5. Kombinatorika, valószínűségszámítás, statisztika

Kombinatorika:- még mindig sokszor háttérbe szorul- alsó tagozat: tevékenységekből kiindulva tapasztalatokat szerezzenek- a kombinatorikai problémák megoldása fejleszti:

Problémamegoldó gondolkodás (egyéni stratégia alkalmazása) Problémaérzékenység (adatok könnyen változtathatók) Szövegértés Rendszerezés, kombinativitás (elemek felsorolásánál is) Gondolkodás rugalmassága (új összefüggések felfedezése) Induktív következtetés – modellalkotás Több szempontú következetes gondolkodás Matematikai modell több kontextusban – segíti a felismerését

- minden témakörben megjelenik a téma (külön foglalkozunk vele tipikus probléma vagy megoldási módszer kedvéért)

- általában bizonyos dolgok összeszámlálására vonatkoznak a feladatok összeszámlálási feladat

Nem a modell (permutáció, variáció) felismerése a cél, hanem a segítő kérdések adása: Különböző eseteket számoltunk össze? Minden esetet összeszámoltunk?

- kezdetben: esetek megkülönböztetését gyakoroltatjuk, az összes eset felsorolásának igénye nélkül

- később: összes eset felsorolásának igénye- Gráfok: pontokból és élekből állnak (lehet: irányított gráf)

A pontok közötti kapcsolatokat jelentik. pl.: csirkebél/bolha játék; öt barátnő telefonbeszélgetése; ábra rajzolása ceruza felemelése nélkül

Tanításának szintjei:1. Esetek megkülönböztetése

- pl.: zászlók különféle színezései, kupakok, betűkártyák, színes pálcikák – óvodában is

- 1-2. évfolyam összes eset felsorolása- mindig meg kell magyarázni, hogy mit jelent az eset- tárgyakkal is ki lehet rakni (pl. három más színű autó), de ez csak

akkor célszerű, ha az összes esetet egyszerre ki tudják rakni- szóban gyakorlás (barkochba)- Sorolj fel olyan eseteket, amikor a piros autó vezet! (előkészítjük

vele a rendszerezést)- pontosan megfogalmazni a problémát!

2. Összes eset felsorolása ötletszerűen- tanító rendszerben sorolja, de nem várja el a tanulóktól a rendszer

ismeretét- Színesrúd-készlet segítségével építsenek utcát olyan házakból,

amelyek két egymás tetejére állított rúdból állnak! Az utcában különböző házak legyenek!o fontos tisztázni a feltételeket (egy ház két azonos színű rúdból

is állhat)3. Rendszeres felsorolás- leghatékonyabb stratégia: egy-egy dolog rögzítése, a többi

változtatása- stratégiák: csere, rögzítés, ciklikusság- a gyerekeknek meg kell tanítani a rendszerezés ábrázolását, a tárgyi

reprezentáció után a képi reprezentációkat, mely lehet rajz, betű, táblázat, gráf.o Táblázattal rendszerezés két szempont szerinti változás esetén

Hányféle kétgombócos fagylaltot kérhetünk, ha háromféle fagyink van: eper, csokoládé, vanília, és a tölcsérben a gombócok sorrendje is számít?

o A gyerekekkel vágjunk ki tölcséreket és színes korongokat

gombócoknak. Rakjuk ki az össze esetet, majd rendszerezzük őket! Ezután ábrázoljuk őket a táblázatban!

eper csokoládé vaníliaeper e,e e,cs e,vcsokoládé cs,e cs,cs cs,vvanília v,e v,cs v,v

o Gráffal rendszerezés két vagy több szempont szerinti változás

esetén Egy zsákban 1 zöld, 2 piros, és 3 kék színű, egyforma méretű gyöngy van. A zsákból sorban húzunk három gyöngyöt és felfűzzük egy láncra. Hányféle láncot kaphatunk?

