kitti vidermanová, júlia záhorská eva barcíková, michaela ...predslov k hlbšiemu štúdiu...
TRANSCRIPT
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE
FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
ZÁKLADY MATEMATIKY 1
Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská
Eva Barcíková, Michaela Klepancová
NITRA 2013
Názov: Základy matematiky 1
Edícia Pírodovedec . 549
Autori: RNDr. Kitti Vidermanová, PhD.
PaedDr. Júlia Záhorská, PhD.
PaedDr. Eva Barcíková
Mgr. Michaela Klepancová, PhD.
Recenzenti: PaedDr. Janka Drábeková, PhD.
PaedDr. Janka Melušová, PhD.
prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre d a 24. 9. 2013
Rukopis neprešiel jazykovou úpravou.
© UKF v Nitre 2013
ISBN 978-80-558-0440-8
Predslov
K hlbšiemu štúdiu matematiky potrebujeme nadobudnú dostato né vedomosti z jej
základov, ktoré nám umož ujú pochopi zložitejšie vz ahy a pravidlá. Preto sme v dvoch
astiach Základov matematiky spracovali preh ad u iva vyššieho sekundárneho vzdelávania,
ktorý sme doplnili riešenými príkladmi a zadaniami úloh v cvi eniach s výsledkami. Obsah a
rozsah sme však prispôsobili zameraniu publikácie. V Základoch matematiky 1 ponúkame
spracovné nasledovné kapitoly: Výroková logika, Metódy dôkazov v matematike, Množiny,
Teória ísel, Výrazy a ich úpravy, Reálna funkcia reálnej premennej a Rovnice a nerovnice.
Pri zostavovaní obsahu tejto publikácie sme zoh ad ovali potreby študentov U ite stva
akademických predmetov v kombinácii s matematikou, pre ktorých je predovšetkým ur ená.
Je vhodná však aj pre u ite ov matematiky z praxe vo vyššom sekundárnom vzdelávaní alebo
záujemcov o štúdium matematiky rôznych vysokých škôl na zopakovanie a preh benie
matematických poznatkov poskytovaných strednou školou. V jednotlivých témach sme
spracovali nevyhnutné množstvo teoretických poznatkov, rovnako aj riešených príkladov a
doplnili sme dostato ným po tom cvi ení na overenie zvládnutia danej problematiky.
Milí itatelia, veríme, že Vám táto publikácia umožní postupova v štúdiu jednotlivých
kapitol a podkapitol s ahkos ou a nadh adom a doplni si tak chýbajúce matematické
vedomosti.
Autorky
Obsah
1 Výroková logika .............................................................................................................. 9
1.1 Základné pojmy ....................................................................................................... 9
1.2 Výroková formula .................................................................................................. 15
1.3 Výroková forma a kvantifikované výroky ............................................................. 17
1.4 Riešenie slovných úloh pomocou výrokovej logiky .............................................. 20
1.5 Cvi enia ................................................................................................................. 24
2 Metódy dôkazov v matematike ..................................................................................... 30
2.1 Základné prvky matematickej teórie ...................................................................... 30
2.2 Priamy dôkaz ......................................................................................................... 31
2.3 Nepriamy dôkaz ..................................................................................................... 36
2.3.1 Dôkaz sporom ................................................................................................. 37
2.3.2 Nepriamy dôkaz .............................................................................................. 39
2.4 Cvi enia ................................................................................................................. 40
2.5 Dôkaz matematickou indukciou ............................................................................ 41
2.6 Cvi enia ................................................................................................................. 50
2.7 Dirichletov princíp ................................................................................................. 52
2.8 Cvi enia ................................................................................................................. 56
3 Množiny ........................................................................................................................ 59
3.1 íselné obory ......................................................................................................... 62
3.2 Vz ahy medzi množinami ...................................................................................... 65
3.3 Operácie s množinami ............................................................................................ 66
3.4 Princíp inklúzie a exklúzie ..................................................................................... 74
3.5 Karteziánsky sú in množín .................................................................................... 77
3.6 Cvi enia ................................................................................................................. 80
4 Teória ísel .................................................................................................................... 83
4.1 íselné sústavy ....................................................................................................... 83
4.2 Zápis prirodzeného a racionálneho ísla v desiatkovej sústave ............................. 84
4.3 Delite nos prirodzených ísel v desiatkovej sústave ........................................... 85
4.3.1 Kritériá delite nosti prirodzených ísel .......................................................... 90
4.3.2 Najvä ší spolo ný delite dvoch prirodzených ísel ...................................... 98
4.3.3 Najmenší spolo ný násobok dvoch prirodzených ísel ................................ 101
4.4 Cvi enia ............................................................................................................... 103
5 Výrazy a ich úpravy .................................................................................................... 107
5.1 Základné pojmy ................................................................................................... 107
5.2 Operácie s výrazmi .............................................................................................. 111
5.3 Mocniny a odmocniny ......................................................................................... 119
5.4 Úpravy lomených výrazov ................................................................................... 121
5.5 Cvi enia ............................................................................................................... 127
6 Reálna funkcia reálnej premennej ............................................................................... 131
6.1 Operácie s funkciami ........................................................................................... 134
6.2 Vlastnosti funkcií ................................................................................................. 138
6.2.1 Prostá funkcia ............................................................................................... 138
6.2.2 Monotónnos funkcie ................................................................................... 140
6.2.3 Parita funkcie ................................................................................................ 145
6.2.4 Ohrani enos funkcie ................................................................................... 148
6.2.5 Extrémy funkcie ........................................................................................... 150
6.2.6 Periodicita funkcie ........................................................................................ 150
