kriging (1)
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Kriging
Consideremos NuZ ,2,1,
información de determinada propiedad en el yacimiento y
puntos en los cuales se tiene
la
estimación de a partir de los puntos uZ
uZ
Kriging
Existen diversos métodos para obtener
• Vecino más cercano
• Interpolación estándar
• Regresión lineal
• Métodos basados en Splines
. . .
No toman en cuenta la información aportada por el variograma !
Kriging
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (K
ilometer)
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer)
Y (Kilometer)
>=2019181716151413121110987654321<0
N/A
• El vecino más cercano
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (K
ilomet
er) Y (Kilometer)
>=1312.4511.911.3510.810.259.79.158.68.057.56.956.45.855.34.754.23.653.12.55<2
N/A
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.876.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer) Y (Kilometer)
>=1312.4511.911.3510.810.259.79.158.68.057.56.956.45.855.34.754.23.653.12.55<2
N/A
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer) Y (Kilometer)
>=2019181716151413121110987654321<0
N/A
• Distancia inversa
Kriging
Kriging
Planteamiento básico de la estimación por Kriging:
Considerar la estimación de como una combinación lineal de las
observaciones disponibles
y escoger los pesos bajo un criterio en el cual se considera que dicha estimación es óptima. Este es que el estimador sea insesgado y que
uZuZ *var sea mínima
Kriging Simple
El caso más simple se denomina kriging simple y la hipótesis básica es la estacionaridad junto con el hecho de que se asume que la media de la función aleatoria es conocida. Esto es,
conocidaesy mmuZE
1° CASO. m = 0
Bajo esta condición se asegura que el estimador de kriging es insesgado, ya que
KRIGING SIMPLE
Ahora sólo resta hallar los pesos para que la condición de varianza mínima se satisfaga.
Considérese primero el caso en que se cuenta con una sola observación
1
0
* varvar
uZuZuZ
Entonces
10101210
20 ,cov2varvar uZuZuZuZ
1122
12 cov2 uu
Kriging Simple
uu 00 ,,1
0cov22var1
21
1
*
uuuZuZ
Derivando respecto al parámetro e igualando a cero se tiene
Con lo cual
121
1cov uuuu
Es decir, el estimador de kriging simple es igual al valor conocido de la variable multiplicado por la correlación que existe entre la variable en el punto objetivo y la variable en el punto de observación.
Kriging Simple
Utilizando el valor del parámetro se obtiene que:
122* 1var uuuZuZ
Este tipo de resultado generalmente se utiliza para determinar el error asociado a la estimación.
Debe ser usado con cautela porque no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos !
Utilizando la forma del estimador de kriging se puede demostrar que:
uZuuuZ varvar 21
22*
Kriging Simple
Considérese ahora el caso en que se cuenta con dos observaciones:
2
0
* varvar
uZuZuZ
2221
210
20 varvarvar uZuZuZ
+
2021012121 cov2cov2cov2 uuuuuu
Kriging Simple
uu 00 ,,1
Ahora hay dos parámetros desconocidos y por lo tanto hay que calcular dos derivadas e igualarlas a cero
0covcovvar10212
21
1
*
uuuuuZuZ
0covcovvar20121
22
2
*
uuuuuZuZ
De esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se puede escribir en forma matricial como:
20
10
2
1
12
21
00
uuCuuC
CuuCuuCC
Kriging Simple
2021012*var uuCuuCuZuZ
Utilizando el hecho de que los parámetros resuelven el sistema de ecuaciones se obtiene que:
2
10
2
uuC
Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos.
Kriging Simple
Utilizando el hecho de que los valores ’s resuelven el sistema de ecuaciones se puede demostrar que:
0, ** uZuZuZCov
Es decir, el estimador de kriging simple es ortogonal al error. Esto es una propiedad muy importante que solo satisface el kriging simple.
