korelace a regrese - mendeluuser.mendelu.cz/.../zakladni/korelaceregrese.pdf · korelace a regrese...
TRANSCRIPT
KORELACE A REGRESE
1
Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky
2
VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR
Vícerozměrný statistický soubor je množina C souběžných realizací určitého počtu veličin X1, X2, …, Xm. Množina C vznikne získáním hodnot znaků X1, X2, …, Xm na prvcích množiny n. C je potom množina uspořádaných m-tic hodnot [x1, x2, …, xm] znaků X1, X2, …, Xm.
=
=
m,ni,n1,n
m,ji,j1,j
m,1i,11,1
xxx
xxx
xxx
Tn
Tj
T1
x
x
x
C
n-tý OBJEKT
m-tá VELIČINA
3
STATISTICKÁ ZÁVISLOST
4
STATISTICKÁ ZÁVISLOST
pokud měříme v příliš malém intervalu, nemusí se závislost prokázat!!
5
STATISTICKÁ ZÁVISLOST
jedna proměnná je násobkem druhé – v tom případě je možné jednu proměnnou z analýzy vyloučit bez ztráty informace
6
STATISTICKÁ ZÁVISLOST
korelace – popisuje vliv změny úrovně jednoho znaku na změnu úrovně jiných znaků a platí pro kvantitativní (měřené) znaky;
kontingence – popisuje závislost kvalitativních (slovních, popisných) znaků, které mají více než dvě alternativy, tzv. množných znaků (např. druh dřeviny, národnost, apod.);
asociace - popisuje závislost kvalitativních (slovních, popisných) znaků, které mají pouze dvě alternativy, tzv. alternativních znaků (např. pohlaví, odpovědi typu ano/ne, …).
7
KORELACE
typy podle počtu korelovaných znaků jednoduchá – popisuje vztah dvou znaků,
mnohonásobná – popisuje vztahy více než dvou znaků,
parciální – popisuje závislost dvou znaků ve vícerozměrném statistickém souboru při vyloučení vlivu ostatních znaků na tuto závislost·
8
KORELACE
typy podle smyslu změny hodnot kladná – se zvyšováním hodnot jednoho znaku se zvyšují
i hodnoty druhého znaku
záporná - se zvyšováním hodnot jednoho znaku se zmenšují hodnoty druhého znaku
9
KORELACE
typy podle tvaru závislosti přímková (lineární) – grafickým obrazem závislosti je
přímka (lineární trend)
křivková (nelineární) – grafickým obrazem závislosti je křivka (nelineární trend)
10
KORELAČNÍ POČET
korelační analýza zjišťuje existenci závislosti a její druhy, měří těsnost závislosti, ověřuje hypotézy o statistické významnosti závislosti;
regresní analýza
zabývá se vytvořením vhodného matematického modelu závislosti,
stanoví parametry tohoto modelu, ověřuje hypotézy o vhodnosti a důležitých vlastnostech
modelu.
11
MÍRA KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI
2x
x2
x1
CELKOVÁ VARIABILITA Y (odchylka měřené hodnoty od
průměru)
REZIDUÁLNÍ VARIABILITA (odchylka měřených a
modelových - vypočítaných – hodnot)
VARIABILITA VYSVĚTLENÁ MODELEM (odchylka modelových hodnot
od průměru)
12
MÍRA LINEÁRNÍ KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI
2x
x2
x1
CELKOVÁ VARIABILITA Y (odchylka měřené hodnoty od
průměru)
REZIDUÁLNÍ VARIABILITA (odchylka měřených a
modelových - vypočítaných – hodnot)
VARIABILITA VYSVĚTLENÁ MODELEM (odchylka modelových hodnot
od průměru)
( )∑n
22i
i=12x - x
n =
( )′∑n
2
i=2i
12 x-x
n +
( )′∑ 2i
n2
2ii=1
x - x
n
13
MÍRA LINEÁRNÍ KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI
′
2
1 2
2
2
2 2x x
2x
2x x2R = =
S-
S1
SS
KOEFICIENT DETERMINACE
KOEFICIENT KORELACE
′
2 2
1 22
2x
x
x2x
2
x
2
R = = 1SS
-SS
14
KOEFICIENT DETERMINACE
vyjadřuje, jakou část celkové variability závisle proměnné (vysvětlované proměnné) objasňuje regresní model.