6.2.7 Inverzná funkcia ........................................................................................... 152
6.3 Cvi enia ............................................................................................................... 155
6.4 Elementárne funkcie ............................................................................................ 158
6.4.1 Lineárna funkcia ........................................................................................... 158
6.4.2 Funkcia absolútna hodnota ........................................................................... 161
6.4.3 Kvadratická funkcia ...................................................................................... 164
6.4.4 Mocninová funkcia ....................................................................................... 170
6.4.5 Lineárna lomená funkcia .............................................................................. 173
6.4.6 Exponenciálna funkcia ................................................................................. 176
6.4.7 Logaritmická funkcia .................................................................................... 182
6.4.8 Goniometrické funkcie ................................................................................. 187
6.5 Cvi enia ............................................................................................................... 214
7 Rovnice a nerovnice .................................................................................................... 223
7.1 Úvod, základné pojmy ......................................................................................... 223
7.2 Lineárne rovnice a nerovnice ............................................................................... 224
7.2.1 Lineárne rovnice ........................................................................................... 224
7.2.2 Cvi enia ........................................................................................................ 227
7.2.3 Lineárne nerovnice ....................................................................................... 227
7.2.4 Cvi enia ........................................................................................................ 229
7.3 Kvadratické rovnice a nerovnice ......................................................................... 230
7.3.1 Kvadratické rovnice ...................................................................................... 230
7.3.2 Cvi enia ........................................................................................................ 235
7.3.3 Kvadratické nerovnice .................................................................................. 236
7.3.4 Cvi enia ........................................................................................................ 238
7.4 Rovnice a nerovnice s parametrom ...................................................................... 238
7.4.1 Rovnice s parametrom .................................................................................. 239
7.4.2 Cvi enia ........................................................................................................ 241
7.4.3 Nerovnice s parametrom ............................................................................... 242
7.4.4 Cvi enia ........................................................................................................ 244
7.5 Rovnice a nerovnice s absolútnymi hodnotami ................................................... 246
7.5.1 Rovnice s absolútnymi hodnotami ............................................................... 246
7.5.2 Cvi enia ........................................................................................................ 247
7.5.3 Nerovnice s absolútnymi hodnotami ............................................................ 248
7.5.4 Cvi enia ........................................................................................................ 250
7.6 Iracionálne rovnice a nerovnice ........................................................................... 251
7.6.1 Iracionálne rovnice ....................................................................................... 251
7.6.2 Cvi enia ........................................................................................................ 253
7.6.3 Iracionálne nerovnice ................................................................................... 254
7.6.4 Cvi enia ........................................................................................................ 256
7.7 Exponenciálne rovnice a nerovnice ..................................................................... 257
7.7.1 Exponenciálne rovnice ................................................................................. 257
7.7.2 Cvi enia ........................................................................................................ 258
7.7.3 Exponenciálne nerovnice .............................................................................. 259
7.7.4 Cvi enia ........................................................................................................ 261
7.8 Logaritmické rovnice a nerovnice ....................................................................... 262
7.8.1 Logaritmické rovnice .................................................................................... 262
7.8.2 Cvi enia ........................................................................................................ 264
7.8.3 Logaritmické nerovnice ................................................................................ 265
7.8.4 Cvi enia ........................................................................................................ 267
7.9 Goniometrické rovnice a nerovnice ..................................................................... 268
7.9.1 Goniometrické rovnice ................................................................................. 268
7.9.2 Cvi enia ........................................................................................................ 272
7.9.3 Goniometrické nerovnice ............................................................................. 273
7.9.4 Cvi enia ........................................................................................................ 276
7.10 Sústavy rovníc a nerovníc ................................................................................ 277
7.10.1 Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi ............................. 277
7.10.2 Cvi enia .................................................................................................... 282
7.10.3 Sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi ................................ 283
7.10.4 Cvi enia .................................................................................................... 286
7.10.5 Sústavy dvoch lineárnych nerovníc s jednou neznámou .......................... 286
7.10.6 Cvi enia .................................................................................................... 288
7.10.7 alšie sústavy rovníc a nerovníc .............................................................. 289
7.10.8 Cvi enia .................................................................................................... 290
9
1 Výroková logika
1.1 Základné pojmy
Základným pojmom výrokovej logiky je pojem výrok. Výrokom je každá oznamovacia
veta, o ktorej má zmysel hovori , i je pravdivá alebo nepravdivá. Jednoduché (elementárne)
výroky sú výroky vyjadrené jednoduchými oznamovacími vetami. Výrok môže by zapísaný
slovne alebo symbolicky. Napr.: „ íslo 12 je delite né íslom 7.“ „ 25 8≤ “. V matematike
výroky naj astejšie obsahujú tvrdenie, že nejaký objekt (alebo množina objektov) má, resp.
nemá, istú vlastnos alebo vlastnosti.
