kombinatorika, pravděpodobnost,...

Kombinatorika,

pravděpodobnost,

statistika

Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Stránka 1169

Obsah

9. Kombinatorika .............................................................................................................. 1170

9.1. Faktoriály ............................................................................................................... 1170

9.2. Variace bez opakování ........................................................................................... 1175

9.3. Permutace bez opakování ...................................................................................... 1183

9.4. Kombinace bez opakování..................................................................................... 1185

9.5. Kombinační číslo ................................................................................................... 1190

9.6. Kombinace s opakováním ..................................................................................... 1200

9.7. Variace s opakováním ........................................................................................... 1202

9.8. Permutace s opakováním ....................................................................................... 1203

9.9. Binomická věta ...................................................................................................... 1204

10. Pravděpodobnost ....................................................................................................... 1212


Stránka 1170

9. Kombinatorika

9.1. Faktoriály

1. Upravte:

a) 8!4!

3!7!

b) 9!5!

6!

c) 41! 40!

42!

d) 3!8!10!

9!5!

e) ( 4)!

( 1)!

n

n

f)

( 2)! 3 !

! 1 !

n n

n n

Řešení:

a) 8 7! 4 3!

323! 7

8!4!

3! !7!

b) 9! 5! 9 8 7!

12 79!5!

6!!

6 5! 3 2

c) 41 40! 40! 40! (41 1) 1

42 41 4

41! 40!

4 0! 42 41 40! 42 1!

d) 3! 8!10! 9 8 7!

2 7!9 8!

3!8!10!

9 5 4 3! 5! ! 9 45

e) 3 2( 4) ( 3) ( 2) ( 1)!9 26 24

( 1)!

( 4)!

( 1)!

n n n nn n n

n

n

n

2

( 2)! 3 ! 1 3

( 1) ( 2)! ( 1) ! (

( 2

1) ( 1)

3 2 1

( 1

)! 3 !f)

)

! 1

(

!

1)

n n

n n n n n n n n

n n

n n n

n n

n n

2. Upravte:

a)

!

2 !

n

n

b)

5 !

3 !

n

n

c)

6 !

4 !

n

n

d)

8 !

6 !

n

n

e)

3 ! 2 !

1 ! !

n n

n n

f)

3 ! 2 !

2 ! 3 !

n n

n n

g)

1 ! 2 ! !

! 1 ! 2 !

n n n

n n n

h)

( 1)! ( 2)!

! 1 !

n n

n n

i)

1

1 ! 1 !

n

n n

Řešení:

a)

( 1) ( 2)!

1( 2

!

)!2 !

n n nn

n

nn

n


Stránka 1171

b)

2

5 ! 5 4 3 !5 4 9 20

3 ! 3 !

n n n nn n n n

n n

c)

6 ! 6 ! 1

4 ! 4 5 6 ! 4 5

n n

n n n n n n

d)

8 ! 8 ! 1

6 ! 6 7 8 ! 6 7

n n

n n n n n n

2 2

2

3 ! 2 ! 3 2 1 ! 2 1 !e) 5 6 3 2

1 ! ! 1 ! !

2 8 8

n n n n n n n nn n n n

n n n n

n n

2

3 ! 2 ! 3 ! 2 ! 1 1 3 2f)

2 ! 3 ! 2 3 ! 3 2 ! 2 3 2 3

2 1

6

n n n n n n

n n n n n n n n n n

n

n n

2 2 3 2

2 !( 1) ! ( 1) ( 2)!

! ( 1) ( 2)! ( 2)!

1 1 1 ( 2 1) 3

1 ! 2 ! !g)

! 1 ! 2 !

( 1) ( 1)( 1) 1 1

nn n n n n

n n n n

n n n n n n nn n n

n n

n n n

n n n

n

( 1)! ( 2)! 1 1 1 1

( 1)! ( 1

( 1)! ( 2)!h)

! ) ( 2)! 1 1 (1 ( ) 1)!

n n n n

n n n n n n

n

n n

n

n n n n

3 211 !1 ! 1 !1i)

1

1 ! 1 ! 1 ! 1

1

! 1 ! 1 ! 1 !

n n nn nnn nn

n n n n n n n

n

3. Řešte v N následující rovnice:

a)

3 !0

1 !

n

n

b)

2!8

1 !

nn n

n

c)

2( 1)!10 121

1 !

nn n

n

d)

! ( 1)!7

2 ! !

n nn

n n

e)

4 !16 14

6 !

nn

n

f)

2( 2)! 2( 3)! ( 4)!2 20 32

1 ! ( 1)! 1 !

n n nn n

n n n

g)

5 ! 3 !!8

3 ! 2 ! 1 !

n nn

n n n

h)

3 ! 2 !28 3

5 ! 3 !

n nn

n n


Stránka 1172

Řešení:

a)

2

2

1

2

3 !12 14

1 !

3 2 12 14

5 6 12 14

7 8 0

8

1 ... nevyhovuje

8

nn

n

n n n

n n n

n n

n

n

K

b)

2

2

2

1

2

!

( 1)!8

( 1)!

2 8 0

4

2 ... nevyhovuj

4

!

e

81

n nn n

n

n n

n

n

K

nn n

n

c)

2

2

2 2

( 1) ( 1)!10 121

( 1)!

10 121

11

11

( 1)!10 121

1 !

n n nn

nn

nn

n n n n

n

K

nn

d)

2

2

1

2

! ( 1)!7

2 ! !

1 1 7

1 7

6 0

2 .... nevyhovuje

3

3

n nn

n n

n n n n

n n

n n

n

n

K


Stránka 1173

e)

2

2

1

2

4 !16 14

6 !

4 5 16 14

9 20 16 14

7 6 0

1 ... nevyhovuje

7 ... nevyhovuje

nn

n

n n n

n n n

n n

n

n

K

f)

2

2

2 2 2 2

3 2 2 3 2 2 2

2 2 2

( 2)! 2( 3)! ( 4)!2 20 32

1 ! ( 1)! 1 !

2 1 2 3 2 4 3 2 2 20 32

3 2 2 5 6 7 12 2 2 20 32

3 2 2 10 12 2 7 14 12 24 2 20 32

5 12 12 9 26 24 2

n n nn n

n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

n n n n n

2 2

2

2

1

2

20 32

4 14 12 2 20 32

2 6 20 0

3 10 0

5

2 ... nevyhovuje

5

n

n n n n

n n

n n

n

n

K

g)

2 2 2

2

1

2

5 ! 3 !!8

3 ! 2 ! 1 !

5 4 1 3 2 8

9 20 5 6 8

5 6 0

6

1 .... nevyhovuje

6

n nn

n n n

n n n n n n

n n n n n n

n n

n

n

K

h)

2

2

1

2

3 ! 2 !28 3

5 ! 3 !

3 4 2 28 3

7 12 2 28 3

5 14 0

7

2 ... nevyhovuje

7

n nn

n n

n n n n

n n n n

n n

n

n

K


Stránka 1174

4. Řešte v N následující nerovnice:

a)

!3 24

2 !

nn

n

b)

3 !5 3

4 !

nn

n

c)

5 ! !13 44

3 ! 1 !

n nn

n n

d)

7 ! 3 !55 5 11

5 ! 2 !

n nn

n n

Řešení:

a)

2

!3 24

2 !

1 3 24

3 24 0

6 4 0

1;2;3;4

nn

n

n n n

n n n

n n

K

b)

3 !5 3

4 !

3 5 3

4 8

2

1;2

nn

n

n n

n

n

K

c)

2

2

5 ! !13 44

3 ! 1 !

5 4 13 44

9 20 13 44

5 24 0

8 3 0

1;2;3;4;5;6;7;8

n nn

n n

n n n n

n n n n

n n

n n

K

d)

2

2

7 ! 3 !55 5 11

5 ! 2 !

7 6 55 5 3 11

13 42 55 16 15

3 28 0

7 4 0

1;2;3;4;5;6;7

n nn

n n

n n n n

n n n

n n

n n

K


Stránka 1175

9.2. Variace bez opakování

1. Kolik trojciferných přirozených čísel můžeme sestavit z cifer 1,2,4,6,8 (cifry se nesmí

opakovat)?

Řešení: vybíráme uspořádané trojice z pěti cifer tj. variace bez opakování

3

!( )

!

5!(5) 60

2!

k

nV n

n k

V

2. Kolik čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1, 2, 5, 7, 9 (cifry se nesmí

opakovat)? Kolik z nich je dělitelných 4?

Řešení:

4 3(6) (5) 300V V , kde 4 (6)V počet všech čtyřciferných čísel a 3(5)V počet čtyřciferných

čísel, které mají na začátku nulu.

2 2 1(5) (5) (4) 36V V V (čísla dělitelná čtyřmi, mají poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi,

tj. 20 a 12)

3. Ve třídě se vyučuje 13 různých předmětů. Kolika způsoby lze vytvořit rozvrh na jeden

den? Každý předmět se vyskytuje jednou. Žáci mají 8 vyučovacích hodin.

Řešení: 8(13) 51891840V

4. Kolik přirozených čísel menších než 30 000 lze sestavit z cifer 0,1,3,4,5,6? Cifry se

mohou vyskytnout nejvýše jednou.

Řešení: jednociferná – 5, dvojciferná 2 16 5V V , trojciferná 3 26 5V V ,

čtyřciferná 4 36 5V V a pěticiferná – (na začátku může být pouze cifra 1) 4 5V

2 1 3 2 4 3 45 6 5 6 5 6 5 5 550V V V V V V V

5. Florbalového turnaje se zúčastnilo 10 družstev. Kolik je možností získání zlaté, stříbrné

a bronzové medaile (každou medaili může získat právě jedno družstvo)?

Řešení: 3(10) 720V

6. Kolik přirozených čísel větších než 4 000 lze sestavit z cifer 2,3,4,5,6, tak aby se cifry

neopakovaly?

Řešení: Čísla mohou být čtyřciferná – na začátku čísla mohou být cifry 4,5,6 - 33 (4)V nebo

pěticiferná (5)P . 33 (4) (5) 72 5! 192V P


Stránka 1176

7. Kolik je trojciferných čísel sestavených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? Kolik z nich je

dělitelných 5? Každá cifra se může vyskytnout nejvýše jednou.