r2 = 0.9
r2 = 1 r2 = 0.05
15
KORELAČNÍ KOEFICIENT
PRO JEDNODUCHOU KORELACI
párový - zvláštní případ vícenásobného korelačního koeficientu, kdy vyjadřuje míru lineární stochastické závislosti mezi náhodnými veličinami Xi a Xj,
Pearsonův
Spearmanův (korelace pořadí)
16
KORELAČNÍ KOEFICIENT
PRO VÍCENÁSOBNOU KORELACI vícenásobný - definuje míru lineární stochastické závislosti mezi náhodnou veličinou X1 a nejlepší lineární kombinací složek X2, X3, ..., Xm náhodného vektoru X parciální - definuje míru lineární stochastické závislosti mezi náhodnými veličinami Xi a Xj při zkonstantnění dalších složek vektoru X
x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4
17
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT (r)
21
21
1221xx
xxxxxx SS
covrr
⋅==
= normovaná kovariance
podmínkou je dodržení dvourozměného normálního rozdělení
18
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT (r)
míra intenzity vztahu mezi složkami vícerozměrného souboru je mírou intenzity lineární závislosti je vždy nezáporná její limitou je součin směrodatných odchylek je symetrickou funkcí svých argumentů její velikost je závislá na měřítku argumentů ⇒ nutnost normování
KOVARIANCE:
( ) ( )2i2
n
1i1i1xx xxxx
n1cov
21−⋅−= ∑
=
19
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT (r)
Základní vlastnosti Pearsonova korelačního koeficientu:
je to bezrozměrná míra lineární korelace; nabývá hodnoty 0 – 1 pro kladnou korelaci, 0 – (-1) pro zápornou korelaci; hodnota 0 znamená, že mezi posuzovanými veličinami není žádný lineární vztah (může být nelineární) nebo tento vztah zůstal na základě dat, které máme k dispozici, neprokázán; hodnota 1 nebo (-1) indikuje funkční závislost; hodnota korelačního koeficientu je stejná pro závislost x1 na x2 i pro opačnou závislost x2 na x1.
r =1,000 r =-1,000 r =0,000 r =0,934
r =0,967 r =0,857 r =-0,143 r =0,608
Souvislost mezi velikosti Pearsonova korelačního koeficientu a typem závislosti
21
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT (r) – výpočet v Excelu
Pearsonův R
22
SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT
neparametrický korelační koeficient, vycházející nikoli z hodnot, ale z jejich pořadí.
Používá se tehdy, nejsou-li závažným způsobem splněny předpoklady pro použití Pearsonova korelačního koeficientu.
nn
d61r 3
n
1i
2i
S−
⋅−=
∑=
diference mezi pořadími hodnot X a Y v jednom řádku
23
SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT
vlivné body Pearsonův R = -0,412 (započítává se účinek vlivných bodů)
Spearmanův R = +0,541 (účinek vlivných bodů je značně omezen)
24
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT
vyjadřuje sílu závislosti jedné proměnné na dvou a více jiných proměnných
1
n
1 1 1
n n n
II III m
II I
I
I I I m
x x x
x x x
x
x
25
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT - vlastnosti
0 ≤ R ≤ 1 pokud je R = 1, znamená to, že závisle proměnná x1 je přesně lineární kombinací veličin x2, ..., xm pokud je R = 0, potom jsou také všechny párové korelační koeficienty nulové s růstem počtu vysvětlujících (nezávislých) proměnných hodnota vícenásobného korelačního koeficientu neklesá, tj. platí R1(2) ≤ R1(2,3) ≤ ... ≤ R1(2, ..., m)
Základní vlastnosti:
26
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT - výpočet
= determinant korelační matice = determinant korelační matice s
vypuštěným sloupcem a řádkem odpovídajícím té proměnné, jejíž závislost na zbytku matice se vypočítává
)det()det(1R )m,...,3,2(1
(11)RR
−=
korelační koeficient 1. a 2. proměnné
1RRR1
R1R1
1RRRR1
mi2m1m
im1i
21
m1i112
=R Korelační matice R
27
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT
12 1 1
21
1
1 21(2,3,..., )
12 1 1
21
1
1 2
d
11
11
11
11
11
11
et( )
detdet( )
det
1
(
)
)
(
i m
i im
m m mim
i m
i im
m m mi
R R RR
R R
R R RR
R R RR
R R
R R R
⇒ = ⇒ −
⇒
(11)
(11)
R
R
R
R
28
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT – výpočet v Excelu
29
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT – výpočet v Excelu
det( )
0.0
det( )
0.004755585107149
1
47
1
1
− = − =
= − =
(11) (11)R = DETERMINR = DETERM
ANT(INA
0
NT(R
.7
)R )
4577
30
MNOHONÁSOBNÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT – výpočet v Excelu
Nástroje ⇒Analýza dat ⇒Regrese
31
PARCIÁLNÍ KORELAČNÍ KOEFICIENT
používá se k posouzení síly závislosti dvou veličin ve vícerozměrném souboru při vyloučení vlivu ostatních veličin
podle počtu „vyloučených“ proměnných se stanovují řády parciálního R – v příkladu vlevo to je parciální korelace III. řádu (3 „vyloučené“ proměnné)
32
PARCIÁLNÍ KORELAČNÍ KOEFICIENT - výpočet
„Klasický“ výpočet je velmi zdlouhavý – vychází se z korelační matice, poté se počítají parciální korelace I. řádu (s jednou vyloučenou proměnnou), z nich II. řádu (dvě vyloučené proměnné), atd. až do potřebného řádu.
