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1

Kryptographie und Codierung für den Mathematikunterricht

Pädagogische Hochschule KarlsruheUniversity of Education · École Supérieure de PédagogieInstitut für Mathematik und Informatik Th. Borys

PH Karlsruhe Thomas Borys2

Gulewu tellewenTalewag

Was verstehst du unter einem Code?


Gulewu telewenTalewag



Genetischer Code



Strichcode


Bild http://office.microsoft.com/de-de/clipart/download.aspx?


ASCII-Code



Zeichen A B↓ ↓

Code 01000001 01000010


RSA-Verfahren




Brailleschrift



a b c d e


Morsecode


Bild: http://www.shipsonstamps.org/topics/html/funker.htmhttp://morsecode.scphillips.com/jtranslator.html

a b c d e· — —· · · —·—

·—· · ·

http://morsecode.scphillips.com/jtranslator.html


Cäsar-Code

Bild:http://www.augsburger-allgemeine.de/Home/popup,quiz_quiz,1621_regid,13_puid,2_pageid,5154.html



Cäsar-Code

Bild:http://www.augsburger-allgemeine.de/Home/popup,quiz_quiz,1621_regid,13_puid,2_pageid,5154.html

Klar.: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zGeheim.: D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Klar.: b o n d Geheim.: E R Q G



Aufgaben von Codierungen

• „Anpassung an technische Gegebenheiten der Weiterleitung“

• „Reduzierung der Datenmenge“

• „Sicherung vor Fehlern, insbesondere vor zufälligen Veränderungen“

• „Geheimhaltung, Sicherung vor unbefugter Kenntnisnahme“

• „Schutz vor unbefugter Veränderung, Beweis der Urheberschaft, Nachweis der Abwicklung“

• „Schnelle Verständlichkeit für einen großen Personenkreis auch über Sprachgrenzen hinweg“

• „Anpassung an technische Gegebenheiten der Weiterleitung“

• „Reduzierung der Datenmenge“

• „Sicherung vor Fehlern, insbesondere vor zufälligen Veränderungen“

• „Geheimhaltung, Sicherung vor unbefugter Kenntnisnahme“

• „Schutz vor unbefugter Veränderung, Beweis der Urheberschaft, Nachweis der Abwicklung“

• „Schnelle Verständlichkeit für einen großen Personenkreis auch über Sprachgrenzen hinweg“


Was versteht man unter Kryptologie?

Die Wissenschaft, deren Aufgabe die Entwicklung von Methoden zurVerschlüsselung (Chiffrierung) von Informationen (Kryptographie) und deren mathematische Absicherung gegen unberechtigte Entschlüsselung (Dechiffrierung) ist (Kryptoanalyse).

(Brockhaus Lexikon)

Beutelspacher:Kryptographie ist eine öffentliche mathematische Wissenschaft, in der Vertrauen geschaffen, übertragen und erhalten wird.

Was versteht man unter Kryptologie?

Die Wissenschaft, deren Aufgabe die Entwicklung von Methoden zurVerschlüsselung (Chiffrierung) von Informationen (Kryptographie) und deren mathematische Absicherung gegen unberechtigte Entschlüsselung (Dechiffrierung) ist (Kryptoanalyse).

(Brockhaus Lexikon)

Beutelspacher:Kryptographie ist eine öffentliche mathematische Wissenschaft, in der Vertrauen geschaffen, übertragen und erhalten wird.


1. Strichcodes

2. Europäische Artikelnummer

3. Huffman-Codierung

4. Verschlüsselungsschablonen

1. Strichcodes

2. Europäische Artikelnummer

3. Huffman-Codierung

4. Verschlüsselungsschablonen

Vortrags-Gliederung

17

Strichcodes



Einfacher StrichcodeAztec-Code Online-Ticket der Bahn

PDF 417 Online-Ticket der Lufthansa Datamatrix der Deutschen Post


Gepäckanhänger einer Fluggesellschaft

PZN eines Medikaments


Einfacher StrichcodeAztec-Code Online-Ticket der Bahn

PDF 417 Online-Ticket der Lufthansa Datamatrix der Deutschen Post


1 7 9 7 2 2 3 3 5 3 21

3


Schülerproduktionen

23

Europäische Artikelnummer

24

Europäische Artikelnummer(kurz EAN)