Řešení: 3 27 6 210 30 180V V . Trojciferných čísel je 180.

Čísla dělitelná pěti končí nulou nebo pětkou.

Počet čísel končících nulou: 2(6) 30V

Počet čísel končících pětkou: 2(6) 5 25V

Trojciferných čísel dělitelných pěti je 55.

8. Dostihu se zúčastnilo 15 koní. Kolik je možností umístění na prvních pěti místech?

Řešení: 5(15) 360360V

9. Kolik je možností sestavení třídní samosprávy ve třídě 3. A, která má 32 žáků?

Samospráva se sestává z předsedy, místopředsedy, studijního referenta a nástěnkáře.

Řešení: 4(32) 863040V

10. Z kolika prvků lze sestavit 342 variací druhé třídy bez opakování?

Řešení:

2

2

1

2

342

!342

2 !

1 342

342 0

19

18 ... nevyhovuje

V n

n

n

n n

n n

n

n

342 variací lze sestavit z 19 prvků.


Řešení:

2

2

1

2

650

!650

2 !

1 650

650 0

26

25 ... nevyhovuje

V n

n

n

n n

n n

n

n

650 variací lze sestavit z 26 prvků


Stránka 1177

12. Z kolika prvků lze vytvořit 552 variací druhé třídy bez opakování?

Řešení:

2

2

1

2

( ) 552

!552

2 !

( 1) ( 2)!552

( 2)!

552 0

24

23 ... nevyhovuje

V n

n

n

n n n

n

n n

n

n

552 variací lze vytvořit z 24 prvků.


Řešení:

2

2

1

2

182

!182

2 !

( 1) ( 2)!182

( 2)!

182 0

14

13 ... nevyhovuje

V n

n

n

n n n

n

n n

n

n

182 variací lze sestavit ze 14 prvků.

14. Když zvětšíme počet prvků o 5, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování o 150.

Určete původní počet prvků.

Řešení:

Původní počet prvků n počet variací

2

!

2 !

nV n

n

Zvětšený počet prvků 5n počet variací

2

5 !5

3 !

nV n

n

2 2

2 2

150 5

5 !!150

2 ! 3 !

1 150 5 4

150 9 20

130 10

13

V n V n

nn

n n

n n n n

n n n n

n

n

Původní počet prvků je 13.


Stránka 1178

15. Zvětší-li se počet prvků dvakrát, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování o 660.


Řešení:

Původní počet prvků n počet variací 2

!

( 2)!

nV n

n


2

2 !2

2 2 !

nV n

n

2 2

2 2

2

1

2

660 2

! 2 !660

2 ! 2 2 !

1 660 2 2 1

660 4 2

3 660 0

15

44 .... nevyhovuje

3

V n V n

n n

n n

n n n n

n n n n

n n

n

n


16. Zmenší-li se počet prvků třikrát, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování

o 3160. Určete původní počet prvků.

Řešení:

Původní počet prvků 3n počet variací

2

3 !3

3 2 !

nV n

n

Zmenšený počet prvků n počet variací

2

!

2 !

nV n

n

2 2

2 2

2

1

2

(3 ) 3160

3 ! !3160

(3 2)! ( 2)!

3 3 1 3160 1

9 3 3160

8 2 3160 0

20

79 .... nevyhovuje

4

V n V n

n n

n n

n n n n

n n n n

n n

n

n



Stránka 1179

17. Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet variací třetí třídy bez opakování o 5304.


Řešení:


3

!

3 !

nV n

n


3

4 !4

2 !

nV n

n

3 3

3 2 3 2

2

1

2

( ) 5304 ( 4)

! ( 4)!5304

3 ! 1 !

( 1) ( 2) ( 3)! ( 4) ( 3) ( 2) ( 1)!5304

( 3)! ( 1)!

3 2 5304 9 26 24

2 440 0

20

22 ... nevyhovuje

V n V n

n n

n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n n

n n

n

n


18. Určete počet prvků, ze kterých je počet variací druhé třídy bez opakování 23 krát menší

než počet variací třetí třídy bez opakování.

Řešení:

2 323

! !23

2 ! 3 !

1 2 ! 1 2 3 !23

2 ! 3 !

23 2

25

V n V n

n n

n n

n n n n n n n

n n

n

n


19. Zmenší-li se počet prvků o 2, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování z nich

vytvořených o 58. Určete původní počet prvků.

Řešení:


2

!

2 !

nV n

n

Zmenšený počet prvků 2n počet variací

2

2 !2

4 !

nV n

n


Stránka 1180

2 2

2 2

58 2

2 !!58

2 ! 4 !

1 58 2 3

58 5 6

4 64

16

V n V n

nn

n n

n n n n

n n n n

n

n


20. Řešte v N následující rovnice a nerovnice:

a) 2 6 2058V n n

b) 3

3 3 736V n n n

c) 3 320 2 400V n n V n

d) 2

3 392 12V n n n

e)

3 4

4

12

V n V n

V n

f) 3 377 73 2V n V n

g) 2 6 2 3 24V n n n

Řešení:

a)

2

2

1 2

6 2058

!6 2058

3 !

1 6 2058

7 2058 0 49 42 .... nevyhovuje

49

V n n

nn

n

n n n

n n n n

K

b)

3

3

3

3

2 3

3 2 3

2

1 2

3 688

!3 688

3 !

1 2 3 688

3 2 3 688

3 2 3 688

433 5 688 0 16 ... nevyhovuje

3

16

V n n n

nn n

n

n n n n n

n n n n n

n n n n n

n n n n

K


Stránka 1181

c)

3 3

2 2

3 2 3 2

2

2

1 2

20 2 400

2 !!20 400

3 ! 1 !

1 2 20 2 1 400

3 2 20 3 2 400

3 2 20 3 2 400

6 20 400 0

203 10 200 0 10 ... nevyhovuje

3

10

V n n V n

nnn

n n

n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n

n n

n n n n

K

d)

2

3

3

3

3 2 3

2

1 2

392 12

!392 12

3 !

1 2 392 12

3 2 392 12

283 14 392 0 14 ... nevyhovuje

3

14

V n n n

nn n

n

n n n n n

n n n n n

n n n n

K

e)

3 4

4

3

4

9 12

9 11 2

9 1 !

4 !1

!

4 !

9 1 !1

!

91

9

9

V n V n

V n

V n

V n

n

n

n

n

n

n

n

n

K


Stránka 1182

f) Podmínka 3 n

3 3

3 2 2

3 2 3 2 2

2

2

1

2

77 73 2

2 !!77 73

3 ! 5 !

1 2 77 73 2 3 4

3 2 77 73 5 6 4

3 2 150 4 5 20 6 24

6 24 126 0

4 21 0

3

7

3,4,5,6,7

V n V n

nn

n n

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n

n n

n n

n

n

K

g) Podmínka 2 n

2

2

2

1

2

6 2 3 24

!6 2 6 24

2 !

1 6 2 18

6 2 18

9 18 0

3

6

3;4;5;6

V n n n

nn n

n

n n n n

n n n n

n n

n

n

K


Stránka 1183

9.3. Permutace bez opakování

1. Kolika způsoby můžeme postavit 11 dětí do řady.

Řešení: Počet možností je počet různých uspořádání 11 prvkové množiny, tj.

11 11! 39 916 800P

2. Kolika způsoby můžeme seřadit do řady 10 chlapců a 13 dívek, aby:

a) stáli nejdříve chlapci a pak dívky,

b) stáli libovolně.

Řešení:

a) 1610 13 10!13! 2,26 10P P

b) 2223 23! 2,585 10P

3. Na polici je 5 českých knih, 6 anglických a 3 německé. Kolika způsoby je můžeme na

polici umístit tak, aby:

a) byly uloženy libovolně

b) byly nejdříve české, potom všechny ostatní

c) nejdříve české, potom, německé a nakonec anglické

Řešení:

a) 1014 14! 8,72 10P

b) 5 9 5! 9! 43 545 600P P

c) 5 6 3 5! 6! 3! 517 400P P P

4. V lavici sedí šest žáků (Adam, Bedřich, Cyril, Dan, Emil a František). Kolika způsoby je

můžeme přesadit tak, aby:

a) Adam seděl na kraji lavice

b) František a Adam seděli vedle sebe

c) Adam, Dan a Emil seděli vedla sebe

Řešení:

a) A sedí vpravo nebo A sedí vlevo 5 5 2 5! 240P P

b) Adam a František tvoří dvojici (Adam sedí vpravo nebo vlevo = 2 možnosti)

5 5 2 5! 240P P

c) Adam, Dan a Emil tvoří trojici (počet možností je 3!) 4 3! 4! 3! 144P

5. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 12 krát.

Řešení:

Původní počet prvků n počet permutací P n

Zvětšený počet prvků 2n počet permutací 2P n


Stránka 1184

2

2

1

2

12 2

12 ! 2 !

12 ! 2 1 !

12 3 2

3 10 0

2

5 ... nevyhovuje

P n P n

n n

n n n n

n n

n n

n

n


6. Kolik čtyřciferných čísel můžeme sestavit z číslic 0, 1, 2, 3? Kolik z nich je sudých? Cifry

se nemohou opakovat.

Řešení: Počet čísel 4P , musíme odečíst možnosti, ve kterých je na začátku nula 3P tj.

4 3 4! 3! 18P P

Sudá čísla končí 0 nebo 2,

čísla končící 0 3 3! 6P

čísla končící 2 3 2 3! 2! 4P P

Můžeme sestavit 18 čísel, 10 z nich je sudých.

7. Kolik šesticiferných čísel můžeme sestavit z cifer 1, 2, 3, 5, 7, 9? Kolik z nich je

dělitelných čtyřmi? Všechny cifry se mohou vyskytovat právě jednou.

Řešení: počet všech čísel 6 6! 720P

Čísla dělitelná čtyřmi končí dvojčíslím, které je dělitelné čtyřmi (12, 32, 52, 72 a 92)

5 4 5 4! 120P

Šesticiferných čísel je 720, 120 z nich je sudých.