Při využití Excelu je možné využít vzorce
)det()det()det()1(
R)jj()ii(
)ij(j
)m,...,2,1(ij RRR
⋅
⋅−=
33
PARCIÁLNÍ KORELAČNÍ KOEFICIENT – výpočet v Excelu
)det()det()det()1(
R)jj()ii(
)ij(j
)m,...,2,1(ij RRR
⋅
⋅−=
2(12)
(1,2,..., )(11) (22)
( 1) det( )det( ) det( )ij m
RR
R R− ⋅
=⋅
34
PARCIÁLNÍ KORELAČNÍ KOEFICIENT – výpočet v Excelu
det(R(11)) = 0.010715
det(R(12)) = 0.006086
det(R(22)) = 0.010248
35
PARCIÁLNÍ KORELAČNÍ KOEFICIENT – výpočet v Excelu
2(12)
12(3,4,5)(11) (22)
( 1) det( ) 1 0.00608 0.58082det( ) det( ) 0.01071 0.01025
RR
R R− ⋅ ⋅
= = =⋅ ⋅
Parciální korelační koeficient III. řádu pro závislost proměnných X1 a X2 (při vyloučení vlivu proměnných X3, X4 a X5) je 0.58.
36
REGRESNÍ ANALÝZA
Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti.
Snažíme se nahradit každou měřenou (experimentální, empirickou, zjištěnou) hodnotu závisle proměnné (vysvětlované proměnné) Y hodnotou teoretickou (modelovou, vyrovnanou, predikovanou), tj. hodnotou ležící na spojité funkci (modelu) nezávisle proměnné (vysvětlující proměnné) X (X)
Francis Galton (1822-1911)
• položil základy regresní analýzy (vztah mezi výškou syna a výškou otce) • zázračné dítě, bratranec Charlese Darwina • zakladatel eugeniky (nauky o zlepšování genetického základu)
38
REGRESNÍ ANALÝZA
závisle proměnná Y
nezávisle proměnná X
měřené hodnoty
modelové (vypočítané) hodnoty
39
REGRESNÍ MODEL
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
1
2
1
2
1
2
j m
j m
i i ij im
n n nj nm
i
n
j
m
i
n
y x x x xx x x x
x x x x
x
y
x
y
x xy
β εεβ
β ε
εβ
=
⋅
+
X εβy
závisle nezávisle proměnná regresní náhodná proměnná parametry chyba
y = X β + ε
40
REGRESNÍ MODEL
1
závisle proměnná Y
absolutní člen
regresní parametr
nezávisle proměnná X
41
REGRESNÍ MODEL - typy
Regresní model předpokládá, že nezávislá proměnná (proměnné) je nenáhodná (tj. pevně určena, např. experimentátorem) a závislá proměnná je náhodná (měřená).Tento předpoklad nebývá v praxi striktně naplněn (v mnoha případech jsou obě nebo všechny veličiny náhodné, tj. měřené, potom mluvíme o tzv. korelačním modelu).
Rozeznáváme: regresní modely lineární – mají lineární postavení parametrů regresní modely nelineární –mají nelineární postavení parametrů
42
REGRESNÍ MODEL - typy
Příklady lineárních regresních modelů: y = a + bx - přímka y = a + bx + cx2 - parabola y = a + (b/x) - hyperbola
lineární modely jsou i některé, jejichž grafickým vyjádřením je křivka!!
Příklady nelineárních regresních modelů:
y = a⋅xb
y = a⋅ebx
xy = e⋅k
a
Výhody – jsou schopny modelovat složité reálné děje, např. růst, včetně reálné predikce.
Nevýhody – složitý výpočet
43
POSTUP REGRESNÍ ANALÝZY
Podstatou řešení regresní analýzy je:
stanovit nejvhodnější tvar regresního modelu (tedy určit příslušnou rovnici, která bude popisovat závislost Y na X) stanovit jeho parametry (tj. stanovit konkrétní hodnoty parametrů β) stanovit statistickou významnost modelu (tj. zda model podstatným způsobem přispěje ke zpřesnění odhadu závisle proměnné oproti použití průměru) výsledky dané modelem interpretovat z hlediska zadání
44
STANOVENÍ VHODNÉHO TVARU MODELU
1) najít množinu modelů, které svými vlastnostmi vyhovují řešenému problému (např. růstové funkce)
2) teprve mezi nimi najít podle statistických kritérií ten model, která nejlépe vyhovuje měřeným datům
Je nutné věnovat velkou pozornost tomu, aby byla modelována REÁLNÁ PŘÍČINNÁ ZÁVISLOST!!
