NEM-EUKLIDESZNEM-EUKLIDESZI I KALANDOK KALANDOK

MATEMATIKAÓRÁN, avagy MATEMATIKAÓRÁN, avagy hogyan tanítom a gömbi hogyan tanítom a gömbi

geometriát felső geometriát felső tagozatosoknaktagozatosoknak

Kuczmann ErikaKuczmann Erika

BevezetésBevezetés

HEFOP 3.1.3. keretében: kísérletsorozatHEFOP 3.1.3. keretében: kísérletsorozat ESZA és KomenskESZA és Komenskýý Egyetem e-learning Egyetem e-learning

tanfolyama, összehasonlító geometriatanfolyama, összehasonlító geometria Szlovákiában nincs NATSzlovákiában nincs NAT Központi tantervek 1997Központi tantervek 1997 1999. szept.1. ún. műveltségi 1999. szept.1. ún. műveltségi

standardok (curriculum)standardok (curriculum) Ellenőrzés: Monitor és más tesztek Ellenőrzés: Monitor és más tesztek

soránsorán

Melyik osztályban mit Melyik osztályban mit tanítunk?tanítunk?

1.o.: Háromszög, kör, négyzet, téglalap, 1.o.: Háromszög, kör, négyzet, téglalap, gömb, kocka, henger felismerésegömb, kocka, henger felismerése

2.o.: Pont, szakasz, egyenes jelölése, 2.o.: Pont, szakasz, egyenes jelölése, rajzolása, szakasz hossza, hosszegységekrajzolása, szakasz hossza, hosszegységek

3.o.: Szakaszok hosszának összehasonlítása, 3.o.: Szakaszok hosszának összehasonlítása, adott középpontú, sugarú kör, háromszög, adott középpontú, sugarú kör, háromszög, négyszög rajzolása, csúcsok elnevezésenégyszög rajzolása, csúcsok elnevezése

4.o.: karcos vonalzóval merőleges szerk., 4.o.: karcos vonalzóval merőleges szerk., szakaszok összege, háromszög, négyzet Kszakaszok összege, háromszög, négyzet K

Témakörök a felső tagozatonTémakörök a felső tagozaton

1. A szög, szögmérés, -másolás, szögek egybevágósága, összeadása, kivonása, felezése, kétszerezése, csúcs- és mellékszögek (5.o.) - min. 80%

váltó- és egyállású szögek (6.o.)2. A háromszög – min. 70%5.o.: háromszög-egyenlőtlenség6.o.: fajtái, területe, külső és belső szögei

és tul.-i, nevezetes pontok és vonalak

7.o.: A Pitagorasz tétel és gyakorlati 7.o.: A Pitagorasz tétel és gyakorlati alk.alk.

9.o.: A derékszögű háromszög 9.o.: A derékszögű háromszög hegyesszögének szögfüggvényeihegyesszögének szögfüggvényei

3. A paralelogramma és tul.-i – 3. A paralelogramma és tul.-i –

min. 75 %min. 75 %

5.o.: Téglalap, négyzet, rombusz 5.o.: Téglalap, négyzet, rombusz kerülete, területe, szerkesztése, kerülete, területe, szerkesztése, mértékegységátváltásmértékegységátváltás

6.o.:Romboid, paralelogramma6.o.:Romboid, paralelogramma

4. Trapéz és szerkesztése, 4. Trapéz és szerkesztése, kerülete, területe (7.o.) - 75%kerülete, területe (7.o.) - 75%

5. A kör, körvonal - min. 80%5. A kör, körvonal - min. 80%5.o.: elnev., koncentrikus körök5.o.: elnev., koncentrikus körök8.o.: egyenes és kör, két kör8.o.: egyenes és kör, két kör kölcsönös helyzete, érintőszer-kölcsönös helyzete, érintőszer-

kesztés, Thalesz-tétel, kör, körív kesztés, Thalesz-tétel, kör, körív kerülete, kör, körcikk területekerülete, kör, körcikk területe

