Kompleksni brojeviImaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. stoljeu vezano za problem rjeavanja kubne jednadbe. Njihova upotreba rairila se tokom 19. stoljea, kad su se pojavile i prve primjene. Najpoznatije primjene vezane su za teoriju elektriciteta i magnetizma (koju bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju. Kao motivacija za uvoenje imaginarnih brojeva obino se uzimaju kvadratne jednadbe s realnim koefcijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b2 - 4ac kvadratne jednadbe ax2+bx+c = 0 negativna, ta jednadba nema realnih rjeenja. Osnovni primjer takve jednadbe je x + 1 = 0: Po dogovoru, ta jednadba (iako nema realnih rjeenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rjeenja u kompleksnim brojevima. To su 1 i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rjeenja kvadratne jednadbe x2 +1 = 0 (kao to su 1 i -1 rjeenja kvadratne jednadbe x2-1 = 0). Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, defnicija imaginarne jedinice je da je to jedan od dva mogua broja koji kvadrirani daju 1: i = -1: Isto svojstvo ima i -i: (-i) = (-i)(-i) = (-1) i = 1 f (-1) = -1. Kompleksni brojevi se defniraju kao sve linearne kombinacije (s realnim koefcijentima) brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblika z = x + yi s x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva oznaavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x moemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo isto imaginarnima. Napomena 1. Za one koji znaju defniciju dimenzije vektorskog prostora: Po defniciji C je dvodimenzionalni vektorski prostor (nad realnim brojevima). Kako mu bazu ine 1 te i, moemo ga interpretirati kao i svaki drugi realni dvodimenzionalni vektorski prostor: pomou koordinatnog sustava u ravnini.2 2 2 2 2 2

1

Oznaka i za imaginarnu jedinicu potjee iz 18. stoljea, kad ju je uveo vicarski matematiar L. Euler. Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + : : :, gdje su f; f; : : : skalari, a x; y; : : : vektori. U ovom

2

1

1. Kompleksna ravninaPoetkom 19. stoljea Argand i Gauss uveli su nain vizualizacije kompleksnih brojeva. Svaki kompleksan broj z = x + yi moemo poistovjetiti s tokom (x; y) u koordinatnoj ravnini (I obrnuto: svakoj toki odgovara kompleksan broj), uz uobiajeni Cartesiusov koordinatni sustav. Pritom uzimamo da apscise predstavljaju realne, a ordinate imaginarne dijelove pa se koordinatne osi u ovom sluaju zovu realna i imaginarna os. Na realnoj osi tada se nalaze svi realni brojevi (oni kojima je imaginarni dio 0), a na imaginarnoj svi isto imaginarni (oni kojima je realni dio 0). Prikaz kompleksne ravnine vidljiv je na slici3 1.

Slika 1: Kompleksna ravnina.

3

Slike ovog poglavlja preuzete su s web-stranice http://www.clarku.edu/fdjoyce/complex/

2

2. Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojevaDva kompleksna broja zbrajamo (oduzimamo) tako da im zbrojimo (oduzmemo) realne odnosno imaginarne dijelove:

Primjer 1 (3 + i) + (2i - 1) = 2 + 3i: Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva imaju sva uobiajena svojstva (komutativnost, asocijativnost, broj nula kao neutralni element, . . . ) tih operacija. U kompleksnoj ravnini zbroj odnosno razlika dva kompleksna broja z i z0 nalazi se na kraju radij-vektora koji se dobije zbrajanjem odnosno oduzimanjem radij-vektora koji pripadaju z i z0: zbrajanje i oduzimanje geometrijski se interpretiraju kao zbrajanje i oduzimanje radij-vektora u kompleksnoj ravnini. Pribrajanje istog broja svim kompleksnim brojevima moemo shvatiti kao translaciju ravnine (vidi sliku 3). Suprotni broj od x+yi je -x-yi. Odreivanje suprotnog broja u tom je kontekstu centralna simetrija (inverzija) obzirom na ishodite (vidi sliku 4).

Slika 2: Zbrajanje kompleksnih brojeva.

3

Slika 3: Pribrajanje kompleksnog broja kao translacija ravnine.

