krist´yna kuncov ´a - web.natur.cuni.czweb.natur.cuni.cz/~kunck6am/1819ls_b2/04_prubeh_web.pdf ·...
TRANSCRIPT
(4) Prubeh funkce
Kristyna Kuncova
Matematika B2 18/19
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 1 / 25
Monotonie
Zdroj: http://www.ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?topic=ma&chap sec=04.4&page=theory
Animace
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 2 / 25
Monotonie
Prıklad
(x2)′ = 2x
Prirad’te
1. f ′(x) > 02. f ′(x) ≥ 03. f ′(x) < 04. f ′(x) ≤ 0
A f neklesajıcı
B f nerostoucı
C f klesajıcı
D f rostoucıD, A, C, B
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 3 / 25
Vztah prvnı derivace a monotonie
Veta (vztah derivace a monotonie)
Necht’ I je interval a f je spojita funkce na I. Necht’ Int I oznacuje mnozinuvsech vnitrnıch bodu intervalu I. Necht’ existuje f ′(x) pro kazde x ∈ Int I.Potom
(i) je-li f ′(x) > 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f rostoucı na I;(ii) je-li f ′(x) ≥ 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f neklesajıcı na I;
(iii) je-li f ′(x) < 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f klesajıcı na I;(iv) je-li f ′(x) ≤ 0 pro kazde x ∈ Int I , pak je f nerostoucı na I.
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 4 / 25
Extremy
Prıklad
(x2)′ = 2x
(sin x)′ = cos x
Jak souvisı derivace funkce s existencı extremu?
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 5 / 25
Extremy: potıze
Prıklad
(x3)′ = 3x2
Jak souvisı derivace funkce s existencı extremu?
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 6 / 25
Extremy: potıze podruhe
Prıklad
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 7 / 25
Extremy: Dalsı moznosti
Prıklad
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 8 / 25
Extremy: Shrnutı
Prıklad
Zdroj: http://slideplayer.com/slide/7555868/
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 9 / 25
Nutna podmınka existence extremu
Veta (Nutna podmınka existence extremu)
Necht’ I je interval, f je realna funkce a a je vnitrnım bodem I. Je-li abodem lokalnıho extremu funkce f , pak bud’ f ′(a) neexistuje nebof ′(a) = 0.
Zdroj: http://slideplayer.com/slide/7555868/
Poznamka
Bod a, pro nejz platı f ′(a) = 0, zveme bodem stacionarnım.
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 10 / 25
Extremy: prıklad
Prıklad
Necht’ funkce f ma spojitou derivaci f ′(x), ktera se v bode x = 2 menı zezaporne na kladnou. Ktera z nasledujıcıch tvrzenı jsou pravdiva?
A 2 je stacionarnım bodem funkce f (x).B f (2) je lokalnı maximumC f (2) je lokalnı minimumD f ′(2) je lokalnı maximumE f ′(2) je lokalnı minimum
Zdroj: https://www.wiley.com/college/hugheshallett/0470089148/conceptests/concept.pdf
A, C
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 11 / 25
Extremy: prıklad
Veta
Jestlize funkce f je spojita na uzavrenem intervalu [a, b], pak na [a, b] nabyvasveho (globalnıho) maxima i minima.
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 12 / 25
Konvexita a konkavita
Prıklad
(x3)′′ = 6x
(sin x)′′ = − sin x
Jak souvisı druha derivace funkce s konvexitou a konkavitou?
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 13 / 25
Konvexita a konkavita
Prıklad
(x3)′′ = 6x
Prirad’te
1. f ′′(x) > 02. f ′′(x) < 0
A f je ryze konvexnı na I.B f je ryze konkavnı na I.
A, B
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 14 / 25
Konvexita a konkavita
Veta (vztah druhe derivace a konvexity ci konkavnosti)
Necht’ f je spojita funkce na intervalu I ⊂ R a necht’ ma f na Int I spojitouprvnı derivaci.
Je-li f ′′(x) > 0 pro kazde x ∈ Int I, pak f je ryze konvexnı na I.Je-li f ′′(x) < 0 pro kazde x ∈ Int I, pak f je ryze konkavnı na I.
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 15 / 25
Konvexita a konkavita: prıklad
PrıkladUhodnete, ktera krivka znazornuje funkci, prvnı derivaci a druhou derivaci:http://webspace.ship.edu/msrenault/geogebracalculus/derivative first second.html
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 16 / 25
Inflexnı bod
Zdroj: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animated illustration of inflection point.gif
Pozn: Aminace
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 17 / 25
Inflexnı bod
Prıklad
(x3)′′ = 6x
(sin x)′′ = − sin x
Jak souvisı druha derivace funkce a inflexnı bod?
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 18 / 25
Inflexnı bod - potıze
Prıklad
(x4 − x)′′ = 12x2
Zdroj: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:X to the 4th minus x.svg
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 19 / 25
Inflexnı bod
Veta (nutna podmınka pro inflexi)
Necht’ f je realna funkce a a ∈ R. Jestlize existuje f ′′(a) a je ruzna od nuly,pak a nenı inflexnım bodem funkce f .
Veta (postacujıcı podmınka pro inflexi)
Necht’ f ma spojitou prvnı derivaci na intervalu (a, b) a c ∈ (a, b).Predpokladejme, ze
∀x ∈ (a, c) : f ′′(x) > 0 a ∀x ∈ (c, b) : f ′′(x) < 0
nebo∀x ∈ (a, c) : f ′′(x) < 0, a ∀x ∈ (c, b) : f ′′(x) > 0.
Pak c je inflexnım bodem f .
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 20 / 25
Prubeh: prıklady
Prıklad
Najdete funkci, ktera ma maxima a minima v nekonecnem mnozstvı bodu.sin x
PrıkladNajdete funkci, ktera je konvexnı a pritom kladna.ex
Prıklad
Je pravda, ze je-li f ′′(a) = 0, pak f ma v a inflexnı bod?Ne
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 21 / 25
Asymptoty
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 22 / 25
Asymptoty
Definition
Necht’ f je realna funkce definovana na nejakem okolı bodu∞. Necht’a, b ∈ R. Rekneme, ze f ma v bode∞ asymptotu ax + b, jestlize
limx→∞
(f (x)− ax− b
)= 0. (1)
Analogicky definujeme asymptotu v bode −∞.
Veta (tvar asymptoty)
Funkce f ma v bode∞ asymptotu ax + b prave tehdy, kdyz
limx→∞
f (x)x
= a ∈ R a limx→∞
(f (x)− ax) = b ∈ R. (2)
Analogicke tvrzenı platı pro asymptotu v bode −∞.
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 23 / 25
Prubeh funkce: prıklad
Prıklad
Nacrtnete funkci y = f (x). Je definovana a spojita na celem R
Zdroj: Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallum
Prıklad
Nacrtnete funkci y = f (x). Je definovana a spojita na celem R
Zdroj: Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallumKristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 24 / 25
Aplikace extremu: prıklad
Prıklad
Baca by rad oplotil obdelnıkovy vybeh pro ovce. K dispozici ma 20 metrupletiva a pozemek u reky. Jake majı byt rozmery pozemku, aby byl conejvetsı?
Zdroj: https://plus.google.com/+ShauntheSheep/posts/i5G17r3ykqJ
Zadanı inspirovano: http://www.realisticky.cz/
Kristyna Kuncova (4) Prubeh funkce 25 / 25