KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA.

Jednaine kretanja x(t) i y(t) u potpunosti odreuju sve pojmove vezane za kinematiku take kao to su: linija putanje, putanja (trajektorija), brzina, ubrzanje i poluprenik krivine putanje.Funkcija, kriva ili prava, dobijena eliminacijom vremena t iz jednaina kretanja naziva se linijom putanje i nju emo u svakom primeru crtati.

U veini primera linija putanje se svodi na oblik y(x) ili x(y) ili f(x,y)=0.Podrazumevae se da trenutku zapoinjanja kretanja (poetnom trenutku) odgovara t=0 i da se pri kretanju vreme t stalno poveava. Poetni poloaj take M0, odreen koordinatama x(0) i y(0), odreuje se stavljanjem nule umesto t u jednaine kretanja.Putanja je onaj deo linije putanje na kom taka moe da se nae u vremenskom intervalu t0. Taj deo je na slici prikazan debljom linijom.

VEKTORI BRZINE I UBRZANJA U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU I NJIHOVE PROJEKCIJE NA KOORDINATNE OSE.

Vektorom poloaja pokretne take M naziva se vektor koji se protee od koordinatnog poetka do te take:

( ) ( ) ( ) ( ) jtyitxtOMtr rrr +==Dakle, x(t) i y(t), osim to su jednaine kretanja, to su i projekcije vektora polo-aja i koordinate pokretne take u nepokretnom xOy koordinatnom sistemu.

( ) ( ) ( ) jyixOMr 0 rrr 000 +==

( ) ( )trdtrd

tr

tVtrV

tsr

&r

rrr

rr

==

=

= 0

lim,

Vektor brzine pokretne take u proizvoljnom trenutku vremena je prvi izvod po vremenu vektora poloaja

( )tVr

( ):trr( ) ( )trtV &rr =

srVr

- Srednja brzina u vremenskom intervalu t

( ) ( ) ( ) jtyitxtr rrr +=Zbog ( ) ( ),trtV &rr = i injenice da su i konstantni vektori,dobija se vektor brzine:

ir jr

( ) ( ) ( ) jtyitxtV r&r&r +=Projekcije vektora vrzine na koordinatne ose jednake su prvim izvodima po vremenu jednaina kretanja, odnosno koordinata pokretne take u nepokretnom xOy koordinatnom sistemu, dakle: ( ) ( ),txtVx &= ( ) ( )tytVy &=Intenzitet vektora brzine: ,22 yxV && += 222 yxV && +=

0tr

- Jedinini vektor tangente na putanju

Za krivolinijsko kretanje pravac vektora brzine poklapa sa pravcem tangente

Vektor ubrzanja pokretne take u proizvoljnom trenutku vremena, jednak je prvom izvodu po vremenu vektora brzine , odnosno, drugom izvodu po vremenu vektora poloaja

0nr

vektor normale na putanju

( )tar( )tVr( ):trr

( ) ( ) ( )trtVta &&r&rr ==Za krivolinijsko kretanje, u optem sluaju, vektor ubrzanja je usmeren u konkavnu stranu putanje.

- Jedinini( ) ( ) ( )trtVdtrd

dtVd

tV

tatV

at

sr&&r&

rrrr

rr

r====

=

= 2

2

0lim,

srar

- Srednje ubrzanje u vremenskom intervalu t

( ) ( ) ( ) jtyitxtr rrr +=Zbog ( ) ( ),trta &&rr = i injenice da su i konstantni vektori,dobija se vektor ubrzanja:

ir jr

( ) ( ) ( ) ,jtyitxta r&&r&&r +=odakle se vidi da su njegove projekcije na koordinatne ose jednake drugim izvodima koordinata (jednaina kretanja) po vremenu:

( ) ( ),txtax &&= ( ) ( ) 22 yxy aaatyta +== &&Te projekcije su, takoe, jednake prvim izvodima projekcija brzine, kao funkcija vremena, po vremenu:

( ) ( ) ( ) ( )., tVtatVta yyxx && ==Na slici su nacrtani vektori brzine i ubrzanja u poe-tnom M0 i proizvoljnom Mpoloaju, koji odgovaraju poetnom i proizvoljnom trenutku vremena, respektivno. Takodje su prikazane komponente vektora i .( )tVr ( )0ar

Primer 1.1 Jednaine kretanja take u ravni su i (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti liniju putanje i skicirati je? Odrediti trajektoriju i oblast kretanja? Odrediti i na putanji nacrtati brzinu u trenutku t=1s? Odrediti ubrzanje u proizvoljnom trenutku?