Slika 4: Suprotni broj kao centralna simetrija.

4

3. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranjeApsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy defnira se kao (biramo pozitivni kvadratni korijen). Geometrijski gledano, to je udaljenost toke koja predstavlja z do ishodita (slika 5).

Slika 5: Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Primjer 2 Ako je z = 3 + 4i, onda je

. Kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1 nalaze se na jedininoj krunici oko ishodita.

5

Preciznije, u kompleksnoj ravnini jedinina krunica oko ishodita ima jednadbu

Za zbrajanje kompleksnih brojeva vrijedi tzv. nejednakost trokuta:

Nju se lako dokae pomou slike 6. Svakom kompleksnom broju pridruen je njegov kompleksno konjugirani broj

(promijeni se predznak imaginarnog dijela).

Slika 6: Nejednakost trokuta. Primjer 3 Ako je z = 5 - 9i, onda je z = 5 + 9i. U kompleksnoj ravnini kompleksno konjugirani broj od z je njegova zrcalnosimetrina slika obzirom na realnu os (vidi sliku 7). Vrijedi z = z:

6

4. Mnoenje i dijeljenje kompleksnih brojevaMnoenje dva kompleksna broja defnirano je formom

Primjer 4

Vrijedi sljedea korisna jednakost:

Dokaimo ju. Ako je

onda je

Primjer 5 Kako je -1 = i , dijeljenjem s -i dobivamo2

Reciproni broj broja z je broj

Toka koja predstavlja 1/z nalazi se na spojnici ishodita i z, kako je vidljivo na slici 7.

7

Slika 7: Kompleksno konjugiranje i reciproni brojevi.

Primjer 6 Za z = 3 - 4i imamo

: Dijeljenje je defnirano kao mnoenje recipronim brojem:

8

Primjer 7

5. Trigonometrijski prikaz kompleksnog brojaArgument kompleksnog broja z je kut takav da je tg = y/x , radi se o kutu koji radijvektor od z zatvara s realnom osi. Primjer 8 Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog isto imaginarnog broja s pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je Kako je svaka toka u ravnini potpuno odre.ena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikazu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sustavu) ekvivalentan prikaz Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Primjer 9

Trigonometrijski prikaz bitno olakava mnoenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Koritenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za

9

Slika 8: Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.

Slika 9: Mnoenje kompleksnih brojeva.

10

Iz posljednje formule se vidi da je argument recipronog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao to je i argument od z. To je objanjenje ve prikazane slike 7. Primjer 10

Sad se vidi da se mnoenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i mnoenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti mnoenih brojeva. Specijalno, mnoenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.

11

Slika 10: Mnoenje s i je rotacija za pravi kut.

6. Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojevaPromotrimo prvo potencije broja i. Imamo:

Dakle, potenciranje broja i na viekratnik od 4 daje 1 i potencije se cikliki ponavljaju nakon svakog viekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jedininoj krunici kao vrhovi kvadrata. Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula

Primjer 11

12

Slika 12: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1). Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument poveavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, to je ilustrirano slikom 12. Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na krunici radijusa npjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog znaenja u realnim brojevima) kojoj je sredite u ishoditu, s tim da prvi od njih ima argument f Svi n-ti korijeni dobiju se kao

Primjer 12 etvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost argument Svaki sljedei ima argument vei za te su trei korijeni od i redom 1; i;-1;-i. , a prvi po redu ima

13

Primjer 13 Trei korijeni iz i imaju apsolutnu vrijednost argument

, a prvi po redu ima

Svaki sljedei ima argument vei za te su etvrti korijeni od i redom

7. Eulerova formulaEulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva: Stoga je

Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proirena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede. Specijalno, imamo

Iz Eulerove formule dobiju se jo preglednija pravila rauna s kompleksnim brojevima:

14

Zbrojimo li i oduzmemo

dobit emo i idue dvije vane formule:

Primjer 14

Tj ii je realan broj!

