konu anlatimi...konu anlatimi Örnekler ³ f 0 f n 0 2 Ġntegral almak , ‘’türevi verilen bir...

1

İNTEGRAL

KONU ANLATIMI

ÖRNEKLER

0

0n

2

Ġntegral almak , ‘’türevi verilen bir

fonksiyonu bulmak’’tır.

)(xfdx

dy , ),( bax

fonksiyonu olarak verildiğini ve

y=F(x) in istendiğini varsayalım.

ÖRNEK:

xdx

dy2 için y nin x cinsinden ifadesi:

y=x2 + C dir. ( C , herhangi bir sabit.)

)()(

xfdx

xdF

koĢulunu sağlayan y = F(x)

fonksiyonuna f(x) in x ‘e göre

integrali denir.

CxFdxxf )()(

biçiminde gösterilir.

( CxFdxxfxdF )()()( )

ÖRNEK:

23xdx

dy , dxxdy 23

Cxdxxy 323

( Cxxd 33 )( )

Cudu

duaadu

dvdudvdu )(

Cn

uduu

nn

1

1

( n 1 )

ÖRNEK:

Cxdx

ÖRNEK:

Cxxdx 2

2

1

ÖRNEK:

Cxdxxdxx 2

3

2

1

3

2

ÖRNEK:

Cxdxxdxx 3

4

3

1

3

4

3

ÖRNEK:

Cxdxxx

dx

22

1

ÖRNEK:

Cx

xxdxx

xx

22

265 35

2

24

ÖRNEK:

Cuu

duuduuuu

4

32

4

1

)1()1)(1(

ÖRNEK:

Cvvvdvvdvv

dvv

dvv

vdv

v

v

23

2

11

2

1

2

1

Cxxdx sincos

Cxxdx cossin

Cxxdx tansec2

Cxxdx cotcsc2

Cxxdxx sectansec

Cxxdxx csccotcsc

ÖRNEK:

Cxxdx 2sin2

12cos

Ca

baxFdxbaxf

)()(

3

ÖRNEK:

Cxx

dxxxdx

4sin4

1

2

1

)2cos1(2

1cos 2

ÖRNEK:

dxdxxxdx )tan1(tan 22

Cxxxdxxdx tantansec2

ÖRNEK:

Cxxxx

dxxxx

dxx

xxxxdx

x

x

234)1(

1

)1)(1(

1

1

23423

234

ÖRNEK:

Cxxdxxdxx

xsectansec

cos

sin2

ÖRNEK:

Cxxxdxxdx

dxxx

xx

xx

dx

cottancscsec

cossin

cossin

cossin22

22

22

22

TEOREM:

f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ve

F(x) = x

a

dttf ).( , x[a,b]

ise F fonksiyonu (a,b) aralığında türevi

alınabilir bir fonksiyon olup

F’(x) = f(x) , x(a,b) dir.

)()( xfdttfdx

dx

a

ÖRNEK:

25

1

25 )sin1()sin1( xdttdx

dx

ÖRNEK:

2020

0

2020 )1()1( xxdtttdx

dx

TEOREM:

f , [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon

ve bir ilkeli F ise ;

b

a

aFbFdxxf )()()( dır.

ÖRNEK:

2

15

2

18

22

2

1

42

1

3 x

dxx

ÖRNEK:

2

7

)48(52

25

2)1(

)1()1)(1(

5

4

25

4

5

4

5

4

xx

dxx

dxxdxxx

y=f(x) eğrisi , x=a , x=b doğruları ve

x ekseni ile sınırlı bölgenin alanı :

b

a

dxxfA )( dir.

ÖRNEK:

4

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

EK BİLGİ :

Parabol ve x ekseni ile sınırlı alan =

3

2Taban x Yükseklik=

3

324)).2(2(

3

2

ÖRNEK:

204)223

8(832

3

512

23)1(

1

)1)(1(

1

1

8

2

8

2

232

8

2

28

2

3

xxx

dxxx

dxx

xxxdx

x

x

UYARI:

Fonksiyon x=1 için TANIMSIZ (süreksiz)

olduğundan integral sınırları içinde olsaydı

integral alma iĢlemi yapılamazdı.