45
STANOVENÍ PARAMETRŮ MODELU METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
hodnoty nezávisle proměnné X
hodn
oty
závi
sle
prom
ěnné
Y
regresní čára
měřená hodnota
vypočítaná hodnota
Y
yi
reziduum
xi
yi
( )ˆ∑n
2i i
i=1y - y = min.reziduum
46
MNČ PRO PŘÍMKU
= a + bx ⇒ y ( )∑=
=⋅+−n
1i
2ii .minxbay
( )( ) ( )∑
∑
=
= =−⋅⋅−−=∂
⋅+−∂ n
1iii
n
1i
2ii
01xbay2a
xbay
( )( ) ( )∑
∑
=
= =−⋅⋅−−=∂
⋅+−∂ n
1iiii
n
1i
2ii
0xxbay2b
xbay
Parciální derivace podle parametrů:
47
MNČ PRO PŘÍMKU
∑=
∑=
+⋅=n
1ii
n
1i ixbany
Získáme soustavu normálních rovnic:
2
1 1 1
n n
i i i ii i
x y xn
a b xi= =
= + ∑=
∑ ∑
48
MNČ – obecný postup
1 1
2
1 11
n
ii
n n
i
n
iin
ii
i i
g
bi i
A
n x
x x
yab
x y
= =
== =
⋅
=
∑
∑
∑
∑ ∑
⋅g - A b = 0
49
MNČ – obecný postup
n
1i 1n
1
i 1
1 1 i
ni in
y y
x xx yy
=
=
= ⋅ = = ⋅
∑
∑Tg X y
11
1 2
1 1
11 1
1
n
ii
n nn
i ini i
x n x
x xx xx
=
= =
= ⋅ = =
⋅∑
∑ ∑TA X X
50
MNČ – obecný postup
− ⋅ =TT XX Xy b 0⋅g - A b = 0
( )−= ⋅ ⋅ ⋅1T Tb X X X y
( )ˆ−
= ⋅ ⋅ ⋅1T Ty X X X X y
obecný vztah pro výpočet regresních parametrů lineárního modelu
obecný vztah pro výpočet predikovaných (modelových) lineárního modelu
projekční matice H
51
PŘEDPOKLADY MNČ
1) Regresní parametry β mohou teoreticky nabývat jakýchkoli hodnot.
2) Regresní model je lineární v parametrech.
3) Jednotlivé nezávislé proměnné jsou skutečně vzájemně nezávislé, tedy mezi nimi nedochází k tzv. multikolinearitě.
4) Podmíněný rozptyl D(y/x) = σ2 je konstantní (tzv. podmínka homoskedasticity).
5) Náhodné chyby mají nulovou střední hodnotu E(εi) = 0, mají konečný rozptyl E(εi
2) = σ2 a jsou nekorelované.
52
MULTIKOLINEARITA
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
1
2
1
2
1
2
j m
j m
i i ij im
n n nj nm
i
n
j
m
i
n
y x x x xx x x x
x x x x
x
y
x
y
x xy
β εεβ
β ε
εβ
=
⋅
+
X εβy
Vektory matice X musí být skutečně navzájem nezávislé (jejich párové R musí být nulové nebo statisticky nevýznamné). Pokud tomu tak není, dochází k multikolinearitě, která způsobuje početní i statistické problémy.
53
MULTIKOLINEARITA – proč je „nebezpečná“
Početní problémy: způsobuje špatnou podmíněnost matice XT X, (determinant této matice je nula nebo číslo blízké nule)
potíže při invertaci matice (regresní model není jednoznačně řešitelný (singularita matice)).
Statistické problémy: nelze odděleně sledovat skutečný vliv jednotlivých vysvětlujících vstupních proměnných na vysvětlovanou (závislou) proměnnou nespolehlivé určení parametrů regresního modelu (interval spolehlivosti parametrů je tak velký, že odhad parametrů ztrácí smysl) nestabilita odhadů regresních parametrů (např. malá změna hodnot závisle proměnné znamená zásadní změnu parametrů)
54
MULTIKOLINEARITA – příčiny
Příčiny: přeurčenost regresního modelu („zbytečně“ mnoho nezávislých proměnných) skutečně existující závislost mezi „nezávislými“ proměnnými povaha modelu (např. polynom)
nevhodné rozmístění experimentálních bodů (např. malá variabilita hodnot nezávisle proměnné)
55
MULTIKOLINEARITA – vliv variability nezávisle proměnné
správný průběh
regresní čáry
chyba měření
nesprávný průběh regresní čáry
malá variabilita nezávisle proměnné
56
MULTIKOLINEARITA – vliv variability nezávisle proměnné
vhodná variabilita nezávisle proměnné
57
MULTIKOLINEARITA - testování
VIF – variance inflation factor – diagonální prvky inverzní matice ke korelační matici nezávisle proměnných (diag(R-1))
korelační matice R
inverzní matice R-1
=INVERZE(B2..F6)
Ctrl+Shift+Enter
kriticky vysoké hodnoty VIF
VIF > 10 ⇒ kritická multikolinearita
58
MULTIKOLINEARITA - řešení
K odstranění (nebo zmenšení nepříznivého vlivu) multikolinearity může vést:
snížení počtu nezávisle proměnných
použití jiného modelu
použití jiné metody výpočtu (obvykle metody regrese hlavních komponent – PCR)
59
HOMOSKEDASTICITA x HETEROSKEDASTICITA
Homoskedasticita znamená, že hodnoty závisle proměnné y mají pro všechny hodnoty nezávisle proměnné X konstantní rozptyl (variabilitu, proměnlivost).