Utilizando este resultado se tiene que
uZuZuZuZ ** varvarvar
Lo que muestra que:
uZuZ varvar *
Kriging Simple
El caso general se obtiene de manera análoga:
N
uZuZuZ0
* varvar
uuuZN
covvar0
2
Derivando respecto a cada uno de los parámetros e igualando a cero se obtiene un sistema de N ecuaciones con N incógnitas
Kriging Simple
uu 00 ,,1
Relación entre las observaciones Relación de las observaciones con el
punto a estimaro equivalentemente
NiuuCuuC iji
N
jj ,,2,1
1
Kriging Simple
La varianza del error o varianza del kriging es entonces:
N
uuCuZuZ1
02*var
Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos.
Kriging Simple
2° CASO. m 0
En este caso se consideran nuevas funciones aleatorias de media cero para aplicar el caso de kriging simple estudiado anteriormente.
muZuY :
La nueva función aleatoria es estacionaria y tiene media cero, por lo cual el estimador de kriging simple es:
Kriging Simple
Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados entre si ?
Y la solución es
uuuuC 2
El estimador de kriging simple es entonces una combinación lineal de los valores observados, donde los pesos de cada observación corresponden a la correlación entre dicha observación y el punto a estimar.
Kriging Simple
Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados con el punto a estimar ?
Como la matriz es invertible la solución es: N,,2,10
Y el estimador de kriging simple es entonces:
muZ *
Kriging Simple
Que ocurre si el punto a estimar está fuera del rango de la función de covarianza ?
Kriging Simple
Kriging Simple
Una propiedad muy importante del kriging simple es la siguiente: Si la función aleatoria Z(x) es gaussiana entonces:
uZuZuZuZuZE N*
21 ,,,/
Es decir, el valor esperado de la propiedad en el punto u dado los valores observados es el valor del kriging simple !
Esta propiedad es fundamental para obtener simulaciones estocásticas de propiedades, como se estudiará más adelante.
KRIGING ORDINARIO
Generalmente el valor de la media m es desconocido y por lo tanto no se puede utilizar el kriging simple.
El kriging ordinario establece una condición adicional al sistema de ecuaciones del kriging simple para filtrar el valor desconocido de la media.
Al igual que antes el estimador propuesto es de la forma
Kriging Ordinario
Para que el estimador sea insesgado debe ocurrir
De esta forma, como
debe ocurrir que:
Kriging Ordinario
Kriging Ordinario
En kriging ordinario el problema de minimización de la varianza del error es distinto al caso de kriging simple.
No es suficiente buscar los valores ’s que minimizan la varianza.
Hay que buscar los valores ’s que minimizan la varianza y que satisfagan que su suma sea igual a 1, para garantizar la condición de insesgamiento.
Este tipo de problema de minimización con restricciones se resuelve utilizando una técnica denominada multiplicadores de Lagrange
La idea es establecer un sistema de ecuaciones que incluya la restricción sobre los valores ’s
Considérese una nueva función de la forma siguiente:
N
iiN uZuZ
1
*1 12var,,,
El punto donde la nueva función alcanza un mínimo contiene los valores de los ’s que minimizan la varianza y cuya suma es igual a 1.
Para minimizar a la función no existen restricciones, por lo que sólo hay que calcular las derivadas e igualarlas a cero.
Nj
j
N ,,2,10,,,1
0,,,1
N
Kriging Ordinario
NjuZuZ
jj
N ,,2,12var,,, *1
NN
1
1 12,,,
Kriging Ordinario
Igualando a cero las derivadas se tiene que:
NjuZuZ
j
,,2,12var *
Kriging Ordinario
Sabemos que:
j
N
jj
uuuuuZuZ
cov2cov2var1
*
Y por lo tanto se obtiene que:
Njuuuu j
N
j ,,2,1cov22cov21
Kriging Ordinario
El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como:
10111110
1010
2
1
2
1
22
212
121
NNNN
N
N
uuC
uuCuuC
CuuCuuC
uuCCuuuuCuuCC
Condición para filtrar el valor desconocido de la media
Kriging Ordinario
Ahora la varianza del error es:
N
uuCuZuZ1
02*var
Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos.
