kinematika slozenog kretanja tacke - zadaci

7/22/2019 Kinematika Slozenog Kretanja Tacke - Zadaci

1/27

Primer 3.1 Mehaniki sistem, prikazan na

slici, kree se u ravni crtea. Kretanjeprenosnog elementa definie njegov ugaorotacije a relativno kretanje definiekoordinata . Podaci su:

( )t( )ts ( ) ,2tt =

( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,1,3 2 radmsstmbttts ==Za date podatke nacrtati poloaj sistema utrenutku i u tom trenutku odreditiapsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje takeMkoja vri sloeno kretanje.

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnog elementa je obrtanje oko nepomine ose arelativno kretanje je pravolinijsko. U zadatom trenutku vremena rastojanje(relativna koordinata) iznosi

M( ) .21 msAM ==

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa:

( ) ( ) ( ) ( ) .2212,2212 21 ====== ststt &&&&&&

Smerovi i se poklapaju sa smerom porasta uglajer je ( ) ( ) .01i01 >> &&&


2/27

Relativna brzina i relativno ubrzanje:

( ) ( ) ( ) ( ) .2212,11123 2sm

astss

m

Vstts rr ====== &&&&&&

Smer vektora poklapa se sa smorom porastom koordinates zbog ,a smer vektora je suprotan od smera porasta koordinates zbog

( ) 01 >s&

( ) .01


3/27

Koriolisovo ubrzanje:

Smerovi vektora i su u skladu sa smerovima i .pVr

pTar

rcor Va

rrr

= 2

242s

mVa rcor ==

Intenzitet je

zbog .900=

Poto se sva kretanja odvijaju u ravnicrtea, pravac i smer Koriolisovogubrzanja odreeni su zakretanjemvektora za u smeru ugaone

brzine (Sl.2).

rVr

090

Apsolutna brzina: Apsolutno ubrzanje:

rp VVV

rrr

+=40cos: =+= px VVx

3sin: =+= rpy VVVy

corrpTpN aaaaa rrrrr

+++=120cossin: =+++= corpTpNx aaaax

80sincos: =++= rpTpNy aaaay

2

22

134 s

m

aaa yx =+=

s

mVVVyx

522 =+=


4/27

Primer 3.2 Mehaniki sistem, prikazanna slici, kree se u ravni crtea. Kretanje

prenosnog elementa definie njegovugao rotacije a relativno krunokretanje definie ugaona koordinatagde je . Podaci su:mR 1=

( )t

( )t( ) ,2 32 ttt =

( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,0,2

2 radradstbttt =+=

Za zadate podatke nacrtati poloaj sistematrenutku i u tom trenutku odrediti

apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje takeMkoja vri sloeno kretanje?

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnogelementa je obrtanje oko nepomineose a relativno kretanje je kruno.Poloaj takeMu odnosu na prenosnielement odreuje koordinatakoja za iznosi

( )tst 1=

( ) .9021

0

=

=

U zadatom trenutku vremena rastoja-nje (vano za odreivanje preno-sne brzine i prenosnog ubrzanja), iz

jednakokrakog pravouglog trouglaOCM, iznosi a ugaoizmeu dui ix ose iznosi(Sl.1-sledei slajd).

OM

,2mOM=OM

045


5/27


Smerovi vektora i poklapajuse sa smorom porastom koordinate sjer je i i( ) 01 >s& ( ) .01 >s&&

Uvoenjem relativne krune koordinatedobija se ( ) ( )tRts =

( ) ( )s

mVstts r 11112 === &&

( ) ( )22212

s

masts rT=== &&&&

( )

+=2

2ttts

2

2

1s

m

R

Va rrN ==

rVr

rTar

( ) ( ) 22212s

masts rT=== &&&&

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje

prenosnog elementa:

( ) ( )

( ) ( )2

12

22164

11134

===

===

stt

sttt

&&&&

&&

Smer se poklapa sa smeromporasta uglajer je ( ) .01 >&

Smerje suprotan od smeraporasta uglajer je ( ) .01


6/27

Intenziteti prenosne brzine i

komponenata prenosnog

ubrzanja (Sl.1) su:

,2s

mOMVV Mp ===

,22

2

s

mOMaa

NMpN

===

.222s

mOMaa TMpT ===

Odreivanje apsolutne brzine:

245cos: =+= ro

px VVVx

1045sin: =+= opy VVy

smVVV yx 522 =+=

rp VVV

rrr

+=

Odreivanje apsolutnog ubrzanja:

corrTrNpTpN aaaaaa rrrrrr

++++=

10022

22

: =+++= rTpTpNx aaaax

002

2

2

2: =+++= corrNpTpNy aaaaay

2

22 1s

maaa yx =+=


7/27

je pravolinijsko.U trenutkurastojanje (relativna koordinata)

iznosi

Primer 3.3 icaAB, koja lei uyz ravni obrese oko vertikalne osez. Kretanje prenosnog

elementa (ice) definie njegov ugao rotacijea relativno kretanje definie koordinata .Podaci su:

( )ts( ) ,33tt =

[ ] [ ] [ ]( ).,,,300 msradst =

( ) ,2 2ttts +=

Za zadate podatke nacrtati poloaj sistema trenu-tku i u tom trenutku odrediti apsolutnubrzinu i apsolutno ubrzanje takeMkoja vrisloeno kretanje.

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnog elementa jeobrtanje oko nepomine ose a relativno kretanje

st 1=M

( ) ,21 msAM ==a najkrae rastojanje izmeu take M i oseobrtanja (vano za odreivanje prenosnebrzine i prenosnog ubrzanja), iz jednakokrakog

pravouglog trougla OAM(naredni slajd), iznosi

OM

.130sin0

mAMOM ==

( )t


8/27

Prostorni prikaz poloaja sistema u trenutku , za zadate podatke,prikazan je na prvoj slici. Na drugoj slici, moe se videti taj isti poloaj ali u

projekcijama (gornja slika desno je pogled spreda-prikazzAy u pravoj veliini adonja slika desno je pogled odozgo-prikazxAy u pravoj veliini).

st 1=


9/27

Vektori koji se vektorskimnoe i obrazuju ravanzAy. Vektor , poto morabiti upravan na tu ravan, imapravac osex. Smer vektoraodreen pravilom desne ruke,

suprotan je od smera osex.


( ) ( ) ( ) ( ) 21,112,21 ===+= sststts &&&&&& .2,12s

ma

s

mV

rr

==

Smerovi vektora i poklapaju se sa smoromporastom koordinatesjer je i i( ) 01 >s& ( ) .01 >s&&

rVr

rar

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa:

Smer se poklapa sa smerom porasta uglajer je ( ) .01 >&

( ) ( ) ( ) ( ) 21,112,2 ==== &&&&&& tttt .2,1 21 == ss

Smer se poklapa sa smerom porasta uglajer je ( ) .01 >&&

Intenziteti prenosnebrzine i komponenataprenosnog ubrzanja:

,1s

mOMVV

Mp

===

,1 22

s

mOMaa NMpN ===

.2 2s

mOMaa TMpT ===

Koriolisovo ubrzanje: rcor Varrr

= 220 130sin2 smVa rcor ==

r

r

Vr

corar

,corar


10/27


11/27

Primer 3.4 Kruna ica, koja lei uyz ravni, obre se okovertikalne osez. Kretanje prenosnog elementa (ice) definienjegov ugao rotacije a relativno kruno kretanje definieugaona koordinata gde je . Podaci su:

( )t( )t mR 1=

( ) ,32 ttt = ( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,1,2

32radradstmbttt =

+=

Za zadate podatke nacrtati poloajsistema trenutku i u tom trenutkuodrediti apsolutnu brzinu i apsolutnoubrzanje takeMkoja vri sloeno

kretanje?

st 1=

U ovom zadatku kretanje prenosnogelementa je obrtanje oko nepomine osea relativno kretanje je kruno.

