Kriptologija

Vilius Stakenas

2010 metu ruduo

2.5 Mechaniniai šifravimo prietaisai 2Jeffersono cilindrai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Enigma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Enigma su dviem rotoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.6 Blokiniai šifrai 6Ryšio apsauga simetrine kriptosistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Pranešimu išraiškos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8KPT – keitiniu-perstatu tinklas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Feistelio schema, DES architektura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10DES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Viena DES iteracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12DES dežes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13DES raktai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14DES raktai: perstatos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15UNIX slaptažodžiai ir DES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16EBC režimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Šifru bloku grandines režimas (CBC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Srauto atgalinio ryšio režimas (OFB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Šifro atgalinio ryšio režimas (CFB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Skaitliuko režimas (CTR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Trigubas DES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22DES chronologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Kiti blokiniai šifrai: GOST 28147-89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24AES konkursas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Veiksmai su baitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26AES variantai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

SQUARE schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Bendra AES schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Baitu keitimo operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Baitu postumio operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Stulpeliu maišymo operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Raktu sudarymo operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Raktu sudarymo operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Srautiniai šifrai 35Srautiniai šifrai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Tiesiniai registrai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tiesiniu registru sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Tiesiniu registru sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Periodines sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Primityvus daugianariai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Maksimalaus periodo sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Tiesiniu registru sistemu jungimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Tiesiniu registru sistemu jungimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A5/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45RC4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46RC4 šifravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2

2.5 Mechaniniai šifravimo prietaisai 2 / 47

Jeffersono cilindrai

3 / 47

Enigma

ρ =

(A B C DB C D A

), λ1 = λ2 =

(A B C DC A D B

)

Tekstas = t1t2 . . . , tk, k = m1 + 4m2 + . . .

ck = ρ−m2λ2ρm2ρ−m1λ1ρ

m1(tk),

tk = ρ−m1λ−11 ρm1ρm2λ−1

2 ρm2

4 / 47

3

Enigma su dviem rotoriais

A = {0, 1, . . . , n− 1},ρ =

(0 1 . . . n− 2 n− 11 2 . . . n− 1 0

)= [1, 2, 3, . . . , n− 1, 0],

ρm(a) = a + m (mod n)

Tekstas = t1t2 . . . , tk, k = m1 + n ·m2 + . . .

ck = ρ−m2λ2ρm2ρ−m1λ1ρ

m1(tk),

tk = ρ−m1λ−11 ρm1ρm2λ−1

2 ρm2

5 / 47

2.6 Blokiniai šifrai 6 / 47

Ryšio apsauga simetrine kriptosistema

7 / 47

Pranešimu išraiškos

Unicode Base648 / 47

4

KPT – keitiniu-perstatu tinklas

SPN – substitution-permutation network

9 / 47

Feistelio schema, DES architektura

10 / 47

5

DES

11 / 47

Viena DES iteracija

12 / 47

6

DES dežes

P

13 / 47

DES raktai

14 / 47

7

DES raktai: perstatos

15 / 47

UNIX slaptažodžiai ir DES

16 / 47

EBC režimas

Blokai gali buti pašalinti, pakeisti, sukeisti... Tas pats blokas visadašifruojamas vienodai.

17 / 47

8

Šifru bloku grandines režimas (CBC)

C1 = e(M1 ⊕ IV |K), Ci = e(Mi ⊕ Ci−1|K), i ≥ 2,

M1 = d(C1 ⊕K|IV ),Mi = e(Ci|K)⊕ Ci−1, i ≥ 2.

IV nebutinai slaptas. Kelis šifro blokus pakeitus, kiti blokai bus iššifruojamigerai.

18 / 47

Srauto atgalinio ryšio režimas (OFB)

19 / 47

9

Šifro atgalinio ryšio režimas (CFB)

20 / 47

Skaitliuko režimas (CTR)

21 / 47

10

Trigubas DES

DES: M 7→ C = e(M |K),M ∈ B64, K ∈ B56,B = {0, 1}.

Trigubas DES: M 7→ C = e(d(e(M |K1)|K2)|K3), M ∈ B64, Ki ∈ B56.

22 / 47

DES chronologija1973-05-15 NBS paskelbe kriptostandarto konkursa1974-08-27 Pakartotinas konkurso skelbimas1975-03-17 DES paskelbta aptarimui ir kritikai

1976-08 Pirmoji DES konferencija1976-09 Antroji DES konferencija1976-11 DES patvirtinta standartu

1977-01-11 Paskelbtas DES standartas FIPS PUB 461983 DES pakartotinai patvirtinta standartu

1988-01-22 DES pakartotinai patvirtinta standartu1992 Teorine DES ataka (Bihamo ir Shamiro skirtumine kriptoanalize)

1993-12-30 DES pakartotinai patvirtinta standartu1994 Eksperimentine DES ataka (Matsui tiesine kriptoanalize)1998 Kompiuteris Deep Crack rado DES rakta per 56 valandas

