km-modellek középiskolás fokon · tartalom 1 bevezetés 2 fibonacci–demográfia 3...
TRANSCRIPT
![Page 1: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/1.jpg)
KM-modellek középiskolás fokon
Simonovits András
MTA KRTK KTI, BME MI
2018. szeptember 30.
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 1 / 34
![Page 2: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/2.jpg)
Tartalom
1 Bevezetés
2 Fibonacci–demográfia
3 Közepek–optimalizálás
4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
5 Jelzáloghitelek
6 Regresszió és PPP
7 Következtetések
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 2 / 34
![Page 3: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/3.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 3 / 34
![Page 4: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/4.jpg)
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,
s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
![Page 5: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/5.jpg)
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizika
A közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
![Page 6: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/6.jpg)
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesek
ezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
![Page 7: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/7.jpg)
Bevezetés
Motiváció
A középiskolai matematikai szakkörökben kevés az alkalmazás,s az is szinte csak fizikaA közgazdasági alkalmazások is fontosak és érdekesekezt próbálom megmutatni az eloadásban
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 4 / 34
![Page 8: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/8.jpg)
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)
Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
![Page 9: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/9.jpg)
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modell
A közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
![Page 10: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/10.jpg)
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modell
Önérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
![Page 11: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/11.jpg)
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)
Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
![Page 12: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/12.jpg)
Bevezetés
Mire jók a közgazdasági modellek?
Segítenek az eligazodásban (térkép)Sok kis modell jobb mint egy nagy modellA közgazdaságtanban domináns a statikus és optimalizáló modellÖnérdek és ideológia fontosabb mint a biológiában (bárdarwinizmus az USA közoktatásában problematikus)Idonként dinamizálunk és gyakran lemondunk az optimalizálásról
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 5 / 34
![Page 13: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/13.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzés
Öttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 14: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/14.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 15: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/15.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésben
Olyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 16: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/16.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita
1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 17: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/17.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 perc
Kertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 18: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/18.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késés
Másra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 19: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/19.jpg)
Bevezetés
Mitol jó egy modell/2?
Friedmann (1953): rossz feltevések⇒ jó elorejelzésÖttalálatos lottó: 2× 2 = 5?
Koopmans (1957): segít a megértésbenOlyan mint a térkép: londoni metróséma 1930 – kétévi elozetesvita1972: elso londoni utamon belvárosi tapasztalat:1 megálló = 2 percKertvárosi meghívás: 20 állomás = 60 perc⇒ 20 perces késésMásra használtam mint amire alkalmas volt
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 6 / 34
![Page 20: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/20.jpg)
Bevezetés
Londoni metróséma részlete
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 7 / 34
![Page 21: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/21.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci számoktól a demográfiáig
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 8 / 34
![Page 22: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/22.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
![Page 23: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/23.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1
Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
![Page 24: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/24.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stb
zárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
![Page 25: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/25.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/1
Nyulak szaporodása, 1202
Fn+2 = Fn + Fn+1, n = 1,2,3, . . .
Kezdoértékek: F0 = 1, F1 = 1Elso tagok: 2, 3, 5, stbzárt képlet: pl. számtani sorozatnál an = an−1 + d ⇒ an = a0 + nd
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 9 / 34
![Page 26: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/26.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0
Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
![Page 27: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/27.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
![Page 28: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/28.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
![Page 29: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/29.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
![Page 30: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/30.jpg)
Fibonacci–demográfia
Fibonacci-sorozat/2
Euler (1740) zseniális ötlete: Fn = ϕλn alakban, ϕ 6= 0Behelyettesítve a rekurzióba:
ϕλn+2 = ϕλn + ϕλn+1, n = 2,3, . . .
Rendezve
λ2 = λ+ 1⇒ λ1,2 =1±√
52
Két különbözo megoldás tetszoleges lineáris kombinációja:Fn = ϕ1λ
n1 + ϕ2λ
n2 eloállítja az összes lehetséges megoldást:
Kezdoértékek:
F0 = ϕ1 + ϕ2 = 1, F1 = ϕ1λ1 + ϕ2λ2 = 1
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 10 / 34
![Page 31: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/31.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .
Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 32: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/32.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)
Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 33: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/33.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 34: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/34.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 35: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/35.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0
Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 36: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/36.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .
feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 37: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/37.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2
Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 38: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/38.jpg)
Fibonacci–demográfia
3-nemzedékes demográfia
Idoszakok (15 év): t = 0,1,2, . . .Létszámok: lányok (xt ), fiatal anyák (xt−1), idosebb anyák (xt−2)Szülési egyenlet: xt = f1xt−1 + f2xt−2, f1, f2 > 0, kezdetiértékek: x−1, x0
Zárt alakú megoldás: xt = ξ1λt1 + ξ2λ
t2
ahol p(λ) = λ2 − f1λ− f2 = 0Stacionárius népesség: xt = x0, t = 1,2, . . .feltétele: λ2 = 1, azaz f1 + f2 = 1, továbbá λ1 = −f2Oszcillálva konvergens, mert −1 < λ1 < 0 < λ2 = 1:
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 11 / 34
![Page 39: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/39.jpg)
Közepek–optimalizálás
Közepektol a hasznosságmaximalizálásig
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 12 / 34
![Page 40: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/40.jpg)
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
![Page 41: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/41.jpg)
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
![Page 42: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/42.jpg)
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
![Page 43: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/43.jpg)
Közepek–optimalizálás
Mértani közép legfeljebb akkora, mint a számtaniközép
Két pozitív valós szám: x , y
G(x , y) =√
xy , A(x , y) =x + y
2
Ismert, hogy G(x , y) ≤ A(x , y)
és egyenloség pontosan akkor, ha x = y
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 13 / 34
![Page 44: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/44.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak
(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
![Page 45: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/45.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0
G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
![Page 46: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/46.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
![Page 47: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/47.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Két termék (x , y) csomagja G(x , y) örömet okoz a fogyasztónak(Egységnyi árak melletti) költségvetési korlát: x + y = m > 0G(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
G(x , y) ≤ A(x , y) = m/2
tehát a max: x∗ = y∗ = m/2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 14 / 34
![Page 48: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/48.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árak
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
![Page 49: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/49.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
![Page 50: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/50.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
![Page 51: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/51.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0
U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
![Page 52: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/52.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?
Trükközve:x∗ =
αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
![Page 53: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/53.jpg)
Közepek–optimalizálás
Hasznosságfüggvény maximalizálása adottjövedelemnél
Súlyozott hasznosság, nem egységnyi árakKét termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
Két termék (x , y) csomagja U(x , y) = xαy1−α örömet okoz afogyasztónak (0 < α < 1)
(p és q árak melletti) költségvetési korlát: px + qy = m > 0U(x , y) feltételes maximuma kk mellett?Trükközve:
x∗ =αmp, y∗ =
(1− α)mq
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 15 / 34
![Page 54: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/54.jpg)
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0
x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
![Page 55: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/55.jpg)
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,
leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
![Page 56: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/56.jpg)
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1
Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
![Page 57: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/57.jpg)
Közepek–optimalizálás
Idobeli általánosítás-1
U transzformációja additív fv-nyé: V (x , y) = α log x + β log y ,α, β > 0x fiatal fogyasztás, y idos fogyasztás,leszámítolt életpálya hasznosság: V (x , y) = log x + δ log y ,0 < δ < 1Életpálya költségvetés (R kamattényezo): Rx + y = Rm,idoskorban nincs jövedelem
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 16 / 34
![Page 58: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/58.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 17 / 34
![Page 59: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/59.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás: növekedési ütem, 2010–2018, HU
Év GDPnöv. ütem
Nettóbérnöv. ütem
Nyugdíjnöv. ütem
Helyette-sítés
t 100(gyt −1) 100(gv
t −1) 100(gbt − 1) bt/vt
2010 0,7 1,8 –0,9 0,6512011 1,8 2,4 1,2 0,6472012 –1,7 –3,4 0,1 0,6702013 1,9 3,1 4,5 0,6782014 3,7 3,2 3,2 0,6752015 2,9 4,3 3,5 0,6682016 2,1 7,4 1,4 0,6312017 4,1 10,2 3,0 0,5832018* 4,0 8,0 2,0 0,55
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 18 / 34
![Page 60: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/60.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1
Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
![Page 61: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/61.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8
k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
![Page 62: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/62.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
![Page 63: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/63.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
![Page 64: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/64.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Árindexálás évjárati makromodellje
Feltevések: Minden nettókereset az életkortól független, egyetlentípus: vt = gvt−1, g > 1Kezdo nyugdíj: bt = βvt−1, β valorizációs szorzó, pl. 40 évszolgálati idore 0,8k évvel korábban nyugdíjba vonuló nyugdíja:
bt−k = βvt−k−1, k = 1, . . . ,T − 1
Átlagos nyugdíj (T éves állomány):
bt =bt + · · ·+ bt−T+1
T= β
vt−1 + · · ·+ vt−T
T
Helyettesítési arány:
γ =bt
vt= β
g−1 + · · ·+ g−T
T= β
1− g−T
T (g − 1)
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 19 / 34
![Page 65: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/65.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Helyettesítési arány – Bérnövekedési ütem
T = 20 év, β =0,8, állandó reálbér-növekedési ütem
Bérnövekedésiütem 100(g−1)
0 1 2 3 4 5
Helyettesítésiarány γ = b/v
0,800 0,722 0,654 0,595 0,544 0,498
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 20 / 34
![Page 66: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/66.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Reálbér-ugrás
Arányosan zuhan, majd kúszik fölfelé az egyensúlyi járulékkulcsHU: 2016: 10+22= 32%, 2017: 10+17=27%, 2018:10+14,5=24,5% stb. ?