European Article Number = Universal Product Code

Daten:Daten:

- 1973 UPC = Universal Product Code (12-stellig) in Amerika

- 1977 EAN (13-stellig) Europa

- EAN & UPC kompatibel z.B.: UPC 184324845131UPC 184324845131 EAN EAN 00184324845131184324845131

1.Jan.2005 EAN auch in Nordamerika


Aufbau der Ziffernfolge der EAN 13

Beispiel: 40 (1)3752 01900 4

HerstellerlandHersteller

Artikelnummer

Prüfziffer

4 13752 019004


4 013752 019004

Berechnung der Prüfziffer

Beispiel einer EAN: 401375201900 – 4

4 4 0 + 01 + 13 + 97 + 75 + 152 + 20 + 01 + 19 + 270 + 00 + 0 = 66

∙1

∙3

∙1

∙3

∙1

∙3

∙3

∙3

∙1

∙1

∙1

∙3 66 + 4 = 70


Wie gut ist das Prüfzifferverfahren?

Richtige EAN:4 0 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 2

4 + 0 + 1 + 6 + 3 + 12 + 5 + 27 + 8 + 21 + 6 + 15 + 2 = 110

Falsche EAN:4 0 1 2 3 4 7 9 8 7 6 5 2

4 + 0 + 1 + 6 + 3 + 12 + 7 + 27 + 8 + 21 + 6 + 15 + 2 = 112

Einzelfehler werden erkannt.


Richtige EAN:4 0 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 2

4 + 0 + 1 + 6 + 3 + 12 + 5 + 27 + 8 + 21 + 6 + 15 + 2 = 110

Falsche EAN:4 0 1 2 3 4 9 5 8 7 6 5 2

4 + 0 + 1 + 6 + 3 + 2 + 9 + 15 + 8 + 21 + 6 + 15 + 2 = 102


Dieser Zahlendreher wird erkannt.


Richtige EAN:4 0 1 3 7 5 2 7 1 9 0 0 3

4 + 0 + 1 + 9 + 7 + 15 + 2 + 21 + 1 + 27 + 0 + 0 + 3 = 90

Falsche EAN:4 0 1 3 7 5 7 2 1 9 0 0 3

4 + 0 + 1 + 9 + 7 + 15 + 7 + 6 + 1 + 27 + 0 + 0 + 3 = 80


Dieser Zahlendreher wird nicht erkannt.

·1 ·3


Interdisziplinarität

http://de.wikipedia.org/wiki/EAN-L%C3%A4ndernummer


Weitere Prüfzifferverfahren

http://www.bmi.bund.de.



http://www.bmi.bund.de.

37

Huffman-Codierung



Huffman im Alltag

JPEG

MP3

MPEG

…

ZIP

Telefax


David Huffman

David Huffman[1925-1999]

David Huffman[1925-1999]

www.soe.ucsc.edu/people/faculty/huffman.html


Gliederung Huffman-Codierung

1. Interessante Aspekte des Huffman-Algorithmus für den Mathematikunterricht an der Schule

2. Grundidee des Huffman-Algorithmus

3. Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel

4. Eigenschaften des Huffman-Codes

5. Anwendung beim Telefax

6. Tipp für den Unterricht

1. Interessante Aspekte des Huffman-Algorithmus für den Mathematikunterricht an der Schule

2. Grundidee des Huffman-Algorithmus

3. Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel

4. Eigenschaften des Huffman-Codes

5. Anwendung beim Telefax

6. Tipp für den Unterricht


• besseres Verständnis der „modernen Welt“

• Elementarität

• Schulung des algorithmischen Denkens

• Fundamentale Prinzipien von Komprimierungsverfahren

• Exemplarisch für moderne Strukturen der Mathematik und Informatik

• …

• besseres Verständnis der „modernen Welt“

• Elementarität

• Schulung des algorithmischen Denkens

• Fundamentale Prinzipien von Komprimierungsverfahren

• Exemplarisch für moderne Strukturen der Mathematik und Informatik

• …

Interessante Aspekte des Huffman-Algorithmus für den Mathematikunterricht an der Schule