8. Kolika způsoby můžeme zamíchat balíček 52 karet?

Řešení: 52 52!P


Stránka 1185

9.4. Kombinace bez opakování

1. V kolika bodech se protne 8 přímek v rovině, jestliže:

a) žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři se neprotínají v jednom bodě

b) 5 přímek je rovnoběžných a žádné tři se neprotínají v jednom bodě

Řešení:

a) Průsečík = dvě přímky 2 8 28K

b) Pět přímek je rovnoběžných, tj. netvoří průsečíky, musíme je tedy odečíst 2 5K

2 28 5 28 10 18K K

2. Kolik rovin je určeno 16 body, jestliže:

a) žádné 4 neleží v jedné rovině

b) 7 bodů leží v jedné rovině

Řešení:

a) jedna rovina je určena třemi body, vybíráme trojice, ve kterých nezávisí na pořadí

3 16 560K

b) 7 bodů leží v jedné rovině – 7 bodů tvoří jen jednu rovinu místo 3 7K rovin

3 316 7 1 560 35 1 526K K

3. Kolik přímek určuje 20 bodů v rovině, jestliže žádné tři neleží na jedné přímce?

Řešení: přímka je určena dvěma body – vybíráme dvojice, ve kterých nezávisí na pořadí

2 20 190K

4. Na stužkovacím plese třídy 4. A je 15 chlapců a 12 děvčat. Kolik různých tanečních párů

můžeme vytvořit?

Řešení: 15 12 180

5. Kolika způsoby můžeme vybrat čtyřčlennou skupinu ve třídě, kde je 26 žáků?

Řešení: 4 26 1490K

6. Ve skupině dětí je 8 chlapců a 4 děvčata. Kolika způsoby můžeme vybrat trojici tak, aby

v ní byli 2 chlapci a jedno děvče?

Řešení: do trojice vybereme zároveň dva chlapce z osmi a jednu dívku ze čtyř, využijeme

kombinatorické pravidlo součinu 2 110 4 45 4 180K K

7. Ve třídě je 25 žáků, 4 z nich nemají domácí úkol. Kolika způsoby můžeme vybrat pětici

žáků tak, aby mezi nimi byli nejvýše 2, kteří nemají domácí úkol?

Řešení: „nejvýše dva, kteří nemají“ = všichni mají úkol nebo jeden nemá nebo dva nemají.

Využijeme kombinatorické pravidlo součtu. Všichni mají 5 21 20349K . Jeden nemá

a zároveň 4 mají 1 44 21 23940K K . Dva nemají a zároveň 3 mají

2 34 21 7980K K


Stránka 1186

5 1 4 2 321 4 21 4 21 20349 23940 7980 52269K K K K K

8. Test přijímací zkoušky je tvořen 15 otázkami z biologie, 10 otázkami z chemie a 10

otázkami z fyziky. V databázi je 50 otázek z biologie, 50 otázek z chemie a taktéž 50

otázek z fyziky. Kolik různých testů může počítač vygenerovat?

Řešení: vybíráme zároveň 15 otázek z biologie, 10 otázek z fyziky a 10 otázek z chemie.

32

15 10 1050 50 50 2,375 10K K K

9. Na florbalovém turnaji je 7 družstev. Kolik bude celkem zápasů, jestliže bude hrát každý

s každým?

Řešení: Zápas hrají dvě družstva, při jejich výběru nezávisí na pořadí, tj. 2 7 21K

10. Ve třídě je 10 děvčat a 12 chlapců. Kolika způsoby můžeme vybrat čtveřici tak, aby v ní:

a) byla 2 děvčata a 2 chlapci

b) nebylo žádné děvče

c) byla jen děvčata

d) byli alespoň 3 chlapci

Řešení:

a) byla 2 děvčata a 2 chlapci 2 210 12 2970K K

b) nebylo žádné děvče 4 12 495K

c) byla jen děvčata 4 10 210K

d) byli alespoň 3 chlapci 3 1 412 10 12 2200 495 2695K K K

11. Četa vojáků má vyslat čtyři muže na stráž. Kolik mužů je v četě, jestliže existuje 210

možností, jimiž je možno muže vybrat?

Řešení:

Varianta 1

4 210

!210

4 !4!

1 2 3 210 4 3 2

1 2 3 7 3 5 2 4 3 2

1 2 3 10 9 8 7

10

K n

n

n

n n n n

n n n n

n n n n

n


Stránka 1187

Varianta 2

4

2 2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

210

!210

4 !4!

1 2 3 5040

3 3 2 5040

Substituce : 3

2 5040

2 5040 0

70

72

70 3

3 70 0

10

7 .... nevyhovuje

72 3

3 72 0

0 ... nemá řešení

K n

n

n

n n n n

n n n n

x n n

x x

x x

x

x

n n

n n

n

n

n n

n n

D

Četa má 10 vojáků.

12. Pokud zmenšíme počet prvků o 3, sníží se počet kombinací třetí třídy bez opakování

z nich vytvořených o 235. Určete původní počet prvků.

Řešení:

původní počet prvků n počet kombinací 3K n

zmenšený počet prvků 3n počet kombinací 3 3K n

3 3

2 2

3 2 3 2 2

2

2

1

2

235 3

3 !!235

3 !3! 6 !3!

1 2 1410 3 4 5

2 1410 7 12 5

3 2 1410 7 5 35 12 60

9 45 1350 0

5 150 0

15

10 ... nevyhovuje

K n K n

nn

n n

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n

n n

n n

n

n

Původní počet prvků byl 15.


Stránka 1188

13. Pokud zvětšíme počet prvků dvakrát, zvětší se počet kombinací třetí třídy bez opakování

z nich vytvořených desetkrát. Určete původní počet prvků.

Řešení:

původní počet prvků n počet kombinací 3K n

zmenšený počet prvků 2n počet kombinací 3 2K n

3 3

2 2

2

1

2

10 2

2 !10 !

3 !3! 2 3 !3!

10 1 2 2 2 1 2 2

5 1 2 2 1 2 2

5 3 2 4 6 2

9 8 0

8

1 ... nevyhovuje

K n K n

nn

n n

n n n n n n

n n n n

n n n n

n n

n

n


14. V bedně je 15 výrobků, z nichž 4 jsou vadné. Kolika způsoby lze vybrat 6 výrobků tak,

aby:

a) byly všechny bezvadné

b) byly právě 2 vadné

c) byly nejvýše 2 vadné

d) byly právě 4 vadné

Řešení:

a) 6 11 462K

b) 2 44 11 1980K K

c) Nejvýše 2 (0 nebo 1 nebo 2 vadné)

6 1 5 2 411 4 11 4 11 462 1848 1980 4290K K K K K

d) 2 411 4 55K K

15. Zvětší- li se počet prvků o 5, zvětší se počet kombinací bez opakování z nich vytvořených

o 90. Určete původní počet prvků.

Řešení:

2 2

2 2

90 5

5 !!90

2! 2 ! 2! 3 !

1 180 5 4

180 9 20

160 8

20

K n K n

nn

n n

n n n n

n n n n

n

n

Původní počet prvků byl 20.


Stránka 1189

16. Z kolika prvků lze vytvořit 364 kombinací třetí třídy bez opakování?

Řešení:

3

3

364

!364

3! 3 !

1 2 2184

1 2 3 2 2 2 7 13

1 2 12 13 14

14

zk : 14 364

K n

n

n

n n n

n n n

n n n

n

K


17. V krabici je 25 součástek. 5 součástek má vadu. Kolika způsoby můžeme vybrat 10

součástek tak, aby:

a) byly všechny vybrané součástky bez vady

b) byly mezi vybranými nejvýše 2 vadné

Řešení:

a) 20 součástek je bez vady, tj. 10 20 184 756K

b) 20 součástek je bez vady, 5 součástek má vadu a nejvýše dvě jsou vadné (0 vadných

nebo 1 vadná nebo 2 vadné)

10 1 9 2 820 5 20 5 20 2 284 256K K K K K

18. Učitel má 10 příkladů z geometrie a 8 příkladů z algebry. Vybírá na zkoušení tři příklady.

Kolik má možností výběru, jestliže chce, aby byly dva příklady z algebry a jeden

z geometrie?

Řešení: 2 8 10 280K

19. Učitel fyziky připravuje opakovací test. V testu budou 3 otázky z mechaniky, 4 otázky

z elektřiny a 2 otázky z optiky. Kolik bude mít různých variant testu, jestliže má

k dispozici 10 různých otázek z mechaniky, 10 otázek z elektřiny a 8 z optiky.

Řešení: V jedné variantě testu budou zároveň 3 otázky z 10, 4 otázky z 10 a 2 z 8 otázek, na

pořadí otázek nezáleží 3 4 210 10 8 705 600K K K . Učitel může sestavit 705 600

variant testu

20. V osudí jsou čísla od jedné do padesáti. Tahá se pětice čísel. Kolik různých pětic můžeme

vytáhnout?

Řešení: Vybíráme 5 čísel z 50, nezávisí na pořadí, tj. 5 50 2118 760K


Stránka 1190

9.5. Kombinační číslo

1. Vypočtěte 6 3 5 7 6 6

; ; ; ; ;1 1 2 3 4 3

.

a) Pomocí definice

b) Na kalkulačce

c) Pomocí Pascalova trojúhelníku

Řešení:

6 6!6

1 5! 1!

3 3!3

1 2! 1!

