kutatasmodszertan pdf

A KUTATSMDSZERTAN MATEMATIKAI ALAPJAI

Tthn Parzs Lenke

MDIAINFORMATIKAI KIADVNYOK


Tthn Parzs Lenke

Eger, 2011

Lektorlta:

CleverBoard Interaktv Eszkzket s Megoldsokat Forgalmaz s Szolgltat Kft.

A projekt az Eurpai Uni tmogatsval, az Eurpai Szocilis Alap trsfinanszrozsval valsul meg.

Felels kiad: dr. Kis-Tth Lajos

Kszlt: az Eszterhzy Kroly Fiskola nyomdjban, Egerben

Vezet: Krszy Lszl

Mszaki szerkeszt: Nagy Sndorn

Kurzusmegoszts elvn (OCW) alapul informatikai curriculum s SCORM kompatibilis tananyagfejleszts Informatikus knyvtros BA, MA lineris kpzsszerkezetben TMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0005


5

Tartalom

1. Bevezets ....................................................................................................................... 9

1.1 Clkitzs .......................................................................................................... 9 1.2 A kurzus tartalma .............................................................................................. 9 1.3 A kurzus tmr kifejtse ................................................................................... 9 1.4 Kompetencik s kvetelmnyek .................................................................... 10 1.5 Tanulsi tancsok, tudnivalk ......................................................................... 10

2. Az ltalnos kutatsmdszertan alapjainak ttekintse ......................................... 12

2.1 Clkitzs ........................................................................................................ 12 2.2 Tartalom .......................................................................................................... 12 2.3 A tananyag kifejtse ........................................................................................ 12

2.3.1 A kutats ............................................................................................. 12 2.3.2 Kutatsi stratgik ............................................................................... 13 2.3.3 A kutats folyamata ............................................................................ 14 2.3.4 Az adatok tpusai ................................................................................. 14 2.3.5 A kutats mdszere ............................................................................. 16 2.3.6 Kvalitatv kutats ................................................................................ 16 2.3.7 Kvantitatv kutats .............................................................................. 17 2.3.8 A kutats tudomnyossgnak felttelei ............................................. 18

2.4 sszefoglals................................................................................................... 21 2.5 nellenrz krdsek ...................................................................................... 21

3. Matematikai dntselmlet ........................................................................................ 22


3.3.1 Konfidencia intervallum ..................................................................... 22 3.3.2 Hipotzis-vizsglat .............................................................................. 23 3.3.3 A hipotzis-vizsglat lpsei ............................................................... 24 3.3.4 Tvedsek lehetsge .......................................................................... 25 3.3.5 Gyakori hibk ...................................................................................... 26


4. Kzprtk-mutatk, grafikai brzols .................................................................. 28


4.3.1 A kzprtk mrszmai. Kzprtk-mutatk ................................ 28 4.3.2 Mdusz ................................................................................................ 29 4.3.3 Mdin ................................................................................................ 29 4.3.4 A kzprtkek kzti sszefggsek .................................................. 30 4.3.5 Szrdsi mutatk ............................................................................... 30 4.3.6 Terjedelem .......................................................................................... 30


6

4.3.7 tlagos eltrs ..................................................................................... 31 4.3.8 Gyakorisg .......................................................................................... 32 4.3.9 Gyakorisgi eloszls ........................................................................... 33 4.3.10 A kzprtk mutatk s a gyakorisgi adatok viszonya .................... 33 4.3.11 Az eredmnyek brzolsa .................................................................. 34


5. Korrelci, korrelcianalzis ................................................................................... 42


5.3.1 A korrelci rtelmezse ..................................................................... 42 5.4 A korrelcis egytthat ................................................................................. 43

5.4.1 A kovariancia ...................................................................................... 43 5.4.2 A lineris korrelcis egytthat ........................................................ 44

5.5 A korrelcis egytthat szignifikancija ....................................................... 45 5.5.1 Korrelcianalzis ............................................................................... 47


6. Hipotzisvizsglat. paramteres prbk, nem paramteres prbk...................... 48


6.3.1 Paramteres s nem paramteres prba jellemzi ............................... 48 6.3.2 Egymints T-prba .............................................................................. 49 6.3.3 Egymints T-prba alkalmazsi felttelei ........................................... 49 6.3.4 Ktmints T-prba s az F-prba ........................................................ 52

6.4 Khi ngyzet prba ........................................................................................... 54 6.5 A MannWhitney-prba, Wilcoxon-prba, KruskalWallis-prba rtelmezse

......................................................................................................................... 54 6.6 sszefoglals................................................................................................... 55 6.7 nellenrz krdsek ...................................................................................... 55

7. Varianciabecsls, regresszi analzis, klaszteranalzis, faktoranalzis ................... 56


7.3.1 Varianciaanalzis ................................................................................. 56 7.3.2 A tbb egydimenzis minta vizsglat sszehasonltsa ...................... 57 7.3.3 Egyutas osztlyozs vagy egytnyezs varianciaanalzis ................... 60 7.3.4 Ktutas osztlyozs vagy kttnyezs varianciaanalzis ..................... 64 7.3.5 Ktutas osztlyozs vagy kttnyezs varianciaanalzis ismtlssel .. 65 7.3.6 Tbbvltozs populcik statisztikai elemzsei ................................. 66 7.3.7 Fkomponensanalzis .......................................................................... 69 7.3.8 Klaszteranalzis ................................................................................... 70


7

7.3.9 Faktoranalzis ...................................................................................... 74 7.4 sszefoglals................................................................................................... 79 7.5 nellenrz krdsek ...................................................................................... 79

8. SPSS alapfogalmak. Adatrtelmezs. ....................................................................... 81


8.3.1 A szoftver hasznlatnak felttelei ...................................................... 81 8.3.2 Az SPSS fellete ................................................................................. 82 8.3.3 A mensor parancsainak rvid ismertetse s a kitlts menete ........ 85


9. Statisztikai alapmveletek az SPSS-sel. Adatbzist mdost utastsok ............. 94


9.3.1 Ler statisztikk (Descriptives ) ........................................................ 94 9.3.2 Gyakorisgi tblzatok (Frequenties) ................................................. 97 9.3.3 Az adatbzist mdost utastsok .................................................... 103 9.3.4 sszefoglals .................................................................................... 107

9.4 nellenrz krdsek .................................................................................... 107

10. sszefggs vizsglat SPSS-sel. Korrelci, korrelcianalzis ........................... 108

10.1 Clkitzs ...................................................................................................... 108 10.2 Tartalom ........................................................................................................ 108 10.3 A tananyag kifejtse ...................................................................................... 108

10.3.1 Korrelci.......................................................................................... 108 10.3.2 Korrelci-analzis ............................................................................ 115

10.4 sszefoglals................................................................................................. 116

11. Hipotzis-vizsglat az SPSS-sel. Varianciaanalzis. Kereszttbla elemzs .......... 117

11.1 Clkitzs ...................................................................................................... 117 11.2 Tartalom ........................................................................................................ 117 11.3 A tananyag kifejtse ...................................................................................... 117

11.3.1 Hipotzis-vizsglat SPSS-sel ............................................................ 117 11.3.2 Egymints T-prba ............................................................................ 118 11.3.3 Ktmints T-prba ............................................................................ 119 11.3.4 Varianciaanalzis ............................................................................... 121 11.3.5 Kereszttblk ..................................................................................... 123

11.4 sszefoglals................................................................................................. 129 11.5 nellenrz krdsek .................................................................................... 129

12. A kurzusban kitztt clok sszefoglalsa ............................................................. 130

12.1 Tartalmi sszefoglals ................................................................................... 130 12.2 A tananyagban tanultak rszletes sszefoglalsa .......................................... 130


8

13. Kiegsztsek ............................................................................................................. 132

13.1.1 Irodalomjegyzk ................................................................................ 132 13.1.2 Hivatkozsok ..................................................................................... 132

13.2 Glosszrium, kulcsfogalmak rtelmezse ..................................................... 133

14. brajegyzk .............................................................................................................. 135

15. Mdiaelemek ............................................................................................................. 137

16. Tesztek ....................................................................................................................... 138

16.1 Prbateszt ...................................................................................................... 138 16.2 Zrteszt A. ................................................................................................... 141 16.3 Zrteszt B. ................................................................................................... 144 16.4 Zrteszt C. ................................................................................................... 146


9

1. BEVEZETS

Kedves hallgat, az elmlt vek tapasztalatai arra engednek kvetkeztetni, hogy a ter-mszettudomnyi kutatsok mellett a trsadalomtudomnyi elemzsek is megkvetelik a matematikai statisztikai ismereteken alapul mrs-rtkels kreatv ismerett. Ezen tuds-elemek birtokban a kutats sorn kapott adatok elemzse vgezhet el, melyekkel feltr-hatak az esemnyek mlyebb sszefggsei. A numerikusan kapott eredmnyek rtelme-zse s a helyes kvetkeztetsek levonsa meghatrozja a tovbbi kutats menetnek.

A jegyzet abban a remnyben kszlt, hogy segti a hallgatkat a szakterleten kapott kutatsi eredmnyek hatkony feldolgozshoz, a kutatsok eredmnyeinek gyors s kor-rekt statisztikai rtkelshez, rtelmezshez. A jegyzet leckkre bontva tagolja azon is-mereteket, amelyek a gyakorlati oldalrl kzelti meg a statisztikai eredmnyek rtkelst SPSS segtsgvel valamint az adatok rtelmezst.

1.1 CLKITZS

A kurzus clja, hogy a hallgatk ismerjk a kutats sorn nyert adatok szmtgpes statisztikai feldolgozs lehetsgeit. Elsajttjk a legismertebb szmtgpes alkalmaz-sokat (SPSS), kpess vlnak a kutatsi feladatok megoldsra.

1.2 A KURZUS TARTALMA

Matematikai dntselmlet

Az ltalnos kutatsmdszertan alapjainak ttekintse

Kzprtk mutatk, grafikai brzols

Korrelci, korrelcianalzis

Hipotzisvizsglat, paramteres prbk, nem paramteres prbk

Varianciabecsls, regresszianalzis, klaszteranalzis, fak-toranalzis

SPSS alapfogalmak. Adatrtelmezs. Grafikus brzols. Transform

Statisztikai alapmveletek az SPSS-sel. Adatbzist mdo-st utastsok

sszefggs vizsglat SPSS-sel. Korrelci, korrelci-analzis

Hipotzis vizsglat az SPSS-sel. Varianciaanalzis. Ke-reszttbla-elemzs

1.3 A KURZUS TMR KIFEJTSE

Az adatfeldolgozs kvantitatv, kvalitatv mdszerei. A kvantitatv feldolgozs lpsei, kvantifikls. Az EXCEL s az SPSS program, alapfogalmak, kezelsi tudnivalk. A ler statisztika elemei: adat, adat fajti, az adatok eloszlsa, a minta jellemzi s az SPSS-ben val generlsa. Kzprtkek, szrds, variancia. Vltozk kzti kapcsolatok, azok r-telmezse. A minta eloszlsnak grafikus szemlltetse.


10

Hipotzis-vizsglat (null- s alternatv hipotzisek, dntsi szitucik) lpsei (egymin-ts- s ktmints T-prba, s az F-prba alkalmazsi felttelei). A hipotzisvizsglat lp-sei az egymints, nkontrollos, s ktmints esetekben. Az eredmnyek rtelmezse.

Az adatok transzformlsa, logikai mveletek, adatszrs lehetsgei s alkalmazsi felttelei. Ismrvek kztti kapcsolatok. Rangkorrelci, korrelci s lineris regresszi rtelmezse, meghatrozsa. Az elemzsek SPSS-el trtn bemutatsa.

A tbb egydimenzis minta vizsglat sszehasonltsa, a tbbmints elemzs variancia-becsls eljrsai. Varianciaanalzis, faktoranalzis s a klaszteranalzis alkalmazsa. Rang-sorolt adatok elemzse (a Wilcoxon-prba, a MannWhitney prba, a KruskalWallis-prba). A rangkorrelci-szmts. Megllapthat adatok elemzsre alkalmas statisztika

eljrsok (a 2-prba).