15

8. Zato su uvedeni kompleksni brojeviUobiajeno je miljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadba imala rjeenje (na primjer, jednadba x + 1 = 0 nema realnih rjeenja, a nakon uvoenja kompleksnih brojeva ima dva rjeenja: i i -i). To se kasnije podupire jo jaim argumentom da svaka algebarska jednadba stupnja n ima tono n rjeenja (ukljuujui kratnost). Na primjer, jednadba2

x - 2x + 2x - 2x + 1 = 04 3 2

ima tono etiri rjeenja: dvostruko rjeenje 1 i jednostruka rjeenja i, -i. To se obrazlae rastavom na faktore: x - 2x + 2x - 2x + 1 = (x - 1) (x + 1)4 3 2 2 2

za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom x - 2x + 2x - 2x + 1 = (x - 1) (x - i) (x + i).4 3 2 2

Ponekad se uvoenje kompleksnih brojeva obrazlae Bzoutovim poukom: Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u tono mn toaka (raunajui kratnosti i toke u beskonanosti). Takav pouak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u tono dvjema tokama i openito krivulju reda n u n toaka. Na primjer, pravac s jednadbom y = x + 2 ne sijee krunicu s jednadbom x + y = 1 (ako se razmatraju samo realne toke), meutim, sijee je u tokama2 2

(-1 - 2 / 2 i, 1 - 2 / 2 i) i (-1 + 2 / 2 i, 1 + 2 / 2 i). Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematiarima su dobar povod za uvoenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Meutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nuni. U vrijeme uvoenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeu) kvadratna je jednadba bila poznata vie od 3000 godina. Stari su je matematiari ve rjeavali i znali su da moe imati dva, jedno ili nijedno rjeenje i to im je bilo dovoljno. Takoer se nasluivalo da algebarska jednadba stupnja n ima najvie n rjeenja (tu se misli samo na jednadbu s realnim koeficijentima i samo na realna rjeenja jer za druge nisu ni znali). Razlogom za uvoenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematiki problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobii, a takav se problem pojavio pri rjeavanju kubne jednadbe. O emu je rije ukratko emo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadba ekvivalentna jednadbi oblika

16

x + ax2 + bx + c = 03

gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadbama matematiari imali potekoa vie od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljea nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadbi lako rijeiti; primjerice jednadba x - x = 0 ima rjeenja 0, 1, -1. Slino je za svaku kubnu jednadbu s racionalnim koeficijentima (tj. jednadbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rjeenje. Naime, kod takvih jednadbi u pravilu je lako nai racionalno rjeenje r = p / q; p,q . Nakon to jednadbu pomnoimo sa zajednikim viekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodei koeficijent jednadbe. Kako ima konano takvih mogunosti, naelno moemo doi i do one povoljne. Kad znademo racionalno rjeenje r, onda dijeljenjem moemo doi do rastava:3

x + ax + bx + c = (x - r) (x + a'x + b')3 2 2

pa se preostala rjeenja poetne kubne jednadbe dobiju rjeavanjem kvadratne jednadbe x + a'x + b' = 0. Takve se kubne jednadbe esto pojavljuju u srednjokolskim zadatcima, a i na sveuilitu. Meutim, to je s jednadbom2

x - 6x + 2 = 0 ?3

Pokuajte je rijeiti! O toj emo jednadbi vie rei poslije, a sada se posluimo slinim argumentima kao i za kubne jednadbe s racionalnim koeficijentima i s barem jednim racionalnim rjeenjem kako bismo zakljuili da svaka kubna jednadba s realnim koeficijentima ima barem jedno realno rjeenje (ukupno 3 kompleksna rjeenja, ukljuujui kratnosti). Izraz x + ax + bx + c za dovoljno je velike pozitivne x-eve pozitivan, a za dovoljno male negativne x-eve negativan, pa je za neki x jednak nuli. Zakljuujemo da jednadba x + ax + bx + c = 0 ima bar jedno realno rjeenje r. Sada je3 2 3 2

x + ax + bx + c = (x - r) (x + a'x + b')3 2 2

pa mogu nastupiti sljedee mogunosti: (i) jednadba ima 3 realna razliita rjeenja, (ii) jednadba ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rjeenje, (iii) jednadba ima 1 realno trostruko rjeenje, (iv) jednadba ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rjeenja. U doba otkrivanja formula za rjeenje kubne jednadbe nije bilo kompleksnih brojeva pa su (iv) ondanji matematiari shvatili kao (iv)' jednadba ima 1 rjeenje.