nezávisle proměnná
závi
sle p
rom
ěnná
nezávisle proměnná
závi
sle p
rom
ěnná
malá var iabilita hodnot y pr o hodnotu x1
vysoká var iabilita hodnot y pr o hodnotu x2
x1 x2
homoskedasticita heteroskedasticita
60
HOMOSKEDASTICITA - princip
měřené hodnoty
nejpravděpodobnější hodnota veličiny Y (modelová)
61
HOMOSKEDASTICITA - testování
Test trendu reziduí ( )2
1
ˆn
ii
D R e i=
= − ∑
3
61s Dn n
ρ = − ⋅−
Testujeme významnost Spearmanova korelačního koeficientu ρs
2
21
sR
s
nt ρ
ρ
⋅ −=
−
62
HOMOSKEDASTICITA - testování
Vycházíme z předpokladu, že rozptyl naměřené hodnoty yi je určitou funkcí proměnné xi β (např. exponenciální funkcí)
Cookův - Weisbergův test
( )
( )∑
∑
=
=
′−′σ⋅
′−′= n
1i
2i
4
22i
n
1i
2i
fyy2
eyyS
Pokud v datech není heteroskedasticita, potom platí, že Sf < χ2(1)
63
HOMOSKEDASTICITA – řešení
Nejobvyklejším způsobem je použití metody vážených nejmenších čtverců, kdy se podmínka sumy reziduí násobí vhodně zvolenými váhami
2
1 1( )
n m
i ij ji j
U y x b= =
= −
∑ ∑ii iiV Vb
V běžných případech je možné jako váhy volit hodnoty 1/yi nebo 1/yi
2 .
64
INTERVALY SPOLEHLIVOSTI V KORELAČNÍ A REGRESNÍ ANALÝZE
IS korelačního koeficientu (koeficientu determinace)
IS regresních parametrů
IS modelových hodnot (modelu)
IS predikovaných hodnot (pás spolehlivosti)
65
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI R (IS)
IS vymezuje interval možných hodnot korelačního koeficientu základního souboru ρ (s pravděpodobností 1 - α)
Protože rozdělení výběrových korelačních koeficientů není normální, musíme použít Fisherovu transformaci
R1R1ln5.0)R(arctgh)R(Z
−+
==
která má přibližně normální rozdělení se střední hodnotou E(Z) = Z(ρ) a rozptylem D(Z) = 1/(n-3).
66
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI R
Postup výpočtu IS R:
R Fisherova transformace v Excelu funkce FISHER(R) statistické tabulky
Z(R) 21
1( )3
Z R zn
α−± ⋅−
horní a dolní hranice IS ve Fisherově transformaci
horní a dolní hranice IS ve Fisherově transformaci
retransformace Z(R) na korelační koeficient
v Excelu funkce FISHERINV(Z(R)) statistické tabulky
horní a dolní hranice IS korelačního koeficientu
polovina IS
67
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI R
R = 0.95305 FISHER(0.95305) = 1.864
Fisherova proměnná
IS Fisherovy proměnné: ( ) 11.864 1.96 1.864 0.65333
1.2107; 2.5173
=12
73
Z ρ = ± ⋅ = ±
=−
1.21 1.864 2.517
IS korelačního koeficientu: =FISHERINV(1.2107) = 0.83689 =FISHERINV(2.5174) = 0.98707
0.837 0.953 0.987
68
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI REGRESNÍCH PARAMETRŮ
2 , jj j bn mb t sαβ −= ± ⋅
vyjadřuje interval na číselné ose, ve kterém se s pravděpodobností 1 - α vyskytuje neznámý parametr β základního souboru
Pokud IS obsahuje nulu – tedy dolní hranice je záporná a horní kladná - je daný parametr statisticky nevýznamný.
