kinematika slozenog kretanja tacke - zadacipolj.uns.ac.rs/~mehanika/kinematika slozenog kretanja...

Primer 3.1 Mehanički sistem, prikazan na slici, kreće se u ravni crteža. Kretanje prenosnog elementa definiše njegov ugao rotacije a relativno kretanje definiše koordinata . Podaci su:

( )tϕ( )ts ( ) ,2tt =ϕ

( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,1,3 2 radmsstmbttts ϕ=−=Za date podatke nacrtati položaj sistema u trenutku i u tom trenutku odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M koja vrši složeno kretanje.

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnog elementa je obrtanje oko nepomične ose a relativno kretanje je pravolinijsko. U zadatom trenutku vremena rastojanje (relativna koordinata) iznosi

AM( ) .21 msAM ==

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa:( ) ( ) ( ) ( ) .2212,2212 21 −− =ε⇒=ϕ⇒=ϕ=ω⇒=ϕ⇒=ϕ ststt &&&&&&

Smeroviω i ε se poklapaju sa smerom porasta uglaϕ jer je ( ) ( ) .01i01 >ϕ>ϕ &&&

Relativna brzina i relativno ubrzanje:

( ) ( ) ( ) ( ) .2212,11123 2s

masts

sm

Vstts rr =⇒−=⇒−==⇒=⇒−= &&&&&&

Smer vektora poklapa se sa smorom porastom koordinates zbog , a smer vektora je suprotan od smera porasta koordinates zbog

( ) 01 >s&( ) .01 <s&&

rVr

rar

Rastojanje , važno za određivanje brzi-ne i ubrzanja tačke M’ prenosnog elementa (to jest, prenosne brzine i prenosnog ubrza-nja), dobijeno iz Pitagorine teoreme za tro-ugao OAM, iznosi

OM

.521 22 mOM =+=Uvedimo ugao α u trouglu OAM, odakle sinus i kosinus tog ugla, koji će nam kasnije trebati, iznose

.5

2cos,

5

1sin ==α==α

OM

MA

OM

OA

Intenziteti prenosne brzine i komponenata prenosnog ubrzanja (Sl.1) su: ,52

s

mOMVV Mp =ω⋅== ′

,542

2

s

mOMaa NMpN =ω⋅== ′ .52

2s

mOMaa TMpT =ε⋅== ′

Koriolisovo ubrzanje:

Smerovi vektora i su u skladu sa smerovima ω i ε.pVr

pTar

rcor Varrr ×ω= 2

242

s

mVa rcor =⋅ω⋅=

Intenzitet je

zbog .900=θ

Pošto se sva kretanja odvijaju u ravni crteža, pravac i smer Koriolisovog ubrzanja određeni su zakretanjem vektora za u smeru ugaone brzine ω (Sl.2).

rVr

090

Apsolutna brzina: Apsolutno ubrzanje:

rp VVVrrr

+=40cos: =+α= px VVx

3sin: =+α= rpy VVVy

corrpTpN aaaaarrrrr +++=

120cossin: =++α+α= corpTpNx aaaax

80sincos: −=+−α+α−= rpTpNy aaaay

2

22 134s

maaa yx =+=⇒s

mVVV yx 522 =+=⇒

Primer 3.2 Mehanički sistem, prikazan na slici, kreće se u ravni crteža. Kretanje prenosnog elementa definiše njegov ugao rotacije a relativno kružno kretanje definiše ugaona koordinata gde je . Podaci su:mR 1=

( )tϕ( )tψ

( ) ,2 32 ttt −=ϕ( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,0,

22 radradstbttt ϕψ=π+−=ψ

Za zadate podatke nacrtati položaj sistema trenutku i u tom trenutku odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M koja vrši složeno kretanje?

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnog elementa je obrtanje oko nepomične ose a relativno kretanje je kružno.Položaj tačke M u odnosu na prenosni element određuje koordinata koja za iznosi

( )tψst 1=

( ) .902

1 0=π=ψ

U zadatom trenutku vremena rastoja-nje (važno za određivanje preno-sne brzine i prenosnog ubrzanja), iz jednakokrakog pravouglog trougla OCM, iznosi a ugao između duži i x ose iznosi (Sl.1-sledeći slajd).