1.4 KOMPETENCIK S KVETELMNYEK

A tanulk mveltsgnek, kszsgeinek, s kpessgeinek fejlesztse, ennek alapjn az adott tudomnyterleten a kutatsi eljrsok meg-ismertetse.

A pedaggiai rtkels vltozatos eszkzeinek alkalmaz-sa.

Nevelstudomnyi kutatsok fontosabb mdszereinek, elemzsi eljrsainak alkalmazsa, sajt kutatmunka tudomnyosan megala-pozott eszkzket felhasznl rtkelse

1.5 TANULSI TANCSOK, TUDNIVALK

Amikor kzbe veszi a jegyzetet s ttekinti a tartalomjegyzket, a tudomnyos kutats alapismereteit sajtthatja el. Az ismeretanyag a kutats alapismereteit, mdszereit foglalja ssze abbl a clbl, hogy kutatsait tudatosan, tervszeren vgezve eredmnyeit tanul-mnyban foglalja ssze.

Mieltt elkezden a tantrgy tananyagnak elsajttst, krjk fogadja meg az albbi tancsokat a sikeres tananyag elsajttsa rdekben. A tananyag feldolgozsa eltt rde-mes az egsz tanknyvet tlapoznia, hogy globlis kpet alkothasson az egsz tananyagrl. A leckk elejn a bevezetben a leckben lv tartalmat olvashatja a felvetd krdsek globlis ttekintsnek megknnytsre. A fejezetek bri vizulisan segtik a szvegben jelzett sszefggsek feltrst, a megrtst. Az olvasssal prhuzamosan tanulmnyozza azokat. A leckk vgn nellenrz krdsekkel, a rjuk adott vlaszokkal a tananyag be-vsst knnyti meg.

Ne feledkezzen meg az ismtls jtkony hatsrl! A leckk elsajttst a kvetkez lpsek alapjn rdemes elvgezni:

Olvassa el figyelmesen a fejezetek elejn a clokat, a tar-talmi tagolst.

Figyelmesen tanulmnyozza a lecke tananyagt, kln-sen a szakaszok, alfejezetek cmeire helyezzen nagy hangslyt, mely segti a tananyag tartalmi-szerkezeti ttekintst s nveli az ismeretek elhvsi hat-konysgt.


11

Ezt kveten lpsknt olvassa el figyelmesen a lecke anyagt. A tanuls sorn kis lpsekben, alfejezetekknt haladjon. Szksg ese-tn ksztsen a legfontosabb sszefggseket rgzt vzlatot.

Ne essen abba a hibba, hogy egyes rszeket tl egyrtel-mnek tallva, csak tolvassa, de nem tanulja meg.

A leckk tanulmnyozst kveten vlaszoljon az nel-lenrz krdsekre, tesztelje sajt tudst.


12

2. AZ LTALNOS KUTATSMDSZERTAN ALAPJAINAK TTEKINTSE

2.1 CLKITZS

A kutatsmdszertan alapelemeinek sszefoglalsa segti az olvast abban, hogy a k-lnbz kurzusokon, gyakorlati tapasztalatai alatt szerzett ismereteket csokorba foglalva felidzze, pontostsa az ismereteit. A kutats egyedi sajtossgokkal rendelkezik, azonban az adatok feldolgozsi menett kzel azonos logika jellemzi.

2.2 TARTALOM

A kutats Kutatsi stratgik Adatok tpusai A kutats folyamata A kutats mdszerei Kvalitatv kutats Kvantitatv kutats A kutats tudomnyossgnak felttelei

2.3 A TANANYAG KIFEJTSE

2.3.1 A kutats

A kutats sorn j ismeretek (sszefggsek, trvnyszersgek) feltrsa a cl. Egy l-talunk kivlasztott populci vizsglata az ltalunk elre meghatrozott kritriumok sze-rint. Megvalsulhat tfogbb s szkebb populciban.

Pl. Egy ltalunk kivlasztott megye kzpfok oktatsban tanulk krben felmrst vgznk az lvezeti cikkek fogyasztsa terletn s kvetkeztetseket vonunk le a megkr-dezettek alapjn az ltalunk kivlasztott rgi helyzetre.

Kutats trgya: a fejleszts sorn rvnyesl trvnyszersgek feltrsa. Kutats metodikja: a tudomny elrsainak megfelel megismersi folyamat (techni-

kk, eljrsok).

A kutats alatt rtend valamilyen tudatosult igny, problma megoldsra irnyul tevkenysg, melynek sorn a jelensget

komplex mdon elre tgondolt hipotzis alapjn kell tanulm-nyozni.

A kutatsok tpusai (Falus, I: 2000) lehetnek: alapkutatsok, alkalmazott kutatsok, ak-cikutatsok.


13

2.3.2 Kutatsi stratgik

Deduktv (analitikus) kutatsi stratgia

A szaktudomnyokban az adott tudomny terletn elrt kutatsi eredmnyekre t-maszkodva valsul meg a kvetkeztetsek megllaptsa.

Deduktv (analitikus) kutatsi stratgia: a forrsokat, dokumen-

tumokat s eddigi tapasztalatokat elemezve fogalmazza meg az el-

veket , trvnyszersgeket.

Az informci forrsai A tartalomelemzs olyan kutatsi mdszer, ami lehetv teszi egy szveg elemzst

oly mdon, hogy annak minden komponenst figyelembe veszi. Forrskritika: kls forrskritika sorn vizsgljuk, hogy eredeti-e a forrs, ha msolat,

eredeti-e a reprodukci. A bels forrskritika sorn vizsgljuk, hogy mennyire hitelesek a forrsban lltott esemnyek, kompetens volt-e a szerz ezek lersra, vannak-e bels ellentmondsok a mben

Dokumentumelemzs: Dokumentumnak tekintnk minden olyan, a jelenben vagy a kzelmltban keletkezett anyagot, ami nem kzvetlenl a kutats cljra kszlt, de me-lyekbl adalkokat, fontos informcikat kaphatunk a kutatmunknkhoz.

A dokumentumok fajti A kutats tmjval val kapcsolatuk szerint:

Nincs kzvetlen kapcsolat a tmval, hanem a kapcsolatot a kutat teremti meg (ilyenek a filmek, sznmvek, tv s rdimsorok).

A tmval kapcsolatos hivatalos dokumentumok (trv-nyek, tervezetek, jelentsek). A hivatalos dokumentumok a nyilvnossghoz szlnak (vitaanyagok, trvnytervezetek stb.). Lehetnek eredeti, vagy sszegz dokumentumok, szemlyes dokumentumok (naplk, levelek, feljegyzsek), fontos az etikai kvetelmnyek betartsa, Szemlyessget elhv hivatalos do-kumentumok, a vizsglati alany magnszfrjra vonatkoz hivatalos krds

Fontos megjegyezni, a forrs s dokumentumelemzs kztti klnbsg: a forrselem-zs trtnelmi dokumentumokat vizsgl. Dokumentumelemzs: kizrlag a szvegben lv explicit tartalomra vonatkozik. Tartalomelemzs: a szveg mlyrtegeibe kvn be-hatolni, rejtett sszefggseket kvn feltrni. Az elsdleges forrsok: kzvetlenl szolgl-tatnak informcit, mg a msodlagos forrsok: kzvettsen keresztl teszik hozzfrhet-v az informcit

Induktv (empirikus) kutatsi stratgia

A mdszertani kutatsok alapjt kpezi a ksrleti megfigyelseken, mrseken szerzett adatok rtkelse s a kvetkeztetsek megllaptsa.

Induktv (empirikus) kutatsi stratgia: a kvetkeztetseket a

tapasztalati mrsekre s azok elemzsre alapozva kell levonni.

A vizsglatok lersval a kvetkez leckkben bven tallkozhat az olvas.


14

2.3.3 A kutats folyamata

A kutats kritriuma megkveteli a kutattl, hogy j ismeret feltrst clz problma megoldsra a javaslatait megtegye.

1. bra: A kutats folyamatbrja

Kutatsi problma meghatrozsa: az elmleti ttelek, melyek gyakorlati szitucik-ban lv ltjogosultsgt bizonytani kell. Gyakorlat, melynek sorn pl. ajnlott mdszerek kzl kell vlasztani, melyik a hatkonyabb.

Elemzsi egysgek s idfaktor kivlasztsa: elemzsi egysgek azok, kit vagy mit k-vnunk tanulmnyozni. Az idfaktor alatt rtend, hogy adott jelensget egy idpontban, vagy idintervallumban kvnjuk mrni, megfigyelni.

Korbbi eredmnyek ttekintse: a szakirodalom, melyben a tanulmny nyitott, felve-tett, megvlaszolatlan krdsekkel zrul. A felvetett s kutatott problma idszersgnek, gyakorlati jelentsgnek stb. eldntse

Konceptualizls, operacionalizls: vizsglat vltozjnak mrsi eljrsnak (tech-nikai megkzelts) megfogalmazsa fogalmak mrsre szolgl technikkat hatrozzuk meg. Az indiktor a fogalmak, hipotzisek mrhet lersa.

Mdszer kivlasztsa: vlasz a hipotzisre az adott a vizsglati eljrs megvlasztsa. Mintavtel: a populci s a reprezentativitst biztost mintavteli technika meghat-

rozsa. Adatgyjts: az informcik gyjtse. az adatok elemezhet formba rendezse (gyak-

ran kikdolssal) Eredmnyek kzlse: az adatok statisztikai feldolgozst kveten az eredmnyeket

rtelmezve, tanulmnyban sszefoglalva kzli a kutat.

2.3.4 Az adatok tpusai

Az adat egy szimblum, mely a hozzrendelt rtkek brmelyi-

kt felveheti.

Az adatok jellemzi

Konstans, ha a vltoz csak egy rtket vehet fel.


15

Diszkrt vagy folytonos adat, ha az adatokat diszkrt vagy folytonos vltoz rhat le.

A vltoz alatt rtjk az egyed vagy a rendszer mrhet tulajdonsgait, jellemzit. A vltozk logikai kapcsolatban ll attribtumokbl (kategrik, rtkek) plnek fel. Meg-klnbztetnk fgg s fggetlen vltozkat. A fgg vltozt minden esetben a fgget-len vltoz hatrozza meg, ok s okozat kapcsolat ll fenn kzttk.

A statisztikai mrsek sorn a vltzkat a vals szmok jellemzihez viszonytva osz-tlyozzuk. A vals szmok jellemzi:

Linerisan rendezettek (pl. x1 kisebb, mint x2)

A vals szmok sszeadhatk, kivonhatk egymsbl. Meghatrozhat hogy x1 mennyivel kisebb vagy, nagyobb, mint x2).

A vals szmok egymssal szorozhatk s oszthatak. A vals szmok jellemzi alapjn a vltozkat sklatpusokba osztlyozzuk. A mrend

objektumok sajtossgai befolysoljk a mrsklt, melynek tpusai:

Nominlis nvleges skla

Az objektumokat szmozssal elltva, a dolgokat tartalmaz osztlyokat kdolja. pl. in-tzettpusa.

Fontos szably a szmozsok sorn, hogy nem kaphatnak azonos szmot klnbz ob-jektumok, de klnbz szmot azonos objektumok sem.

A statisztikai eljrs sorn szmthat:

Az objektum darabszma

Az osztlyokban lv dolgok szma (gyakorisgok)

Rangsorban val llts

Mdin, kvantilisek, rangkorrelcis egytthat. Pl. a ta-nulk teljestmnyhez pontszm rendelhet.

A nominlis skla azon szimblumok, szmok, melyek csak az azonostst szolgljk. A vals szmok egy tulajdonsga sem jellemzi, vagyis mg sorba sem rendezhetek (pl. nemek, beoszts, lakhely, valls)

Ordinlis sorrendi skla:

Olyan szimblumok, szmok, amelyek alkalmass teszik a vizsglt egyedek kztti sor-rendisg fellltst, mely lehet az egynem adatok rendezsnek alapja is. A vltoz rt-keinek klnbsge nem rtelmezhet. (Pl. iskolai vgzettsg, a termkek minsts rtkei, tanulmnyi versenyen kialakult eredmny, orszgok sorrendje a PISA mrs sorn)

Intervallumskla

Az objektum kvantitatv mrse sorn a mrhet adatokat vizsglva az egyedeket jel-lemz n. mrssel kapott adatokat kapjunk.

