komputasi_matlab_4.pdf

8/20/2019 komputasi_matlab_4.pdf

1/277

Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id )

( Email: [email protected] atau [email protected] )

Edisi IV Revisi terakhir tgl: 1 Maret 2013

Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia

Dipublikasikan pertama kali pada September 2007


2/277


3/277

Untuk

Muflih Syamil

Hasan Azmi

Farah Raihanah

Nina Marliyani


4/277

Usia bukan ukuran kedewasaan

Ketekunan adalah jalan terpercaya menuju kesuksesan


5/277

Kata Pengantar

Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini — yang mulaiditulis pada tahun 2005. Mulai 24 juli 2010, edisi ke-4 ini diluncurkan dalam rangka mengubah

sasaran tujuan dari buku edisi ke-3.

Penekanan penulisan edisi ke-3 adalah ingin memperkenalkan sebanyak mungkin metode

numerik kepada mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Fisika, Universitas Indonesia. Ha-

sil evaluasi proses perkuliahan menunjukkan bahwa diskusi matematis terlalu dominan diban-

dingkan diskusi aplikasi metode numerik pada masalah fisika. Oleh karena itu saya memutusk-

an untuk memperbesar porsi pembahasan aplikasi metode numerik sehingga beberapa metode

numerik yang diulas pada edisi ke-3 dengan sengaja dihilangkan dalam edisi ke-4 ini.

Rujukan utama buku edisi-4 ini tetap bersumber pada buku teks standar yang sangat populer

di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan

judul Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning

Academic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh

aplikasi komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan

kontribusi yang berarti untuk kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia

yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan buku ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia

dimanapun mereka berada. Anda berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan anda untuk

meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk

tujuan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan

dikirimkan ke email: [email protected]

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Dju-

hana yang telah berkenan memberikan format L A TE X-nya sehingga tampilan tulisan pada buku

ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih

kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Nu-

merik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama

kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia

juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku

ini.

Depok, 24 Juli 2010

Supriyanto Suparno

iii


6/277

iv


7/277

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xiii

1 Pendahuluan 1

1.1 Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Mengenal cara membuat grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Matrik dan Komputasi 15

2.1 Mengenal matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.4 Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.5 Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.6 Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.7 Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.8 Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.9 Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1 Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.3 Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.4 Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v


8/277

vi

2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Fungsi 41

3.1 Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Fungsi eksternal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Aplikasi dalam Sains 554.1 Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Integral Numerik 63

5.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Diferensial Numerik 73

6.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4.1 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.5 Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.7 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.7.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.7.3 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.8 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


9/277

vii

6.8.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.8.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.8.4 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.9 PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.9.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Metode Iterasi 125

7.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.2.1 Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.2.2 Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2.3 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3.1 Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3.2 Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8 Metode Eliminasi Gauss 155

8.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.2 Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.2.2 Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.3.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.3.2 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.4 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.4.1 Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.4.3 Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.4.4 Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.4.5 Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.4.6 Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.4.7 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.5 Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


10/277

viii

8.6 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.6.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.6.2 Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 189

9.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

9.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10 Metode LU Decomposition 207

10.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11 Interpolasi 217

11.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

11.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12 Metode Newton 231

12.1 Definisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

12.2 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

12.3 Script metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

12.4 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.5 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

12.6 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.7 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.8 Aplikasi: Mencari sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

12.9 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

13 Metode Monte Carlo 247

13.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

14 Inversi 251

14.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

15 Lampiran 257

15.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


11/277


12/277

x


13/277

Daftar Gambar

1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . . . 4

1.3 Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . . 7

1.5 Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol() . . 43

4.1 Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal . . . . . . 61

5.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara meto-

de Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana

luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a

dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas

garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung

luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. . . . . . . . . . . 645.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara me-

tode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f (x)

dibagi 2 dalam batas interval a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h . . 655.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a

dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-

masing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1 Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar

h. Pasangan t1 adalah y(t1), pasangan t2 adalah y (t2), begitu seterusnya. Kanan: Garis

singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung

tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1. Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan

y(t1) beda tipis alias tidak sama persis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(6.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu

nilai wi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

xi


14/277

xii DAFTAR GAMBAR

6.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(6.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta

orde 4, yaitu nilai wi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . 886.6 Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x0 = a hingga batas atas

x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.8 Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . . 99