OM

,2 mOM =OM 045


Smerovi vektora i poklapajuse sa smorom porastom koordinate s jer je i i( ) 01 >s& ( ) .01 >s&&

Uvođenjem relativne kružne koordinate dobija se

( ) ( )tRts ψ⋅=

( ) ( )sm

Vstts r 11112 =⇒=⇒−= &&

( ) ( ) 22212s

masts rT =⇒=⇒= &&&&

( ) ⇒π+−=2

2 ttts

2

2

1s

m

R

Va r

rN ==⇒

rVr

rTar

( ) ( ) 22212s

masts rT =⇒=⇒= &&&&

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa:

( ) ( )( ) ( ) 2

12

22164

11134−

−

=ε⇒−=ϕ⇒−=ϕ

=ω⇒=ϕ⇒−=ϕ

stt

sttt

&&&&

&&

Smerω se poklapa sa smeromporasta uglaϕ jer je ( ) .01 >ϕ&

Smerε je suprotan od smeraporasta uglaϕ jer je ( ) .01 <ϕ&&

Koriolisovo ubrzanje: rcor Varrr ×ω= 2

222s

mVa rcor =⋅ω⋅=⇒=θ 090

Određivanje pravca i smera Koriolisovog ubrzanja prikazano je na slici 2.

Intenziteti prenosne brzine i komponenata prenosnog ubrzanja (Sl.1) su:

,2s


,22

2

s

mOMaa NMpN =ω⋅== ′

.222s


Određivanje apsolutne brzine:

245cos: =+= ro

px VVVx

1045sin: =+= opy VVy

s

mVVV yx 522 =+=⇒

rp VVVrrr

+=

Određivanje apsolutnog ubrzanja:

corrTrNpTpN aaaaaarrrrrr ++++=

10022

22

: −=+++−−= rTpTpNx aaaax

002

2

2

2: =+++−= corrNpTpNy aaaaay

2

22 1s

maaa yx =+=⇒

je pravolinijsko.U trenutku rastojanje (relativna koordinata) iznosi

Primer 3.3 Žica AB, koja leži u yzravni obrće se oko vertikalne ose z. Kretanje prenosnog elementa (žice) definiše njegov ugao rotacije a relativno kretanje definiše koordinata . Podaci su:

( )ts( ) ,33tt =ϕ

[ ] [ ] [ ]( ).,,,300 msradst ϕ=α

( ) ,2 2ttts +−=

Za zadate podatke nacrtati položaj sistema trenu-tku i u tom trenutku odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M koja vrši složeno kretanje.

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnog elementa je obrtanje oko nepomične ose a relativno kretanje

st 1=AM

( ) ,21 msAM ==a najkraće rastojanje između tačke M i ose obrtanja (važno za određivanje prenosne brzine i prenosnog ubrzanja), iz jednakokrakog pravouglog trougla OAM (naredni slajd), iznosi

OM

.130sin 0 mAMOM =⋅=

( )tϕ

Prostorni prikaz položaja sistema u trenutku , za zadate podatke, prikazan je na prvoj slici. Na drugoj slici, može se videti taj isti položaj ali u projekcijama (gornja slika desno je pogled spreda-prikaz zAyu pravoj veličini adonja slika desno je pogled odozgo-prikaz xAyu pravoj veličini).

st 1=

Vektori koji se vektorski množe i obrazuju ravan zAy. Vektor , pošto mora biti upravan na tu ravan, ima pravac ose x. Smer vektora određen pravilom desne ruke, suprotan je od smera ose x.