6. Síkidomok egybevágósága 6. Síkidomok egybevágósága (6.o.)(6.o.)

min. 75%min. 75%Tükrözések, szimmetrikus Tükrözések, szimmetrikus

alakzatok, a háromszögek alakzatok, a háromszögek egybevágósági tételeiegybevágósági tételei

7. Síkidomok hasonlósága (9.o.) 7. Síkidomok hasonlósága (9.o.) min. 60% min. 60%

A hasonlóság aránya, gyakorlati A hasonlóság aránya, gyakorlati alkalmazása, szerkesztési feladatok, a alkalmazása, szerkesztési feladatok, a háromszögek hasonlósági tételeiháromszögek hasonlósági tételei

8. Szerkesztési feladatok - min. 60%8. Szerkesztési feladatok - min. 60% 5.o.: adott tulajdonságú pontok 5.o.: adott tulajdonságú pontok

halmaza, szakasz-, szögfelező, halmaza, szakasz-, szögfelező, párhuza-mosok, merőlegesek, párhuza-mosok, merőlegesek, háromszögek, négyzet, téglalap háromszögek, négyzet, téglalap szerkesztéseszerkesztése

6.o.: háromszögek, paralelogramma6.o.: háromszögek, paralelogramma 7.o.: trapéz7.o.: trapéz 8.o.: Thalesz-kör8.o.: Thalesz-kör

9. A hegyesszög szögfüggvényei 9. A hegyesszög szögfüggvényei (9.o.) min. 75% (9.o.) min. 75% sin, cos, tg mint a derékszögű sin, cos, tg mint a derékszögű

háromszög oldalainak aránya, háromszög oldalainak aránya, számológép, táblázat, számológép, táblázat, gyakorlati feladatok gyakorlati feladatok10. Testek felszíne és térfogata - min. 10. Testek felszíne és térfogata - min.

75%75%

6.o.: kocka, téglatest, mértékegységek6.o.: kocka, téglatest, mértékegységek

7.o.: hasáb7.o.: hasáb

9.o.: henger, gúla, kúp, 9.o.: henger, gúla, kúp, gömbgömb

A heti óraszámok:A heti óraszámok:felső tagozaton ill. nyolcéves felső tagozaton ill. nyolcéves

gimnáziumbangimnáziumban

5. oszt.: 5 óra , prima : 5 óra5. oszt.: 5 óra , prima : 5 óra

6. oszt.: 5 óra , secunda: 5 óra6. oszt.: 5 óra , secunda: 5 óra

7. oszt.: 4 óra , tertia : 4 óra7. oszt.: 4 óra , tertia : 4 óra

8. oszt.: 4 óra , quarta : 4 óra8. oszt.: 4 óra , quarta : 4 óra

9. oszt.: 4 óra 9. oszt.: 4 óra

nagy 1. oszt.: 4 óra , quinta : 3 (!) óranagy 1. oszt.: 4 óra , quinta : 3 (!) óra

2. oszt.: 4 óra, sexta : 3 óra2. oszt.: 4 óra, sexta : 3 óra

3. oszt.: 3 óra, septima : 3 óra3. oszt.: 3 óra, septima : 3 óra

4. oszt., ill octáva: szeminárium az 4. oszt., ill octáva: szeminárium az érettségizőknek, heti 4 óraérettségizőknek, heti 4 óra

A matematikakönyvekA matematikakönyvekŠedivý- Čeretková-Malperová-Ľudoviť

Bálint –féle tankönyvek magyar fordításai, (RNDr. Horváth Géza)

1997-2002

a gömbi geometria tanításához a gömbi geometria tanításához szükséges: az igazgató beleegyezéseaz igazgató beleegyezése Szülői Szövetség pénzügyi támogatásaSzülői Szövetség pénzügyi támogatása iskola programjába beveheti,iskola programjába beveheti, összhangba hozni a követelményekkelösszhangba hozni a követelményekkel