1999-01 Deep Crack ir lygiagreciu skaiciavimu tinklas ataka – 22 val. 15 min.1999-10-25 DES pakartotinai patvirtinta standartu – triguba DES2001-11-26 Paskelbtas AES2002-05-24 AES isigaliojo2004-07-26 DES standartas atšauktas

23 / 47

11

Kiti blokiniai šifrai: GOST 28147-89

64 bitu blokai, 256 bitu ilgio raktas24 / 47

AES konkursas

1997 JAV Nacionalinis standartu ir technologiju institutas (NIST –National Institute of Standards and Technology) paskelbe nauja konkursagarbingojo DES vietai užimti. Atsirado 15 kandidatu. I finala išejo šie:MARS, RC6, Rijndael, Serpent ir Twofish. Nugalejo Rijndael.

„Rijndael“ sudarytas sujungus jo kureju – dvieju belgu kriptografu V.Rijmen ir J. Daemen – pavardžiu skiemenis.

25 / 47

12

Veiksmai su baitais

AES kriptosistema atlieka veiksmus su baitais. Kiekviena baita, t. y.aštuoniu bitu žodi b = b7b6b5b4b3b2b1b0, interpretuokime kaip daugianari

b(x) = b7x7 + b6x

6 + . . . + b1x + b0.

Du tokius daugianarius sudeje, vel gausime tos pacios erdves daugianari.Imkime aštunto laipsnio daugianari

f(x) = x8 + x4 + x3 + x + 1

ir apibrežkime daugianariu (baitu) sandauga:

a(x)× b(x) = a(x)b(x) dalybos iš f(x) liekana.

26 / 47

AES variantaiRakto ilgis Bloko ilgis Iteraciju skaicius

AES-128 128 128 10AES-192 192 128 12AES-256 256 128 14

27 / 47

SQUARE schema

Pradiniu duomenu blokas prieš pradedant transformacijas surašomas ilentele.

s30s31s32s33

s20s21s22s23

s10s11s12s13

s00s01s02s03

AES duomenu blokas; lenteles elementai – aštuoniu bitu ilgio žodžiai(baitai).

28 / 47

13

Bendra AES schema

Tekstas

?

?

SB

?

SR

?

MC

?

k1

¾

k0

¾-

?

?

SB

?

SR

?

k10

¾

k9

¾

Šifras

AES-128 sudaro 10 vienodos strukturos žingsniu. Kiekvienai operacijai iš kriptosistemosbendro rakto sudaromas dalinis raktas. Šifravimas prasideda sudeties su pradžios raktuveiksmu. Pirmieji devyni žingsniai vienodi – atliekamos baitu keitimo (SB), eiluciupostumio (SR) ir stulpeliu maišymo (MC) operacijos.

29 / 47

Baitu keitimo operacija

b′0b′1b′2b′3b′4b′5b′6b′7

=

1 0 0 0 1 1 1 11 1 0 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0 1 11 1 1 1 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 0 00 0 1 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 1

·

b0b1b2b3b4b5b6b7

+

11000110

.

Baitu keitimo operacijos matricine išraiška. Antroji matricos eilute gauta išpirmosios, atlikus jos elementu postumi, analogiškai iš antrosios eilutesgaunama trecioji ir t. t.

30 / 47

14

Baitu postumio operacija

s30s31s32s33

s20s21s22s23

s10s11s12s13

s00s01s02s03

-

s33s30s31s32

s22s23s20s21

s11s12s13s10

s00s01s02s03

31 / 47

Stulpeliu maišymo operacija

s′0c

s′1c

s′2c

s′3c

=

02 03 01 0101 02 03 0101 01 02 0303 01 01 02

·

s0c

s1c

s2c

s3c

.

AES stulpeliu maišymo operacijos matricine išraiška. Matricos elementusreikia interpretuoti kaip šešioliktaine sistema užrašytus baitus.

32 / 47

Raktu sudarymo operacija

??3

??3

??3

??+ ® U s

? ? ?

- g

?k3 k7 k11 k15

k2 k6 k10 k14

k1 k5 k9 k13

k0 k4 k8 k12

w0 w1 w2 w3

w0 w1 w2 w3

w4 w5 w6 w7

Vienas rakto išpletimo algoritmo ciklas. Pradinis AES raktas išsaugomas32 bitu žodžiuose w0, w1, w2, w3, o naudojantis jais sukuriami dar keturižodžiai

33 / 47

15

Raktu sudarymo operacija

Rakto išpletimo schemos funkcija g :

g(w) = SB(rot(w)) + Rj,

cia rot baitu postumio operacija, rot(b0b1b2b3) = b1b2b3b0; SB – baitukeitimo operacija, apibrežta anksciau, o Rj – j-ojo žingsnio konstanta.Šios konstantos sudaromos pagal paprasta taisykle ( naudojama baitudaugyba):

Rj = rj000000, r1 = 01, rj = 2 · rj−1.