( ) ( ) ( ) ( ) 21,112,21 ==⇒=+−= sststts &&&&&& .2,1 2s

ma

sm

V rr ==⇒

Smerovi vektora i poklapaju se sa smoromporastom koordinates jer je i i( ) 01 >s& ( ) .01 >s&&

rVr

rar


Smerω se poklapa sa smerom porasta uglaϕ jer je ( ) .01 >ϕ&( ) ( ) ( ) ( ) 21,112,2 =ϕ=ϕ⇒=ϕ=ϕ &&&&&& tttt .2,1 21 −− =ε=ω⇒ ss

Smerε se poklapa sa smerom porasta uglaϕ jer je ( ) .01 >ϕ&&Intenziteti prenosne brzine i komponenata prenosnog ubrzanja:

,1sm

OMVV Mp =ω⋅== ′

,1 22

s


.2 2s



20 130sin2 smVa rcor =⋅⋅ω⋅=

ωrrVr

corar

,corar


rp VVVrrr

+=


10: −=+−= px VVx

2

130sin0: =+= o

ry VVy

2

330cos0: =+= o

rz VVz

s

mVVVV zyx 2222 =++=⇒

corrpTpN aaaaarrrrr +++=

300: −=−+−= corpTx aaax

0030sin0: =+++−= orpNy aaay

3030cos00: =+++= orz aaz

2222 32

s

maaaa zyx =++=⇒

Do istog rezultata se moglo doći i na sledeći način. Pošto su i međusobno upravnekomponente apsolutne brzine, intenzitet apsolutne brzine je

pVr

rVr

.22rp VVV +=

Primer 3.4 Kružna žica, koja leži u yzravni, obrće se oko vertikalne ose z. Kretanje prenosnog elementa (žice) definiše njegov ugao rotacije a relativno kružno kretanje definiše ugaona koordinata gde je . Podaci su:

( )tϕ( )tψ mR 1=

( ) ,32 ttt −=ϕ ( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,1,2

32 radradstmbttt ϕψ=π+−=ψ

Za zadate podatke nacrtati položaj sistema trenutku i u tom trenutku odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M koja vrši složeno kretanje?

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnog elementa je obrtanje oko nepomične ose a relativno kretanje je kružno.Položaj tačke M u odnosu na prenosni element određuje koordinata koja za iznosi

( )tψst 1=

( ) .2702

31 0=π=ψ

Prostorni prikazPrikaz u projekcijama

U zadatom trenutku vremena rastojanje (važno za određivanje prenosne brzine i prenosnog ubrzanja), iznosi

OM

.2mRbOM =+=

Uvođenjem relativne kružne koordinate dobija se da je

( ) ( )tRts ψ⋅=

( ) .2

32 π+−= ttts


Smerovi vektora i poklapaju se sasmorom porastom koordinates jer je i i

( ) 01 >s&( ) .01 >s&&

2

2

1s

m

R

Va r

rN ==⇒

rVr

rTar

( ) ( ) 22212s

masts rT =⇒=⇒= &&&&

( ) ( )s

mVstts r 11112 =⇒=⇒−= &&


( ) ( )( ) ( ) 2

1

2212

11132−

−

=ε⇒=ϕ⇒=ϕ

=ω⇒−=ϕ⇒−=ϕ

st

stt

&&&&

&&

Smerε se poklapa sa smeromporasta uglaϕ jer je ( ) .01 >ϕ&&

Smerω je suprotan od smeraporasta uglaϕ jer je ( ) .01 <ϕ&

Intenziteti prenosne brzine i komponenata prenosnog ubrzanja su:

,2s


,22

2

s


.42s



222s

mVa rcor =⋅ω⋅=⇒=θ 090

Vektori koji se vektorski množe i obrazuju ravan zAy. Vektor , pošto mora biti upravan na tu ravan, ima pravac ose x. Smer vektora određen pravilom desne ruke, suprotan je od smera ose x.

