kristallstruktur und mikrostruktur teil i · 4 teil i: zotov 1 koordinatensysteme, das raumgitter,...

Kristallstruktur und Mikrostruktur

Teil I

Vorlesung 4

2

Symmetrieoperationen - Zusammenfassung

‚Fixed Point‘

Drehachsen

Drehinversionsachsen

‚No fixed Point‘

Translationen keine Translationen

Schraubenachsen Gleitspeigelebenen

3

Symmetriegruppen - Zusammenfassung

Punktsymmetriegruppen P – Symmetrie von Molekülen;

Makroskopische Kristallformen

Translationssymmetriegruppe T – Translationssymmetrie

des Gitters

Raumgruppen R - Symmetrie von Kristallstrukturen (Gitter + Basis)

Die Raumgruppen erhalten alle Symmetrieelemente die die

Kristallstrukturen invariant lassen.

4

Teil I: Zotov

1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor

2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie und

Punktsymmetriegruppen

3 Translationssymmetrie, Transformationen des Gitters, Kombinationen von

Translationen und Punksymmetrieoperationen

4 1-, 2- und 3D Raumgruppen

5 Beispiele von Raumgruppen und einfache Kristallstrukturen

6 Makroskopische physikalische Eigenschaften der Kristallen

5

Raumgruppen

R = {T, P};

T = {t1, t2, …}; T ≤ R (T ist Untergruppe von R)!

P = {P1, P2, …Pn};

P ist nicht unbedingt eine Untergruppe von R

6

Raumgruppen

1-Dimensional (‚Fries‘)

Lehre von 3D Raumgruppen

2-Dimensional (‚Wall-paper‘) Surface Science

Lehre von 3D Raumgruppen

3-Dimensional

Kristallographie

Kristallchemie

Kristallphysik

Materialwissenschaften

7 7

Raumgruppensymbole

B s1 ( s2 s3)

Gitterzentrierung:

P primitives

I innenzentriertes

F flächenzentriertes

R trigonales

C(A,B)basisflächenzentriertes

Symmetrie

parallel oder

senkrecht zur

Blickrichtung 1

Symmetrie

parallel oder

senkrecht zur

Blickrichtung 2

Symmetrie

parallel oder

senkrecht zur

Blickrichtung 3

8

Blickrichtungen

triklin

monoklin [010]

orthorhombisch [100], [010], [001]

tetragonal [001], [100], [110]

trigonal [001], [100], [110] (hex)

hexagonal [001], [100], [110]

kubisch [100], [111], [110]

9

‚Eindimensionale‘ (1D) Raumgruppen

Basis

t

Basis: Punksymmetrie 1

Primitives Gitter; Raumgruppe p1

Cl

H

Cl

H

Cl

H

Cl

H

t

Basis

2t 3t

10


Basis Translation t

v = t/2

Gleitspiegelebene g

Basis: Punktsymmetrie 1

Primitives Gitter; Raumgruppe pg 1

2

11

H H

O

H H

O

H H

O

H H

O

t

m


pm

m

Basis

Basis: Punksymmetrie m

Primitives Gitter; Raumgruppe pm

m‘‘ = m x t

Die Raumgruppensymbole zeigen nicht alle Symmetrieelemente!

1 2 3

2t

m m m‘‘ m‘‘ m‘‘

1/2t

1‘ 2‘

12

Gruppengeneratoren

Schar S = {S1, S2, …Sm} der Gruppe G

Gi = ∏a xSa für jedes Element Gi der Gruppe G

Beispiel I

Alle ganze Zahlen; Verknupfungsregel = Addition

S1 = 1; S2 = -1

M > 0 M = MxS1 ; 5 = (1+1+1+1+1)

N< 0 N = NxS2 ; -3 = [(-1) + (-1) + (-1)]

0 = S1xS2 ; 1 + (-1) = 0

Gl.(1)

13 13

Punktgruppe 3

Gruppentafel

3 1 3 32

1 1 31 32

3 3 32 1

32 32 1 3

Generator ist die Rotation auf 120 Grad (S = 3)

1 = (3)3

32 = 3.3

Allgemein, alle zyklische Gruppen haben nur 1 Generator f (Gk = fk ; S = f)

Gruppengeneratoren

14

7 ‚eindimensionale‘ Raumgruppen

p1

pg

p2 (+ 2‘ Drehachse at x = ½; 2‘ = 2 x t)

pm. (+ m‘ at x = ½, 3/2 …; m‘ = t x m)

p.m

pmg [+ 2‘ Drehachse at x = ¼ und ¾

(2‘ = m x g) + m‘ at x = ½; m‘ = t x m]

pmm (+ 2‘ Drehachse + i + m‘)