Miért jó és hasznos az Miért jó és hasznos az összehasonlító geometria összehasonlító geometria

tanítása?tanítása? gömbfelületen élünk, a természetben ez gömbfelületen élünk, a természetben ez

a forma a leggyakoribb (lásd: a forma a leggyakoribb (lásd: gyümölcsök, égitestek, labdák, gyümölcsök, égitestek, labdák,

vízcsepp )vízcsepp ) a síkgeometriában használt a síkgeometriában használt

alapfogalmak elmélyítését segíti,alapfogalmak elmélyítését segíti, a gömb gyakran áttekinthetőbb a a gömb gyakran áttekinthetőbb a

gyerekek számáragyerekek számára a gömbözés során a gyerekek élvezik a a gömbözés során a gyerekek élvezik a

jó hangulatú kooperációt, jó hangulatú kooperációt, felkelti bennük a bizonyítás iránti igényt, felkelti bennük a bizonyítás iránti igényt,

a földrajzi fogalmak kialakulását is a földrajzi fogalmak kialakulását is segíti,segíti,

Hasznos és fontos, mertHasznos és fontos, mert

segíti a vitakultúra kialakulását,segíti a vitakultúra kialakulását, segíti a tolerancia létrejöttét,segíti a tolerancia létrejöttét,

sok szakember munkájában hasznos: pl. sok szakember munkájában hasznos: pl. pilóta, hajós, csillagász, mérnök, építész, pilóta, hajós, csillagász, mérnök, építész,

atomfizikus, biológus, kémikusatomfizikus, biológus, kémikus a manipuláció a gyerekek számára a manipuláció a gyerekek számára

sikerélményt nyújt,sikerélményt nyújt, önállóságra neveli őket,önállóságra neveli őket,

művészi képességeiket is fejleszthetjük a művészi képességeiket is fejleszthetjük a gömb segítségével.gömb segítségével.

A munkaformaA munkaforma

kooperatív csoportokban dolgoznak (2-4 fő)

vegyes csoportok a padokat a táblára kb.

merőlegesen állítják fel Lénárt István: Nem-euklideszi

kalandok a rajzgömbön c. munkája diák-oldalai

összehasonlító táblázat

Az első lépések a felfedezések feléAz első lépések a felfedezések felé

NASA által készített Földtérkép, alapfogalmak, legegyszerűbb elem, rajzeszközökkel ismerkedtünk,

forgószínpados módszerrel.

1.csoport, gömbvonalzó1.csoport, gömbvonalzó

SÍK GÖMBLegegyszerűbbelem

PONT PONT

Legrövidebb út egyenes szakasz gömbi főkörív

Legegyszerűbbvonal

egyenes, végtelennincs középpontja

gömbi főkör,véges, 2középpont

A kiindulásipontba

sosem térünkvissza

visszatérünk

Két különbözőponton át

egy és csakis 1egyenes

egy és csakis 1gömbi egyenesDE: két átellenesponton végtelen !

HF.:gömb alakú dolgok HF.:gömb alakú dolgok neveneve

Föld, bolygók, csillagok, hógolyó, üveggolyó, léggömb, röplabda, gyöngyök, higanycsepp, a modellezőkészlet atomjai, ágyúgolyó, gombolyag, hagyma, szőlőszem, dinnye, citrusfélék termései, kókuszdió, alma, barack, meggy, cseresznyepaprika, paradicsom, borsószem, káposzta, szilvásgombóc, tarhonyaszem, kaviár, nyalóka, rágógumi, bogáncs, emberi fej, szemgolyó, varázsgömb, süni, ha összehúzódik,

a harang golyója rúd nélkül.