17

9. Formula za rjeenje kubne jednadbeDovoljno je razmatrati jednadbu x + px + q = 0, gdje su p, q realni brojevi (to se dobije zamjenom x - a/3 x). Ako napiemo x = u + v, uz uvjet uv = -p/3, dolazimo do sustava u + v = -q, u v = -p /27, odakle je3 3 3 3 3 3

x = -q/2 + (q /4 + p /27) + -q/2 - (q /4 + p /27)3 2 3 3 2 3

(to je prikaz rjeenja x u obliku u + v). Ta se formula zove Cardanova formula (prema talijanskom matematiaru koji je tu formulu objavio 1545. g. u djelu Artis Magnae). Pogledajmo kako su se matematiari u poetku koristili tom formulom. Primjer 1:3

x + 3x + 2 = 0, p = 3, q = 2.3 3 3 3

x = -1 + 2 + -1 - 2 = -1 + 2 - 1 + 2. Tada su matematiari znali samo za realne brojeve i tu nije bilo problema: u = -1 + 2, v = - 1 + 2, uv = -1 + 2 (- -1 + 2 ) = - -1 = -13 3 3 3 3

(naime, je za njih jednoznana neparna funkcija definirana za sve realne brojeve, a je definiran za nenegativne realne brojeve). Tako je dobiveno jedinstveno rjeenje poetne jednadbe. To se moe i provjeriti. Ta jednadba ima i dva kompleksno-konjugirana rjeenja, meutim, matematiari 16. st. o tome na poetku nisu vodili rauna, niti im je, u ovom sluaju, to bilo potrebno.3

Primjer 2:

x - 3x = 0.3

Za tu jednadbu ne treba formula. Odmah se vidi da su rjeenja x = 0, x = Pokuajmo ipak primijeniti formulu. Tu je p = -3, q = 0, pa je1 2,3

3.

x = -1 + --1.3 3

(*)

Vidimo da nas Cardanova formula, u ovom jednostavnom sluaju, dovodi do tekih problema - drugih korijena iz negativnih brojeva. To je navelo matematiare 16. st. da se

18

pozabave i takvim matematikim objektima. Ako su ovakav sluaj mogli i zanemariti (jer ve znaju rjeenja: 0, 3, -3), neke su im jednadbe stvarale jo vee potekoe. Primjer 3: x - 6x + 2 = 0.3

Lako se vidi da ta jednadba nema racionalnih rjeenja. Cardanova formula daje sljedei izraz: x = -1 + -7 + -1 - -7.3 3

(**)

Sljedea tablica govori nam da bi ta jednadba trebala imati tri realna rjeenja: x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -6x+2 -7 6 7 2 -3 -2 113

Zakljuujemo da je -3 < x < -2; 0 < x < 1; 2 < x < 3.1 2 3

Za razliku od prethodnog primjera, matematiari 16. st. u poetku nisu uspjeli doi do tih realnih brojeva, nego su samo imali izraz (**) u kojemu su morali vaditi korijene iz negativnih brojeva. Pred njima su se pojavila sljedea pitanja: 1. Kako iz izraza (*) i (**) rekonstruirati 3 realna rjeenja jednadbe? 2. Kako treba na takvim izrazima izvesti operacije da bismo mogli raunati uvjet uv = -p/3 ? 3. Mogu li se u (**) i slinim izrazima rjeenja pripadajue kubne jednadbe zapisati bez korijena iz negativnih brojeva? Za odgovor na ta pitanja bilo je potrebno uvesti kompleksne brojeve i operacije s njima. Sustavna teorija kompleksnih brojeva prvi se put pojavila 1572. g. u Algebri talijanskog matematiara Raffaela Bombellia. Izrazi (*) i (**) zaista se mogu protumaiti tako da daju rjeenje kubne jednadbe. Kao to znate, kompleksni brojevi jesu brojevi oblika a + bi, a,b , dok je imaginarna jedinica i izabrana tako da bude i = i i = -1, tj. da bude rjeenje jednadbe x = -1. Tada se izraz (*) moe zapisati kao2 2

x = i + -i.3 3

(*)'2

Dakle, umjesto -1 moemo staviti i. Budui da je -i takoer rjeenje jednadbe x = -1, umjesto -1 mogli smo staviti -i. U (*) nita se ne bi promijenilo ( i preao bi u -i, a i u i; zbroj bi ostao isti).3 3 3 3

