kvant 2000-2009

8/22/2019 KVant 2000-2009

1/114

Tp ch Kvant cc nm 2000-2009Tuyn tp bi ton

Nguyn Tun Minh

Minsk, 07-2010

VIETMATHS.COM - KINH TOAN HOC

8/22/2019 KVant 2000-2009

2/114

Mc lc

Li gii thiu Trang 004

Kvant s 01-2000 Trang 005Kvant s 02-2000 Trang 007Kvant s 03-2000 Trang 009Kvant s 04-2000 Trang 011Kvant s 05-2000 Trang 013Kvant s 06-2000 Trang 016

Kvant s 01-2001 Trang 018Kvant s 02-2001 Trang 020

Kvant s 03-2001 Trang 022Kvant s 04-2001 Trang 024Kvant s 05-2001 Trang 025Kvant s 06-2001 Trang 027




8/22/2019 KVant 2000-2009

3/114





Kvant s 01-2009 Trang 103Kvant s 02-2009 Trang 105Kvant s 03-2009 Trang 107Kvant s 04-2009 Trang 109Kvant s 05-2009 Trang 111Kvant s 06-2009

Trang 113

8/22/2019 KVant 2000-2009

4/114

LI GII THIU

tng cho vic ra i tp ch Kvant c xut bi vin s Piotr LeonhidovichKapisa vo nm 1964. V b tm c s ng h nhit tnh vi nhng thnh vintch cc l nhng bn tr trong nhng nm y hc tp ti cc nhm Ton-L cakhi ph thng chuyn trong cc trng i hc ln, t trong cc cuc thi olympicca ton lin bang X Vit, trong cc nhm hc h ca hc sinh ph thng. Vo nm1970 c m y thnh hin thc. Tp ch Kvant n tay bn c trn ton Linbang X Vit. Trng ban bin tp u tin l vin s Issac Konstantinovich Kikoin,ph trng ban bin tp l vin s Andrei Nikolaievich Kolmogorov. V th l Kvantdn tr tp ch khoa hc ph thng Ton-L ni ting trn th gii c s lng bn

c ng o trong c bn c Vit Nam. Cho n u nm 1990 tp ch ra hngthng vi khong 250-350 nghn bn in. Ngy nay tp ch ra hai thng mt s, s bnin cng gim i rt nhiu. Tuy nhin cc cng tc vin v ban bin tp n lc rtnhiu khng ngng ci thin hnh thc v ni dung ca Kvant. Nhng ti liu v bivit c xut bn trn tp ch trong sut 30 nm nay c th xem l v cng qu gi.Khng t ln ngi ta c dp hi cc nh khoa hc tr, nhng ngi t c nhiuthnh tch trong khoa hc, v nhng nh gio ln rng: "iu g cho php bn lachn ngh nghip v chuyn ngnh ca mnh?". V gn nh tt c cc cu tr li uging nhau : "Cc thy gio ph thng, nhng ngi c nim say m n chuyn mnca mnh v tp ch Kvant". Mc d ang gp rt nhiu kh khn tuy nhin Kvantvn lun l mt tp ch khoa hc ph thng ph bin v c cc bn tr, thy c v

cc nh khoa hc, nh gio dc hc quan tm. Kvant tht s l ngun ti liu b chcho bt k ai am m Ton hc v Vt L.

Bn dch ny bao gm khong hn 400 bi ton S hc, Ri rc, Hnh hc, is, v Gii tch hp dn trong mc k ra ny ca tp ch Kvant trong sut 10 nmgn y nht vn ang c chia s v tho lun ti din n Mathvn.org. Hi vngy s l mn qu mang nhiu ngha gi n ng o cc bn tr yu Ton vthy c gio ph thng ti Vit Nam, khi m ting Nga khng cn ph bin rng ri,v trong nc t c tip cn vi cc s mi ca Kvant. Tuy c nhiu c gngtrong vic dch thut v son tho nhng c l khng trnh khi nhng thiu st mc

phi trong ti liu ny. Hi vng nhn c nhng nhn xt, gp chn thnh cabn c thng qua a ch email: [email protected] hoc truy cp vo website:http://mathvn.org.

Minsk, ngy 04 thng 07, 2010Nguyn Tun Minh

8/22/2019 KVant 2000-2009

5/114

ra k ny - Tp ch Kvant 01-2000

01 - 2008

M1711. Mt b bch khoa t in gm 10 quyn, chng c sp trn gi hoc lvo ng th t ca n c ghi trn gi sch hoc l ch bn cnh. Hi c bao nhiucch sp t nh vy c th c?D. Kalinin.