5 5! 5 410

2 3! 2! 2

7 7! 7 6 535

3 4! 3! 3 2

6 6! 6 515

4 2! 4! 2

6 6! 6 5 420

3 3! 3! 3 2

2. Vyjádřete jediným kombinačním číslem:

a) 17 17

8 9

b) 16 16

5 10

c) 11 11

6 4

d) 15 15 16

10 11 12

e) 10 10 11

4 5 6

f) 19 19 20

15 5 16

g) 10 10 11 12

4 5 6 7

h) 16 15

5 5

i) 21 21 22 23 24

5 15 15 16 17

Řešení: při řešení použijeme vztahy n n

k n k

a

1

1 1

n n n

k k k

a) 17 17 18

8 9 9

b) 16 16 16 16 17

5 10 5 6 6

c) 11 11 11 11 12

6 4 6 7 7


Stránka 1191

d) 15 15 16 16 16 17

10 11 12 11 12 12

e) 10 10 11 11 11 12

4 5 6 5 6 6

f) 19 19 20 19 19 20 20 20 21

15 5 16 15 14 16 15 16 16

g) 10 10 11 12 11 11 12 12 12 13

4 5 6 7 5 6 7 6 7 7

h) 16 15 15

5 5 4

21 21 22 23 24 21 21 22 23 24i)

5 15 15 16 17 14 15 15 16 18

22 22 23 24 23 23 24 24

15 16 17 18 16 17 18 1

24 25

7 18 18

3. Které z čísel A a B je větší?

a) 300

A50

a 301

B51

b) 81

A11

a 80

B50

Řešení: pomocí vztahu 1

1 1

n n n

k k k

a) 300 300 301

50 51 51A B

300 301A B

50 51

b) 80 80 81

50 51 51B A

81 80A B

51 50

4. Řešte rovnice s neznámou x R :

a) 8 13

5 2x

b) 16 13

4000 21625 8

x x

c) 8 4 5 7 14

515 2 1 3 4

x x


Stránka 1192

d) 10 7 6 4 8

755 758 2 3 1 5

x x x

e) 8 9 4 10 13

6 2 2 6 2x x

f) 8 10 7 16 15 14

7704 7 2 4 4 6

x x x x

g) 2

103 1

x x

x x

Řešení:

a) 8 13

5 2

56 78

78

56

39

28

x

x

x

K

b)

16 134000 2162

5 8

4368 4000 1287 2162

3081 6162

2

2

x x

x x

x

x

K

c)

8 4 5 7 1451

5 2 1 3 4

56 6 5 51 35 1001

280 30 51 35 1001

245 980

4

4

x x

x x

x x

x

x

K

d)

10 7 6 4 8755 75

8 2 3 1 5

755 45 21 20 4 56 75

776 45 1120 224 75

1000 1000

1

1

x x x

x x x

x x x

x

x

K


Stránka 1193

e)

8 9 4 10 13

6 2 2 6 2

28 36 6 210 78

168 216 210 78

42 294

7

7

x x

x x

x x

x

x

K

f)

8 10 7 16 15 14770

4 7 2 4 4 6

70 120 21 770 1820 1365 3003

1470 2520 770 1820 1365 3003

2835 567

5

5

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

K

g) podmínka 3x

210

3 1

2 ! !10

2 3 ! 3 ! 1 ! 1 !

2 10

2 2 10

6

6

x x

x x

x x

x x x x x x

x x

x

x

K

5. Řešte rovnice s neznámou x N :

a) 1 2

4 122 1

x x

x x

b) 3 4

3 192 5

x x

x x

c) 4 4

3 323 5

x x

x x

d) 352 1

x x

x x

e) 3

385 2

x x

x x

f) 1 2

93 4

x x

x x

g) 3 4

491 6

x x

x x

h) 2 5

567

x x

x x

i) 3 2

1095

x x

x x

j) 4

1001 3

x x

x x

k) 2 1

451 2

x x

x x


Stránka 1194

Řešení:

a) podmínka 2x

1 24 12

2 1

1 ! 2 !4 12

1 2 ! 2 ! 2 1 ! 1 !

4 1 2 12

4 4 2 12

3 18

6

6

x x

x x

x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

K

b) podmínka 5x

3 43 19

2 5

3 ! 4 !3 19

3 2 ! 2 ! 4 5 ! 5 !

3 3 4 19

3 3 12 19

4 28

7

7

x x

x x

x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

K

c) podmínka 5x

4 43 32

3 5

4 ! 4 !3 32

4 3 ! 3 ! 4 5 ! 5 !

3 4 4 32

3 12 4 32

2 16

8

8

x x

x x

x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

K


Stránka 1195

d) podmínka 2x

2

2

1

2

352 1

! !35

2 ! 2 ! 1 ! 1 !

135

2

2 70

3 70 0

10

7 ... nevyhovuje

x x

x x

x x

x x x x x x

x xx

x x x

x x

x

x

e) podmínka 5x

2 2

2

1

2

338

5 2

3 ! !38

3 5 ! 5 ! 2 ! 2 !

3 4 138

2 2

7 12 76

2 8 64 0

8

4 ... nevyhovuje

8

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

K

f) podmínka 4x

2 2

2

2

1

2

1 29

3 4

1 ! 2 !9

1 3 ! 3 ! 2 4 ! 4 !

1 2 2 39

2 2

3 2 5 6 18

2 8 8 18 0

4 5 0

5

1 ... nevyhovuje

5

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

K


Stránka 1196

g) podmínka 6x

2 2

3 449

1 6

3 ! 4 !49

3 1 ! 1 ! 4 6 ! 6 !

3 2 4 549

2 2

5 6 9 20 98

14 14 98

14 112

8

8

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x

x

x

K

h) podmínka 7x

2 2

2 556

7

2 ! 5 !56

2 ! ! 5 7 ! 7 !

2 1 5 656

2 2

3 2 11 30 112

14 28 112

10

10

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x

x

K

i) podmínka 5x

2 2

3 2 2 3 2 2

2

2

2

1

2

3 2109

5

3 2 1 ! 2 3 4 5 !109

3 ! ! 2 5 ! 5 !

5 6 1 5 6 4109

3! 3!

5 5 6 6 4 5 20 6 24 6 109

15 15 24 6 109

15 15 630 0

42 0

7

6 .

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

x

x

.. nevyhovuje

7K


Stránka 1197

j) podmínka 3x

2 2

3 2 3 2

2

2

2

1

2

4100

1 3

4 3 2 1 ! 1 2 3 !100

4 3 ! 1 ! 3 ! 3 !

7 12 2 3 2100

3! 3!

9 26 24 3 2 100 6

12 24 24 100 6

2 4 4 100

2 48 0

6

8 ... nevyhovuje

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x x

x

x

K

6

k) podmínka 2x

2 2

2

2

1

2

2 145

1 2

2 1 1 ! 1 1 2 !45

2 1 ! 1 ! 1 2 ! 2 !

3 2 1 45 6

3 3 45 6

90 0

9

10 ... nevyhovuje

9

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x

x x

x

x

K

6. Řešte nerovnice s neznámou x N :

a) 1

3 51

x xx

x x

b) 2 4

3 5 71 3

x xx

x x

c) 1 2

2 3 253 2 4

x x xx

x x x

d) 6 3

2 12 36 54 5 1

x x xx

x x x

e) 5 2 1

3 154 3

x x x

x x x


Stránka 1198

Řešení:

a) podmínka 1x

13 5

1

1 !!3 5

1 ! 1 ! 1 ! !

1 3 5

6

1;2;3;4;5;6

x xx

x x

xxx

x x x x x x

x x x

x

K

b) podmínka 1 0 1x x

2 43 5 7

1 3

2 ! 4 !3 5 7

2 1 ! 1 ! 4 3 ! 3 !

2 3 12 5 20

10 7

10

7

1;0;1

x xx

x x

x xx

x x x x x x

x x x

x

x

K

c) podmínka 4x

2 2 2

1 22 3 25

3 2 4

1 2 1 2 32 3 25

2! 2! 2!

3 2 2 2 5 6 6 50

46 6

23

3

4;5;6;7

x x xx

x x x

x x x x x xx

x x x x x x x

x

x

K


Stránka 1199

d) podmínka 5x

2 2

2

2

6 32 12 36 5

4 5 1

6 5 3 42 12 36 5

2 2

2 11 30 7 12 34 72

29 48 34 72

5 24 0

3;8

5;6;7;8

x x xx

x x x

x x x xx x

x x x x x

x x x

x x

x

K

e) podmínka 3x

5 2 13 15

4 3

5 3 2 1 15

3 17

17

3

3;4;5

x x x

x x x

x x x

x

x

K


Stránka 1200

9.6. Kombinace s opakováním

1. Kolik prvků dá o 49 více kombinací třetí třídy s opakováním než bez opakování?

Řešení:

3 3

2 3 2

3 2 3 2

2

2

´ 49

3 149

3 3

2 ! !49

1 !3! 3 !3!

2 1 294 1 2

3 2 294 3 2

3 2 294 3 2

6 294

49

7

K n K n

n n

n n

n n

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n

n

n

n

2. Kolika způsoby můžeme koupit pět pohlednic, jestliže v obchodě mají čtyři druhy

pohlednic v dostatečném množství?

Řešení:

Počet druhů 4n

Počet vybraných 5k

5

5 4 1 8´ 4 56

5 5K

Pohlednice můžeme koupit 56 různými způsoby.

3. Kolika způsoby můžeme vybrat 8 balíčků bonbónů, jestliže máme na výběr ze šesti

druhů? Každý druh je v dostatečném množství.

Řešení:

8

6

8

6 8 1 13´ 6 1287

8 8

n

k

K

Bonbóny můžeme vybrat 1287 různými způsoby.


Stránka 1201

4. V osudí je 10 zelených, 8 červených a 3 modré koule. Kolika způsoby můžeme vytáhnout

4 koule?

Řešení:

3n …počet druhů

4

4

3 4 1 6´ 3 1 1 1 15 1 14

4 4

k

K

Odečítáme 1, protože situace 4 modré koule nemůže nastat (modré koule jsou jen tři).

5. Kolika způsoby můžeme koupit šest koláčů, jestliže pekárna nabízí 10 druhů koláčů

v dostatečném množství?

Řešení:

6

10

6

10 6 1 15´ 10 5005

6 6

n

k

K

6. V cukrárně prodávají 8 druhů zákusků. Kolika způsoby můžeme koupit 7 zákusků?

Všechny zákusky mají po 10 kusech.

Řešení:

7

8

7

8 7 1 14´ 8 3432

7 7

n

k

K


Stránka 1202

9.7. Variace s opakováním

1. Kolik trojciferných čísel můžeme sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5? Kolik z nich je dělitelných

pěti?

