konstytutywnych sma z wykorzystaniem struktur...
TRANSCRIPT
Formułowanie relacji
konstytutywnych SMA
z wykorzystaniem struktur reologicznych
Artur Zbiciak
Wydział Inżynierii Lądowej
Instytut Dróg i Mostów
Warszawa, 20.10.2017 r.
• Prezentacja opisu nieliniowych elementów reologicznych przy zastosowaniu pojęć mechaniki niegładkiej i analizy wypukłej.
• Analiza oryginalnych struktur reologicznych odwzorowujących konstytutywne cechy materiałów SMA.
• Implementacja numeryczna modeli materiałów z pamięcią kształtu w środowisku systemu MES ABAQUS na podstawie autorskich algorytmów zaprogramowanych w ramach procedur użytkownika.
• Przedstawienie możliwości wykorzystania sformułowanych związków fizycznych SMA w wybranych zagadnieniach dynamiki konstrukcji.
Cel i zakres referatu
Struktury reologiczne
Reologia – dział mechaniki zajmujący się opisem zjawisk
akumulowania i dyssypacji energii w ośrodkach ciągłych.
Element reologiczny – symbol graficzny (sprężyna, tłumik,
suwak …) reprezentujący określone zjawisko energetyczne.
Struktura reologiczna – złożony schemat, zbudowany
z podstawowych elementów, odzwierciedlający zjawiska
fizyczne sprężystości i dyssypacji zachodzące w
materiale.
Rys. Przykładowa, liniowa
struktura reologiczna
Materiał liniowo-sprężysty (Hooke’a)
12
3K G
I I I IC 1
1
:2
ε ε εC
* 11:
2
σ σ σC
* : sup
ε
σ σ ε εE
εσ ε
εC
*
1
σε σ
σCRys. Symbol graficzny i
jednowymiarowa relacja
konstytutywna materiału Hooke’a
ap K3 es G2
Iσp tr3
1:
Iεa tr3
1:
Iσσs tr3
1:
Iεεe tr3
1:
Stany kuliste i dewiatorowe
Materiał lepki (ciecz Newtona)
σ εA
12
3vol dev
I I I IA 1
1
:2
ε ε εA
* 11:
2
σ σ σA
Rys. Symbol graficzny i
jednowymiarowa relacja
konstytutywna cieczy Newtona
Model sztywno-idealnie plastyczny
(Saint-Venanta)
pl
pl
σ
σ ε σ ε σ
εε pl
εσεσ
~ sup:
~pl
pl
pl
σ σ
0 gdy
:gdy pl
pl
pl
σσ
σ
σ ε ε σ
Rys. Symbol graficzny i
jednowymiarowa relacja
konstytutywna materiału Saint-
Venanta
pl σ ε σ ε σ σεplN
N : : 0pl pl
σ ε ε σ σ σV
pl
pl
σ
σ ε σ ε σ
0, 0, 0
pl pl
pl pl pl pl
F
F F
ε σ
σ σ
: : 0pl plF σ σS
Model sztywno-idealnie sprężysty
(Hencky’ego)
pe
pe
σ
σ ε σ ε σ
pe ε ε
pe
σ σ
0, 0, 0
pe pe
pe pe pe pe
F
F F
ε σ
σ σRys. Symbol graficzny i
jednowymiarowa relacja konstytutywna
materiału Hencky’ego
Model materiału z lockingiem
loc
loc
ε
σ ε σ ε ε
loc ε ε
loc
σ σ
Rys. Symbol graficzny i jednowymiarowa
relacja konstytutywna materiału z
lockingiem
Model materiału Kepesa
kp
kp
σ ε
σ ε σ ε σ ε
,
, 0, 0, , 0
kp kp
kp kp kp kp
F
F F
σε σ ε
σ ε σ ε
Rys. Pętle histerezy materiału Kepesa (a) i Saint-Venanta (b)
Zestawienie elementów nieliniowych
pl
pl
σεσεσ
σ
~~ pe
pe
σεσεσ
σ
~~loc
loc
εεσεσ
ε
~~
Model Saint-Venanta Model Hencky-ego Materiał z lockingiem
Następstwo różniczkowe inkluzji
1
Npl
pl
pl
pl
ε σ ε
σ
ε σ
C
c
1
c
D
D ,
Npl
pl
pl
pl
t
ε σ ε
σ σ
ε σ
C
0,dist inf lim::,D0
ch
htt
pl
hpl
σσσσ
Pochodna kontyngentowa
odwzorowania wielowartościowego:
Jawna postać relacji konstytutywnej
12
1:, 22
pl
HMH
pl kF sσ
t
t0
d es
2
gdy 2 1
gdy 2 1
pl
pl
G
k
k
s e e
0 se
s s
12 22 kGk
G es
2
2
gdy 2
gdy 22
pl
pl
G
k
kk
s e e
0 s
es e
s s
Model bez wzmocnienia:
związki Prandtla-Reussa
Zagadnienie początkowo-brzegowe
, ,
i
i
i i if
σ ε ε
ε σ ε ε
C
1,,2,1 ni
d iv u σ f
T grad grad
2
1uuε
uu ~
qnσ
0εuuuu i,~,~
ktt ,0, x
ktt ,0, x
ktt ,, 0 x
0 t,x
ku tt ,, 0 x
ktt ,0, x
Implementacja MES – program ABAQUS
Całkowanie równań ruchu
(MRC albo metoda Newmarka)
Związki geometryczne
VUMAT albo UMAT
Całkowanie relacji konstytutywnych
tt u
tt ε
tt σ
• Zdolność do przenoszenia (utrzymywania) stałej wartości
naprężeń
• Brak trwałych odkształceń po odciążeniu
• Dyssypacja (rozpraszanie) energii
Rys. Pętle histerezy prętów SMA
(nitinol) w stałej temperaturze
(Lammering, Schmidt, 2001).