Výroky, ktorých pravdivostnú hodnotu nevieme ur i , nazývame hypotézy. Výrok „Na
Marse existuje život.“ je hypotéza, pretože nevieme s istotou potvrdi ani vyvráti toto
tvrdenie. Tvrdenie „ 3x < “ nie je výrok, ale stane sa výrokom po dosadení nejakej íselnej
hodnoty za x . Výrokom nie sú ani opytovacie a rozkazovacie vety („Ko ko je hodín?“,
„Posa te sa!“ a pod.).
Jednoduché výroky budeme ozna ova pomocou výrokových premenných (malými
písmenami abecedy), napr. 1 2, , , , ,p q r p p . Výrokom možno priradi ich pravdivostnú
hodnotu. Ak je výrok pravdivý, jeho pravdivostná hodnota je 1 (výrok platí), ak je
nepravdivý, jeho pravdivostná hodnota je 0 (výrok neplatí).
Poznámka V literatúre sa stretávame s ozna ením pravdivostnej hodnoty pravdivého
výroku p a nepravdivého výroku n, prípadne aj s alšími ozna eniami. Príklad Ktoré z nasledujúcich viet možno považova za výroky? Výrokom prira te ich
pravdivostnú hodnotu.
a) Uhloprie ky kosoštvorca sú navzájom kolmé.
b) Pytagorova veta.
c) Narysuj ubovo ný štvoruholník!
d) Potraviny.
e) Prší?
f) 9x + 3= 0.
g) Sú et vnútorných uhlov každého trojuholníka je menší ako 180°.
h) Dobrý de !
Základy matematiky 1
10
Riešenie
a) Áno; v tejto vete je konkrétne tvrdenie vyplývajúce z vlastností kosoštvorca, ktoré je
pravdivé.
b) Nie; pretože daná veta neobsahuje tvrdenie Pytagorovej vety, iba jej názov (nemá zmysel
uvažova o pravdivosti).
c) Nie; je to rozkazovacia veta.
d) Nie; v tejto vete sa neoznamuje žiadne tvrdenie, o ktorom má zmysel uvažova , i je
pravdivé alebo nie.
e) Nie; opytovacia veta nie je výrokom.
f) Nie; lineárna rovnica nie je výrok (nepoznáme hodnotu neznámej x).
g) Áno, je to výrok, avšak tvrdenie v om je nepravdivé.
h) Nie; v tejto vete sa neoznamuje žiadne tvrdenie, o ktorom má zmysel uvažova , i je
pravdivé alebo nie. Definícia Negácia výroku je výrok opa nej pravdivostnej hodnoty ako pôvodný výrok.
Negáciu výroku p ozna ujeme p ′ . Výrok p ′ popiera to, o tvrdí výrok p . Výroky p a p ′
majú vždy opa nú pravdivostnú hodnotu. Príklad Vytvorte negáciu nasledujúcich výrokov.
a) Spojnica dvoch rôznych bodov je priamka.
b) Tri plus sedem sa nerovná deviatim.
Riešenie
a) Negujeme daný výrok: Nie je pravda, že spojnica dvoch rôznych bodov je priamka.
Skrátene zapisujeme negáciu výroku negovaním slovesa: Spojnica dvoch rôznych bodov
nie je priamka.
b) Negujeme daný výrok: Nie je pravda, že tri plus sedem sa nerovná deviatim. Skrátene
zapisujeme negáciu výroku negovaním slovesa: Tri plus sedem sa rovná deviatim. Tak ako v slovenskom jazyku spájame jednoduché vety pomocou spojok do súvetí, tak aj vo
výrokovej logike môžeme spája jednoduché výroky do zložených. Používame na to logické
spojky: konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia.
Definícia Zložený výrok „ p a zárove q“ nazývame konjunkcia výrokov p a q .
Zapisujeme ju formálne „ p q∧ “. Konjunkcia dvoch výrokov p , q je pravdivá, ak sú obidva
výroky p , q sú asne pravdivé.