6.9 Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur

pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.10 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Ja-

rak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.11 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . . 1 0 8

6.12 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward-

difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 1 0 9

9.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 193

9.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 198

9.4 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.5 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.1 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memi-

liki pasangan koordinat (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

11.2 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . . . . . . . . 221

11.3 Sejumlah polinomial cubic yaitu S 0, S 1, S 2... dan seterusnya yang saling sambung-

menyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . . . . . . . . . 221

11.4 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

11.5 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

11.6 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.7 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu

pada x = −2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, ya-

itu pada x = −1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.3 Koordinat sumber sinyal berada pada x = −4 dan y = −8 . . . . . . . . . . . . . 241

13.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 248


15/277

DAFTAR GAMBAR xiii

13.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 249


16/277

xiv DAFTAR GAMBAR


17/277

Daftar Tabel

5.1 Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y (ti) serta selisih

antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi) dan solusi exact

y(ti) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan

hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (6.16) . . . . . . . . . . . . 87

6.4 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah

solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Ko-lom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . 112

6.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-

difference dimana k = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan

metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . 138

7.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 189

9.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 194

9.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

12.1 Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . 241

12.2 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

xv


18/277

xvi DAFTAR TABEL


19/277

Bab 1

Pendahuluan

Objektif :

⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel.

⊲ Mengenal operasi matematika.

⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar.

⊲ Mengenal cara membuat grafik.

1.1 Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel da-

lam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses per-hitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan.

Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang ak-

an kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalumenekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya

berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan me-

manfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1 dengan

angka 2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan

angka 3, misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A ∗ B; maka pada layar monitor akan tampil

angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi,misalnya kita ketiikan C = A ∗ B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan da-lam variable C . Script2 matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai

berikut

A = 2 ;

B = 3 ;

C = A * B

1inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel2Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-eksekusi) oleh komputer

1


20/277

2 BAB 1. PENDAHULUAN

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata.

Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dimana m adalah massa,

a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script matlab dapat ditulis seperti berikut ini

massa = 2;

percepatan = 3;

gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua

kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Misalnya begini

besar_arus = 2;

beda_potensial = 3;

nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan kom-

puter dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan tunjukkan perbedaan

yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini.

1.2 Perhitungan yang berulang

Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel

t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya

sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir.

Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan

t = 0:2:10;

Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yg mun-

cul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terbalik,

maka yang perlu anda lakukan adalah

t = 10:-2:0;

sehinggan angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan

meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya

t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.

Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini,

maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin

mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 m/dt 2.

Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut

v = vo + at (1.1)


21/277

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat sedang

diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu

pada t = 1 ⇒ v1 = (0) + (2)(1) ⇒ 2m/dtpada t = 2 ⇒ v2 = (0) + (2)(2) ⇒ 4m/dt

pada t = 3 ⇒ v3 = (0) + (2)(3) ⇒ 6m/dtpada t = 4 ⇒ v4 = (0) + (2)(4) ⇒ 8m/dtpada t = 5 ⇒ v5 = (0) + (2)(5) ⇒ 10m/dt

Script matlab untuk tujuan di atas adalah

a = 2 ;

t = 1:5;

vo = 0 ;

v = v o + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut

s = vot + 1

2at2 (1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu

baris lagi

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik

pada t.2̂. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t harus di-

kuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t2̂, maka script tersebut

tidak akan bekerja.

1.3 Mengenal cara membuat grafik

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam

bentuk grafik. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar data perubahan kecepatan

mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script

dibawah ini

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 v = vo + a * t

5 plot(t,v,’o’)

Jika script tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar,

beberapa baris perlu ditambahkan


22/277


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

3

4

5

6

7

8

9

10

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 v = vo + a * t;

5 plot(t,v,’o’);

6 xlabel(’Waktu (dt)’);

7 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)

8 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

3

4

5

6

7

8

9

10

Waktu (dt)

K

e c e p a t a n ( m / d t )

Data Kecepatan vs Waktu

Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar


23/277

1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA 5

1.4 Baris-baris pembuka

Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang anda

buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya menyarankan agar sebelum

kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan

bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear.

Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud

ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulisan

di layar monitor, tambahkan saja perintah clc. Saya biasa meletakkan ketiga perintah tersebut

pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah contohnya,

1 clear

2 close

3 clc

4

5 a = 2;

6 t = 1:5;

7 vo = 0;

8 v = vo + a * t;

9 plot(t,v,’o’);

10 xlabel(’Waktu (dt)’);

11 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)

12 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan

y = A sin(2πf t + θ)

dimana A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu

gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka script

untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah

1 clc

2 clear

3 close

4

5 A = 1; % ampl it udo

6 f = 5; % frek ue nsi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

Grafik di atas muncul karena ada fungsi plot(t,y) yang diletakkan dibaris paling akhir pada

script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari sumbu-x dan

sumbu-y serta memberikan judul grafik


24/277


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 1.3: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz

1 clc

2 clear

3 close

4

5 A = 1; % ampl it udo

6 f = 5; % frek ue nsi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang


9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang12 xlabel(’Waktu, t (detik)’); % melabel sumbu-x

13 y la bel (’A mp lit udo ’) ; % me lab el su mb u-y

14 title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize(14) pada title(), contohnya

title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear3 close

4


6

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1

9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11




25/277

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d o

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gambar 1.4: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d o


Gambar 1.5: Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt


26/277


14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2


16

17 figure

18

19 subplot(2,1,1)

20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1

21 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

22 ylabel(’Amplitudo’);

23 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

24

25 subplot(2,1,2)




29 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d o


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d o

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Gambar 1.6: Dua buah grafik dalam sebuah gambar

Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script

berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4


6



9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1


11



14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2



27/277

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 9

16

17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang

18

19 figure

20

21 subplot(3,1,1)




25 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

26

27 subplot(3,1,2)




31 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

32

33 subplot(3,1,3)

34 plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang



37 title(’\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

0

1

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d o


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d o

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

Waktu, t (detik)

A m p l i t u d

o

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz

Gambar 1.7: Tiga buah grafik dalam sebuah gambar


28/277


1.6 Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt2 dari posisi diam

ditentukan oleh rumus berikut

s = vot + 1

2at2

Buatlah script untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t= 0 hingga t = 20 dt.

2. Sebuah elektron memasuki area yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti gambar beri-

kut dimana diketahui besar muatan elektron = 1,6×10−19 C, massa elektron = 9,11×10−31

kg, kecepatan v = 3×106 m/dt, kuat medan listrik E = 200 N/C , dan panjang plat ℓ =0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan

x = vt y = −12

eE

m t2 dimana percepatan a =

eE

m

Buatlah script untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai

dari t = 0 detik hingga t = 3,33×10−8 detik dengan interval waktu 3,33×10−10 detik.

3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang

yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu ber-

gerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt2.

(a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hing-

ga 60o dengan interval 5o. Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum ada-

lahhmaks =

v2o sin2 α

2g (1.3)

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hing-

ga 60o dengan interval 5o. Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum ada-

lah

xmaks = v2o sin2α

g (1.4)

(c) Buatlah fungsi eksternal untuk masing-masing persamaan di atas.


29/277

1.6. LATIHAN 11

4. Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik

yang terukur pada permukaan kulit bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah ke

pusat bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik vs jarak, mulai

dari 0 meter hingga 10 meter.

(b) Plot gambar kurva-nya

5. Tuliskan sebuah script untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9

gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82

Hz.

6. Sebuah kapasitor 8 µF dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan

ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz.

(a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada

rangkaian (b).

(b) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-

ian (a); kemudian plot gambar kurva-nya.

(c) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-

ian (b); kemudian plot gambar kurva-nya.

7. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4µC terletak pada x = 1.

Buatlah script matlab untuk tujuan:

(a) menghitung medan listrik pada x = -2

(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya harus NOL)

(c) menghitung medan listrik pada x = 2 (cek: besar medan harus sesuai dengan point

pertanyaan (a))

(d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1

(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan terkecil ada di x = 0; dan nilai

medan meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)

(f) menghitung medan listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1


30/277


(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati

x = -1)

(h) menghitung medan listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1

(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati

x = 1)

(j) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1



(a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dima-

nakah posisi yang medannya NOL ?)