Izraz i ima tri vrijednosti: z = 3/2 + 1/2 i, z = - 3/2 + 1/2 i, z = -i. Naime, ta su tri broja rjeenja kubne jednadbe z = i (provjerite).3 1 2 3 3

19

Slino tome, izraz -i ima tri vrijednosti: w = i, w = - 3/2 - 1/2 i, w = 3/2 - 1/2 i.3 1 2 3

20

Od 9 moguih izbora z , w ; i = 1,2,3 dobije se 9 moguih vrijednosti izraza (*)'. Treba odabrati one za koje je uv = -p/3 = 1, tj. i -i = 1.i i 3 3

Napomenimo da, iako kompleksni brojevi imaju svojstva analogna realnim brojevima, ima i nekih razlika. Osim one da se na kompleksne brojeve ne moe proiriti relacija ureaja s (tako da vrijede aksiomi ureenog polja), vana je razlika i u formulama ab = a b; ab = a b i sl. Naime, one se ne mogu doslovno primijeniti na kompleksne brojeve. Na primjer, kad bi bilo (-1)(-1) = -1 -1, bilo bi 1 = i i, tj. 1 = -1 (Vidi: I.Gusi, Korjenovanje kompleksnih brojeva, Zbornik radova 1. kongresa matematike RH, 2000., 108-111). To se razrjeava tako da bude 1 = {-1, 1}, -1 = {i, -i}, dakle, skupovima brojeva. Prema tome, ako se radi s kompleksnim brojevima, nije jednoznana funkcija nego ima dvije vrijednosti (izuzimajui injenicu da je 0 = 0). Tada e zaista biti (-1)(-1) = -1 -1 (na desnoj strani rije je o umnoku skupova). Slino je z za z 0 trolan skup itd.3 3 3 3

Vratimo se skupovima i i -i i uoimo da je z w = z w = z w = 1 (a da su ostali meusobni umnoci razliiti od 1). Zato izraz x = i + -i, uz uvjet i -i = 1, ima tri vrijednosti: x = z + w = 3; x = z + w = - 3; x = z + w = 0. Upravo su to rjeenja poetne kubne jednadbe x -3x = 0. Dakle, uz pravilno uvoenje kompleksnih korijena, formula x = i + -i moe se protumaiti kao formula koja daje rjeenja kubne jednadbe x - 3x = 0.3 3 1 3 2 2 3 1 3 3 3 3 1 1 3 2 2 2 3 3 1 3 3 3 3

21

Nekima niti to ne bi bio dovoljan razlog za uvoenje kompleksnih brojeva jer ve znamo rjeenje te jednadbe. Razmotrimo zato jednadbu x - 6x + 2 = 0, tj. izraz (**) x = -1 + -7 + -1 - -7. Taj izraz moemo pisati kao3 3 3

x = -1 + i 7 + -1 - i 7,3 3

(**)'

gdje je umnoak pribrojnika jednak 2. Pritom treba imati na umu sljedee: (i) 7 je u (**)' obian realni drugi korijen iz 7, tj. pozitivan broj iji je kvadrat jednak 7. (ii) u oba pribrojnika ima tri vrijednosti, ali emo za svaku odabranu vrijednost -1 + i 7 imati tono jednu vrijednost od -1 - i 7 za koju e umnoak pribrojnika biti jednak 2. Da bi to pokazali, matematiari 16. st. posluili su se neim to danas zovemo trigonometrijskim prikazom broja. Neka je z = -1 + 7 i; w = -1 -7 i. Tada je z = 22 (cos + i sin ), gdje je argument broja z.3 3 3