Řešení: cifry se mohou opakovat

3

3

5

3

´ 5 5 125

n

k

V

Čísla dělitelná pěti musí končit číslicí 5

2

2

5

2

´ 5 5 25

n

k

V

2. Kolik pěticiferných čísel je možno sestavit z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Řešení:

5 4

5 4

7

5

´ 7 ´ 7 7 7 14406

n

k

V V

3. Kolik šestimístných telefonních čísel začínajících sedmičkou lze sestavit z cifer 0 – 9?

Řešení: 5

5´ 10 10V

4. Pro otevření trezoru je třeba určit čtveřici čísel. Kolik je možností pro určení této čtveřice?

Řešení: 4

4´ 10 10V

5. Kolik čtyřciferných čísel dělitelných pěti lze vytvořit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Řešení: 4

4´ 7 7V


Stránka 1203

9.8. Permutace s opakováním

1. V pouzdře je 6 červených pastelek, 3 žluté, 4 modré a 5 zelených. Kolika způsoby

můžeme pastelky seřadit?

Řešení: 18!

´ 6,3,4,5 5145940806! 3! 4! 5!

P

2. Kolika způsoby je možno přemístit písmena slova VEVERKA?

Řešení: 7!

2,2,1,1,1 12602! 2!

P

3. Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel sestavených z číslic 6 a 4 tak, aby se

číslice 6 vyskytovala:

a) právě čtyřikrát,

b) aspoň čtyřikrát?

Řešení.

a) 6!

4,2 154! 2!

P

b) 6! 6!

4,2 5,1 1 1 15 6 1 224! 2! 5!

P P

4. Kolika způsoby můžeme přemístit písmena slova matematika?

Řešení: 10!

3,2,2,1,1,1 1512003! 2! 2!

P


Stránka 1204

9.9. Binomická věta

1. Umocněte pomocí binomické věty 4

2a .

Řešení:

4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 2 1

4 4 4 4 42 2 2 2 2 8 24 32 16

0 1 2 3 4a a a a a a a a a


2a .

Řešení:

4 1 2 3 44 3 2 1 4 3 2 1

4 4 4 4 42 2 2 2 2 8 24 32 16

0 1 2 3 4a a a a a a a a a


2a b .

Řešení:

5 1 2 3 4 55 4 3 2

5 4 3 2 2 3 4 5

5 5 5 5 5 52 2 2 2 2 2

0 1 2 3 4 5

10 40 80 80 32

a b a a b a b a b a b b

a a a b a b ab b


3a b .

Řešení:

6 1 2 3 4 5 66 5 4 3 2

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 6 6 6 6 6 63 3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6

6 3 15 9 20 27 15 81 6 243 729

18 135 540 1215 1458 729

a b a a b a b a b a b b a b

a a b a b a b a b a b b

a a b a b a b a b ab b

5. Umocněte pomocí binomické a Moivreovy věty komplexní číslo 5

1i .

Řešení:

Binomická věta

4 2 3 44 3 2 1

4 4 4 4 41 1 1 1 1

0 1 2 3 4

1 4 6 4 1 4

i i i i i

i i

Moivreova věta

4

4

1

3 32 cos sin

4 4

12 122 cos sin 4 cos sin 4 1 0 4

4 4

z i

z i

z i i i


Stránka 1205

6. Kolik členů obsahuje binomický rozvoj 35

1 5x ?

Řešení: 36 členů

7. Kolik členů obsahuje binomický rozvoj 18

2 3y ?

Řešení: 19 členů

8. Napište desátý člen binomického rozvoje

20

2

1x

x

a upravte jej.

Řešení: 9

11 11 18 7

2

20 1167960 167960

9x x x x

x

9. Napište třetí člen binomického rozvoje 15

2a b a upravte jej.

Řešení: 213 13 2 13 2

153. člen : 2 105 4 420

2a b a b a b

10. Napište sedmý člen binomického rozvoje komplexního čísla 19

3 20i a upravte jej.

Řešení: 611 11 6 2 11 6

197. člen : 3 20 27132 3 20 27132 3 20

6i i

11. Napište dvanáctý člen binomického rozvoje komplexního čísla 13

1 i a upravte jej.

Řešení: 13 12

1312. člen : 1 78 1 78

11i i i

12. Napište pátý člen binomického rozvoje 8

2 3x a upravte jej.

Řešení: 84 8

85. člen : 2 3 70 16 6561

4x x

13. Napište šestý člen binomického rozvoje komplexního čísla 9

1 2i a upravte jej.

Řešení: 54

96. člen : 1 2 126 32 4032

5i i i

14. Napište třetí člen binomického rozvoje 7

3 x a upravte jej.

Řešení: 5 2 2 27

3. člen : 3 21 243 51032

x x x


Stránka 1206

15. Který člen binomického rozvoje

6

2

23x

x

je prostý?

Řešení:

6 6 0

2

6 6 6 0

2

6 2 0

6 3 0

6 62člen 1: 3 3 2

6 613 2 3 2

2

3. člen

kk kk

kk kk k k

k k

k

k x xk kx

x xk kx

x x x

x x

k

16. Který člen binomického rozvoje 5

35 2x x obsahuje 5x ?

Řešení:

5

3

15 3 52

5člen 1: 5 2

15 3 52

30 6 10

20 5

4

5. člen

kk

k

k

k x xk

x x x

kk

k k

k

k


10

3

23a

a

obsahuje

2a?

Řešení:

10 10 2

3

10 3 2

10 101člen 1: 3 3 1

10 3 2

12 4

3

4. člen

kk kk

k k

k a ak ka

a a a

k k

k

k


Stránka 1207


123

xx x

a) neobsahuje x

b) obsahuje 4x ?

Řešení:

a)

120

312022

12 123člen 1: 3

12 30

2 2

3 4. člen neobsahuje

kk k

kk

k x xk kx x

x x x

k k

k x

b)

124

312422

4

12 123člen 1: 3

12 34

2 2

12 4 8


kk k

kk

k x xk kx x

x x x

k k

k

k x

19. Určete, který člen binomického rozvoje

10

2

15 x

x

neobsahuje x.

Řešení:

10

0

2

110

2 02

20 202

10 101člen 1: 5 5

20 2 02

40 4 0


kk k

k

k

kk

k x xk kx

x x x

x x

kk

k k

k x


Stránka 1208

20. Určete, který člen binomického rozvoje

8

3

52x

x

neobsahuje x.

Řešení:

8 8 0

3

8 0

3

8 85člen 1: 2 2 5

1

8 3 0


kk kk

kk

k x xk kx

x xx

k k

k x

21. V rozvoji výrazu

10

3 4x

x x

zjistěte existenci prostého členu.

Řešení: Předpokládejme, že 1k člen je prostý

10

03

101 3

03 2

10 104člen 1: 4

10 30

3 2

20 2 9 0

20 11

20není přirozené číslo

11

kk k

k k

k x xk kx x

x x x

k k

k k

k

k

Žádný člen není prostý.

22. V rozvoji výrazu

15

3

4 3x

x x

zjistěte existenci prostého členu.

Řešení: Předpokládejme, že 1k člen je prostý

153 15 0

153 0

45 3 02

15 15člen 1: 4 3 4 3

90 6 2 0

90 5 0

18 18 15 ..... nevyhovuje

k

kk k

k

k

k

k k

xk x x

k kx

xx x

x

x x x x

k k k

k

k

Prostý člen v tomto rozvoji neexistuje.


Stránka 1209

23. Najděte všechny členy binomického rozvoje, které jsou racionálními čísly, jestliže:

a) 6

3 2

b) 9

2 7

Řešení:

a)

6

6 42

24

1. člen ..... 3 27

63 2 3. člen ..... 3 2

2

65. člen ..... 3 2

4

b)

9 9 8 7 2 6 3

5 4

9 9 92 7 2 2 7 2 7 2 7

1 2 3

92 7 ...

4

žádný člen rozvoje není racionální

24. Užitím binomické věty a Moivreovy věty odvoďte vzorce pro sin 2x , cos2x , sin 4x ,

cos4x .

Řešení:

Podle Moivreovy věty:

2

cos sin cos2 sin 2x i x x i x

Podle binomické věty:

2 22 2 2cos sin cos 2 sin cos sin cos 2 sin cos sinx i x x i x x i x x i x x x

Porovnáním obou vět získáme: 2 2

2 2

cos 2 sin 2 cos 2 sin cos sin

cos 2 cos sin

sin 2 2sin cos

x i x x i x x x

x x x

x x x

Podle Moivreovy věty:

4

cos sin cos4 sin 4x i x x i x

Podle binomické věty:

4 24 3 2 3

4 4 3 2 2 4

4 4 4 4cos sin cos sin cos cos sin cos ( sin )

0 1 2 3

4( sin ) cos 4 sin cos 6cos sin 4 cos sin sin

4

x i x x i x x x i x x i x

i x x i x x x x i x x x

Porovnáním obou vět získáme: 4 4 2 2 4

4 3

cos cos 6cos sin sin

sin 4sin cos 4cosxsinx

x x x x x

x x x


Stránka 1210

25. Dokažte pomocí binomické věty, že číslo 10 1n je dělitelné devíti.

Řešení:

2 3 4

2 1

10 1 1 9 1 1 9 9 9 9 ... 9 11 2 3 4

9 9 9 ... 91 2 3

nn n

n

n n n n

n n n

26. Dokažte pomocí binomické věty, že číslo 8 1n je dělitelné sedmi.

Řešení:

2 3

2 1

8 1 1 7 1 1 7 7 7 ... 7 11 2 3

7 7 7 ... 71 2 3

nn n

n

n n n

n n n

27. Dokažte, že 11 1

10

n je celé číslo.

Řešení:

1 2

1 2 3

11 1;

10

11 1 10

11 1 10 1 1 10 10 10 10 1 11 2 1

10 10 10 10 1 101 2

n

n

nn n n n

n n n

k

k k Z

k

n n n

n

n nk

28. Dokažte, že 13 1

4

n je celé číslo.

Řešení:

2

2 1

13 1;

4

13 1 4

13 1 1 12 1 1 12 12 12 11 2

4 3 12 12 12 41 2 3

n

n

nn n

n

k

k k Z

k

n n

n n nk


Stránka 1211

29. Pro jaké x je v rozvoji výrazu

71

xx

čtvrtý člen roven 175?

Řešení: 4

37 1

4. člen.... 353

35 175

5

x xx

x

x


201

2x

x

patnáctý člen roven 323?

Řešení:

20 6

147

6

201 1 138760 4845

14 82 2

4845 323

1

15

x x x xxx x

x

x


9

3,

12x

x

třetí člen roven 576?