Kriging Ordinario
Kriging ordinario usando el variograma
Usando la relación usual entre el variograma y la covarianza
hChC 0
NjuuCuuC j
N
j ,,2,1001
Njuuuu j
N
j ,,2,11
Y el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial es entonces
10111110
1010
2
1
2
1
22
212
121
NNNN
N
N
uu
uuuu
uuuu
uuuuuuuu
Kriging Ordinario
Y por lo tanto los resultados obtenidos serán exactamente iguales.
Esta propiedad no es cierta en el caso del kriging simple. Esto es, el sistema de ecuaciones del kriging simple sólo debe ser escrito usando la función de covarianza y NO el variograma.
Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados entre si ?
1011111000
10001000
2
1
2
1
NN uuC
uuCuuC
C
CC
NjuuCC jj ,,2,10
NjC
uu jj ,,2,10
Kriging Ordinario
Kriging Ordinario
Utilizando la condición de insesgamiento se puede obtener el valor del parámetro de Lagrange:
N
jjuuCNC
1
0
N
jj
N
jj
uuN
C
uuCNN
C
1
1
10
10
Si además los valores son no correlacionados con el punto a estimar entonces:
juu j 0
Y por lo tanto N
C 0
NjNj ,,2,11
Y el estimador de kriging ordinario es
Kriging Ordinario
Kriging Ordinario
Relación entre el Kriging ordinario y el kriging simple
Una idea tentadora es estimar el valor promedio utilizando kriging ordinario y tomar esta valor como el verdadero valor de la media para usar kriging simple.
Este procedimiento produce como resultado una estimación que es exactamente igual a la estimación de kriging ordinario.
La demostración de este hecho se conoce como el teorema de adición
Kriging Ordinario
1°) La estimación de la media mediante kriging ordinario se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones:
NjuuC mN
jji
mj ,,2,1
1
11
N
j
mj
2°) El valor estimado de la media se utiliza en la ecuacion del kriging simple
Kriging Ordinario
Por lo tanto el estimador de kriging simple es:
j
La solución del kriging ordinario es única, por lo tanto si se demuestra que los valores ' resuelven el sistema de ecuaciones del kriging ordinario se tendrá que
uZuZ oksk**
Kriging Ordinario
3°) La condición de insesgamiento es:
N
j
mjj
N
jj
11
N
j
N
j
mjj
1 1
N
jj
1
1
Kriging Ordinario
4°) El sistema de ecuaciones es:
jiN
j
mjj
N
jjij uuCuuC
11
N
j
N
jji
mjjij uuCuuC
1 1
miuuC
Y por lo tanto
iN
jjij uuCuuC
1
Lo cual completa la prueba
Kriging Ordinario
Finalmente, si se asume que la media es conocida procediendo como antes se puede demostrar que:
*222 var mskok
Es decir, la varianza del kriging ordinario es la varianza del kriging simple (cuando en realidad se conoce la media) más un factor asociado a la estimación de la media.
Asimismo, se observa que:
22skok
La pendiente de la regresión lineal
La pendiente de la regresión de Z utilizando la estimación de kriging simple es
))(var(
,cov*
*
uZuZuZb
sk
sk
Utilizando las ecuaciones del kriging simple se obtiene que el numerador y el denominador son iguales y por lo tanto la pendiente es igual a 1. Esto significa que el kriging simple es condicionalmente insesgado
Kriging Ordinario
Z
skZ
En el caso de kriging ordinario se tiene que
))(),(cov())(),(cov(
*
*
uZuZuZuZb
ok
ok
Kriging Ordinario
Y por lo tanto el estimador de kriging ordinario no es condicionalmente insesgado.