További alapfogalmak bevezetéseTovábbi alapfogalmak bevezetéseA 3. órán távolságmérés, sarkpontok A 3. órán távolságmérés, sarkpontok

és hozzájuk tartozó egyenlítő és hozzájuk tartozó egyenlítő

szerkesztéseszerkesztése SÍK GÖMB

Két ponttávolságaa rajtukátmenő

egyenesszakaszmentén, 1mérhetőszakasz

gömbi főkörmentén, 2mérhetőfőkörív,RÖVIDEBB

bármilyen nagylehet

legfeljebb 180fokHA átellenespontok:végtelen sok

Amit érdekesnek találtakAmit érdekesnek találtak A távolságot a gömbön fokokban A távolságot a gömbön fokokban

mérjük.mérjük. Gömbi vonalzóval egyszerre Gömbi vonalzóval egyszerre

mérhetünk távolságot és szöget is. mérhetünk távolságot és szöget is. Hol található a Greenwich-i hosszúsági Hol található a Greenwich-i hosszúsági

főkörhöz tartozó két sarkpont? Az egyik a főkörhöz tartozó két sarkpont? Az egyik a Greenwich-i hosszúsági főkörtől 90°-ra Greenwich-i hosszúsági főkörtől 90°-ra nyugatra esik az Egyenlítőn (a Galápagos nyugatra esik az Egyenlítőn (a Galápagos szigetek) , a másik pedig 90°-ra keletre az szigetek) , a másik pedig 90°-ra keletre az Indiai-óceánban, Szumátrán. Indiai-óceánban, Szumátrán.

A 4-5. óra: Párhuzamosság és Párhuzamosság és merőlegesség síkon és gömbönmerőlegesség síkon és gömbön

Hány közös pontja lehet két egyenes vonalnak ?Hány közös pontja lehet két egyenes vonalnak ?

1.1.lépés: Rajzolj egy e egyenest.lépés: Rajzolj egy e egyenest.

2.2.lépés: Rajzolj egy egyenes vonalat, lépés: Rajzolj egy egyenes vonalat,

aminek nincs közös pontja e-vel.aminek nincs közös pontja e-vel.

3.3.lépés: Rajzolj egy b egyenest, amelyiknek lépés: Rajzolj egy b egyenest, amelyiknek

pontosan egy közös pontja van e-vel.pontosan egy közös pontja van e-vel.

4.4.lépés: Rajzolj egy c egyenest, amelyiknek lépés: Rajzolj egy c egyenest, amelyiknek

pontosan két közös pontja van e-vel.pontosan két közös pontja van e-vel.

5.5.lépés: Rajzolj egy d egyenest, amelyiknek lépés: Rajzolj egy d egyenest, amelyiknek

több, mint 2 közös pontja van e-vel.több, mint 2 közös pontja van e-vel.

A KÉT EGYENES HELYZETE

SÍK GÖMBpárhuzamos 0 közös pont párhuzamos

főköröknincsenek!!

metsző 1 közös pont 2 közös pontegybeeső végtelen sok

közös pontvégtelen sokközös pont

Mit mondhatunk két merőleges Mit mondhatunk két merőleges egyenesről a síkon és két egyenesről a síkon és két

merőleges főkörről a gömbön?merőleges főkörről a gömbön?SíkonSíkon: Rajzolj két metsző : Rajzolj két metsző

egyenest, amelyek a síkot 4 egyenest, amelyek a síkot 4 egyforma részre bontják fel, mérd egyforma részre bontják fel, mérd

meg valamennyi szögét.meg valamennyi szögét.

GömbönGömbön: Rajzolj két főkört, : Rajzolj két főkört, amelyek a gömböt 4 egyforma amelyek a gömböt 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg a részre bontják fel, mérd meg a

két főkör metszésénél keletkező két főkör metszésénél keletkező összes szöget.összes szöget.

MERŐLEGES EGYENESEK - MERŐLEGES EGYENESEK - FŐKÖRÖKFŐKÖRÖK

SÍKONSÍKON

KÉT MERŐLEGES KÉT MERŐLEGES EGYENES EGYENES EGYEGY PONTBAN PONTBAN METSZI METSZI EGYMÁST.EGYMÁST.

