kinh nghieäm - conduongcoxua | welcome to my · web viewsố dư trong phép chia...

www.huongdanvn.com Saùng kieán kinh nghieäm veà giaûi toaùn treân maùy tính caàm

taySangKienKinhNghiem.org

Tổng Hợp Hơn 1000 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Chuẩn

TEÂN ÑEÀ TAØIXÂY DƯNG PHƯƠNG PHAP VA THUÂT TOAN ĐÊ GIAI MÔT SÔ DANG TOAN THƯƠNG GĂP TRONG CAC KY

THI GIAI TOAN TRÊN MAY TINH CÂM TAY BÂC THCS

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

A. MỞ ĐÂUI . ĐĂT VẤN ĐỀ:

1. THƯC TRANG VÊ TINH HINH DAY VA HOC MAY TINH CÂM TAY Ơ TRƯƠNG THCS:a) Vơi may tinh câm tay, viêc day va hoc theo chương trinh ơ sach giao khoa chi đơn thuân la hương dân thưc hanh tinh toan, giai phương trinh, hê phương trinh đơn gian:

Tư năm hoc 2002 – 2003, khi chương trinh sách giáo khoa được băt đâu cai cách, chung ta thây trong chương trinh bô môn toán tư 6 đến 9, các tác gia sách giáo khoa đa đưa vao chương trinh giang day hương dân thưc hanh sư dung máy tính câm tay (MTCT), đê giai quyết các bai toán tính toán đơn thuân vơi các phep tính, giai phương trinh, hệ phương trinh đa hoc tương ưng trong chương trinh. Chăng han, vơi môn sô hoc 6 thi hương dân công, trư, nhân sô nguyên, tính % cua môt sô, . . ., vơi đai sô 7 thi hương dân công, trư, nhân, chia sô thâp phân, tính luy thưa, tính căn bâc hai, . . . , vơi hinh hoc thi tính các ti sô lượng giác cua goc nhon, tính sô đo goc, . . ., vơi đai sô 9 thi hương dân giai phương trinh bâc hai, giai hệ phương trinh bâc nhât hai ẩn v.v. . . Như vây co thê noi việc day hoc MTCT theo chương trinh sách giáo khoa chi đơn thuân la giai quyết các bai toán tính toán, các bai toán co chương trinh giai săn, chưa khai thác thế manh cua MTCT, chưa co giai quyết các bai toán co phương pháp, co tư duy thuât toán, hoc sinh nếu chi hoc việc sư dung MTCT ơ sách giáo khoa thi không thê đáp ưng được yêu câu giai các bai toán băng MTCT co sư dung thuât toán, va tât nhiên không thê đáp ưng được yêu câu cua môt ki thi giai toán băng MTCT.b) Viêc day va hoc vê MTCT chưa co đinh hương ro rang, chưa co tai liêu chinh qui:

Như chung ta đa biết, trong phân phôi chương trinh cua bô môn toán, các tiết ôn tâp chương thương co yêu câu ôn tâp vơi sư trợ giup cua MTCT, nhưng chưa hương dân cu thê việc trợ giup đo ơ mưc đô như thế nao, như vây co thê hiêu việc trợ giup cua MTCT ơ đây chi la giup tính toán nhanh kết qua, thay cho tính toán thu công, chi giai các bai toán co săn chương trinh, chưa quan tâm đến các bai toán co thê giai nhanh nhơ sư dung thuât toán trên MTCT, nhưng trái lai vân đê chưa quan tâm nay lai la yêu câu cơ ban cua các đê thi trong các ki thi giai toán trên MTCT, chính vi vây khi thưc hiện bôi dương cho các đôi tượng hoc sinh dư thi các ki thi giai toán trên MTCT ngươi giáo viên rât lung tung trong việc đinh hương chương trinh cho hợp ly đam bao theo yêu câu cua ki thi. Con vê vân đê tai liệu, co thê noi, ta co thê tim kiếm trên mang Internet nguôn tai liệu vê MTCT la rât nhiêu, rât phong phu, nhưng điêm han chế la tính phù hợp không cao, rât tan man vê các

Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 1


taydang loai, môt sô tai liệu không chu y xây dưng cơ sơ ly thuyết cua phương pháp va thuât toán, chung ta chưa co tai liệu chính qui nao hương dân việc giang day va bôi dương hoc sinh gioi vê MTCT.

c) Trong giang day, chưa quan tâm đung mưc viêc giai toan băng MTCT:Qua các thưc trang vê day hoc MTCT theo chương trinh sách giáo khoa ma chung

tôi đa nêu, ngươi giáo viên trong quá trinh giang day chăc chăn chi dưng lai ơ mưc đô hương dân hoc sinh sư dung MTCT tính toán thông thương theo mưc đô yêu câu cua sách giáo khoa, chưa quan tâm đến việc hương dân hoc sinh giai môt sô bai toán băng MTCT co dùng nhưng phương pháp va thuât toán đê giai nhanh, co thê do han chế vê thơi lượng cua các tiết hoc, cung co thê do y thưc chu quan cua ngươi giáo viên, chi thưc hiện theo mưc đô yêu câu, không lam nhiêu hơn, như vây lam sao hoc sinh co được nhưng ky năng cân thiết đê giai các bai toán băng MTCT hợp ly, nhanh chong. Chăng han, khi day va luyện tâp vê sô nguyên tô, nếu ngươi giáo viên giơi thiệu thêm cho hoc sinh vê thuât toán kiêm tra sô nguyên tô băng MTCT, thi hoc sinh co được môt ky năng rât nhanh đê kiêm tra môt sô co phai la sô nguyên tô hay không, kê ca nhưng sô rât lơn, va chung ta cung thây rât nhiêu trương hợp tương tư như trên trong quá trinh giang day.d) Hoc sinh lam dung viêc sư dung MTCT, lam mât kha năng tinh nhâm, tinh nhanh, tinh toan hơp ly, kha năng tư duy toan hoc:

Đây la môt thưc trang thương thây khi giang day bô môn toán, môt sô hoc sinh yếu vê kha năng tính toán, kha tư duy, suy luân, thương lam dung việc sư dung MTCT trong hoc tâp bô môn toán, thây bai toán tính toán la dùng MTCT đê bâm ra kết qua, không hê đông nao tư duy gi ca, thâm chí nhưng phep toán đơn gian chi cân nhẩm nhanh thi co kết qua, hoăc nhưng phep tính vân dung tính chât cho kết qua nhanh chong hoc sinh cung dùng MTCT, nhưng trương hợp nay nếu không co biện pháp hợp ly, lâu dân hoc sinh se mât đi các kha năng tư duy toán hoc cân thiết, đây la môt vân đê cân canh báo kip thơi. Vê phía giáo viên, trươc thưc tế như vây đôi khi ngăn ngưa, khuyến cáo hoc sinh không nên lam dung MTCT, nhưng co thê chưa co môt giai pháp hợp ly nao đê khăc phuc han chế trên. Thưc trang nay co thê dân đến, hoc sinh ít quan tâm đến việc dùng MTCT đê giai các bai toán, hoăc chi giai các bai toán theo các hương tư duy thông thương cua các phương pháp toán hoc ma không co sư hô trợ cua MTCT, như vây việc hinh thanh tư duy cho hoc sinh giai các bai toán băng MTCT la rât han chế, thâm chí la không quan tâm gi ca. Điêu nay anh hương không nho đến quá trinh hinh thanh ki năng va tư duy thuât toán đê giai toán băng MTCT, dân đến đôi ngu hoc sinh gioi giai toán băng MTCT rât han chế vê sô lượng.

Đưng trươc các thưc trang vê tinh hinh giang day va bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT đa nêu, chung tôi thây đê nâng cao được chât lượng việc giang day va bôi dương cho hoc sinh vê MTCT , cân thiết nhât la chung ta phai co được môt tai liệu hợp ly, mang tính nhât quán, đam bao phù hợp vê trinh đô hiêu biết cua hoc sinh trong bâc hoc, tai liệu nay co thê giup cho ngươi giáo viên tham khao trong công tác giang day va bôi dương hoc sinh giai toán trên MTCT. Vơi ly do đo, qua nhiêu năm nghiên cưu, tim toi, tâp hợp va sáng tao chung tôi manh dan xây dưng, đê xuât sáng kiến kinh nghiệm “Xây dưng phương phap va thuật toan để giai một số dang toan thường gặp trong cac kỳ thi giai toan trên may tinh câm tay bậc THCS”, hâu mong giai quyết vân đê ma ngươi lam công tác giang day va bôi dương vê MTCT thây cân thiết.

2. Ý NGHĨA VA TAC DỤNG CỦA GIẢI PHAP MỚI:Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 2


tayTrươc thưc tế kho khăn vê vân đê tai liệu đôi vơi công tác bôi dương hoc sinh giai

toán trên MTCT, chung tôi xây dưng sáng kiến kinh nghiệm nay gop phân bổ sung cho ngươi lam công tác bôi dương hoc sinh giai toán trên MTCT môt tai liệu tham khao, chưa dám noi la đây đu, song chung tôi tin răng các dang toán ma đê tai đê câp la nhưng dang toán rât quan trong, rât cân thiết trang bi cho hoc sinh khi tham gia các ki thi, co tác dung hinh thanh các ki năng va tư duy cân thiết cho hoc sinh khi giai toán trên MTCT.3. PHAM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐÊ TAI:

Căn cư vao chương trinh toán bâc THCS tư lơp 6 đến lơp 9, ơ tât ca các phân môn, đăc biệt la phân môn sô hoc, các dang toán bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, tham khao các đê thi cua các ki thi chon hoc sinh gioi giai toán trên MTCT chung tôi tâp hợp, phân loai va săp xếp các dang toán, xây dưng phương pháp va thuât toán đê giai, nhăm tao ra môt hệ thông co tính lôgic, co khoa hoc, co phương pháp đê co thê tiến hanh tổ chưc giang day, bôi dương cho đôi tượng hoc sinh gioi tham gia các ki thi giai toán trên MTCT co hiệu qua, co chât lượng , đat kết qua cao, nhăm tưng bươc nâng cao chât lượng bô môn toán noi riêng va chât lượng giáo duc toan diện trong nha trương THCS noi chung.

Hiện nay khi tham gia các ki thi hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, hoc sinh được phep sư dung môt sô loai máy co các tính năng gân tương nhau, xet thuât toán hương dân qui trinh ân phím đê giai môt bai toán nao đo thi gân giông nhau, do đo đê tai chung tôi chi nêu qui trinh ân phím cho môt loai máy la fx-570 MS, các loai máy khác được suy ra tương tư, con vê măt phương pháp giai thi coi như được áp dung chung.

II . PHƯƠNG PHAP TIẾN HANH:

1. CƠ SƠ LÝ LUẬN VA THƯC TIỄN:- Hiện nay, hăng năm, song song vơi các cuôc thi chon hoc sinh gioi toán các câp, thi giai toán qua mang Internet, con co cuôc thi hoc sinh gioi giai toán trên máy tính câm tay (MTCT) cung được các câp quan ly giáo duc quan tâm đâu tư. Do đo, yêu câu chât lượng cua ki thi hoc sinh gioi giai toán trên MTCT ngay cang cao hơn, kết qua cua cuôc thi cung được các câp quan ly xem la tiêu chí đánh giá các đơn vi trương. Xuât phát tư tinh hinh đo chung tôi thây cân xây dưng sáng kiến đê áp dung cho công tác bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, đo cung coi la đổi mơi phương pháp day hoc, nhăm nâng cao chât lượng va hiệu qua cua công tác giang day bô môn toán noi riêng va chât lượng đao tao toan diện cua nha trương.- Tinh hinh phổ biến hiện nay, khi tham gia kỳ thi hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, hoc sinh hoăc la tư lưc tim toi tai liệu đê tư trang bi cho minh kiến thưc cân thiết, hoăc la nha trương phân công cho giáo viên bô môn phu trách việc bôi dương, nguôn tai liệu chu yếu la tim kiếm trên mang Internet, phai thưa nhân răng nguôn tai liệu vê MTCT trên mang la rât nhiêu, rât phong phu cho tât ca các bâc hoc, nhưng điêm han chế la tính phù hợp vơi trinh đô tiếp thu cua đôi tượng hoc sinh ơ trương không cao, rât tan man vê các dang loai, môt sô tai liệu không chu y xây dưng cơ sơ ly thuyết cua phương pháp va thuât toán. Sáng kiến kinh nghiệm cua chung tôi xây dưng vơi muc đích đưa ra môt hệ thông các dang loai bai toán giai trên MTCT, đam bao phù hợp vơi chương trinh toán bâc THCS, phù hợp trinh đô nhân thưc cua đôi tượng hoc sinh trong bâc hoc. Việc xây dưng các phương pháp co cơ sơ ly thuyết va thuât toán cho tưng loai dang toán, giup cho hoc sinh co cách giai các dang toán nay co chiêu sâu, nhơ lâu, vân dung tôt Đăc biệt hơn, qua nghiên cưu các đê thi giai toán trên MTCT cua các câp qua nhiêu năm, chung tôi đuc kêt va xây dưng các dang toán trong sáng



taykiến nay, tuy không dám noi la đây đu, song chung tôi hy vong sáng kiến nay đáp ưng phân nao nhu câu bôi dương cho hoc sinh gioi tham gia các ki thi giai toán trên MTCT.- Môt điêu hết sưc quí báu va quan trong ma ai trong chung ta đa tưng hoc va day toán cung phai công nhân, đo la hinh thanh tư duy thuât toán. Môt sô bai toán giai trên MTCT, co thuât toán hương dân qui trinh ân phím sư dung các biến nhơ cua máy va vong lăp rât gân giông các thuât toán lâp trinh trong tin hoc.Chính vi vây sáng kiến cua chung tôi quan tâm đến việc xây dưng thuât toán, nhăm tưng bươc hinh thanh tư duy thuât toán cho hoc sinh, va co thê cao hơn đo la tư duy lâp trinh cua tin hoc, đây cung la môt trong nhưng nhiệm vu quan trong trong công tác đổi mơi phương pháp day hoc theo hương phát huy tính tích cưc, sáng tao tư duy cua hoc sinh.