tx = 2ty =

Eliminacijom vremena t iz jednaina kretanja dobija se da je jednaina linije putanje parabola 2xy =

( ) ,00 =x ( ) = 00y ( )0,00MPoetni poloaj:

Putanja (trajektorija) je samo desna grana parabole. Oblast kretanja: 0,0 yx

Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena dobijaju se preko izvoda od jednaina kretanja: 2, tytx ==

( ) ,1=tx& ( ) ,2tty =& ( ) ,0=tx&& ( ) 2=ty&&Brzina u trenutku t=1s (prikazana je na slici sa prethodnog slajda) :

( ) ,11 =x& ( ) 21 =y& ( ) ,211 jiV rrr += ( ) smV 5211 22 =+=

( ) ,11 =x ( ) =11y ( )1,1MPoloaj u trenutku t=1s :

Ubrzanje u proizvoljnom trenutku:( ) ( ) 22,2 smtajta == rr

Vektor ubrzanja je konstantan, paralelan sa y osom i usmeren navie.Primer 1.2 Jednaine kretanja take u ravni su i (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti trajektoriju i skicirati je? Odrediti oblast kretanja? Odrediti i na putanji nacrtati brzinu i ubrzanje u trenutku s?

tx 2sin32 += ty 2cos21=

( )4pi=tJednainu putanje dobiemo preureenjem, kvadriranjem pa sabiranjemjednaina kretanja:

ty 2cos

21

=

( ) ( ) 1

21

32

2

2

2

2

=

+

xx

,2sin3

2t

x=

Jednaina elipse ( ) ( ) 12

2

2

2

=

+

byx

u

xx CC

,2=Cx ,1=Cy u=3 i b=2.Oblast kretanja:

,51 x 31 y

( ) ,20 =x ( ) = 10yPoetni poloaj:

( )1,20 M

Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena su:

( ) ttx 2cos6=&( ) tty 2sin4=&( ) ttx 2sin12=&&( ) tty 2cos8=&&

tx 2sin32 += ty 2cos21=

Poloaj, brzina i ubrzanje u trenutku ( )4pi=t( ) ,54 =pix ( ) 14 =piy( ) 04 =pix&( ) 44 =piy& ( ) jV

rr44 =pi ( ) smV 44 =pi

( ) 124 =pix&&( ) 04 =piy&& ( ) ia

rr 124 =pi ( ) 2124 sma =pi

Primer 1.3 Jednaine kretanja take u ravni su i (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti liniju putanje i skicirati je? Odrediti trajektoriju i oblast kretanja? Odrediti i na putanji nacrtati brzinu i ubrzanje u trenutku t=1s?

12 2 = tx 22 += ty

,22 22 =+= ytty ( ) 5212212 2 === yxytxEliminacije vremena t (odreivanje jednaine linije putanje)

1-5x30y

Poetni poloaj: ( ) ,10 =x ( ) 20 =y ( )2,10 M

Zbog toga je trajektorija poluprava (podebljani deo linije putanje) a oblast kretanja je ,1x 2yPoloaj take u trenutku t=1s

Taka se kree stalno u jednom smeru (gore desno) poto sa porastom vremena t, obe koordinate i x i y se stalno poveavaju.

( ) ,11 =x ( ) 31 =y ( )3,1M

Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena su: ( ) ,4ttx =& ( ) ,2tty =& ( ) ,4=tx&& ( ) 2=ty&&

odakle se vidi da je vektor ubrzanja tokom kretanja konstantan( ) .24 constjita =+= rrr ( ) 222 5224 smta =+=

Brzina u trenutku t=1s( ) ,41 =x& ( ) 21 =y& ( ) ,241 jiV rrr += ( ) 2521 smV =

Primer 1.4 Jednaine kretanja take u ravni su i (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti liniju putanje i skicirati je? Odredititrajektoriju i oblast kretanja? Odrediti brzinu i ubrzanje u proizvoljnom trenutku? Odrediti trenutak vremena u kojem taka prvi put menja smer kretanja?

tx sin= ty 2cos=

t

Za dobijanje jednaine linije putanje (odnosno, za eliminaciju vremena t iz jednaina kretanja) iskoristimo trigonometrijske identitete prema kojima dobijamo da je linija putanje parabola:

== ttttt 2222 sin1cos,sincos2cos 22 21sin212cos xytt ==

Zbog ,1sin1 t 12cos1 t oblast kretanja je ,11 x 11 y

Taka osciluje du parabole a na mestima A i B menja smer kretanja.Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena su:

( ) ,cos ttx =& ( ) tty 2sin2=&( ) ,sin ttx =&& ( ) tty 2cos4=&&

Brzina u proizvoljnom trenutku:( ) jtittV rrr 2sin2cos =( ) ( ) 22 2sin2cos tttV +=

Ubrzanje u proizvoljnom trenutku:( ) jtitta rrr 2cos4sin =( ) ( ) 22 2cos4sin ttta +=

Poetni poloaj:( ) ,00 =x ( ) 10 =y ( )1,00M

Zbog ( ) 010 =x& taka je zapoela kretanje u desnu stranu.Na mestu prve promene smera kretanja (A) brzina take jednaka je nuli:

( ) ,0cos == ttx& ( ) == 02sin2 tty& ( ) st 2pi=

Trohoida. Cikloida

Parametarske jednaine trohoide: (u prikazanoj varijanati)

( )( ) tRRyty

tRVtxtx

M

M

+==

+==

cos

sin

R poluprenik rotora (rastojanje takeM od take C),

C centar rotora (taka koja sekree ravnomerno pravoli-nijski, brzinom V)

TrohoidaCMR = ugaona brzina rotora (konstanta) Specijalni sluaj trohoide, za R = V, je ciklioda Brzina take M moe se odrediti preko prvog izvoda parametarskih jednaina:( )( ) tRty

tRVtx=

+=

sincos

&

&

Ubrzanje take M odreujedrugi izvod:( )( ) tRty

tRtx

=

=

cos

sin2

2

&&

&&

Ciklioda (R = V), i vie trohoida (R > V). Na svakoj narednoj slici je vee.VR

Cikloida dobijena kotrljanjem bez klizanja krunog diska po pravoj (x osi)Ovde je parametar, ne vreme t, ve ugao rotacije diska .

Parametarske jednaine cikloide: (u prikazanoj varijanati)

( )( ) +==

+==cos

sinRRyyRRxx

M

M

R poluprenik diska

C centar diska (taka koja se kree pravolinijski)

CMR =

Zbog kotrljanja bez klizanja duina dui A0Pjednaka je duini krunog luka AP, to je R.Brzina se moe odrediti preko prvog izvoda:

=+=

sincos

&&

&&&

RyRRx

Krivolinijska koordinata. Jedinini vektori tangente i normale. Vektor brzine izraen preko njegove projekcije na tangentu i njegov intenzitet.

Meusobno upravni jedinini vektori ovog koordinatnog sistema su i0t

r

0nr

U prirodnom koordinatnom sistemu koordinata koja u potpunosti odreuje poloaj take je krivolinijska(prirodna, luna) koordinata s(t).

Jedinini vektor tangente ima smer porasta koordinate s(t), dok je, njemu upravni, jedinini vektor normale uvek usmeren u konkavnu stranu putanje.

0tr

0nr

Vektor brzine: ,0tVV t

rr= 0tVV

rr=

sVtsVtdtdsVtdsrd

dtrdV t &

r&

rrrrrr

r===== 000 ,,, 0tsV

r&

r=

Tangencijalno i normalno ubrzanjeVektor ubrzanja u ovom koordinatnom sistemu ima oblik ar 00 nataa nt r

rr+=

Projekcije ubrzanja na tangentu i normalu i nazivaju se tangenci-jalnim i normalnim ubrzanjem. t

a na222

nt aaa +=

0tsVr&

r= Diferenciranjem ovog izraza po vremenu dobija se:

00 tstsdtVd

a &r&

r&&

rr

+==

0t&r

Za dobijanje izrazimo i preko i 0nr0tr

ir jr

( ) 0000

00

cossin

cossin

cossin,sincos

njit

jitdtd

t

jinjit

r&rr

&&r

r&

r&

r&r

rrrrrr

=+=

+==

+=+=

=

==

= && cossinsin,sincoscosdtd

dd

dtd

dtd

dd

dtd

U gornjem izvoenju korieni su: injenica da su i konstantni i sledei identiteti:

00 ntr&&

r =

Sada, izraz za vektor ubrzanja postaje00 tstsa &r&

r&&

r+= ,00 nstsa

r&&r&&

r +=

( ) ( ),tstat &&= ( ) ( ) ( )ttstan = &&to daje da tangencijalno i normalno ubrzanje odreuju izrazi:

ir jr

:= &&san

Odredimo , kako bi dobili konani izraz za &

kRs

sdsd

dtds

dsd

dtd &

&& =

=

=

=

kk Rds

ddsdR 1==

kRs&

& =

gde je, na osnovu slike, koriena jednakost:kR - poluprenik krivine putanje

Konano, poto je , tangencijalno i normlno ubrzanje odreuju formule:

( ) ( ),tstat &&=

22 Vs =&

Poluprenik krivine u nekoj taki putanje predstavlja poluprenik kruga koji najbolje aproksimira beskonano malu okolinu te take.