Poloaj takeMu odnosu na prenosnielement odreuje koordinata kojaza iznosi

( )tst 1=

( ) .2702

31 0=

=


12/27

Prostorni prikazPrikaz u projekcijama


13/27

U zadatom trenutku vremena rastojanje(vano za odreivanje prenosne brzine iprenosnog ubrzanja), iznosi

OM

.2mRbOM =+=

Uvoenjem relativne krune

koordinate dobijase da je ( ) ( )tRts =

( ) .2

32 += ttts


Smerovi vektora i poklapaju se sasmorom porastom koordinatesjer je ii

( ) 01 >s&( ) .01 >s&&

2

2

1s

m

R

Va rrN ==

rVr

rTar

( ) ( ) 22212s

masts rT=== &&&&

( ) ( )

s

mVstts r 11112 === &&


14/27


prenosnog elementa:( ) ( )

( ) ( ) 2

1

2212

11132

===

===

st

stt

&&&&

&&

Smer se poklapa sa smeromporasta uglajer je ( ) .01 >&&

Smerje suprotan od smera

porasta uglajer je ( ) .01


15/27

Koriolisovo ubrzanje: rcor Varrr

= 2

222s

mVa rcor ===090

Vektori koji se vektorski mnoe iobrazuju ravanzAy. Vektor , poto mora

biti upravan na tu ravan, ima pravac osex.Smer vektora odreen pravilom desneruke, suprotan je od smera osex.

r

rVr

corar

,corar

Odreivanje apsolutne brzine (krai nain):

Odreivanje apsolutnog ubrzanja:corrTrNpTpN aaaaaa

rrrrrr++++=

6000: =++= corpTx aaax

4000: =+++= rTpNy aaay

10000: =+++= rNz aaz2

222 53s

maaaa zyx =++=

Poto su i meusobno upravnekomponente apsolutne brzine, intenzitetapsolutne brzine je

pVr

rVr

.522s

mVVV rp =+=


16/27

Primer 3.5 Mehaniki sistem,prikazan na slici, kree se u ravni

crtea. Translatorno kretanjeprenosnog elementa definiekoordinata a relativno kretanjedefinie koordinata . Podaci su:

( )tx( )ts

( ) ( )[ ] [ ] [ ]( ).,,,60

,33,220

223

msmxst

tttstttx

=+=+=

Za zadate podatke odrediti apsolutnubrzinu i apsolutno ubrzanje takeM

trenutku .1 st=U ovom zadatku, u kom je relativno kretanje pravolinijsko, rastojanje(relativna koordinata) iznosi mada, ovo rastojanje, kao ivrednostx koordinate, nee imati nikakav uticaj na brzine i ubrzanja.

M( ) ,11 msAM ==

Prvi i drugi izvod koordinate x, koja defini-e prenosno translatorno kretanje, u trenu-tku su:st 1= ( ) ( ) 46,43 2 == ttxtttx &&&

( ) ( ) 21,11 == xx &&&2

2,1s

ma

s

mV

pp

==

Smer vektora poklapa se sasmorom porastom koordinatexzbog , a smer vektoraje suprotan od smera porasta

koordinatex zbog

( ) 01 >x&&

( ) .01


17/27

Smer vektora poklapa se sa smorom porastom koordinates zbog ,a smer vektora je suprotan od smera porasta koordinates zbog


( ) ( ) ( ) ( ) 21,112,32 ==== sststts &&&&&& .2,1 2s

ma

s

mV rr ==

( ) .01 s&&

rVr

Primetimo da Koriolisovog ubrzanja,

pri translatornom prenosnom kretanju,nema, zbog toga to je =0.


rp VVV

rrr

+=

2360cos: == orpx VVVx

2

360sin0: == ory VVy

Odreivanje apsolutnog ubrzanja:s

mVVV yx 3

22=+=

+= rp aaa rrr

360cos: =+= orpx aaax

360sin0: =+= o

ry aay

2

22 32

s

maaa yx =+=


18/27

Primer 3.6 Mehaniki sistem,prikazan na slici, kree se u ravnicrtea. Translatorno kretanjeprenosnog elementa definiekoordinata a relativno krunokretanje definie koordinata , gde

je . Podaci su:

( )tx( )t

mR 1=( )

( ) [ ] [ ] [ ]( ).,,,633

,4742

23

radmxstttt

ttttx

+=

+=

Za zadate podatke nacrtati poloajsistema u trenutku i u tomtrenutku odrediti apsolutnu brzinu iapsolutno ubrzanje takeMkoja vrisloeno kretanje?

st 1=

Uvoenjem relativne krunekoordinate dobijase da je

( ) ( )tRts =( ) .633 2 += ttts


Smerovi vektora i poklapaju se sasmorom porastom koordinatesjer je i

i

( ) 01 >s&

( ) .01 >s&&

2

2

9s

m

R

Va rrN ==

rVr

rTar

( ) ( ) 26616smasts rT=== &&&&

( ) ( )s

mVstts r 33136 === &&


19/27

OvdeKoriolisovo ubrzanje ne postojijer je prenosno kretanje translatorno.