Az intervallum nagysgt a kt adat kztti eltrs adja, definilt mrtkegysggel ren-delkezik, teht klnbsgk rtelmezhet (szletsi dtum, letkor, attitd skla rtke, osztlyzatok ). A szomszdos rtkek garantltan azonos tvolsgra intervallumra van-nak egymstl. Jellemzi:


16

Brmelyik kt sklartk klnbsge fggetlen a skla nullpontjtl. A sklartk klnbsgek hnyadosa fggetlen a mrtkegysg-tl.

A hnyadosok objektv sszehasonltsra alkalmas, mivel nem tartalmazzk a mrtkegysg vlaszts s nullpontvlaszts nknyt.

Arnyskla

Az arnyskla alatt olyan szmrtkeket rtnk, melyek a nagysg szerinti viszonyokat s az eltrs mrtkt is meghatrozzk. A sklartkek klnbsge rtelmezhet s tar-talmaz egy abszolt nullapontot (rgztett zrus-pont)

A kt intervallum arnya fggetlen a mrtkegysgtl, valamint minden statisztikai jellemz meghatrozhat.

Az egyedek ismrveit numerikusan kifejez szmrtk. A vltoz rtkei sorba rendezhetek, klnbsgk s arnyuk is rtelmezhet (pl. testmagassg, sly)

Megjegyzs: a fenti sklatpusok nvekv mennyisg informcit hordoznak az albbi sorrendben:

Nominlis ordinlis intervallum arny

A klnbz sklatpusok feldolgozsa ms statisztikai mdszerrel trtnik. A maga-sabb szint sklatpusok adatai alacsonyabb szntbe konvertlhat adatvesztesggel.

2.3.5 A kutats mdszere

A kutats ltalban mr elzen, pl. elfelmrsek, tapasztalatok alapjn valsul meg. A kutats sorn szveges, vagy numerikus formban kapott az informci halmaz, alkal-mas azok kvantitatv s kvalitatv feldolgozsra (Babbie, 2003). A kutats sorn azt tapasztalhatjuk, hogy nem lehet les hatrt hzni a kt mdszer kztt, mivel mindkettt komplex mdon alkalmazva kell rtkelni az eredmnyeket. A kvantitatv mrsi eredm-nyek szmadatait rtelmezni kell didaktikai szempontbl is.

2.3.6 Kvalitatv kutats

A kutats sorn minsgi krdsekre, Mi? Mirt? adunk vlaszt. A minsgi kvantitatv vltozk a nominlis s ordinlis adatokat lert vltozkbl tevdnek ssze. a kvantitatv eljrsra kijelenthet, hogy kisegt jelleg. Az eredmnyeket kvantitatv ada-tokkal val altmaszts teszi megbzhatbb.

A kutatmunka sorn a legismertebb kvalitatv eljrsok:

Tipizls a kutatmunka sorn az adatok rendezse tjn trtnik (pl. idigny, tipikus hibk), melynek alapja a megolds logikai mene-te, megtervezettsge.

Tblzatba foglals a modulrendszerek formai lehetsge.

sszehasonlts sorn a vizsglt csoportok kztti kateg-rik, tpusok, tblzatok kztti sszehasonltst vgezzk el.


17

Elemzs a kommunikci szempontjbl igen fontos rsze a kutatsnak, mely a kiegszt kvetkezmnyek lerst tartalmazza.

Forrselemzs a kritikai rzkkel feltrt rsbeli, szbeli anyag, mely a kutatsunk rszt kpezi

Kvetkeztets, mely a nyert tapasztalatok alapjn a problmk, tapasztalatok megllap-tsa.

Eredmnyrgzts a kvalitatv kutatsi eljrs szvegesen megfogalmazott lersa.

A kvalitatv eljrs elnyei: Nyitott, dinamikus, rugalmas.

Mlyrehat megrts lehetsgt knlja.

Felhasznlja a kutat kreativitst.

Gazdagabb tletforrsokat szolgltat.

thatol az egyszerstett vagy felletes vlaszokon

2.3.7 Kvantitatv kutats

A kutats sorn mennyisgi krdsekre Mennyi? adunk vlaszt. Azokat az eljr-sokat nevezzk kvantitatveknek, melynek sorn numerikus adatokbl, statisztikai eljr-sokkal vonjuk le a populcira vonatkoz kvetkeztetseket. Az eljrs alkalmazshoz a vizsglt minta jellemzit numerikus adatokkal kell kifejezni, melyet kvantifiklsnak ne-vezzk. A mrs kt tpus lehet:

A vizsglt csoport nmagban, egy adott idintervallumra jellemz rgztett adatokkal rendelkezik. Az adatok elemzse adott mveletek sorozatt ler statisztikai eljrs.

Kt klnbz teljestmnyszint egymshoz rendelse so-rn alkalmazott matematikai statisztikai mdszer.

Kt tpus egymshoz rendelst vizsglhatunk:

Ugyanazon tanulcsoport kztt

Kt klnbz tanulcsoport kztt

Kvantitatv eljrs elnyei

Statisztikai s szmszer mrs

Alcsoport mintavtel vagy sszehasonltsok lehet-sge

Felmrs a jvben megismtelhet s az eredmnyek sszevethetk

Egyni vlaszokra pt

Kevsb fgg a kutat szemllettl

A kutats trgyt kpez jelensgek

Determinisztikus: azonos krlmnyek kztt mindig ugyangy jtszdik le; a feltte-lek ismeretben a jelensg tovbbi jellemzi egyrtelmen meghatrozottak (pl. szabad-ess stb.).


18

Sztochasztikus vagy vletlen: a jelensgek kimenetele, azonos krlmnyek kztt is nem egyrtelmek (pl. pnzfeldobs, lott stb.)

2.3.8 A kutats tudomnyossgnak felttelei

rvnyessg Validits

Ennek a kritriumnak val megfelels azt jelenti, hogy a kutats a valban a vizsglat trgyra irnyul-e, milyen mrtkben szolgltat informcit a mdszer arra a krdskrre, amit meg akarunk vizsglni, ismerni. Az rvnyessg (validity) rvilgt, hogy a vlasztott mdszer mennyiben mri azt, ami szndkunkban ll. Fajti:

Tartalmi rvnyessg (content validity) (a fogalom mindes elemt lefedi-e) Konstrukcis vagy fogalmi rvnyessg (construct validity), mely mreszkz az elv-

rsnak val megfelelst jelenti. Egyeztetsen alapul rvnyessg (current validity) egy j mrsi eszkzzel kapott

eredmnyek milyen mrtkben egyeznek meg a mr igazolt mrsi eszkz eredmnyeivel. Elrejelz, prognosztikus rvnyessg (predictv validity) egy jelenlegi mrs mennyi-

re felel meg egy ksbbi mrs eredmnynek (felvteli eredmnye).

Megbzhatsg Reliability

Ennek a kritriumnak val megfelels azt jelenti, hogy a kutats annak megismtlse, ismtelt alkalmazsa sorn is az eredetivel egyez illetve kevss eltr eredmnyt szolgl-tat.

A megbzhatsg mrtke azt jelzi, milyen pontossggal kapjuk ugyanazt az eredmnyt, mekkora a mrsi hiba. A megbzhatsg ellen hat tnyezk forrsa: az eszkzbl, a ki-krdez, megfigyel szemly, vizsglati krlmnyekbl tevdik ssze. Mrse a varian-cik sszehasonltsval valsthat meg.

Objektivits

Ennek a kritriumnak val megfelels azt jelenti, hogy mennyire trgyilagos, vagyis fggetlen a mrs sorn kapott eredmny az adott mdszert alkalmaz, a felmrst vgz szemlytl.

Mintavtel. A szksges mintaelemszm. Reprezentativits

A kutats tervezse sorn az alkalmazott statisztikai eljrs feladata, hogy a populcira vonatkoz megalapozott kvetkeztetsek levonsnak felttelei biztostva legyenek. A mintavtel clja a minl tbb informci szerzse az adott populcirl. Elmlete a valsznsgszmts a a vletlen tmegjelensgeken alapul. A teljes kr kutatssal szemben a mintavtel, a populci egy bizonyos hnyadnak vizsglatt (pnz-, id- s munkamegtakartst tesz lehetv).

A mintavteli terv kimunklsa (ld. 2. bra) a mintavtel eredmnyessgnek, sikeres-sgnek biztostka, mely a meghatrozza a mintavtel cljt, a kivlaszts alapelveit, mdszereit, a teljes s a rszmintk nagysgt, az eredmnyek pontossgra, torztsra s megbzhatsgra vonatkoz szmtsokat. A reprezentatv mintavtel szablyait s kve-


19

telmnyeit be kell tartani ahhoz, hogy a mintra vonatkoz megllaptsok az egsz popu-lcira ltalnosthatak legyenek.

2. bra: A mintavtel elve (forrs Kovcs, 2001. p. 235.)

A reprezentatv mintavtel szablyi s kvetelmnyei:

A populci minden elemnek azonos eslyt kell biztos-tani, hogy bekerljn a mintba

A minta adatai azonos krlmnyek kzl szrmazzanak

A minta adatait objektv mrsek biztostsk

A minta pontos adatokat tartalmazzon

Az adatok torztatlanok legyenek

A minta adatai ms minta adataival sszevethet legyen.


20

3. bra: Adatszerzsi mdok (forrs Dr. Illysn dr. Molnr, 2008)

A 3. bra alapjn ttekinthetjk az adatszerzsi mdik szles vlasztkt, ahol a rvid-tsek jelentse:

FAE (Fggetlen Azonos Eloszls) minta:

sokasg: homogn s vgtelen vagy nagyon nagy

mintavtel: vletlen visszatevses vagy visszatevs nlkli

sokasg: vges

mintavtel: egyenl valsznsggel, visszatevses A kivlaszts lehet: 1. Visszatevses kivlaszts: A mintaelemek egymstl fggetlen s azonos eloszl-

s (FAE) valsznsgi vltozk: 2. Visszatevs nlkli kivlaszts: a mintaelemek fggetlenek egymstl. A minta-

vtelek szmnak nvelsvel n a valsznsge az egyedeknek a mintba kerls-re.

A mintavtelek szmnak nvelst kszbli ki a visszatevses mintavtel, ennek vi-szont htrnya, hogy ugyanaz az egyed tbbszr visszakerlhet a mintba

3. Egyszer vletlen minta (EV):

Sokasg: homogn, vges elemszm;

Minta: visszatevs nlkli, minden lehetsges n elem minta kivlasztsi valsznsge azonos

Viszonytsi alap: etalon;

Elksztse, elemek kivlasztsa szisztematikus (komplett lista)

4. Rtegzett minta (R):

Sokasg: heterogn;


21

Mdszer: a sokasg tbb-kevsb homogn rtegekbe so-rolsa.

tfeds mentesen, teljesen lefedett sokasg

rtegeken bell EV minta Rtegvizsglat elnyei:

hiba visszakereshetsge

adott tulajdonsgok adott rtegben

Valsznsg nvelse 5. Csoportos minta (CS): Adott tulajdonsgok szerinti csoportok kpzse, azokon

bell vizsgldunk. 6. Tbblpcss minta (TL): Tbb tulajdonsgot fog ssze Nem vletlen mintavteli eljrsok Szisztematikus kivlaszts a. Kvts kivlaszts (minta sszettele adott / kiegsztsknt gyakran alkalmazott

mdszer) b. Koncentrlt kivlaszts (legjobban jellemzik a sokasgot a reprezentnsok) ( pl-

da: felvteli ponthatrok/ elre meghatrozott pontrtkek alapjn kerlnek a hall-gatk a felsoktatsba).

c. Hlabda kivlaszts (krdvek tovbbadsa / nem igazn vletlen minta) d. nknyes szubjektv kivlaszts (ritkn alkalmazott, nagy a szubjektv elem,

egyszerek, olcsak, de nem adnak j eredmnyt).

2.4 SSZEFOGLALS

Ebben a fejezetben a kutatsmdszertan alapkrdseit ismerhette meg az olvas a kuta-ts fogalmtl kiindulva a kutatsi problma megfogalmazsn t a mintavtelig. A kutats tervszer elksztse a sikeres s eredmnyes kutats kulcsa.

