Le c t u r e 1 | 1

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

1.1. แบบจาํลองปรากฏการณ์ในชีวติประจาํวัน

(a) Kinetic Equations

กลุ่มของสมการในการอธิบาย Gas dynamics,

Aerodynamics, Plasma physics โดยศกึษาการ

ชนกนัของอนภุาคระดบัโมเลกลุ เชน่ Boltzmann’s

equation

Le c t u r e 1 | 2

(b) Navier-Stokes equations

เป็นระบบสมการทีใช้ในการศกึษาการใหลของ

ของเหลวทีมีความหนืด

Le c t u r e 1 | 3

(c) Granular Material Flows

(d) Chemotactic Cell Motion and Pattern Formation

Le c t u r e 1 | 4

(e) Semiconductor Modeling

(f) Free Boundary Problems and Phase Transitions

Le c t u r e 1 | 5

(g) Reaction-Diffusion Equations

(h) Wave Equations

Le c t u r e 1 | 6

(i) Digital Image Processing

(j) Socio-Economic Modeling

Le c t u r e 1 | 7

1.2. ความหมายของ PDE

บทนิยาม สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย หรือ Partial

Differential Equations (PDE) คือ สมการเชิง

อนพุนัธ์ทผีลเฉลยเป็นฟังก์ชนัทีขึนกบัตวัแปรอย่าง

น้อยสองตัว

ในวิชานีจะเขียนแทนผลเฉลยของ PDE ด้วย

และตวัแปรด้วย

ถ้าตวัแปรคือ จะได้ ใน

กรณีพิกดัเชิงขวัตวัแปรจะเป็น และจะได้

Le c t u r e 1 | 8

ตัวอย่าง(สมการลาปลาซ) ใน 2D สมการลาปลาซ

คือ

โดย คือตัวดาํเนินการลาปลาซ นิยามโดย

สมการลาปลาซใน 3D คือ

เมือ และ

Le c t u r e 1 | 9

ตัวอย่าง สมการ Schrödinger คือ

โดย และ เป็นค่าคงตวัของ Plank

สมการนีเป็นแบบจําลองทีใช้ในการศกึษาระบบที

มีมิติเล็กมาก ๆ (ในระดบั ) ของวิชา Quantum

Mechanics

ผลเฉลยของสมการไม่มีความหมายเชิงกายภาพ

แต่พจน์

Le c t u r e 1 | 10

Note ในสมการเชิงอนพุนัธ์ย่อยแต่ละสมการควรมี

การหาอนพุนัธ์ย่อยเทียบกบัตวัแปรอย่างน้อยสองตวั

ปรากฏอยู่ ไมเ่ช่นนนัจะสามารถลดทอนการศกึษา

เป็น ODE ได้

ตวัอย่างเช่น PDE

สามารถแก้ได้โดยเทียบกบั ODE

ซงึจะได้

ดงันนัผลเฉลยทวัไปของ PDE คือ

Le c t u r e 1 | 11

1.3. ทมีาของ PDE เชิงเส้นทสีาํคัญ

สมการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ยทสีําคญัในวิชานี

Transport equation

Diffusion/Heat equation

Wave equation

Laplace and Poisson equation

Le c t u r e 1 | 12

ตัวอย่าง (Transport equation)

พิจารณาถนนเส้นหนึงซงึมียานพาหนะดงัรูป

ให้ และ มีค่าน้อย ๆ

ในช่วง ณ เวลา ให้

จํานวนรถ

ความหนาแน่นของรถ

จะได้ ดงันนัจํานวนรถบนถนน

ช่วง เพิมขึนในช่วงเวลา เทา่กบั

Le c t u r e 1 | 13

กําหนดให้

อตัราจํานวนรถวิงไปทางขวาที

ดงันนัรถวิงเข้าสู ่ ในช่วงเวลา ทงัหมด

โดยกฎการอนรัุกษ์จะได้

หารด้วย จะได้

Le c t u r e 1 | 14

แทน จะได้สมการ

นนัคือ

ถ้า เป็นฟังก์ชนัทีมีอนพุนัธ์ โดยกฏลกูโซจ่ะได้

ซงึเรียกวา่ สมการการเคลือนท ี

ถ้า แปรผนัตรงกบั นนัคือ จะได้

ซงึเรียกวา่ สมการการเคลือนทเีชิงเส้น

Le c t u r e 1 | 15

ตัวอย่าง (Diffusion/Heat equation)

พิจารณาหลอดแก้วยาวทีมีพืนทีหน้าตดัคงที

ภายในหลอดมีของเหลวใส เมือหยดสีลงไปสีจะพร่

กระจายในทกุทิศทาง

ให้ และ มีค่าน้อย ๆ

ในช่วง ณ เวลา ให้

จํานวนเม็ดสี

ความเข้มข้นของสี

ดงันนั

Le c t u r e 1 | 16

ในช่วง เมือเวลาผ่านไปในช่วง มี

จํานวนสีเพมิขึนด้วยอตัราเท่ากบั

โดย Fick’s law จะได้อตัราการแพร่ของเม็ดสีไป

ทางขวาทีตําแหน่ง เทา่กบั

โดย เรียกวา่สมัประสิทธิการแพร่

ดงันนัอตัราการแพร่ของสีเข้าไปใน ในช่วงเวลา

เทา่กบั

Le c t u r e 1 | 17

โดยกฎการอนรัุกษ์จะได้

หารด้วย และให้ จะได้สมการ

ซงึเรียกวา่ สมการการแพร่ (Diffusion equation)

Le c t u r e 1 | 18

1.4. สัญลักษณ์และคาํศัพท์

อนัดบัสงูสดุของอนพุนัธ์ย่อยทีปรากฏในสมการ

เชิงอนพุนัธ์ย่อย จะเรียกว่า อันดับของสมการเชิง

อนุพนัธ์ย่อย

Le c t u r e 1 | 19

ตัวอย่าง จงหาอนัดบัของ ต่อไปนี

Le c t u r e 1 | 20

ตวัแปรอิสระใน แบ่งได้เป็น ตวัแปรเชิงพืนที

มกัแทนด้วย และ เวลา

ถ้า ไมป่รากฏในสมการจะเรียกสมการนนัวา่

ถ้าสมการขนึกบัตวัแปร สมการจะเรียกว่า

เพือความสะดวกเรามกัเขียนอนพุนัธ์ย่อยแทน

ด้วย