M1712. a. Trong mt phng c cc hnh tam gic trong bt k bn tam gicno cng c nh chung. Chng minh rng tt c cc tam gic nh vy u c mtnh chung.b. Trong mt phng c cc hnh ng gic trong bt k ba hnh tam gic no cngc nh chung. Chng minh rng tt c cc ng gic nh vy u c mt nh chung.V. Proizvolov.

M1713. Trn cch cnh BC, CA, AB ca tam gic ABC ly cc im A, B, C

sao cho cc ng thng AA, BB , CC ng quy. Gi D,E,F,D, E, F l trung im

ca cc on AB,BC,CA,A

B

, B

C

, C

A

. Chng minh rng:a. DD, EE, F F ng quy, hn na im ny v giao im ca AA, BB , CC, trngtm ca tam gic ABC cng nm trn mt ng thng.b. Nu AA, BB , CC l cc ng cao ca tam gic ABC th th giao im ca ccng thng DD, EE, F F trng vi tm ng trn Euler ca tam gic ABC.c. Nu AA, BB , CC l cc ng phn gic ca tam gic ABC th th im chungca chng v im chung ca DD, EE, F F, im chung ca cc ng thng i quacc nh tam gic ABC v chia i chu vi ca n nm trn mt ng thng.d. Nu AA, BB , CC l cc ng chia i chu vi tam gic ABC th th im chungca DD, EE, F F trng vi trng tm tam gic ABC.I. Vainchtein.

M1714. Chng minh rng mi phng trnh di ya. (x2 + 1)(y2 + 1) = z2;b. (x2 1)(y2 1) = z2, x = y;c. (x2 + 1)(y2 + 1) = z2, x = y,c v s nghim vi nguyn x,y,znguyn.V. Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

6/114

M1715. Cho cc s t nhin a1, a2,...,an nhn gi tr t 1 n 20 sao cho:

|a1 a2| + |a2 a3| + ... + |a2n1 a2n| + |a2n a1| = 2n2.

Chng minh rng:

|a1 a2| + |a3 a4| + ... + |a2n1 a2n| = n2.

V. Proizvolov.M1716. Trn mt t giy k car n n , ta nh du N vung sao cho mi

vung bt k hoc l c nh du hoc c k cn (chung t nht mt nh)c nh du. Tm gi tr nh nht ca N c th t c.E. Barabanov, N.Voronovich.

M1717. Cho hai ng trn 1 v 2 cha trong ng trn v tip xc vi

ln lt ti M, N. ng trn 1 i qua tm ca ng trn 2. ng thng i quagiao im ca 1 v 2 ct ti A, B. Cc ng thng MA, MB ct 1 ti C, D.Chng minh rng CD tip xc vi 2.P. Kozhevnikov.

M1718. Tm tt c cc hm s f : R R tho mn

f(x f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) 1.

vi mi x, y R.(Nht Bn)

M1719. Cho dy s tho mn cng thc quy:

a1 = 1, an+1 = an +1

ann = 1, 2,...

a. Chng minh rng a100 > 14.b. Tnh [a1000].c. Chng minh s hi t v tm gii hn ca dy {an/

n}

nkhi n .

A.Spivak.

M1720. Cho N khi lp phng bng g ging ht nhau. Chng c dn li saocho bt k hai trong s chng u c mt tip gip c dn li vi nhau (dn ht cmt tip gip hoc mt phn). Chng minh rng gi tr ln nht ca N c th t cl 6.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

7/114


02 - 2008

M1721. C tn ti hay khng cc s t nhin x, y tho mn x2 3y2 = 2000?V. Senberov.

M1722. Cho a, b l hai s t nhin qua im mt ng thng i qua im (a, b)

ct gc to th nht to thnh mt tam gic vung.a. Chng minh rng s im vi to nguyn nm trong hoc trn cnh ca tamgic trn ln hn 2ab + a + b.b. Chng minh rng qua im (a, b) c th dng mt ng thng ct gc to thnht to thnh mt tam gic vung, sao cho trong hoc trn cnh ca tam gic nyc tt c l 2ab + a + b + 1 im vi to nguyn.M. Panov.