2.5 NELLENRZ KRDSEK

1. Ismertesse a kutats tudomnyossgnak feltteleit.

2. Jellemezze a kvantitatv s a kvalitatv kutatst.

3. Mutassa be az adatok tpusait.

4. Elemezze a mintavteli eljrsokat.


22

3. MATEMATIKAI DNTSELMLET

3.1 CLKITZS

A leckben elemezzk, hogy az eredmnyeket nem vletlen tnyezk hatroztk meg. A kvetkeztets sorn vlaszt kapunk arra, hogy a kapott eredmnyek a populci egszre ltalnosthatak-e, azaz a statisztikai eredmnyek ugyanabbl a populcibl szrmaznak vagy sem, hozhat-e dnts a populci egszre.

3.2 TARTALOM

Hipotzis-vizsglat

Konfidencia intervallum

A hipotzis-vizsglat lpsei

Tvedsek lehetsge

Gyakori hibk


A matematikai dntselmletben a vizsglat clja a kutats sorn krlhatrolt popul-cira vonatkoz kvetkeztetsek levonsa. Pldul az egyetemi hallgatk tanulmnyi tla-ga egyenl-e 3,8-del, vagyis =0?. Problmk:

A populci minden tagja nem vesz rszt a vizsglatban

A becsls hibalehetsget hordoz. A minta szmtott s adott rtke nem felttlenl jelenti, hogy a populcira jellemz rtk s az adott rtk kztt eltrs van.

Azokat a felttelezseket, amelyeket a populci egszre fogalmazunk meg, statiszti-kai hipotzisnek nevezzk (FalusOll, 2008). A vizsglt mintk adott valsznsgi szin-ten val megfigyelhet vizsglata a matematikai statisztika mdszereivel trtnik. Az ob-jektv megfigyelsek alapjn a vizsglatot vgz egyn az adatokat elemezve sszefgg-seket keres, s sszevetseket kszt a tapasztalati adatok s az elmleti kvetkeztetsek alapjn, a gyakran bonyolult adatrendszerek tbbvltozs elemzsvel. Az elemzsek eredmnyek alapjn:

Ha a klnbsg nem a vletlen mve, akkor azt lnye-ges, szignifikns klnbsgnek nevezzk s a minta a populcinak egy, a po-pulcit reprezentl rsze.

Ha a klnbsg a vletlen mve, akkor nincs kzttk lnyeges, szignifikns klnbsg s a minta a populcinak nem ugyanazt a populcit reprezentl rsze. s az alkalmazott mdszer a vizsglt csoportok-nl eltr eredmnyeket hozott ltre.

Megolds a statisztikai hipotzisvizsglattal lehetsges.

3.3.1 Konfidencia intervallum

Konfidencia intervallum az ismeretlen paramterek rtkt egy elre meghatrozott va-lsznsggel fedi le. A konfidencia hatrok vgpontjainak meghatrozst intervallum-


23

becslsnek nevezzk. Az intervallumbecsls egy tartomnyt ad meg, amiben valsznleg benne van az adott paramter. Ha a vizsglt paramter 1-p valsznsggel esik az interval-lumba, gyakran %-ban fejezik ki, pl. tipikus rtke 95%.

Konfidencia-intervallum az a valsznsgi intervallum, mely az adott szignifikanciaszinten a becslt vltoz als s fels korltjt adja, vagyis a megbzhat becslst.

A hipotzisvizsglat ltalban a megbzhatsgi intervallum definilsnak leggyakrab-ban alkalmazott eszkze. Kijelenthet hogy a konfidencia-intervallum s a hipotzisvizs-glat bizonyos rtelemben kiegszti egymst. A konfidencia-intervallum a hipotzisvizs-glat elfogadsi tartomnya. Kt eset lehetsges.

ltalnosan elfogadott, hogy nem vetik el a nullhipotzist

100 p%-os szinten a 100 (1p)%-os szint konfidencia-intervallum tartom-nyba.

Fordtott eset, hogy elvetik a nullhipotzist 100 (1p)%-

szinten 100 p%-os szint konfidencia tartomnyban. Ezrt a hipotzisvizsglat-tal kapcsolatos feltevsek tvihetk a megbzhatsgi intervallumra is.

3.3.2 Hipotzis-vizsglat

A kutatsokban sorn a tudomnyos magyarzatok okozati elemzse sorn az okok fel-dertst kell vgrehajtani. A hipotzis megfogalmazsa, majd a feltevsre kvetkezetes s mdszeres eljrssal adhat vlasz. A jl megfogalmazott hipotzis a vezrfonalt adja a kutatsnak.

A kutatsok clja, a vizsglt minta ltal reprezentlt vizsglati

eredmnyek populcira val ltalnosthatsgnak bizonytsa.

A problma forrsa, hogy a populci adott tulajdonsga csak becslhetk a populci-bl vett minta alapjn s nem mrhetk kzvetlenl. Megolds a statisztikai hipotzisvizs-glat.

A hipotzis egy fltevs arra, hogy a minta becslt vrhat rt-

ke egy megadott szignifikancia szinten azonosnak tekinthet-e az elre felttelezett rtkkel. Jele: H.

Null s alternatv hipotzisek, dntsi szitucik

A vizsglt mintk elemzse sorn a statisztikai hipotzist azrt fogalmazzuk meg, hogy annak eredmnytelensgt belssuk, s ezt kveten elvessk.

A nullhipotzis, alaphipotzis, prbahipotzis az a hipotzis, melyet a statisztikai prbval elre megadott szignifikanciaszinten vizsglva felttelezzk, hogy a vizsglt min-tk kztt nincs szignifikns klnbsg. Jele: H0.

A vizsgland problmhoz illeszked matematikai statisztikai vizsglatok clja az eredmnyek alapjn, annak eldntse, hogy a nullhipotzisben megfogalmazott krds fennllhat-e?

ltalban ktfle krds tevdik fel: Mi az igazsg? Igaz-e hogy? A felvetd krd-sek kzl az els a becslsnek, a msodik pont az n. hipotzisvizsglatnak felel meg.


24

A hipotzisvizsglat lnyege a mr meglv elzetes ismeretnk, elkpzelsnk alapjn a vizsgland mintrl fogalmazzuk meg a vrt eredmnyt, melynek beigazoldsa a nullhipotzis teljeslst jelenti. Ha a felttelezsnk nem igazoldik be, akkor az ellenhi-potzist tekintjk elfogadottnak.

Plda: Elektronikus informci forrs hasznlati szoksok felmrsre sorn orsz-gunk minden 1823 ves fiatalt megkrdezse, krdvvel trtn felmrse nem lenne gazdasgos, illetve nem lenne clszer, vagy nem ll mdunkba. Az adott populci vizs-glata ezrt reprezentatv mintavtelezsvel trtnik.

Felttelezzk, hogy a vizsglt mintk kztt van valamekkora eltrs pen a kivlaszts vletlensge folytn. A krds eldntsre a matematikai statisztika prbt kell alkalmazni.

3.3.3 A hipotzis-vizsglat lpsei

Nullhipotzis (jele: Ho) A hipotzis statisztikai vizsglata sorn

megfogalmazzuk azt a kiindulsi felttelezst, hogy a kt minta l-

tal reprezentlt alapsokasg paramterei kztt nincs eltrs, azaz

a vizsglt mintk ugyanazt a populcit reprezentljk.

H0: =0

A nullhipotzis igazolsa. a megengedett tveds elzetes meghatrozsval a szignifikanciaszint elemzsvel trtnik. A matematika statisztikai prba kivlasztsa a problma krlmnyeinek megfelelen valsulhat meg.

A minta alapjn szmtott paramter a prbamutat empirikus rtke, mely a kszb-rtk meghatrozst eredmnyezi. Ezt kveti a kapott rtk sszevetse az elmleti ton kapott kritikus (kszb-) rtkkel. Abban az esetben, ha a szmtott rtk meghaladja az elmleti ton kapott rtket, a nullhipotzist el kell vetni.

A prbamutat empirikus rtkeinek sszevetse az elemszm s a szignifikanciaszint alapjn, a tblzatban kiolvashat kritikus rtkekkel, tovbbi eseteket felttelez:

Ha a prbamutat empirikus rtke a kritikus rtknl, akkor elvetjk a nullhipotzist. A kt minta eredmnye szignifiknsan k-

lnbzik egymstl. H1: 0

Ha a prbamutat empirikus rtke < a kritikus rtknl, akkor nincs elg indok a nullhipotzis elvetsre. A vizsglt esetek kztt nem mutathat ki eltrs, azonban ez nem jelenti, hogy a kt mdszer egyenrtk. Nagyobb mintk esetn nem zrhat ki, hogy szignifikns eltrst fogunk tapasztalni a mdszerek kztt. Kvetkeztetsek levonsa esetn az ltalnosts csak arra a populcira lehetsges, amelyet a minta reprezentl. Az eredmnyeket korrekt mdon kell megadni, melyek tartalmazzk a vizsglat s az eredm-nyek rvnyessgi hatrait is.

Alternatv hipotzis (H1), mely a klnbsg megltt felttelezi,

vagyis a vizsglt becslsek nem azonosak.

A nullhipotzist s az ellenhipotzist mindig egymst kizr mdon kell fellltani, vagyis ha az egyik igaz, akkor a msik biztos, hogy hamis.

H0 igaz voltnak valsznsge akkor llhat fenn, ha eloszlsa ismert. Ebben az esetben a prbastatisztika eloszlsnak ismeretben megadhat, hogy milyen valsznsggel kap-hatunk meg a mintbl szmtott vagy annl nagyobb rtket a prbastatisztikra.


25

Abban az esetben, ha igen valszntlen, hogy H0 igaz volta esetn a szmtott rtket kapjuk akkor H0-t elvetjk. Ellenkez esetben H0-t megtartjuk.

Azt a valsznsget, amely esetn H0-t elvetjk p-vel jelljk s szignifikanciaszintnek nevezzk.

rtkei p


26

mnynak nevezzk. A 0,05-t a hipotzisvizsglat (prba) szignifikancia szintjnek nevez-zk

A korrelci szignifikancija: vlaszt ad arra, hogy mennyire

bzhatunk egy mintbl szmolt korrelcis egytthatban.

A kt minta szignifikancija fgg:

a kt minta szmtani kzprtknek klnbsgtl,

a mintk szrstl,

a mintk elemeinek szmtl.

3.3.5 Gyakori hibk

Grbe vonal mentn elhelyezked pontok, azaz a grbre illeszked pontok esetben a korrelci nem alkalmas az sszefggs jellemzsre. Nem hasznlhat, ha az egyik vlto-zt a kutat hatrozza meg,

A hiba elkerlsre elemezni kell:

Ha a korrelci koefficiense (r) szignifikns, amely mg nem jelenti a vltozk kztti ers kapcsolatot vagy annak jelents voltt. A korrelci, s annak a valsznsge a tny, mely a kapcsolat minsgt a szakmai rtkelst s rvelst hatrozza meg.

A vltozk kztt tallhat kiugr rtkek ersen torzt-hatjk a korrelcis egytthatt. A szrds elemzse sorn a kiugr rtkek vizsglatra szksg van. Ebben az esetben a nem-paramteres mdszer, a Spearman fle rang-korrelci hasznlata javasolt.

Gyakori s slyos hibaknt emlthet:

A kt vltoz kztti korrelcibl gyakran ok-okozati sszefggsre kvetkeztnk. Kt vltoz korrelltsgt elidzheti ok-okozati viszony, de az is elfordulhat, hogy a kt korrellt vltoz nincs egymssal ok-okozati kapcsolatban, hanem mindkett egy harmadik, kzs oktl fgg.

Elfordulhat, hogy a korrelci magyarzata lehet a vlet-len eredmnye is. Ez az eset fennllhat, ha mind a kt vltoz az idvel korre-llt. A kzs tnyezvel korrellt vltozk kztt is gyakran van korrelci. Teht ennek tanulsga, hogy a vltozk kztt az ok-okozati sszefggst logi-kai, vagy ksrleti ton kell bizonytani.

A becsls sorn azonban vletlen hibkkal kell szembe nzni, mely nem szksgszeren jelentik azt, hogy a maga utn vonja a szm-szer eltrst a populcira jellemz rtk s az adott rtk kztt.

