komnum-10 & 11
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
1/30
DIFERENSIASI
&INTEGRASI NUMERIK
Pertemuan X & XI
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 1KomNum
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
2/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 2
Materi Minggu Ini
Diferensiasi NumerikMetode NewtonGre!or" #F$%Metode Stir'in!
Metode (a!ran!e Inte!rasi Numerik
Metode Tra)e*oidaMetode Sim)son
Metode Kuadratur Tu!as +II
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
3/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 3
Diferensiasi Numerik (1)
Ke de)an anda akan serin! men,um)ai - ,enis o)erasi matematisda'am ke.idu)an i'mia. anda/ "aitu Diferensiasi Numerikdan
Inte!rasi Numerik0
Untuk diferensiasi numeris/ konse)n"a .am)ir sama den!an re!residan inter)o'asi0 1aitu men2ari ni'ai turunan se3ua. fun!si .an"a
den!an men!!unakan .im)unan ni'ai dari fun!si terse3ut0
Permasa'a.an diferensiasi numerisini dise'esaikan den!an men"atakanfun!si "an! dimaksud me'a'ui rumusan inter)o'asi "an! te'a. di
diferensiasi0
Untuk )ermasa'a.an "an! 3ersifat e4uis)a2ed/ da)at dise'esaikanden!an rumus NewtonGre!or"/ Stir'in! atau %esse'0 Sementara
untuk )ermasa'a.an none4uis)a2ed/ di!unakan (a!ran!e atau5ermite #,ika )eriodik0
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
4/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 4
Meto e Newton- regory (1)NewtonGre!or" Forward #NGF
6 -s 6 7s-8 9s : - ;s78 6s ? @f: @-
f: @7
f: @;
f. -B 7B ;B
Cs;8 ;s7: 6Cs-8 6s : -; 9sC Cs;: 7;s7 9Cs-: C;s8 >s ?
.NewtonGre!or" %a2kward #NG%
6 -s : 6 7s-: 9s : - ;s7: 6s ? @f6: @-f-: @7f: @;f;
. -B 7B ;B
Cs;: ;s7: 6Cs-: 6s : -; 9sC: Cs;: 7;s7:9Cs-: C;
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
5/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 5
Meto e Newton- regory (2)2onto. 2ari'a. ni'ai f=#>s untuk >s? 6/7/ ,ika diketa.ui fun!si ts3 men!.asi'kan
ni'ai-s33
> 6/ 6/7 6/9 6/ -/- -/C -/ 6/;; -/9 -/9;C 7/-69 7/ ;/77< ;/
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
6/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 6
Meto e Newton- regory (3)(an!ka. - men2ari ni'ai s #'e3ar interHa'
. ? 6/7 8 6 ? /7s ? #6/7 8 6 $ . ? /6
(an!ka. 7 men!!unakan rumus NG untuk men2ari ni'ai f=#>s
6 #- 0 /6 8 6 7#/6-8 9#/6 : -f=#6/7 ? /966 : 0 /-9 : 0 /6-
/7 -B 7B
;#/678 6
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
7/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 7
Meto e t r ng (1)
Diferensiasi Stir'in! ada'a. )roses numeris untuk men2ari ni'ai diferensia'#turunan suatu fun!si )ada titik tertentu di sekitar titik ten!a. #3aik untuk
)ermasa'a.an "an! 3ersifat e4uis)a2ed mau)un none4uis)a2ed0
Sama den!an NewtonGre!or"/ rumus diferensiasi Stir'in! ,u!a di=turun=kan dari Inter)o'asi Stir'in!0 Se.in!!a keduan"a memi'iki kesamaan sifat0
6 @f6: @f 7s-: 6 #@7f6: @7f- ;s78 -sf=#>s ? : s@-f6: : : @;f-
. - 7B - ;B
Cs;8 6Cs-: ; #@Cf-: @Cf7 9sC -s7:
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
8/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 8
Meto e t r ng (2)2onto. den!an men!!unakan data dari 2onto. soa' se3e'umn"a/ 2ari'a. ni'ai f=#>
)ada > ? 6/ f#> @f#> @-f#> @7f#> @;f#> @Cf#> @9f#>
6/ 6/;;/966
6/7 -/9 /-9/C
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
9/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 9
Meto e t r ng (3)(an!ka. - men2ari ni'ai s #'e3ar interHa'
. ? 6/7 8 6 ? /7s ? #6/7 8 6 $ . ? /6
(an!ka. 7 men2ari ni'ai f=#>s
6 /C6 : /C97 7#/6-: 6 #/; : /9 ;#/678 -#/6
f=#>s ? : #/6#/
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
10/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 10
Meto e Lagrange (1)
fm8 6 #> 8 >i6
f=#> ?