( ) ( )( ).2

tRtV

tak

n =( ) ( ),tVtat &=

Odreivanje poluprenika krivine putanje (kinematiki nain)Ovde se podrazumeva definisanje procedure za odreivanje poluprenika krivine putanje (samim tim, normalnmog i tangencijalnog ubrzanja) u nekom trenutku vremena, ako su poznate jednaine kretanja x(t) i y(t) u xOykoordinatnom sistemu.

( ) ( )( ) .2

tRtV

tak

n =

n

ka

VR2

=

Normalno ubrzanje odreuje formula 22 tn aaa =gde je: ,222 yxa &&&& +=

VyyxxVa t&&&&&&

&+

==

Intenzitet brzine i njegov kvadrat su: ( ) ( ) ( ) 22222 , yxVtytxtV &&&& +=+=

Gornja formula moe se izvesti sledeim diferenciranjem po vremenu:yyxxVVyxV

dtd

&&&&&&&&& 222222 +=+= ta

Primer 1.5 U primeru 1.1 odrediti poluprenik krivine putanje na mestu koje odgovara trenutku vremena t=1 s.S obzirom da je u tom trenutku vremena

,2,1 smysmx == && ,5 smV =

S obzirom da je u tom trenutku

,0=x&& 22 smy =&&

tangencijalno ubrzanje iznosi

254

s

m

Vyyxx

at =+

=

&&&&&&

,2 222 smyxa =+= &&&&

,

52

5164 2

22

s

maaa tn ===

normalno ubrzanje iznosi

pa je traeni poluprenik krivine

( ) mmaVR

n

k 59.5255

5252

===

Primer 1.6 U primeru 1.2 odrediti poluprenik krivine putanje na mestu koje odgovara trenutku vremena ( ) st 4pi=S obzirom da je u tom trenutku vremena

,4,0 smyx == && ,4 smV =

S obzirom da je u tom trenutku

,0,12 2 == ysmx &&&&

tangencijalno ubrzanje iznosi0=+=

Vyyxx

at&&&&&&

,12012 22222

s

maaa tn ===

normalno ubrzanje iznosi

pa je traeni poluprenik krivinemm

a

VRn

k 33.134

12422

===

22222 12012 smyxa =+=+= &&&&

Do zakljuka da je itd. moglo se doi i na osnovu same slike

212,0 smaaa nt ===

Primer 1.7 U primeru 1.4 odrediti poluprenik krivine putanje na mestu koje odgovara poetnom trenutku vremena t=0 s.

S obzirom da je u tom trenutku vremena,0,1 == ysmx && ,1 smV =

,0=x&& ,4 2smy =&&tangencijalno ubrzanje iznosi

.0=+=V

yyxxat

&&&&&&

S obzirom da je u tom trenutku,440 22222 smyxa =+=+= &&&&

normalno ubrzanje iznosi,404 2

222

s

maaa tn ===

pa je traeni poluprenik krivine.

41

4122

ma

VRn

k ===

I ovde se moglo doi do zakljuka da je itd. na osnovu same slike0=ta

U dinamici se pri pravolinijskom kretanju materijalne take uvek jedna osa (na primer x) usvaja u pravcu kretanja dok je ona druga (y osa) upravna na pravac kretanja. Izloimo kinematiku takvog kretanja kao specijalni sliaj kretanja take u yOx ravni,

Pravolinijsko kretanje take

Vektore brzine i ubrzanja su ( ) ( ) ,itxtV r&r = ( ) ( ) ,itxta r&&r =i ukoliko nisu nula vektori, moraju imati pravac kretanja (pravac x ose). Projekcije ovih vektora na y osu moraju biti jednake nuli

( ) ,0=ty& ( ) ,0=ty&&to daje i jednakost

( ) .0 constty ==

xaxV &&& == ,Intenziteti vektora su:

( )tx je jednaina (zakon) kretanjaesto e se za pravolinijsko kretanje take umesto koristiti i druge slovne oznake, kao na primer , ali sutina je ista. I tada e se brzine dobijati preko prvih izvoda tih koordinata a ubrzanja preko drugih.