Charakterystyka materiałów SMA
G. Song, N. Ma, H.-N. Li (2006)
Schematy ideowe zastosowań SMA
Seismic retrofit of the bell tower of the church of San Giorgio in
Trignano (DesRoches and Smith, 2002 )
Ochrona obiektów zabytkowych
Reologiczny model SMA
Rys. Schematyczne wykresy izotermicznego odciążania próbki SMA
a) niepełna przemiana austenitu w martenzyt;
b) pełna przemiana austenitu w martenzyt.
Podstawowa struktura reologiczna SMA
Rys. Wynik rozciągania modelu jednowymiarowej próbki ze stopu SMA
gr
pl
gr
pe
Wpływ temperatury
https://www.youtube.com/watch?v=c01PAm9GtMA
Rys. Wykresy obciążania próbki ze stopu SMA w temperaturze T1 i T2
Relacje konstytutywne podstawowego modelu
o2 eess Gpepl
o
2 22 20 , 2 , 2 0
pe pe
pe pe pe pe pe pek k
e s
s s
o
2 22 20 , 2 , 2 0
pl pl
pl pl pl pl pl plk k
e s
s s
o
o o
2
, ,SMA
G
f
o
o
SMA o
o2
o
gdy 0 2 2
gdy 0 2
e , ,gdy 0 2 2
gdy 0 2
pl pe
pl pl
pl pe
pl pl pl pl
G k k
k
fG k k
k
0 e e
0 e s
e e e ee e e
e
s e s
12
2
o
o o
o
o
o
21 1
2 2 2
22
2
pl pe pe pl
pl
pl pe pl
pe
pl
pe
pe
k
k G k k
kG
k
s e s s
e
s e e ee
s ee
Jawna postać związków fizycznych
Model SMA z lockingiem
o2 eess Glocpepl s
2 22 2
o
1 1, 0; , 0
2 2pe pe pe pe pe pe pe pek k
e s s s
02
1,
2
1,0, 2
22
2
o
plplplplplplplpl kk ssse
02
1,
2
1,0, 2
22
2
olocolocolocloc eees
o o
o
22w pl loc peG k e e
o 2
plw k2s
o 0
Przypadek szczególny
Model SMA z pętlami wewnętrznymi
Ciało z dwufazową plastycznością – zmodyfikowany model Kepesa
p p pk t t T
ttftftfkk tt
k
k 1,
0
:
,
1, gdy ,
0, gdy ,a b
t a bt
t a b
tttttkk
k
k
2
1,
2
112
,0
1sinsinsin
Struktura reologiczna SMA z pętlami wewnętrznymi
p p pk t t T
Przykładowy test numeryczny
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
czas [s]
prz
em
ieszczen
ie [
m]
-8,00E+08
-6,00E+08
-4,00E+08
-2,00E+08
0,00E+00
2,00E+08
4,00E+08
6,00E+08
8,00E+08
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
odkształcenie [1]
na
prę
że
nie
[P
a]
Struktury reologiczne SMA z lepkością
Model komputerowy mostu
podwieszonego z tłumikami SMA
Szczegóły połączeń i widok modelu MES
Identyfikacja parametrów materiałowych cięgien SMA
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prz
ysp
ieszen
ie [
g]
Rys. Pierwsze sześć postaci drgań własnych i
odpowiadające im częstotliwości mostu
porównawczego.
Rys. Sygnał wymuszenia kinematycznego
przyjęty do analizy.
Symulacja drgań mostu
Rys. Pętla histerezy w cięgnach
SMA
Rys. Wykresy przemieszczeń
pionowych przęsła
Wyniki obliczeń komputerowych
Redukcja sił wewnętrznych w podstawie
pylonu
Rys. Momenty zginające
Rys. Siły poprzeczne
Podsumowanie
Zaproponowano oryginalne struktury reologiczne odwzorowujące konstytutywne
cechy SMA, zawierające nieklasyczne elementy opisywane za pomocą
nierówności wariacyjnych.
Relacje konstytutywne SMA formułowano w formie jawnych równań
różniczkowych zwyczajnych.
Przedstawiono metodykę rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych
przy zastosowaniu systemu MES oraz autorskich procedur materiałowych.
Tematyka dalszych badań może obejmować zagadnienia identyfikacji
nowoczesnych materiałów konstrukcyjnych za pomocą zaproponowanych
struktur reologicznych.
Opracowana metodyka może być wdrożona do analizy konstrukcji budowlanych
wyposażonych w dyssypatory energii.
Dziękuję za uwagę