Výroková logika
11
Definícia Zložený výrok „ p alebo q“ nazývame disjunkcia výrokov p a q . Zapisujeme ju
formálne „ p q∨ “. Disjunkcia dvoch výrokov p , q je pravdivá, ak je pravdivý aspo jeden
z výrokov p , q . Poznámka V niektorej literatúre možno nájs medzi logickými spojkami aj spojku bu -alebo
(t.j. spojka alebo vo vylu ovacom význame). Zložený výrok „ p bu -alebo q“ nazývame
ostrá disjunkcia výrokov p a q . Zapisujeme ju formálne „ p q∨ “. Ostrá disjunkcia výrokov
p , q je pravdivá, ak je pravdivý práve jeden z výrokov p , q .
Definícia Zložený výrok „ak p , potom q“ (alebo „ p implikuje q“) nazývame implikácia
výrokov p a q . Zapisujeme ju formálne p q . Výrok p nazývame predpokladom a výrok
q záverom implikácie. Predpoklad p je posta ujúca podmienka pre záver q . Záver q je
nutná podmienka pre predpoklad p . Implikácia dvoch výrokov p , q je pravdivá, ak majú
obidva výroky p , q rovnakú pravdivostnú hodnotu alebo ak predpoklad p je nepravdivý
a záver q je pravdivý.
Implikáciu q p′ ′ nazývame obmena implikácie p q . Implikácia a jej obmena majú
rovnakú pravdivostnú hodnotu. Tento fakt sa využíva pri nepriamom dôkaze. Implikáciu
q p nazývame obrátená implikácia k implikácii p q .
Implikáciu p q vieme zapísa aj ako disjunkciu p q′ ∨ .
Definícia Zložený výrok „ p vtedy a len vtedy, ke q“, alebo „ p práve vtedy, ak q (alebo „
p je nutnou a dostato nou podmienkou q“) nazývame ekvivalencia výrokov p a q .
Zapisujeme p q⇔ .
Ekvivalenciu p q⇔ môžeme zapísa ako konjunkciu dvoch implikácií: ( ) ( )p q q p∧ .
Ekvivalencia dvoch výrokov p , q je pravdivá, ak majú obidva výroky p , q rovnakú
pravdivostnú hodnotu. Pravdivostná hodnota zloženého výroku závisí od pravdivostných hodnôt jednoduchých
výrokov, z ktorých je zložený a od použitej logickej spojky.
Základy matematiky 1
12
V tabu ke uvádzame pravdivostné hodnoty zložených výrokov, pri om vychádzame zo
všetkých možných dvojíc pravdivostných hodnôt jednoduchých výrokov, ktoré obsahujú. p q p q∧ p q∨ p q p q⇔
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 Príklad Ur te pravdivostnú hodnotu zložených výrokov:
a) íslo 2 je kladné íslo a íslo 3− je záporné íslo.
b) íslo 7 je párne íslo a íslo 4 je kladné íslo.
c) Nitra je hlavné mesto Slovenskej republiky alebo Bratislava je hlavné mesto Slovenskej
republiky.
d) íslo 5 je delite né íslom 3 alebo íslo 9 je párne íslo.
e) Ak je íslo 6 delite né íslom 2, tak je íslo 6 párne íslo.
f) Ak je íslo 6 delite né íslom 2, tak je íslo 6 prvo íslo.
g) íslo 27 je delite né íslom 3 práve vtedy, ke je ciferný sú et ísla 27 delite ný íslom 3.
Riešenie
Pravdivostná hodnota zložených výrokov ur íme z predchádzajúcej tabu ky.
a) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p íslo 2 je kladné íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
:q íslo 3− je záporné íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
Pravdivostná hodnota konjunkcie dvoch pravdivých výrokov je 1 (5. riadok, 3. st pec).
b) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p íslo 7 je párne íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0.
:q íslo 4 je kladné íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
Pravdivostná hodnota konjunkcie pravdivého a nepravdivého výroku je 0 (3. riadok,3. st pec).
c) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p Nitra je hlavné mesto Slovenskej republiky. Pravdivostná hodnota je 0.
:q Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky. Pravdivostná hodnota je 1.
Pravdivostná hodnota disjunkcie pravdivého a nepravdivého výroku je 1 (3. riadok, 4. st pec).
d) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p íslo 5 je delite né íslom 3. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0.
Výroková logika
13
:q íslo 9 je párne íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0.
Pravdivostná hodnota disjunkcie dvoch nepravdivých výrokov je 0 (2. riadok, 4. st pec).
e) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p íslo 6 je delite né íslom 2. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
:q íslo 6 je párne íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
Pravdivostná hodnota implikácie dvoch pravdivých výrokov je 1 (5. riadok, 5. st pec).
f) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p íslo 6 je delite né íslom 2. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
:q íslo 6 je prvo íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0.
Pravdivostná hodnota implikácie pravdivého a nepravdivého výroku je 0 (4. riadok, 5. st pec).
g) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok:
:p íslo 27 je delite né íslom 3. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1.
:q Ciferný sú et ísla 27 je delite ný íslom 3. Pravdivostná hodnota výroku je 1.