ÖRNEK:

y=2x3-2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı

bölgenin alanı kaç birim karedir?

2x3-2x=2x(x-1)(x+1)=0

x1=-1 , x2=0 , x3=1

10)12

1()1

2

1(0

)22(2

|22|)22(

1

0

3

0

1

24

1

0

3

0

1

3

dxxxxx

dxxxdxxxA

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

a

a

dxxf 0)(

f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon ve

],[ bac için ;

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()(

5

ÖRNEK:

?.1

2

0

dxx

1-x = 0 için x=1

1)12

1(220

2

11

22

).1().1(

.1.1.1

2

1

21

0

2

1

0

2

1

2

1

1

0

2

0

xxx

x

dxxdxx

dxxdxxdxx

ÖRNEK:

y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü ile

sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?

y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü

2-x = x2 , x2+x-2=0 , x1=-2 ve x2=1

noktalarında kesiĢirler.

A = dxxx .2

1

2

2

1

2

2 ).2( dxxx

2

9

3

824

3

1

2

12

322

1

2

32

xxx

y=f(x) ve y=g(x) eğrileri ile

sınırlı bölgenin alanı ;

dxxgxf

b

a

.)()(

ÖRNEK:

y = x3 – x2 – 2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı

bölgenin alanı kaç br2 dir?

0)2)(1(223 xxxxxx

x1=-1 , x2=0 , x3=2

dxxxxA .2

2

1

23

0

1

2

0

2323 ).2().2( dxxxxdxxxx

0

1

234

34x

xx2

0

234

)34

( xxx

12

374

3

841

3

1

4

10

6

ÖRNEK:

y = x2 – 1 ve y = 1 – x2 eğrileri ile

sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?

1 x ve10)1)(1(2

02211

21

222

xxx

xxx

dxxxA .)1()1(

1

1

22

3

8

3

22).22(

1

1

1

1

32

x

xdxx

ÖRNEK:

y=|x| ve y=2-x2 eğrileri ile

sınırlı bölgenin alanı kaç br2dir?

|x|=2-x2

x < 0 için ; -x-2+x2=0 , x1=-1

x0 için ; x-2+x2=0 , x2=1

dxxxA .2

1

1

2

0

1

1

0

22 )2()2( dxxxdxxx

1

0

230

1

23

232

232

xxx

xxx

3

7

6

7

6

7

ORTALAMA DEĞER TEOREMĠ:

f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon iken ;

b

a

cfabdxxf )()()(

eĢitliğini sağlayan bir c[a,b] vardır.

ÖRNEK:

y = f(x) = x2 + 1 fonksiyonu için ;

[-2,1] aralığında ortalama değer teoremine

uygun c değerini bulunuz ?

623

81

3

1

3).1(

1

2

31

2

2

xx

dxx

121

2)(6)(3

)())2(1().1(

22

1

2

2

xx

cfcf

cfdxx

x1 = -1 , x2 = 1

UYARI:

Dikdörtgen dıĢında kalan taralı alanın ,

Dikdörtgen içinde kalan taranmamıĢ alana

eĢitliğine dikkat ediniz.

7

ÖRNEK:

xy ve 2xy eğrileri ile

sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?

01

2 xxx , 12 x

dxxxA ).( 2

1

0

3

1

3

1

3

2

3

1

3

21

0

32

3

xx

ÖRNEK:

xy sin ve xy cos eğrilerinin

4

x ,

4

5x aralığında sınırladığı


4

5

4

).cos(sin

dxxxA

22sincos 4

5

4

xx

b

a

dyygyfA )]()([

ÖRNEK:

2yx ve 22

1 2 yx eğrileri ile


222

11

22 yyy ve 22 y

2

2

2

2

2

22

2

12.2

2

1ydyyyA

3

16

3

44

3

44

6

12

2

2

3

yy

UYARI:

a

dxxfA0

1 ).( ve

b

dyyfA0

1

2 ).(

8

f , bir çift fonksiyon ise :

a

a

a

dxxfAAAdxxf0

).(22).(

f , bir tek fonksiyon ise :

a

a

AAdxxf 0).( dır.