3.4 SSZEFOGLALS

sszefoglalva megllapthat, hogy a nullhipotzis soha nem vethet el teljes bizton-sggal, vagyis 100%-kal, s nem jelenthet ki, hogy a kt minta kztti klnbsg nem a vletlen mve. A mintk statisztikai 95% feletti vizsglatakor kapott eredmnyek alapjn tekinthet szignifiknsan klnbznek. Ebben az esetben a tveds lehetsge kisebb, mint 5%. Jellse p


27

3.5 NELLENRZ KRDSEK

1. Ismertesse a hipotzisvizsglat igazolsnak mdszereit.

2. A hipotzis vizsglat sorn milyen tvedsi lehetsgekkel lehet szmolni?

3. A kutats tervezse sorn milyen hipotzisek megfogalmazsra kerl sor?

4. Milyen kvetelmnyeknek kell teljeslnie a hipotzisek megfogalmazsa sorn?


28

4. KZPRTK-MUTATK, GRAFIKAI BRZOLS

4.1 CLKITZS

A kzprtkmutatk sszefoglalsa segti az olvast abban, hogy megismerje a statisz-tikai vizsgltok sorn a rendelkezsre ll informcik srtsnek lehetsgeit. A sokas-got valamilyen ismrv szerint tmren, egy adattal (mutatval) jellemezi a kzprtk. Azonos jellemzkkel rendelkez adatok halmazbl szmthat, s a minta jellemzst szolglja.

4.2 TARTALOM

A kzprtk mrszmai Kzprtk mrszmai. Kzprtk mutatk Szmtani tlag Mdusz Mdin Szlsrtk vizsglatok Szrdsi mutatk Terjedelem

tlagos eltrs Gyakorisg Gyakorisgi eloszls A kzprtk mutatk s a gyakorisgi adatok viszonya Az eredmnyek brzolsa


4.3.1 A kzprtk mrszmai. Kzprtk-mutatk

A felmrs sorn kapott mintk sszevetst szmszerstett adatok segtik s teszik egzaktt A vizsglt csoportok elemeit tartalmaz adathalmazt a kvetkeztetsek levonsa cljbl a tblzatba foglalva elemezzk, amelynek sorn nvekv vagy cskken sor-rendben feltntetve foglaljuk a kapott eredmnyeket. Az adathalmaz kezelst megknny-ti az adatok osztlyokba trtn sorolsa. A minimlis s maximlis pontszm kztti in-tervallumot egyenl szlessg osztlyokba soroljuk.

A mintk sszehasonltst kzprtk mutatk meghatrozsval clszer elindtani. Az adatfajtk meghatrozzk a kzprtk mutatk rtelmezhetsgt. Ennek megfele-

len, ha intervallum sklval dolgozva, ltalban az tlagot vagy a medint kell elemezni. Ha a mintban vannak kilg rtkek, clszer a medint vlasztani, mert az erre rzket-len. A minta legnagyobb rtkt mg tovbb nvelve a medin nem vltozik, mikzben az tlag jelentsen nhet. Ha viszont a minta nem mutat ilyen anomlikat, akkor az tlagot hasznljk, mert a mintval kapcsolatban tbb informcit tartalmaz.


29

Szmtani tlag

Az tlag egy adott diszkrt adatsor jellemz adata, mely az adathalmaz kzepn he-lyezkedik el.

Minta tlaga: A szmhalmaz tlaga, ms szval szmtani k-zepe , az a szm, amelytl az adatok eltrseinek sszege zrus.

Az n elem minta x1, x2, xn tlaga:

n

x

n

xxxx

n

n

n

n 121 ...

A fenti kplet ms kifejezssel lve, a minta szmtani tlaga.

4.3.2 Mdusz

Az adatsorok osztlyokba val sorolsa esetn a legnagyobb gyakorisg osztly kze-pt rtjk alatta.

Egy szmhalmaz mdusza, a legnagyobb gyakorisggal rendel-

kez rtk.

A mdusz nem felttlenl ltezik, s ha igen, nem biztos, hogy egyetlen rtk kpviseli. Alkalmazsa: az ordinlis s a nominlis vltozkbl ll minta esetn lehetsges. Jellemzje, hogy ler, jsl szerepe van, mivel a tipikus rtkre (tipikus eredmny, v-

lemny) mutat r. Alkalmas az eloszls gyors jellemzsre is, abban az esetben, ha a min-tnak egy mdusza van.

4.3.3 Mdin

A vizsglt mintt kt azonos rszre bontja, rmutat a minta kzepre.

Mdin, a nagysg szerint rendezett, vagyis rangsorba lltott

szmhalmaz kzps rtke, pratlan szmsorok esetn, vagy a kt kzps rtk szmtani tlaga, pros szmsorok esetn (a nomi-nlis adatokra nem rtelmezhet, de az ordinlis adatok esetn igen)

Alkalmazsa a nominlis skla kivtelvel minden esetben lehetsges. A vizsglt minta kzpmeznynek jellemzsre alkalmas. Az arnyskla mindhrom kzprtk mutat alkalmazst lehetv teszi. Mely esetben melyiket a legoptimlisabb hasznlni, fgg a minta szmtl s rtkeitl, vagyis melyik mutat ad tbb informcit a minta jellemzi-rl.

Alkalmazst tblzatosan sszefoglalva:


30

1. tblzat: A kzprtk mutatk rtelmezhetsge az adat tpusnak fggvny-ben

Adat tpusa Kzprtk mutat alkalmazsa

tlag mdin mdusz

Nominlis skla Nem Nem Igen

Ordinlis Nem Igen Igen

Intervallun Nem Igen Igen

arnyskla igen Igen Igen

4.3.4 A kzprtkek kzti sszefggsek

A szimmetrikus grbk esetn az tlag s a mdusz egybeesnek, mg a balra illetve jobbra ferdl grbk esetn a mdin az tlag s a mdusz kztt veszi fel az rtket.

4.3.5 Szrdsi mutatk

A szrdsi mutatk (ms szval ingadozsi mutatk) azt mrik, hogy az adott minta rtkei mennyire koncentrldnak a kzprtk krl. A szrs annak a vrhat hibnak a nagysga, melyet akkor vtnk, ha egy populci egy tagjnak valamely mrhet rtkt a populci tlagval becsljk meg

4.3.6 Terjedelem

Maximum (a legnagyobb rtk), minimum (a legkisebb rtket jelenti meg, a gp a nullt is rtknek tekinti), range(=terjedelem, -tl -ig, a legkisebb s legnagyobb rtk kzti klnbsg v. tvolsg)

Az adatok vltozkonysgnak egyik jellemzje a terjedelem, ami a szlsrtkek (mi-nimum-maximum) kztti klnbsget jelenti. A szlsrtkek kztt az egyes adatok elfordulsi gyakorisga adja az eloszlst, rzkeny mutat. Jele:Ri

R = Xmax Xmin

Jelentsen befolysolhatja az tlagos rtket egy-egy nagy rtk. A szls rtk torzt. Az rtkek megoszlst modus nem mutatja. A kzps rtk pedig nem mond semmit, de gyakran jl jelzi a vltoz megoszlst.

Felmerl a krds: van rtelme a paramter meghatrozsnak? Vlasz, abban az eset-ben, ha a szls rtkek fontosak a mrs szempontjbl.

Interkvartilis flterjedelem

A minta szrdst (ingadozst) mri, mivel megadja azt a kzps tartomnyt, ahova az rtkek fele esik. Minl nagyobb ez a tartomny, annl nagyobb az ingadozs mrtke.

Az adathalmazt ngy egyenl rszre oszts eredmnyeknt kapott kvartilisek, amelynek jelei a Q1, Q2, Q3.

Az interkvartilis flterjedelem kplettel val definilsa:


31

2

13 QQQ

1090 percentilis terjedelem

Centilis alatt rtjk az adathalmazt 10 egyenl rszre oszts eredmnyeknt kapott D1, D2, D3 jellel jellt rtkeket.

10-90 percentilis terjedelem kplettel definilva:

1090 PP

4.3.7 tlagos eltrs

A minta elemeinek s a szmtani tlag kztti klnbsgek ab-

szolt rtkeinek szmtani tlaga.

n

xx

AE

n

j

i

1

Ngyzetes sszeg

Az eltrsek ngyzetnek sszege.

Alkalmazsa a tovbbi szmtsok sorn gyakori. A fenti paramtereket elssorban a tovbbi szmtsok sorn rszeredmnyknt alkalmazzuk.

Variancia

A szrdsi mutatk a minta jellemzirl sokat jeleznek, mivel az adatok tlag krli ingadozsra mutatnak.

Variancinak nevezzk az tlagoktl val eltrsek ngyzetsz-

szegt.

1

2

2

n

xxs

i

Szrs

Szrs alatt rtjk az adatok mintatlagtl vett ngyzetes tla-

gt (kzprtke).

A nevez nem ms, mint a szabadsgfok, mely a fggetlen elemek szmt mutatja meg.


32

Szrsngyzet

A minta szrsngyzete rmutat arra a tnyezre, hogy a minta adatai hogyan helyez-kednek el a kzprtk krl. Mivel az tlagtl val eltrsek egyenl mrtkek pozitv s negatv irnyban, ezrt a klnbsgek ngyzetre emelse optimalizlja az eredmnyt. Kpletben kifejezve:

n

xxs

i

2

2

A mrsek sorn azonban nem csak a minta, de vgs eredmnyknt az adott populci szrsngyzett kell megbecslni. Mivel a populci kzprtke pontosan nem meghat-rozhat, a mintavtel miatt (a minta szmtani kzprtke eltrst mutat a populci szm-tani kzprtktl).

A populci becslt szrsngyzete (variancija) nagyobb pontossggal becslhet, ha a nevez rtkt eggyel cskkentjk. A populci szrsngyzete (variancija):

1

2

2

n

xxs

i

ahol (n-1) a nevezben a minta szabadsgfoka.

A populci szrsa a variancia pozitv eljel ngyzetgyk rtkvel egyenl.

2

2

1s

n

xxs

i

A feladatok sorn a szrs a klnbz mintk sszehasonltsra alkalmas. A szmts eredmnyei arra utalnak, hogy a kzprtktl val szrsnyi eltrsek kztti eltrs jel-lemzi a populcit:

Bizonythat, hogy:

az adatok 2/3 rsze a szrs 68%-a 1sx interval-lumba helyezkednek el

az adatok 95%-a a szrs 2sx intervallumba he-lyezkednek el

az adatok 99%-a a szrs 3sx intervallumba he-lyezkednek el

4.3.8 Gyakorisg

Az adatok rtktartomnyt intervallumokra osztva, az adatokat azokba be kell sorolni. gyelni kell arra, hogy az intervallumok als s fels hatra ne fedje egymst. Az interval-lum:

Az rtelmezsi tartomny a minta legnagyobb s legkisebb ele-

me ltal hatrolt intervallum.

A gyakorisg egy olyan mutat, amely jellemzi, hogy egy-egy

csoportba hny adat tartozik.


33

A gyakorisgi eloszlst az adott csoportok s a hozzjuk rendelhet gyakorisgok alkot-jk.

Az eljrs menete:

Els lpsknt az rtktartomnyt csoportokra kell oszta-ni, melyek egyenl intervallumak.

Ha tl nagy intervallum szmot vlasztunk, pontatlan r-tkmeghatrozst okozhat.

A csoport intervallumok ltalban, a minta fggvnyben 2, 3, 5, 10 max. 20 (50 fs minta esetn 7 kategria ajnlott) legyen.

4.3.9 Gyakorisgi eloszls

Abszolt gyakorisg

A gyakorisgi eloszls egy olyan statisztikai mutat, mely arra

mutat, hogy a minta elemei hogyan oszlanak meg a klnbz cso-portok kztt.

A mintra vonatkozeredmnyt abszolt gyakorisgi eloszts-

nak nevezzk. Jele fa

Relatv gyakorisg

A relatv gyakorisg a csoport abszolt gyakorisg rtknek a

minta elemszmhoz szzalkosan viszonytott rtke.

n

ff a

100%

A relatv gyakorisg alapjn vlik lehetv, hogy klnbz, akr eltr elemszm mintt vessnk ssze.

