ 𝑥0 jest ciągła w 𝑥0

Np. Wylicz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji uwikłanej z=f(x,y) danej równaniem 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 w punkcie (-1,2,1) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧, 𝐹 −1,2,1 = 0

𝐹𝑧′ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑧 − 3, 𝐹𝑧

′ −1,2,1 = −1 ≠ 0

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 /𝜕

𝜕𝑥

2𝑥 + 2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑥= 1 + 3

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥=1 − 2𝑥

2𝑧 − 3, 𝑓𝑥

′ −1,2 = −3

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 /𝜕

𝜕𝑦

2𝑦 + 2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2 + 3

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑦=2 − 2𝑦

2𝑧 − 3, 𝑓𝑦

′ −1,2 = 2

2𝑥 + 2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑥= 1 + 3

𝜕𝑧

𝜕𝑥 /

𝜕

𝜕𝑥

2 + 2(𝜕𝑧

𝜕𝑥)2+2𝑧

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2= 3

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2

𝑓𝑥𝑥′′ 𝑥, 𝑦 =

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2=−2 − 2(

𝜕𝑧𝜕𝑥)2

2𝑧 − 3=−2 − 2(

1 − 2𝑥2𝑧 − 3)

2

2𝑧 − 3=−2(4𝑧2 + 4𝑥2 − 12𝑧 − 4𝑥 + 10)

(2𝑧 − 3)3

2𝑥 + 2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑥= 1 + 3

𝜕𝑧

𝜕𝑥 /

𝜕

𝜕𝑦

2𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦+ 2𝑧

𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦= 3

𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑓𝑥𝑦′′ 𝑥, 𝑦 =

𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦=−2

𝜕𝑧𝜕𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑦

2𝑧 − 3=−2(1 − 2𝑥)(2 − 2𝑦)

(2𝑧 − 3)3

2𝑦 + 2𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2 + 3

𝜕𝑧

𝜕𝑦 /

𝜕

𝜕𝑦

2 + 2(𝜕𝑧

𝜕𝑦)2+2𝑧

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2= 3

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2

𝑓𝑦𝑦′′ 𝑥, 𝑦 =

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2=−2 − 2(

𝜕𝑧𝜕𝑦)2

2𝑧 − 3=−2 − 2(

2 − 2𝑦2𝑧 − 3)

2

2𝑧 − 3=−2(4𝑧2 + 4𝑦2 − 12𝑧 − 8𝑦 + 13)

(2𝑧 − 3)3

𝑓𝑥𝑥′′ −1,2 = 20, 𝑓𝑥𝑦

′′ −1,2 = −12, 𝑓𝑦𝑦′′ −1,2 = 10

Wniosek: Ekstrema funkcji uwikłanej określonej równaniem F(x,y)=0 przy warunku 𝐹𝑦′(𝑥, 𝑦) ≠ 0

liczymy jak dla funkcji wielu zmiennych y=f(x), x𝑘

Np. Oblicz ekstrema funkcji uwikłanej z=f(x,y) z poprzedniego przykładu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 𝐹𝑧′ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑧 − 3 ≠ 0

WK: 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 = 0

𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 = 0

1 − 2𝑥 = 02 − 2𝑦 = 02𝑧 − 3 ≠ 0

𝑥 =1

2

𝑦 = 1

𝑧 ≠3

2

oraz 𝑧2 − 3𝑧 −5

4= 0 𝑧 =

3± 14

2

2𝑧 − 3 = ± 14 (1

2, 1,

3± 14

2) punkty stacjonarne

WW: 𝑓𝑥𝑥′′ 1

2, 1 =

;2

± 14, 𝑓𝑥𝑦

′′ 1

2, 1 = 0, 𝑓𝑦𝑦

′′ 1

2, 1 =

;2

± 14 dla (

1

2, 1,

3: 14

2) 𝑀𝑑

(12,1)

2 𝑓 jest

ujemnie określona, a dla (1

2, 1,

3; 14

2) 𝑀𝑑

(12,1)