Heinrich Winter sagt zu den allgemeinen Zielen des Mathematikunterrichts:

„Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und zu verstehen.“

Heinrich Winter sagt zu den allgemeinen Zielen des Mathematikunterrichts:

„Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und zu verstehen.“

Schülerinnen und Schüler sollen „exemplarisch Mathematisierungen in Technik und Naturwissenschaften erleben“

Schülerinnen und Schüler sollen „exemplarisch Mathematisierungen in Technik und Naturwissenschaften erleben“


Grundidee des Huffman-Algorithmus

Verlustfreie KompressionVerlustfreie

KompressionVerlustbehaftete

KompressionVerlustbehaftete

Kompression

KompressionsverfahrenKompressionsverfahren



Verlustfreie Kompression

„Luft“ weglassen



Zusammenfassungskda fjlsakd lksdaj lskdaf lsdakj ölsadk jflaskfj sadflk lkdsjf lksdajf ölsakjf ölsakf lksadjflksajfdölsakdjfl sdlkfj sdalökj fldsak fjsaldök jlsadk jfaölskjd flsadkjfaslökjf aölskjfdiejlökajdsfiealkfjaiejlkasjfoiasejlkf saelifjlask jfsalifdjlksdajf ölskaj ldksaj ldsakfjlisafjlkds lkdsajfiejlkdsajfiesf lksadjfaeslksadjisaejflkdsjf lkdsjfilesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi

ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa

lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi

jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjl

Verlustbehaftete Kompression

Unwichtiges weglassen



Verlustfreie Kompression

„Luft“ weglassen

Der Huffman-Algorithmus arbeitet verlustfrei !!!

Der Huffman-Algorithmus arbeitet verlustfrei !!!



ABRAKADABRA

ASCIIA=01000001B=01000010

…

88 Bit

ASCIIA=01000001B=01000010

…

88 Bit

Idee:häufig vorkommende Zeichen bekommen einen kürzeren Code, selten vorkommende Zeichen ein längeres Codewortz.B. A=0 B=11 …..

Idee:häufig vorkommende Zeichen bekommen einen kürzeren Code, selten vorkommende Zeichen ein längeres Codewortz.B. A=0 B=11 …..



Häufig benötigte Bücher stellt man in greifbare Nähe (Augenhöhe)

Selten benötigte Bücher verstaut man weiter oben oder unten



Morse-Code

A · - B - · · · C - · - · D - · ·E · F · · - · G -- · H .... I · · J · --- K - · - L · - · ·M -- N - · O --- P · -- ·Q -- · - R · - · S · · · T -U · · - V · · · - W · -- X - · · -Y - · -- Z -- · ·

Morse-Code

A · - B - · · · C - · - · D - · ·E · F · · - · G -- · H .... I · · J · --- K - · - L · - · ·M -- N - · O --- P · -- ·Q -- · - R · - · S · · · T -U · · - V · · · - W · -- X - · · -Y - · -- Z -- · ·

Der Huffman-Algorithmus erzeugt systematisch einen optimalen Code!

Der Huffman-Algorithmus erzeugt systematisch einen optimalen Code!

Samuel Morse[1791-1872]

Samuel Morse[1791-1872]

www.morsehistoricsite.orgwww.morsehistoricsite.org


Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel

Ziel: Jedem im Text vorkommenden Zeichen wird ein Binärcodezugewiesen!

Ziel: Jedem im Text vorkommenden Zeichen wird ein Binärcodezugewiesen!

A

0 1

00 1 1

B C

D

Wurzel

KnotenKanten

Blätter E0 1

WurzelbaumWurzelbaum



Text: ABRAKADABRAText: ABRAKADABRA

Häufigkeitsanalyse:Häufigkeitsanalyse:

Buchstaben A B R K DHäufigkeit 5





Buchstaben A B R K DHäufigkeit 5 2





Buchstaben A B R K DHäufigkeit 5 2 2





Buchstaben A B R K DHäufigkeit 5 2 2 1





Buchstaben A B R K DHäufigkeit 5 2 2 1 1

B2

R2

D1

K1

A5

Huffman-Liste 1



Huffman-Liste 2

D1

K1 D

1K1

DK2Zusammenführung

B2

R2

A5

D1

K1

DK2



Huffman-Liste 3

B2

R2

BR4A

5

D1

K1

DK2



Huffman-Liste 4

BDKR6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5



Huffman-Liste 5

BDKR6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11



CodebaumCodetabelle

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11

Buchstaben BinärcodeA 0



CodebaumCodetabelle

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11

Buchstaben BinärcodeA 0B 100



CodebaumCodetabelle

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11

Buchstaben BinärcodeA 0B 100D 110



CodebaumCodetabelle

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11

Buchstaben BinärcodeA 0B 100D 110K 111



CodebaumCodetabelle

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11

Buchstaben BinärcodeA 0B 100D 110K 111R 101



Codierung des Textes:

A B R A K A D A B R A

Codierung des Textes:



0 100 101 0 0 00 111 110 100 101

Zusammenfassung des Algorithmus:Eingabe: HäufigkeitstabelleHauptteil: 1. Erstelle die Huffman-Liste.

2. Wiederhole die Zusammenführung der beiden mit der geringsten Häufigkeit beschrifteten Bäume so lange, bis die Huffman-Liste nur noch aus einem Baum, dem Huffman-Baum, besteht.

Ausgabe: Codebaum

Zusammenfassung des Algorithmus:Eingabe: HäufigkeitstabelleHauptteil: 1. Erstelle die Huffman-Liste.

2. Wiederhole die Zusammenführung der beiden mit der geringsten Häufigkeit beschrifteten Bäume so lange, bis die Huffman-Liste nur noch aus einem Baum, dem Huffman-Baum, besteht.

Ausgabe: Codebaum

Interaktives Experimentiersystem: http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/cc-interaktiv/index.htmInteraktives Experimentiersystem: http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/cc-interaktiv/index.htm

http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/cc-interaktiv/materialien-homepage-jzbg/cc-interaktiv/index.htm





Eigenschaften des Huffman-Codes

In der Huffman-Liste zwei haben wir „B“ und „R“ zu einem Baum zusammengeführt, wir hätten auch „DK“ und „B“ wählen können.

In der Huffman-Liste zwei haben wir „B“ und „R“ zu einem Baum zusammengeführt, wir hätten auch „DK“ und „B“ wählen können.

Huffman-Liste 2

B2

R2

A5

D1

K1

DK2



Codebaum*Codetabelle*


D1

K1

0

1

0 1

1

0

BDKR6

B2

R2

BDK4

A5

ABDKR11

0 1

DK2



Codierung* des Textes:


Codierung* des Textes:



0 110 10 0 0 00 1111 1110 110 10

Mittlere Codewortlänge 23/11≅2,1.

Die Formel liefert den Erwartungswert der Zufallsvariablen „Codewortlänge“.

Der Huffman-Algorithmus minimiert die mittlere Codewortlänge und liefert eine möglichst kurze also eine optimalen Codierung.

Mittlere Codewortlänge 23/11≅2,1.

Die Formel liefert den Erwartungswert der Zufallsvariablen „Codewortlänge“.

Der Huffman-Algorithmus minimiert die mittlere Codewortlänge und liefert eine möglichst kurze also eine optimalen Codierung.

i

n

ii lpL ⋅=∑

=1



Decodieren wir den Text:

11001110101


11001110101D

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11




110 01110101


110 01110101D A

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11




110 0 1110101


110 0 1110101D KA

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11




110 0 111 0101


110 0 111 0101D KA A

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11




110 0 111 0 101


110 0 111 0 101D KA RA

0

1

0 11

1

0

0BDKR

6

B2

R2

BR4

D1

K1

DK2

A5

ABDKR11



Der Huffman-Code ist präfixfrei.

Vergleich mit dem Telefonsystem:Das Telefonnummernsystem ist auch präfixfrei.

Beispiel: Wählt man 110, „weiß“ das System, dass man fertig mit wählen ist. Das liegt daran, dass

die Nummer 110 nie Anfangsteil (Präfix) einer anderen Nummer ist, z.B. gibt es keine Telefonnummer 11011.