Pravdivostná hodnota ekvivalencie dvoch pravdivých výrokov je 1 (5. riadok, 6. st pec). Poznámka Zložené výroky formulujeme asto skrátene – neopakujeme slová nachádzajúce sa
v obidvoch spájaných výrokoch:
Plné znenie: Skrátené znenie:
Dušan ml í a Dušan študuje. Dušan ml í a študuje.
Marek íta alebo Marek spí. Marek íta alebo spí.
Ak je íslo 6 delite né dvoma, potom je
íslo 6 párne íslo.
Ak je íslo 6 delite né dvoma, potom je
párne. Príklad Daná je implikácia „ Ak íslo 3 delí íslo 9, potom íslo 5 delí íslo 25.“ Vytvorte
obmenu a obrátenú implikáciu k danej implikácii. Ur te pravdivostnú hodnotu všetkých troch
zložených výrokov.
Riešenie
Daná implikácia sa skladá z výrokov :p „ íslo 3 delí íslo 9.“ a :q „ íslo 5 delí íslo 25.“
Oba výroky sú pravdivé, teda aj ich implikácia je pravdivá.
Obmenou implikácie je implikácia ´ ´q p . Negáciou výroku p je výrok ´:p „ íslo 3 nedelí
íslo 9“. Negáciou výroku q je výrok ´:q “ íslo 5 nedelí íslo 25.“ Obmenou danej
implikácie je výrok „Ak íslo 5 nedelí íslo 25, potom íslo 3 nedelí íslo 9.“ Obe negácie sú
nepravdivé, implikácia dvoch nepravdivých výrokov je výrok pravdivý. Obmena implikácie
je pravdivý výrok.
Základy matematiky 1
14
Obrátená implikácia je q p : „ Ak íslo 5 delí íslo 25, potom íslo 3 delí íslo 9.“ Oba
výroky sú pravdivé, aj ich implikácia je pravdivá. Obrátená implikácia je pravdivá. Negácia zložených výrokov
Pre negáciu konjunkcie a disjunkcie platia De Morganove1 zákony:
1. Negácia konjunkcie: ( )p q p q′ ′ ′∧ ⇔ ∨
2. Negácia disjunkcie: ( )p q p q′ ′ ′∨ ⇔ ∧
3. Negácia implikácie: ( ) ( ) ( )´ ´ ´p q p q p q′⇔ ∨ ⇔ ∧ .
4. Negáciu ekvivalencie vytvoríme postupne tak, že negujeme konjunkciu dvoch implikácií:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
p q p q q p p q q p p q q p
p q p q
′ ′ ′′ ′ ′⇔ ⇔ ∧ ⇔ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔
′ ′⇔ ∧ ∨ ∧
Príklad Vytvorte negáciu daných zložených výrokov:
a) Príde Peter a Ivana. c) Ak je íslo delite né íslom 2, tak je to párne íslo.
b) Príde Peter alebo Pavol. d) Karol príde práve vtedy, ke príde Jozef.
Riešenie
a) Jednoduché výroky sú: :p „Príde Peter.“ a q : „Príde Ivana.“ Negácie týchto výrokov sú
´:p „Nepríde Peter.“ a ´:q „Nepríde Ivana.“ Negácia zloženého výroku je disjunkcia
negácií: „Nepríde Peter alebo nepríde Ivana.“
b) Jednoduché výroky sú: :p „Príde Peter.“ a q : „Príde Pavol.“ Negácie týchto výrokov sú
´:p „Nepríde Peter.“ a ´:q „Nepríde Pavol.“ Negácia zloženého výroku je konjunkcia
negácií: „Nepríde Peter a nepríde Pavol.“
c) Jednoduché výroky sú: :p „ íslo je delite né íslom 2.“ a q : „ íslo je párne.“ Negácia
implikácie je konjunkcia prvého výroku a negácie druhého výroku. Negácia druhého
výroku je ´:q „ íslo nie je párne.“ Negácia zloženého výroku: „ íslo je delite né íslom 2
a nie je to párne íslo.“
d) Jednoduché výroky sú: :p „Karol príde.“ a q : „Jozef príde.“ Negácie výrokov:
´:p „Karol nepríde.“ a ´:q „Jozef nepríde.“ Negácia ekvivalencie je disjunkcia dvoch
konjunkcií: „Karol príde a Jozef nepríde alebo Karol nepríde a Jozef príde.“
1 August De Morgan (1806 - 1871) bol škótsky matematik, ktorý sa zaoberal algebrickým vyjadrením
problémov formálnej logiky.
Výroková logika
15
1.2 Výroková formula
Definícia Výrokovou formulou nazývame výraz, ktorý obsahuje výrokové premenné, logické
spojky a zátvorky tak, že po dosadení ubovo ných výrokov za výrokové premenné
dostaneme výrok.
Výroková formula, ktorá po dosadení ubovo ných výrokov za výrokové premenné je
vždy pravdivý výrok (nadobúda vždy pravdivostnú hodnotu 1) sa nazýva tautológia.