2. CAC BIỆN PHAP TIẾN HANH VA THƠI GIAN XÂY DƯNG SANG KIẾN:- Khi tiến hanh xây dưng sáng kiến nay chung tôi tim hiêu các tai liệu vê hương dân sư

dung MTCT, va như đa noi ơ trên chu yếu la tai liệu hương dân sư dung máy fx-570MS, tâp sư dung va tưng bươc khai thác các chưc năng cua các phím bâm, các chương trinh giai săn cua môt sô bai toán. Bên canh đo môt công việc tôn rât nhiêu thơi gian, đo la tim kiếm các tai liệu liên quan đến giai toán trên MTCT, các đê thi hoc sinh gioi giai toán trên MTCT cua các câp, qua các năm, các tai liệu nay chu yếu cung tư mang Internet. Tư đo chung tôi nghiên cưu ki cang các tai liệu nay, tiến hanh chon loc, phân loai, săp xếp va bổ sung các dang toán đê đưa vao sáng kiến sao cho đam bao phù hợp theo yêu câu đa nêu.- Môt công việc nưa cung đông thơi được tiến hanh, nghiên cưu ky chương trinh môn toán băc THCS, các phương pháp day hoc bô môn toán va các yêu câu vê đổi mơi phương pháp day hoc, các phương pháp hoc tâp tích cưc cua hoc sinh đê tư đo mơi co thê năm chăc yêu câu vê kiến thưc, ki năng, xác đinh đung, hợp ly các phương pháp va thuât toán cân đưa ra đê giai quyết các dang toán đê ra, tránh tinh trang mâu thuân kiến thưc, quá kha năng tiếp thu cua hoc sinh, dang loai co trươc hô trợ cho dang loai co sau, đam bao tính hệ thông, khoa hoc.* Một số tai liêu tham khao:

+ Tai liệu hương dân sư dung máy tính câm tay fx-570MS.+ Tai liệu bôi dương MTCT cua công ty Binh Tiên.+ Môt sô tai liệu khác va môt sô đê thi giai toán trên MTCT cua các câp.- Chung tôi tiến hanh viết sáng kiến kinh nghiệm: “Xây dưng phương phap va thuật toan để giai một số dang toan thường gặp trong cac kỳ thi giai toan trên may tinh câm tay bậc THCS” trong thơi gian hai năm rươi, tính tư năm hoc 2009-2010 đến hoc ki I năm hoc 2011-2012. Đê tai được áp dung vao tháng 10 năm hoc 2011-2012 khi tiến hanh bôi dương cho 8 hoc sinh cua trương dư thi ki thi hoc sinh gioi giai toán trên MTCT câp huyện năm hoc 2011-2012.



tay

B. NOÄI DUNGI. MUÏC TIEÂU:

Như tên cua sáng kiến chung tôi đa nêu“Xây dưng phương phap va thuật toan để giai một số dang toan thường gặp trong cac kỳ thi giai toan trên may tinh câm tay bậc THCS”, đa thê hiện rõ rang nhiệm vu cân giai quyết cua đê tai. Tuy nhiên cân noi rõ hơn, đê tai không nêu lai nhưng thuât toán co săn (chương trinh giai co săn) đê giai môt sô bai toán cơ ban như: Giai phương trinh bâc 2, bâc 3, hệ phương trinh bâc nhât 2 ẩn sô, 3 ẩn sô, …, coi như đây la nhưng thuât toán phai biết khi sư dung MTCT. Đê tai chi quan tâm đến nhưng dang toán cân khai thác nhưng thuât toán khác sách giáo khoa, khai thác thế manh cua MTCT đê giai cho kết qua nhanh chong, chính xác. Đôi vơi môt sô dang toán đê tai xây dưng phương pháp giai rõ rang, co cơ sơ ly thuyết vưng chăc, tư đo nêu ra thuât toán hương dân qui trinh ân phím cu thê, đê ngươi hoc co thê hiêu sâu, năm vưng, thưc hanh thanh thao đê giai tôt các dang toán nay, tuy nhiên đê tai cung đê câp đến môt sô dang toán chưa phai la dang toán thương găp trong các ki thi, nhưng no mang tính chât la cơ sơ vê măt thuât toán đê xây dưng phương pháp giai các dang toán khác, như các bai toán tim ươc, bôi, thuât toán kiêm tra sô nguyên tô, …v.v

Trên cơ sơ chương trinh toán bâc THCS, các dang toán bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, các đê thi cua các ki thi chon hoc sinh gioi giai toán trên MTCT chung tôi tâp hợp, phân loai va săp xếp các dang toán, tiến hanh xây dưng phương pháp va thuât toán đê giai, nhăm tao ra môt hệ thông các dang loai bai tâp co tính lôgic, co khoa hoc, co phương pháp đê co thê tiến hanh tổ chưc giang day, bôi dương cho đôi tượng hoc sinh gioi tham gia các ki thi giai toán trên MTCT co hiệu qua, co chât lượng. II. MÔ TA CAC GIAI PHAP CỦA ĐỀ TAI:1. THUYẾT MINH CAC GIAI PHAP:

Sáng kiến cua chung tôi, tâp hợp môt sô dang toán ma theo kinh nghiệm chung tôi thây rât thương hay co măt trong các kỳ thi hoc sinh gioi giai toán trên MTCT va như vây no rât cân phai được trang bi cho hoc sinh khi bôi dương hoc sinh gioi giai toán MTCT. Khi đê xuât các dang toán, điêm ma chung tôi quan tâm nhât la xây dưng phương pháp va thuât toán trên MTCT đê giai quyết chung, nhăm giup hoc sinh khăc sâu cách giai.

Sau đây la các dang toán được minh hoa:DANG 1: CAC BAI TOAN VỀ XỬ LÝ SÔ LỚN

Đây la nhưng bai toán co chưa nhưng phep tính ma kết qua la sô quá lơn dân đến tran bô nhơ (con goi la tran man hinh) máy báo lôi hoăc cho kết qua sai sô sau nhiêu chư sô, đo thương la phep nhân sô lơn, phep chia sô lơn, phep tính luy thưa sô mu lơnPhương pháp: Vơi các bai toán nay ta thương dùng phương pháp chia nho sô, đăt ẩn phu, kết hợp giưa tính trên máy va trên giây.

Sau đây là một số ví dụ minh họa:Ví du 1: Tính chính xác kết qua phep nhân sau:

A = 7684352 x 4325319Giai:



tayĐăt: a = 7684, b = 352, c = 432, d = 5319Ta co: A = (a. 104 +b)(c. 104 + d) = ac.108 + ad.104 + bc.104 + bdTính trên máy va kết hợp ghi ra giây:

ac.108 = 33177600000000 + ad.104 = 40849920000

bc.104 = 18800640000bd = 23148288

Vây: A = 33237273708288Ví du 2: Tính chính xác giá tri biêu thưc:

B = 3752142 + 2158433

Giai:Đăt : a = 375, b = 214, c = 215, d = 843Ta co: B = (a.103 + b)2 + (c.103 + d)3

= a2 .106 +2ab.103 + b2 + c3.109 +3c2d.106 + 3cd2.103 + d3

= c3.109 + (a2 + 3c2d).106 + (2ab + 3cd2).103 + b2 + d3

Tính trên máy va kết hợp ghi ra giây:c3.109 = 9938375000000000

+ (a2 + 3c2d).106 = 117043650000000(2ab + 3cd2).103 = 458529105000b2 + d3 = 599122903

Vây: B = 10055877778227903Ví du 3: Tính kết qua đung cua các tích sau:a) M = 2222255555 . 2222266666.b) N = 20032003 . 20042004.

Giai:a) Đăt A = 22222, B = 55555, C = 666666.

Ta co M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BCTính trên máy:A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630Tính trên giây: (Ta co thê lâp bang cho tiện trinh bay va tránh sai sot)

A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0AB.105 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0AC.105 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0b) Đăt X = 2003, Y = 2004. Ta co:

N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XYTính XY, 2XY trên máy, rôi tính N trên giây như câu a)

Kết qua: N = 401481484254012.Ví du 4: Tính chính xác kết qua cua phep chia sau:

A = 52906279178,48 : 565,432Giai:

Nhân xet: Rõ rang ta không thê dùng máy đê tính trưc tiếp kết qua cua phep chia trên, vi sô bi chia co quá 12 chư sô nên máy se không nhân biết các chư sô cuôi cùng , nên khi tính trưc tiếp băng máy se cho kết qua sai. Do vây ta phai dùng phương pháp tim sô dư đê biêu diễn phep chia, ta lam như sau:

Ta thây phep chia trên co thê đổi thanh:Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 6


tayA = 5290627917848 : 565432

Đăt : A = b : c, ta dùng phương pháp tim sô dư đê biêu diễn b theo c như sau:Ta co: b = 529602791.105 + 78480

= (c.935 + 383871).105 + 78480= c.935.105 + 38387178480= c.935.105 + 383871784.102 + 80= c.935.105 + c. 678.102 + 50888880= c.935.105 + c. 678.102 + c.90= c(935.105 + c678.102 + 90)

Suy ra A = b : c = 935.105 + c678.102 + 90Vây dùng máy ta tính ra kết qua đung cua A = 93567890

(Ta co thê thưc hiện phep nhân b = A x c đê thư lai kết qua phep chia)Ghi chu: Ơ đây ta đa dùng phương pháp tim sô dư, phương pháp nay se được trinh bay ơ phân sau.Ví du 5: Tính chính xác tổng:

S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.Giai:

Vi n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)S = 17! – 1!.Không thê tính 17! băng máy tính vi 17! La môt sô co nhiêu hơn 10 chư sô (tran man hinh). Nên ta tính theo cách sau:Ta biêu diễn S dươi dang : a.10n + b vơi a, b phù hợp đê khi thưc hiện phep tính, máy không bi tran, cho kết qua chính xác.Ta co : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120Lai co: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 = 355687428095999.Bài tâp thưc hành:Tính chính xác: A = 3333355555x3333377777 (ĐS: 11111333329876501235)

B = 1234567892 (ĐS: 15241578750190521)DANG 2: TÌM SÔ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Cơ sơ ly thuyết xây dưng thuât toán.Đinh ly: Vơi hai sô nguyên a va b (b khác 0), luôn tôn tai duy nhât câp sô nguyên q va r sao cho: a = bq + r, vơi : 0 ≤ r ≤ b.

- Nếu r = 0 thi a = bq thi phep chia a cho b la phep chia hết.- Nếu r ≠ 0 thi phep chia a cho b la phep chia co dư.

Thuât toán: Ap dung đinh ly trên ta co thê xây dưng thuât toán lâp qui trinh ân phím đê tim sô dư trong phep chia a cho b như sau:

- Bươc 1: Đưa sô a vao ô nhơ , sô b vao ô nhơ - Bươc 2: Thưc hiện phwps chia cho (ghi nhơ phân nguyên cua thương q, kí hiệu: [q])- Bươc 3: Thưc hiện phep tính : - x [q] = r

Vân dung hợp ly qui trinh ân phím nay ta co thê giai được môt sô dang toán tim sô dư như sau:1/ Số tương đối nhỏ: (Sô co sô chư sô không quá 10)


AA B

A

B

B

A


tayTa áp dung trưc tiếp qui trinh ân phím trên.

Ví du 1: Viết qui trinh ân phím tim sô dư trong phep chia: 18901969 chia cho 3041975Giai:

Qui trinh ân phím trên máy fx 570MS như sau:Ấn: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B AC ALPHA A ÷ ALPHA B = (6,213716089) AC ALPHA A - ALPHA B x 6 = (650119)

Kết qua: Sô dư trong phep chia trên la: r = 650119Chu y: Cung dùng thuât toán trên nhưng ta co qui trinh ân phím trưc tiếp không gán các sô a, b vao các ô nhơ A , B như sau:

- Bươc 1: Ấn: 18901969 ÷ 3041975 = (6,213716089) - Bươc 2: Ta dùng phím dơi con tro lên phep tính va sưa lai thanh:

18901969 - 3041975 x 6 = (650119) Ví du 2: Tim thương va sô dư trong phep chia sau:

987654321 chia cho 123456789Giai:

Qui trinh ân phím trên máy fx 570MS như sau:- Bươc 1: Ấn: 987654321 ÷ 123456789 = (8,000000073) - Bươc 2: Ta dùng phím dơi con tro lên phep tính va sưa lai thanh:

987654321 - 123456789 x 8 = (9) Vây: Thương q = 8 va dư r = 9

Ví du 3: Tim sô dư 2314 : 1293

Giai:Qui trinh ân phím trên máy fx 570MS như sau:

Ấn: 231 4 ÷ 129 3 = (1326,413058)Đưa con tro lên dong biêu thưc sưa lai:Ấn: 231 4 - 129 3 x 1326 = (886707)Vây sô dư cân tim la: r = 886707

2/ Số cho quá lớn: (Sô cho co sô chư sô lơn hơn 10 chư sô)Trương hợp nay ta dùng phương pháp chia đê tri như sau:- Căt nhom đâu 9 chư sô cua sô bi chia (tính tư bên trái), tim sô dư cua sô nay vơi sô chia theo thuât toán đa biết.- Viết tiếp sau sô dư vưa tim được các chư sô con lai cua sô bi chia tôi đa đu 9 chư sô rôi tim sô dư nay vơi sô chia.- Ta tiếp tuc quá trinh như vây cho đến hết, sô dư lân cuôi cùng chính la sô dư cân tim.