2 𝑓 jest dodatnio określona

𝑓𝑚𝑎𝑥1

2, 1 =

3: 14

2 , 𝑓𝑚𝑖𝑛

1

2, 1 =

3; 14

2

Zadanie: 1. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej y=f(x): a) 𝑥2 + 𝑦3 − 4𝑥𝑦 = 0, b) y − arctgy = x3, c) x2y − x2y2 + 1 − x2 siny = 0 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej z=f(x,y):

a) 𝑒𝑧 − ln 𝑥𝑦 +𝑥

𝑦= 0, 𝑏) 𝑧 𝑥𝑦 3 − 𝑥3 + 𝑦3𝑧 = 0, 𝑐) 𝑒𝑥:𝑦− 𝑒𝑥;𝑧 + 𝑒;𝑦;𝑧 = 0

3. Wyznacz ekstrema funkcji uwikłanej y=f(x):

a) 𝑙𝑛 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦

𝑥, 𝑏) 𝑥3 + 𝑦3 = 8𝑥𝑦, c) 8𝑥2 + 𝑦4 − 8𝑥𝑦 − 4𝑦 = 0

4. Wyznacz ekstrema funkcji uwikłanej z=f(x,y): a) 5𝑥2 + 5𝑦2 + 5𝑧2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 − 72 = 0, b) 6𝑥2 + 6𝑦2 + 6𝑧2 + 4𝑥 − 8𝑧 − 8𝑦 + 5 = 0, c) 𝑧2 + 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥𝑦2 − 𝑥3 = 0

Niech 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛), gdzie 𝑓𝑖:𝑘 → , 𝑖 = 1, … , 𝑛.

Mówimy wtedy, że f jest funkcją (polem) wektorową, a każda z funkcji 𝑓𝑖 nazywamy składową f

Def. Mówimy, że funkcja wektorowa f jest ciągła w 𝑥0 każda składowa 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 jest ciągła w 𝑥0 Mówimy, że funkcja wektorowa f jest różniczkowalna w 𝑥0 każda składowa 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 jest różniczkowalna w 𝑥0 Pochodną kierunkową funkcji wektorowej f w punkcie 𝑥0 w kierunku wektora 𝑣, 𝑣 = 1

nazywamy wektor 𝑓𝑣′ 𝑥0 = (

𝜕𝑓1

𝜕𝑣𝑥0 , … ,

𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑣𝑥0 )

Pochodną zupełną (różniczką) funkcji wektorowej f w punkcie 𝑥0 nazywamy odwzorowanie

liniowe 𝑓′(𝑥0):𝑘 → 𝑛, którego macierzą jest 𝑀𝑓′ 𝑥0

=

𝜕𝑓1

𝜕𝑥1𝑥0

𝜕𝑓1

𝜕𝑥2𝑥0 ⋯

𝜕𝑓2

𝜕𝑥1𝑥0

𝜕𝑓2

𝜕𝑥2𝑥0 ⋯

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥1𝑥0

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥2𝑥0

⋱⋯

𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑘𝑥0

𝜕𝑓2

𝜕𝑥𝑘𝑥0

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥𝑘𝑥0

Jeżeli każda ze składowych funkcji wektorowej f jest różniczkowalna w zbiorze X𝑘, to

macierzą Jacobiego funkcji wektorowej f nazywamy macierz funkcyjną

𝜕𝑓1

𝜕𝑥1𝜕𝑓1

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓2

𝜕𝑥1𝜕𝑓2

𝜕𝑥2⋯

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥1

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥2

⋱⋯

𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑓2

𝜕𝑥𝑘

⋮𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥𝑘

Jeżeli k=n, to wyznacznik macierzy Jacobiego funkcji f nazywamy jakobianem funkcji f

(ozn. 𝜕(𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑛)

𝜕(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝐷(𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑛)

𝐷(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝐽 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) )

Zadanie: Wylicz różniczkę i jakobian funkcji wektorowej:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 w punkcie (𝜋

6,𝜋

3),

b) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (1

𝑥;𝑦:𝑧,

1

;𝑥2:𝑦2:𝑧2, ln −𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 ) w punkcie (1,2,3),

c) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑒2(𝑥2:𝑦2:𝑧2), 𝑒2𝑥𝑦:2𝑦𝑧:2𝑥𝑧, 𝑒;[ 𝑥:𝑦

2:(𝑦:𝑧)2: 𝑧:𝑥 2]) w punkcie (1,-1,1) Niech 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛), gdzie 𝑓𝑖:

𝑛 → , 𝑖 = 1, … , 𝑛 oraz 𝜑 = (𝜑1, 𝜑2, … , 𝜑𝑛), gdzie 𝜑𝑗:

𝑛 → , 𝑗 = 1, … , 𝑛.