ωrrVr

corar

,corar

Određivanje apsolutne brzine (kraći način):

Određivanje apsolutnog ubrzanja:corrTrNpTpN aaaaaarrrrrr ++++=6000: −=−++−= corpTx aaax

4000: −=+−++−= rTpNy aaay

10000: −=++−+= rNz aaz 2

222 53s

maaaa zyx =++=⇒

Pošto su i međusobno upravnekomponente apsolutne brzine, intenzitet apsolutne brzine je

pVr

rVr

.522

sm

VVV rp =+=

Primer 3.5 Mehanički sistem, prikazan na slici, kreće se u ravni crteža. Translatorno kretanje prenosnog elementa definiše koordinata a relativno kretanje definiše koordinata . Podaci su:

( )tx( )ts

( ) ( )[ ] [ ] [ ]( ).,,,60

,33,220

223

msmxst

tttstttx

=α

+−=+−=

Za zadate podatke odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke Mtrenutku .1st =

U ovom zadatku, u kom je relativno kretanje pravolinijsko, rastojanje(relativna koordinata) iznosi mada, ovo rastojanje, kao i vrednost x koordinate, neće imati nikakav uticaj na brzine i ubrzanja.

AM( ) ,11 msAM ==

Prvi i drugi izvod koordinate x, koja defini-še prenosno translatorno kretanje, u trenu-tku su:st 1= ( ) ( ) 46,43 2 −=−= ttxtttx &&&

( ) ( ) 21,11 =−=⇒ xx &&&22,1

s

ma

s

mV pp ==⇒

Smer vektora poklapa se sasmorom porastom koordinatexzbog , a smer vektoraje suprotan od smera porastakoordinatex zbog

( ) 01 >x&&

( ) .01 <x&

pVr

par

Smer vektora poklapa se sa smorom porastom koordinates zbog , a smer vektora je suprotan od smera porasta koordinates zbog


( ) ( ) ( ) ( ) 21,112,32 =−=⇒=−= sststts &&&&&&.2,1 2s

ma

sm

V rr ==⇒

( ) .01 <s&rar ( ) 01 >s&&

rVr

Primetimo da Koriolisovog ubrzanja, pri translatornom prenosnom kretanju, nema, zbog toga što je ω=0.


rp VVVrrr

+=

2

360cos: −=−−= o

rpx VVVx

2

360sin0: −=−= o

ry VVy

Određivanje apsolutnog ubrzanja:sm

VVV yx 322 =+=⇒

⇒+= rp aaarrr

360cos: =+= orpx aaax

360sin0: =+= ory aay

2

22 32s

maaa yx =+=⇒

Primer 3.6 Mehanički sistem, prikazan na slici, kreće se u ravni crteža. Translatorno kretanje prenosnog elementa definiše koordinata a relativno kružno kretanje definiše koordinata , gde je . Podaci su:

( )tx( )tψ

mR 1=( )( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,633

,4742

23

radmxstttt

ttttx

ψπ+−=ψ

+−=

Za zadate podatke nacrtati položaj sistema u trenutku i u tom trenutku odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M koja vrši složeno kretanje?

st 1=

Uvođenjem relativne kružne koordinate dobija se da je

( ) ( )tRts ψ⋅=( ) .633 2 π+−= ttts


Smerovi vektora i poklapaju se sasmorom porastom koordinates jer je i i

( ) 01 >s&( ) .01 >s&&

2

2

9s

m

R

Va r

rN ==⇒

rVr

rTar

( ) ( ) 26616s

masts rT =⇒=⇒= &&&&

( ) ( )sm

Vstts r 33136 =⇒=⇒−= &&

Ovde Koriolisovo ubrzanjene postoji jer je prenosno kretanje translatorno.

Prenosna brzina i prenosno ubrzanje:

( ) ( ) 1424,41412 2 −=+−= ttxtttx &&&

( ) ( ) 101,21 ==⇒ xx &&&

.10,2 2s

ma

sm

V pp ==⇒

Smerovi vektora i poklapaju se sa smorom porastakoordinatex zbog i ( ) .01 >x&&( ) 01 >x&

pVr

par


rp VVVrrr

+=3030cos: =+= o

px VVx

430sin: =+= ro

py VVVy

sm

VVV yx 1922 =+=⇒


rTrNp aaaarrrr ++=

935030cos: +=++= rNo

px aaax

11030sin: =++= rTo

py aaay

( )2

2222 8,2011935s

maaa yx ≈++=+=

Primer 3.7 Mehanički sistem, prikazan na slici, kreće se u ravni crteža. Štapovi 1 i 2 obrću se oko zglobova O1 i O2, respektivno. Krajnja tačka štapa 2 (zvaćemo je tačkom M), uz pomoć klizača, kreće se duž štapa 1. Podaci su: ( ) [ ] [ ]( ).,,45,2,2 023 radstmbttt ϕ=α=−=ϕ

