kuliah or 1

susy susmartini operations research 1, 2006 1

OPERATIONS RESEARCH 1OPERATIONS RESEARCH 1

MATERI KULIAH 1MATERI KULIAH 1


TAHAPAN KEGIATAN :• PERENCANAAN• PERSIAPAN/PENGADAAN• OPERASIONAL• EVALUASI

PENGAMBILANKEPUTUSAN

TUJUAN

KENDALA / KETERBATASAN

OPTIMASI


PENGAMBILAN KEPUTUSAN DENGAN PENDEKATAN

OPERATIONS RESEARCH

MODEL DETERMINISTIK

• PROGRAM LINIER

• PROGRAM INTEGER

• PROGRAM NON LINIER

• PROGRAM DINAMIS

• MODEL PERSEDIAAN

• MODEL JARINGAN

MODEL STOKASTIK

• MODEL ANTRIAN

• PROSES MARKOV

• MODEL SIMULASI

• ANALISA KEPUTUSAN


PROGRAMA LINIER• METODE GRAFIS• METODE SIMPLEKS :

– OPERASI PIVOT ( TABLO )• METODE UMUM/DASAR• METODE BIG M• METODE DUA PHASE

– REVISED SIMPLEX METHOD

• MASALAH DUALITAS ( PRIMAL-DUAL )• ANALISA SENSITIVITAS• SPECIAL TYPES :

– TRANSPORTATION PROBLEM– TRANSHIPMENT PROBLEM– ASSIGNMENT PROBLEM– MULTIDIVISIONAL PROBLEM


BATASAN UMUM

FUNGSI TUJUAN (Objective function) :

FUNGSI KENDALA (Subject to / Constraint) :

nn xcxcxcZMinMax ......./ 2211

0,.......,,

,,..........::

,,..........,,..........

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxx

katauxaxaxa

katauxaxaxakatauxaxaxa


CONTOH 1 :

Sebuah perusahaan pembuat pesawat TV memutuskan untuk membuat TV berukuran 27’ dan 20’. Menurut pengamatan, kebutuhan pasar tidak lebih dari 40 unit / bulan untuk TV 27’, dan tidak lebih dari 10 unit / bulan untuk TV 20’.

Produksi 1 unit TV 27’ memerlukan waktu selama 20 jam kerja, dan 1 unit TV 20’ memerlukan waktu selama 10 jam kerja. Sedangkan waktu yang tersedia : 500 jam kerja / bulan.

Besarnya keuntungan untuk setiap unit TV 27’ diharapkan $120, dan $80 / unit TV 20’

Seorang penyalur bersedia membeli semua produksi kedua tipe TV tersebut, asalkan tidak melampaui jumlah yang diperoleh dari hasil pengamatan tentang kebutuhan pasar.

Formulasikan ke dalam model Programa Linier untuk mendapatkan jumlah masing-masing tipe TV tersebut, agar diperoleh keuntungan yang maksimal.


Penyelesaian :

Misalkan : jumlah produk I (TV 27’) :

jumlah produk II (TV 20’) :

Objective Function :

Constraint Set :

1x

2x

21 80120: xxZMax

1040

5001020

2

1

21

xx

xx

021 xdanx


CONTOH 2 :

Sebuah perusahaan tambang mengoperasikan tiga tambang di Virginia Barat. Bijian dari tiap tambang dipisahkan ke dalam dua jenis kualitas sebelum dikirimkan kepada konsumennya. Berikut ini adalah kapasitas produksi dan ongkos produksi harian masing-masing tambang tersebut :

TAMBANG KUALITAS TINGGI

(TON/HARI)

KUALITAS RENDAH

(TON/HARI)

BIAYA OPERASI

($1000/HARI)

IIIIII

461

446

202218

Perusahaan telah memutuskan untuk mengirim 54 ton bijian kualitas tinggi dan 65 ton bijian kualitas rendah tiap minggu. Formulasikan ke dalam model Programa Linier untuk menentukan jumlah hari kerja di tiap tambang dalam satu minggu, agar perusahaan dapat menekan biaya operasionalnya.


