PowerPoint Presentation

Aljabar Boolean

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@2Merupakan sistem matematika yang terdiri atas suatu himpunan B dengan dua operasi biner dan satu operasi uner.

DefinisiHimpunan B dengan dua operasi biner + dan , (B, +, ) dan operator uner , adalah aljabar Boole jika dan hanya jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@3(ii). Terdapat unsur identitas 0 dan 1 di B terhadap operasi + dan (i). Komutatif terhadap operasi + dan

(iii). Operasi + distributif terhadap , yaitu , dan operasi distributif terhadap +,

(iv). Untuk setiap , terdapat komplemen dari sedemikian sehingga

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@4ContohHimpunan B = {0, 1} dgn dua operasi biner + dan adalah aljabar boolean.Akan ditunjukkan memenuhi aksioma. Perhatikan bahwa

aba baba + baa0000000101001110100101111111

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@5 Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 0 = 0 1 = 0

Komutatif: jelas berlaku dengan melihat kesimetrian tabel operator biner.

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@6 abcb + ca (b + c)a ba c(a b) + (a c)0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111 Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dengan membentuk tabel kebenaran:

(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) Bukti sebagai latihan

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@7 Komplemen: dari Tabel terlihat bahwa: (i) a + a = 1, krn 0 + 0= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1= 1 + 0 = 1 (ii) a a = 0, krn 0 0= 0 1 = 0 dan 1 1 = 1 0 = 0

Karena keempat aksioma dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} dengan operator biner + dan merupakan aljabar Boolean.

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@8ContohPerhatikan tabel berikut:+012 012000000121011111220122222Selidiki apakah himpunan {0,1,2} dengan operasi + dan merupakan aljabar boolean?

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@9

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@10Bukti(i). Adb a + a = a perhatikan bahwa a = a + 0 (identitas) = a + aa (komplemen) = (a + a)(a + a) (distributif) = (a + a).1 (komplemen) = a + a (identitas) Adb a.a = a perhatikan bahwa: a = a . 1 (identitas) = a (a + a) (komplemen) = aa + aa (distributif) = aa + 0 (komplemen) = aa (identitas)

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@11(ii). Adb a + 1 = 1 perhatikan bahwa 1 = a + a (komplemen) = a + a.1 (identitas) = (a + a)(a + 1) (distributif) =1. (a +1) (komplemen) = a + 1 (identitas) Bukti a.0 = 0 sebagai latihan!!

(iii). Adb a + ab = a perhatikan bahwa a = 1.a (identitas) = (1 + b)a (dr bukti (ii)) = 1.a + b.a (distributif) = a + ba (identitas) = a + ab (komutatif)

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@12(vi). Adb Untuk stp a di B terdapat a tunggal Misalkan a + x = 1, ax = 0, dan a + y = 1, ay = 0. x = 1.x (identitas) = (a + y)x (asumsi) = (ax + yx) (distributif dan komutatif) = 0 + (yx) (asumsi) = xy (komutatif) = xy + 0(identitas) = xy + ay(asumsi) = (x + a)y(distributif dan komutatif) = 1.y(asumsi) = y(identitas)

LatihanAljabar Boole-@Siti Rahmah N@13Selidiki yang manakah yang merupakan operasi biner pada bilangan riil dg operasi:(a). Penjumlahan(c). pengurangan(b). Perkalian (d). PembagianJelaskan jawaban anda!2. Perhatikan tabel berikut:

> dan < komutatif ? Asosiatif?(b). > dan < mempunyai elemen identitas?(3). Perhatikan tabel berikut:

Apakah himpunan {a , b, c, d } dengan operasi + dan merupakan aljabar boolean?+abcdabcdaabcdaaaaabbbbbbabcdccbcbcaccaddbbddadad

Aljabar Boole-@Siti Rahmah N@15

4. Misal D10 adalah himpunan bilangan-bilangan pembagi dari 10. Operasi biner + dan di D10, didefinisikan sebagai berikut:

FPB (a,b)

KPK (a,b)Selidiki apakah (D10, +, ) merupakan aljabar Boole ?