Výroková formula, ktorá po dosadení ubovo ných výrokov za výrokové premenné je
vždy nepravdivý výrok (nadobúda vždy pravdivostnú hodnotu 0) sa nazýva kontradikcia.
Výroková formula, ktorá nie je tautológiou ani kontradikciou je splnite ná výroková
formula. Poznámka Nezamie ajte pojmy výrok a výroková formula! Výrok môže nadobúda len jednu
pravdivostnú hodnotu, výroková formula môže nadobúda rôzne pravdivostné hodnoty.
Zátvorky používame okrúhle: ( ) , hranaté: [ ] , lomené: , zložené (množinové): { } .
Princíp priority logických spojok: Ak základné logické spojky usporiadame do postupnosti
() ,́ , , ,∧ ∨ ⇔ , tak každá logická spojka stojaca v avo od uvažovanej viaže silnejšie. Príklad. Na základe princípu priority logických spojok vhodne dopl te zátvorky do daných
výrokových formúl, pri om , ,p q r sú výrokové premenné.
a) ´p q r∧ ∨ b) p q r p∨ ⇔ c) p r p q r∨ ⇔ ∧ ∨
Riešenie
a) Vo výroku p q r′∧ ∨ najprv tvoríme negáciu výroku r , potom má prednos logická
spojka konjunkcia, to znamená, že danú výrokovú formulu zapíšeme ( )p q r′∧ ∨ .
b) Vo výroku p q r p∨ ⇔ má prednos spojka disjunkcia, potom implikácia a nakoniec
ekvivalencia, to znamená, že danú výrokovú formulu zapíšeme ( )p q r p∨ ⇔ .
c) Vo výroku p r p q r∨ ⇔ ∧ ∨ má prednos spojka konjunkcia, potom doplníme zátvorky
okolo oboch disjunkcií a nakoniec po ítame ekvivalenciu, to znamená, že danú výrokovú
formulu zapíšeme ( ) ( )p r p q r∨ ⇔ ∧ ∨ .
Príklad Zistite, i je daná výroková formula tautológia, kontradikcia alebo splnite ná
výroková formula.
a) ( ) ( )p q p q∧ b) ( ) ( )´ ´p q q p c) ( ) ( )´p q p q⇔ ∧
Základy matematiky 1
16
Riešenie
Overíme to pomocou tabu ky pravdivostných hodnôt, pri om pre dva výroky máme 22 4=
rôznych dvojíc pravdivostných hodnôt výrokových premenných.
a) p q ( )p q ( )p q∧ ( ) ( )p q p q∧
0 0 1 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
V poslednom st pci vidíme, že výroková formula ( ) ( )p q p q∧ nadobúda pravdivostnú
hodnotu 1 aj 0, daná výroková formula je splnite ná výroková formula.
b) p q ´q ´p ( )p q ( )´ ´q p ( ) ( )´ ´p q q p
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1
V poslednom st pci vidíme, že výroková formula ( ) ( )´ ´p q q p nadobúda pre všetky
dvojice pravdivostných hodnôt výrokových premenných pravdivostnú hodnotu 1, daná
výroková formula je tautológia.
c) p q ´q ( )p q ( )´p q∧ ( ) ( )´p q p q⇔ ∧
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
V poslednom st pci vidíme, že výroková formula ( ) ( )´p q p q∧ nadobúda pre všetky
dvojice pravdivostných hodnôt výrokových premenných pravdivostnú hodnotu 0, daná
výroková formula je kontradikcia. Dôležité tautológie
1. Zákon dvojitej negácie
2. Identita
( )p T p∧ ⇔ ( )p K p∨ ⇔ T – tautológia, K - kontradikcia
3. Inverzia
( )´p p T∨ ⇔ ( )´p p K∧ ⇔ T – tautológia, K - kontradikcia
Výroková logika
17
4. Dominácia
( )p K K∧ ⇔ ( )p T T∨ ⇔ T – tautológia, K - kontradikcia
5. Komutatívny zákon
( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧ ( ) ( )p q q p∨ ⇔ ∨ 6. Asociatívny zákon
( ) ( )p q r p q r∧ ∧ ⇔ ∧ ∧ ( ) ( )p q r p q r∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ 7. Distributívny zákon
( ) ( ) ( )p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ ( ) ( ) ( )p q r p q p r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ 8. Idempotentnos
( )p p p∧ ⇔ ( )p p p∨ ⇔ 9. Zákon pohltenia
( )( )p p q p∨ ∧ ⇔ ( )( )p p q p∧ ∨ ⇔ 10. Vyjadrenie implikácie a ekvivalencie pomocou negácie, konjunkcie a disjunkcie
( ) ( )´p q p q⇔ ∨ ( ) ( ) ( )´ ´p q p q p q⇔ ⇔ ∨ ∧ ∨
( ) ( ) ( )´ ´p q p q p q⇔ ⇔ ∧ ∨ ∧
Poznámka Odporú ame itate ovi overi dané tautológie pomocou tabuliek pravdivostných
hodnôt.