ÖRNEK :

dxx

x

24

24

41

1

sin

değeri kaçtır?

41

sin)(

x

xxf

tek fonksiyon olduğundan

0.1

sin24

24

4

dxx

x

dır.

28011

sin24

24

24

24

4

dxdxx

x

ÖRNEK : 3xy ve 3 xy eğrileri ile


0933 xxxx

11 x , 02 x , 13 x

dxxxdxxx ..

1

0

33

0

1

33

1

0

4

3

40

1

3

44

44

3

4

3

4

xxx

x

12

1

2

1

ÖRNEK :

y2+2y=4-y2 y1=-2 , y2=1

1

2

22 )].2()4[( dyyyyA

1

2

2 ).224( dyyy

1

2

32

3

24

yyy

93

1648

3

214

9

ÖRNEK :

dxx .

2

1

?

101 xx

010 xx

121 xx olduğundan ;

0

1

1

0

2

1

2

1

.1.0.1. dxdxdxdxx

01210

02

1

0

1

xx

ÖRNEK :

6 ; -2 < x < 1 için

)(xf -4 ; 1 < x < 3 için

5 ; 3 < x < 8 için

8

2

).( dxxf =?

1

2

3

1

8

3

8

2

.5.4.6).( dxdxdxdxxf

8

3

3

1

1

2546 xxx

35

1540)412()12(6

Nn için :

n çift iken ;

1

21

1

ndxx n

n tek iken ;

0

1

1

dxx n dır.

r pozitif rasyonel sayıları için :

1

1

0

11

0

dxxdxx rr

)()()()().( '''' bfafaafbbfdxxxf

b

a

Cxx

dx

arcsin

1 2 ( |x| < 1 )

Ca

x

xa

dx

arcsin

22 (a >0 , |x|<a)

10

ÖRNEK :

?94

3

2

02

x

dx

3

2

0 2

3

2

02

)9

4(9

94x

dx

x

dx

1243

10arcsin

2

1arcsin

3

1

2

3arcsin

3

1

9

43

1 3

2

0

3

2

0 2

x

x

dx

Cxx

dx

arctan12

Ca

x

aax

dx

arctan1

22 ( a 0 )

ÖRNEK :

1

12

x

y ve 2

2

1xy eğrileri ile sınırlı


1

12x

2

2

1x x1=-1 , x2=1

dxxx

dxxx

A

1

0

2

2

1

1

2

2 2

1

1

12

2

1

1

1

3

1

26

1arctan2

1

0

3

xx

Cxx

dx ln

Cbaxabax

dx

ln1

( a 0 )

Cbxbaxdxbx

ax

ln)(

ÖRNEK :

Cxx

dx

75ln5

1

75

ÖRNEK :

Cxx

Cxxdx

x

x

dx

x

x

dxx

x

6

1ln

9

5

3

1

6

1ln

6

1

2

3

3

1

6

12

3

3

1

)6

1(6

)2

3(2

16

32

Cxfdxxf

xf )(ln

)(

)('

ÖRNEK :

Cxxdxxx

x

23ln

23

32 2

2

ÖRNEK :

CxCx

dxx

xdx

x

xdxx

seclncosln

cos

)(cos

cos

sin.tan

'

11

Cxdxx secln.tan

Cbx

ax

abbxax

dx

ln1

))((

(a b)

Cax

ax

aax

dx

ln2

122

(a 0)

ÖRNEK :

)3)(2(62 xx

dx

xx

dx

Cx

xC

x

x

3

2ln

5

1

3

2ln

)2(3

1

ÖRNEK :

222 3)2(94 x

dx

x

dx

Cx

xC

x

x

32

32ln

12

1

32

32ln

)3)(2(2

1

ÖRNEK : 4

2

4

2

58ln5

1

58t

t

dt

6ln5

1

12

2ln

5

12ln

5

112ln

5

1

ÖRNEK :

Cxdxx

xdxx sinln.

sin

cos.cot

Cxdxx sinln.cot

ÖRNEK :

)4)(1(43

0

3

2 yy

dy

yy

dy

2ln5

416ln

5

1

4ln5

1

4

1ln

5

1

4

1ln

)1(4

10

3

y

y

Cedxe xx

ÖRNEK :

Cxeedxee

dxe

eeedx

e

e

xxxx

x

xxx

x

x

22

23

2

1).1(

1

)1)(1(.