Směrodatné odchylky pro přímku: 2
212
yxa
x
s xssn
= ⋅ +− 2
xyb
x
ss
s n=
−
69 -30-20-10
0102030405060708090
100
IS REGRESNÍCH PARAMETRŮ - příklad
Intervalový odhaddolní horní
a -8.62 -23.53 6.29b 1.56 1.21 1.91
Bodový odhad
průběh přímky pro hodní hranici IS (1,91)
průběh přímky pro dolní hranici IS (1,21)
70
-20
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70
IS REGRESNÍCH PARAMETRŮ - příklad
Intervalový odhaddolní horní
a 0 0 0b 1.37 1.23 1.51
Bodový odhad
71
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI MODELOVÝCH HODNOT
horní hranice IS dolní hranice IS
JEDNA HODNOTA REGRESNÍHO MODELU (tyto hodnoty platí jen pro jeden konkrétní výběr, ze kterého byly vypočítány)
plocha, ve které se s pravděpodobností 1 - α nacházejí všechny možné modely vypočítané z jakéhokoliv výběru pocházejícího z daného základního souboru
IS jedné modelové hodnoty
72
IS MODELOVÝCH HODNOT
∑=
−′
−
−+⋅
−σ
⋅±′=µ α n
1i
2i
2i
2n,iy)xx(
)xx(n12n
ty2
Pro model přímky:
polovina IS modelu přímky modelová hodnota
směr.odchylka reziduí
73
IS Y HODNOT – PÁS SPOLEHLIVOSTI
udává rozpětí, ve kterém se budou v základním souboru nacházet hodnoty závisle (vysvětlované) proměnné se zvolenou pravděpodobností 1 - α
σ⋅±′=−
α mn;2
imax)(min,i tyy
74
IS MODELU A PÁS SPOLEHLIVOSTI - příklad
10
15
20
25
30
35
40
45
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65délka listu (mm)
šířk
a lis
tu (m
m)
měřené hodnoty intervalový odhad modelumodelové hodnoty pás spolehlivosti měřených hodnot
75
IS MODELU - příklad
0102030405060708090
100
10 20 30 40 50 60 70
76
TESTY VÝZNAMNOSTI V REGRESNÍ ANALÝZE – proč musíme testovat?
X
Y
skutečný regresní model platný pro základní soubor (neznáme ho !!!) – statisticky nevýznamný
Regresní model získaný na základě výběru („nešťastný“ výběr dat) – vede k závěru, že model je statisticky významný
Statistický test významnosti modelu určí, zda na základě dat získaných z výběru můžeme „uvěřit“, že model je významný i v základním souboru
77
TESTY VÝZNAMNOSTI V KORELAČNÍ A REGRESNÍ ANALÝZE
test významnosti korelačního koeficientu
test významnosti modelu jako celku
test významnosti jednotlivých regresních parametrů
test shody lineárních regresních modelů
a mnoho dalších …..
78
TEST VÝZNAMNOSTI R
Test významnosti odpovídá na otázku, zda je korelace mezi výběrovými proměnnými (R) natolik silná, abychom mohli tuto korelaci považovat za prokázanou i pro základní soubor (ρ).
2RR1
2nRt−
−⋅=Pro párový R: tα,n-2
Pro násobný R: ( )
( )( )1mR1mnRF 2
2
R−−
−= tα,n-m
Pro parciální R: 2
21
RR n kt
R⋅ − −
=−
tα,n-k-2
KH
m – počet proměnných
k – počet „vyloučených“ proměnných
n – počet hodnot výběru
79
TEST VÝZNAMNOSTI REGRESNÍHO MODELU – co testujeme
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + … + bmxm
Testujeme MODEL JAKO CELEK (zda příslušná kombinace nezávisle proměnných statisticky významně zpřesní odhad závisle proměnné oproti použití jejího průměru)
Testujeme JEDNOTLIVÉ PARAMETRY (jestliže je daný parametr nevýznamný, příslušná proměnná xj nijak nepřispívá ke zpřesnění odhadu závisle proměnné a je v modelu zbytečná).
80
TEST VÝZNAMNOSTI REGRESNÍHO MODELU JAKO CELKU
1. Test významnosti korelačního koeficientu
2. Pomocí analýzy rozptylu Zdroj
variability Součet čtverců odchylek Počet stupňů volnosti
Průměrný čtverec odchylek (rozptyl)
Testové kritérium
regresní model ( )∑=
−′=n
1i
2iREG yyS DFREG = m –1
REG
REGREG DF
SM =
reziduum (nevysvětleno
regresním modelem)
( )∑=
′−=n
1i
2iiR yyS DFR = n – m
R
RR DF
SM =
Celkový ( )∑=
−=n
1i
2iC yyS DFC = n - 1
R
REG
MMF =
Testové kritérium F se porovná s kritickou hodnotou Fα;m-1;n-m.
81
TEST VÝZNAMNOSTI REGRESNÍCH PARAMETRŮ
H0: βj = 0, tj. j-tý regresní parametr je nevýznamný
t j j
b
bsβ−
= pro βj = 0 j
b
bt
s=
Pokud platí, že t> tα2;n-m, potom je j-tý regresní parametr statisticky významný a příslušná proměnná musí zůstat v modelu.