Z
skZ
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer)
Y (Kilometer)
>=2019181716151413121110987654321<0
N/A
Imagen original
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer)
Y (Kilometer)
>=2019181716151413121110987654321<0
N/A
Kriging ordinario
11.54
7.36
10.31
6.26
10.21
9.38
7.69
3.81
2.46
9.439.59
11.11
4.32
11.22
9.43
5.96
7.26
6.87
6.60
9.22
7.52
7.18
9.84
11.04
12.12
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer)
Y (Kilometer)
>=1312.4511.911.3510.810.259.79.158.68.057.56.956.45.855.34.754.23.653.12.55<2
N/A
Inverso de la distancia
Kriging Ordinario
1F
Dado un conjunto cualquiera F, se define su función indicadora como:
nosi
FxsixF
0
1
1
Este tipo de funciones indican simplemente si el punto en que se evalúan se encuentra o no en el conjunto especificado.
1x2x
11 1 xF 01 2 xF
Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no.
Si se asume que la variable indicadora de la facies F es estacionaria entonces se tiene que:
FxPxE F1 Proporción de la facies F en el yacimiento
De particular interés es considerar variables indicadoras de facies.
1F
Considérese el caso donde se tiene interpretación de facies en un pozo
Facies 1
Facies 2
1
1
1
1
1
0
0
1
11F
0
0
0
0
0
1
1
0
12F
nosi
FxsixF
0
1
1
%7586
1 1xE F
%2582
1 2xE F
1F
Este concepto tan sencillo permite considerar las facies presentes en un yacimiento como funciones aleatorias y aplicar muchas de las técnicas estudiadas anteriormente.
El uso de variables indicadoras es la base de las curvas de proporción vertical .
1F
Unidad 2 Unidad-5
Unidad 1 Unidad-4
1F
En el caso de variables indicadoras el variograma es:
)(
1121 2
FhxyFxP
xhxEh FFF
A partir de este se obtiene la continuidad espacial y la longitud promedio en distintas direcciones de la facies en estudio.
Distancia
Vario
gram
a
R1R2
1F
Propiedades
1) 1,0)(1 pFxPxE F
25.011var ppxF
2) 5.0hF
El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.25
3) Relación con la función de covarianza
hCCh FFF 0
pxphxEhC FFF 11
25.011var0 ppxC FF
1F
2121 hhhh FFF
4) Desigualdad Triangular
En particular hh FF 22
Consecuencia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma
no puede ser el variograma de una función indicadora
1ph p
1F
5) Relación entre las variables indicadoras
Si se interpretan dos facies en el yacimiento entonces:21 FF y
11121
xx FF
Es decir, las facies no son independientes y además
hh FF 21
En el caso general,
111121
xxxNFFF
Y por lo tanto las facies no son independientes.
1F
1F
El método de estimación por kriging puede ser usado para estimar la proporción de una determinada facies en una localización dada.
6) Estimación de la proporción de facies (indicator kriging)
uF1
0
1
1
1
0
Proporción de la facies F en el punto u
0
1
0
0
1
1F
Como la proporción se asocia a la probabilidad se tiene que la estimación por kriging es una estimación de la probabilidad de que la facies F se encuentre en el punto u
Se pueden obtener valores mayores de 1 y menores de 0, estos valores se deben corregir asignando 0 a los menores que cero y 1 a los mayores que 1.
Si se estiman independientemente entonces no necesariamente se cumple que
1F
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kilometer)
Y (Kilometer)
>=1.0010.950950.90090.850850.80080.750750.70070.650650.60060.550550.50050.450450.40040.350350.30030.250250.20020.150150.10010.05005<0
N/A
Barra
Canal
Barra
Canal
Barra
Canal
Canal
Lutita
Lutita
CanalCanal
Barra
Lutita
Barra
Canal
Canal
Canal
Canal
Canal
Canal
Canal
Canal
Canal
Barra
Barra
0.
0.
10.
10.
20.
20.
30.
30.
40.
40.
X (Kilometer)
X (Kilometer)
0. 0.
10. 10.
20. 20.
30. 30.
40. 40.
Y (Kil
ometer) Y (Kilometer)
?
Probabilidad de facies de canal
Los resultados del indicator kriging son mapas de probabilidades y no mapas de propiedades.