1

1

Ca

adxa

xx ln

ÖRNEK :

10ln.10

99

10ln

1010

10ln

1010

11

1

1

1

x

xdx

ÖRNEK :

14ln

14

4ln

)4(

)4(4

1

0

1

0

1

0

e

e

e

duedue

u

uuu

12

ÖRNEK :

3ln3

8

3ln

13

1

3ln

13

3ln

3

3ln

3

33).33(

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

xx

xxxx dxdxdx

duufdxxuxuf ).().('.)(

ÖRNEK :

dxxx .cos.sin3

dxxduxu .cossin

Cx

Cu

duudxxx

4

433

sin4

1

4.cos.sin

ÖRNEK :

dxx.sin 3

xxx sin.sinsin 23

xxxx 2222 cos1sin1sincos

dxxxdxx

dxxx

dxxxdxx

.sin.cos.sin

.sin).cos1(

.sin.sin.sin

2

2

23

dxxduxu .sincos

Cxx

Cux

duux

3

3

2

cos3

1cos

3

1cos

cos

ÖRNEK :

dxxx 32

dxduxu .332

)2(3

1 ux

duuudxxx .)2(9

132

Cxxxx

Cuu

duuu

32)32(27

432)32(

45

2

27

4

45

2

).2(9

1

2

2

3

2

5

2

1

2

3

ÖRNEK :

dxx.sec

dxxx

xxxdxx .

tansec

tansec.sec.sec

dxxx

xxx.

tansec

sectan.sec 2

xxxduxxu 2sectan.sectansec

Cxx

Cuu

du

tansecln

ln

Cxxdxx tansecln.sec

Cxxdxx cotcscln.csc

)(

)(

).().('.)(

bu

au

b

a

duufdxxuxuf

13

ÖRNEK :

dxx

xe

.ln

1

1ln

01ln1

ln

eex

x

x

dxduxu

2

1

2

1..

ln1

0

2

1

01

uduudxx

xe

ÖRNEK :

)1( xx

dx

x

dxduxu

2

CxCu

u

du

xx

dx

1ln21ln2

12

)1(

ÖRNEK :

3

1 )1( ss

ds

s

dsdusu

2

33

11

us

us

6432

1arctan3arctan2arctan2

12

)1(

3

1

3

1

2

3

1

u

u

du

ss

ds

duvuvdvu ..

ÖRNEK :

dxxx .sin.

dxxvdxxdv

dxduxu

.cos.sin

Cxxx

dxxxxdxxx

sincos.

.coscos..sin.

ÖRNEK :

dxx.ln

xvdxdv

x

dxduxu

ln

Cxxx

dxxxdxx

ln.

ln..ln

UYARI :

Ġntegrali alınacak ifade de ,

hangi fonksiyona ‘’u’’ , hangisine de ‘’dv’’

denileceğini kolaylaĢtıran bir yol :

‘’LAPTÜ’’ kelimesinde ;

L ; logaritma

A ; arcsin, arccos gibi ters trigonometrik

fonksiyonlar

P ; polinom fonksiyon

T ; trigonometrik fonksiyon

Ü ; üstel fonksiyon

olmak üzere iki değiĢik fonksiyondan önce

gelen fonksiyon ‘’u’’ , diğer kısım ‘’dv’’ ile

gösterilir.

14

ÖRNEK :

dxxx .ln.

2.

ln

2xvdxxdv

x

dxduxu

Cxxx

dxxxx

dxxx

22

2

4

1ln

2

1

.2

1ln

2.ln.