Řešení:

2

7

3

7 7

6

9 12 576

2

12 16

1

8

xx

xx

x


Stránka 1212

10. Pravděpodobnost

1. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo?

Řešení: 3 1

( )6 2

P A

2. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo menší než tři?

Řešení:

1;2

2 1( )

6 3

A

P A

3. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou číslo větší než čtyři?

Řešení:

5;6

2 1( )

6 3

A

P A

4. Hodíme čtyřikrát mincí. Vyjmenujte výsledky příznivé následujícím jevům: A „padne

právě jednou líc“, B „padne čtyřikrát stejná strana mince“, C „padne aspoň třikrát rub“?

Řešení:

; ; ; , ; ; ; , ; ; ; , ; ; ;A L R R R R L R R R R L R R R R L

; ; ; , ; ; ;B R R R R L L L L

; ; ; , ; ; ; , ; ; ; , ; ; ; , ; ; ;C L R R R R L R R R R L R R R R L R R R R

5. V tombole je 450 losů. 10 losů vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že při koupi 5 losů

všechny losy vyhrají?

Řešení:

5

5

9

... (450)

... (10)

10

5( ) 1,7 10

450

5

n K

A m K

P A


Stránka 1213

6. Ve třídě je 30 žáků, 8 žáků nemá domácí úkol. Učitel vyvolá k tabuli 4 žáky. Jaká je

pravděpodobnost, že dva žáci u tabule nemají domácí úkol?

Řešení:

4

2 2

... (30)

... (8) (22)

8 22

2 2( ) 0,24

30

4

n K

A m K K

P A

7. V dodávce je 50 výrobků, 5 z nich je vadných. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru 10

součástek bude právě jedna vadná?

Řešení:

10

9 1

... (50)

... (45) (5)

455

5( ) 0,43

50

10

n K

A m K K

P A

8. V bedně je 35 součástek, z nich je 7 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru čtyř

součástek bude nejvýše jedna vadná?

Řešení:

4

1 3 4

... (35)

... (7) 28 (28)

7 28 28

1 3 4( ) 0,83

35

4

n K

A m K K K

P A

9. Hodíme dvěma kostkami modrou a červenou. Jaká je pravděpodobnost, že na modré

kostce padne mešní číslo než na červené?

Řešení:

15 5

36 12P A


Stránka 1214

10. Jaká je pravděpodobnost, že libovolné dvojciferné je dělitelné:

a) deseti,

b) pěti?

Řešení:

a) deseti

2... (10) 9

... 9

9 9( )

100 9 91

n V

A m

P A

b) pěti

2... (10) 9

... 18

18 18( )

100 9 91

n V

B m

P B

11. Při výrobě 1 000 kusů radiátorů bylo 12 kusů zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že určitý

výrobek je vadný?

Řešení:

... 1000

... 12

12( ) 0,012

1000

n

A m

P A

12. Jaká je pravděpodobnost, že libovolné dvojciferné číslo je:

a) dělitelné čtyřmi,

b) není dělitelné čtyřmi?

Řešení:

a) dělitelné čtyřmi

2... (10) 9 91

... 22

22( ) 0,24

91

n V

B m

P B

b) není dělitelné čtyřmi?

Opačný jev k a) ( ) 1 ( ) 0,76P A P A

13. Střelec zasáhl terč 97 krát ze sta výstřelů. Jaká je pravděpodobnost, že cíl nezasáhne?

Řešení:

A…zásah

A’…nezásah = jev opačný k A

97( ) 0,97

100

( )́ 1 ( ) 1 0,97 0,03

P A

P A P A


Stránka 1215

14. V tombole je 300 losů. Jaká je pravděpodobnost hlavní výhry je při koupi 10 losů?

Řešení:

10

9

... (300)

... (299)

2991

9( ) 0,03

300

10

n K

A m K

P A

15. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne na obou kostkách:

a) pětka

b) sudé číslo?

Řešení:

a) pětka 2

2... (6) 6

... 1 1

1( ) 0,28

36

n V

A m

P A

b) sudé číslo 2

2

2

2

... (6) 6

... (3) 3

9( ) 0,25

36

n V

A m V

P A

16. Hodíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že:

a) padne právě jednou jednička,

b) padne alespoň jednou jednička,

c) padne nejvýše jednou jednička?

Řešení:

a) padne právě jednou jednička

A…1. hod padne jednička, 2. hod nepadne, A=1·5

B…1. hod nepadne jednička, 2. hod padne, B=5·1

5 5( ) 0,28

36 36P A B

b) Padne alespoň jednou jednička

Jev opačný k nepadne jednička (A’)

5 5( ) 1 ( ) 1 0,31

36P A P A

c) Padne nejvýše jednou jednička

A…nepadne ani jednou

B…padne právě jednou


Stránka 1216

25( )

36

10( )

36

25 10( ) 0,97

36

P A

P B

P A B

17. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne:

a) součet pět,

b) součet menší než pět?

Řešení:

a) součet pět

A…součet 5=1+4; 4+1; 2+3; 3+2

2... (6) 36

4( ) 0,11

36

n V

P A

b) součet menší než šest

Součet je 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

36 36 36 36

1 2 3 4( ) 0,28

36

P A P A P A P A

P A A A A

18. Hodíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že:

a) padne třikrát jednička

b) padne nejvýše jednou jednička

c) padne alespoň jednou jednička

d) padne třikrát liché číslo

Řešení:

a) padne třikrát jednička 3

3... (6) 6

... 1 1 1 1

1( )

216

V

A m

P A

Druhé řešení: nezávislé jevy

1 1 1 1( )

6 6 6 216P A

b) padne nejvýše jednou jednička

nepadne ani jednou

padne právě jednou

1 5 5 5 1 5 5 5 1 75( )

216 216 216 216P A


Stránka 1217

c) padne alespoň jednou jednička

jev opačný- napadne ani jednou

5 5 5 125( )

216 216P A

d) padne třikrát liché číslo 33 1

( )216 8

P A

19. Hodíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při prvním hodu padne sudé číslo,

při druhém liché číslo a při třetím padne dvojka?

Řešení:

3 3 1 9( )

216 216P A B C

20. Hodíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při prvním hodu padne šestka, při

druhém jednička nebo dvojka a při třetím pětka nebo šestka?

Řešení:

1 2 2 1( )

216 54P A B C

21. Hodíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při první hodu padne liché číslo

a při druhém padne šestka?

Řešení:

3 1 3 1( )

36 36 12P A B

22. V osudí je 300 losů. 10 losů vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že získáte aspoň jednu

výhru, pokud si koupíte:

a) 8 losů

b) 15 losů

Řešení:

a) Jev opačný – nezískáte žádnou výhru Á

290

8( ) 1 1 0,24

300

8

P A P A

b)

290

15( ) 1 1 0,4

300

15

P A P A


Stránka 1218

23. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet jedenáct?

Řešení:

2( ) 0,056

36P A

24. Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky uhodnete jedno číslo?

Řešení:

43 6

5 1( ) 0,41

49

6

P A

25. Z balíčku 32 karet vytáhneme náhodně 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi

bude alespoň jedno eso?

Řešení:

Jev opačný – žádné eso

28

3( ) 1 0,34

32

3

P A

26. Vsadíme jednu sázenku sportky, jaká je pravděpodobnost, uhádneme alespoň jedno z šesti

tažených čísel?

Řešení:

Jev opačný – neuhádneme žádné číslo Á

43

6( ) 1 0,56

49

6

P A

27. Ve třídě je 26 žáků, 4 žáci nejsou připraveni ne vyučovací hodinu. Učitel vyzkouší dva

žáky. Jaká je pravděpodobnost, že budou:

a) oba připraveni,

b) oba nepřipraveni?

Řešení:

a)

22

2( ) 0,71

26

2

P A


Stránka 1219

b)

4

2( ) 0,02

26

2

P A

28. V obchodě mají 20 kusů mobilních telefonů, tři kusy jsou vadné. Pan Novák si koupí

jeden mobilní telefon. Jaká je pravděpodobnost, že nebude vadný?

Řešení:

17( ) 0,85

20P A

29. Z balíčku 32 karet vytáhneme náhodně dvě karty. Jaká je pravděpodobnost, že obě budou

esa nebo obě karty budou pikové?

Řešení:

4 8

2 2( ) 0,07

32

2

P A

30. Ve třídě je 25 studentů. Mezi nimi jsou Alena a Bětka. Učitel ve třídě vybere náhodně

libovolnou trojici studentů. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými studenty bude

Alena nebo Bětka?

Řešení:

23( ) 0,01

25

3

P A

31. Jaká je pravděpodobnost, že libovolně vybrané dvojciferné číslo je dělitelné dvěma nebo

pěti?

Řešení:

45 18 9( ) 0,6

90 90 90P A

32. Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo číslo menší než 12.

Řešení:

11( ) 0,22

49P A


Stránka 1220

33. Ve skupině je 8 děvčat a 10 chlapců. Jaká je pravděpodobnost, že mezi třemi náhodně

vybranými jsou dvě děvčata a jeden chlapec?

Řešení:

8 10

2 1( ) 0,34

18

3

P A

34. Ve třídě je 24 žáků, mezi nimi je Adam a David. Vybereme náhodně volejbalové

družstvo. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude:

a) Adam

b) David

c) Adam a David

d) Adam nebo David

e) Adam ano, David ne?

Řešení:

a)

23

5( ) 0,25

24

6

P A

b)

23

5(B) 0,25

24

6

P

c)

22

4(C) 0,54

24

6

P

d)

23 231

5 5(D) 0,5

24

6

P

e)

22

5( ) 0,2

24

6

P E


Stránka 1221

35. V osudí je 5 červených koulí, 8 modrých a 6 zelených. Vytáhneme náhodně dvě koule.

Jaká je pravděpodobnost, že

a) obě vytažené koule budou modré,

b) je mezi vytaženými koulemi právě jedna zelená,

c) mezi vytaženými koulemi není žádná červená?

Řešení:

a)

8

2( ) 0,16

19

2

P A

b) 6 13

( ) 0,4619

2

P A

c)

14

2( ) 0,53

19

2

P A

36. V osudí je 12 koulí, ze kterých jsou 4 zelené. Vytáhneme nejednou tři koule. S jakou

pravděpodobností:

a) není mezi vytaženými žádná zelená,

b) je mezi vytaženými koulemi alespoň jedna zelená,

c) jsou mezi vtaženými koulemi alespoň dvě zelené?