Tw. o jakobianie funkcji złożonej

Jeżeli 𝑓 ∘ 𝜑 = 𝜓 i 𝑥𝑗 = 𝜑𝑗 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 , 𝑗 = 1, … , 𝑛, to

𝜕(𝜓1,𝜓2,…,𝜓𝑛)

𝜕(𝑡1,𝑡2,…,𝑡𝑛)=

𝜕(𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑛)

𝜕(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∙𝜕(𝜑1,𝜑2,…,𝜑𝑛)

𝜕(𝑡1,𝑡2,…,𝑡𝑛)

Dowód:

𝜕(𝜓1, 𝜓2, … , 𝜓𝑛)

𝜕(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛)=

𝜕𝜓1𝜕𝑡1

𝜕𝜓1𝜕𝑡2

⋯

𝜕𝜓2

𝜕𝑡1𝜕𝜓2

𝜕𝑡2⋯

⋮𝜕𝜓𝑛𝜕𝑡1

⋮𝜕𝜓𝑛𝜕𝑡2

⋱⋯

𝜕𝜓1𝜕𝑡𝑛

𝜕𝜓2

𝜕𝑡𝑛

⋮𝜕𝜓𝑛𝜕𝑡𝑛

= 𝑑𝑒𝑡𝜕𝜓𝑖

𝜕𝑡𝑚= 𝑑𝑒𝑡

𝜕𝑓𝑖𝜕𝑥𝑗

∙𝜕𝜑𝑗

𝜕𝑡𝑚

𝑛

𝑗<1

=

= 𝑑𝑒𝑡𝜕𝑓𝑖𝜕𝑥𝑗

∙𝜕𝜑𝑗

𝜕𝑡𝑚=

𝜕(𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)

𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)∙𝜕(𝜑1, 𝜑2, … , 𝜑𝑛)

𝜕(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛)

Tw. o jakobianie funkcji odwrotnej Jeżeli f ∶ 𝑛 → 𝑛 jest wzajemnie jednoznaczna i 𝑦𝑖 = 𝑓𝑖 𝑥

1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝑛, to

𝜕 𝑓;11, 𝑓;1

2, … , 𝑓;1

𝑛

𝜕(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)=

1

𝜕(𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

Dowód: 𝑓 ∘ 𝑓;1 = 𝑖𝑑𝑛 ,

𝑖𝑑𝑛 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛 , 𝑔𝑖 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑥𝑖

𝜕(𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛)

𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)= 𝑑𝑒𝑡

1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0

0 0 ⋯ 1

= 1

𝜕(𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)

𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)∙𝜕 𝑓;1

1, 𝑓;1

2, … , 𝑓;1

𝑛

𝜕 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛= 1

Zadanie: Znajdź jakobian: a) funkcji 𝑓 𝑟, 𝜑, 𝜃 = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) w dowolnym punkcie, b) funkcji odwrotnej do f(x,y,z)=(xyz,xy-xyz,y-xy) w punkcie (1,1,1), c) funkcji złożonej f dla f(x,y,z)=(xy+yz,yz+zx,zx+xy) i (x,y,z)=(r,t,s)=(r+s+ t,𝑟2 + 𝑠2 + 𝑡2, 𝑟3 + 𝑠3 + 𝑡3) w punkcie (-1,0,1)

Def. Jeżeli układ równao 𝐹1 𝑥, 𝑦 = 0

…𝐹𝑘 𝑥, 𝑦 = 0

, gdzie 𝐹𝑖:𝑛:𝑘 → , 𝑖 = 1, … , 𝑘, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ,

𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘) daje się jednoznacznie rozwiązad względem zmiennych 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘, to układ funkcji 𝑦1 = 𝑓1 𝑥 , 𝑦2 = 𝑓2 𝑥 , … , 𝑦𝑘 = 𝑓𝑘(𝑥) nazywamy układem funkcji uwikłanych

Tw. o układzie funkcji uwikłanych Jeżeli wszystkie funkcje 𝐹1, … , 𝐹𝑘 są ciągłe w otoczeniu (𝑥0, 𝑦0) ∈

𝑛:𝑘 i mają w tym otoczeniu

ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych oraz 𝐹1 𝑥0, 𝑦0 = 0

…𝐹𝑘 𝑥0, 𝑦0 = 0

i jakobian

𝜕 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑘𝜕 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘

(𝑥0, 𝑦0) ≠ 0, to

1. istnieją funkcje ciągłe 𝑓1, … , 𝑓𝑘 takie, że w otoczeniu (𝑥0, 𝑦0) zachodzi 𝑦 = 𝑓 𝑥 , gdzie

𝑓 = 𝑓1, … , 𝑓𝑘 oraz 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) i 𝐹1 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0

…𝐹𝑘 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0

2. funkcje 𝑓1, … , 𝑓𝑘 mają ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych 𝑥1, … , 𝑥𝑛