2‘

m‘

2‘

m‘

m‘ 2‘

t

x 0 ½ 1 2

15

Zweidimensionale (‚Wall-paper‘) Raumgruppen

Schiefwinkliges Gitter

0

a

b

2(1/2 ,1/2) = a x b x 2(0,0)

Generatoren: a, b, 2(0,0)

2(1/2,0) = a x 2(0,0) 2(0,1/2) = b x 2(0,0) Generatoren: a, b

a

b 0

16

Zweidimensionale Raumgruppen

Rechteckiges Gitter

Zentrierungen: t0 = 0; t1= (a+b)/2

Generatoren: a, b, t1, m(0,y)

g

g‘ m‘

g = m x t1

m‘ = m x a

g‘ = g x m‘ = (m x t1) x (m x a)

a

b

17 17


S. Dutch, Univ. Wisconsin, 2011

Rechteckiges Gitter

Generatoren: a, b, g(0,y)

18


Generatoren

a

4(0,0)

m(x,0)

m

m‘

m‘ = 4 x m; m‘‘ = 43 x m

2(0,0) = 4(0,0)2

2‘(0,1/2) = 2 x b = 4 x 4 x a

Quadratisches Gitter

m‘‘ a

a

19

Quadratisches Gitter


20

‚Wall-paper‘ Muster

21

Trigonales Gitter


g || b

m || [2 1 0]; g || [1 -1 0]

m’ || [0 1 0]

m‘ = 3 x m

m‘‘ = 32 x m

Generatoren

a

3(0,0)

m(x,0)

a b

g’ || a

3‘ (2/3,1/3)

m‘‘

22

‚Wall-paper‘ Muster

23

Hexagonales Gitter

Zweidimensionale Raumgruppen Generatoren

a

6(0,0)

a b

3 (2/3,1/3) = (62 x b) x (64 x a)

24

Asymmetrische Einheit (Elementarzelle)

• kleinste Kristalleinheit ohne Symmetrie

• häufig ein Molekül gros

• kann auch nur ein Molekülbruchteil einhalten

(spezielle Lage)

25

17 Zweidimensionale Raumgruppen

Zusammenfassung

m || [2 1 0] m || [1 1 0]

26

17 Zweidimensionalen Raumgruppen

Schiefwinkliges P1 P2

Rechteckiges Pm Pg P2m Pmm2 Pgg2

Quadratisches P4 P4mm P4gm

Zentriert-Quadratisches Cm Cmm2

Rhombisches P3, P31m, P3m1, P6, P6mm

27

Dreidimensionalle (3D) Raumgruppen Kristallstrukturen

32 Kristallklassen

Punktlagensymmetrien

14 Bravais-Gitter

7 Kristallsysteme

230 Raumgruppen

makroskopisch mikroskopisch 6 Kristallfamilien

28

Triklin

P1 P 1

Monoklin

P2, P21, C2, Pm, Pc, Cm, Cc P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c

Orthorhombisch

P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I2121,21,

Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Abm2, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2,

Ima2

Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma,

Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma

tetragonal

P4, P41, P42, P43, I4, I41 P 4 , I 4

P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122

P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd

P 4 2m, P 4 2c, P 4 21m, P 4 21c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2, I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d

P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc,

P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd

trigonal

P3, P31, P32, R3 P 3 , R 3 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32 P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c

P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1, R 3 m, R 3 c

hexagonal

P6, P61, P65, P62, P64, P63 P 6 P6/m, P63/m

P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 P6mm, P6cc, P63cm, P63mc P 6 m2, P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c

P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc

kubisch

P23, F23, I23, P213, I213 Pm 3 , Pn 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3

P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132

P 4 3m, F 4 3m, I 4 3m, P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d

Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m, Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c, Im 3 m, Ia 3 d

Die 230 Raumgruppen

29

International Tables of Crystallography Vol A

Raumgruppen Tabellen

Symbol P 4

Nummer 75

Ursprung an 4

Symmetrieoperationen (1) 1; (2) 2 (00z); (3) 4+ (00z); (4) 4- (00z)

Generatoren t(1,0,0) t(0,1,0) t(0,0,1) 2(00z) 4+(00z)

Primitives Gitter

30 30

International Tables of Crystallography Vol A

Raumgruppen Tabellen

Raumgruppediagramm Punktsymmetrie

1

2

4

3

Symmetrie

operationen

31

Transformationen der Atomkoordinaten

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4+ f = 90o, Gl (5a)