#>m68 >k6 #> 8 >j6
km
m?6
n:6
n:6
k?6,m
n:6
,?6
n:;
i?6i
6
M t L
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
11/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 11
Meto e Lagrange (2)
2onto. 2ari'a. ni'ai f=#> )ada > ? -/-C 3erdasarkan ta3e' 3erikut/ den!anmen!!unakan metode (a!ran!e0
n > f#>
6/ /
6 6/- /-9-C;- 6/C /6-7
7 6/ -/76
; -/6 7/-6;
C -/C C/-9
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
12/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 12
Meto e Lagrange (3)
#> 8 >-#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >6#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >7
f=#> ? 0 f:
#>8 >6#>8 >-#>8 >7#>8 >;
#> 8 >-#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >7
0 f6:
#>68 >#>68 >-#>68 >7#>68 >;
#> 8 >6#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >7
0 f-:
#>-8 >#>-8 >6#>-8 >7#>-8 >;
#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >-
0 f7:
#>78 >#>78 >6#>78 >-#>78 >;
#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >7:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >7:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >7:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >-
0 f;:#>;8 >#>;8 >6#>;8 >-#>;8 >7
? men!.itun!n"a musti sa3ar & te'atenE
I t i N ik
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
13/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 13
Integrasi Numerik (1)Inte!rasi suatu fun!si se2ara umum din"atakan se3a!ai
I ?
f#> d>
"an! mem3erikan makna ni'ai 'uasan$area "an! di3atasi o'e. fun!sif#>/ sum3u >/ > ? a/ dan > ? 30
3
a
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
14/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 14
Integrasi Numerik (2)
Men"e'esaikan )ermasa'a.an inte!rasi se2ara ana'itis suda. anda)e'a,ari0 1an! 3e'um ada'a. men2ari ni'ai inte!ra' se3ua. fun!si
me'a'ui )endekatan numeris0
Inte!rasi numerisdi)er'ukan/ ,ika
Inte!rasi ana'itis tidak mun!kin #ter'a'u su'it di'akukan atau
Fun!si asa' tidak diketa.ui/ ta)i tersedia .im)unan ni'ai fun!sin"a0
Konse) )en"e'esaian inte!rasi se2ara numeris se3enarn"a muda./"aitu kita 3a!i 'uasan dimaksud men,adi )i'ar-$)ias-0 Dan ni'aiinte!rasi "an! kita 2ari ada'a. ,um'a. 'uasan dari semua )ias
terse3ut0
Se2ara umum/ metode inte!rasi numeris da)at di3edakan men,adi -/"aitu ke'om)ok metode NewtonJotesdan metode Gauss0
M t d T id
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
15/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 15
Metode Trapezoida (1)
Jara termuda. mem)e'a,ari inte!rasi numerik ada'a. den!an men!a)'ikasikanmetode Tra)e*oida0 Metode ini masuk da'am ke'om)ok metode NewtonJotes
orde60
Dise3ut orde6 karena kita akan men!!antikan kurHa 'en!kun! fun!si f#>den!an !aris 'urus #'i.at !aris 'urus antara f#a dan f#30
Se.in!!a inte!rasi f#> ada'a. 'uasan tra)esium "an! di3atasi o'e. sum3u X/f#a/ f#3/ dan !aris 'urus "an! men!.u3un!kan f#a den!an f#30
M t d T id
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
16/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 16
Metode Trapezoida (2)
Se2ara !eometris/ 'uasan arsiranda)at didekati se3a!ai 3erikut
f#a : f#3
I #3 8 a-
Ta)i )endekatan den!an 6 3ua. tra)esoida akan men"e3a3kan kesa'a.antaksiran "an! 2uku) 3esar #'i.at area "an! tidak terarsir di antara kurHa
f#> den!an !aris f#af#30
M t d T id
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
17/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 17
Metode Trapezoida (3)A'ternatif "an! 'e3i. 3aik ada'a. den!an mem3uat 3an"ak )ias$tra)e*oids0Den!an demikian ruan! "an! tidak ter2oHerarsiran da)at diminima'kan0
#se'ain ,u!a untuk men!antisi)asi 3entuk kurHa fun!si "an! kom)'eks
Didn=t know w."/ teta)i dikatakan metode Tra)e*oida 'e3i. efektif ,ikamen!!unakan ,um'a. )ias !an,i'0
M t d T id
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
18/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 18
Metode Trapezoida (4)Inte!ra' tota' untuk )ermasa'a.an e4uis)a2edda)at ditu'is se3a!ai
I ? f#> d> : f#> d> : : f#> d>
atau/ f#>6 : f#> f#>- : f#>6 f#>n : f#>n6
I ? @> : @> : : @>
- - -
atau/ @>
I ? f#> : - f#>i : f#>n L
-
atau ,ika fun!si koreksiu,un! diakomodasi ke da'am )ersamaan Tra)e*oida
@> @>-
I ? f#> : - f#>i : f#>n L f=#>n 8 f=#> L
- 6-
Sementara untuk )ermasa'a.an none4uis)a2ed/ di!unakan rumus
#>68 > #>-8 >6 #>n8 >n6
I ? #f6: f : #f-: f6 : : #fn: fn6
- - -
>
>6
>6
>-
>n6
>n
n6
i?6
n6
i?6
M t d T id
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
19/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 19
Metode Trapezoida (6)ika di,um)ai kasus dimana .arus di3uat )ias-den!an 'e3ar tidak sama/ maka metode
Tra)e*oida masi. da)at di!unakan den!an sedikit modifikasi0
f#>6 : f#> f#>- : f#>6 f#>n : f#>n6
I ? @>6 : @>- : : @>n
- - -atau/
#>68 > #>-8 >6 #>n8 >n6
I ? #f6: f : #f-: f6 : : #fn: fn6
- - -
Meto e Trape o a
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
20/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 20
Meto e Trapezo a (5)2onto.