1. tétel. Elsorendu differenciaegyenlet a helyettesítési arányra (deT -edrendu paraméterkésleltetés)
γt =γt−1
gt+ β
1−G−1t−1
gt,
aholGt =
vt
vt−T=
bt+1
bt−T+1
halmozott bérszorzó = legfrissebb/legrégebbi nyugdíjarány
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 21 / 34
![Page 67: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/67.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Reálbér-ugrás
Arányosan zuhan, majd kúszik fölfelé az egyensúlyi járulékkulcsHU: 2016: 10+22= 32%, 2017: 10+17=27%, 2018:10+14,5=24,5% stb. ?1. tétel. Elsorendu differenciaegyenlet a helyettesítési arányra (deT -edrendu paraméterkésleltetés)
γt =γt−1
gt+ β
1−G−1t−1
gt,
aholGt =
vt
vt−T=
bt+1
bt−T+1
halmozott bérszorzó = legfrissebb/legrégebbi nyugdíjarány
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 21 / 34
![Page 68: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/68.jpg)
Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása
Dinamikus helyettesítési arányok
Keresetnövekedési ütem: vt = gtvt−1, [t0 − 1, t0 + 1]-ben 8%,egyébként 2%.
Év Helyettesítés Év Helyettesítés0 0,654 . . . . . .1 0,618 10 0,5972 0,585 15 0,6223 0,557 18 0,6364 0,563 . . . . . .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 22 / 34
![Page 69: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/69.jpg)
Jelzáloghitelek
Forint- és deviza alapú jelzáloghitelek
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 23 / 34
![Page 70: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/70.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovel
Jelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 71: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/71.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 72: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/72.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,
Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 73: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/73.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 74: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/74.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 75: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/75.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-re
R-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 76: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/76.jpg)
Jelzáloghitelek
Forintalapú jelzáloghitel
D0 hitel, törlesztés t = 1,2, . . . ,T évben, Bt részlettel, R > 1kamattényezovelJelenérték: PV = B1R−1 + · · ·BT R−T
Állandó részlet: B1 = · · · = BT = B,Mértani sorozat összegképlete:
D0 = BR−1 1− R−T
1− R−1
azazB(T ,R) =
D0(R − 1)
1− R−T
B(T ,R) függvény T -ben nem lineáris, aszimptotikusan csökkenD(R − 1)-reR-ben sem lineáris, és nagyon gyorsan no D/T -rol
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 24 / 34
![Page 77: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/77.jpg)
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
![Page 78: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/78.jpg)
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
![Page 79: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/79.jpg)
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
![Page 80: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/80.jpg)
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = R
Valóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
![Page 81: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/81.jpg)
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítva
Reálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗t Pt/P∗
t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
![Page 82: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/82.jpg)
Jelzáloghitelek
Devizaalapú jelzálog
Svájci frank (*) sokkal alacsonyabb kamattényezo: R∗
Frank-törlesztés
B∗(T ,R∗) =D∗
0(R∗ − 1)
1− R−∗T
Minden évben átváltják frankról forintra, átváltási kulcs: Et
B(T ) = B∗(T ,R∗)Et , D0 = E0D∗0
Közömbös, hogy HUF vagy CHF, ha R = R∗Et/Et−1 = RValóságban: 2004 és 2009-ben R > R (CHF jobb mint HUF),aztán fordítvaReálkamattényezo és reálárfolyam: rt = Rt/pt és Et = E∗
t Pt/P∗t
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 25 / 34
![Page 83: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/83.jpg)
Jelzáloghitelek
13.1. táblázat. Magyar és svájci idosorok
Év Reálárfolyam Év Reálárfolyam2004 150,4 2009 140,72005 149,6 2010 164,82006 140,7 2011 182,72007 127,4 2012 161,72008 143,5 2013 159,3
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 26 / 34
![Page 84: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/84.jpg)
Jelzáloghitelek
13.4. táblázat. A svájci hitelek tündöklése és bukása(a GDP százalékában)
Év Összeshitel
Svájcihitel
Év Összeshitel
Svájcihitel
2003 10,7 0,5 2009 28,9 20,12004 12,6 1,8 2010 30,7 21,52005 15,3 5,0 2011 29,2 19,72006 18,5 9,0 2012 24,2 14,32007 21,8 12,9 2013 22,2 12,62008 27,4 19,2
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 27 / 34
![Page 85: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/85.jpg)
Regresszió és PPP
Regresszió és vásárlóero
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 28 / 34
![Page 86: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/86.jpg)
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100
Tudományosan: (xi)ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
![Page 87: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/87.jpg)
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
![Page 88: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/88.jpg)
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?
Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
![Page 89: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/89.jpg)
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
![Page 90: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/90.jpg)
Regresszió és PPP
Regressziós egyenes
Közkeletu bölcsesség (1960): testtömeg = testmagasság – 100Tudományosan: (xi)
ni=1 és (yi)
ni=1 két idosor
Hogyan lehet magyarázni X -szel Y -t?Legkisebb négyzetek módszere (Gauss, 1809): keressünk olyan(α, β) párt, amelyre
n∑i=1
(yi − α− βxi)2 → min .
xi = xi − EX , yi = yi − EX segítségével a parabolaminimumhelyének képlete:
β∗ =
∑ni=1 xi yi∑ni=1 x2
i, α∗ = EY − β∗EX .
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 29 / 34
![Page 91: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/91.jpg)
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:
külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
![Page 92: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/92.jpg)
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)
piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
![Page 93: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/93.jpg)
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFt
de a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
![Page 94: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/94.jpg)
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 Ft
Sejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
![Page 95: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/95.jpg)
Regresszió és PPP
Mitol függ egy pénz vásárlóereje?
Balassa–Samuelson (1964/1965) Nyitott gazdaság két szektora:külkereskedelemben részt vesz (TV), nem vesz részt (hajvágás)piaci árfolyam: kiegyenlíti a TV árát a két országban: 300 EUR =96 eFtde a hajvágás 20 EUR> 10 EUR = 3200 FtSejtés: minél fejlettebb egy ország, annál magasabb az árszintje?P = α + βY + e
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 30 / 34
![Page 96: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/96.jpg)
Regresszió és PPP
Árszint–fejlettség
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 31 / 34
![Page 97: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/97.jpg)
Következtetések
Következtetések
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 32 / 34
![Page 98: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/98.jpg)
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontos
Öt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
![Page 99: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/99.jpg)
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettség
Sok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
![Page 100: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/100.jpg)
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezni
és fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
![Page 101: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/101.jpg)
Következtetések
Következtetések
A közgazdasági modellezés érdekes és fontosÖt jelenséget modelleztünk:1. demográfia,2. hasznosságmaximalizálás,3. nyugdíjmodellek4. jelzálogmodellek és5. árszint–fejlettségSok egyebet is fogunk modellezniés fölkészülünk a további modellezésre
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 33 / 34
![Page 102: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/102.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelmélet
ciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
![Page 103: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/103.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusok
profitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
![Page 104: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/104.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizálás
káoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
![Page 105: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/105.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáosz
általános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
![Page 106: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/106.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelmélet
együtt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
![Page 107: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/107.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modellje
valószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34
![Page 108: KM-modellek középiskolás fokon · Tartalom 1 Bevezetés 2 Fibonacci–demográfia 3 Közepek–optimalizálás 4 Bérrobbanás és nyugdíjak árindexálása 5 Jelzáloghitelek](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071006/5fc33c53299fc953623dec4a/html5/thumbnails/108.jpg)
Következtetések
Kimaradt témák
játékelméletciklusokprofitmaximalizáláskáoszáltalános egyensúlyelméletegyütt élo nemzedékek modelljevalószínuség-számítás és biztosítás
Simonovits András (MTA KRTK KTI, BME MI) KM-modellek középiskolás fokon 2018. szeptember 30. 34 / 34