Dowód: indukcja na k I. k=1 twierdzenie o funkcji uwikłanej II. Z: twierdzenie jest prawdziwe dla k równao T: twierdzenie jest prawdziwe dla k+1 równao D: szczegóły w G.M.Fichtenholz, „Rachunek różniczkowy i całkowy” t.1

Wzory na pochodne cząstkowe układu funkcji uwikłanych: zakładamy, że w otoczeniu (x,y) spełnione są założenia poprzedniego twierdzenia

różniczkując

𝐹1 𝑥, 𝑦 = 0 /𝜕

𝜕𝑥𝑖…

𝐹𝑘 𝑥, 𝑦 = 0 /𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝐹1

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝐹1

𝜕𝑦1∙𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖+⋯+

𝜕𝐹1

𝜕𝑦𝑘∙𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥𝑖= 0

…𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑦1∙𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖+⋯+

𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑦𝑘∙𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥𝑖= 0

jest to układ równao

z wyznacznikiem głównym 𝜕 𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘

𝜕 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑘(𝑥, 𝑦) ≠ 0

z tw. Cramera 𝜕𝑓𝑗

𝜕𝑥𝑖𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖𝑥, 𝑦 =

𝜕 𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘

𝜕 𝑦1,…,𝑦𝑖−1,𝑥𝑖,𝑦𝑖+1,…,𝑦𝑘(𝑥,𝑦)

𝜕 𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘𝜕 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑘

(𝑥,𝑦)

Np. Wyznacz pochodne funkcji uwikłanych y=f(x), z=g(x), u=h(x) określonych układem równao

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑢 = 5

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑢2 = 9

𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 + 𝑢3 = 8

różniczkując

1 +𝑦′ +𝑧′ + 𝑢′ = 0

2𝑥 + 2𝑦𝑦′ + 2𝑧𝑧′ + 2𝑢𝑢′ = 0

3𝑥2 + 3𝑦2𝑦′ + 3𝑧2𝑧′ + 3𝑢2𝑢′ = 0

𝑊 =

1 1 1𝑦 𝑧 𝑢

𝑦2 𝑧2 𝑢2= 𝑧 − 𝑦 𝑢 − 𝑦 𝑢 − 𝑧 ≠ 0 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑢 ≠ 𝑦 ∧ 𝑢 ≠ 𝑧

𝑊1 =−1 1 1−𝑥 𝑧 𝑢−𝑥2 𝑧2 𝑢2

= − 𝑧 − 𝑥 𝑢 − 𝑥 𝑢 − 𝑧 , 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 =;(𝑧;𝑥)(𝑢;𝑥)

(𝑧;𝑦)(𝑢;𝑦)

𝑊2 =

1 −1 1𝑦 −𝑥 𝑢

𝑦2 −𝑥2 𝑢2= − 𝑥 − 𝑦 𝑢 − 𝑦 𝑢 − 𝑥 , 𝑧′= 𝑔′ 𝑥 =

;(𝑥;𝑦)(𝑢;𝑥)

(𝑧;𝑦)(𝑢;𝑧)

𝑊3 =

1 1 −1𝑦 𝑧 −𝑥

𝑦2 𝑧2 −𝑥2= − 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 , 𝑢′ = 𝑕′ 𝑥 =

;(𝑥;𝑦)(𝑥;𝑧)

(𝑢;𝑦)(𝑢;𝑧)

Zadanie: Wylicz pochodne funkcji uwikłanych z układu:

a) y=f(x) i z=g(x) dla 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥

𝑦= 1

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧

𝑥2:𝑦2= 3

,

b) y=f(x), z=g(x), u=h(x) dla

1

𝑥+

1

𝑦+

1

𝑧+

1

𝑢= 2

1

𝑥2+

1

𝑦2+

1

𝑧2+

1

𝑢2= 1

1

𝑥3+

1

𝑦3+

1

𝑧3+

1

𝑢3=

1

2

,

c) y=f(x), z=g(x), u=h(x) dla

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑢 + 𝑢𝑥 = 4𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧𝑢 + 𝑧𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑦 = 4

𝑥𝑦𝑧𝑢 = 1

Niech 𝑓: 𝑛:𝑘 → , oraz 𝐹𝑖:𝑛:𝑘 → , 𝑖 = 1,… , 𝑘.