82
HODNOCENÍ MODELU Z HLEDISKA VÝSLEDKŮ TESTŮ VÝZNAMNOSTI
Výsledek F testu
TEST CELÉHO MODELU
Výsledek t –testu TEST
JEDNOTLIVÝCH PARAMETRŮ
Hodnocení modelu
nevýznamný všechny nevýznamné
posuzované veličiny jsou lineárně nezávislé nebo model je nevhodný (nevystihuje variabilitu závisle proměnné)
významný všechny významné vhodný (ale nemusí být optimálně navržen)
významný některé nevýznamné
vhodný (je možné vypustit nevýznamné členy modelu)
významný všechny nevýznamné
zvláštní případ způsobený multikolinearitou – je nutné upravit nebo zcela změnit model
83
TEST SHODY REGRESNÍCH MODELŮ
Porovnává se:
empirický model (modely) s teoretickým
dva nebo více empirických modelů mezi sebou
H0: Porovnávané modely jsou shodné (tj. shodují se ve směrnici i v úseku).
84
TEST SHODY REGRESNÍCH MODELŮ
A B
C D
85
TEST SHODY REGRESNÍCH MODELŮ
H0: Empirický model y’ = a + bx pochází ze základního souboru, jehož model y’ = α + βx je shodný s teoretickým modelem y’0 = α0 +β0x, tj. platí α = α0, β =β0.
SHODA EMPIRICKÉHO A TEORETICKÉHO MODELU:
0ta
asα−
= 0tb
bsβ−
=
86
TEST SHODY REGRESNÍCH MODELŮ
SHODA DVOU EMPIRICKÝCH MODELŮ:
H0: βj,1 = βj,2, tj. regresní koeficienty obou modelů jsou v základním souboru shodné
Vycházíme z testování shody regresních parametrů dvou lineárních modelů y1 = X1β1 + ε1 a y2 = X2β2 + ε2
Při tomto testu využijeme tzv. složeného modelu, tj. oba porovnávané výběry sloučíme do jednoho a také pro něj stanovíme parametry stejného modelu jako pro oba dílčí výběry
87
TEST SHODY REGRESNÍCH MODELŮ
( ) mRSCRSC)m2n)(RSCRSCRSC(F
21
21sC ⋅+
−−−=
n celkový počet prvků obou výběrů, tj. n1 + n2 RSCs reziduální součet čtverců složeného modelu RSC1 reziduální součet čtverců prvního modelu RSC2 reziduální součet čtverců druhého modelu
88
HODNOCENÍ KVALITY REGRESNÍHO MODELU
střední kvadratická chyba predikce (MEP)
( )∑= −
=n
1i2
ii
2i
H1e
n1MEP ei
2 čtverec reziduí modelu Hii i-tý diagonální prvek
projekční matice H
Akaikovo informační kritérium (AIC)
m2n
RSClnnAIC +
⋅= RSC reziduální součet čtverců
m počet parametrů
Čím je AIC (MEP) menší, tím je model vhodnější.
89
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – stačí vždy jen testování modelu a parametrů?
Výběr A
y = 0,5x + 3,0R = 0,8164
0
2
4
6
8
10
12
14
4 6 8 10 12 14 16
X
Y
Výběr B
y = 0,5x + 3,0R = 0,8162
0
2
4
6
8
10
12
14
4 6 8 10 12 14 16
X
Y
90
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – stačí vždy jen testování modelu a parametrů?
Výběr C
y = 0,5x + 3,0R = 0,8162
0
2
4
6
8
10
12
14
4 6 8 10 12 14 16
X
Y
Výběr D
y = 0,5x + 3,0R = 0,8165
0
2
4
6
8
10
12
14
4 9 14 19 24
X
Y
91
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA
Zkoumá regresní triplet data (kvalitu dat pro navržený model) model (kvalitu modelu pro daná data) metoda odhadu (splnění předpokladů metody MNČ)
92
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – analýza reziduí
Používá se grafická analýza reziduí - tři typy grafů:
Typ grafu Osa X Osa Y
I pořadové číslo bodu i reziduum ei II j-tá nezávislá proměnná xj reziduum ei III vypočítaná (modelová) hodnota y’i reziduum ei
93
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – analýza reziduí
„mrak“ bodů – graf nesignalizuje žádný problém
94
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – analýza reziduí
„klín“ bodů – indikace heteroskedasticity (nekonstantního rozptylu)
95
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – analýza reziduí
indikace chybného modelu
96
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – vlivné body
Vlivné body (data, jejichž zařazení do modelu průběh modelu podstatně ovlivní): 1) hrubé chyby - jsou způsobeny chybou měření nebo pozorování, 2) body s vysokým vlivem (tzv. „zlaté body“) jsou speciálně vybrané body, které byly přesně změřeny a zpravidla zlepšují predikční schopnosti modelu; 3) zdánlivě vlivné body - jsou způsobeny nevhodným modelem;
97
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – vlivné body
SiSiJi emn
1mnee−−−−
⋅=
ii
iSi H1
ee−σ
=
i-tý diagonální prvek projekční matice H
odlehlé body
v pořádku
98
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – kvalita modelu
1) Graf reziduí
2) Parciální regresní grafy
vyjadřuje závislost mezi vysvětlovanou proměnnou (tedy vektorem y) a jednou vysvětlující proměnnou xj při statisticky neměnném vlivu ostatních vysvětlujících proměnných, které tvoří matici X(j) (vynechaná j-tá proměnná). Je to tedy určitá grafická obdoba parciálního korelačního koeficientu u korelačních modelů.