Kumulatv gyakorisg

A kumulatv gyakorisg egy olyan statisztikai mutat, mely arra

mutat, hogy a mintbl mennyi azon elemek szma, amely egy el-re meghatrozott szintet r el. Jele: cf.

4.3.10 A kzprtk mutatk s a gyakorisgi adatok viszonya

A kzprtkek az tlag, a mdusz s a medin sszefoglal neve s a mintt jellem-zik. A szmtani kzprtkben az minta elemei elvesznek.

Ebben az esetben hasznlhat a mdusz, hisz az adatok kzl kiemel egyet. Ha tbb adat is kzel azonos gyakorisggal emelkedik ki a mintbl hasznlata nem szerencss. A medin s a szmtani tlag viszonyt tekintve asszimetria lp fel, ha a medin s a szmta-ni tlag eltvolodnak a modusztl. A medin mindig a mdusz s a szmtani tlag kz esik. Az asszimetria esetei:

balra aszimmetrikus, ha x < Me < Mo


34

jobbra aszimmetrikus, ha Mo< Me < x

szimmetrikus, ha x Me = Mo (Gauss grbe, norml eloszlssal)

Az tlag s a szrs kapcsolata: az tlagtl egyszrsnyi terjedelembe tartozik az adatok tbb mint 2/3-a, 2 szrsnyiba, tbb mint 95%-a, 3 szrsnyiba tbb mint 99%-a).

4.3.11 Az eredmnyek brzolsa

A grafikus brzols clja az eredmnyek ttekinthetbb s szemlletesebb ttele A diagramok leggyakoribb tpusa vonaldiagram, az oszlopdiagram s a krdiagram. Vonaldi-agram az adatok egymshoz val viszonyt, oszlopdiagram pedig, ha a rsz adatok egsz-hez trtn arnyt brzolja.

Vonaldiagram

Tbb adatsor megjelentsre alkalmas. Az brzols alapjul pontok szolglnak, mely-nek a fggleges tengelyen mrt magassga fejezi ki az brzoland rtk nagysgt. Spe-cilis s gyakran alkalmazott vonaldiagram az eloszlsfggvny.

Eloszlsfggvny

Azt mutatja meg, hogy a minta elemszmhoz, mint szz szzalkhoz kpest, hogyan oszlanak meg az egyes csoportok kztt a minta elemei. A gyakorisgi eloszlsok esetben gyakran alkalmazott fggvnytpus.

Gyakorisgi poligon: az x tengelyen az adott csoport kzprtkt, az y tengelyen a csoportokhoz tartoz kzprtkeket kell feltntetni

Az osztlykzepek fggvnyben kapott pontokat vonalakkal sszektve kapjuk a gya-korisgi poligont.

Jellemzi:

Szimmetrikus: ezen bell megklnbztetnk laptott (platykurtic) az eloszls rtkei viszonylag gyakoriak cscsos (leptokurtic) az eloszls kzepe tlzottan kiemelkedik

Aszimmetrikus (skewed), amely esetben lehet az adatok eloszlsa jobb vagy bal irnyba eltoldott.

Az eloszls jellemzi:

Ferdesg egy mrszm, mely arra ad vlaszt, hogy a szrds a centrumtl jobbra vagy balra lapul-e.

2. tblzat Norml, balra s jobbra ferdl eloszlsfggvny

A ferdesg Skewness Ha (-), balra ferdl a kiugrs (+), jobbra

(0), szimetrikus

Lapultsg Kurtois 0 cscsos, leptokurtic 0 lapos, platykurtic


35

Krdiagram

A krdiagram a nominlis s ordinlis mrsi szint vltozkra alkalmas. A krdiagram ksztsnl a krcikkek kzpponti szge arnyos lesz az adatfajta gyakorisgval. A krdiagram kifejezen szemllteti az arnyokat, a rszt szemllteti az egszhez. A krdiag-ramon az brzolt szzalkrtk a krcikk kzpponti szgvel egyenesen arnyos.

4. bra: Krdiagram

A kr- s svdiagramot leggyakrabban a relatv gyakorisgok brzolsra alkalmaz-zk. A szzalkos formban kifejezett rtksort krdiagramban brzolva a figyelem egy-egy krcikk kiemelsvel fkuszlhat.

Oszlopdiagram

A krdiagram alternatvja. Nominlis s ordinlis mrsi szint vltozkra alkalmaz-zuk, de intervallum skla esetben is alkalmazhat, ha a hangsly a mennyisgen van. Ordinlis mrs esetn a vltoz-kategrik az x tengely mentn sorba vannak rendezve, az oszlopok egyms mellett helyezkednek el. Oszlopdiagram esetn a vzszintes tengelyen a lehetsges adatokat vesszk fel, a fggleges tengelyen pedig azok elfordulsnak sz-mt, ezt nevezzk az adat gyakorisgnak.


36

5. bra: Oszlopdiagram

A nagyszm vltozk esetn: minl finomabb beosztssal definiljuk a kategrikat, annl egyenetlenebb a gyakorisgi kp, tbb lesz az res kategrik jelenlte, A kisebb ltszm vltozk esetben torzt, mivel szzalkos megoszlsa arnyaiban vrhatan job-ban eltr a vals populcis megoszlstl.

Hisztogram

Azt mutatja meg, hogy a minta elemszmhoz, mint szz szzalkhoz kpest, hogyan oszlanak meg az egyes csoportok kztt a minta elemei. A hisztogramot ms nven empi-rikus srsgfggvnynek is nevezik. A gyakorisgi eloszlsnak az oszlopos brzolsa. A mennyisgi vltoz osztly gyakorisgt a tglalapok fellete fejezi ki; a magassg az osz-tlygyakorisg, a szlessg az osztlykz.


37

6. bra: Hisztogram a norml eloszlssal

Intervallum-arnyskla mrsi szint vltozkra alkalmas. Fix a kategrik szlessge s az adott kategria kzppontja a kategria gyakorisga.

A halmozott oszlopdiagram az adatsorok klnbz tteleinek egyenknti s sszestett rtknek egyttes szemlltetsre alkalmas.


38

7. bra: Halmozott oszlopdiagram

T-s-levl bra (stem-and-leaf plot)

Intervallum-arnyskla mrsi szint vltozkra alkalmazzk. A vltoz rtkeit a szmjegyeik alapjn tvekre s levelekre bontva, ltalban az els vagy els kt helyi rtk a t. Ezutn nvekv sorrendbe rendezzk a tveket, majd az azonos thz tartoz leveleket soronknt ismt rendezni kell. Az bra egy elfordtott hisztogramra emlkeztet, de a hisztogramtl eltren a tnyleges rtkeket brzolja.


39

8. bra: T s levl (Steam-and-leaf)

Boksz-Plot bra

A kvartilisek alapjn ksztett sszegz bra, a mennyisgi ismrveket adja tmren b-rzolva.

9. bra: Boksz-Plot bra


40

A dobozt az eljrs egy egyenesre fzi fel a kzps 50% elhelyezkedsvel s a medi-n feltntetsvel. Rmutat, hogy a minta kzps 50%-a hogyan helyezkedik el a medin krl s jelzi a kies rtkeket.

Xmin a minta legkisebb eleme

Q1 az als kvartikis, a minta els 25%-a ME median, 50% median

mean, a kzp Q3 harmadik kvartilis , a minta 75%-a

Xmax a minta legnagyobb eleme

a minta kies eleme

Pkhl, sugr (Pkhl) diagram

Az adatok brzolsa sorn a pontokat brzolva azokat egy pontbl brzolva a fl-egyenesek a szomszdos flegyenesekkel azonos szget zrnak be.

10. bra: Pkhl diagram

Minden egyes adatot a neki megfelel flegyenesen brzolva a kapott pontokat egy t-rtt vonallal sszektve jn ltre a pkhl.

Az adatok vltozsnak szemlltetsre alkalmas, kzi elksztse nehzkes. Az egye-nesek meredeksgbl leolvashat az adatok vltozsnak nagysga: egy szakasz minl jobban az orig fel tart, annl inkbb cskken az adat nagysga, s fordtva.

4.4 SSZEFOGLALS

Ebben a fejezetben a kzprtkek mrszmait, az ltagos eltrst, ismerhette meg az olvas, melyek a mrt adatok tmrtst teszik lehetv. Rmutatnak a mintban rejl


41

sszefggsekre s klnbsgekre, s a gyakorisgok sszehasonltsval sszevethet a mintk eloszlsa. A grafikus brzols lehetsgvel az adott eljrssal kapott eredmnyek vizulisan is megjelenthetek, ezltal a jellemzk szemlletesebb vlnak.

4.5 NELLENRZ KRDSEK

1. Elemezze a kzprtk-mutatkat s szerepket a minta jellemzse cljbl.

2. Elemezze a gyakorisgot s a gyakorisgi eloszlst a kutats szempontjbl.

3. Foglalja ssze az tlagos eltrs mrszmait s azok rtelmezst.

4. Ismertesse a grafikus brzols cljt s lehetsgeit.


42

5. KORRELCI, KORRELCIANALZIS

5.1 CLKITZS

A kutat a feltr vizsglatok sorn keresi az sszefggseket a vltozk kztt. A vl-tozk adatfajtja meghatrozza az alkalmazhat vizsglati mdszert. Abban az esetben, ha a vltoz az intervallum s az arnysklba tartozik az alkalmazhat mdszer a korrelci szmtsval elemezhet a vltozk kztti sszefggs. A korrelci s a korrelcis egytthat rtelmezse segt bizonytani az sszefggs jellegt.

5.2 TARTALOM

A korrelci rtelmezse A korrelcis egytthat A kovariancia

A korrelcis egytthat szignifikancija Korrelcianalzis


5.3.1 A korrelci rtelmezse

Kutatsaink sorn gyakori feladat, hogy egy-egy elem tulajdonsgait, jellemzit tbb adattal lerva, azok kapcsolatt, kztk lv sszefggseket kell elemezni. (pl a tanulk trsadalmi helyzete, a klnbz terleten elrt eredmnyessge, tanulsi krlmnye k-ztti kapcsolatot szeretnnk feltrni.

A korrelcis egytthat az egyik legismertebb kapcsolati mrszm. rtke azt mutat-ja, hogy a vizsglt kt (X, Y) kvantitatv legalbb intervallum vagy arnysklj vlto-z milyen lineris kapcsolatban van egymssal, milyen az egyttjrsuk, egyttmozgsuk. E kt utbbi kifejezs taln jobban rvilgt a korrelci lnyegre, nevezetesen arra, hogy nem ok-okozati viszony mrsrl, nem hatsok, egymsra hatsok feltrkpezsrl van sz, hanem lineris egyttvltozsrl. A gyakorlatban egyszeren ez azt jelenti, hogy szo-ros egyttjrs esetn nem helyes rvels, hogy X vltoz azrt magas, mert Y is magas. Y nem oka X-nek s X nem okozata Y vltoztatst.

A kapcsolatvizsglatok kt kategriba sorolhatk: lineris s nemlineris A lineris regresszivizsglatok szintn tovbb csoportosthatk. A nemlineris regresszivizsg-latokat most ez a fejezet nem tr ki bvebben.

A korrelciszmtst tbbdimenzis mintk vizsglatakor hasznljk, mivel a minta elemeihez rendelt adatok kztti sszefggs feltrst szolglja. Az egyszerbb esetet felttelezve kt vltoz adatai kztti kapcsolat elemzst foglalja ssze a fejezet.

Kt mennyisgi ismrv kztti kapcsolat jellegre vonatkozan a korrelcis egyttha-tt szksgszer megadni.

A korrelcis egytthat kt fontos tulajdonsga:

fggetlen vltozk esetben a korrelcis egytthat rt-ke 0,


43

mg fggvnykapcsolatban lv (nem sztochasztikus) vl-tozk esetben a korrelcis egytthat rtke 1. Jellemz esetek:

Kt vltoz kztt minl szorosabb az sszefggs, annl inkbb megkzelti a korrelcis egytthat rtke az 1-t. Ha a minta kt vlto-zja azonos irnyban vltozik, abban az esetben pozitv, ha ellenttes irnyban, akkor negatv a korrelcis sszefggs. Lineris fggvnykapcsolatban lv (nem sztochasztikus) vltozk esetben a korrelcis egytthat rtke 1.