PENYELESAIAN :

Misalkan : Jumlah hari kerja di tambang i adalah

Untuk i = 1, 2, 3

ix

0,,

7

7

7

65644

54164

:

182220

:

321

3

2

1

321

321

321

xxx

x

x

x

xxx

xxx

toSubject

xxxZMinimize

functionObjective


METODE GRAFIS

CONTOH 3 :

Sebuah perusahaan merencanakan dua macam produksi, yaitu Bearing Plate (Produk I) dan Gear (Produk II). Proses produksi kedua produk tersebut menggunakan Milling Machine (kapasitas : 60 Machine Hours / week) dan Metal Lathe (kapasitas : 40 Machine Hours / week) yang sama. Masing-masing produk memerlukan lama waktu pengerjaan yang berbeda pada tiap mesin tersebut, yaitu :

Machine Machine Hours / unit

Product I Product II

Milling MachineMetal Lathe

54

104

Jika diperkirakan keuntungan Produk I : $6 dan Produk II : $8, berapa jumlah masing-masing produk yang harus dibuat, agar mendapatkan keuntungan yang maksimal


Penyelesaian :

Misalkan : Jumlah Produk I :

Jumlah Produk II :

1x

2x

0,404460105

:86

:

21

21

21

21

xxxxxx

toSubjectxxZMaximize

functionObjective

2 4 6 8 10 12

12

10

8

6

4

2

0

Z = 48

Z = 64

Z = 60

60105 21 xx

4044 21 xx

642,8:

21 ZxxpadaOptimal

A(0,6)

B(8,2)

C(10,0)


METODE SIMPLEKS(OPERASI PIVOT)

BEKERJA DALAM TABLOKOLOM-KOLOM DALAM TABLO :

1. : Koefisien Variabel Basis pada Fungsi Tujuan (Objective Function)

2. : Variabel Basis

a. Variabel Basis Awal :

Variabel yang terdapat hanya pada satu Constraint Set

b. Variabel Basis pada langkah-langkah selanjutnya

Dipilih, sebagai Entering Variable, melalui pemilihan :

- yang positif terbesar (Maximize)

- yang paling negatif (Minimize)

c. Variabel Basis yang diganti :

Leaving Variable, melalui pemilihan nilai terkecil pada kolom

perbandingan RK :

BC

jC

jC

BV

BV


3. :Variabel

4. : Koefisien Variabel Pada Fungsi Tujuan

5. Konst Ruan Kn : Konstanta Pembatas pada Constraint Set

6. Perband RK : KP : Perbandingan Kolom Konstanta Ruas Kanan dengan

Kolom Pivot

ix

jC

KonstRuasKanan

PerbandKonst RK:Kolom Pivot

. . .BC Var Basis

jC

jC

1x 2x


LANGKAH-LANGKAH OPERASI PIVOT

1. Ubah Formulasi / Bentuk Dasar Programa Linier ke Bentuk Standard :

a. Constraint Set berbentuk persamaan “=“

b. Konstanta Ruas Kanan pada Constraint Set harus positif

c. Variabel tambahan pada Constraint Set harus > 0

d. Koefisien Variabel Tambahan pada Objective Function harus “= 0”

2. Bentuk Tablo dengan Kolom-kolom yang telah ditentukan

3. Pilih Variabel Basis Awal, kemudian letakkan berurut pada Kolom Variabel Basis

4. Isi kolom-kolom yang telah ditentukan, serta isi baris

5. Cari Entering Variable :

a.

b. Pilih Entering Variable sesuai Objective Function

jC

Bj C kolom dengan j"" variabelkolomperkalianJumlahCC


6. Kolom Entering Variable, disebut KOLOM PIVOT (KP)

7. Isi kolom “Perband RK : KP”, kemudian pilih nilai terkecil sebagai Leaving Variable. Abaikan hasil perbandingan yang bernilai negatif dan pembagi nol. Baris Leaving Variable disebut BARIS PIVOT

8. Cek nilai :

a. Untuk masalah Maximize keadaan OPTIMAL pada

b. Untuk masalah Minimize keadaan OPTIMAL pada

9. Berhenti pada kondisi OPTIMAL

Dengan hasil :

Variabel yang menjadi Variabel Basis bernilai besarnya Konstatnta Ruas Kanannya.