Prenosna brzina i prenosno ubrzanje:

( ) ( ) 1424,41412 2 =+= ttxtttx &&&

( ) ( ) 101,21 == xx &&&

.10,2 2s

ma

s

mV pp ==

Smerovi vektora ipoklapaju se sa smorom porastakoordinatex zbog i ( ) .01 >x&&( ) 01 >x&

pVr

par


rp VVVrrr

+=

3030cos: =+= o

px VVx430sin: =+= r

o

py VVVy

s

mVVV yx 19

22=+=

Odreivanje apsolutnog ubrzanja:

rTrNp aaaa rrrr

++=

935030cos: +=++= rNo

px aaax

11030sin: =++= rTo

py aaay

( )2

2222 8,2011935

s

maaa yx ++=+=


20/27

Primer 3.7 Mehaniki sistem, prikazan na slici, kree se u ravni crtea.tapovi 1 i 2 obru se oko zglobova O1 i O2, respektivno. Krajnja taka

tapa 2 (zvaemo je takomM), uz pomo klizaa, kree se du tapa 1.Podaci su: ( ) [ ] [ ]( ).,,45,2,2 023 radstmbttt ===

Nacrtati poloaj sistema trenutku i u tom trenutku odreditiugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tapa 1, koji je ba tada

vertikalan i odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje takeM, koja vri sloeno kretanje, kao i ugaonu brzinu i ugaonoubrzanje tapa 2?

st 1=

injenica je da u ovom zadatku u nepoznate veliine ulaze i intenziteti ismerovi vektora relativne brzine i relativnog ubrzanja, to jest nema, kao u

prethodnim primerima, zadate relativne koordinate koja bi njih odredila. Zarazliku od prethodnih primera, ovde se zna da je apsolutna putanja takeMkruna, jer takeM pripada tapu 2. Ta injenica e nam dati neke od vanihpodataka o vektorima apsolutne brzine i apsolutnog ubrzanja.

U ovom zadatku krajnja takaMtapa 2 vri sloeno kre-

tanje. Zna se da je relativna putanja pravolinijska jer jeprenosni element, u odnosu na koji se takaMrelativnokree, tap 1, koji je, u zadatom poloaju, vertikalan.


21/27


tapa 1:

Poloaj sistema u trenutku zazadate podatke prikazan je na slici 1.

st 1=

( ) ( )

( ) ( ) 21,11

46,43 2

==

==

&&&

&&& ttttt

21

11 2,1

== ss

Smer1 se poklapa sa smeromporasta uglajer je ( ) .01 >&&

Smer1je suprotan od smeraporasta uglajer je ( ) .01


22/27

Analiza brzina:

Na osnovu vektorske formule moi e da se odredenepoznate veliine, poto e u njoj biti nepoznatasamo dva vana podatka (to su intenziteti apsolu-tne i relativne brzine). Pravci vektora apsolutne irelativne brzine su poznati a smerovi su im

pretpostavljeni. rp VVVrrr

+=

012

2: +=Vx

1

22 1,2

=== sMO

V

s

mV

rVVy += 02

2: s

mVr 1=

Zbog injenice da su reenja za Vi pozitivnih predznaka, pretpostavke osmerovima za i (samim tim i za ) su tane.

rV

Poto se sva kretanja odvijaju u ravnicrtea, pravac i smer Koriolisovog ubrzanjaodreeni su zakretanjem vektora zau smeru ugaone brzine 1 (Sl.2-naredni

slajd).

rVr

Vr

2

Koriolisovo ubrzanje:rcor Varrr

= 2

= 090 21 22s

mVa rcor ==

rVr

090


23/27

Analiza ubrzanja:

Ovde apsolutno ubrzanje mora dase razloi na njegovu normalnukomponentu i tangencijalnu ,zbog pripadnosti takeMtapu 2, kojise obre oko zgloba O2 (Sl.1).