Nacrtati položaj sistema trenutku i u tom trenutku odrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje štapa 1, koji je baštada vertikalan i odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M, koja vrši složeno kretanje, kao i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje štapa 2?

st 1=

Činjenica je da u ovom zadatku u nepoznate veličine ulaze i intenziteti i smerovi vektora relativne brzine i relativnog ubrzanja, to jest nema, kao u prethodnim primerima, zadate relativne koordinate koja bi njih odredila. Za razliku od prethodnih primera, ovde se zna da je apsolutna putanja tačke Mkružna, jer tačke M pripada štapu 2. Ta činjenica će nam dati neke od važnih podataka o vektorima apsolutne brzine i apsolutnog ubrzanja.

U ovom zadatku krajnja tačka M štapa 2 vrši složeno kre-tanje. Zna se da je relativna putanja pravolinijska jer je prenosni element, u odnosu na koji se tačka M relativno kreće, štap 1, koji je, u zadatom položaju, vertikalan.

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje štapa 1:

Položaj sistema u trenutku za zadate podatke prikazan je na slici 1.

st 1=

( ) ( )( ) ( ) 21,11

46,43 2

=ϕ−=ϕ⇒

−=ϕ−=ϕ&&&

&&& ttttt

21

11 2,1 −− =ε=ω⇒ ss

Smerε1 se poklapa sa smeromporasta uglaϕ jer je ( ) .01 >ϕ&&

Smerω1 je suprotan od smeraporasta uglaϕ jer je ( ) .01 <ϕ&

Na slici 2 prikazan je vektor prenosne brzine, kao i vektori komponenataprenosnog ubrzanja. Za određivanje njihovih intenziteta dovoljno je, osimi , da se zna da rastojanje iznosi

1ω1ε MO1 .1sin1 mbMO =α⋅=

Zbog obrtnog kretanja prenosnog elementa (štapa 1) ti intenziteti su:

,111 sm

MOVp =ω⋅= ,1 2

211 s

mMOapN =ω⋅= .2

211 s

mMOapT =ε⋅=

Analiza brzina:Na osnovu vektorske formule moći će da se odrede nepoznate veličine, pošto će u njoj biti nepoznata samo dva važna podatka (to su intenziteti apsolu-tne i relativne brzine). Pravci vektora apsolutne i relativne brzine su poznati a smerovi su im pretpostavljeni.

rp VVVrrr

+=

012

2: +=⋅Vx

1

22 1,2 −==ω=⇒ s

MO

V

s

mV

rVVy +=⋅ 02

2:

s

mVr 1=⇒

Zbog činjenice da su rešenja za V i pozitivnih predznaka, pretpostavke o smerovima za i (samim tim i za ) su tačne.

rV

Pošto se sva kretanja odvijaju u ravni crteža, pravac i smer Koriolisovog ubrzanja određeni su zakretanjem vektora za u smeru ugaone brzine ω1 (Sl.2-narednislajd).

rVr

Vr

2ω


rcor Varrr ×ω= 2

⇒=θ 090 21 22s

mVa rcor =⋅ω⋅=

rVr

090

Analiza ubrzanja:

Ovde apsolutno ubrzanje mora da se razloži na njegovu normalnu komponentu i tangencijalnu , zbog pripadnosti tačke M štapu 2, koji se obrće oko zgloba O2 (Sl.1). Komponenta je u potpunosti poznata a njen intenzitet je