1.3 Výroková forma a kvantifikované výroky
Definícia Výrokovou formou rozumieme oznamovaciu vetu, ktorá sama nie je výrokom,
obsahuje premenné a po dosadení vhodných konštánt z vopred danej množiny za premenné
dostaneme výrok. Výrokové formy s jednou premennou x ozna íme ( )A x , ( )B x , ...
(Napr.: výroková forma 2 1 2x − ≤ sa po dosadení ísla 1 za x stane pravdivým výrokom, po
dosadení ísla 2 sa stane nepravdivým výrokom.)
Obor premennej výrokovej formy ( )A x je množina všetkých objektov, ktoré chceme
dosadi za premennú x do výrokovej formy ( )A x .
Defini ný obor výrokovej formy ( )D A je množina všetkých prvkov z jej oboru
premennej, ktoré po dosadení za x vytvoria z výrokovej formy ( )A x výrok.
Základy matematiky 1
18
Obor pravdivosti výrokovej formy ( )P A je množina všetkých prvkov z ( )D A , ktoré po
dosadení za x vytvoria z výrokovej formy ( )A x pravdivý výrok. .
Poznámka Matematické vzorce vyzerajú ako výrokové formy, ale považujeme ich za pravdivé
výroky: ( )2 2: 1 2 1x x x x∀ ∈ + = + + .
Príklad Je daná výroková forma . Ur te jej defini ný obor a obor pravdivosti.
Riešenie
Menovate zlomku nesmie by rovný nule, preto íslo 0 musíme z defini ného oboru vyradi .
Riešením nerovnice zistíme obor pravdivosti. Teda ( ) { }0D A = − a ( ) (0, 2P A = .
Definícia Výroky, v ktorých tvrdíme, že existuje objekt istých vlastností alebo že všetky
objekty istej množiny majú istú vlastnos , nazývame kvantifikovanými výrokmi. Pri zápise
takýchto výrokov používame kvantifikátory.
Nech je výroková forma jednej premennej x , ktorá je definovaná na množine .
Ak sa z nej stane pravdivý výrok po dosadení ktoréhoko vek prvku z , t.j. ,
hovoríme, že „Pre každý prvok x z defini ného oboru platí výroková forma .“
Túto skuto nos zapisujeme pomocou matematických symbolov .
Symbol ∀ nazývame všeobecný kvantifikátor – ítame „pre všetky“, „pre ubovo né“, „pre
každé“ . Zápis „ :x∀ ∈ “ alebo „ ;x∀ ∈ “ ítame „ pre všetky x z množiny reálnych ísel
platí“.
Napr.: je výroková forma, jej defini ný obor a aj . Potom
platí: 2: 0x x∀ ∈ ≥ .
Nech je výroková forma jednej premennej x , ktorá je definovaná na množine .
Ak existuje aspo jeden prvok x z , po dosadení ktorého sa z stane pravdivý
výrok, t.j. , hovoríme, že: „Existuje prvok x z defini ného oboru , pre ktorý
platí výroková forma .“ Túto skuto nos zapisujeme pomocou matematických symbolov
. Symbol ∃ sa nazýva existen ný kvantifikátor – vyjadruje skuto nos , že
existuje objekt s ur itou vlastnos ou. ítame „existuje“. Špeciálne, symbol !∃ znamená
„existuje práve jeden objekt“. Zápis „ “ alebo „ “ ítame „existuje x
z množiny reálnych ísel, pre ktoré platí“.
Výroková logika
19
Napr.: je výroková forma. Jej defini ný obor a obor pravdivosti
(riešenie nerovnice v ). Potom platí . Výroky, ktoré obsahujú len jeden kvantifikátor, nazývame jednoduché kvantifikované výroky
a negujeme ich pod a nasledujúcich pravidiel ( je výroková forma):
Výrok Negácia výroku
Slovný popis
Symbolický zápis
„existuje prvok..., ktorý je...“
: ( )x V x∃
„pre všetky prvky... platí, že nie sú“
alebo „ žiadny prvok nie je ...“
: ´( )x V x∀
Slovný popis
Symbolický zápis
„pre všetky prvky... platí, že...“
: ( )x V x∀
„ existuje prvok..., že nie je ...“
: ´( )x V x∃
Príklad Vytvorte negáciu daných výrokov:
a) Existuje trojuholník, ktorý je pravouhlý.“ b) Každé die a chodí do školy.“
Riešenie
a) Výroková forma „Trojuholník je pravouhlý.“ sa negáciou zmení na „Trojuholník nie je
pravouhlý.“ Existen ný kvantifikátor sa v negácii zmení na všeobecný. Negáciou daného
výroku potom je: „Každý trojuholník nie je pravouhlý.“ Alebo (ke že slovenský jazyk
pripúš a dva zápory) „Žiadny trojuholník nie je pravouhlý.“
b) Výroková forma „Die a chodí do školy.“ Jej negácia je: „Die a nechodí do školy.“
Všeobecný kvantifikátor sa negáciou zmení na existen ný. Negáciou daného výroku potom
je: „Existuje die a, ktoré nechodí do školy.“ Navyše na vyjadrenie vlastností viacerých objektov používame aj slová: aspo , práve,
najviac, žiadny. (žiadny znamená 0 a nie viac; aspo dva znamená 2 a viac; najviac tri
znamená 0, 1, 2, 3 a nie viac, práve 2 znamená nie menej ako 2 a nie viac ako 2.)