Řešení:

a)

8

3( ) 0,25

12

3

P A

b) Jev opačný – žádná zelená (B) 1 1 0,25 0,75P P B

c)

4 48

2 3( ) 0,24

12

3

P C


Stránka 1222

37. V osudí je 6 modrých, 5 červených a 7 žlutých koulí. Vytáhneme postupně tři koule. Po

každém tahu kouli vracíme kouli. Jaká je pravděpodobnost, že:

a) Druhá vytažená koule bude modrá,

b) Třetí vytažená koule bude žlutá nebo modrá?

Řešení:

a) 6

( ) 0,3318

P A

b) 6 7

( ) 0,7218

P A

38. Střelec zasáhne cíl 17 krát z dvaceti ran.

a) S jakou pravděpodobností zasáhne cíl alespoň jedenkrát ze tří ran,

b) S jakou pravděpodobností zasáhne cíl alespoň dvakrát ze tří ran.

c) S jakou pravděpodobností nezasáhne cíl ani jednou ze tří ran?

Řešení:

a) Jev opačný – nezasáhne cíl ani jednou3 27

( ) 1 0,15 1 0,9978000

P A

b) 3 2( ) 0,85 0,85 0,15 0,72P B

c) 3 27( ) 0,15

8000P B

39. Dva střelci střílí nezávisle na sobě na cíl. První trefí cíl s pravděpodobností 0,9, druhý trefí

cíl s pravděpodobností 0,75.

a) S jakou pravděpodobností oba trefí cíl,

b) s jakou pravděpodobností právě jeden trefí cíl?

Řešení:

a) ( ) 0,9 0,75 0,675P A

b) ( ) 0,9 0,25 0,1 0,75 0,3P B

40. Test zkoušky obsahuje 10 otázek. Žák vybírá z odpovědí a, b, c, d u každé otázky. Jaká je

pravděpodobnost, že žák odpoví 6 otázek správně, volí-li odpovědí zcela náhodně?

Řešení:

Správná odpověď ….. 0,25p

Špatná odpověď……... 0,75q

Počet otázek 10n

Počet správných odpovědí 6k

6 410

( ) 0,25 0,75 0,0166

P A


Stránka 1223

41. Lék úspěšně vyléčí 78 % případů nemoci. Jaká je pravděpodobnost, že se vyléčí alespoň

devatenáct pacientů z dvaceti, kterým je lék podán?

Řešení:

0,78p

0,22q

20n

19;20k

19 1 2020

0,78 0,22 0,78 0,04619

P A

42. Klíčivost semen petržele je 92 %. Vypočítejte pravděpodobnost, že vyklíčí aspoň 27

semen ze třiceti zasetých.

Řešení:

0,92p

0,08q

30n

27;28;29;30k

27 3 28 2 29 2 3030 30 30 30

0,92 0,08 0,92 0,08 0,92 0,08 0,9227 28 29 30

0,082

P A

43. V rodině je pět dětí. Jaká je pravděpodobnost, že rodina má a) pět synů, b) dvě dcery a tři

syny, c) jednu dceru a čtyři syny? Pravděpodobnost narození syna a dcery je stejná.

Řešení:

a)

5

0,5

0,5

5

5

5 10,5

5 32

p

q

n

k

P A

b)

3 2

0,5

0,5

5

3

5 50,5 0,5

3 16

p

q

n

k

P A


Stránka 1224

c)

4

0,5

0,5

5

4

5 50,5 0,5

4 32

p

q

n

k

P A

44. Při zkoušení pevnosti drátu vyrobeného na dvou různých strojích se ukázalo, že drát

vyrobený na prvním stroji vydržel zkoušený tah s pravděpodobností 0,86, drát z druhého

stroje jen s pravděpodobností 0,72. Jaká je pravděpodobnost, že oba vzorky vydrží

současně požadované napětí?

Řešení:

0,86 0,72 0,6192P A

45. Basketbalista střílí trestné hody s úspěšností 0,85. jaká je pravděpodobnost, že z dvaceti

vystřelených hodů bude 18 krát úspěšný?

Řešení:

18 2

0,85

0,15

20

18

200,85 0,15 0,23

18

p

q

n

k

P A

46. Pravděpodobnost, že žárovky vydrží 1 500 hodin svítit, je 0,3. Jaká je pravděpodobnost,

že právě jedna z pěti žárovek vydrží svítit 1 500 hodin?

Řešení:

1 4

0,3

0,7

5

1

50,3 0,7 0,36

1

p

q

n

k

P A


Stránka 1225

47. Pravděpodobnost vyrobení zmetku je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že mezi deseti

vybranými výrobky budou všechny výrobky bez vady?

Řešení:

10

0,8

0,2

10

10

100,8 0,1

10

p

q

n

k

P A

48. Obvod je složen z deseti stejných žárovek, které jsou spojeny sériově. Jaká musí být, že

každá žárovka vydrží svítit 1000 hodin, aby pravděpodobnost, že obvodem prochází proud

po dobu 1000 hodin, byla 0,8?

Řešení: 10 0,8

0,98

p

p

49. Tři lukostřelci střílejí současně do terče. Pravděpodobnost, že první lukostřelec zasáhne cíl

je 0,7, pravděpodobnost, že druhý zasáhne cíl, je 0,8 a pravděpodobnost, že terč zasáhne

třetí, je 0,6. Jaká je pravděpodobnost, že a) první dva terč zasáhnout a třetí ne, b) právě

dva zasáhnou cíl, c) všichni tři zasáhnou cíl, d) aspoň jeden se trefí do terče?

Řešení:

a) 0,7 0,8 0,4 0,224P A

b) 0,7 0,8 0,4 0,7 0,2 0,6 0,3 0,8 0,6 0,452P B

c) 0,7 0,8 0,6 0,336P C

d) Jev opačný D´– nikdo netrefí terč, 1 0,3 0,2 0,4 0,024P D

50. Pravděpodobnost, že se v elektrickém obvodu zvýší napětí pro měřící přístroj je 0,05

Pravděpodobnost poruchy měřícího přístroje je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že se zvýší

napětí a přístroj přestane pracovat?

Řešení:

0,2 0,05 0,01P A

51. Elektrický obvod se skládá ze dvou žárovek zapojených paralelně, ke kterým je zapojena

sériově třetí žárovka. Spolehlivost každé žárovky je 0,8. jaká je pravděpodobnost, že bude

svítit aspoň jedna žárovka?

Řešení:

0,8 0,8 0,8 0,8 0,96P A B paralelní zapojení

Pro celý obvod 0,96 0,8 0,768P C


Stránka 1226

11. Statistika

1. Následující tabulka představuje statistický soubor, jako výsledek statistického šetření.

Příjmení a jméno věk děti povolání pes

počet

dní

výška

cm

Bláha Rostislav 29 2 řidič ano 15 168

Novák Jan 48 1 OSVČ ano 10 189

Kohen Jiří 52 0 dělník ano 12 192

Pařízek Jiří 19 0 prodavač ne 10 179

Kovářová Romana 25 0 účetní ne 1 171

Bušinová Jarmila 22 0 student ne 15 165

Hradečný Alois 26 1 advokát ano 15 152

Kopecký František 33 1 lékař ano 12 158

Látal František 23 1 student ne 1 178

Pokorná Anna 38 2 úřednice ne 4 162

Koutná Božena 49 2 tiskařka ne 22 169

Fialová Vlasta 66 3 herečka ano 0 195

Božetěchová Jarmila 75 3 důchodkyně ne 0 177

Zuzaňáková Monika 41 1 OSVČ ano 0 162

Martinovská Iveta 45 2 bioložka ano 15 165

Pokorný Daniel 28 1 vědkyně ano 9 164

Návělek Vojtěch 61 3 veter. lékař ne 14 170

Návělková Michaela 22 1 studentka ne 7 162

Kadlecová Julie 29 0 dělnice ne 13 180

Adamec Jan 34 2 zahradník ne 8 149

Pavelka Matěj 34 2 kuchař ne 8 192

Pavelčák Michal 31 2 učitel ano 15 190

Brouček Libor 52 2 ICT special. ano 22 188

Blažený Pavel 18 0 dělník ne 11 175

Syrový Radoslav 19 0 dělník ne 15 189

Buriánek Otmar 68 4 konstruktér ano 4 168

Valentová Lucie 54 1 manažerka ano 2 185

Zedníček Petr 35 0 poradce ne 7 172

Martínek Benjamín 72 2 důchodce ne 13 178

Fiurášek Bořislav 78 2 důchodce ne 0 165

Šedivý Svatopluk 63 2 ekonom ano 4 189

a) Rozhodněte, zda se jedná o statistický soubor, určete statistické jednotky, rozsah

statistického souboru a druhy statistických znaků

b) Roztřiďte jednotky z tabulky podle pohlaví a věku

c) Roztřiďte jednotky z tabulky podle výšky

d) Určete průměrný věk statistických jednotek

e) Určete průměrnou výšku respondentů

f) Určete průměrný počet dní

g) Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot statistického znaku

pes

h) Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot znaku počet dětí


Stránka 1227

Řešení:

a) Rozhodněte, zda se jedná o statistický soubor, určete statistické jednotky, rozsah

statistického souboru a druhy statistických znaků

- jde o statistický soubor

- statistické jednotky jsou jednotliví lidé

- rozsah statistického souboru - 31

- druh znaku:

věk - kvantitativní

počet dětí – kvantitativní

povolání – kvalitativní

pes – kvalitativní

počet dní – kvantitativní

výška – kvantitativní

b) Roztřiďte jednotky z tabulky podle pohlaví a věku

věk muži ženy celkem

18-20 3 0 3

21-30 4 4 8

31-40 5 1 6

41-50 1 3 4

51-60 2 1 3

61-70 3 1 4

71 a více 2 1 3

c) Roztřiďte jednotky z tabulky podle výšky

výška celkem

140-150 1

151-160 2

161-170 11

171-180 8

181-190 6

191-200 3

d) Určete průměrný věk statistických jednotek

1 2

1

... 1 nn

i

i

x x xx x

n n

1289

31x

41,58065 41,58x let

e) Určete průměrnou výšku respondentů

1 2

1

... 1 nn

i

i

x x xx x

n n

5398174,129 174,13 cm

31x


Stránka 1228

f) Určete průměrný počet dní

1 2

1

... 1 nn

i

i

x x xx x

n n

2849,16129 9,16 dní

31x

g) Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot statistického znaku

pes

četnost in – počet výskytů hodnoty u určitého znaku

relativní četnost i – jaká část souboru má danou hodnotu znaku ii

n

n

pes ano ne

četnost 14 17

relativní četnost 14

45 %31

17

55 %31

h) Určete absolutní a relativní četnost výskytu jednotlivých hodnot znaku počet dětí

děti 0 1 2 3 4

absolutní četnost 8 8 11 3 1

relativní četnost

80,26 26 %

31

80,26

31

26 %

110,35

31

35 %

30,31

31

31 %

10,03

31

3 %

2. Skupina 20 dětí odpovídala na tři otázky. Počet správných odpovědí jednotlivých dětí

znázorňuje následující tabulka.