Def. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 𝑥0 = (𝑥01, … , 𝑥0

𝑛, 𝑥0𝑛:1, … , 𝑥0

𝑛:𝑘) maksimum (minimum)

warunkowe przy warunkach 𝐹1 𝑥0 = 0

…𝐹𝑘 𝑥0 = 0

∃𝑟 > 0∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥0, 𝑟 : [ 𝐹1 𝑥 = 0

…𝐹𝑘 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 < 𝑓(𝑥0)]

(>)

Niech funkcje f i 𝐹𝑖mają ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu 𝑥0 względem wszystkich

zmiennych oraz 𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘)

𝜕(𝑥𝑛+1,𝑥𝑛+2,…,𝑥𝑛+𝑘)≠ 0

z tw. o układzie funkcji uwikłanych istnieje układ funkcji uwikłanych 𝑥𝑛:1 = 𝑓1 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛:2 = 𝑓2 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , … , 𝑥𝑛:𝑘 = 𝑓𝑘 𝑥1, … , 𝑥𝑛

wtedy problem znalezienia ekstremum warunkowego sprowadza się do problemu znalezienia „zwykłego” ekstremum funkcji 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑓1 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , … , 𝑓𝑘 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ) w punkcie (𝑥0

1, … , 𝑥0𝑛)

Np. Znajdź najmniejszą wartośd sumy dodatnich liczb x+y+z+t, jeżeli xyzt=16. niech f(x,y,z,t)=x+y+z+t

z warunku xyzt=16 wyliczamy 𝑡 =16

𝑥𝑦𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧,

16

𝑥𝑦𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 +

16

𝑥𝑦𝑧

WK:

1 −16

𝑥2𝑦𝑧= 0

1 −16

𝑥𝑦2𝑧= 0

1 −16

𝑥𝑦𝑧2= 0

(x=y=z= -2 t= -2) (x=y=z=2 t=2)

WW: 𝑓𝑥𝑥′′ =

32

𝑥3𝑦𝑧, 𝑓𝑥𝑦

′′ =16

𝑥2𝑦2𝑧, 𝑓𝑥𝑧

′′ =16

𝑥2𝑦𝑧2, 𝑓𝑦𝑦

′′ =32

𝑥𝑦3𝑧, 𝑓𝑦𝑧

′′ =16

𝑥𝑦2𝑧2, 𝑓𝑧𝑧

′′ =32

𝑥𝑦𝑧3

𝑀𝑑(2,2,2)2 𝑓 =

11

2

1

21

21

1

21

2

1

21

jest dodatnio określona 𝑓𝑚𝑖𝑛 2,2,2,2 = 8

zauważmy, że jest to minimum w całym obszarze x,y,z>0 bo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 16

𝑥𝑦𝑧) nieograniczenie rośnie

jeżeli x,y lub z dąży do zera albo do nieskooczoności Zadanie: Wyznaczając funkcję uwikłaną znajdź najmniejszą i największą wartośd funkcji przy zadanym warunku: a) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥𝑦𝑧𝑡, gdy 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 =8 i 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 > 0, b) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑦2 + 𝑐2𝑧2 − (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2)2, gdy 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 (𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0), c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) - pole trójkąta o obwodzie 2p i bokach x,y,z

Metoda czynników nieoznaczonych Lagrange’a wyznaczania ekstremów warunkowych Niech Φ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝜆1𝐹1 𝑥 − ⋯− 𝜆𝑘𝐹𝑘 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑛:𝑘, 𝜆𝑖 ∈ , 𝑖 = 1, … , k

Tw. WK istnienia ekstremum warunkowego

Jeżeli f ma w punkcie 𝑥0 = (𝑥01, … , 𝑥0

𝑛, 𝑥0𝑛:1, … , 𝑥0

𝑛:𝑘) ekstremum warunkowe przy warunkach

𝐹1 𝑥0 = 0

…𝐹𝑘 𝑥0 = 0

i 𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘)

𝜕(𝑥𝑛+1,𝑥𝑛+2,…,𝑥𝑛+𝑘)≠ 0, to

Φ𝑥1′ 𝑥0 = 0

…Φ𝑥𝑛+𝑘′ 𝑥0 = 0

.