Ví du 1: Tim sô dư cua phep chia: 2345678901234 : 4567Giai:

- Lân 1: Dùng thuât toán đa biết ta tim sô dư cua phep chia 234567890 : 4567, ta được kết qua: 2203- Lân 2: Ta tim sô dư phep chia 22031234 : 4567, ta được kết qua: 26Vây sô dư cân tim la: 26

Ví du 2: Tim sô dư cua phep chia: 506507508506507508 : 2006Giai:

- Lân 1: Ta tim sô dư phep chia 506507508 : 2006, ta được kết qua: 532- Lân 2: Ta tim sô dư phep chia 532506507 : 2006, ta được kết qua: 1771



tay- Lân : Ta tim sô dư phep chia 1771508 : 2006, ta được kết qua: 210Vây sô dư cân tim la: 210

3/ Số bị chia cho dạng lũy thừa có số mũ quá lớn:Phương pháp 1: Rõ rang vơi dang nay ta không thê tim sô dư theo thuât toán đa biết va cách vơi vơi sô lơn đa biết. Do đo ta phai dùng phương pháp chia đê tri, nhưng ơ đây la chia nho sô mu.

Cơ sở lý thuyết của phương pháp:Gia sư tim sô dư trong phep chia an cho b. Ta viết : an = ap.q (Vơi p + q = n) va sao

cho ap va aq la nhưng luy thưa ma ta dễ dang tim sô dư được khi chia cho b theo thuât toán đa biết ơ trên.

Khi đo: ap = bq1 + r1 va aq = bq2 + r2

Suy ra: an = ap.q = (bq1 + r1)( bq2 + r2) = BS(b) + r1r2

Tư đo ta đi tim sô dư trong phep chia r1r2 cho b ta được sô dư cân tim.Ví du: Tim sô dư trong phep chia: 815 cho 2004

Giai:Ta viết: 815 = 88.87

Dùng thuât toán ta :- Tim sô dư khi chia 88 cho 2004, ta được r1 = 1732.- Tim sô dư khi chia 87 cho 2004, ta được r2 = 968.Suy ra sô dư trong phep chia 815 cho 2004 la sô dư trong phep chia tích r1. r2 = 1732.968 = 1676576 cho 2004.Tiếp tuc tim sô dư nay theo thuât toán đa biết, ta được sô dư cân tim r = 1232.Phương pháp 2: Vơi dang toán trên ta cung co thê giai va trinh bay theo phương pháp đông dư.

Cơ sở lý thuyết của phương pháp:a) Định nghĩa đồng dư thức: Cho a, b, m la các sô nguyên.

Nếu khi chia hai sô a va b cho sô m khác 0 co cùng môt sô dư thi ta noi: a đông dư vơi b mô đun m va viết: a b (modun m).

Vây: Khi a chia cho m co sô dư la r ma r < m thi ta co a r (modun m). Do đo, ta dùng thuât toán tim sô dư đa biết đê tim sô dư r rôi viết ra giây a r (modun m).b) Một số tính chất của đồng dư thường dùng:

- Nếu: a b (modun m) va c d (modun m) thi ac bd (modun m).- Nếu a b (modun m) thi an bn (modun m).- Nếu a b (modun m) va b c (modun m) thi a c (modun m).

Ví du 1: Tim sô dư trong phep chia: 815 cho 2004Giai:

Ta dùng thuât toán tim sô dư đa biết, tim các sô dư va viết ra giây.Ta co: 88 1732 (modun 2004) va 87 968 (modun 2004)Suy ra : 815 = 88. 87 1732x968 (modun 2004)Ma : 1732x968 1232 (modun 2004)Vây : Sô dư cân tim la : r = 1232.


Ta co : 14 14 (modun 23)142 12 (modun 23)144 122 6 (modun 23)

Suy ra: 147 = 14.142.144 14.12.6 19 (modun 23)Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 9


tayVây sô dư cân tim la r = 19


Ta co : 9 9 (modun 12), 92 9 (modun 12), 93 9 (modun 12)99 = (93)3 9 (modun 12)910 = 99.9 92 9 (modun 12)9100 = (910)10 910 9 (modun 12)91000 = (910)100 9100 9 (modun 12)9900 = (99)100 9100 9 (modun 12)990 = (99)10 910 9 (modun 12)

Suy ra: 91999 = 91000. 9900. 990. 99 94 9 (modun 12)Vây sô dư cân tim la r = 9


Ngoai cách tách sô mu cua luy thưa an như các ví du trên, ta con co cách biêu diễn sô mu như sau: Viết n = kq + r, tư đo: a n = akq + r = (ak)q . ar . Ap dung vao ví du nay như sau: Ta viết 376 = 6 . 62 + 4.

Ta co: 20044 841 (modun 1975)Suy ra: 20044 8412 231(modun 1975)

200412 = (20044)3 2313 416(modun 1975) 200448 = (200412)4 4163 536(modun 1975) 200460 416 x 536 1776 (modun 1975) 200462 1776 x 841 516 (modun 1975) 200462x3 5163 1171 (modun 1975) 200462x6 11712 591 (modun 1975) 200462x6+4 519 x 231 246 (modun 1975)

Do đo: 2004376 246 (modun 1975)Vây sô cân tim la r = 246

* Chu y: Ơ dong 200412 416(modun 1975) ta không thê đưa lên 200460 = (200412)5 4165 (modun 1975), vi phep tính 4165 cho kết qua 6308114289 ta se lâm tương la môt sô nguyên, nhưng thưc chât đo la môt sô thâp phân lam tron vơi kết qua vưa đu 10 chư sô. Do đo ta cân thân trong canh giác nhưng trương hợp nay.Bài tâp thưc hành: Tim sô dư trong các phep chia :

1) 123456789 cho 23456 (ĐS: 7861)2) 9124565217 cho 123456(ĐS: 55713)3) 103200610320061032006 cho 2010 (ĐS: 396)4) 2008324 cho 1986 (ĐS: 1246)5) 91999 cho 33 (ĐS: 27)

DANG 3: TÌM CHỮ SÔ TÂN CÙNGPhương pháp:

Trên cơ sơ các phương pháp tim sô dư trong phep chia ta co thê vân dung đê giai bai toán tim chư sô tân cùng cua môt sô.

Đê tim 1, 2, 3, ....chư sô tân cùng cua môt sô, ta cân tim sô dư trong các phep chia tương ưng cua sô đo cho 10, 100, 1000, ....

Một số ví dụ minh họaVí du 1: Tim chư sô tân cùng cua: 72005

Giai:Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 10


tayTa cân tim sô dư trong phep chia 72005 cho 10Cách 1: Ta thây 2005 = 4 . 501 + 1Ta co: 7 7 (modun 10), 72 9 (modun 10)

74 (72)2 92 1 (modun 10)Suy ra: 72004 (74)501 1501 1 (modun 10)Do đo: 72005 7x1 7 (modun 10)Vây chư sô tân cùng cua: 72005 la 7Cách 2: Ta co: 71 7 (modun 10), 75 7 (modun 10),

72 9 (modun 10), 76 9 (modun 10),73 3 (modun 10), 77 3 (modun 10),74 1 (modun 10), 78 1 (modun 10),

......Tư đo ta co kết luân:

74k 1 (modun 10), 74k+1 7 (modun 10),74k+2 9 (modun 10), 74k+3 3 (modun 10),

Ma: 2005 = 4 . 501 + 1 = 4k + 1, nên: 72005 = 74k+1 7 (modun 10)Vây chư sô tân cùng cua: 72005 la 7(Ghi chu: Ta co thê lâp luân: Các chư sô tân cùng cua các luy thưa cua 7 lân lượt la:1, 7, 9, 3 va được lăp lai vơi chu ki la 4)

Ví du 2: Tim 2 chư sô tân cùng cua 19869

GiaiTa co: 19863 ≡ 56 (mod 100)=> 19869 = (19863)3 ≡ 563 ≡ 16 (mod 100)Vây hai chư sô tân cùng cua 19869 la 16.

Ví du 3: Tim 3 chư sô tân cùng cua 2100

GiaiTa co: 210 ≡ 24 (mod 1000)=> 250 = (210)5 ≡ 245 ≡ 624 (mod 1000)=> 2100 = 250.250 ≡ 624 x 624 ≡ 376 (mod 1000)Vây 3 chư sô tân cùng cua 2100 la 376

* Chu y: Đến đây ta thây: sô co 3 chư sô tân cùng la 376 dù luy thưa bâc bao nhiêu thi 3 chư sô tân cùng cung vân la 376 (ta goi la sô co chư sô tân cùng bât biến vơi moi luy thưa).Cho nên: 2300 = (2100)3 ≡ 3763 ≡ (mod 1000)=> 2900 = 2300 . 2300 .2300 ≡ 3763 ≡ 376 (mod 1000)Vây 21000 = 2900 . 2100 ≡ 3762 ≡ 376 (mod 1000) tưc la 3 chư sô tân cùng cua 21000 la 376.Ví du 4: Tim 4 chư sô tân cùng cua 51994

GiaiCách 1: Ta co: 54 ≡ 625 (mod 104)

510 ≡ 5625 (mod 104)520 = (510)2 ≡ 56252 ≡ 625 (mod 104)560 = (520)3 ≡ 6253 ≡ 625 (mod 104)580 = 560. 520 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)5100 = 580. 520 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)5300 = (5100)3 ≡ 6253 ≡ 625 (mod 104)5900 = (5300)3 ≡ 6253 ≡ 625 (mod 104)51000 = 5900 . 5100 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)



tay51900 ≡ 6252 ≡ 625 (mod 104)590 = 580 . 510 ≡ 625 x 625 ≡ 5625 (mod 104)

=> 51990 = 51900 . 590 ≡ 625 x 5625 ≡ 5625 (mod 104)51994 = 51990 . 54 ≡ 5625 x 625 ≡ 5625 (mod 104)

Vây 4 chư sô tân cùng cua 51994 la 5625.Cách 2: Ta co: 54 = 625Nhân thây sô tân cùng la 0625 dù luy thưa bâc bât kỳ vân co tân cùng la 0625

Ma: 51994 = 54k + 2 = (54)k . 52 = (….0625) . 25 = …5625Bài tâp thưc hành:1) Tim chư sô tân cùng cua 42008 (ĐS: 6)HD: C1: Nâng dân các luy thưa cua 4 lên đến 42008

C2: Quan sát chu kỳ cua chư sô tân cùng 2) Tim 2 chư sô tân cùng cua:

a) 20112012 (ĐS: 21)HD: 20112 ≡ 21 (mod 100)

201110 ≡ 215 ≡ 1 (mod 100)b) 2999 (ĐS: 88)c) (ĐS: 89)

3) Tim 3 chư sô tân cùng cua:a) 3100 (ĐS: 001); HD: 310 ≡ 49 (mod 1000)

350 ≡ 249 (mod 1000)b) 5100 (ĐS: 625); HD: 510 ≡ 625 (mod 100)

4) Tim 4 chư sô tân cùng cua:a) 2100 (ĐS: 5376)b) 3100 (ĐS: 2001)c) 7100 (ĐS: 0001)

DANG 4: TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (UCLN) VA BÔI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN):

Đăt vân đê: Chung ta đa biết hai bai toán tim UCLN va BCNN la hai bai toán cơ ban va tương đôi dễ trong chương trinh sô hoc lơp 6, nhưng trái lai ta thương thây xuât hiện thương xuyên trong các ki thi HSG giai toán trên MTCT, bơi vi các bai toán nay khi áp dung cho thi, ngươi ta thương cho các sô tương đôi lơn, như vây vơi kha năng tính toán băng tay, không co sư trợ giup cua máy tính thi gân như chung ta giai không nổi vơi các phương pháp đa biết trong sách giáo khoa. Nhơ sư trợ giup cua MTCT vơi các phương pháp va thuât toán hợp ly ta co thê giai được các bai toán nay. Sau đây xin nêu môt sô phương pháp va thuât toán hương dân qui trinh ân phím đê tim UCLN va BCNN.

Nhân xet: Ta co công thưc: UCLN(a, b) x BCNN(a, b) = a x b. Do đo hai bai toán tim UCLN va BCNN thương được lam cùng luc, vi khi đa co UCLN thi ta lai tính được BCNN.Phương pháp 1: Ap dung cho các sô không quá lơnCách 1: Lam theo 3 bươc cua thuât toán như SGK toán 6, vơi sư trợ giup cua máy tính khi tiến hanh phân tích các sô ra thưa sô nguyên tô. (Rõ rang cách nay không nhanh)Cách 2: Dùng tính năng rut gon phân sô cua máy.

Ta đa biết: Nếu UCLN(a, b) = m. Suy ra :

a = m . x va b = m . x, tư đo:



tayDo đo: Ta dùng máy rut gon phân sô thanh phân sô , sau đo dơi con tro sưa

phep tính thanh a : x = m = UCLN(a, b) Con: BCNN(a, b) = a . y, bơi vi:

*Chu y: Trương hợp muôn tim UCLN va BCNN cua 3 sô, 4 sô,... thi ta cư tim UCLN va BCNN cua 2 sô rôi lây kết qua nay tim tiếp UCLN va BCNN vơi các sô con lai.