34 / 47

2.7 Srautiniai šifrai 35 / 47

Srautiniai šifrai

Tegu M = m1m2 . . . dvejetaines abeceles simboliu srautas, generuokimetokio pat ilgio rakto žodi K = x1x2 . . . ir apibrežkime M šifra taip:

C = e(M |K) = c1c2 . . . , ci = mi ⊕ xi, i = 1, 2, . . .

Dešifravimas – ta pati XOR operacija, tik ja atlikti reikia su šifro ir raktosrautais:

M = d(C|K) = m1m2 . . . , mi = ci ⊕ xi, i = 1, 2, . . .

36 / 47

16

Tiesiniai registrai

Rn-

6-c1·

Rn−1 -

6-c2·

R2 -

6-cn−1·

R1 -

¾

-cn·

- -

Tiesiniu registru sistema. Kiekviename žingsnyje atliekamas registru bitupostumis: pirmojo registro bitu papildomas generuojamas bitu srautas,antrojo registro bitas perrašomas i pirmaji registra, ..., n-ojo – i n− 1-aji, oi n-aji registra irašoma registru bitu tiesine kombinacija.

37 / 47

Tiesiniu registru sistema

Jeix(t) = 〈x1(t), . . . , xn(t)〉

yra sistemos padetis laiko momentu t, tai sekanciame žingsnyje bus atliktitokie veiksmai

xi(t) = xi+1(t), 1 ≤ i ≤ n− 1, (1)xn(t + 1) ≡ c1xn(t) + . . . + cnx1(t) (mod 2), (2)

cia ci ∈ {0, 1}, 1 ≤ i ≤ n. Sakysime, kad cn 6= 0, nes priešingu atvejuregistru sistema galetume sutrumpinti.

38 / 47

17

Tiesiniu registru sistema

Kiekviename žingsnyje žodis x(t) (dvejetainis vektorius) yraatvaizduojamas i žodi x(t + 1) :

x(t + 1) = x(t)C, C =

0 0 . . . 0 cn

1 0 . . . 0 cn−10 1 . . . 0 cn−2... ... . . . ... ...0 0 . . . 1 c1

.

39 / 47

Periodines sekos

Apibrežimas. Elementu seka {yi} (i = 0, 1, . . .) vadinsime periodine,jeigu egzistuoja toks naturalusis skaicius p, kad su visais i ≥ 0 teisingalygybe yi+p = yi. Mažiausia naturaluji skaiciu p, su kuriuo visos lygybesteisingos vadinsime sekos periodu.

Teorema. Tiesine n registru sistema generuoja periodines sekas, kuriuperiodas yra ne didesnis už 2n − 1.

40 / 47

Primityvus daugianariai

Apibrežimas. n-ojo laipsnio daugianaris f(x) ∈ F2[x] vadinamasprimityviuoju, jeigu jis yra neskaidus ir nera jokio daugianario xd + 1 sud < 2n − 1 daliklis.

Rasti n-ojo laipsnio primityviuosius daugianarius nera paprastas algebrosuždavinys. Taciau žinoma, kad visiems naturaliesiems n jie egzistuoja.

41 / 47

18

Maksimalaus periodo sekos

Apibrežimas. Tiesines registru sistemos charakteringuoju daugianariuvadinsime daugianari

Pn(x) = 1 + c1x + . . . + cnxn, cn 6= 0.

Teorema. Tiesine registru sistema generuoja maksimalaus periodoseka tada ir tik tada, kai jos charakteringasis daugianaris yra primityvus.

42 / 47

Tiesiniu registru sistemu jungimas

TSRS1

?x1

TSRS2

?x2

TSRSn

?xn

f(x1, x2, . . . , xn)

?Rakto srautas

Keliu tiesiniu registru sistemu lygiagretus jungimas

TSRS3-x3

TSRS2

x2

TSRS1-x1

·

·

1+

6

?

?

-

6

?

Rakto srautas

Geffe generatorius43 / 47

19

Tiesiniu registru sistemu jungimas

- -

Valdymas

TSRS1Valdymas

TSRS2Valdymas

TSRS3--

6

-?

Golmano tiesiniu registru sistemu grandine. Jeigu i tiesines registrusistemos „valdymo“ skyriu perduoto bito reikšme lygi vienetui, sistemageneruoja eilini bita ir atlieka registru turiniu postumi; jeigu valdymo bitaslygus nuliui, registru turiniai nepasikeicia. Rakto srautas – dviejupaskutiniu registru bitu suma.

44 / 47

A5/10818 17 16 13

0102021

010 7202122

A5/1 kriptosistema45 / 47

20

RC4

Raktas: l baitu seka K[0], . . . , K[l − 1]. Inicializacija:

1. j:=0

2. for i= 0 to 255 do

3. S[i]:=i end

4. for i= 0 to 255 do

5. j:=j+S[i+K[i mod l]]

6. S[i]<–>S[j] end i:=0 j:=0

46 / 47

RC4 šifravimas

1. i:=i+1 j:=j+S[i]

2. S[i]<–>S[j]

S[S[i] + S[j]] 7→ rakto srautas47 / 47

21