o A starttól a nyilak mentén végigsétálunk a gyöngyökön az elsőtől a

harmadikig.o fentről-le, vagy balról-jobbra

Start

Z P K

P K Z P K Z P K

P K P K P K Z K Z P K P K Z P K Z P K

4. Felső tagozat és középiskola: Formális módszerek alkalmazása- előkészítését kezdjük meg:

Szorzási módszer- pl.: arc – 2 féle szem, 3 féle száj, 2 féle orr hányféle arcot rakhat

össze?- rajzoljuk le- táblázatos vagy gráfos ábrázolással párhuzamosan végezzük el a

szorzást- szorzás fogalmának elmélyítésére is szolgálhat

Összeadási módszer

- Útvonalak összeszámlálása minden állomáshoz beírjuk az odajutás lehetőségeinek számát) Micimackó a legrövidebb úton akar eljutni Róbert Gidához úgy, hogy közben három barátját látogatja meg.

- Esetek szétválasztása pl.: Hány háromjegyű páros számot alkothatunk a 0; 1; 2; 4 számkártyák felhasználásával?o 0-ra végződő számok, 2-re végződő számok, 4-re végződő számok

Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés- pl.: Peti akváriumában 3 hal lakik, Pinty, Punty, Panty. Peti belemeríti a

halfogó hálóját az akváriumba, és kiemeli. Hányféle eredménye lehet a halászatnak? esetszétválasztást végzünk, ezért 3 eset lesz. (0 hal 1 eset, 1 hal háromféleképpen, 2 hal háromféleképpen, 3 hal 1 eset – 1+3+3+1=8)

- megoldható táblázatosan is

Komplementer halmaz elemszámának meghatározása gyakran egyszerűbb a rossz esetek összeszámlálása és kivonása az összes eset számából

Rekurzió – a lehetőségek összeszámlálását kisebb elemszámmal kezdjük, és ezt felhasználva lépünk a következőre.

- pl.: koccintások száma adott (egy új ember koccintásakor megszámoljuk, hogy az előző koccintáshoz hány új jön)

5. Struktúrák felismerése - felismerése és megoldása csak felső tagozaton kezdődik - gráffal, vagy táblázattal, vagy skatulya-elv Ismétlés nélküli permutáció

pl.: {1,2,3} hányféle háromjegyű számot lehet összerakni? Ismétléses permutáció

pl.: PALI hányféle sorrendben írhatók le a betűi?, kerek asztal típusú feladatok

Ismétlés nélküli variációpl.: {1,2,3,4,5,6} hányféle 2jegyű számot lehet kirakni? 6 5 = 30

Pinty - - - - + + + +Punty

- - + + - - + +

Panty - + - + - + - +

Ismétléses variációpl.: {1,2,3,4,5,6} hányféle 2jegyű számot lehet kirakni? 6 6 = 36

Ismétlés nélküli kombinációpl.: Öt gyerek között két könyvutalványt kisorsolunk – hányféle eredménye lehet? egy gyerek legfeljebb egy ajándékot nyerhet (10)

Ismétléses kombinációNégy gyerek között három könyvutalványt sorsolunk ki– hányféle eredménye lehet? Egy gyerek többet is nyerhet. (20)

Statisztika:- val.szám. tanításával szorosan összefügg- tapasztalatszerzést szolgálják- term.tud.-os gondolkozás megalapozása- célszerű csoportban történő tevékenységet választani (kísérletet meg

tudják beszélni)- fejleszti:

Rendszerező képesség (adatok gyűjtése során) Függvényszerű gondolkodás (diagramok olvasása, készítése során) Becslések, számítások – számfogalom, mérés, számolás témakörét

erősíti Előkészíti a relatív gyakoriság értelmezését Term.tud.-os gondolkodás Matematika és a mindennapok közötti szoros kapcsolatot mutatja

