kuliah 5 distribusi probabilitas
DESCRIPTION
untuk belajar bersamaTRANSCRIPT
DISTRIBUSI PROBABILITAS
1
Variabel Random2
Variabel Random3
Contoh Variabel Random4
Variabel Random5
Variabel Random6
Variabel Random7
Variabel Random8
Variabel Random9
Variabel Random10
Variabel Random11
Distribusi Probabilitas12
Distribusi Probabilitas13
Distribusi Probabilitas14
Distribusi Probabilitas15
Distribusi Probabilitas16
Distribusi Probabilitas17
Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) : 18
Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x)
-
- 1)(1
n
x
xf
0)( xf
Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) : 19
Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :
xuntuktfxXPxFxt
)()()(
Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) : 20
Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.
Dinyatakan dengan E(X), yaitu: )(.)( ii xfxXE
Contoh:21
Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,
Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.
Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.
Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28
Hitung nilai rata-rata X.
Jawab (1):22
Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :
X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah= 0, 1, 2
Sehingga dapat dihitung :
2810
2825
03
)0()0(
XPf2815
2815
13
)1()1(
XPf 283
2805
23
)2()2(
XPf
Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah x 0 1 2f(x) 10/28 15/28 3/28
Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,
2825
.3
)()(
xuntukxx
xfxXP
Jawab (2):23
Distribusi kumulatif F(x) adalah :F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 = 1Sehingga :
0 , untuk x < 0F(x) = 10/28 , untuk 0 x < 1
25/28 , untuk 1 x < 21 , untuk x 2
Jawab (3):24
Dengan menggunakan F(x), maka f(2) = F(2) – F(1)= 1 – 25/28= 3/28
Nilai Ekspektasi X adalahE(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.f(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) + (2). (3/28) = 21/28
Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):25
Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : Rxsemuauntukxf ,0)(
1)(
dxxf
b
a
dxxfbxaP )()(
Distribusi Probabilitas Kontinu X (2):26
Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :
xuntuktdtfxXPxFx
,)()()(
)()()( aFbFbxaP
Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):27
Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.
Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
dxxfxXE )(.)(
Contoh:28
Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 x 4◦ Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah
kurva f sama dengan 1.◦ Hitunglah P(1,5 < x < 3)◦ Hitunglah P( x < 2,5)◦ Hitunglah P(x 3,0)◦ Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung
P( x < 2,5)◦ Hitung nilai E(X)
29
Definisi Ekspektasi Matematis
Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X adalah: =E(X)= jika X diskrit dan =E(X)=
jika X kontinu
x
xxf )(
dxxxf )(
30
Contoh Ekspektasi Matematis
1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu?
2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana X memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut:
f(x)= tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-
pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut!
lainnya untuk 0
,0,
432
3
x
x
31
Definisi Variansi
Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rataan . Variansi dari X adalah 2 = E[(X - )2] = jika X adalah diskrit dan 2 = E[(X - )2] = jika x kontinu. Akar kuadrat dari variansi, atau ,disebut dengan deviasi standar.
x
xfx )()( 2
-
2 )()( dxxfx
32
Teorema variansi
Variansi variabel random X adalah:2 = E(X2) 2
33
Contoh Perhitungan Variansi
1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu!
2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!
Soal 134
Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak 3 set dari semua set televisi yang ada. Bila x adalah jumlah set televisi yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebut,◦ Carilah distribusi probabilitas X◦ Carilah distribusi kumulatif F(x)◦ Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X = 1)
dan P(0 < x 2)◦ Hitung nilai E(X)
Soal 235
Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa suatu fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada periode satu tahun merupakan suatu variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi probabilitas :f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1 x < 2, dan f(x) = 0, untuk x lainnya◦ Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga
menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120 jam◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga
menggunakan pengisap debu mereka antara 50 sampai 100 jam.◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga
menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150 jam.◦ Hitung nilai harapan X.
Soal 336
Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan: Nilai dari variabel random X Distribusi probabilitas variabel random X Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2) Hitung rata-rata dan variansinya
Soal 437
Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos berbentuk variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat probabilitas
untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0
untuk nilai x lainnya. Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat
probabilitas. Hitung P( 1/4 < x < 1/2) Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian
hitung P(¼ < x < ½)
5)2(2)(
xxf