Komponenta je u potpunostipoznata a njen intenzitet je

ar

Nar

Tar

Nar

.22

222

s

mMOaN ==

Komponenti intenzitet je nepoznat jer gaodreuje formula

Tar

,2 222 == MOaTdok joj je pravac poznat a smer pretpostavljen.

corrpTpNTN aaaaaa rrrrrr

+++=+

2020222222: 2 ++=x 222 2,1 s

mas T ==

2

22 2s

maaa TN =+=

001

2

22

2

22: ++= ray 22

s

mar=


24/27

datku u nepoznate veliine ulaze i intenziteti i smerovi vektora prenosne brzine i

prenosnog tangencijalnog ubrzanja, to jest nema, kao u veini prethodnihprimera, zadate koordinate koja definie prenosno kretanje. Za razliku od takvihprimera, ovde se zna u potpunosti apsolutno kretanje. Osim apsolutne putanjetakeM, znae se i vektori, kako njene brzine tako i komponenata njenog

ubrzanja, jer ona pripada tapu 2, ije kretanje je definisano koordinatom .

Primer 3.8 Mehaniki sistem, prikazan na slici, kree se uravni crtea. tapovi 1 i 2 obru se oko zglobova O1 i O2,respektivno. Krajnja taka tapa 2 (zvaemo je takom M),uz pomo klizaa, kree se du tapa 1. Podaci su:

( ) [ ] [ ]( ).,,60,32, 023 radstmbttt ===

Nacrtati poloaj sistema trenutku i u tom trenutkuodrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tapa 2 i odreditirelativnu brzinu i relativno ubrzanje takeM u odnosu natap 1 kao i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tapa 1.

st 1=

( )t

U ovom zadatku krajnja takaMtapa 2 vri sloeno

kretanje. Zna se da je relativna putanja pravolinijska jer jeprenosni element, u odnosu na koji se takaMrelativnokree, tap 1, koji je, u zadatom poloaju, vertikalan. injenica je da u ovom za-


25/27

st 1=Poloaj sistema u trenutku za zadate podatkeprikazan je na slici desno.

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tapa 2:

( ) ( ) ( ) ( ) 41,1126,23 2 ==== &&&&&& ttttt

.4,1 221

2 == ss

Apsolutna brzina i kompone-

nata apsolutnog ubrzanja:

,222s

mMOVV M ===

,2 22

22

s

mMOaa MNN ===

222 8s

mMOaa MTT ===

Analiza brzina:

rp VVV

rrr

+=060sin2: += p

oVx 1

11 1,3

=== sMO

V

s

mV

p

p

r

oVy += 060cos2:

s

mVr 1=


26/27

Analiza ubrzanja:

Ovde prenosno ubrzanje morada se razloi na njegovu normalnukomponentu i tangencijalnu ,zbog pripadnosti takeMtapu 1,koji se obre oko zgloba O1 .

Komponenta je u potpunostipoznata a njen intenzitet je

p

ar

pNar

pTar

pNar

.3 22

11s

mMOapN ==

Komponenti intenzitet je nepoznat jer gaodreuje formuladok joj je pravac poznat a smerpretpostavljen.

pTar

111' 3=== MOaa TMpT

Poto se sva kretanja odvijaju u ravnicrtea, pravac i smer Koriolisovog ubrzanjaodreeni su zakretanjem vektora zau smeru ugaone brzine 1 (Sl.2-naredni

slajd).

Koriolisovo ubrzanje:

rcor Varrr

= 2

= 090 21 22

s

mVa rcor ==

rVr

090


27/27

corrpTpNTN aaaaaa rrrrrr

+++=+

200238

212: +++=+ pTax ,3

34,134 21

12=== s

MOa

sma pTpT

0032

18

2

32: +++=+ ray

24s

mar=

Zbog injenice da su reenja

za i pozitivnihpredznaka, obe pretpostavkeo smerovima su tane. Priprojektovanju vektora na

koordinatne ose zapisana je vrednost dok jeza pisana vrednost

pTar rar

0

60cos21060sin .23

kinematika slozenog kretanja tacke - zadaci

Documents