(c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 < x < 1

(d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000



(a) menghitung potensial listrik pada x = -2

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

(c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan

point pertanyaan (a))

(d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1

(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan

nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)

(f) menghitung potensial listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1

(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika

mendekati x = -1)

(h) menghitung potensial listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1

(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mende-

kati x = 1)

(j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

10. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = -20µC terletak pada x = 1.


(a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0


31/277

1.6. LATIHAN 13

11. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur

pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan

memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola

(b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ?

(c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola

(d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola

(e) Buatlah script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap jarak

mulai dari pusat bola sampai ke jarak 3 meter


32/277



33/277

Bab 2

Matrik dan Komputasi

Objektif :

⊲ Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik.

⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.

⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.

⊲ Membuat script operasi matrik.

2.1 Mengenal matrik

Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

A n×m. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun

atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks,

misalnya aij. Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom

ke- j.

A = (aij) =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

... ...

an1 an2 . . . anm

(2.1)

Pada matrik ini, a11, a12, ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Semen-

tara a12, a22, ..., an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua.

Contoh 1: Matrik A 2×3

A =

3 8 5

6 4 7

dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan

a23 = 7.

15


34/277


35/277

2.4. MACAM-MACAM MATRIK 17

1 clear all

2 clc

3

4 B(1,1) = 1;

5 B(1,2) = 3;

6 B(2,1) = 5;

7 B(2,2) = 9;

8 B(3,1) = 2;

9 B(3,2) = 4;

10 B

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriknya, dimana

jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5

5 6 4 7 ];

6

7 B=[ 1 3

8 5 9

9 2 4 ];

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matrik lantaran ditulis hanya

dalam satu baris.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];

5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

2.4 Macam-macam matrik

2.4.1 Matrik transpose

Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-

elemen baris. Notasi matrik tranpose adalah A T atau A t.

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A

A =

3 8 5

6 4 7

A T =

3 6

8 4

5 7

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal

di depan nama matriknya

1 clear all

2 clc


36/277

18 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

3

4 A=[ 3 8 5

5 6 4 7 ];

6

7 AT = A’;

2.4.2 Matrik bujursangkar

Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar

orde 3

A =

1 3 8

5 9 7

2 4 6

2.4.3 Matrik simetrik

Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik transpose-nya bernilai

sama dengan matrik asli-nya.

Contoh 5: Matrik simetrik

A =

2 −3 7 1−3 5 6 −27 6 9 8

1 −2 8 10

A T =

2 −3 7 1−3 5 6 −27 6 9 8

1 −2 8 10

2.4.4 Matrik diagonal

Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: Matrik diagonal orde 3

A =

11 0 0

0 29 0

0 0 61

2.4.5 Matrik identitas

Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: Matrik identitas orde 3

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


37/277

2.4. MACAM-MACAM MATRIK 19

2.4.6 Matrik upper-triangular

Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen dia-

gonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: Matrik upper-triangular

A =

3 6 2 10 4 1 5

0 0 8 7

0 0 0 9

2.4.7 Matrik lower-triangular

Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal

bernilai 0 (nol).

Contoh 9: Matrik lower-triangular

A =

12 0 0 0

32 −2 0 08 7 11 0

−5 10 6 9

2.4.8 Matrik tridiagonal

Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada dise-

kitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: Matrik tridiagonal

A =

3 6 0 0

2 −4 1 00 5 8 −70 0 3 9

2.4.9 Matrik diagonal dominan

Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi

|aii| >n

j=1,j=i

|aij | (2.4)

dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini

A =

7 2 0

3 5 −10 5 −6

B =

6 4 −34 −2 0

−3 0 1


38/277


Pada elemen diagonal aii matrik A , |7| > |2| + |0|, lalu |5| > |3| + | − 1|, dan | − 6| > |5| + |0|.Maka matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik

B, |6|


39/277

2.5. OPERASI MATEMATIKA 21

dijumlahkan dengan matrik A 2×3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3

D = A + C

D = 3 8 56 4 7

+ 9 5 37 2 1

=

3 + 9 8 + 5 5 + 3

6 + 7 4 + 2 7 + 1

=

12 13 8

13 6 8

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara

matrik A 2×3 dan C2×3, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik

tersebut, yaitu d11 d12 d13d21 d22 d23

=

a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13 (2.6)

d21 = a21 + c21

d22 = a22 + c22

d23 = a23 + c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik

dij = aij + cij (2.7)

dimana i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 sementara

batas j sampai angka 3. Kemampuan anda dalam menentukan batas indeks sangat penting

dalam dunia programming .