Một số ví dụ minh họaVí du 1: Tim UCLN va BCNN cua 3456 va 1234

Giai:Qui trinh ân phím trên máy fx 570MS:

3456 1234 →

Dơi con tro lên dong bt sưa phep tính thanh : 3456 1728 → K/q: 2(= ƯCLN)

Dơi con tro lên dong bt sưa phep tính thanh : 3456 617 → K/q: 2132352(= BCLN)Ví du 2: Tim ƯCLN va BCNN cua 209865 va 283935

GiaiQui trinh ân máy:

209865 283935 →

Dơi con tro sưa lai:

209865 17 → 12345 = ƯCLNDơi con tro sưa lai:

209865 23 → 4826895 = BCLN

Bài tâp thưc hành:TÌM ƯCLN VA BCNN CỦA

a) 2419580247 va 3802197531

(ĐS: Phân sô rut gon: ; ƯCLN = 345654321; BCNN = 26615382717 (cân xư ly sô

lơn)).b) a = 24614205, b = 10719433

(ĐS: Phân sô tôi gian ; ƯCLN = 21311; BCNN = 12380945115)

c) a = 96309 va b = 70233(ĐS: ƯCLN = 123; BCNN = 54992439)Phương pháp 2: Số quá lớn hoặc cặp số mà máy không biểu diễn được dạng phân số rút gọn (Tức là có số kí tự của tử + mẫu + dấu phân số quá 10 kí tự)Cách 1: Dùng thuât toán Ơ_ClitĐịnh lý: (Cơ sơ cua thuât toán Ơ_Clit)

Nếu a = bq + r (0 < r < b) thi ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, r)


ab/c = ab/cSHIFT

=

x

÷

=

÷ =

÷ =

÷ =


tay ƯCLN (b, mod (a, b), a > b) Tưc la: ƯCLN (a, b) =

ƯCLN (a, mod (b, a), a < b) Tư đo ta co thuât toán Ơ_Clit như sau:Vơi a, b Z (a > b)- Chia a cho b: a = bq1 + r1

- Chia b cho r1: b = r1q2 + r2

- Chia r1 cho r2: r1 = r2q3 + r3

………….Tiếp tuc quá trinh trên ta được day b, r1, r2, r3, … day nay dân đến 0 va đo la sô tư

nhiên nên ta se thưc hiện không quá b phep chia thi thuât toán kết thuc sau môt sô hưu han bươc va tư đinh lí trên cho ta kết qua: ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, r1) = …………= rn

Ví du 1: Tim ƯCLN va BCNN cua: 37068 va 196246(Thay bơi 2 sô: 15185088 va 3956295); ƯCLN = 123; BCNN = 48842855520

GiaiLân 1: 37068 = 196296 x 1 + 174072Lân 2: 196296 = 174072 x 1 + 22224Lân 3: 174072 = 22224 x 7 + 18504Lân 4: 22224 = 18504 x 1 + 3720Lân 5: 18504 = 3720 x 4 + 3624Lân 6: 3720 = 3624 x 1 + 96Lân 7: 3624 = 96 x 37 + 72Lân 8: 96 = 72 x 1 + 24Lân 9: 72 = 24 x 3Vây ƯCLN la 24

Suy ra: BCNN = = 1532 x 196246 = 3029239872

Ví du 2: Cho a = 1408884 va b = 7401274. Ti ƯCLN va BCNNGiai

Ta co: 7401274 = 1408884 x 5 + 3568541408884 = 356854 x 3 + 338322356854 = 338322 x 1 + 18532 338322 = 18532 x 18 + 4746 18532 = 4746 x 3 + 42944746 = 4294 x 1 + 4524294 = 9 x 452 + 226452 = 226 x 2 + 0

Vây ƯCLN = 226

=> BCNN =

= 6234 x 7401274= 6234(7401.103 + 274)= 46137834.103 + 274= 46139542116

Nhân xét: Cách nay rât dai vê thao tác ân máy, ta chi dùng khi không lam cách trên được. Ngoai ra ta con co cách khác nưa la áp dung mệnh đê: ƯCLN (a, b) = ƯCLN (a-b, b), vơi a > b, tuy nhiên cách nay ít dùng.



tayBài tâp thưc hành:TÌM ƯCLN VA BCNN CỦA: a = 75125232 va b = 175429800

(ĐS: ƯCLN = 412776; BCNN = 31928223600; Phân sô tôi gian )

DANG 5: MÔT SÔ BAI TOAN VỀ TÌM ƯỚC, BÔI, ƯỚC CHUNG, BÔI CHUNG.Các bai toán dang nay thương không co phương pháp, cung như thuât toán vê qui

trinh ân phím chung nao ca, tùy vao tưng bai cu thê ma ta co thê đưa ra môt qui trinh ân phím riêng đê giai, nhăm giai quyết bai toán đo theo yêu câu.

* Nhắc lại một số kiến thức:- Ư(a) = { x / a chia hết cho x }- B(a) = { x / x chia hết cho a }- ƯC(a,b) = { x / a chia hết cho x và b chia hết cho x }

= Ư(UCLN(a, b))- BC(a, b) = { x / x chia hết cho a và x chia hết cho b }

= B(BCNN(a, b))Sau đây là một số bài toán thường gặp:

Bài 1: Tim các ươc cua 120Giai:

Ta biết ươc cua 120 la các sô ma 120 chia hết. Do đo ta dùng vong lăp đê tim thương nguyên trong phep chia 120 cho các sô tư 1 đến be hơn 120

Ta co qui trinh ân phím như sau:Ấn 0 SHIFT STO A

ALPHA A + 1 SHIFT STO A ALPHA : 120 ÷ ALPHA A

Ta chi lây các kết qua la sô nguyên:Ấn = 2 = Kết qua 60 (tưc 120 chia hết cho 2)

= 3 = Kết qua 40 (tưc 120 chia hết cho 3)= 4 = Kết qua 30 (tưc 120 chia hết cho 4)= 5 = Kết qua 24 (tưc 120 chia hết cho 5)= 6 = Kết qua 20 (tưc 120 chia hết cho 6)= 7 = Kết qua 17,1.. (tưc 120 không chia hết cho 3), bo= 8 = Kết qua 15 (tưc 120 chia hết cho 8)= 9 = Kết qua 13,3.. (tưc 120 không chia hết cho 3), bo= 10 = Kết qua 12 (tưc 120 chia hết cho 10)= 11 = Kết qua 10,9.. (tưc 120 không chia hết cho 11), bo

Ta dưng lai vi 10,9.. < 11Vây : Ư(120) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120}

Chú ý: Ta co thê tim ươc 120 băng cách phân tích 120 ra thưa sô nguyên tô rôi tư kết qua phân tích nay viết ra các ươc. Cách nay thu công không lợi dung được thế manh cua máy tính nên ít dùng, nhưng cách nay lai co ưu điêm la tính được sô ươc, không sợ bi sot ươc. Cách tính sô ươc như sau:

Gia sư: a = xm.yn.zp thi sô ươc băng: (m + 1)(n + 1)(p + 1).Vd: 120 = 23.3.5 se co: (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 ươc

Bài 2: Tim tổng các ươc lẻ cua 93184Giai

Phương pháp: Ta tim các ươc lẻ cua 93184 rôi tính tổng



tayCách 1: Ta tim các ươc lẻ cua 93184 băng cách loai các ươc chăn.

Qui trinh ân phím như sau:Ấn: 93184 (gán vao )

÷ 2 …(loai các ươc chăn)

Ta ân liên tuc cho đến khi thương hết con chăn (tưc la loai hết các ươc chăn) va khi thây thương lẻ 91 xuât hiện ta dưng lai.

Lai tiếp tuc tim các ươc lẻ cua 91, lây 91 chia cho 3, 5, 7, 11, 13, ta tim được 2 ươc lẻ nưa la 7 va 13.

Vây tổng các ươc lẻ cua 93184 la: 91 + 13 + 7 + 1 = 112Cách 2: Ta tim trưc tiếp các ươc lẻ cua 93184 băng vong lăp sau:

Qui trinh ân phímẤn 1 SHIFT STO A (gán 1 cho ô nhơ A)

ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 2(Tưc A = A + 2, tao biến lăp la sô lẻ 1, 3, 5,…)ALPHA : 93184 ÷ ALPHA A

Ấn = = … liên tiếp va chi chon nhưng sô lẻ nao ma 93184 chia hết (tưc thương nguyên), khi đo ta chon được các ươc 7, 13, 91, ân = liên tiếp cho đến khi nao thương nho hơn biến nhay thi dưng.

Bài 3: Tim các bôi cua 60Giai

Ta dùng vong lăp vơi biến đếm tư 0, 1, 2,…..Qui trinh ân máy:Ấn: -1 SHIFT STO A (gán -1 cho A)

ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1(A = A + 1), tao biến đếm tư 0, 1, 2, ……)ALPHA : 60 ALPHA A = = ……(Sau môi lân ân 2 dâu = ta được 1 bôi)Vây B(60) = {0; 60; 120; 180; ………}

Bài 4: Tim các bôi nho hơn 2012 cua 60Giai

Qui trinh ân máy:Ấn: -1 SHIFT STO A

ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1ALPHA : 206 ALPHA A = = ……

Ta ân liên tiếp đê lây các bôi cua 206 va dưng lai khi bôi > 2012Kết qua: 0; 206; 412; 618; 824; 1030; 1236; 1442; 1648; 1854Bài 5: Tim các bôi cua 45 nhơ hơn 2012 va chia hết cho 35

GiaiQui trinh ân máy:Ấn: -1 SHIFT STO A

ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1ALPHA : 45 ALPHA A ÷ 35 ALPHA : 45 ALPHA A = = = ……


= Ans

Ans = =

=

=


tayTa ân = liên tiếp đê lây kết qua; đê y nếu thây hiện 45A ÷ 35 la sô nguyên thi ân = kế tiếp la 45A co kết qua thoa điêu kiện bai toán va đến khi lơn hơn 2012 thi dưng.Kết qua: 0; 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890Cách khác: Theo đê bai, ta cân tim các bôi chung cua 45 va 35 ma nho hơn 2012.Bươc 1: Tim BCNN (35, 45) = 315 (theo thuât toán đa biết).Bươc 2: Tim các bôi cua 315 ma nho hơn 2012 (cách nay qua la qui trinh ân máy gon gan nhơ ta biết kết hợp tư duy toán hoc vao máy tính).DANG 6: SÔ NGUYÊN TÔ

1/ Kiến thức về số nguyên tố :a) Đinh nghia : Sô nguyên tô la sô tư nhiên lơn hơn 1 va chi co hai ươc la 1 va chính no

Chu y: - Sô 2 la sô nguyên tô nho nhât va la sô nguyên tô chăn duy nhât.- Các sô nguyên tô nho hơn 10 la: 2; 3; 5; 7

b) Đinh ly 1 : (Cơ ban vê sô nguyên tô)Vơi moi sô nguyên dương n, m > 1 đêu co thê viết được môt cách duy nhât:

n =

Vơi k, ei la sô tư nhiên, Pi la sô nguyên tô thoa man p1 < p2 < …. < pk

Khi đo dang viết trên goi la phân tích sô n ra thưa sô nguyên tô.c) Đinh ly 2 : (Xác đinh sô ươc cua môt sô tư nhiên)

Cho , n > 1, gia sư n co dang phân tích ra thưa sô nguyên tô la n = . Khi đo sô ươc cua n được tính theo công thưc: (e1 + 1)(e2 + 1) …. (ek + 1)

d) Cách nhân biết sô nguyên tô :p la môt sô nguyên tô nếu p không co ươc nguyên tô <

2/ Một số bài toán về số nguyên tốBài 1: Phân tích ra thưa sô nguyên tôa/ 1800 b/ 41580

Giaia/ Ấn 1800 → (đưa vao biến nhơ Ans)

2 → 900 → 450

→ 225

225 → 5 (đưa vao biến nhơ Ans)

3 → 75

→ 25

25 → (đưa vao biến nhơ Ans)

5 → 5

→ 1


=

÷ =

=

=

=

÷ =

=

=

÷ =

=


tayVây: 1800 = 23. 32.52

b/ 41580 = 22.33. 5.7.11Bài 2: Sô 647 co phai la sô nguyên tô hay không?

GiaiTa áp dung dâu hiệu trên đê kiêm tra.Tính nhơ sô 25Dùng vong lăp chia sô 647 cho các sô lẻ đến 25

Qui trinh ân phím trên máy fx-570MS:Ấn 1 SHIFT STO A

ALPHA A ALPHA = ALPHA A 2 ALPHA : 647 ÷ ALPHA A

Ta ân liên tiếp nếu thây xuât hiện kết qua nguyên thi 647 không phai la sô nguyên tô, con nếu ân cho đến khi A = 25 ma không thây kết qua nguyên thi 647 la sô nguyên tô.Bài tâp thưc hành:Kiêm tra xem các sô sau, sô nao la sô nguyên tô

859 ; 417 ; 900 ; 1249 ; 8011(Đáp sô: 859; 1249 la sô nguyên tô)

Bài 3 : Tim các ươc nguyên tô cua: A = 17513 + 19573 + 23693

Giải- Ta tim ƯCLN cua 1751 va 1957 theo thuât toán đa biết ; ta được UCLN (1751 ;1957) = 103- Dùng thuât toán kiêm tra sô nguyên tô, kiêm tra ta thây 103 la sô nguyên tô , thư lai ta cung co 2369 co ươc nguyên tô la 103.Do đo A = (103.17)3 + (103.19)3 + (103.23)3 = 1033 (173 +193 +233) = 1033 . 23939Phân tích ta thây 23939 = 37.647, kiêm tra lai thây 647 la sô nguyên tô. Vây A co các ươc nguyên tô 37; 103; 647.Bài 4: Tim ươc nguyên tô nho nhât va lơn nhât cua A = 2152 + 3142

Giải:- Tính A = 144821- Ta tim ươc nguyên tô cua A, theo qui trinh ân phím trên máy fx-570MS như sau. Ấn 1 SHIFT STO A

ALPHA A ALPHA = ALPHA A 2 ALPHA : 144821 ÷ ALPHA

Ta ân liên tiếp cho đến khi nao co kết qua nguyên thi dưng lai, ta được sô 97 la sô nguyên đâu tiên tim thây. Nên A = 97. 1493.