ÖRNEK :

1

0

.arctan dxx

21arctan

x

dxduxu

xvdxdv

2ln2

1

4

)1ln(2

11arctan

1arctan..arctan

1

0

2

1

0

2

1

0

1

0

x

x

xxxdxx

ÖRNEK :

dxex x

2

dxxduxu .22 xx evdxedv

dxexexdxex xxx

.222

xx evdxedv

dxduxu

Cexeex

dxexeex

xxx

xxx

22

2

2

2

ÖRNEK :

dxxxdxx .sec.sec.sec 23

xvdxxdv

dxxxduxu

tan.sec

.tan.secsec

2

dxxxxx .sec.tantan.sec 2

1sectan 22 xx

dxxdxxxx

dxxxxx

.sec.sectan.sec

.sec)1(sectan.sec

3

2

dxxxxdxx .sectan.sec.sec2 3

Cxxxxdxx tansecln2

1tan.sec

2

1.sec3

ÖRNEK :

dxbxeax .cos

a

evdxedv

dxbxbdubxu

axax

.sincos

).sin(cos.cos dxbxba

ebx

a

edxbxe

axaxax

dxbxea

b

a

bxe axax

.sincos

a

evdxedv

dxbxbdubxu

axax

.cossin

dxbxe

a

b

a

bxe

a

b

a

bxe axaxax

.cossincos

dxbxea

b

a

bxbe

a

bxe ax

a

axax

.cossincos 2

2

22

2 sincos.cos1

a

bxb

a

bxedxbxe

a

b axax

15

Cba

bxbbxaedxbxe axax

22

sincos.cos

Cba

bxbbxaedxbxe axax

22

cossin.sin

ÖRNEK :

dxxn .sin ( n=2,3,… )

dxxxnduxu nn .cos.sin)1(sin 21

xvdxxdv cos.sin

dxxxnxxdxx nnn .cos.sin)1(cos.sin.sin 221

xx 22 sin1cos

dxxndxxnxx nnn .sin)1(.sin)1(cos.sin 21

dxxnxxdxxn nnn .sin)1(cos.sin.sin 21

dxxn

nxx

ndxx nnn .sin

1cos.sin

1.sin 21

dxxn

nxx

ndxx nnn .cos

1sin.cos

1.cos 21

( n=2,3,….. )

ÖRNEK :

dxxxxdxx .sin4

3cos.sin

4

1.sin 234

dxxxdxx2

1cos.sin

2

1.sin 2

Cxxxxxdxx 8

3cos.sin

8

3cos.sin

4

1.sin 34

ÖRNEK :

dxxxxdxx .cos5

4sin.cos

5

1.cos 345

dxxxxdxx .cos3

2sin.cos

3

1.cos 23

Cxxxxxdxx sin15

8sin.cos

15

4sin.cos

5

1.cos 245

dxexnexdxex xnxnxn 1

ÖRNEK :

dxxeexdxex xxx

222

dxexedxxe xxx

Cexeexdxex xxxx 2222

dxxxnxxdxxx nnn .coscos.sin 1

dxxxnxxdxxx nnn .sinsin.cos 1

ÖRNEK :

dxxxxxdxxx .cos2cos.sin 22

dxxxxdxxx .sinsin.cos

Cxxxxxdxxx cos2sin2cos.sin 22

16

𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥

ġeklindeki integral iĢlemlerinde:

n tek ise:

dxxxxdxxx nmnm .cos.cos.sin.cos.sin 1

yazılır.

cos2x = 1-sin2x kullanılır.

m tek ise:

dxxxxdxxx nmnm .cos.sin.sin.cos.sin 1

yazılır.

sin2x = 1-cos2x kullanılır.

m ve n çift ise:

sin2x = 2

1(1-cos 2x) , cos2x =

2

1(1+cos 2x)

sin x.cos x = 2

1sin 2x kullanılır.

ÖRNEK:

𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥

= 𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠6𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

= 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 olur.

𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢4 1 − 𝑢2 3𝑑𝑢

= 𝑢4 1 − 3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6 𝑑𝑢

= 𝑢4 − 3𝑢6 + 3𝑢8 − 𝑢10 𝑑𝑢

=1

5𝑢5 −

3

7𝑢7 +

1

3𝑢9 −

1

11𝑢11 + 𝐶

= 1

5𝑠𝑖𝑛5𝑥 − 3

7𝑠𝑖𝑛7𝑥 + 1


11𝑠𝑖𝑛11𝑥 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑠𝑖𝑛 5𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =

𝑠𝑖𝑛 4𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥

2

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 dersek 𝑑𝑢 = − − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 olur.

𝑠𝑖𝑛 5𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −

1−𝑢2 2

𝑢𝑑𝑢

= − 𝑢4−2𝑢2+1

𝑈1 2 𝑑𝑢

= − 𝑢7 2 − 2𝑢3 2 + 𝑢−1 2 𝑑𝑢

= −2

9𝑢9 2 + 4

5𝑢5 2 − 2𝑢1 2 + 𝐶

= −2

9 𝑐𝑜𝑠𝑥 9 2 + 4

5 𝑐𝑜𝑠𝑥 5 2 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 + 𝐶

ÖRNEK:


= 1

8 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝑑𝑥

= 1

8 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠22𝑥 − 𝑐𝑜𝑠32𝑥 𝑑𝑥

=1

8𝑥 + 1

16𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1

8 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 𝑑𝑥 − 1

8 𝑐𝑜𝑠32𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 𝑑𝑥 = 1

2 1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = 1

2𝑥 + 1

8𝑠𝑖𝑛4𝑥

𝑐𝑜𝑠3 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

= 1 − 𝑠𝑖𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 olur.

𝑐𝑜𝑠3 2𝑥 𝑑𝑥 = 1

2 1 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 1

2𝑢 − 1

6𝑢3

= 1


6𝑠𝑖𝑛32𝑥

değerleri yerlerine yazıldığında:


= 1

16𝑥 − 1

64𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 1


17

ÖRNEK:

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥)𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥

= 𝑡𝑎𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 olur.

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑢2 + 1 𝑑𝑢

= (𝑢5 2 + 𝑢1 2 )𝑑𝑢 = 2

7𝑢7 2 + 2

3𝑢3 2 + 𝐶

= 2

7 𝑡𝑎𝑛𝑥 7 2 + 2

3 𝑡𝑎𝑛𝑥 3 2 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑐6𝑥 − 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 olur. 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢6 − 𝑢4 𝑑𝑢

= 1

7𝑢7 − 1

5𝑢5 + 𝐶

= 1

7𝑠𝑒𝑐7𝑥 − 1

5𝑠𝑒𝑐5𝑥 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑠𝑒𝑐3𝑥 ve 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 dersek

𝑑𝑢 = 3𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 ve 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥

olacağından;

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 kısmi integralinden

𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 olur.

Yerine yazıldığında; 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = 1

4𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1

4 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = 1

2𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1

2𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶

𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = 1

4𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1

8𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1

8𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 +

𝐶

ÖRNEK:

𝑐𝑜𝑡3𝑥𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡2 𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1 eĢitliği kulanıldığında;

= − 𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1 𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑 𝑐𝑠𝑐𝑥

= − 𝑐𝑠𝑐4𝑥 − 𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑 𝑐𝑠𝑐𝑥

= −1

5𝑐𝑠𝑐5𝑥 + 1

3𝑐𝑠𝑐3𝑥 + 𝐶

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑑𝑥

ġeklindeki integral iĢlemlerinde;

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 = 1

2 𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑎 − 𝑏 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 = 1

2 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 = 1

2 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑥

TersdönüĢüm formülleri kullanılır.