T1 = x‘y‘z‘ = -y x z (Atom 3)

Zwei Rotationen auf 90o

T = (T1)2 x‘y‘z‘ = -x -y z (Atom 2)

4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4- f = -90o, Gl (5a)

0 1 0

-1 0 0

0 0 1

T = x‘y‘z‘ = y -x z (Atom 4)

32 32

Punktsymmetrie-Bestimmung

I 21 3 23

P 43 21 2 422

Pccn = P 21/c 21/c 2/n

m m m

2/m 2/m 2/m

Ersetzt man in einer Raumgruppe die

translationsbehafteten

Symmetrieoperationen durch normale

Drehachsen und Spiegelebenen, erhält

man die Kristallklasse (Punktgruppe)

33

Monoklines Gitter PG

Spiegelebene in der Projektionsebene

Symmetrie-

Operationen

34

Monoklines Gitter

Symmetrie-

Operationen

c n

Richtung b

a

c

b

n

35

Orthorhombisches Gitter

Symmetrie-

Operationen

36


Symmetrie-

Operationen

37


Symmetrieoperationen

38

Tetragonales Gitter

Symmetrie-

Operationen

39

Tetragonales Gitter

Symmetrie-

Operationen

n

40

Trigonales Gitter

Symmetrie-

Operationen

41

Hexagonales Gitter

Symmetrie

operationen

42

Hexagonales Gitter

Symmetrie-

Operationen

43

Kubisches Gitter

Symmetrie-

Operationen

44

Klassifikation der Raumgruppen

# Nach Existenz von Inversionszentrum

# Nach Kristallklassen (32)

# Nach arithmetischen Kristallklassen (73)

# Nach Gruppe–Untergruppe Relationen

45

Klassifikation nach Inversion

Zentrosymmetrische Raumgruppen (91) (Raumgruppen mit Inversionszentrum)

Nicht-zentrosymmetrische Raumgruppen (139)

46

Klassifikation nach Kristallklassen

47


48


49


50

Klassifikation nach arithmetischen

Kristallklassen

Arithmetische Kristallklassen = Klassen von Raumgruppen mit den

gleichen Punktgruppen und gleichen Zentrierungen

Beispiele:

AK Raumpruppen

mP Pm, Pc, Pn

mC Cc

2P P2, P21

51

Klassifikation

nach Gruppe-Untergruppe

Relationen Symmorphe Raumgruppen

Definition 1: Die Punktgruppe P ist eine Untergruppe von R ( P ≤ R)

Definition 2: Raumgruppen wo alle Symmetrieoperationen (außer die

Translationen) lassen einen Punkt fest.

73 Symmorphe Raumgruppen

157 Nicht-symmorphe Raumgruppen

Erkennung: Die Schriftsymbole sind ohne Schraubenachsen und ohne

Gleitspeigelebenen

52

P6 symmorphe Gruppe

P65 nicht-symmorphe Gruppe

AK: 6P (P6 , P61, P62, P63, P64, P65 )

53

Symmorphe Nicht-Symmorphe

P6 P61

P -4m2 P-421 m

P222 P2 2 21

Pmm2 Pm c 21

P 2/m C 2/c

Beispiele

54

Allgemeine Lagen:

• Punktsymmetrie: 1

• Die Vielzahl (Multiplicity) M = NZ * Ordnung der Punktgruppe;

(NZ – die Zahl von Zentrierungsvektoren)

• Zahl von symmetrieäquivalenten Atomen = M/NZ

Spezielle Lagen:

• auf Symmetrieelementen (Punktsymmetrie der Lage ist großer als 1)

• die Vielzahl M erniedrigt

• Zahl von symmetrieäquivalenten Atomen = M/NZ

Atom Lagen

55

Raumgruppe C 2221

NZ = 2

P = 222

Ordnung = 4

M = 2*4 = 8

Spezielle Lage 4b

Punksymmetrie .2.

4/2 = 2 symmetrieäq. Atome

56

F 4/m 3 2/m

NZ = 4

P = m 3 m

Ordnung 48

allgemeine Position

M = 4 * 48 = 192

Symmetrieäq. Atome

Spezielle Lage 32f

32/4 = 8

57

Kristallstruktur - Beschreibung

1/ Raumgruppe

2/ Gitterparameter

3/ Atomkoordinaten in der asymmetrischen Elementarzelle

kristallstruktur und mikrostruktur teil i · 4 teil i: zotov 1 koordinatensysteme, das raumgitter,...

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