Sada je -1 + i 7 = {z , z , z }, z = 2 (cos ( /3) + i sin ( /3)), z = 2 (cos ( /3 + 120o) + i sin ( /3 + 120o)), z = 2 (cos ( /3 + 240o) + i sin ( /3 + 240o)).3 1 2 3 1 2 3

22

Slino je -1 + i 7 = {w , w , w }, w = 2 (cos (120o - /3) + i sin (120o - /3)), w = 2 (cos (240o - /3) + i sin (240o - /3)), w = 2 (cos (360o - /3) + i sin (360o - /3)).3 1 2 3 1 2 3

Vidimo da je z w = z w = z w = 2. Naime,1 3 2 2 3 1

360o - ( /3 + 120o) = 240o - /3, 360o - ( /3 + 240o) = 120o - /3. Zato su rjeenja jednadbe x -6x + 2 = 0 realni brojevi: x = z + w = 22 cos ( /3);3 1 1 3

23

x = z + w = 22 cos ( /3 + 120o); x = z + w = 22 cos ( /3 + 240o).2 2 2 3 3 1

To su tri realna broja dobivena iz Cardanove formule pravilnom uporabom kompleksnih brojeva. Bez kompleksnih brojeva bilo bi gotovo nemogue doi do tih rjeenja. U tim rjeenjima pojavljuje se kut koji se moe eliminirati ovako: = 180o - arctg(7) (naime, tg(180o - ) = 7). Sada je x = 22 cos ( /3) = 22 cos (60o - arctg(7) / 3) = 22 (1/2 cos (arctg(7) / 3) + 3/2 sin (arctg(7) / 3)),1

itd. Slino bi se dobilo za svaku kubnu jednadbu x + px + q = 0, koja ima tri razliita realna rjeenja (odnosno za koju je D = q / 4 + p /27 < 0). Naime, za z = -q/2 + D i, r = |z|, = arg(z) dobili bismo da je3 2 3

x = r cos ( /3); x = r cos ( /3 + 120o); x = r cos ( /3 + 240o).1 3 2 3 3 3

Eliminacijom kuta ( = arctg(2D/(-q)) za q < 0, = arctg(2D/q) za q > 0 i = 90o za q = 0) dobili bismo da je x = 2 r cos (arctg(2D/(-q)) / 3),1 3

itd. Vidimo da se rjeenja mogu dobiti u ovisnosti o koeficijentima p,q jednadbe, meutim u rjeenjima sudjeluju transcendentne funkcije kosinus, sinus, arkus-tangens. Pitamo se mogu li se rjeenja zapisati bez takvih funkcija, a i bez kompleksnih brojeva (kad su ve realna)? Na primjer, mogu li se rjeenja jednadbe x - 6x + 2 = 0 zapisati samo pomou korijena iz pozitivnih brojeva? Taj sluaj kubne jednadbe, koji je najvie muio matematiare 16. st., a i one kasnije, nazvan je nesvodljivim sluajem kubne jednadbe. Kako smo vidjeli, zbog njega su uvedeni kompleksni brojevi i trigonometrijski prikaz. Tek je metodama Galoisove teorije iz 19. st. dan odgovor na gore postavljeno pitanje. Evo jedne varijante odgovora: Neka je x + px + q = 0; p,q kubna jednadba za koju je D < 0, koja nema racionalnog rjeenja. Tada se rjeenja te jednadbe ne mogu zapisati pomou realnih radikala (drugih, treih ili nekih drugih korijena iz pozitivnih racionalnih brojeva).3 3

24

LITERATURA1. uri,M.-Mintakovi, Z. (1978),Osnove matematike. Zagreb: kolska knjiga 2. Gusi, I. Zato su uvedeni kompleksni brojevi, Hrvatski matematicki elektronski casopis math.e 3. Kurepa, S. (1994), Uvod u matematiku. Zagreb: kolska knjiga 4. Pavkovi ,V-Veljan, D. (1995), Elementarna matematika 1. Zagreb: kolska knjiga. 5. Radi, M. (1989), Algebra 1. Zagreb: kolska knjiga.

25