Woran erkennt man einen präfixfreien Code?Ein Codebaum liefert einen präfixfreien Code, wenn die zu codierenden Zeichen nur in

den Blättern des Baumes stehen. Beim Morsecode ist dies beispielsweise nicht der Fall, daher muss nach jedem Buchstaben eine kleine Pause mitgeteilt werden.

Der Huffman-Code ist präfixfrei.

Vergleich mit dem Telefonsystem:Das Telefonnummernsystem ist auch präfixfrei.

Beispiel: Wählt man 110, „weiß“ das System, dass man fertig mit wählen ist. Das liegt daran, dass

die Nummer 110 nie Anfangsteil (Präfix) einer anderen Nummer ist, z.B. gibt es keine Telefonnummer 11011.

Woran erkennt man einen präfixfreien Code?Ein Codebaum liefert einen präfixfreien Code, wenn die zu codierenden Zeichen nur in

den Blättern des Baumes stehen. Beim Morsecode ist dies beispielsweise nicht der Fall, daher muss nach jedem Buchstaben eine kleine Pause mitgeteilt werden.

B C

0

0 01

1

1

DA

präfixfreipräfixfrei

N N

⋅

⋅ --

-

⋅

MI

E T

MorsecodeMorsecode


Anwendungsbeispiele

JPEG

MP3

MPEG

…

ZIP

Telefax


Telefax-Codierung

1728 Pixel pro Zeile

1011 Zeilen

Speicherplatzbedarf:1011*1728=1.747.008 Bit (ca. 1,7 MBit)Übertragung würde 1747008 bit/2400 bit/sec=727sec

bzw. 12 min dauern.


Lauflängencodierung

7w, 4s, 8w, 10s, 4w, 3s, 7w, 3s, 8w, 3s, 4w, 3s, 5w, 3s, 5w, 6s, 5w, 16s, 2w, 3s, 8w, 3s, 7w

Lauflängencodierung (run-length)

Häufigkeitsanalyse:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

3s 4w 8w 7w 5w 10s 4s 6s 16s 2w


Telefax

Häufigkeitsanalyse

Huffman-Algorithmus


Telefax-Code:(Ausschnitt)

Lauflänge Codes für Schwarz1s 010

2s 11

3s 10

4s 011

5s 0011

6s 0010

7s 00011

8s 000101

9s 000100

10s 0000100

11s 0000101

12s 0000111

13s 00000100

14s 00000111

15s 000011000

16s 0000010111

17s 0000011000

18s 0000001000

19s 00001100111

20s 00001101000


Effizienz der Kompression

Es lassen sich Kompressionsraten von bis zu 1:50 erreichen.

Ohne Kompression Mit Kompression

Datenmenge

Übertragungs-dauer

1,7 MBit 0,04 MBit

12 min (720 sec) 15 sec


Werbeslogan

Karlsruhevielvorvieldahinter

ASCII-Code:01101011 01100001 01110010 01101100 01110011 01110010 01110101 01101000 01100101 01110110 01101001 01100101 01101100 01110110 01101111 01110010 01110110 01101001 01100101 01101100 01100100 01100001 01101000 01101001 01101110 01110100 01100101 01110010

Huffman-Codierung:11011 0111 101 001 11110 101 0110 1100 100 010 000 100 001 010 11101 101 010 000 100 001 11010 0111 1100 000 11100 11111 100 101

Tipp für den Unterricht

81

Verschlüsselungs-schablonen



Verschlüsselungsschablonen



K



K A



K A R



K A R

L



K A R

L

S



K A R

L

S

R



K A R

L

S

R U



K A R

L

S

R U

H



K A R

L

S

R U

H

E



K E

N

N E

N K

A R


Verschlüsslungsschablonen



L

S

R U

H

E

L I E



B E

N



B E

N A

B C

D

E F



„bklaer snkale brsnuc nrdhue eenfkh laieer “

B K L A E R

S N K A L E

B R S N U C

N R D H U E

E E N F K H

L A I E E R



1 2 3 7 4 14 5 6 8 5 2

7 8 9 9 6 3

3 6 9 9 8 7

2 5 8 6 5 4

1 4 7 3 2 1



Arbeit einer Schülerin

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Kryptographie und Codierung für den Mathematikunterricht


Danke für Ihre Aufmerksamkeit

Danke für Ihre Aufmerksamkeit

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