Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

1

January 26, 2017

Kurssin aiheiden kertausYhdistetty funktio

• muodostaminen• määrittelyjoukko• derivoiminen: ketjusääntö

Esimerkki: Muodosta f o g, kun f(x) = ln x ja g(x) = √x . Millä alueella f o g on määritelty? Laske (f o g)'(e).

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

2

January 26, 2017

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

3

January 26, 2017

Käänteisfunktio• muodostaminen• määrittely­ ja arvojoukot • käänteisfunktio on vain sellaisilla funktioilla, jotka saavat kunkin arvonsa vain kerran• jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio• funktion ja käänteisfunktion kuvaajien symmetrisyys• käänteisfunktion derivointikaava• f ­1(f(x)) = x ja f(f ­1(x)) = x

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

4

January 26, 2017

Esimerkki: Olkoon f(x) = x2 ­ 4x + 1, x ≤ 2. Määritä f­1(6) ja f­1(x).

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

5

January 26, 2017

Esimerkki: Osoita, että funktiolla f(x) = x5 + 4x ­ 1 on käänteisfunktio, ja laske (f ­1)'(4).

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

6

January 26, 2017

Juurifunktio• määrittelyjoukko: parillista juurta ei voi ottaa negativiisesta luvusta• juuriyhtälön ratkaiseminen: selvitä määrittelyehdot tai tarkista ratkaisuehdokkaat• derivointi

Esimerkki: Ratkaise yhtälö 

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

7

January 26, 2017

Logaritmifunktio• logaritmin määritelmä• määrittely­ ja arvojoukot• logaritmien laskulait• logaritmiyhtälön ratkaiseminen: selvitä määrittelyehdot tai tarkista ratkaisuehdokkaat• derivoiminen 

Esimerkki: Kirjoita yhtenä logaritmina

Esimerkki: 

Esimerkki: 

 lg 100 = log2 0,125 =

ln 2  ­  ln       +   2 ln x   =x2 2

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

8

January 26, 2017

Eksponenttifunktio

• määrittely­ ja arvojoukot• Neperin luku e• eksponenttiyhtälön ratkaiseminen• derivoiminen

Esimerkki: Derivoi

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

9

January 26, 2017

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

10

January 26, 2017

Haastavampia koetehtäviä2013, uusintakoe, tehtävä 6/6: Osoita, että lausekkeen 

arvo on luvuista x ja y riippumaton vakio.

logx ylog2x y

­ logx 2

Vihje:  Muunna 2x­kantainen logaritmi x­kantaiseksi.? ? ?

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

11

January 26, 2017

2012, tehtävä 5/6: Suorakulmion yksi kärkipiste on origossa ja siitä lähtevät sivut positiivisilla koordinaattiakseleilla. Origosta lähtevän lävistäjän päätepiste on ympyrällä x2 ­ 4x + y2 = 0. Määritä suorakulmion alan suurin mahdollinen arvo.

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

12

January 26, 2017

2011, tehtävä 6/6: Ratkaise yhtälöpari yx = 2,

(2y)x = 64.2

Vihje: Muokkaa toista yhtälöä potenssin laskusääntöjen avulla.? ? ?

Kurssin aiheiden kertaus­1.notebook

13

January 26, 2017