Minl lazbb az sszefggs kt vltoz kztt, annl k-zelebb van a korrelcis egytthat rtke a 0-hoz. Fggetlen vltozk esetben a korrelcis egytthat rtke = 0

5.4 A KORRELCIS EGYTTHAT

A kapcsolat szorossgt, a fggsg fokt mrnnk kell. Ennek mrsre a korrelcis egytthat a leggyakrabban alkalmazott mrszm. Sok jellemz tulajdonsga hasonl a szrs tulajdonsgaihoz:

A korrelcis egytthat egy minta korrelltsgnak lersra szolgl statisztikai mu-tat. A korrelcis egytthat mint paramter a populci vltozi kztti kapcsolat erssgt hatrozza meg.

Minl szorosabb (lineris) sszefggs van kt, vletlentl is fgg vltoz kztt, an-nl kzelebb ll a korrelcis egytthat rtke az 1-hez.

Fordtva, minl lazbb az sszefggs kt vltoz kztt, annl kzelebb van a korrel-cis egytthat rtke a 0-hoz.

Figyelem:

Ha az egytthat rtke 0, a kt vltoz korrelcijnak vizsglata sorn az mg nem jelenti biztosan, hogy ezek fggetlenek is! Ezrt ilyenkor csak annyit mondhatunk: a kt vltoz korrellatlan.

Az egyszer, kzel lineris sztochasztikus kapcsolat ese-tben hasznlhat statisztika a korrelci. Nem alkalmas egy bonyolultabb fggvnygrbe mentn elhelyezked rtkek kapcsolatnak lersra a korrel-cis egytthat.

5.4.1 A kovariancia

A mennyisgi ismrvek kztti kapcsolat tnyt s irnyt az n. kovariancia segts-gvel is kifejezhetjk.

n

yyxx

C

n

i

ii

xy

1

))((

Kovariancia (c): A kt vltoz egyttmozgsrl tjkoztat (nvekeds, cskkens), de a szorossgrl nem. Ez az ismrvrtkek egytt-mozgst kifejez fontos mrszm kt-vltozs elsrend centrlis momentumnak tekinthet.


44

5.4.2 A lineris korrelcis egytthat

Amennyiben a kt ismrv kztt lineris kapcsolat ll fenn, (pontjai megkzeltleg egy kpzeletbeli egyenesre esnek), akkor a kplettel definilt n. lineris korrelcis egytt-hat segtsgvel szmszersthetjk a kapcsolat erssgt s irnyt.

yx

xyCr

ahol:

Cxy a kovarancia

x az x minta statisztikai szrsa

y az y minta statisztikai szrsa A lineris korrelcis egytthat abszolt rtke 1-nl nem nagyobb. A 0-hoz kzeli r-

tke a kapcsolat lazasgra vagy ppen hinyra utal. Az r negatv rtkbl a kt mennyi-sgi ismrv ellenttes irny vltozsra, mg pozitv rtkbl azonos irny egytt-mozgsra kvetkeztethetnk.

Lineris kapcsolat esetn a vltozk kztti kapcsolat szorossgnak mrsre szolgl. A kt vltoz kztti kovariancia (c) s a kt vltoz szrsnak hnyadosbl addik.

Lineris korrelcis egytthat (r) kplete:

11

1

2

1

2

1

n

yy

n

xx

n

yyxx

ss

Cr

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yx

3. tblzat: A korrelcis egytthat rtke s a vltozk kztti kapcsolat erssge

Korrelcis egytthat rtke Vltozk kztti kapcsolat

0,9 1 Rendkvl szoros

0,75 0,9 szoros

0,5 0,75 rzkelhet

0,25 0,5 laza

0,0 0,25 Nincs kapcsolat

A korrelcis egytthat a vizsglt populcit reprezentl mintk kztti kapcsolat erssgtre mutat. rtke a fentiek alapjn -1 s +1 kztt mozoghat. az eljel a korrelci irnyra utal, vagyis a fggetlen vltozk milyen irnyba befolysolja a fgg vltozt. A korrelcis egytthat abszolt rtke a kapcsolat erssgt mutatja a fenti tblzat alap-jn.


45

5.5 A KORRELCIS EGYTTHAT SZIGNIFIKANCIJA

A korrelcis egyttes szignifikancia vizsglata megmutatja, hogy egy adott, tbbdi-menzis minta esetn a vltozk kztt tallt sszefggs mekkora valsznsggel valdi s nem a vletlen mve. A minthoz tartoz elemek szabadsgfoka: szf=n-2

A felttelezett sszefggs ltalnostshoz az szksges, hogy a korrelcis egyttha-t abszolt rtke nagyobb legyen, mint a 95%-os valsznsgi szinthez (adott szabadsg-fokon) tartoz rtk.

Abban az estben, ha 99% vagy 99,9%-os rtken vgezzk az sszevetst, a felfedett kapcsolat mg nagyobb valsznsggel ltalnosthat.

4. tblzat: A korrelcis egytthat esetei

tblzatxy rr a kt minta korrelcis sszefggse az oszlopnak megfelel valsznsggel nem a vletlen mve, vagyis ltalnosthat

tblzatxy rr a korrelcis sszefggs mrtkt nem lehet ltatlnostani, vagyis a mintban szlelt kapcsolat a vletlen mve

Alkalmazsa:

A korrelcis egytthat az egyszer, kzel lineris stochaszti-kus kapcsolat esetben hasznlhat statisztikai mutat. A bonyolul-

tabb fggvnygrbe mentn elhelyezked rtkek kapcsolatnak le-rsra a korrelcis egytthat nem alkalmas.

Korrelcis egytthatk brzolsa Ha a pontok nem fekszenek egy egyenes mentn, akkor azt mondjuk, hogy nincs korre-

lci kzttk (r=0), vagy gyenge korrelci van kzttk (r kzel van 0-hoz). Ha a pon-tok egy egyenes mentn fekszenek, akkor r kzel van +1-hez vagy -1-hez, ekkor azt mond-juk, hogy a kt vltoz kztt szoros vagy magas korrelci van. Ha a pontok pontosan rajta vannak egy nvekv egyenesen, akkor r=1, ha pedig egy cskken egyenesen vannak pontosan rajta, akkor r=-1.

Tegyk fel, hogy egy populci vizsglata sorn ki tudtuk szmtani a populcibeli korrelcis egytthatt kt vltoz kztti lineris kapcsolat mrsre.

Ha ez az egytthat 0 lenne, azt mondhatnnk, hogy nincs korrelci a kt vltoz k-ztt. Teht, ha egy mintt vizsglunk, akkor a mintbl szmtott korrelcis egytthat 0-hoz kzeli rtke arra enged kvetkeztetni, hogy nincs korrelci a kt vltoz kztt.

0-tl tvol es (1-hez vagy -1-hez kzeli) rtkek pedig bizonyos korrelci megltre engednek kvetkeztetni. A statisztikai szempontbl el kell tudnunk dnteni, hogy r rtke elg messze van-e 0-tl ahhoz, hogy elg nagy biztonsggal llthassuk, hogy valban fennll.

Korrelci tpusaihoz kapcsold vizsglatok:

Pearson-korrelci, a normlis eloszls, normalitsvizsg-lat

rangkorrelcis egytthatk (Kendall, Spearman)

szm- s kategria-rtk vltozk kapcsolata (Mann-Whitney, Friedman statisztika)


46

maximl korrelci, kategria-rtk vltozk kvantifikcija

11. bra: Ktoldalas two tailed korrelci

A korrelci vizsglat sorn meghatrozhat, hogy a szls rtkeket a vizsglatba be kell-e vonni. Mivel az eredmny akkor szignifikns, ha a p < 0,05, ezrt a vizsglat sorn kijellhet hogy a a minta szls 2,52,5%-a vizsglatra kerl-e.

12. bra: Egyoldalas one tailed korrelci

Pearson-fle korrelcis egytthat. (Karl Pearson, 1857-1936).

Gyakori elnevezse szorzat momentum korrelcis egytthat. Az egytthat jele r s a mrsek kztti lineris kapcsolat szorossgt mri. Paramteres korrelcis egytthat, mrtkegysge nincs.


47

Spearman-fle s Kendall-fle rangkorrelcis egytthat

A Spearman-fle s Kendall-fle rangkorrelcis egytthat kt rangsor kztti egyezs mrszmt adja, alkalmazsa elssorban nagyobb mintknl ajnlott. Nem paramteres korrelcis egytthat, mely kt vltoz kztti lineris kapcsolat elemzsre alkalmas.

Parcilis korrelcis egytthat alkalmazsa

A tbbdimenzis minta vltozi kztti kapcsolat kimutatsa a cl. A mrs sorn a fgg s egy meghatrozott fggetlen vltoz kztti korrelci mrst valstjuk meg, gy hogy minden ms vltozt konstansnak tekintnk.

5.5.1 Korrelcianalzis

A korrelcianalzist tbb vletlen vltoz kztti kapcsolat erssgnek elemzsre szolgl. A vizsglt vltozk szma kettnl tbb, azonban a korrelci szmtsa pronknt trtnik. A vizsglat sorn felttelezett, hogy a valsznsgi vltozk (x, y,) normlis eloszls, s a kzttk lv lineris sszefggs mrtkt a korrelcis egytthat mutat-ja, melynek jele r. A korrelcis egytthatk rtke , a hatrokat is belertve -1 s +1 kz eshetnek. Abban az esetben, ha r pozitv, akkor y egytt nvekszik vagyis egyttjrs mu-tathat ki az x-szel, ellenkez esetben cskkens. ha a korrelcis egytthat (r) negatv ellenttes irny a vltozs. Amennyiben az r rtke 1, x s y kztt a kapcsolat fgg-vnyszer, amelynl minden pont egy egyenesen helyezkedik el. Ha r=0 vltozk, ill. is-mrvek korrellatlanok.

5.6 SSZEFOGLALS

A fejezet rmutat arra, hogy az intervallum s arnyskla tpus vltozk esetn a fg-getlen s a fgg vltozk kztti kapcsolat meglte s erssge a korrelci szmts alkalmazsval mutathat ki. Ha kettnl tbb vltoz kapcsolatt elemezzk, az eljrst korrelcianalzisnek nevezzk.

5.7 NELLENRZ KRDSEK

1. rtelmezze a korrelcis egytthat rtke s a vltozk kztti kapcsolat erss-gt.

2. rtelmezze a korrelci fogalmt s mutasson r ez egyoldalas- s ktoldalas kor-relci-elemzs jellemzire.


48

6. HIPOTZISVIZSGLAT. PARAMTERES PRBK, NEM PARAMTERES PRBK

6.1 CLKITZS

A paramteres prbk sorn a mintk hipotziseinek bizonytsa a T-prba vizsglattal trtnik. Egymints T-prbt akkor alkalmazzuk, ha az adatok ugyanazon csoport tagjaitl szrmaznak, ezt nkontrollos mrsnek nevezzk. Abban az esetben, ha a mrt adatok ugyanazon populci ms-ms mintjtl ered, ktmints T-prbt kell vgezni, melyet kontrollcsoportos vizsglatnak neveznk.

Nem paramteres prbk esetben a hipotzist kereszttbla elemzssel vizsgljuk.

6.2 TARTALOM

Paramteres s nem paramteres prba jellemzi Egymints T-prba Ktmints T-prba F-prba


A kutats sorn feladat bizonytani, hogy a fggvltoz eredmnyeit a vletlentnye-zk befolysoltk vagy nem. Meg kell klnbztetni paramteres s nem paramteres pr-bt (xnia.sote.hu)

Abban az esetben, ha bizonythat, hogy az eredmnyek nem a vletlen mve a szignifikancia szint alapjn ltalnosthat a populci egszre. A kt minta kztti k-lnbsg bizonytst, a nullhipotzis elvetst a T-prba alkalmazsval vgezzk.

6.3.1 Paramteres s nem paramteres prba jellemzi

Az intervallum s az arnyskla mrt adataibl az tlag, szrsngyzet, szrs

szmolhat s rtelmezhet. Ennek alapjn azokat a mdszereket, amelyek ezen szrmaztatott paramterek matematikai logikai elmletn alapulnak, paramteres mdszereknek nevezzk (xenia.sote.hu).