ar

Nar

Tar

Nar

.22

222 s

mMOaN =ω⋅=

Komponenti intenzitet je nepoznat jer ga određuje formula

Tar

,2 222 ε=ε⋅= MOaT

dok joj je pravac poznat a smer pretpostavljen. corrpTpNTN aaaaaarrrrrr +++=+

20202

22

2

22: 2 ++−=⋅ε−⋅x 2

22 2,1

s

mas T ==ε⇒

−

2

22 2s

maaa TN =+=⇒

0012

22

2

22: +−+−=⋅−⋅− ray 2

2s

mar =⇒

datku u nepoznate veličine ulaze i intenziteti i smerovi vektora prenosne brzine i prenosnog tangencijalnog ubrzanja, to jest nema, kao u većini prethodnih primera, zadate koordinate koja definiše prenosno kretanje. Za razliku od takvih primera, ovde se zna u potpunosti apsolutno kretanje. Osim apsolutne putanje tačke M, znaće se i vektori, kako njene brzine tako i komponenata njenog ubrzanja, jer ona pripada štapu 2, čije kretanje je definisano koordinatom .

Primer 3.8 Mehanički sistem, prikazan na slici, kreće se u ravni crteža. Štapovi 1 i 2 obrću se oko zglobova O1 i O2, respektivno. Krajnja tačka štapa 2 (zvaćemo je tačkom M), uz pomoć klizača, kreće se duž štapa 1. Podaci su:

( ) [ ] [ ]( ).,,60,32, 023 radstmbttt ϕ=α=−=ϕNacrtati položaj sistema trenutku i u tom trenutku odrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje štapa 2 i odrediti relativnu brzinu i relativno ubrzanje tačke M u odnosu na štap 1 kao i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje štapa 1.

st 1=

( )tϕ

U ovom zadatku krajnja tačka M štapa 2 vrši složeno kretanje. Zna se da je relativna putanja pravolinijska jer je prenosni element, u odnosu na koji se tačka M relativno kreće, štap 1, koji je, u zadatom položaju, vertikalan. Činjenica je da u ovom za-

st 1=Položaj sistema u trenutku za zadate podatke prikazan je na slici desno. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje štapa 2:

( ) ( ) ( ) ( ) 41,1126,23 2 =ϕ=ϕ⇒−=ϕ−=ϕ &&&&&& ttttt

.4,1 22

12

−− =ε=ω⇒ ssApsolutna brzina i kompone-nata apsolutnog ubrzanja:

,222 s

mMOVV M =ω⋅==

,2 22

22 s

mMOaa MNN =ω⋅==

222 8s

mMOaa MTT =ε⋅==

Analiza brzina:

rp VVVrrr

+=

060sin2: +=⋅ po Vx 1

11 1,3 −==ω=⇒ s

MO

V

s

mV p

p

ro Vy +=⋅ 060cos2:

sm

Vr 1=⇒

Analiza ubrzanja:Ovde prenosno ubrzanje mora da se razloži na njegovu normalnu komponentu i tangencijalnu , zbog pripadnosti tačke M´ štapu 1, koji se obrće oko zgloba O1 . Komponenta je u potpunosti poznata a njen intenzitet je

par

pNar

pTar

pNar

.3 22

11 s

mMOapN =ω⋅=

Komponenti intenzitet je nepoznat jer ga određuje formuladok joj je pravac poznat a smer pretpostavljen.

pTar

111' 3 ε=ε⋅== MOaa TMpT

Pošto se sva kretanja odvijaju u ravni crteža, pravac i smer Koriolisovog ubrzanja određeni su zakretanjem vektora za u smeru ugaone brzine ω1 (Sl.2-narednislajd).


rcor Varrr ×ω= 2

⇒=θ 090 21 22s

mVa rcor =⋅ω⋅=

rVr

090

corrpTpNTN aaaaaarrrrrr +++=+

2002

38

2

12: +++=⋅+⋅ pTax ,

33

4,134 2

112

−−==ε−=⇒ sMO

a

s

ma pT

pT

0032

18

2

32: +++−=⋅+⋅− ray

24

s

mar =⇒

Zbog činjenice da su rešenja za i pozitivnih predznaka, obe pretpostavke o smerovima su tačne. Pri projektovanju vektora na koordinatne ose za pisana je vrednost dok je za pisana vrednost

pTar

rar

060cos21

060sin .23

kinematika slozenog kretanja tacke - zadacipolj.uns.ac.rs/~mehanika/kinematika slozenog kretanja...

Documents