44 DERÉKSZÖGET DERÉKSZÖGET HATÁROZNAK HATÁROZNAK MEG.MEG.

4 VÉGTELEN, 4 VÉGTELEN, EGYBEVÁGÓ EGYBEVÁGÓ TARTOMÁNYRA TARTOMÁNYRA BONTJA A SÍKOT.BONTJA A SÍKOT.

GÖMBÖNGÖMBÖN

KÉT MERŐLEGES KÉT MERŐLEGES EGYENES EGYENES KÉTKÉT PONTBAN PONTBAN METSZI METSZI EGYMÁST.EGYMÁST.

88 DERÉKSZÖGET DERÉKSZÖGET HATÁROZNAK HATÁROZNAK MEG.MEG.

4 VÉGTELEN, 4 VÉGTELEN, EGYBEVÁGÓ EGYBEVÁGÓ TARTOMÁNYRA TARTOMÁNYRA BONTJA A SÍKOT.BONTJA A SÍKOT.

Hány közös merőlegese lehet 2 egyenes Hány közös merőlegese lehet 2 egyenes vonalnak, ill. gömbi főkörnek?vonalnak, ill. gömbi főkörnek?Szerkesztés a síkonSzerkesztés a síkon: :

1.1.lépés: Rajzolj két metsző egyenest, és próbálj lépés: Rajzolj két metsző egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik olyan egyenest szerkeszteni, amelyik

mindkettőre merőleges.mindkettőre merőleges.

2.2.lépés: Rajzolj két párhuzamos egyenest, és lépés: Rajzolj két párhuzamos egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik

mindkettőre merőleges.mindkettőre merőleges.

Szerkesztés a gömbön:Szerkesztés a gömbön:

1.1.lépés: Rajzolj két különböző gömbi főkört.lépés: Rajzolj két különböző gömbi főkört.

2.2.lépés: Próbálj olyan főkört szerkeszteni, lépés: Próbálj olyan főkört szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.amelyik mindkettőre merőleges.

Vizsgáld meg, hány közös merőlegese Vizsgáld meg, hány közös merőlegese van két különböző főkörnek!van két különböző főkörnek!

A sokszögekrőlA sokszögekről

Az 1. óra ismétlés, majd a gömbi kétszögek (2 óra) ill. gömbháromszögek (3 óra)

a “zárt sokszög” fogalma ???:Nevezzük zárt n-szögnek (ahol n

tetszőleges természetes szám) n db síkbeli, ill. gömbi egyenesdarab rendezett sorozatát, ahol bármelyik egyenesdarab végpontja megegyezik a rákövetkező egyenesdarab kezdőpontjával, az utolsó, n-edik egyenesdarab végpontja pedig megegyezik az első egyenesdarab kezdőpontjával.

matematikai jelölésmatematikai jelölés szemléltetés: 4 kislány kézfogása - szemléltetés: 4 kislány kézfogása -

négyszögnégyszög rajzoljanak sokszöget --rajzoljanak sokszöget --ívháromszögekívháromszögek gömbi kétszögek: Két átellenes

pont félfőkörívekkel (meridiánokkal) összekötve

oldalösszegük alsó és felső határa :360°, azaz 360 gömbi lépésA szögösszeg nem állandó, hanem 0 °

és 360° közé eshet !! Szabályos sokszög-e?

Létezik-e gömbi egyszög?

GGömbkétszögömbkétszög

Gömbkétszög Gömbkétszög szerkesztéseszerkesztése

Gömbkétszög szögeinek Gömbkétszög szögeinek mérésemérése

Összehasonlító táblázat, Összehasonlító táblázat, gömbkétszögekgömbkétszögek

Összehasonlító táblázat 2., Összehasonlító táblázat 2., gömbkétszögekgömbkétszögek

EULER-FÉLE EULER-FÉLE GÖMBHÁROMSZÖGGÖMBHÁROMSZÖG

Nem Euler-féle Nem Euler-féle gömbháromszöggömbháromszög

A háromszögek belső A háromszögek belső szögeinek összege síkon és szögeinek összege síkon és

gömböngömbön

Síkon: tépéssel-ragasztással, Síkon: tépéssel-ragasztással, hajtogatással, méréssel, bizonyítássalhajtogatással, méréssel, bizonyítással

Szerkesztés: két háromszög egymás Szerkesztés: két háromszög egymás belsejébenbelsejében

A gömbön a szögösszeg nem állandó, a kisebb háromszög szögei is kisebbek,

szögösszege is kevesebb.