99
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – kvalita modelu
y x1 x2 x3 X
Zajímá nás, zda všechny proměnné x1-3 jsou v modelu oprávněně. Postup je ukázán pro proměnnou x1.
y x1 x2 x3 X(1)
x1=f(X(1)) regrese
y=f(X(1)) regrese
v1 rezidua
u1 rezidua
u1
v1
u1
v1
Proměnná x1 do modelu patří
Proměnná x1 do modelu nepatří
100
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – kvalita modelu
pokud body parciálního regresního grafu leží na přímce s nulovým úsekem (absolutním členem), potom existuje skutečná lineární závislost mezi y a xj směrnice přímky proložené body parciálního regresního grafu číselně odpovídá příslušnému regresnímu koeficientu bj původního (posuzovaného) regresního modelu korelační koeficient mezi uj a vj odpovídá parciálnímu korelačnímu koeficientu rezidua regresní přímky mezi uj a vj odpovídají reziduím původního modelu
101
REGRESNÍ DIAGNOSTIKA – podmínky MNČ
multikolinearita – VIF
heteroskedasticita – testy heteroskedasticity (např. Cook Weinsberg)
autokorelace reziduí – test významnosti autokorelačního koeficientu
normalita reziduí – testy normality
102
REGRESNÍ MODEL - typy
Příklady lineárních regresních modelů: y = a + bx - přímka y = a + bx + cx2 - parabola y = a + (b/x) - hyperbola
lineární modely jsou i některé, jejichž grafickým vyjádřením je křivka!!
Příklady nelineárních regresních modelů:
y = a⋅xb
y = a⋅ebx
xy = e⋅k
a
Výhody – jsou schopny modelovat složité reálné děje, např. růst, včetně reálné predikce.
Nevýhody – složitý výpočet
103
NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
Platí podmínka, že 1. parciální derivace regresního modelu podle parametrů
je alespoň pro jeden parametr jeho funkcí.
( )j
j
fg
δδβ
=x,β
104
NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
Regresní modely se dělí na: neseparabilní – všechny parametry jsou v nelineárním postavení separabilní – část parametrů je lineárních, část nelineárních linearizovatelné – vhodnou transformací je lze převést na lineární model
105
NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
pro lineární model:
jednoznačné řešení
účelová (minimalizační) funkce
pro nelineární model:
106
NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
1. odhad parametrů
1. aproximace 2. odhad parametrů (první vypočítaný)
2. aproximace
3. odhad parametrů (druhý vypočítaný)
107
NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
sedlový bod
lokální min. (zde není optimální řešení)
globální minimum (optimální řešení)
108
NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
Metody odhadů parametrů nederivační
metody přímého hledání (např. krokové hledání minima, Rosenbrockova metoda) simplexové metody (postupné vytváření adaptivních polyedrů – simplexů a jejich „překlápění“ směrem k minimu) metody využívající náhodných čísel
derivační (tendence k lokálním minimům, závislost na prvních odhadech, vhodné k jemnému nalezení minima jako pokračování nederivačních metod)
Gauss-Newton Levenberg-Marquart dog-leg
109
HODNOCENÍ NELINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU
1. Kvalita nalezených odhadů parametrů a) podle intervalů spolehlivosti (čím menší interval spolehlivosti, tím lépe)
21 ; ;j j mm m n mb C m s F αβ − −= ± ⋅ ⋅ ⋅
b) podle rozptylů parametrů, kde by pro kvalitní odhad mělo platit
jj bbD <⋅ )(2
110
HODNOCENÍ NELINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU
2. Kvalita dosažené těsnosti proložení 1. a) podle reziduálního rozptylu b) podle regresního rabatu, což je v procentech
vyjádřený koeficient determinace (čím více se blíží 100 %, tím lepší proložení)
3. Vhodnost navrženého modelu Akaikovo informační kritérium(AIC) - (čím je AIC menší,
tím vhodnější je model).
111
HODNOCENÍ NELINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU
4. Predikční schopnost modelu
střední kvadratická chyba predikce (MEP) - čím je MEP menší, tím je predikční schopnost modelu lepší
5. Kvalita experimentálních dat
a) na základě analýzy reziduí
b) na základě analýzy vlivných bodů (podle Jackknife reziduí, Cookovy vzdálenosti, diagonální prvky projekční matice a věrohodnostní vzdálenost).