Dowód: f ma ekstremum w 𝑥0 𝑓

𝑥𝑖′ 𝑥0 = 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛 + 𝑘

w ekstremum warunkowym rozważamy tylko te punkty w których 𝐹1 𝑥 = 0

…𝐹𝑘 𝑥 = 0

różniczkując równania stronami otrzymujemy

𝜕𝐹1

𝜕𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖 = 0𝑛:𝑘

𝑖<1

…

𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖 = 0𝑛:𝑘

𝑖<1

, gdzie 𝑑𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛

są różniczkami zmiennych niezależnych, a 𝑑𝑥𝑖 , 𝑖 = 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 𝑘 są różniczkami zmiennych zależnych (funkcji uwikłanych)

[

𝑛:𝑘

𝑖<1

𝑓𝑥𝑖′ 𝑥0 + 𝜆1

𝜕𝐹1𝜕𝑥𝑖

+ 𝜆2𝜕𝐹2𝜕𝑥𝑖

+⋯+ 𝜆𝑘𝜕𝐹𝑘𝜕𝑥𝑖

]𝑑𝑥𝑖 = 0

rozważmy układ 𝑓𝑥𝑖′ 𝑥0 + 𝜆1

𝜕𝐹1

𝜕𝑥𝑖+ 𝜆2

𝜕𝐹2

𝜕𝑥𝑖+⋯+ 𝜆𝑘

𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑥𝑖= 0, i = n + 1,… , n + k

z niewiadomymi 𝜆1, … , 𝜆𝑘

wyznacznikiem głównym tego układu jest 𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘)

𝜕(𝑥𝑛+1,𝑥𝑛+2,…,𝑥𝑛+𝑘)≠ 0 ma on jednoznaczne

rozwiązanie 𝜆 1, … , 𝜆 𝑘

[

𝑛

𝑖<1

𝑓𝑥𝑖′ 𝑥0 + 𝜆 1

𝜕𝐹1𝜕𝑥𝑖

+ 𝜆 2𝜕𝐹2𝜕𝑥𝑖

+⋯+ 𝜆 𝑘𝜕𝐹𝑘𝜕𝑥𝑖

]𝑑𝑥𝑖 = 0

z liniowej niezależności różniczek 𝑑𝑥1, … , 𝑑𝑥𝑛

𝑓𝑥𝑖′ 𝑥0 + 𝜆 1

𝜕𝐹1𝜕𝑥𝑖

+ 𝜆 2𝜕𝐹2𝜕𝑥𝑖

+⋯+ 𝜆 𝑘𝜕𝐹𝑘𝜕𝑥𝑖

= 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛

czyli Φ𝑥1′ 𝑥0 = 0

…Φ𝑥𝑛+𝑘′ 𝑥0 = 0

dla odpowiednio dobranych czynników 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘

Wniosek: Aby wyznaczyd punkty stacjonarne w metodzie Lagrange’a należy rozwiązad układ

równao

Φ𝑥1′ 𝑥 = 0

…Φ𝑥𝑛+𝑘′ 𝑥 = 0

𝐹1 𝑥 = 0…

𝐹𝑘 𝑥 = 0

na niewiadome 𝑥1, … , 𝑥𝑛:𝑘, 𝜆1, … , 𝜆𝑘

Warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego o tym, czy w punkcie 𝑥0 jest ekstremum warunkowe, a jeśli tak, to jakie, decyduje różnica

Δ = 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛:𝑘 − 𝑓(𝑥01, … , 𝑥0

𝑛:𝑘)

niech 𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘)

𝜕(𝑥𝑛+1,𝑥𝑛+2,…,𝑥𝑛+𝑘)≠ 0,Φ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝜆 1𝐹1 𝑥 −⋯− 𝜆 𝑘𝐹𝑘 𝑥 , punkt 𝑥0 i współczynniki

𝜆 1, … , 𝜆 𝑘 spełniają WK istnienia ekstremum warunkowego oraz funkcje f i 𝐹𝑖 mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu 𝑥0, to

Δ = Φ 𝑥1, … , 𝑥𝑛:𝑘 −Φ(𝑥01, … , 𝑥0

𝑛:𝑘)

z tw. Taylora Δ =1

2𝑑𝑥0+𝜃Δ𝑥2 Φ Δ𝑥 =

1

2

𝜕2Φ

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑥0 + 𝜃Δ𝑥)Δ𝑥𝑖Δ𝑥𝑗𝑛:𝑘

𝑖,𝑗<1 𝜕2Φ

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝑥0 + 𝜃Δ𝑥 =

𝜕2Φ

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝑥0 + 𝛼𝑖𝑗, gdzie 𝛼𝑖𝑗 Δ𝑥→0

0

∆=1

2 [

𝜕2Φ

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝑥0 Δ𝑥𝑖Δ𝑥𝑗 + 𝛼𝑖𝑗

𝑛:𝑘

𝑖,𝑗<1

Δ𝑥𝑖Δ𝑥𝑗]

zastąpmy teraz przyrosty Δ𝑥𝑖 przez różniczki (nieskooczenie małe przyrosty) d𝑥𝑖

z układu równao

𝜕𝐹1

𝜕𝑥𝑖(𝑥0)𝑑𝑥

𝑖 = 0𝑛:𝑘𝑖<1

…

𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑥𝑖(𝑥0)𝑑𝑥

𝑖 = 0𝑛:𝑘𝑖<1

, można wyliczyd różniczki d𝑥𝑖 , 𝑖 = 𝑛 + 1,… , 𝑛 + 𝑘 jako

kombinacje liniowe różniczek d𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 (wyznacznik główny to 𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘)