Belső szögösszeg Belső szögösszeg gömbháromszögeknélgömbháromszögeknél

elfajult esetekelfajult esetek Mikor lesz egy gömbháromszög belső

szögeinek összege 180°? Ha a=80°, akkor mérésük 252° és 240° Ha a=70°, akkor 225°, 228 és 231° Ha a=60°, akkor 207°, 210 ° és 213° Ha a=30°, akkor mérésük 183° és 189° Kísérlet: a= 20 °, ill. a=10 ° 180° és 540° közé esik !!

További vizsgálódási További vizsgálódási lehetőségeklehetőségek

Oktáns Pitagorasz tétele : vajon a gömbön

érvényes-e ? Van-e hasonlóság a gömbön?

Nincs! A háromszög magasságvonalainak,

középvonalainak, súlyvonalainak vizsgálata

Négyszögek

A KÖR KERÜLETEA KÖR KERÜLETE Hogyan aránylik a kör kerülete

az átmérőjéhez? Kísérletek: különböző méretű

poharak Síkon: 3,14 Gömbön: az arány nem állandó, hanem

a kör nagyságával változik. Nagyon kicsi gömbi körökre ez az arány közel áll píhez, de annál mindig kisebb.

Főkörre ez az arány éppen 2.

Egészen 0-ig is zsugorodhat. Egészen 0-ig is zsugorodhat.

ÖSSZEGZÉSÖSSZEGZÉS

induktív érvelés: tapasztalatszerzés, általánosítás, az első felfedezések

deduktív érvelés: axiómák harca,logikai következtetés

mindkettő megértését segíti rengeteg pozitív élményt nyújt egyidejű bevezetés

„Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, nem felsőbbséges. A legkevésbé sem nem felsőbbséges. A legkevésbé sem tévedhetetlen, de mindig kész arra, hogy tévedhetetlen, de mindig kész arra, hogy tévedéseit felismerje, és tanuljon belőlük. tévedéseit felismerje, és tanuljon belőlük. Semmi köze gőghöz, nagyképűséghez, Semmi köze gőghöz, nagyképűséghez, csalhatatlansághoz. éppolyan gyarló, csalhatatlansághoz. éppolyan gyarló, éppolyan emberi, mint azok a nők és férfiak, éppolyan emberi, mint azok a nők és férfiak, akik alkották, vagy alkotják most is. Őrültség akik alkották, vagy alkotják most is. Őrültség gyűlölni, vagy félni tőle. Legigazibb gyűlölni, vagy félni tőle. Legigazibb pillanataiban egyszerű, vad és csodálatos.”pillanataiban egyszerű, vad és csodálatos.”

(Lénárt István)(Lénárt István)

Felhasznált irodalom:Felhasznált irodalom:1. Lénárt István: Sík és gömb. Nem-1. Lénárt István: Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. euklideszi kalandok a rajzgömbön. Múzsák kiadó Kft., Budapest (1999Múzsák kiadó Kft., Budapest (1999

2.Sedivý- Čeretková-Malperová-2.Sedivý- Čeretková-Malperová-Ľudoviť Bálint: Matematika 5., 6., Ľudoviť Bálint: Matematika 5., 6., 7., 8., 9. osztály számára 1. és 7., 8., 9. osztály számára 1. és 2.részek, Slovenské pedagogické 2.részek, Slovenské pedagogické nakladateľstvo (nakladateľstvo (1997-2002)1997-2002)

3.www.lenartgomb.hu3.www.lenartgomb.hu

4.www.ematik.sk4.www.ematik.sk