ÖRNEK:

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1

2 𝑠𝑖𝑛7𝑥 𝑑𝑥 − 1

2 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑑𝑥

= − 1

14𝑐𝑜𝑠7𝑥 + 1

6𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1

2 𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑑𝑥 + 1

2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

= 1

18𝑠𝑖𝑛9𝑥 + 1

2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑠𝑖𝑛6𝑥 𝑑𝑥 = 1

2 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 − 1

2 𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑑𝑥

= 1



18

𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 ( 𝑎 > 0 )

ġeklindeki integral iĢlemlerinde;

𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑢 − 𝜋2 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋

2 dersek;

𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 ve

𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝑢 = 𝑎 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑢

= 𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝑢 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑢 olduğundan

𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢 = 1

2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢

= 1

2𝑢 + 1

4𝑠𝑖𝑛2𝑢 + 𝑘 = 1

2𝑢 + 1

2𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑘

bulunur.

𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1

2𝑎2𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 1

2𝑎2𝑢 + 𝐶

𝑠𝑖𝑛𝑢 =𝑥

𝑎 , 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑥

𝑎

𝑐𝑜𝑠𝑢 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑢 = 1 −𝑥2

𝑎2 =1

𝑎 𝑎2 − 𝑥2

𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥

=1

2𝑥 𝑎2 − 𝑥2 +

1

2𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑥

𝑎+ 𝐶

𝑎2 − 𝑥2𝑎

0𝑑𝑥

= 1

2𝑥 𝑎2 − 𝑥2 +

1

2𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑥

𝑎 𝑎

0

=1

2𝑎2 arcsin 1 =

1

2𝑎2

𝜋

2 =

1

4𝜋𝑎2

UYARI

Belirli integral tanımından

𝑎2 − 𝑥2𝑎

0𝑑𝑥 ifadesi,

x2 + y2 = a2 çemberinin I. Bölgede

sınırladığı alanı verir.

ÖRNEK:

4 − 𝑥2 − 𝑥 2

0𝑑𝑥 integralinin sonucu

kaçtır? 1989 ÖYS

Ġntegral iĢlemi grafikte taralı daire diliminin

alanını verir.

𝐴 =1

8𝜋22 =

1

2𝜋

19

ÖRNEK:

8 − 𝑥2 −1

2𝑥2

2

−2𝑑𝑥

Ġntegrali;

𝑥2 + 𝑦2 = 8 çemberi ve

𝑦 =1

2𝑥2 parabolü ile sınırlı bölgenin

alanını verir.

8 − 𝑥2 −1

2𝑥2

2

−2𝑑𝑥

= 12𝑥 8 − 𝑥2 + 4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑥

2 2 2

−2− 1

6𝑥3 2

−2

= 2 + 𝜋 − — 2 − 𝜋 − 4

3− (−

4

3)

=4

3+ 2𝜋

𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥

=1

2𝑥 𝑥2 + 𝑎2 +

1

2𝑎2𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑥2+𝑥+1

𝑥−1𝑑𝑥

𝑥2+𝑥+1

𝑥−1= 𝑥 + 2 +

3

𝑥−1

𝑥2+𝑥+1

𝑥−1𝑑𝑥 = 𝑥 + 2 𝑑𝑥 +

3

𝑥−1𝑑𝑥

=1

2𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑥2−1

𝑥2+1𝑑𝑥

𝑥2−1

𝑥2+1= 1 −

2

𝑥2+1

𝑥2−1

𝑥2+1𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 − 2

𝑑𝑥

𝑥2+1

= 𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶

ÖRNEK:

𝑥2+2

𝑥−2 𝑥+1 2 𝑑𝑥

𝑥2+2

𝑥−2 𝑥+1 2 =𝐴

𝑥−2+

𝐵

𝑥+1+

𝐶

𝑥+1 2

𝐴 =2

3 𝐵 =

1

3 𝐶 = −1

𝑥2−1

𝑥2+1𝑑𝑥 =

2

3

𝑑𝑥

𝑥−2+

1

3

𝑑𝑥

𝑥+1−

𝑑𝑥

𝑥+1 2

=2

3𝑙𝑛 𝑥 − 2 +

1

3𝑙𝑛 𝑥 + 1 +

1

𝑥+1+ 𝐶

20

ÖRNEK:

3𝑥2+𝑥+4

𝑥 𝑥2+2 2 𝑑𝑥

3𝑥2+𝑥+4

𝑥 𝑥2+2 2 =𝐴

𝑥+

𝐵𝑥+𝐶

𝑥2+2+

𝐷𝑥+𝐸

𝑥2+2 2

𝐴 = 1 𝐵 = −1 𝐶 = 0 𝐷 = 1 𝐸 = 1

3𝑥2+𝑥+4

𝑥 𝑥2+2 2 𝑑𝑥

= 𝑑𝑥

𝑥−

𝑥

𝑥2+2𝑑𝑥 +

𝑥

𝑥2+2 2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥

𝑥2+2 2

= ln 𝑥 −1

2ln 𝑥2 + 2 −

1

2

1

𝑥2+2 +

1

4

𝑥

𝑥2+2 +

1

4 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑥

2+ 𝐶

ÖRNEK:

3𝑥

𝑥3−1𝑑𝑥

3𝑥

𝑥3−1=

𝐴

𝑥−1+

𝐵𝑥+𝐶

𝑥2+𝑥+1

𝐴 = 1 𝐵 = −1 𝐶 = 1

3𝑥

𝑥3−1𝑑𝑥 =

𝑑𝑥

𝑥−1+

−𝑥+1

𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥

=𝑙𝑛 𝑥 − 1 −1

2𝑙𝑛 𝑥2 + 𝑥 + 1 + 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

2𝑥+1

3+

𝐶

HACĠM:

y=f(x) eğrisi, x=a, x=b doğruları ve

x ekseni ile sınırlı R bölgesinin x ekseni

etrafında 360o döndürülmesiyle oluĢan dönel

cismin hacmi:

𝑉 = 𝜋 𝑦2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝜋 𝑓(𝑥) 2𝑏

𝑎

𝑑𝑥

x=g(y) eğrisi, y=a, y=b doğruları ve

y ekseni ile sınırlı R bölgesinin y ekseni

etrafında 360o döndürülmesiyle oluĢan dönel

cismin hacmi:

𝑉 = 𝜋 𝑥2 𝑑𝑦 = 𝜋 𝑔(𝑦) 2 𝑑𝑦𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

21

ÖRNEK:

𝑦 = 𝑟2 − 𝑥2 eğrisi ve x ekseni ile sınırlı

bölgenin x ekseni etrafında 360o

döndürülmesiyle oluĢan kürenin hacmi:

𝑉 = 𝜋 𝑦2𝑟

−𝑟𝑑𝑦 = 𝜋 𝑟2 − 𝑥2

𝑏

𝑎𝑑𝑥

= 𝜋 𝑟2𝑥 −1

3𝑥3 𝑟

−𝑟=

4

3𝜋𝑟3

ÖRNEK:

y=3-x2 eğrisi, y ekseni, y=1 ve y=2 doğruları

ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında

döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi:

𝑉 = 𝜋 𝑥22

1𝑑𝑦 = 𝜋 3 − 𝑦 𝑑𝑦

2

1

= 𝜋 3𝑦 −1

2𝑦2 2

1=

3

2𝜋

ÖRNEK:

𝑦 =𝑟

𝑕 x doğrusu, x ekseni ve x=h doğrusu ile

sınırlı bölgenin x ekseni etrafında 360o

döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi:

𝑉 = 𝜋 𝑦2𝑕

0𝑑𝑥 = 𝜋

𝑟2

𝑕2

𝑕

0𝑥2

=1

3𝜋𝑟2𝑕

2. YOL:

y=mx doğrusunun Ox ekseni etrafında 360o

döndürülmesiyle oluĢan ( 0≤x≤h )

dönel cismin hacmi:

𝑉 = 𝐴(𝑥)𝑕

0

𝑑𝑥

y=mx doğru denkleminde m=𝑟

𝑕

A(x)=𝜋𝑦2 = 𝜋𝑚2𝑥2 = 𝜋𝑟2

𝑕2 𝑥2

𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋𝑟2

𝑕2

𝑕

0

𝑥2𝑕

0

𝑑𝑥 =1

3𝜋𝑟2𝑕

konu anlatimi...konu anlatimi Örnekler ³ f 0 f n 0 2 Ġntegral almak , ‘’türevi verilen bir...

Documents