- Tiếp tuc kiêm tra ta thây 1494 cung la sô nguyên tô.Vây A co ươc nguyên tô nho nhât la 97, lơn nhât la 1493.

Bài tâp thưc hành:Tim ươc nguyên tô nho nhât va lơn nhât cua 10001 (ĐS : 73 va 137)DANG 7: MÔT SÔ DANG TOAN SỬ DỤNG TINH TUÂN HOAN CỦA CAC SÔ DƯ KHI NÂNG LÊN LŨY THỪA.



tayCơ sở lý thuyết :Định lý : Vơi a, m la các sô tư nhiên. Các sô dư trong phep chia các luy thưa cua a

la : a1, a2, a3, a4, . . . cho m được lăp lai môt cách tuân hoan (co thê không băt đâu tư luy thưa đâu)

Chứng minh :Ta lây m + 1 luy thưa đâu tiên cua a: a1, a2, a3, a4, . . ., am, am+1. Ta xet các sô

dư cua chung khi chia cho m, vi khi chia cho m chi co m sô dư tù 0; 1; 2; 3; . . . .; m -2; m – 1, ma lai co m + 1 sô (m + 1 phep chia cho m), nên trong các phep chia trên phai co hai phep chia cho cùng sô dư khi chia cho m.

Gia sư hai sô đo la ak va ak+l (l > 0)Khi đo a k ak+l (modun m)Vơi moi n ≥ k, ta nhân hai vế cua phep đông dư trên vơi an – k, ta se được:

an an + k (modun m)Điêu nay chưng to răng: Băt đâu tư vi trí tương ưng vơi ak các sô dư se lăp

lai môt cách tuân hoan. Sô l được goi la chu ki tuân hoan cua các sô dư khi chia các luy thưa cua a cho m.Nhận xét: Vơi sư trợ giup cua MTBT, ta dễ dang xây dưng thuât toán hương dân qui trinh ân phím đê tính nhanh các luy thưa cua môt sô va xác đinh các sô dư va chu ki tuân hoan cua no. Ví du: Tính các luy thưa cua: 5n, vơi n = 0; 1; 2; 3; . . . .Ta co quy trinh ân phím như sau:

Ấn: -1 SHIFT STO AALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : 5 ALPHA A = = = . . . .

Ta được kết qua: 50 = 1; 51 = 5; 52 = 25; 53 = 125; 54 = 625; . . . Sau đây ta sẽ áp dụng tính chất tuần hoàn này để giải một số bài toán

Bài 1: Xet các luy thưa liên tiếp cua 2. 21 ; 22 ; 23 ; 24 ;................

Tim xem khi chia các luy thưa nay cho 5 nhân được sô dư như thế nao ?Giải:

Ta co: 21 2 (mod 5); 25 2 (mod 5) 22 4 (mod 5) ; 26 4 (mod 5) 23 3 (mod 5) ; 27 3 (mod 5) 24 1 (mod 5) ; 28 1 (mod 5) . . . .

Ta thây các sô dư lăp lai 1 cách tuân hoan sau 4 sô dư ( 2; 4; 3; 1) va lăp lai đung thư tư trên, chu kỳ tuân hoan la 4.

*Nhận xét: Nếu ta co bai toán: Tim sô dư khi chia 22005 cho 5 Ap dung kết qua trên : Ta co 2005 1 (mod 4) 22005 khi chia cho 5 co dư la 2

Bài 2: Tim chư sô tân cùng cua Giai:

Dùng máy đê tính các luy thưa cua 2 theo qui trinh ân phím sau: Ấn : 1 SHIET STO A

2 ALPHA A ALPHA ALPHA A ALPHA = ALPHA A 1 …….



tay Ta được kết qua: 21 , 22, 23 , 24 , 25 , 26 , 27, 28,...........Chư sô tân cùng ( 2, 4, 8, 6) (2, 4, 8, 6 ),...............Ta thây chư sô tân cùng (tưc la sô dư khi chia cho 10) lăp lai tuân hoan chu kỳ 4 sô ( 2; 4; 6; 8). Ma : 34 = 81 1 (mod 4)

Vây chư sô tân cùng cua la 2.Bài 3: Tim 2 chư sô tân cùng cua A = 21999 + 22000 + 22001

Giai:Dùng máy tính các luy thưa cua 2 đê tim 2 chư sô tân cùng ( tưc sô dư khi chia cho 100) như quy trinh ơ Ví du 2 ơ trên. Ta co kết qua :

21 22 23 24 25 ...................................................................................220 221

(4 8 16 32 64 ..........................................................................76 52) Ta thây các sô dư lăp lai tuân hoan vơi chu kỳ 20 (tư 4 đến 52)

Ta lai co 1999 19( mod 20) 21999 chia 100 dư 88 2000 0( mod 20) 22000 chia 100 dư 76 2001 1( mod 20) 22001 chia 100 dư 52

Ma 88 + 76 + 52 = 216 16 (mod100)Vây A co 2 chư sô tân cùng la 16.

* Nhân xet: Cách giai trên tuy dai nhưng dùng lợi thế cua máy tính ta co thê giai 1 cách dễ dang.Ta có cách giải khác như sau:

Ta co 21 2 (mod100); 23 8 (mod100) 210 24(mod100); 29 = (23)3 83 12(mod100); 240 76(mod100) 250 = (210)5 245 24(mod100) 2400 =(2100)4 764 76(mod100) 2500 = 2400.2100 =762 76(mod100) 2900 = 2400.2500 =762 76(mod100) 21000 = 2900.2100 = 762 76(mod100) 22000 =(21000)2 762 76 (mod100) 22001=22000.2 76.2 52(mod100) 290 = 250.240 =76.24 24(mod100) 21999=21000.2900.290.29 762 .12.24 88(mod100) A = 21999+22000 + 22001 88 + 76 + 52 = 216 16 (mod100) Vây hai chư sô tân cùng cua A la 16.

Bài 4 : Chưng minh răng (148)2004 + 13 chia hết cho 11Giải

Ta co 14 3 (mod11) (148)2004 (38)2004 (mod11)Ma 38 = 6561 5 (mod11) (38)2004 52004(mod11) (38)2004 52004 (mod11)Xet sư tuân hoan cua các sô dư khi chia luy thưa cua 5 cho 11:

51 52 53 54 55 56 57 58 59 510

(5 3 4 9 1 ) ( 5 3 4 9 1) Ma : 2004 4 (mod5)Cho nên 52004 cho 11 dư 9, tưc (148)2004 chia cho 11 dư 9. Vây (148)2004 +13 chia hết cho 11.Cách khác:

Ta co: 51 5 (mod11)Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 20


tay 52 3 (mod11) 53 4 (mod 11) 54 9 (mod 11) 55 1 (mod 11)

52004=55.400+4 =(55)400.54 1400.9 9(mod11). Vây : (148)2004+13 9+13 =22 0 (mod11)Bài 5: Chưng minh răng : 222555 +555222 7

GiảiTa tim dư khi chia 222555 cho 7Ta co : 222 5(mod 7) 222555 5555 (mod 7)Xet sư tuân hoan cua các sô dư khi chia luy thưa cua 5 cho 7

51 52 53 54 55 56 57 58 59 510.............. ( 5 4 6 2 3 1) (5 4 6 2 ................

Ma : 555 3 (mod6) 5555 6 (mod 7)Vây : 222555 chia cho 7 dư 6.- Tương tư ta tim được : Sô dư khi chia 555222 cho 7 la 1

Vây dư cua 222555 +555222 chia cho 7 la 7, tưc chia hết cho 7.Bài 6: Cho A = 2100 + 2101 + 2 102 + ………..+ 22007

Tim sô dư khi chia A cho 2007.Giải

Ta co A = 2100 (1 + 2 + 22 + ..............+ 21007) = 2100 ( 2-1) (21907 + 21906 = +.....+ 22 + 2 +1 )

A = 2100 (21908- 1) (*) ( Chu y : ta đa áp dung HĐT mơ rông : an – bn = ( a – b) ( an – 1 + an – 2b + ………..+ abn-2 + b n-1 )Ta cân tim sô dư khi chia 2100(21908 – 1) cho 2007 Ta co 220 = 1048576 922 (mod 2007)

2100 = ( 220)5 9225 9223.9222 1801 . 1123 1474 (mod 2007) 21900 = (2100)19 147419 (mod 2007)

Ma : 14743 685 (mod 2007) 14749 6853 82 (mod 2007) 147419=147418.1474 (14749)2 .1474 822. 1474 610 (mod 2007)

Nên 21900 610 (mod2007)Tính tiếp : 28 256 (mod 2007)

21908 610 . 256 1621 (mod 2007) 21908 -1 1621 – 1 =1620 (mod 2007)

Cuôi cùng : 2100 .(21908-1) 1474 . 1620 1557 (mod 2007)Vây A chia cho 2007 co dư la 1557.

*Chu y: Đê tính được A = 2100 . ( 21908 – 1), nếu hoc sinh khi hoc bôi dương đa được trang bi kiến thưc vê câp sô nhân thi ta thây A la tổng câp sô nhân vơi công bôi la q = 2, u1=2100

Ta co công thưc tính tổng

Sn = , vơi n = 1908 ( tưc tư 100 đến 2007 co sô hang la 1908)



tayDANG 8: DANG TOAN VỀ LIÊN PHÂN SÔ.Sô hưu ti dươi dang liên phân sô.Môi sô hưu ti co môt biêu diễn duy nhât dươi dang liên

phân sô, no được viết dươi dang la: = [a0, a1, … an].

Sô hưu ti cung co thê biêu diễn dươi dang liên phân sô vô hhanj băng cách xâp si no dươi dang gân đung bơi các sô thâp phân hưu han va biêu diễn các sô thâp phân hưu han nay qua liên phân sô.

Vân đê đăt ra : Hay biêu diễn liên phân sô vê dang . Dang toán nay

được goi la tính giá tri cua liên phân sô. Vơi sư trợ giup cua máy tính ta co thê tính môt cách nhanh chong giá tri cua phân sô đo.

Quy trinh ân máy fx 500MS: Ấn lâ lượt: an-1 + 1 ab/c an = an-2 +1 ab/c Ans = … a0 + 1 ab/c Ans = (Co thê dùng x-1 ân phâm như sau: an = x-1 + an-1 = x-1 + … = x-1 + a0 = )Một số ví dụ minh họa:

Ví du 1: Tính giá tri cua A = 1 +

Giai:Quy trinh ân máy fx 500MS:Ấn 3 + 1 ab/c 2 = 2 +1 ab/c Ans = 1 + 1 ab/c Ans = SHIFT ab/c

Kết qua : A = .

Ví du 2: Tính B = 3 +

HD: Đây la dang liên phân sô biến thê, qui trinh ân máy cung tương tư không co gi kho:

Kết qua: B =

Ví du 3: Tính C = 2,35+ (liên phân sô biến thê)

(Kết qua: C = 4,456186374)

Ví du 4: Biết trong đo a va b la các sô dương. Tính a,b ?



tayGiai:

Ta co

Vây a = 7; b = 2 (chu y co quy trinh ân máy)Ví du 5: Tim x, biết

Giai:Viết lai (*) dươi dang : 4+x.A = x.B x(A – B) = - 4

X =

Vơi A = ……; B = …..

Dùng máy tính A gán cho A ( )

B gán cho B ( )

Tư đo tính x = 4: (B-A) =

Ví du 6: lâp quitrinhf ân phím đê tính giá tri cua liên phân sô sau:M = [3,7,15,1,292] va tính - M

Giai:

Ta co: M = 3+

Ta co quy trinh ân phím sau:Ấn:1 + 1 ab/c 292 = 15 + 1 ab/c Ans = 7 + 1 ab/c Ans = 3 + 1 ab/c Ans (M = 3,1415...) SHIFT STO MSHIFT (A) – ALPHA M = (5,8.10-10)

Ví du 7: Cho A = 30 + . Viết lai A dươi dang A = [a0, a1, … an]. ?

Giai:



tayTa co: A = =

=

Vây A =

Suy ra: A = [31,5,133,2,1,2,1,2].Bài tâp thưc hành:

Bai 1: Tính:A = 7+ B = C=

(ĐS: )

Bai 2: Tim các sô tư nhiên a,b biết: (ĐS: a = 7; b = 9)

Bai 3: Tim x,biết: (ĐS: x = )

Bai 4: Lâp qui trinh ân phím đê tính giá tri cua liên phân sô sau”M = [1;1,2;1;2;1;2;1] va tính - M ?Bai 5: Cho các sô co biêu diễn gân đung dươi dang liên phân sô như sau:

= [1,2,2,2,2,2]; = [1, 1, 2, 1, 2, 1] ; = [3, 17, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3]. Tính các liên phân sô trên va so sánh vơi các sô vô ty ma no biêu diễn.