Variabel yang tidak terpilih sebagai Variabel Basis saat itu, bernilai nol

jC0jC

0jC


10. Jika belum optimal, lanjutkan TABLO ke bawah

11. Ganti Variabel Basis yang terpilih sebagai Leaving Variable dengan

variabel yang terpilih sebagai Entering Variable

12. Perpotongan antara KOLOM PIVOT dengan BARIS PIVOT disebut

TITIK PIVOT

a. Upayakan TITIK PIVOT bernilai “1”. Semua konstanta yang berada

di atas / bawahnya dalam KOLOM PIVOT berharga nol.

b. Konstanta lain disesuaikan (melalui iterasi)

13. Hitung

14. Cek kembali, apakah sudah optimal ?

a. Jika sudah optimal, hentikan iterasi (seperti langkah 9)

b. Jika belum optimal, lanjutkan ke langkah 10

jC


CONTOH 4 :

0,102153

4:

23:

21

21

21

1

21

xxxxxx

xtoSubject

xxZMaximizefunctionObjective

BENTUK STANDARD :

0,,,,1021534

:00023

:

32121

321

221

11

32121

SSSxxSxx

SxxSx

toSubjectSSSxxZMaximize

functionObjective

Berapa nilai

Yang optimal ?

21, xdanx


3 2 0 0 0 KonstRuasKanan


0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4

0 1 3 0 1 0 15 15/1 = 15

0 2 1 0 0 1 10 10/2=5

3 2 0 0 0 Z=0

Var Basis

jC

1x 2x1S 2S 3S

BC

1S

2S

3S

jC



3 1 0 1 0 0 4 4/0

0 0 3 -1 1 0 11 11/3=3.67

0 0 1 -2 0 1 2 2/1=2

0 2 -3 0 0 Z=12

Var Basis

jC

1x 2x1S 2S 3S

1x

2S

3S

jC

BC




3 1 0 1 0 0 4 4/1=4

0 0 0 5 1 -3 5 5/5=1

2 0 1 -2 0 1 2 2/-2=-1

0 0 1 0 -1 Z=16

Var Basis

jC

1x 2x1S 2S 3S

1x

2S

2x

jC3 2 0 0 0 Konst

RuasKanan

Optimal pada

= 3

= 4

Z=17

3 1 0 0 -1/5 3/5 3

0 0 0 1 1/5 -3/5 1

2 0 1 0 2/5 -1/5 4

0 0 0 -1/5 -7/5 Z=17

1x 2x

2x

1S

1S 2S 3S

1x

Var Basis

jC

jC

1x

2x

BC

BC


VARIABEL SEMU

CONTOH 5 :

0,,12324

112:

3:

321

31

321

321

321

xxxxxxxxxxx

toSubjectxxxZMinimize

functionObjective

0,,,,12324

112:

003:

21321

31

2321

1321

21321

SSxxxxx

SxxxSxxx

toSubjectSSxxxZMinimize

functionObjectiveBENTUK STANDARD


.12,324

,112

31

2321

1321

AwalBasisVariabeladatidakxxlayaktidakAwalBasisVariabeladaSxxx

layakAwalBasisVariabeladaSxxx

UNTUK MENDAPATKAN VARIABEL BASIS AWAL YANG LAYAK, DIPERLUKAN PENAMBAHAN SUATU VARIABEL SEMU

0,,,,,,12324

112:

003:

2121321

231

12321

1321

21321

RRSSxxxRxx

RSxxxSxxx

toSubjectSSxxxZMinimize

functionObjectiveSEHINGGA :


layakAwalBasisVariabelRRxxlayakAwalBasisVariabelRRSxxxlayakAwalBasisVariabelSSxxx

,12,324,112

2231

112321

11321

TAPI …………

KARENA DI ANTARA VARIABEL BASIS AWAL TERSEBUT TERDAPAT VARIABEL SEMU, MAKA SOLUSI BASIS MENJADI SOLUSI TAK LAYAK

KEADAAN INI DAPAT DIATASI DENGAN :

1. METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M)

2. METODE SIMPLEKS 2 PHASE


METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M)

0,,,,,,12324

112:

003:

2121321

231

12321

1321

2121321

RRSSxxxRxx

RSxxxSxxx

toSubjectMRMRSSxxxZMinimize

functionObjective

CATATAN :

PADA MASALAH MINIMIZE harga adalah POSITIF

PADA MASALAH MAXIMIZE harga adalah NEGATIFiMR

iMR


-3 1 1 0 0 M M Konst Ruas Kn

Perband

RK : KP

0 1 -2 1 1 0 0 0 11 11/1=11

M -4 1 2 0 -1 1 0 3 3/2=1.5

M -2 0 1 0 0 0 1 1 1/1=1

-3+

6M

1-M 1-3M

0 M 0 0 Z=4M


Perband

RK : KP

0 3 -2 0 1 0 0 -1 10 10/-2

M 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1/1

1 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/0

-1 1-M 0 0 M 0 3M-1 Z=1+M

BC

BCBV

BV jC

jC

1x

1x

2x

2x

3x

3x

1S

1S

2S

2S

1R

1R

2R

2R

1S

1S

1R

1R

2R

jC

jC

3x

Kolom Pivot (KP) Baris Pivot



Perband

RK : KP

0 3 0 0 1 -2 2 -5 12 12/3=4

1 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1/0

1 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/-2

-1 0 0 0 1 M-1 M+1 Z=2


Optimal pada

= 4

= 1

= 9

Z = -2

-3 1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3 4

1 0 1 0 0 -1 1 -2 1

1 0 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3 9

0 0 0 1/3 1/3 M-1/3

M-2/3

Z=-2

BC

BCBV

BVjC

jC

1x

1x

2x

2x

3x

3x

1S

1S

2S

2S

1R

1R

2R

2R

1S

jC

jC

2x

3x

1x

2x

3x

1x

2x

3x


METODE SIMPLEKS DUA FASA

FASA I :

0,,,,,,12324

112:

:

2121321

231

12321

1321

21

RRSSxxxRxx

RSxxxSxxx

toSubjectRRWMinimize

functionObjective

0 0 0 0 0 1 1 Konst Ruas Kn

Perband

RK : KP

0 1 -2 1 1 0 0 0 11 11/1=11

1 -4 1 2 0 -1 1 0 3 3/2=1.5

1 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/1=1

6 -1 -3 0 1 0 0 W=4

BCBV

jC

1x 2x 3x1S 2S 1R 2R

1S

1R

2R

jC



Fasa I optimal

0 3 0 0 1 -2 2 -5 12

0 0 1 0 0 -1 1 -2 1

0 -2 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1 1 W=0


Perband

RK : KP

0 3 -2 0 1 0 0 -1 10 10/-2

1 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1/1=1

0 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/0

0 -1 0 0 1 0 3 W=1

BC

BC

BV

BV

jC

jC

1x

1x

2x

2x

3x

3x

1S

1S

2S

2S

1R

1R

2R

2R

1S

1R

3x

jC

jC

1S

3x

2x


-3 1 1 0 0 Konst Ruas Kn

Optimal pada :

= 4

= 1

= 9

Z = -2

-3 1 0 0 1/3 -2/3 4

1 0 1 0 0 -1 1

1 0 0 1 2/3 -4/3 9

0 0 0 1/3 1/3 Z = -2

-3 1 1 0 0 Konst Ruas Kn

Perband

RK : KP

0 3 0 0 1 -2 12 12/3=4

1 0 1 0 0 -1 1 1/0

1 -2 0 1 0 0 1 1/-2

-1 0 0 0 1 Z = 2

BC

BC

BV

BV

jC

jC

1x

1x

2x

2x

3x

3x

1S

1S

2S

2S

jC

jC

FASA II :

1S

2x

3x

3213: xxxZMinfunctionObjective

1x

2x

3x

1x

2x

3x


REVISED SIMPLEX

NOTASI-NOTASI :

j

B

j

jj

j

j

PdanKanPerbandingNilaiDariMinimumHargaTujuanFungsipadaBasisVariabelVariabelKoefisienC

BasisMatriksInversBBasisMatriksjugadisebut

BasisVariabelBagiTeknologiKoefisienMatriksBBaruyangKananRuasKonstantaK

KananRuasKonstantaK

PivotKolomP

xBagiTeknologiKoefisienMatriksPMultiplierSimplex

TujuanFungsipdKeputusanVariabelKoefisienC

mjRelatifOngkosKoefisienC

:::