2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat

berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13


40/277


Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3.

Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j harus

diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping -nya paling cepat

harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya

paling jarang berubah.

Bila anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan contoh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita mulai

dari source code paling mentah berikut ini.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B

7

8 % ---proses penjumlahan matrik----

9 D(1,1)=A(1,1)+C(1,1);10 D(1,2)=A(1,2)+C(1,2);

11 D(1,3)=A(1,3)+C(1,3);

12 D(2,1)=A(2,1)+C(2,1);

13 D(2,2)=A(2,2)+C(2,2);

14 D(2,3)=A(2,3)+C(2,3);

15

16 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

17 A

18 C

19 D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan

tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin anda paham dengan logika yang ada pada bagian

% —proses penjumlahan matrik—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen

d11 adalah hasil penjumlahan antara elemen a11 dan c11, sesuai dengan baris pertama Persamaan

2.6.

Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for -

end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A5


7


9 for j=1:3

10 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j);

11 end

12

13 for j=1:3

14 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j);

15 end


41/277


16


18 A

19 C

20 D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dimana j bergerak dari

1 sampai 3. Coba anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai 3?

Modifikasi tahap kedua adalah sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3


5


7


9 i=1

10 for j=1:311 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13

14 i=2

15 for j=1:3

16 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

17 end

18


20 A

21 C

22 D

Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2.

Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan

ke-16. Nah sekarang coba anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama

persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan

kedalam sebuah looping yang baru dimana i menjadi nama indeksnya.

1 clear all

2 clc

3


5


7


9 for i=1:2

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 end

14


16 A


42/277


17 C

18 D

Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2?

Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodifikasi lagi, namun ada sedikit saran

untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok

kedalam seperti berikut ini

1 clear all

2 clc

3


5


7


9 for i=1:2

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 end

14


16 A

17 C

18 D

Sekarang anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping

indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang lo-

oping -nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah

looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak

lebih cepat dibanding looping indeks i.

2.5.3 Perkalian matrik

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama

sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran

sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A 2×3 dikalikan dengan matrik

B3×2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E2×2

E2×2 = A 2×3.B3×2


43/277


E =

3 8 5

6 4 7

1 3

5 9

2 4

=

3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4

6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4

=

53 101

40 82

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara ma-

trik A 2×3 dan B3×2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik terse-

but, yaitu

e11 e12

e21 e22

=

a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32

a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a21.b12 + a22.b22 + a23.b32

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E2×2 adalah

e11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 (2.8)

e12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 (2.9)

e21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 (2.10)

e22 = a21.b12 + a22.b22 + a23.b32 (2.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,

elemen a dan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan peru-

bahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini

e1.. = ..

e1.. = ..

e2.. = ..

e2.. = ..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks yang


44/277


polanya sama

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjut-

nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan

angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b,

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang

polanya sama

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j




dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjut-

nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan

angka-indeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati

pola sebagai berikut

eij = ai1.b1 j + ai2.b2 j + ai3.b3 j




Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama,


45/277


dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj




Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (2.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij =3

k=1

aikbkj (2.13)

dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik A n×m yang dikalikan dengan matrik

Bm× p, akan didapatkan matrik En× p dimana elemen-elemen matrik E memenuhi

eij =m

k=1

aikbkj (2.14)

dengan i=1,2,...,n; j=1,2..., p; dan k=1,2...,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matrik

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian matrik sesuai dengan

contoh di atas.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses perkalian matrik----

8 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1);

9 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

10 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

11 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

12

13 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

14 A

15 B

16 E


46/277


Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan

dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matrik yaitu

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (2.15)

Dari sana ada 4 point yang perlu dicatat:

• elemen e memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

• pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi

penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Namun indeks k

selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks k paling cepat berubah diban-

ding indeks i dan indeks j .

• elemen a memiliki indeks i dan indeks k dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

• elemen b memiliki indeks k dan indeks j dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding

indeks j .

Tahapan modifikasi source code perkalian matrik tidak semudah penjumlahan matrik. Dan

mengajarkan logika dibalik source code perkalian matrik jauh lebih sulit daripada sekedar me-

modifikasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau

harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami.

Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung

nilai E (1, 1)

1 clear all

2 clc

3



6


8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1);

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

12

13 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17


19 A

20 B

21 E

Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan

adalah


47/277


1 clear all

2 clc

3



6


8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=0;

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

12 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

13


15 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

16 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

17 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

18


20 A

21 B22 E

Dari sini kita bisa munculkan indeks k

1 clear all

2 clc

3



6


8 E(1,1)=0;9 for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end

12


14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17


19 A

20 B

21 E

Kemudian cara yang sama dilakukan pada E (1, 2), E (2, 1), dan E (2, 2). Anda mesti cermat dan

hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!!

1 clear all

2 clc

3



6


48/277



8 E(1,1)=0;

9 for k=1:3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end

12

13 E(1,2)=0;

14 for k=1:3

15 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);

16 end

17

18 E(2,1)=0;

19 for k=1:3

20 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

21 end

22

23 E(2,2)=0;

24 for k=1:3

25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

26 end

27


29 A

30 B

31 E

Inisialisasi elemen-elemen matrik E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian

yang sekaligus memunculkan indeks i dan j untuk elemen E

1 clear all

2 clc

3



6


8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for k=1:3

15 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

16 end

17

18 for k=1:319 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);

20 end

21

22 for k=1:3

23 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

24 end

25

26 for k=1:3

27 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

28 end

29


49/277



31 A

32 B

33 E

Sekarang coba anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks

i dan indeks j pada elemen E . Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j .

Dengan demikian kita bisa munculkan indeks j

1 clear all

2 clc

3



6




10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 j=1;

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18

19 j=2;

20 for k=1:3

21 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

22 end

23

24 for k=1:325 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

26 end

27

28 for k=1:3

29 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

30 end

31


33 A

34 B

35 E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemendari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalam looping indeks j

1 clear all

2 clc

3



6




50/277



10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*

B(k,j);

17 end

18 end

19

20 for k=1:3

21 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

22 end

23

24 for k=1:3

25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

26 end

27


29 A

30 B

31 E

Sekarang coba sekali lagi anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingkan

indeks i dan indeks j pada elemen E . Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap indeks

j. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeks j disana

1 clear all

2 clc

3



6




10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end19

20 j=1;

21 for k=1:3

22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

23 end

24

25 j=2;

26 for k=1:3

27 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

28 end

29


51/277



31 A

32 B

33 E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalam looping indeks j

1 clear all

2 clc

3



6




10 E(i,j)=0;

11 end

12 end13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19

20 for j=1:2

21 for k=1:3

22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

23 end

24 end

25


27 A

28 B

29 E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modifikasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22.

Indeks i pada elemen E dan A bergerak dari 1 ke 2, sehingga indeks i bisa dimunculkan

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6




10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 i=1;

15 for j=1:2


52/277


16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20

21 i=2;

22 for j=1:2

23 for k=1:3

24 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

25 end

26 end

27


29 A

30 B

31 E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan oleh looping indeks i

1 clear all

2 clc

3



6


8 for i=1:2

9 for j=1:2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for i=1:2

15 for j=1:2

16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20 end

21


23 A

24 B

25 E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modifikasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses

optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan

kesalahan, terutama jika anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu

memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semudah

meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy , namun saya menyarankan agar anda

mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini dan

tanpa bantuan orang lain. Kalau anda gagal, cobalah berfikir lebih keras untuk mencari jalan

keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk mencari


53/277


tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini akan bisa

menyatu pada diri anda.

2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-

tara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana m

merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A , pada con-

toh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan mengatakan

vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y

y = Ax

y =

3 8 5

6 4 7

2

3

4

=

3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4

=

50

52

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara

matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

y1

y2

=

a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah

y1 = a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

y2 = a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi =3

j=1

aij x j

dimana i=1,2.

Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n x m yang dikalikan

dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1


54/277


dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi

yi =

m j=1

aij x j (2.16)

dengan i=1,2,... ,n.

2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matrik dan vektor-

kolom sesuai dengan contoh di atas

1 clear all

2 clc

3


5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matrik dan vektor----

8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1);

9 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10


12 A

13 x

14 y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan

dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalia

komputasi_matlab_4.pdf

Documents