Jellemzi: Az eljrs felttelezi a vizsglt vltoz ismert eloszlst (ltalban normleloszls),s a

hipotzis megfogalmazsa sorn a kutat az adott eloszls valamelyik paramterrl llt valamit

Elnye: elmleti httere ismert, feltteleik teljeslse esetn erejk nagy Htrnya: elmletileg megkvetelt a vltozk eloszlsa s mrsi szintje

Nominlis mrsi szint vltozk esetn nem hasznlhat

Ordinlis vltozk esetn, korltozsokkal alkalmazhat, ha nem ll rendelkezsre megfelel nem-paramteres prba.

A nominlis s ordinlis sklkon nincs rtelme az tlagot, szrsngyzet, szrs rtel-mezsnek. Azokat a mdszereket, amelyeknek nem felttele, hogy az adatokbl tlag s


49

szrs szmolhat, rtelmezhet legyen, nem-paramteres mdszereknek nevezik. Jellem-zi:

Nem szksges a populci paramtereinek (pl. tlag) becslse.

A vizsglt vltoz nem kell, hogy elmleti eloszlst k-vessen.

Elnyei: alkalmazsa kevesebb felttelhez kttt, gy annak eslye hogy alkalmazsa hiba, kisebb.

Alkalmazhat nominlis s ordinlis vltozkon. Htrnyai: ereje kisebb, mint a paramteres megfelelinek (a felttelek teljeslse ese-

tn), nem jelents a klnbsg (kb. 5%). Tbb esetben a parametrikus tesztnek nincs meg a nem-parametrikus megfelelje, els-

sorban az elmleti httr bonyolultabb volta miatt. Ezek tipikus esetei:

A 2-prba

MannWhitney-prba (U-prba) hasonl esetekben hasz-nlhat, mint a fggetlen T-prba. Alkalmazsa sorn az eljrs a fgg vltoz kategriinak abszolt rtkei helyett a helyezsi sorrendbl (rang, rank of cases) indul ki.

5. tblzat: Eljrsok alkalmazsa

Feladat Paramteres Nem-paramteres

tlagok sszehasonltsa Egymints T-prba Ktmints T-prba

2-prba MannWhitney-prba

Wilcoxon-prba

Szrsngyzetek sszehasonltsa

Varianciaanalzis KruskalWallis-prba

6.3.2 Egymints T-prba

A T-prbk alkalmazsnak felttele A T-prba kt minta megllapthat tulajdonsgai kztti klnbsg szignifikan-

cijnak szmszerstst szolglja. A szrs rtelmezse alapjn a szmtani kzprtktl kt szrsterjedelmt rtelmezve, a kapott rtktartomny az elemek 96%-t magba fog-lalja s a T-prba alapjt kpezi a vizsglt minta szmnak figyelembevtelvel.

A vizsglat annl megbzhatbb s pontosabb, minl na-gyobb a vizsglt minta szma.

Ha a vizsglt mintk szmtani kzprtknek klnbsge nagyobb, mint azok eloszls szrsainak ktszerese, akkor a vizsglt mintk szmtani kzprtk kztti klnbsge szignifikns.

6.3.3 Egymints T-prba alkalmazsi felttelei

Az egymints T-prbt akkor kell alkalmazni, ha a mrsi

eredmnyek ugyanazon szemlyek klnbz felmrsbl szr-maznak, vagyis nkontrollos felmrsek sorn.


50

Plda az egymints T-prba alkalmazsra:

Szakmai tovbbkpzs sorn, a kurzus elejn a hallgatk kiindulsi ismeretnek diag-nosztizlsa cljbl felmr tesztelst clszer vgezni. A hipotzis termszetesen a tan-anyag eredmnyes elsajttst felttelezi. A kurzuson clszer folyamatosan figyelni, hogy a hallgatk lpst tudnak-e tartani a tananyag elsajttsval. Teht clszer a to-vbbkpzs kzben s a vgn felmr teszttel meggyzdni tudsukrl. Ebben az esetben a kitlttt tesztek eredmnyei kztti klnbsgek szignifikanciaszintjnek meghatrozsa az egymints T-prba alapjn trtnik.

A szmols menete a kvetkez sszefggs alapjn trtnik:

ns

zt '

ahol:

t az egymints T-prba rtkt jelli, z az utmrs (y) s az elmrs eredmnyeinek klnbsge:

zi=yi-xi

A z szmtani kzprtkt az albbi mdon hatrozhat meg:

n

xy

z

n

i

ii

1

)(

A klnbsgrtkek szrsa az albbi kplet alapjn trtnik:

1

)(1

2

n

zz

s

n

i

i

A fentiekben bemutatott egymints T-prba kiszmtshoz tekintsk t az albbi fel-mrst tartalmaz tblzatot, mely a szakkpzsek sorn alkalmazott szmtgppel seg-tett tanuls eredmnyessgt mri. A tblzatban bemutatott eredmnyek alapja az oktats elejn s a vgn kitlttt felmr teszt rszeredmnyei (nkontrollos felmrs).

6. tblzat A plda adattblzata

xi yi zi=yi-xi z-zi (z-zi)2

0 34 34 -3,3 10,89

2 32 30 0,7 0,49

0 32 32 -1,3 1,69

0 32 32 -1,3 1,69

0 33 33 -2,3 5,29

0 32 32 -1,3 1,69


51

0 26 26 4,7 22,09

0 33 33 -2,3 5,29

0 27 27 3,7 13,69

0 27 27 3,7 13,69

0 32 32 -1,3 1,69

0 34 34 -3,3 10,89

0 30 30 0,7 0,49

0 23 23 7,7 59,29

0 31 31 -0,3 0,09

2 36 34 -3,3 10,89

0 33 33 -2,3 5,29

0 31 31 -0,3 0,09

0 31 31 -0,3 0,09

0 29 29 1,7 2,89

614

1

z

i

iz

2,168)(

2

1

n

i

izz

A tovbbiakban a fenti kpletek alapjn a szmts menete:

7,3020

614)(

20

1

n

xy

z iii

97,219

2,168

1

)(1

2

n

zz

s

n

i

i

9,572037,2

7,30' ns

zt

Az egymints T-prba rtknek szignifikancia vizsglata sorn a kvetkeztetseket nemcsak a mintra, hanem a minta ltal reprezentlt populcira vonjuk le az eredmnyek alapjn.

A legalbb 95%-os valsznsgi szint esetn, az llts alapjn, ha a kt klnbz szmolt szmtani kzprtk kztt a kapcsolat szignifikns, a kapott eredmnyek ennek kvetkeztben nem a vletlen mvei.

Az egymints T-prba szabadsgfoka a minta szmnl eggyel cskkentett rtke, vagyis: szf=n-1

A statisztikai knyvekben t eloszls valsznsgi szintjeinek tblzata (Falus I, Oll J., 2006. 336 o.) tartalmazza a minta szabadsgfoknak megfelel sorban s a kvnt valsz-nsgi szintet figyelembe vett oszlopban a ttblzat rtkeit.


52

7. tblzat: A mintafeladat eredmnyei (egymints T-prba)

Szabadsgfok szf

90%

p=0,10

95%

p=0,05

99%

p=0,01

99,9%

p=0,001

19 1,729 2,093 2,861 3,883

A vizsglat sorn a szmtott t-rtket sszehasonltva a ttblzat rtkvel:

Ha t > ttblzat a klnbsg nem a vletlen mve,

Ha t < ttblzat a klnbsg a vletlen mve A bemutatott minta alapjn a tblzatbl kiolvashat, hogy a ttblzat < t, mivel a sz-

molt rtk 57,9 lett amely jval nagyobb a tblzat 99,9% valsznsgi rtkt figyelembe vve is. Teht ennek alapjn megllapthatjuk, hogy a szmtgppel segtett tovbbkpzs eredmnyessgt.

6.3.4 Ktmints T-prba s az F-prba

A ktmints T-prbt akkor alkalmazzuk, ha arra keresnk vlaszt, hogy a kt egyms-tl fggetlenl vett minta szrmazhat-e azonos tlag populcibl.

Kt klnbz minta, a kontrollcsoportos felmrs esetben alkalmazzuk, annak bizo-nytsra, hogy a kt csoport teljestmnybeli klnbsge nem a vletlen mve.

A ktmints T-prba azonban csak akkor vgezhet el, ha a kt csoport variancia rt-kei kztt nincs nagy klnbsg, melyre az F-prba vizsglat ad vlaszt a variancia-ngyzetek hnyadosnak elemzssel.

Az F-prba

Az F-prba a variancia ngyzetek hnyadosa, melynek kplete:

2

2

2

1

s

sF

A fenti kplettel kontrollcsoportos vizsglat sorn egy n1 s n2 elem minta esetben alkalmazhat a hipotzis igazolsra, melynek szrsrtkei s1 s s2 ahol, s1 > s2. A sz-mtott F rtket a 2. sz. tblzat rtkeivel sszevetve, a kvetkez lehetsgekkel kell szmolnunk:

Ha Fszmolt>Ftblzat, akkor a vizsglatban rsztvev mintk variancija lnyegesen klnbzik egymstl, a ktmints T-prba elvgzsre nincs lehetsg. Ebben az esetben ms mdszert kell keresni, pl. a Welch-prbt (hasonl mint a ktmints T-prba, de nem kveteli meg a variancik egyenlsgt).

Ha Fszmolt


53

A ktmints T-prba szmtsa

A szmols menetnek szmszerstse a kvetkez sszefggs alapjn trtnik:

mn

mn

mn

yyxx

yxt

m

i

n

i

i

2

)()(1

2

1

2

A szignifikanciavizsglat szabadsgfoka szf = n+m-2. A kapott eredmny alapjn rt-kelhetjk a vizsglt mintk ltal elrt teljestmnyt.

A ktmints T-prba kiszmtshoz pldaknt tekintsk t az albbi felmrst tartal-maz tblzatot, mely a szmtgppel segtett tanuls megkezdsekor s a vgn kitlttt felmr teszt rszeredmnyei alapjn kszlt, kontrollcsoportos felmrssel:

8. tblzat A mintafelmrs adatai

x i )( ixx

2)( ixx iy )( iyy

2)( iyy

2 3,05 9,30 34 -3,1 9,61

7 -1,95 3,80 32 -1,1 1,21

2 3,05 9,30 32 -1,1 1,21

13 -7,95 63,20 32 -1,1 1,21

6 -0,95 0,90 33 -2,1 4,41

4 1,05 1,10 32 -1,1 1,21

0 5,05 25,50 26 4,9 24,01

3 2,05 4,20 33 -2,1 4,41

3 2,05 4,20 27 3,9 15,21

3 2,05 4,20 27 3,9 15,21

9 -3,95 15,60 32 -1,1 1,21

2 3,05 9,30 34 -3,1 9,61

9 -3,95 15,60 30 0,9 0,81

0 5,05 25,50 23 7,9 62,41

0 5,05 25,50 31 -0,1 0,01

13 -7,95 63,20 36 -5,1 26,01

9 -3,95 15,60 33 -2,1 4,41

5 0,05 0,00 31 -0,1 0,01

0 5,05 25,50 31 -0,1 0,01

11 -5,95 35,40 29 1,9 3,61

05,5x 618

1

n

i

iy

8,185)(1

2m

i

iyy


54

9214,18,185

0,3572

2

2

1

s

sF

Ftblzat = 2,14

Mivel az F < Ftblzat, a vizsglt mintk variancija nem klnbzik egymstl lnyege-sen, teht a vizsglatot a ktmints T-prba segtsgvel folytathatjuk az albbiak szerint:

6,5

2020

2020

22020

185618

05,59,30

2

)()(1

2

1

2

mn

mn

mn

yyxx

yxt

m

i

n

i

i

sszehasonltva a szmolt rtket t'' rtkt az albbi tblzat szf=20+20-2=38 szabad-sgfokhoz tartoz rtkkel, megllapthat, hogy mg 99%-os valsznsgi szintnl is

szmolttt''

.

9. tblzat: A mintafeladat eredmnyei (ktmints T-prba)

Szabadsgfok

szf

90%

p=0,1

95%

p=0,05

99%

p=0,01

30 1,679 2,042 2,750

40 1,684 2,021 2,704

Ennek alapjn megfogalmaz

kutatasmodszertan pdf

Documents