)(:::

:

::

:

,.....,2,1,:

1


LANGKAH PENYELESAIAN :

1. Mengubah Formulasi awal ke dalam Bentuk Standard

2. Mencari Entering Variable

3. Mencari Leaving Variable

terpilihCdenganxVariableEntering

TerkecilCpilihMinimasi

TerbesarCpilihMaksimasiKasus

BCPCC

jj

j

j

Bjjj

,

,:

1

terpilihBarispadaBasisVariablex: Varable Leaving

PKMin

PBPdanKBK

B

j

jj

:

/

11


CONTOH 6 :

0,18231224

53:

21

21

2

1

21

xxxxx

xtoSubject

xxZMaximizeFunctionObjective

Bentuk Standard

0,,,,18231224

00053:

32121

321

22

11

32121

SSSxxSxx

SxSx


FunctionObjective


Langkah Penyelesaian :

ITERASI I :

a. Mencari ENTERING VARIABEL

VARIABLEENTERINGxC

C

C

BB

PPPB

BCPCC

B

Bjjj

22

1

1

543

1

5

2

2

0

0,0,05

3

3

0

1

0,0,03

0,0,00,0,0100

010

001

100

010

001,,


b. Memilih LEAVING VARIABLE

VARIABLELEAVINGS

Min

PPBP

KBK

jj

2

21

1

2/12

2/18,2/12,0/4

2

2

0

2

2

0

100

010

001

18

12

4

18

12

4

100

010

001


ITERASI II

a. Mencari ENTERING VARIABLE

VARIABLEENTERINGx

C

C

C

BBPPPB

BCPCC

B

Bjjj

1

21

21

4

21

1

21

21

211

523

1

2

0

1

0

0,2,00

3

3

0

1

0,2,03

0,2,0

110

00

001

0,5,00,5,0

110

00

001

120

020

001

,,


b. Memilih LEAVING VARIABLE

VARIABLELEAVINGS

Min

PPBP

KBK

jj

3

21

11

211

3/6

3/6,0/6,1/4

3

0

1

3

0

1

110

020

001

6

6

4

18

12

4

110

020

001


ITERASI III

a. Mencari ENTERING VARIABLE

2

6

2

2

6

2

18

12

4

0

00

1

:

1

1

0

0

1,1,00

1

0

1

0

1,1,00

1,1,0

0

00

1

3,5,03,5,0

0

00

1

320

020

101

,,

1

2

1

31

31

21

31

31

21

5

21

21

4

21

31

31

21

31

31

31

31

21

31

31

1123

1

x

x

S

K

padaOPTIMALSOLUSI

C

C

C

BBPPPB

BCPCC

B

Bjjj


DUALITY THEORY

(TEORI DUALITAS)

Setiap masalah Programa Linier, dengan variabel :

Mempunyai keterkaitan dengan bentuk Programa Linier

lain, dengan variabel :

(“m” adalah

jumlah Constraint Set pada Programa Linier semula), yang

disebut sebagai DUAL nya

Bentuk DUAL ini ditentukan oleh bentuk Programa Linier

semula, yang disebut sebagai PRIMAL

njx j .....,,3,2,1,

miyi ....,,2,1,


PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM

Maximize

Subject to :

Minimize :

Subject to :

Maximize Z = cx

Subject to : Ax < b x > 0

Minimize : W = yb

Subject to : yA > c y > 0

C & y : Row Vectorb & x : Column Vector

BENTUK UMUM

n

jjj xcZ

1

0

...,,2,11

j

i

n

jjij

x

mibxa

m

iii ybW

1

0

...,,2,11

i

j

m

iiij

y

njcya


Contoh 7:

PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM

Maximize

Subject to :

Minimize

Subject to :