Výroky s údajom o po te negujeme nasledovne:
Výrok Negácia výroku
„Každý ... je ...“ „Aspo jeden ... nie je ....“
„Aspo jeden ... je ....“ „Každý ... nie je ...“
„Aspo n ... je ...“ ( 1n > ) „Najviac ( 1)n − ... je ...“
„Najviac n ... je ...“ ( 1n ≥ ) „Aspo ( 1)n + .... je ...“
„Práve n .. je..“ „Najviac ( 1)n − alebo aspo ( 1)n + ... je ...“
Základy
20
Príklad
a) „Bud
c) „Priš
Riešenie
a) Bude
o sl
b) Prídu
alebo
c) Prišli
prišlo
aspo
d) Nepo
slovn
1.4 R
Rieše
P1.
a
a
b
V2.
V3. Jednotli
Príklad
zúžil na
o prítom
V1.
C
A2.
P3.
Dá sa na
y matematik
d Vytvorte n
de nás najvi
šli práve 4 š
e
e nás najvia
ovne zapíše
u aspo traj
o žiadny, o
i práve 4 št
o menej ak
5 študenti
oslal žiadny
ne zapíšeme
Riešenie s
enie slovný
Prechod od s
analýzy text
a) Vyzna
úlohy.
b) Vyjadre
vytvorím
Vyriešenie ú
Vyjadrenie v
ivé fázy rieš
d Z výstavne
a tri osoby:
mnosti podo
Vo výstavne
Cyril.
Ak nie je pra
Podozrivý C
a základe tý
ky 1
negácie daný
iac 5.“
študenti.“
ac 5 znamen
eme: „Bude
a hostia zna
o slovne zap
tudenti, zna
ko 4 alebo v
i.“
y list zname
e „Poslal asp
slovných
ých úloh pom
slovnej úloh
tu. Výrokov
enie všetký
enie skuto
me z vyzna
úlohy o výro
výsledku v t
šenia slovne
ej siene bol
Andrej, Bl
ozrivých vo
ej sieni v tej
avda,, že tam
Cyril tam bo
ýchto údajov
ých výrokov
ná, že nás b
nás aspo 6
amená, že p
píšeme „Príd
amená že ich
viac ako 4,
ená, že ich p
po jeden li
úloh pom
mocou výro
hy k úlohe o
vá analýza te
ých jednod
ného výz
ených jedn
okoch a form
termínoch s
ej úlohy uká
l ukradnutý
lažej a Cyri
výstavnej s
j dobe nebo
m bol Andr
ol práve vted
v jednozna
v:
bude 0, 1, 2
6.“
príde 3, 4, 5
du najviac 2
h neprišlo a
o slovne
poslal 0. Ne
ist.“
mocou vý
okovej logik
o výrokoch,
extu slovnej
duchých vý
znamu viet
noduchých v
mulácia výs
slovnej úloh
ážeme na na
ý vzácny ob
il. Z výsluc
sieni v kritic
ol Blažej ale
rej sú asne s
dy, ke tam
ne ur i pá
b) „Príd
d) „Nep
2, 3, 4, 5. N
a viac host
2 hostia.“
ani menej a
zapíšeme „
egáciou bud
ýrokovej
ky má tri zák
, ktorú získa
j úlohy spo
rokov vysk
t pomocou
výrokov pom
sledku.
hy.
asledujúcej
braz. Vyšetr
hov podozr
ckej dobe zh
e bol tam asp
s Blažejom,
m nebol žiad
áchate ?
du aspo 3 h
poslal žiadn
Negáciou je
í. Negáciou
ni viac. Neg
„Prišli najvi
de, že posla
logiky
kladné fázy
ame pomoc
íva v týcht
kytujúcich
u zloženýc
mocou logi
úlohe:
rovaním sa
rivých a sve
hrnú do tro
po jeden z
, potom tam
dny z dvojic
hostia.“
ny list.“
: bude nás
u bude, že p
gáciou bud
iac 3 študen
al 1 a viac l
y:
cou výrokov
to krokoch:
sa v texte
ch výrokov
ických spojo
okruh podo
edkov sa da
och záverov
z dvojice An
m nebol ani C
ce Andrej, B
6 a viac,
rídu 2, 1
e, že ich
nti alebo
istov, o
vej
slovnej
v, ktoré
ok.
ozrivých
ajú fakty
v:
ndrej,
Cyril.
Blažej.