𝜕(𝑥𝑛+1,𝑥𝑛+2,…,𝑥𝑛+𝑘)≠ 0)

podstawiając mamy

∆=1

2 [𝐴𝑖𝑗𝑑𝑥

𝑖𝑑𝑥𝑗 + 𝛽𝑖𝑗

𝑛

𝑖,𝑗<1

𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗], 𝛽𝑖𝑗∆𝑥→00

możemy dobrad otoczenie 𝑥0 tak, aby 𝛽𝑖𝑗𝑛𝑖,𝑗<1 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 < 𝐴𝑖𝑗𝑑𝑥

𝑖𝑑𝑥𝑗𝑛𝑖,𝑗<1

jeżeli 𝐴𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗𝑛

𝑖,𝑗<1 jest dodatnio określona, to f ma minimum w 𝑥0, a

jeżeli 𝐴𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗𝑛

𝑖,𝑗<1 jest ujemnie określona, to f ma maksimum w 𝑥0

Tw. WW istnienia ekstremum warunkowego Jeżeli Φ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝜆 1𝐹1 𝑥 − ⋯− 𝜆 𝑘𝐹𝑘 𝑥 dla 𝑥 ∈ 𝑛:𝑘, punkt 𝑥0 i współczynniki 𝜆 1, … , 𝜆 𝑘 spełniają WK istnienia ekstremum warunkowego oraz funkcje f i 𝐹𝑖 mają ciągłe pochodne

cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu 𝑥0, 𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑘)

𝜕(𝑥𝑛+1,𝑥𝑛+2,…,𝑥𝑛+𝑘)≠ 0 i forma kwadratowa

powstająca z drugiej różniczki funkcji Φ w punkcie 𝑥0, przez wstawienie za

d𝑥𝑖 , 𝑖 = 𝑛 + 1,… , 𝑛 + 𝑘 rozwiązania układu

𝜕𝐹1

𝜕𝑥𝑖(𝑥0)𝑑𝑥

𝑖 = 0𝑛:𝑘𝑖<1

…

𝜕𝐹𝑘

𝜕𝑥𝑖(𝑥0)𝑑𝑥

𝑖 = 0𝑛:𝑘𝑖<1

jest dodatnio (ujemnie)

określona, to f ma w 𝑥0 minimum (maksimum) warunkowe. Np. Znajdź ekstrema warunkowe funkcji f(x,y,z,t)=x+y+z+t, przy warunku xyzt=16. Φ 𝑥 =x+y+z+t - (xyzt-16)

Φ𝑥′ = 1 − 𝜆𝑦𝑧𝑡, Φ𝑦

′ = 1 − 𝜆𝑥𝑧𝑡, Φ𝑧′ = 1 − 𝜆𝑥𝑦𝑡, Φ𝑥

′ = 1 − 𝜆𝑥𝑦𝑧 1 − 𝜆𝑦𝑧𝑡 = 01 − 𝜆𝑥𝑧𝑡 = 01 − 𝜆𝑥𝑦𝑡 = 01 − 𝜆𝑥𝑦𝑧 = 0𝑥𝑦𝑧𝑡 = 16

𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡 = 16𝜆

𝜆 = ±1

8

punkty stacjonarne, to 𝑃1 = 2,2,2,2 , 𝜆 =1

8 oraz

𝑃2 = −2,−2, −2, −2 , 𝜆 = −1

8

Φ𝑥𝑥′′ = Φ𝑦𝑦

′′ = Φ𝑧𝑧′′ = Φ𝑡𝑡

′′ = 0,Φ𝑥𝑦′′ = −𝜆𝑧𝑡,Φ𝑥𝑧

′′ = −𝜆𝑦𝑡,Φ𝑥𝑡′′ = −𝜆𝑦𝑧, Φ𝑦𝑧

′′ = −𝜆𝑥𝑡, Φ𝑦𝑡′′ = −𝜆𝑥𝑧,Φ𝑧𝑡

′′ = −𝜆𝑥𝑦

𝑑𝐹 = 𝑦𝑧𝑡𝑑𝑥 + 𝑥𝑧𝑡𝑑𝑦 + 𝑧𝑦𝑡𝑑𝑧 + 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑡 = 0 𝑑𝑡 = −𝑡(𝑑𝑥