2

15,3x

xZ

0

0

18

12

4

2

2

0

3

0

1

2

1

2

1

x

x

x

x

18

12

4

,, 321 yyyW

0,0,0,,

5,3

2

2

0

3

0

1

,,

321

321

yyy

yyy


PRIMAL – DUAL RELATIONSHIP

• WEAK DUALITY PROPERTY

Terjadi jika : cx < yb

x : adalah solusi feasible untuk masalah PRIMAL

y : adalah solusi feasible untuk masalah DUAL

•STRONG DUALITY PROPERTY

Terjadi jika : cx* = y*b

x* : adalah optimal solution untuk masalah PRIMAL

y* : adalah optimal solution untuk masalah DUAL


• COMPLEMENTARY SOLUTION PROPERTY

Pada setiap iterasi, metode Simpleks secara simultan mengidentifi-

kasikan suatu “Corner – Point Feasible Solution” x untuk PRIMAL

Problem dan suatu “Complementary Solution” y untk DUAL Problem,

Dimana :

cx = yb

Contoh :

Problem contoh 6, pada Iterasi II :

ybcxyx

300,2,0

6

02

1


• COMPLEMENTARY OPTIMAL SOLUTION PROPERTY

Pada Iterasi terakhir :

Contoh :

Iterasi terakhir pada contoh 6 :

yi* : SHADOW PRICE untuk PRIMAL PROBLEM

bycxsolutionoptcomply

solutionoptimalx**

..:*

:*

ybcxyx

36*1,,0*

6

2* 2

3


SYMMETRY PROPERTY :

Untuk setiap PRIMAL PROBLEM dan DUAL PROBLEMnya,

Semua hubungan antara keduanya merupakan huibungan yang

Symmetry, karena DUAL PROBLEM dari suatu DUAL PROBLEM adalah

PRIMAL PROBLEMnya


HUBUNGAN NILAI

Jika :

: adalah nilai optimal bagi suatu DUAL PROBLEM

: adalah nilai untuk Variabel Basis Awal pada saat

optimal (PRIMAL PROBLEM)

: adalah nilai (Simplex Multiplier dala Revised Simplex

Method) pada saat harga optimal (PRIMAL PROBLEM)

Maka : = = = SHADOW PRICE

untuk PRIMAL PROBLEM

*** ,, jBCy

*y iy

*jBC

*jC

jx

jx

*

*y *jBC

*


Contoh 8 :

(Kembali ke kasus contoh 6)

a. Penyelesaian PRIMAL PROBLEM dengan menngunakan Operasi Pivot

Bentuk Standard :

0,,,,18231224

00053:

32121

321

22

11

32121

SSSxxSxx

SxSx


FunctionObjective

0,18231224

53:

21

21

2

1

21

xxxxx

xtoSubject

xxZMaximizeFunctionObjective




0 1 0 1 0 0 4 4/0

0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6

0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9

3 5 0 0 0 Z=0



0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4

5 0 1 0 1/2 0 6 6/0

0 3 0 0 -1 1 6 6/3 = 2

3 0 0 - 5/2 0 Z = 30

BC

BC

jC

jC

1x

1x

2x

2x

1S

1S

1S

2S

2S

2S

3S

3S

3S

3S

Var Basis

Var Basis

1S

2x

jC

jC



Optimal pada

= 2

= 6

= 2

0 0 0 1 1/3 -1/3 2

5 0 1 0 1/2 0 6

3 1 0 0 -1/3 1/3 2

0 0 0 - 3/2 -1 Z = 36

1x

1x

2x

2x1S

1S

2S 3S

1x

2x

1S

1,,0 23* jBC

BC Var Basis

jC

jC


b. Penyelesaian dengan Operasi Pivot untuk DUAL PROBLEM

0,,

52203301

18124

321

321

321

321

yyy

yyyyyytoSubject

yyyWMinimizeFunctionObjective

Bentuk Standard

0,,,,,,

52203301

00018124

2121321

22321

11321

21321321

RRSSyyy

RSyyyRSyyytoSubject

MRMRSSSyyyWMinimizeFunctionObjective


4 12 18 0 0 M M Konst Ruas Kn

Perband

RK : KP

M 1 0 3 -1 0 1 0 3 3/3

M 0 2 2 0 -1 0 1 5 5/2

4-M 12-2M

18-5M

M M 0 0 W=8M

1y 2y 3y 1S 2S 1R 2R

2R

1R

BC Var Basis

jC

jC


Perband

RK : KP

18 1/3 0 1 -1/3 0 1/3 0 1 1/0

M -2/3 2 0 2/3 -1 -2/3 1 3 3/2

-2+ 2/3M

12-2M

0 6-2/3M

M 5/3M-6

0 W=18+3M

BC Var Basis

jC

1y 2y 3y

3y

1S 2S 1R 2R

2R

jC



Optimal pada

= 0

= 3/2

= 1

18 1/3 0 1 -1/3 0 1/3 0 1

12 -1/3 1 0 1/3 -1/2 -1/3 1/2 3/2

2 0 0 2 6 M-2 M-6 W=36

BC Var Basis

jC

1y 2y 3y 1S 2S 1R 2R

3y

2y

jC

1y

2y

3y

y* = ( 0, 3/2, 1 )

c. Penyelesaian dengan Revised Simplex Method untuk PRIMAL PROBLEM

Pada solusi optimal : 1,,0 23

KESIMPULAN :**

jBCy


Shadow Price :

Perubahan keuntungan pada Z optimal per satuan kenaikan sumber kendala

Artinya :

(lihat contoh)

Jika :

• dari 4 diubah menjadi 5,

maka Z optimal tidak berubah


maka Z optimal naik sebesar 3/2


maka Z optimal naik sebesar 1

1b

2b

3b


SOAL NO. 1 :

Selesaikan masalah berikut dengan menggunakan :

a. Metode Grafis

b. Operasi Pivot / Metode Simpleks

0,

3

1833

82

36

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

toSubject

xxZMaximize

FunctionObjective


Soal no. 2 :

Sebuah perusahaan persewaan truk memutuskan akan membeli 3 (tiga) jenis truk untuk menambah armadanya. Harga ketiga jenis truk tersebut adalah $25,000 untuk truk ukuran besar, $20,000 untuk truk ukuran sedang, dan $15,000 untuk truk ukuran kecil. Dana yang tersedia adalah $400,000.

Agar terjadi keseimbangan dalam armadanya, diputuskan untuk membeli truk ukuran besar paling sedikit 4 (empat) truk, paling sedikit 5 (lima) truk ukuran sedang dan paling sedikit 10 truk ukuran kecil.

Di samping itu, kapasitas garasi adalah 25 truk. Sedangkan fasilitas pemeliharaan dapat menangani 40 (empat puluh) truk kecil. Setiap truk ukuran sedang memerlukan 2 kali fasilitas pemeliharaan truk kecil, dan fasilitas pemeliharaan truk besar adalah 4 kali fasilitas pemeliharaan truk kecil.

Bentuklah dalam formasi Programa Linier


Soal no. 1

0,

1826

1232

64

21

21

21

21

xx

xx

xx

toSubject

xxZMaximize

FunctionObjective

a. Selesaikan dengan menggunakan metode Grafis

b. Selesaikan dengan menggunakan operasi Pivot


Soal no. 2 :Sebuah perusahaan persewaan rumah memutuskan akan membuat 3 (tiga) jenis rumah sewa lagi dari yang telah ada. Biaya pembangunan ketiga jenis rumah tersebut adalah $35,000 untuk rumah ukuran besar, $30,000 untuk rumah ukuran sedang, dan $25,000 untuk rumah ukuran kecil. Dana yang tersedia adalah $800,000.Agar terjadi keseimbangan, diputuskan untuk membangun rumah ukuran besar paling sedikit 4 (empat) rumah, paling sedikit 6 (enam) rumah ukuran sedang dan paling sedikit 12 rumah ukuran kecil.Di samping itu, kapasitas lahan yang ada adalah 35 rumah. Sedangkan fasilitas pemeliharaan dapat menangani 40 (empat puluh) rumah kecil. Setiap rumah ukuran sedang memerlukan 2 kali fasilitas pemeliharaan rumah kecil, dan fasilitas pemeliharaan rumah besar adalah 4 kali fasilitas pemeliharaan rumah kecil. Bentuklah dalam formasi Programa Linier

kuliah or 1

Documents

x1 dan x2

x1 jumlah produk

x2 subject

a11 x1

am1 x1

a22 x2

a12 x2

x2 objective function