DANG 9: CAC DANG TOAN VỀ ĐA THỨC.I. MÔT SÔ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC:1) Định lý cơ bản về phép chia đa thức:

Vơi hai đa thưc môt biến f(x), g(x) (g(x) ≠ 0 ), luôn luôn tôn tai duy nhât căp đa thưc Q(x) va R(x) sao cho : f(x) = g(x) . Q(x) + R(x), vơi R(x) = 0 hoăc bâc R(x) nho hơn bâc cua Q(x).



tayTrong đo: Q(x) goi la đa thưc thương; R(x) goi la đa thưc dư.- Nếu R(x) = 0 thi f(x) chia hết cho g(x).

2) Định lý Bê-du:Sô dư trong phep chia f(x) cho nhi thưc (x – a) la f(a).

3) Hê quả:f(x) chia hết cho (x – a) f(a) = 0 (Tưc a la nghiệm cua f(a))

4) Sơ đô hooc-ne:Gia sư đa thưc f(x) = an xn + an-1 xn-1 + . . . . + a1 x + a0 khi chia cho nhi thưc (x - )

co thương la: Q(x) = bn-1 xn-1 + bn-2xn-2 + . . . . + b1 x + b0

Khi đo: an xn + an-1 xn-1 + . . . . + a1 x + a0 = = (bn-1 xn-1 + bn-2xn-2 + . . . . + b1 x + b0)(x - ) + r= bn-1xn + (bn-2 - bn-1)xn-1 + ... + (b1 - b2)x2 + (b0 - b1)x + (r – b0)Đông nhât các hệ sô, ta co: an = bn-1; an- 1 = bn-2 - bn-1 ;.... a1 = b0 - b1; a0 = r – b0

Suy ra: bn-1= an ; bn-2 = an- 1 + bn-1 ;.... b0 = a1+b1; r = a0 +b0

Do đo ta co sơ đô sau đê tính các hệ sô cua thương Q(x) va dư r, goi la sơ đô Hooc –ne:

II. MÔT SÔ DANG TOAN THƯƠNG GĂP VỀ ĐA THỨC:Dạng1: Tính giá trị của đa thức(biểu thức)Loại 1: Đa thức có nhiều biến x, t, zVí du: Tính giá tri cua biêu thưc sau:

E = vơi x = 2,41; y = -3,17; z =

Giai:Cách 1: Dùng phep gán:Ấn: 2,41 SHIFT STO X

-3,17 SHIFT STO Y

SHIFT STO A

Ghi vao man hinh:(3X2Y – 2XA3 + 5XYA):(6XY2+XA)Ấn = kết qua: E = -0,7918Cách 2: Dùng lệnh CALCGhi vao man hinh:(3X2Y – 2XA3 + 5XYA):(6XY2+XA)Ấn: Ấn CALC X ? (nhâp 2,41)

= Y ? (nhâp -3,17)

= A ? (nhâp )

= kết qua: E = -0,7918Loại 2:Đa thức một biến.Nếu chi tính tai môt giá tri cua biến, ta nhân, chia trưc tiếp nhơ biến nhơ Ans

Ví du 1: Tính A = khi x = 1,8165


an an-1 an-2 …… a2 a1 a0 bn-1 bn-2= an- 1 + bn-1 bn-3= an- 2 + bn-2 b1= a2+b2 b0= a1+b1 r = a0 +b0


tayGiai:

Ấn 1,8165 = đê ghi vao biến nhơ Ans.Ghi vao man hinh biêu thưc đa cho vơi vai tro x la biến nhơ Ans, cuôi cùng ân = kết qua: 1,49846582.(Cách nay cung tương tư cách dùng phep gán )

- Nếu tính giá tri biêu thưc tai nhiêu giá tri cua biến, ta dùng lệnh CALC la tiện lợi nhât

Ví du 2: Tính

Khi x = 1,8165; x = -0,235678; x = 865,321Giai

Ghi vao man hinh:

Ấn CALC X (nhâp x = 1,8165) = k/q (A = 1,4985) CALC X (nhâp x = -0,235678) = k/q (A = 0,3331) CALC X (nhâp x = 865,321) = k/q (A = 561314,2712)Chu y: Ta co thê kiêm tra lai kết qua băng cách gán giá tri cua biến vao X, dơi con tro lên biêu thưc ân = đê kiêm tra lai kết qua Bài tâp thưc hành:1/ Tính x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 khi x = 1,35627(ĐS: 10,6956)2/ Tính P(x) = 17x5 – 5x4 + 8x3 + 13x2 – 11x – 357(ĐS: 2,18567)Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức (x - a) hoặc (ax – b)- Theo đinh ly Bêdu thi dư ttrong phep chia P(x) cho (x – a) la r = f(a)- Gia sư khi chia P(x) cho (ax + b) co dư la r thi r phai la hăng sô (vi bâc cua r phai nho hơn bâc cua (ax + b)). Cho nên ta co:

P(x) = (ax + b).Q(x) + r

Khi x = ( la nghiệm cua đa thưc ax + b) thi:

P( ) =

Vây đê tim dư trong phep chia P(x) cho x – a ta tính P(a) va dư ax + b ta tính P( ),

do đo bai toán giông như bai toán ơ dang 1.Ví du 1: Tim sô dư trong phep chia:

GiaiĐăt P(x) la đa thưc ơ tư, ta co sô dư r trong phep chia trên la: P(1, 624)



tayQui trinh ân máy đê tim P(1,624) như sau: Ấn 1,624 SHIFT STO XGhi vao man hinh đa thưc P(X):Ấn = k/q r = 85,92136979Ví du 2: Tim sô dư trong phep chia:

Q(x) = cho (x + 2,318)Giai

Sô dư trong phep chia trên la: r = Q(-2,318)Thưc hiện qui trinh ân máy như trên ta được: r = 46,0791Ví du 3: Tim sô dư trong phep chia :

f(x) = cho nhi thưc 3x – 5Giai

Sô dư trong phep chia trên la: r = f

Thưc hiện qui trinh ân máy như trên ta được:

Ví du 4: Tim thương va sô dư trong phep chia P(x) = cho (x – 5)Giai

Đê tim thương va sô dư trong phep chia P(x) cho (x – 5) ta dùng sơ đô Hoocne

3 5 -4 2 -75 3 5x3 + 5

=205x20 – 4

=965x96 + 2

=482482x5 – 7

=2403Qui trinh ân máy fx-570 MSẤn: 5 SHIFT STO X (Gán 5 cho x) 3 ALPHA X + 5 = Ans ALPHA X - 4 = Ans ALPHA X + 2 =

Ans ALPHA X - 7 = r = 2403Vây: Thương la: Q(x) = va dư r = 2403Ví du 5: Tim thương va sô dư ttrong phep chia:

P(x) = cho (2x – 1)Giai

* Nhận xét: Gia sư P(x) chia cho (ax + b) co thương la Q(x) va dư la r. Khi đo:P(x) = (ax + b).Q(x) + r

Đăt a.Q(x) = Q’(x)



tayĐiêu nay chưng to thương trong phep chia P(x) cho (ax + b) la thương trong phep chia

P(x) cho nhân vơi . Con dư r = ta đa biết.

Tư nhân xet trên, ta cân tim thương cua P(x) chia cho , dùng sơ đô Hoocne đê tim

các hệ sô cua thương va dư r như sau:

1 2 -3 11

Ta được: P(x) =

Vây thương cân tim la:

Q(x) = va sô dư la r =

Bài tâp thưc hành:1) Cho P(x) = . Tim phân dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 va x – 3. Tim BCNN(r1, r2)?ĐS: r1 = -4; r2 = 139UCLN(r1,r2) = 1 BCNN(r1,r2) = 4.139 = 556

2) Tim thương va dư trong phep chia

ĐS: Thương Q(x) =

Dư r =

3) Tim thương va dư trong phep chia: f(x) = x7 – 2x5 - 3x4 + x – 1 cho x + 5ĐS: f(x) = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 +590x2 – 2950x + 14751) – 737564) Chia x8 cho (x + 0,5) được thương q1(x) va dư r1. Chia q1(x) cho (x + 0,5) được thương q2x va dư r2. Tính r2.HD: Ta co x8 = (x + 0,5).q1x + r1

Q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2

Ta dùng sơ đô Hoocne, tính được các hệ sô cua q1(x), q2(x) va các dư r1, r2

1 0 0 0 0 0 0 0 01

1 -1

5) Tim thương va dư trong phep chia:



tayx7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x + 5ĐS: Thương x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751 Dư: r = - 73756Dạng 3: Tìm tham số m để p(x) + m chia hết cho nhị thức ax + bKhi chia đa thưc P(x) cho ax + b ta dược : P(x) = (ax + b).Q(x) + r

P(x) + m = (ax + b).Q(x) + (r + m)

Đê P(x) + m chia hết cho (ax + b) thi: r + m = 0 m = -r =

Như vây bai toán thưc chât la bai toán tim sô dư ma ta đa biết.Ví du 1: Tim a đê x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

GiaiĐăt P(x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 13x. Khi đo: a = -P(-6)Qui trinh ân máy đê tim P(-6) như sau:Ấn - 6 SHIFT STO XGhi vao man hinh biêu thưc: X4 + 7X3 + 2X2 + 13XẤN = K/q: -222Vây a = 222Ví du 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a đê P(x) + a2 chia hết cho x + 3

GiaiĐê P(x) + a2 chia hết cho x + 3 thi: a2 = -P(-3)Dùng máy tính đê tính P(-3) ta được:P(-3) = -757 a2 = 757Vây a = *Chú ý : Ta đê y thây P(x) = (3x3 + 9x2) – 9x2 + 44x + 132

= 3x2(x + 3) – 9x(x + 3) + 44(x + 3) – 757 P(x) = (3x2 – 9x + 44)(x + 3) - 757

Do đo đê P(x) + a2 (x+ 3) thi a2 – 757 = 0 a2 = 757 a

Ví du 3: Tim m đê đa thưc P(x) = 2x3 + 3x2 – 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x + 2Giai

Viết lai P(x) = (2x3 + 3x2 – 4x + 5) + m = P1(x) + mĐê P(x) Q(x) thi P1(x) + m H(x)

P1(x) + m = (3x + 2). H(x)

P1 +m = 0 m = -P1

Dùng máy tính tính được P1 suy ra m

Ví du 4: Cho hai đa thưcP(x) = 3x2 – 4x + 5 + m va Q(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7 + n

Tim m va n đê hai đa thưc trên co nghiệm chung la x0 =

GiaiViết lai P(x) = P1(x) + m, Q(x) = Q1(x) + n



tayVi x0 = la nghiệm cua P(x) P( ) = P1( ) + m = 0 m = - P1( )

Tương tư: n = - Q( )

Dùng máy ta tính ra được m va nDạng 4: Tìm các hê số của một đa thứcVí du: Cho đa thưc P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = - 9

a) Tính các hệ sô b, c, d cua P(x)b) Tim dư r1 va chia p(x) cho x – 4c) Tim dư r2 khi chia P(x) cho 2x + 3

Giaia) Theo đê bai ta co hệ phương trinh:

Dùng máy tính giai hệ phương ttrinh được:b = -3, c = c, d = -15Vây P(x) = x3 – 3x2 + 2x – 15b) Ta co r1 = P(4)

c) Ta co r2 = P

Bài tâp thưc hành:Cho đa thưc P(x) x3 + a2 + bx + c. biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41

a) Tính các hệ sô a, b, c cua P(x)b) Tim sô dư r1 khi chia p(x) cho x + 4c) Tim sô dư r2 khi chia p(x) cho 5x + 7d) Tim sô dư r3 khi chia p(x) cho (x + 4)(5x + 7)

HD: d) Vi (x + 4)(5x + 7) co bâc 2 nên P(x) chia cho (x + 4)(5x + 7) co dư phai la bâc 1P(x) = (x + 4)(5x + 7).Q(x) + (mx + n)

Vơi P(4) = r1; P = r2 đa tính ơ các câu trên ta suy ra được m, n tư đo suy ra r3

Ví du 2: Cho đa thưc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + eBiết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25Tính P(6); P(7); P(8); P(9)

GiaiBươc 1: Đăt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:+ Bâc cua H(x) nho hơn bâc cua P(x).+ bâc cua h(x) nho hơn sô giá tri đa biet cua P(x)Trong bai trên, bâc cua H(x) nho hơn 5, nghia la Q(x) = P(x) + (a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e1)Bươc 2: Tim a1, b1, c1, d1, e1 đê Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tưc la ta co



tay

Dùng máy tính giai hệ phương trinh ta được: a1 = b1 = 0; c1 = -1

Do đo Q(x) = P(x) – x2

Vi x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 la nghiệm cua Q(x), ma bâc cua Q(x) băng 5 co hệ sô cua x5 băng 1 nên Q(x) = P(x) – x2 = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) – x2

Tư đo ta tính được:P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2

Suy ra P(6) = 156, P(7) = 769, P(8) = 2584, P(9) = 6801* Chú ý: Ta co thê viết ra P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 - 224x2 + 274x - 120Tư đo ta suy ra được a, b, c, d, eBài tâp thưc hành:1) Cho P(x) = x4 + ax3 - bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11. Tính P(5), P(6), P(7), P(8) , P(9).HD: Giai tương tư ví du 2, ta co: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + (2x + 3), tư đo tính ra P(5), P(6), pP(7), P(8) , P(9)2) Cho P(x) = x4 + ax3 - bx2 + cx + d. Biết P(1) = , P(2) = 3, P(3) = 6, P(4) = 10. Tính

ĐS: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) +

3) Cho đa thưcc f(x) bâc 3 vơi hệ sô cu x3 la k, thoa man:f(1999) = 2000, f(2000) = 2001CMR: f(2001) – f(1998) la hợp sôHD: Đăt g(x) = f(x) + (ax + b) Tim a, b biếtg(1999) = g(2000) = 0

+ Tim f(x)Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 31


tayDo bâc cua f(x) la bâc 3 nên bâc cua g(x) cung bâc 3 va g(x) chia hết cho (x – 1999) va (x – 2000) nên:G(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1Tư đo f(2001 – f(1998) = 3(2k + 1) la hợp sô.4) Cho đa thưc f(x) bâc 4, co hệ sô cua bâc nhât la 1 thoa man f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27Tính A = f(-2) + 7f(6)HD: Đăt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tim a, b, c sao cho g(10 = g(3) = g(5) = 0Suy ra a, b. c la nghiệm cua hệ phương trinh

(băng máy tính)

Tư đo g(x) = f(x) – x2 – 2Vi f(x) co bâc nên g(x) cung co bâc 4 va g(x) lai chia hết cho (x – 1), (x – 3), (x – 5). Do vây:g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) cho nên ta co f(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) +x2 + 2ĐS: A = f(-2) + 7f(-6) = 11125) Cho đa thưc f(x) bâc 3 biết f(0) = 10, f(1) = 12, f(2) = 4, f(3) = 1. Tim f(10)?HD: G/s f(x) = ax3 + bx2 + cx +dVi f(0) = 10, f(1) = 12, f(2) = 4, f(3) = 1 nên ta co hệ phương trinh:

Lây 3 phương trinh cuôi lân lượt trư cho phương trinh đâu va giai hệ gôm 3 phương trinh trên máy tính ta được:

.