𝑥+

𝑑𝑦

𝑦+

𝑑𝑧

𝑧)

𝑑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)2 Φ = −2𝜆 𝑧𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑡𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝑥𝑡𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝑥𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 =

= 2𝜆 𝑡𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑡𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑡𝑑𝑦𝑑𝑧 +𝑦𝑧𝑡

𝑥𝑑𝑥 2 +

𝑥𝑧𝑡

𝑦𝑑𝑦 2 +

𝑥𝑦𝑡

𝑧𝑑𝑧 2

𝑀𝑑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)2 Φ = 𝜆

2𝑦𝑧𝑡

𝑥𝑧𝑡 𝑦𝑡

𝑧𝑡 2𝑥𝑧𝑡

𝑦𝑥𝑡

𝑦𝑡 𝑥𝑡 2𝑥𝑦𝑡

𝑧

𝑀𝑑(2,2,2,2)2 Φ jest dodatnio określona, a 𝑀𝑑(−2,−2,−2,−2,)

2 Φ

jest ujemnie określona w (2,2,2,2) f ma minimum warunkowe, a w (-2,-2,-2,-2) f ma minimum warunkowe

Uwaga: w praktyce WW na ekstremum warunkowe jest rzadko wykorzystywane, gdyż najczęściej stosujemy to ekstremum w problemach wyliczania wartości największej i najmniejszej funkcji w zbiorze domkniętym (wtedy, gdy analizujemy zachowanie się funkcji na brzegu)

Np. Znajdź wartośd największą i najmniejszą funkcji 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, dla 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1 szukamy ekstremów wewnątrz zbioru WK: 𝑓𝑥

′ = 1, 𝑓𝑦′ = 1, 𝑓𝑧

′ = 1 brak punktów stacjonarnych wewnątrz obszaru

badamy ekstrema na brzegu 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧, 𝑧 < 1 Φ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧)

WK: Φ𝑥′ = 1 − 2𝜆𝑥, Φ𝑦

′ = 1 − 2𝜆𝑦,Φ𝑧′ = 1 + 𝜆

1 − 2𝜆𝑥 = 01 − 2𝜆𝑦 = 01 + 𝜆 = 0

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧

(−1

2, −

1

2,1

2), 𝜆 = −1 punkt stacjonarny

badamy ekstrema na brzegu 𝑧 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 < 1 Φ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝜆(𝑧 − 1)

WK: Φ𝑥′ = 1,Φ𝑦

′ = 1,Φ𝑧′ = 1 − 𝜆 brak punktów stacjonarnych

badamy ekstrema na krzywej 𝑧 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 = 1 Φ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝜆1(𝑥

2 + 𝑦2 − 1) −𝜆2 (𝑧 − 1) WK: Φ𝑥

′ = 1 − 2𝜆1𝑥,Φ𝑦′ = 1 − 2𝜆1𝑦,Φ𝑧

′ = 1 − 𝜆2 1 − 2𝜆1𝑥 = 01 − 2𝜆1𝑦 = 01 − 𝜆2 = 0

𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑧 = 1

(2

2,2

2, 1), 𝜆1 =

1

2, 𝜆2 = 1 i (−

2

2, −

2

2, 1), 𝜆1 =

;1

2, 𝜆2 = 1 punkty

stacjonarne

𝑓 −1

2,−

1

2,1

2= −

1

2, 𝑓

2

2,2

2, 1 = 2 + 1, 𝑓 −

2

2,−

2

2, 1 = 1 − 2

wartośd najmniejsza wartośd największa Zadanie: 1. Stosując metodę Lagrange’a znajdź ekstrema warunkowe: a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦, gdy 4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0, b) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑦2 + 𝑐2𝑧2 − (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2)2, gdy 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 (𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0), c) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, gdy 2x-3y+z=0 i 36𝑥2 + 9𝑦2 + 4𝑧2 = 36,

2. Stosując metodę Lagrange’a znajdź ekstrema warunkowe: a) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥𝑦𝑧𝑡, gdy 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 =8,

b) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡, gdy 1

𝑥+

4

𝑦+

9

𝑧+

16

𝑡= 1,

c) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 4𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 3𝑡2, gdy 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑡2 = 1