1. Adatok gyűjtése, rendszerezése, táblázat vagy diagram készítése- készen kapott vagy gyűjtött adatok (mérés, megfigyelés,

valószínűségi kísérlet során)- táblázat az adatokat áttekinthetővé teszi

1. adatok leolvasása2. táblázat készítése3. adatok közötti összefüggés feltárása

1-2. osztály: Sor és oszlop fogalmai (síkbeli tájékozódás)3.osztály: táblázatban való tájékozódás - menetrend- diagram – először gyűjtött adatokkal, tárgyi tevékenységgel dolgozás1)Oszlopdiagram1-2.o.: tárgyi tevékenység - Milyen folyadékot ittál reggel? tej,víz, kakaó… kvalitatív adatok (szavak)

3-4.o.: leolvasás pl.: nappali/éjszakai hőmérsékletet ábrázoló diagramról adatok leolvasása, összefüggések feltárása

Oszlopdiagram készítése, strigulázás, gyakoriság Soroljuk fel, hogy a következő versszakban a szavak hány hangból állnak!

2) Vonaldiagrampl.: múzeum látogatottsága egy héten keresztül(előkészíti a koordináta-rendszerben való tájékozódást)

2. Átlag kiszámítása ~ számtani közép- 3.o.: 2 adat számtani közepe- 4.o.: néhány adat számtani közepe- osztó egyjegyű!- ne keletkezzen maradék!- pl.: színesrudak sorbarendezése nagyság szerint, elsőt csökkentem,

utolsót növelem – összeg változatlan marad

Valószínűségszámítás valószínűség fogalmának előkészítése gyakorlati mérésekhez, kísérlethez kapcsolódva történik: kimenetele véletlenszerű, sok játékot játszunk, számos tényező befolyásolhatja- biztos; lehetetlen; lehetséges, de nem biztos fogalma: eseményekre

használjuk, állításokra nem, az i vagy h- eszközök:

Szóhossz

Strigulák Szavak száma

1 I 1

2 IIII 4

3 IIIIII 6

4 II 2

5 IIII 4

6 0

7 III 3

elemi események egyenlő valószínűséggel fordulnak elő: dobókockák, korongok, számkártyák, színes golyók

elemi események valószínűsége nem egyenlő: szabálytalan dobótestek, céltáblák, szabálytalan pörgettyűk

Valószínűségfogalom alakulásának lépései:1. Biztos; lehetetlen; lehetséges, de nem biztos események felismerése- játékszituációkban éljék meg

Piros és kék korongok állnak rendelkezésünkre. Három korongot feldobunk egymás után 10-szer. Minden dobás előtt tippelj! Lesz legalább két piros? – skatulyaelv segít – 3 korong, ezért legalább 2 olyan korong van, amelyeken azonos szín van

- segíti a matematikai szaknyelv elsajátítását: legalább, nincs, van olyan, minden

2. Esélyek összehasonlítása: Melyik a valószínűbb?- Szubjektív: tippelés- Objektív: kísérlet- Elméleti megfontolások

Esélylatolgatás- a gyerekek megtapasztalják, hogy az esély nem az akaratukon,

hanem a véletlenen múlikA tanulók a füzetükbe lerajzolják egy háromjegyű szám számjegyeinek helyét. A játékvezető húz az 1,2…9 számkártyák közül, majd a játékosok a kapott számot beírják valamelyik helyre, majd újra húz visszatevéssel egyet, és beírják a következő számot is, és így tovább.

- Színesrúd-készlet rózsaszín rúdját dobják fel többször, és azt nézik meg, hogy melyik lapjára esik. (kisebb-nagyobb lap) kevésbé valószínű, hogy a színesrúd a négyzet alakú lapjára essen

- relatív gyakoriság: a gyakoriság és a kísérletek számának hányadosa

- klasszikus valószínűségi modell: kedvező/összes- pl.: 3 korong – PPP, KKK, PPK, KKP – melyik valószínűbb 100

dobásból? PPK és KKP, mert PPK, KPP, PKP és KKP, PKK, KPK is ugyanazt jelenti lehet készíteni táblázatot, oszlopdiagramot