Tư đo ta co f(x) =

Suy ra f(10) = 6) Cho đa thưc f(x) bâc 3 biết răng khi chia f(x) cho (x – 1), (x – 2), (x – 3) đêu được dư la 6 va f(-1) = -18. Tính f(2012)HD: Tư gia thiết ta co f(1) = f(2) = f(3) = 6 va f(-1) = -18. Giai tương tư bai 5 ta co:

. Tư đo tính f(2012)Dạng 5: Biểu diễn một đa thức theo bâc của nhị thức Gia sư ta cân biêu diễn đa thưc:P(x) = theo bâc cua nhi thưc , ta áp dung (n – 1) lân sơ đô Hoocne:Lân 1: P(x) = .Q1(x) + r1

Lân 2: Q1(x) = . Q2(x) + r2

…Lân n – 1: Qn-2(x) = .q + rn-1 (q la hăng sô)



tay

Vây sau n – 1 lân sư dung sơ đô Hoocne ta được day q; rn-1; rn-2; r2; r1

Chính la các hệ sô cua các luy thưa tư bâc n cho đến 0.Ví du: Biêu diễn đa thưcP(x) = x4 – 3x3 + x – 2 theo bâc cua (x – 3)

GiaiTa lâp sơ đô Hoocne sau đê tim các hệ sô cua các luy thưa (x – 3) như sau:

1 -3 0 1 -2 P(x)3 1 0 0 1 1 Q1 = x3 + 1; r1 = 13 1 3 9 28 Q2 = x2 + 3x + 9; r2 = 283 1 6 27 Q3 = x + 6; r3 = 273 1 9 Q4 = 1 = an; r4 = 9

Vây P(x) = (x – 3)4 + 9(x – 3)3 + 27(x – 3)2 + 28(x – 3) + 1Bài tâp thưc hành:Biêu diễn đa thưc f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – x + 2 theo nhi thưc (x + 3)Dạng 6: Vài bài toán khác có liên quan đến tam thức bâc hai giải băng MTCT1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai ax 2 + bx + c (a ≠0 ): Ta xet bai toán tổng quát:

Ta co: ax2 + bx + c = a( ) (do a ≠0 )

= a( )

= a

= a )

= a ) ( = b2 - 4ac)

- Nếu a > 0 thi 0 , do đo ax2 + bx + c

Vây ax2 + bx + c co GTLN (max) la khi x =

- Nếu a < 0 thi 0 , do đo ax2 + bx + c vơi moi x.

Vây ax2 + bx + c co GTNN (min) la khi x =

Tư kết luân trên ta co thê áp dung đê tim cưc tri cho bât ki tam thưc bâc hai nao cung được môt cách dễ dang nhơ MTBT.

Ví du 1: Tim GTLN cua đa thưc: A = -2,374x2 + 5,236x – 1Giai:

Vi a = -2,374 < 0 nên đa thưc đa cho co GTLN băng tai x =

Qui trinh ân máy tính fx 500MS:



tay*Nhâp vao man hinh: C – B2:4A ( Vi: = C – B2:4A)

Ấn CALC A ? (nhâp A = -2,374)= B ? (nhâp B = 5,236)= C ? (nhâp C = -1)= kết qua: max (A) = 1,88707

*Nhâp vao man hinh: – B:2AẤn CALC B ? (nhâp B = 5,236)

= A ? (nhâp A = -2,374)= kết qua: x = 1,102780118

Ví du 2: Tim GTNN cua đa thưc: B=

Giai vi a = >0 nên B co GTNN băng tai x =

Qui trinh ân máy tương tư như ví du 1.(ĐS: min(B) = 0,010290608 tai x = 1,6646014640Bài tâp thưc hành:

Cho ham sô y =

a) Tính y khi x = (ĐS: y = - 101,0981)b)Tim GTLN cua y (ĐS max y = -3,5410 tai x = 0,111290936)

HD: a) Nhâp biêu thưc f(x) = ax2 + bx + c vao man hinh rôi dùng lệnh CALC tim y.b) lam như ví du 1,2

(Chu y: Khi dùng lệnh CALC đê tính các giá tri các biêu thưc sau thi các giá tri biến gán đa co co thê dùng lai)

2) Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:Đinh ly: Nếu phương trinh bâc hai:ax2 + bx + c = 0 (a ≠0 ) co hai nghiệm x1 ; x2 thi ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)Chưng minh:Ta co:a(x – x1)(x – x2) = a(x2 – xx1 – xx2 + x1x2)

=a(x2 – (x1 + x2)x + x1x2)

=a(x2 – ) (vi )

= ax2 + bx + c Ap dung đinh lí trên va kết hợp vơi việc giai phương trinh bâc hai băng MTBT ta co thê phân tích nhanh moi tam thưc bâc hai, dù các hệ sô phưc tap nao cung được.

Ví du: Phân tích thanh nhân tư.

Giai:

Dùng MTBT giai được x1 = 0,5 = ; x2 = -0,6 = -

Vây = 3(x - )(x+ ) = (2x – 1)(5x + 3)

DANG 10: CAC BAI TOAN VỀ DÃY SÔ



tayThế manh cua MTBT la lâp trinh tính các sô hang cua môt day sô, nếu biết sư dung

đung hợp ly môt qui trinh ân phím se cho kết qua nhanh chính xác, tư đo co thê dư đoán công thưc cua sô hang tổng quát cua day sô, việc biết lâp ra qui trinh đê tính các sô hang cua môt day sô, se hinh thanh cho hoc sinh ki năng tư duy thuât toán, rât gân vơi lâp trinh trong tin hoc.

Sau đây la môt sô qui trinh ân phím đê tính sô hang cua môt sô dang day sô thương găp khi ta giai toán băng MTBT, cung la dang toán rât thương găp trong các ki thi.1) Dãy số cho bỡi công thức số hạng tổng quát:

un = f(n) ; vơi n N*

( Trong đo f(n) la biêu thưc cua n cho trươc)* Cách lâp qui trinh ân phím như sau:- Gán giá tri n = 1 vao ô nhơ A : 1 SHIFT STO A- Lâp công thưc tính un = f(n) : f(A)- Gán giá tri cho ô nhơ A thêm 1 đơn vi:

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1- Lăp lai dâu băng: = = = = . . . Vi du : Tính 10 sô hang đâu tiên cua day: { un } cho bơi công thưc:

(Vơi n = 1; 2; 3; . . . )Giai:

Qui trinh ân phím đê tính các sô hang cua day như sau:Ấn: 1 SHIFT STO A

(1 ÷ 5) (((1 + 5 ) ÷ 2 ) ALPHA A - (( 1 - 5 ) ÷ 2 ) ALPHA A

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1= = = …

Ta được kết qua: u1 = 1; u2 = 1; u3 = 2; u4 = 3; u5 = 5; u6 = 8; u7 = 13; u8 = 21; u9 = 34; u10 =55.

2) Dãy số cho bỡi hê thức truy hôi dạng:

; với n N*

(Trong đo f(un) la biêu thưc cho trươc cua un )* Cách lâp qui trinh ân phím như sau:- Gán giá tri n = 1 vao ô nhơ A : 1 SHIFT STO A- Lâp công thưc tính un+1 = f(un) va gán vao ô nhơ B : B = f(A) (Tưc la chô nao co un thi nhâp vao ô nhơ A )- Gán giá tri cho ô nhơ A cho ô nhơ B

ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B - Lăp lai dâu băng: = = = = . . . *Chu y : Ta co thê đăt thêm môt biến đếm X các giá tri u1 ; u2 ; . . . khi ân liên tiếp các dâu băng đê đoc kết qua khoi bi nhâm lân. Cách lâp qui trinh ân phím trên la tổng quát



taynhât, áp dung cho moi day truy hôi, vân con cách khác la sư dung biến nhơ co săn cua máy Ans đê lâp qui trinh, tuy nhiên không được tổng quát.Ví du 1 : Tim 20 sô hang đâu cua day sô { un} cho bơi :

; với n N*

Giai : Qui trinh ân phím đê tính các sô hang cua day như sau:

Ấn: 2 SHIFT STO X (Tao biến đếm các un băt đâu tư u2 )1 SHIFT STO A ( Gán u1 = 1 cho A )ALPHA B ALPHA = ( ALPHA A + 2 ) ÷ ( ALPHA A + 1 ) (Lâp công thưc tính un+1 theo A va đưa vao ô nhơ B, tưc B = u2)ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B (Gán u2 vao ô nhơ A)ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 (Gán cho biến đếm X thêm 1 đơn vi)

Lăp lai dâu = , ta được u2 = 1,5= , ta được A = B ; tưc A = u2 = 1,5= , ta thây X = X + 1 = 3, biến đếm tăng 1 đơn vi= , ta được u3 = 1,4. . . . .

Ví du 2: Cho day sô được xác đinh bơi:

; với n N*

Tim sô tư nhiên n nho nhât đê un la sô nguyênGiai:

Qui trinh ân phím đê tính các sô hang cua day như sau:Ấn: 2 SHIFT STO X

SHIFT 3 SHIFT STO A ALPHA B ALPHA = ALPHA A SHIFT 3 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 (Gán cho biến đếm X thêm 1 đơn vi)

Lăp lai dâu = , ta được u2 = 1,…= , ta được A = B ; tưc A = u2 = 1,5= , ta thây X = X + 1 = 3, biến đếm tăng 1 đơn vi= , ta được u3 = 2,... . . . .

Khi ta thây X = X + 1 = 4, tưc n = 4 thi u4 = 3 la sô nguyên . Vây n = 4 la sô tư nhiên nho nhât cân tim.3) Dãy số cho bỡi hê thức truy hôi dạng:

; với n N*

Ta co hai cach lập qui trinh ân phim để tinh cac số hang của dãy như sau:



tayCách 1:Sử dụng cách trao đổi biến:

Ấn: b SHIFT STO A x A + B x a + C SHIFT STO B(Gán u2 = b vao ô nhơ A , tính u3 theo u1 = a va u2 rôi đưa vao ô nhơ B )x A + ALPHA A x B + C SHIFT STO A(Tính u4 theo u3 = B va u2 = A rôi đưa vao ô nhơ A )x A + ALPHA B x B + C SHIFT STO B (Lăp lai day phím đê tính u5 theo u4 va u3 rôi đưa va ô nhơ B

Tiếp tuc vong lăp trên băng chưc năng COPY đê lăp lai day phímẤn: SHIFT COPY Lăp lai dâu băng đê lây kết qua: Ấn = = = . . . .

Cách 2:Sử dụng cách lâp công thức:Ấn: a SHIFT STO A (Gán u1 = a vao ô nhơ A )

b SHIFT STO B (Gán u2 = b vao ô nhơ B )ALPHA C ALPHA = A x ALPHA B + B x ALPHA A + C (Lâp công thưc đưa vao ô nhơ C giá tri u3 được tính theo u2 va u1 )ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B(Đưa u2 vao ô nhơ A )ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C(Đưa u3 vao ô nhơ B )

Lăp lai dâu = đê lây kết qua:Ấn: = ta được C = u3

= ta được A = B = u2

= ta được B = C = u3

= ta được C = u4

. . . . *Chu y: Vơi cách nay ta co thê đưa vao thêm môt biến đếm X đê đếm các un

Đâu chương trinh ta khai báo thêm môt biến X :3 SHIFT STO X (Tính tư u3)

Cuôi chương trinh ta thêm day phím:ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1

Ví du 1: Cho day sô xác đinh bơi:

; với n N*

Lâp qui trinh tính un .Giai:

Ta co hai cach lập qui trinh ân phim để tinh cac số hang un của dãy như sau:Cách 1 :Ấn: 2 SHIFT STO A x 3 + 4 x 1 + 5 SHIFT STO B

x 3 + ALPHA A x 4 + 5 SHIFT STO Ax 3 + ALPHA B x 4 + 5 SHIFT STO B SHIFT COPY

Lăp lai dâu = u6 = 954= u7 = 3823= u8 = 15290



tay= u9 = 61167= u10 = 244666= u11 = 978671. . . . .