1 1 3 2 1 0 1 2 1 1 1 0 2 1 1 3 1 1 2 1

Uspořádejte tyto výsledky podle četností výskytu.

Řešení:

hodnota znaku 0 1 2 3

absolutní četnost 2 12 4 2

relativní četnost

20,1 10 %

20

120,6 60 %

20

40,2 20 %

20

20,1 10 %

20

3. Při opakovaných hodech kostkou jsme získali následující výsledky:

1 3 2 3 5 3 6 4 1 5 3 2 4 6 3

6 1 5 4 3 2 1 4 5 1 4 2 6 3 5

Uspořádejte tyto výsledky podle četností výskytu.

Řešení:

hodnota znaku 1 2 3 4 5 6

absolutní četnost 5 4 7 5 5 4

relativní četnost

50,1785

28

18 %

40,1429

28

14 %

70,25

28

25 %

50,1785

28

18 %

50,1785

28

18 %

40,1429

28

14 %


Stránka 1229

4. Graf zobrazuje histogram četností výšky respondentů statistického šetření.

Sestavte kruhový diagram zastoupení jednotlivých výšek. Jak velký bude středový úhel

jednotlivých výsečí?

Řešení: Úhel výseče je možno spočítat pomocí relativní četnosti v procentech podle vztahu:

360

100

k

, nebo pomocí relativní četnosti vyjádřené desetinným číslem podle vztahu:

360k

výška 140-150 151-160 161-170 171-180 181-190 191-200

absolutní

četnost 1 2 11 8 6 3

relativní

četnost

10,03

31

20,06

31

110,35

31

80,26

31

60,19

31

30,1

31

úhel

1360

31

12

2360

31

23

11360

31

128

8360

31

93

6360

31

69

3360

31

35

0

2

4

6

8

10

12

140-150 151-160 161-170 171-180 181-190 191-200

Výška v cm

Výška v cm

140-150

151-160

161-170

171-180

181-190

191-200


Stránka 1230

5. U souboru 50 dětí mateřské školy byly zaznamenány počty jejich sourozenců. Tabulka

udává četnosti počtů sourozenců dětí. Určete průměrný počet sourozenců těchto dětí.

počet sourozenců 0 1 2 3 4 5

četnost výskytu 10 28 11 1 0 0

Řešení:

1

1 0 10 1 28 2 11 3 11,06

50

n

j j

j

x x nn

6. Při kontrole množství sirupu v 1litrové láhvi byly zjištěny následující hodnoty v litrech:

0,97 0,97 1,01 1,03 0,98 0,98 1,01 1 1,08 0,98

0,99 1,02 0,98 0,97 1,01 1,01 1,01 1 1,01 0,99

1,01 0,98 0,95 0,98 1,02 1,02 0,99 0,99 0,98 1,02

1,05 1,01 1,03 1 0,97 1,01 0,96 0,96 0,97 0,99

Sestavte tabulku četnosti a spočítejte aritmetický průměr naplněnosti láhví.

Řešení:

množství 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08

četnost 1 2 5 7 5 3 9 4 2 0 1 0 0 1

1

1

1 0,95 2 0,96 5 0,97 7 0,98 5 0,99 3 1 9 1,01 4 1,02 2 1,03 1 1,05 1 1,08

40

litr0,99725 0, ů997

n

j j

j

x x nn

7. Brigádníci sbírali borůvky. Vedoucí zaznamenal, jaké množství borůvek brigádníci

nasbírali. Výsledek zobrazuje následující tabulka.

počet litrů 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

počet brigádníků 8 2 5 6 5 10 8

Určete:

a) průměrnou hodnotu

b) modus

c) medián

Řešení:

a) průměrnou hodnotu

1

1

2,5 8 3 2 3,5 5 4 6 4,5 5 5 10 5,5 8 1844,18

44 44

n

j j

j

x x nn

b) modus

Mod( ) 5x

c) medián

Med( ) 4x


Stránka 1231

8. Při měření tělesné výšky žáků 3. A byly naměřeny následující hodnoty v cm:

130 140 136 141 139 133 149 151 139 136 138 142 127 147 139 135 141 143 132 146 15

1 146 141 141 131 142 141.

a) Rozdělte děti podle tělesné výšky do intervalů po 5 cm

b) na základě tohoto rozdělení určete průměrnou výšku

b) na základě tohoto určete modus znaku

c) na základě tohoto určete medián znaku

Řešení:

a) Rozdělte děti podle tělesné výšky do intervalů po 5 cm

střed

intervalu 125 130 135 140 145 150

počet

dětí 1 3 4 12 4 3

b) na základě tohoto určete průměrnou výšku

1

1

125 1 130 3 135 4 140 12 145 4 150 3 3765139,4 cm

27 27

n

j j

j

x x nn

c) na základě tohoto určete modus znaku

Mod( ) 140 cmx

d) na základě tohoto určete medián znaku

Med( ) 137,5 cmx

9. Tabulka uvádí počty bodů získané dětmi na letním táboře rozdělené podle četnosti.

75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

5 4 8 8 2 1 5 6 12 15

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

11 13 15 7 3 5 2 0 2 1

Určete:

a) průměrný počet bodů

b) modus

c) medián

Řešení:


1

1

75 5 76 4 77 8 78 8 79 2 80 1 81 5

127

82 6 83 12 84 15 85 11 86 13 87 15 88 7

127

89 3 90 5 91 2 92 0 93 2 94 1 1046382,39 cm

127 127

n

j j

j

x x nn


Stránka 1232

b) modus

1

2

Mod( ) 84 cm

Mod( ) 87 cm

x

x

c) medián

Med( ) 84,5 cmx

10. Tabulka uvádí rozdělení finančních odměn v Kč mezi skupinu zaměstnanců podle

četnosti.

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

5 5 10 12 8 10 2 4 7

Určete:

a) průměrnou výši odměny

b) modus

c) medián

Řešení:


1

1

500 5 600 5 700 10 800 12 900 8 1000 10 1100 2 1200 4 1300 7

63

55400879,37 Kč

63

n

j j

j

x x nn

b) modus

Mod( ) 800 Kčx

c) medián

Med( ) 900 Kčx

11. Tabulka uvádí naměřené hodnoty průměru kuličky v mm.

3,12 3,10 3,11 3,12 3,09 3,11 3,12 3,13 3,09 3,10

Určete:

a) odchylky měření

b) průměrnou odchylku

c) relativní průměrnou odchylku

d) variační rozpětí

e) rozptyl

f) směrodatnou odchylku

g) variační koeficient

Řešení:


3,109

id x x

x

hodnota 3,12 3,10 3,11 3,12 3,09 3,11 3,12 3,13 3,09 3,10

odchylka -0,011 0,009 -0,001 -0,011 0,019 -0,001 -0,011 -0,021 0,019 0,009


Stránka 1233


1

0,0,0112

112

10

n

i

i

x x

dn

d


100%

0,0112100 % 0,3602 %

3,109

drd

x

rd


max min

3,13 3,09 0,04

x

x

R x x

R

e) rozptyl

2

2 1

2 0,0

0,0002

10

0169

n

i

ix

x

x x

sn

s


2

1

2 00,013

10

,00169

n

i

ix

x

x x

sn

s


100%

0,01

3,109

3100% 0,42%

xx

x

sv

x

v

12. Tabulka uvádí naměřené hmotnosti stejných kovových hřebíků v g.

11,2 11,4 11,1 11,5 11,2 11 11,3 11,2 11 11,5

Určete:





e) rozptyl




Stránka 1234

Řešení:


11,24

id x x

x

hodnota 11,2 11,4 11,1 11,5 11,2 11 11,3 11,2 11 11,5

odchylka 0,04 -0,16 0,14 -0,26 0,04 0,24 -0,06 0,04 0,24 -0,26


1

10,14

0

, 88

1

4

n

i

i

x x

dn

d


100%

0,148100 % 1,317 %

11,24

drd

x

rd


max min

11,5 11 0,5

x

x

R x x

R

e) rozptyl

2

2 1

2 0,0

0,0002

10

0169

n

i

ix

x

x x

sn

s


2

1

0,174

40,30

10

n

i

ix

x

x x

sn

s


100%

0,17

11,24

4100% 1,55%

xx

x

sv

x

v


Stránka 1235

13. Tabulka uvádí výsledky 10 střelců ve střelbě na terč.

98 97 99 98 100 100 100 91 94 98

Určete:





e) rozptyl



Řešení:


97,5

id x x

x

hodnota 98 97 99 98 100 100 100 91 94 98

odchylka -0,5 0,5 -1,5 -0,5 -2,5 -2,5 -2,5 6,5 3,5 -0,5


1

2,10

1

1

2

n

i

i

x x

dn

d


100%

2,1100 % 2,154 %

97,5

drd

x

rd


max min

100 91 9

x

x

R x x

R

e) rozptyl

2

2 1

2 7,650

76

1

,5

n

i

ix

x

x x

sn

s


Stránka 1236


2

1

72

,7

6 5, 7

10

n

i

ix

x

x x

sn

s


100%

2,7

97,5

7100% 2,84%

xx

x

sv

x

v

kombinatorika, pravděpodobnost,...

Documents