.itun!'a. I ? e>d> den!an metode Tra)e*oida0
se2ara ana'itis
I ? e;8 e? C7/C ? 6
I ? e: -#e6: e-: e7 : e; L ? C/6C
Er ? #C7/C
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
21/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 21
Metode Simpson (1)A'ternatif 'ain untuk menda)atkan .asi' )endekatan inte!rasi numeris ada'a.
den!an men!!unakan )o'"nomia' 3erorde 'e3i. tin!!i #in!at/ metode
Tra)e*oid .an"a memanfaatkan )ersamaan 3erdera,at 60
ika ditam3a.kan 6 titik diantara f#a dan f#3/ maka ada 7 titik "an!da)at di.u3un!kan o'e. se3ua. )o'"nom 3erorde -0
Atau 3isa ,u!a di!unakan )o'"nom 3erorde 7/ ,ika ditam3a.kan - titik diantara f#a dan f#30
f#a f#af#3 f#3
M t d Si
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
22/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 22
Metode Simpson (2)
Aturan$metode Sim)son men"ediakan - )i'i.an )endekatan/ "aitu
Aturan Sim)son 6$7dan Aturan Sim)son 7$
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
23/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 23
Metode Simpson (3)
Inte!rasi Sim)son 6$7 da)at din"atakan se3a!ai 3erikut
@>I ? f#> : ; #f#>6 : f#>7 : : f#>n6 : - #f#>- : f#>; : : f#>n- : f#>nL 7
Sedan!kan Inte!rasi Sim)son 7$< ada'a. se)erti 3erikut
7@>I ? f#> : 7 #f#>6 : f#>- : f#>; : f#>C : : f#>n6 : 7 #f#>7 : f#>9 : : f#>n7 : f#>nL
6? 6$7
>-? 6$7
6
6
6
6
6
6
6
6
Ta3e' ni'ai 2 dan > untuk 7/ ;/ C/ dan 9titik da)at di'i.at di 3uku J.a)raJana'e Ct.ed .a'0 9-9 #ter,ema.an
edisi 6 .a' C7
Metode Kuadratur
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
28/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 28
Metode Kuadratur (3)
Se.in!!a rumus Inte!rasi Gauss(e!endre - titik da)at din"atakan se3a!ai3erikut
I ? f# 6$7 : f#6$7
Den!an a'asan a!ar muda. dia)'ikasikan )ada semua 3entuk kasus/ Inte!rasiGauss(e!endre sen!a,a diatur a!ar memi'iki 3atas-6 sam)ai den!an 60Q'e. karenan"a )er'u di'akukan transformasi 3atas inte!ra' ter.ada) semua)ermasa'a.an "an! akan dise'esaikan den!an rumusan ini0 1aitu
#3 : a : #3 8 a >d 3 a > ? d> ? d >d
- -
Meto e Kua ratur
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
29/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 29
Meto e Kua ratur (4)2onto.
.itun!'a. I ? e>d> den!an metode Kuadratur0
se2ara ana'itis I ? e;8 e? C7/C ? >d? - : - >d d> ? - d >d
-
e>d> ? e-:->d- d >d
Untuk >6? 6$7 f#>6 d>6 ? e-:-# 6$7- d >d? ;/9C7C6Untuk >-? 6$7 f#>- d>-? e-:-#6$7- d >d ? ;9/6 d>6: f#>- d>-? C6/C;7
-
7/23/2019 Komnum-10 & 11
30/30
T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 30
60 Jari'a. ni'ai "=#6/6C/ "=#/C/ dan "=#6/C d> dari datadata 3erikut den!an 3atas >?6 sam)ai >? men!!unakan inte!rasiTra)e*oida/ Sim)son 6$7/ Sim)son 7$ 6/ -/ 7/ ;/ C/ 9/ /
f#> 6/