( )tx( ) ,...,,, zuyts

Primer 1.8Za pravolinijsko kretanje take jednaina (zakon) kretanja je ( ) 32 18

121

ttttx +=

(t je u [s], x je u [m]). Odrediti brzinuvektore brzine i ubrzanja u trenucima 6,0 10 == tt i 92 =t sekundi? Nacrtati funkcije ( ) ( ) ( ) ( ),,,, tstxtxtx &&&

Projekcija brzine je ( ) 2611 tttx +=&

a projekcija ubrzanja ( ) ttx311=&&

( ) ( )?tatV i

i ubrzanje u funkciji vremena i nacrtati

i na kom mestu taka menja smer kretanja? Odrediti u kom trenutku vremena

?=t ( ) ?=tx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .29,5.39,99

,16,16,126,10,10,002

22

smxsmxmx

smxsmxmxsmxsmxx

===

======

&&&

&&&&&&

Uvrstimo sada u izraze za , i umesto vremena t vrednosti 0, 6 i 9 kako bi dobili poloaj, brzinu i ubrzanje u tim vremenskim trenucima:

( )tx ( )tx& ( )tx&&

Taka menja smer kretanja u trenutku kada joj je brzina jednaka nuli, tj.t( ) = 0tx& =+ 0

611 2tt ,153 +=t ( ) mtxst 455,12873,6 =

Za kretanje je usporenost 6=

Za kretanje je ubrzano0=t

Za kretanje je ubrzanost 9=ali se taka kree u suprotnom smeru od porasta x koordinate

} jednako ubrzano

Zakoni kod jednolikog i jednako promenljivog pravolinijskog kretanja takeJednoliko (ravnomerno) pravolinijsko kretanje

- diferencijalna jednaina .constVx == &

Vdtdx =( ) 00 =x - poetni uslov ( ) tVtx = - Zakon kretanja(Zakon puta) Jednako (ravnomerno) promenljivo pravolinijsko kretanje

0>= ax&& (jednako ubrzano), a-ubrzanje ili0

} jednako ubrzano

Zakoni kod jednolikog i jednako promenljivog krivolinijskog kretanja takeJednoliko (ravnomerno) krivolinijsko kretanje

- diferencijalna jednaina .constVs == &

Vdtds =( ) 00 =s - poetni uslov ( ) tVts = - Zakon kretanja(Zakon puta) Jednako (ravnomerno) promenljivo krivolinijsko kretanje

0>= Tas&& (jednako ubrzano), aT- tangencijalno ubrzanje ili0

( ) ( )

( ) ( ) =

=

=

=

&

&

cossinsin

sincoscos

dtd

dd

dtd

dtd

dd

dtd

Jedinini vektori, jednaine kretanja i komponente brzine i ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemuPolarne koordinate take su:

irJednaine kretanja su:( ) ( )ttr i

Jedinini vektori radijalnogi cirkularnog pravca su:

.i 00 crrr

Oni su zbog promene ugla promenljivi i za nalaenjenjihovih izvoda po vremenu izrazimo ih preko jedininih vektora :i ji rr

jicjir rrrrrr +=+= cossin,sincos 00

( )

( ) +==

+=+=

jicjic

jirjir

rr&&

r

r&

r&&

r

rr&&

r

r&

r&&

r

sincossincos

cossincossin

0

0

0

0

00 crr

&&r =

00 rcr

&&r =

00000 crrrVrrrrVrrrdtd r

&r

&r

&rr

&rrr +=+==

( )( ) ( )

( ) ( ) 0020000

000000

2 crrrrrarrcrrcrrra

crcrdtd

rrrracrrrVdtd

r&&&&

r&&&

r

r&&

r&&&&

r&&

r&&

r

&r

&r

&&r&

r&&

rr&

r&

r

++=++++=

+++=+=

Vektor poloaja:0rrOMrrr

==

Prvi izvod vektora poloaja daje vektor brzine i njegove komponente u radijalnom i cirkularnom pravcu a samim tim i njegove projekcije na radijalni i cirkularni pravac:

Prvi izvod vektora brzine daje vektor ubrzanja i njegove komponente u radijalnom i cirkularnom pravcu a samim tim i njegove projekcije na radijalni i cirkularni pravac:

== && rVrV cr ,

+== &&&&&&& rrarra cr 2,2