Nhận xét : Cách nay sô lân ân phím ít nhưng dễ nhâm lân.Cách 1 : Lâp công thức :Ấn : 3 SHIFT STO X 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

ALPHA C ALPHA = 3 x ALPHA B + 4 x ALPHA A + 5ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA BALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA CALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1

Lăp lai dâu = = = . . . đê lây kết qua, sau dâu = đâu tiên ta co: u3 = 15 va chu y răng sau giá tri cua biến điếm X = X + 1 ta được kết qua la giá tri cua u tương ưng.

Nhận xét : Cách nay sô lân ân phím nhiêu nhưng nhưng bù lai thuât toán rât trưc quan dễ hiêu, không sợ nhâm lân.

Ví du 2: Cho day sô xác đinh bơi:

; với n N, n ≥ 2

Lâp qui trinh ân phím tính un+1 . Ta co qui trinh ân phim để tinh cac số hang un+1 như sau:Ấn : 3 SHIFT STO X 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B

ALPHA C ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA BALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA CALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1Lăp lai dâu = = = . . .

Ta được kết qua : u3 = 2; u4 = 3; u5 = 5; u6 = 8; u7 = 13; .. . . Chu y: Day sô trên chính la day Fibonaci ma hoc sinh đa biết tư lơp 6.

4) Dãy số cho bỡi hê thức truy hôi với hê số biến thiên dạng:

; với n N*

Trong đo f({n, un}) la biêu thưc tính theo n va un.* Thuật toan để lập qui trinh ân phim tinh số hang của dãy gồm cac bươc sau:- Sư dung 3 ô nhơ: A chưa giá tri cua n

B chưa giá tri cua un

C chưa giá tri cua un+1

- Lâp công thưc tính un+1.- Thưc hiện gán thêm 1 đơn vi cho ô nhơ A : A = A + 1 va trao đổi giá tri hai biến B = C đê tính sô hang tiếp theo cua day.- Lăp lai phím = đê nhân kết qua.



tayVí du : Cho day sô xác đinh bơi:

; với n N*

Hay lâp qui trinh ân phím tính un . Giai:

Ta co qui trinh ân phim để tinh cac số hang un như sau:Ấn : 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B

ALPHA C ALPHA = (ALPHA A ÷ ( ALPHA A + 1)) x (ALPHA B + 1 )ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA CLăp lai dâu = = = . . .

Ta được kết qua : u2 = 0,5; u3 = 1; u4 = 1,5; u5 = 2; u6 = 2,5; .. . .

Bài tâp thưc hành

1) Cho day sô xác đinh bơi:

Hay lâp qui trinh ân phím đê tính u15 .(ĐS: u15 = 493981609)

2) Cho day săp thư tư u1, u2, u3, . . . un, un+1, . . . . . Biết u5 = 588, u6 = 1084 va un+1 = 3un – 2un-1 . Tính u1, u2 , u25

HD: - Ta co: , ta tính được

- Lâp qui trinh ân phím tính sô hang tổng quát, ta tính được u25 = 520093788.(Tom tăt qui trinh ân phím như sau:

7 SHIFT STO X 588 SHIFT STO A 1084 SHIFT STO BALPHA C ALPHA = 3 ALPHA B - 2 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA BALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA CALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1Ấn = liên tiếp đến khi thây X = X + 1 co kết qua 25 thi khi đo C = 3B – 2A co

kết qua 520093788, tưc la u25 = 520093788.)

3) Cho day sô vơi sô hang tổng quát được cho bơi công thưc :

vơi n = 1, 2, 3, ……, k, …..

a) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8

b) Lâp công thưc truy hôi tính Un+1 theo Un va Un-1

c) Lâp quy trinh ân phím liên tuc tính Un+1 theo Un va Un-1

HD : a) U1 = 1, U2 = 26, U3 = 510, U4 = 8944, U5 = 147884, U6 = 2360280, U7 = 36818536, U8 = 565475456.

b) Un+1 = 26Un – 166Un-1; c) Tom tăt qui trinh ân phím như sau:



tay3 SHIFT STO X 1 SHIFT STO A 26 SHIFT STO BALPHA C ALPHA = 26 ALPHA B - 166 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA BALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA CALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1

Trên đây la môt sô dang toán ma sáng kiến chung tôi đê xuât, môi dang toán co môt lơp bai tâp tương tư, đa được xây dưng phương pháp va thuât toán giai rõ rang, căn cư vao đo hoc sinh co thê dễ dang giai được các bai tâp tương tư, tuy nhiên co thê noi la chưa thât sư đây đu. Song, môt sô dang toán đa nêu cung khá đây đu va chi tiết, rât cân thiết đê trang bi cho hoc sinh các lơp bôi dương giai toán trên MTCT. Bên canh đo con co môt sô dang toán ma chung tôi chưa đê câp trong sáng kiến, chăng han: Bai toán lai đơn, lai kep, các bai toán vê ham sô, các bai toán hinh hoc v.v... Sơ di chung tôi không đưa vao sáng kiến, bơi các ly do, môt la khuông khổ cua sáng kiến, hai la các bai toán trên thiên vê tư duy toán hoc hơn la tư duy thuât toán trên MTCT, khi tiến hanh bôi dương cho hoc sinh giai toán trên MTCT, ngươi giáo viên bô môn xây dưng giáo án chăc chăn la không thê bo qua các dang toán nay.

2. KHA NĂNG AP DỤNG, HIỆU QUA THƯC TẾ:Vê hiệu qua thưc tế, sáng kiến chung tôi chưa được áp dung ơ qui mô rông rai, tuy

nhiên kết qua tai đơn vi co thê chưng minh tính hiệu qua cao cua sáng kiến. Sau đây chung tôi xin nêu các kết qua đat được mang tính nôi bô cua đơn vi trương chung tôi: Tính tư trươc đến năm hoc 2010 – 2011 trương chưa co hoc sinh đat giai kỳ thi giai toán trên MTCT, năm hoc 2010 – 2011 co hai hoc sinh dư thi kỳ thi giai toán trên MTCT câp huyện nhưng kết qua điêm rât thâp chưa đat. Năm hoc 2011 – 2012, nha trương thanh lâp đôi tuyên dư thi kỳ thi giai toán trên MTCT gôm co 8 hoc sinh, thơi gian tiến hanh bôi dương la 5 tuân, môi tuân 3 buổi hoc ( 3 tiết / buổi), vơi kế hoach nay chung tôi đa vân dung sáng kiến kinh nghiệm trên lam tai liệu va đa tiến hanh bôi dương, kết qua la: co 4 hoc sinh đat giai, trong đo co 2 giai ba, 2 giai khuyến kích, tuy kết qua chưa cao, song chung tôi đa đánh giá được hiệu qua cua sáng kiến.

Như vây sáng kiến kinh nghiệm cua chung tôi co thê áp dung lam tai liệu tham khao, đê tiến hanh bôi dương cho đôi tượng hoc sinh gioi chuẩn bi tham gia các ki thi giai toán trên MTCT do các câp quan ly giáo duc hang năm tổ chưc.



tay

C. KEÁT LUAÄNSong song vơi nhiệm vu nâng cao chât lượng đai tra thi nhiệm vu đao tao nhân tai, đao tao

đôi ngu hoc sinh gioi các bô môn cung la môt nhiệm vu trong tâm va không kem phân kho khăn cua các đơn vi nha trương, bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT cung la môt trong nhưng nhiệm vu kho khăn đo. Nhân thưc vê vai tro trách nhiệm cua môt giáo viên bô môn, chung tôi thây đê co được môt đôi ngu hoc sinh gioi bô môn noi chung, đôi ngu hoc sinh gioi giai toán trên MTCT noi riêng chung ta cân phai co môt kế hoach tổ chưc bôi dương hợp ly, ma trong đo điêm quan trong phai noi đến la tai liệu bôi dương, ngươi giáo viên bôi dương phai xây dưng được tai liệu hợp ly thi bôi dương mơi đat hiệu qua cao. Sáng kiến : “Xây dưng phương phap va thuật toan để giai một số dang toan thường gặp trong cac kỳ thi giai toan trên may tinh câm tay bậc THCS” cua chung tôi xây dưng nhăm giai quyết vân đê tai liệu.

Qua thơi gian hơn hai năm tim toi, nghiên cưu, sáng tao va đuc kết kinh nghiệm chung tôi tin tương răng sáng kiến nay la môt tai liệu hợp ly, bổ ích cho công tác bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, sáng kiến xây dưng môt hệ thông các dang loai bai toán giai trên MTCT, chu y đến cơ sơ ly thuyết các phương pháp va thuât toán cho tưng loai dang toán, giup cho hoc sinh co cách giai các dang toán nay môt cách hiệu qua, vân dung tôt đam bao phù hợp chương trinh, phù hợp trinh đô nhân thưc cua hoc sinh trong bâc hoc.

Trong quá trinh giang day tai đơn vi, chung tôi va đông nghiệp cung vân dung thương xuyên các nôi dung cua sáng kiến nay, các tiết hoc toán co sư dung MTCT, hoăc các tiết hoc co các dang toán co thê vân dung giai nhanh băng MTCT chung tôi đêu lông ghep hương dân cho hoc sinh vân dung các phương pháp, các thuât toán đê giai các dang toán nay, vê hiệu qua chung tôi thây hoc sinh co môt tác phong hoc tâp va lam việc vơi máy tính nhay ben, thao tác nhanh nhẹn, co kết qua nhanh chong chính xác, co tư duy thuât toán hợp ly, tao cho các em hưng thu tim toi, phát hiện kiến thưc, khăc ghi kiến thưc tiếp thu môt cách bên vưng. Đăc biệt, vơi hoc sinh yếu kem, tính toán thiếu chính xác, suy luân yếu, nhơ MTCT co thê giup hoc kiêm tra nhanh kết qua, co thê dưa vao đo đê rèn luyện tính toán, suy luân bổ sung chô hổng kiến thưc, bươc đâu tao niêm tin va hưng thu hoc toán cho các em, va chính đây cung la môt trong nhưng biện pháp tôt đê thưc hiện đổi mơi phương pháp day hoc, gop phân nâng cao chât lượng đao tao.

Ñeà xuaát, kieán nghò:Taùc giaû: Nguyeãn Höõu Sang - Tröôøng THCS Myõ Thoï 41


tay- Như trên đa nêu, sáng kiến chung tôi chưa co cơ hôi áp dung ơ môt qui mô rông rai, nên

hiệu qua cung mơi dưng ơ mưc nôi bô, vơi hi vong răng sáng kiến nay la môt tai liệu hợp ly, bổ ích cho công tác bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT, chung tôi mong moi các câp lanh đao gop y, bổ sung, điêu chinh nhưng điêm thiếu sot, han chế đê sáng kiến nay được hoan thiện ơ mưc cao hơn, co thê la môt tai liệu tôt đê các đông nghiệp trong huyện nha co thê tham khao, giup ích trong công tác bôi dương hoc sinh gioi giai toán trên MTCT.

- Bên canh đo, trong công tác giang day thương xuyên, chung tôi xin khuyến nghi, đôi vơi giáo viên bô môn toán, cân cho hoc sinh thương xuyên thưc hanh giai toán trên MTCT, không chi dưng lai ơ việc tính toán thông thương các phep tính nhơ MTCT, ma hoc sinh phai biết giai nhưng bai toán băng MTCT co phương pháp va thuât toán, điêu nay phai co sư trợ giup cua giáo viên bô môn, co như vây chung ta dân dân hinh thanh môt đôi ngu hoc sinh co tư duy, co ki năng giai toán trên MTCT tôt, đo se la hat giông tôt hinh thanh đôi ngu hoc sinh gioi giai toán trên MTCT cho các đơn vi trương va cho nganh giáo duc huyện nha .

--------------------------------------------

Mỹ Thọ, ngày 5 tháng 4 năm 2012 Người viết đề tài

Nguyễn Hữu Sang



tay

M Ụ C L Ụ C

Trang A. MƠ ĐÂU..........................................................................................1

I. Đăt vân đê...................................................................................................1II. Phương pháp tiến hanh..............................................................................3 B. NỘI DUNG.......................................................................................5

I. Muc tiêu......................................................................................................5II. Mô ta các giai pháp cua đê tai...................................................................5

1. Thuyết minh các giai pháp.............................................................................5DANG 1: CAC BAI TOAN VỀ XỬ LÝ SÔ LỚN........................................................... 5DANG 2: TÌM SÔ DƯ TRONG PHÉP CHIA..................................................................7DANG 3: TÌM CHỮ SÔ TÂN CÙNG.............................................................................10DANG 4: TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (UCLN) VA BÔI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN)..................................................................................................................12DANG 5: MÔT SÔ BAI TOAN VỀ TÌM ƯỚC, BÔI, ƯỚC CHUNG, BÔI CHUNG14DANG 6: SÔ NGUYÊN TÔ.............................................................................................16DANG 7: MÔT SÔ DANG TOAN SỬ DỤNG TINH TUÂN HOAN CỦA CAC SÔ DƯ KHI NÂNG LÊN LŨY THỪA..................................................................................18DANG 8: DANG TOAN VỀ LIÊN PHÂN SÔ................................................................21DANG 9: CAC DANG TOAN VỀ ĐA THỨC................................................................24DANG 10: CAC BAI TOAN VỀ DÃY SÔ......................................................................332. Kha năng áp dung – Hiệu qua thưc tế..........................................................39

C. KẾT LUẬN.....................................................................................40


kinh nghieäm - conduongcoxua | welcome to my · web viewsố dư trong phép chia...

Documents