M1723. Trn mt phng cho n vector c t v n vector c t xanh cchung mt im gc. Cc vector mu c nh s t 1 n n. Theo th t nh

s cc vector ln lt quay theo chiu kim ng h v chim v tr ca vector muxanh gn nht cha b chim ch cho ti khi cc vector mau xanh b chim ht ch.Chng minh rng tng cc gc quay khng ph thuc vo s nh s ca cc vectormu .V. Proizvolov.

M1724. Trong tam gic ABC cho hai ng cao AD, CE ct nhau ti im O(nh hnh v). ng thng DE ct ng thng AC ti K. Chng minh rng, trungtuyn BM ca tam gic ABC vung gc vi OK.

M. Volchkevich.

8/22/2019 KVant 2000-2009

8/114

M1725*. T mt t giy k car (2n + 1) (2n + 1) , ta ct ra mt hnh F nhhnh v. Chng minh rnga. Hnh F khng th ct ra c thnh 2n hnh li.b. Nu hnh F chia c ra thnh 2n + 1 a gic li th chng phi l cc hnh ch

nht.

V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

9/114


05 - 2008

M1726. Trn mt phng k n ng thng mi ng thng th giao ng vi1999 ng thng khc. Tm tt c cc gi tr c th c ca n.R. Jenogarov.

M1727. Mt ln n Foma v Erema dng mt dy s, u tin trong dy s cmt s t nhin. H ln lt vit vo cc s hng khc nh sau: Foma ti phin camnh th to ra mt s hng bng cch cng thm vo s hng trc s bt k tcc ch s ca n; cn Erema th li tr i ch s trc s bt k t cc ch s can. Chng minh rng cc s hng cho trong dy s c gi tr lp khng t hn 10ln.A. Shapovalov.

M1728. Cc im K, L thuc cc cnh AC,CB ca tam gic ABC v n cngnm trn ng trn bng tip ca tam gic tip xc vi hai cnh ny. Chng minh

rng ng thng i qua trung im ca KL v ABa. chia chu vi ca tam gic ABC thnh hai phn bng nhau,b. song song vi ng phn gic gc ACB .L. Emilianov.

M1729. Dy s t nhin c phn hoch thnh hai dy con v hn ri nhau, saocho b ba bt k thuc mt trong hai dy con th tng ca chng cng thuc dycon ny. Chng minh rng l hai dy cc s t nhin l v dy cc s t nhin chn.V. Proizvolov.

M1730. Gi s cc cnh i din ca t gic li ABCD ct nhau ti M, K (nh

hnh v). Qua giao im O ca hai ng cho k ng thng song song vi M K.Chng t rng on thng thuc ng thng ny nm trong min trong ca a gicb chia lm hai phn bng nhau bi im O.

8/22/2019 KVant 2000-2009

10/114

M. Volchkevich.

M1731. C mt dy 60 du sao. Thay tng cp 2 du sao cc v tr bt k bngmt ch s, lm nh lin tip cho n khi nhn c dy c 60 ch s. Hi c cch

thay sao cho nhn c s chia ht cho 13 hay khng.N. Vacilev, B. Ginzburg.)

M1732. a. Cc tp hp A, B nm trn mt ng thng cha n im. Nu nhs tt c cc b ba im ca tp hp A theo mt th t no (tc l mi b ba imcho ng vi mt s, nh theo dy s t nhin), th tt c cc b ba im ca tp Bc th nh s theo mt th t sao cho bt k hai b ba no ca A v B c s gingnhau th trng nhau. Chng minh rng A, B trng nhau.b. Khng nh trn c cn ng nu thay b ba im bng cp hai im.V. Proizvolov.

M1733. Xt hm lin tc f(x) sao cho f = f1 v f(0) = 1. Chng t

1

0

|x f(x)|dx =1

2.

K. Kaibkhanov.

M1734. Chng t rng phng trnh

sin x

x

= cos x trn khong (0,

2) v

nghim vi 3 v c nghim duy nht vi > 3.V. Senderov.

M1735*. a din li c su nh nm trn cc trc dng ca h trc ta Oxyz. Chng minh rng 8 hnh chiu ca gc O ln cc mt ca a din nm trn mtmt cu.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

11/114


05 - 2008

M1736. S ln nht cc con m l bao nhiu c th sp xp chng trn mtbn c 5 5 sao cho mi con m n ng 2 con khc.M. Gorelov.

M1737. Cc dy cung AC v BD ca ng trn tm O ct nhau ti im K(hnh di). Cc im M, N l tm cc ng trn ngoi tip cc tam gic AKB vCKD. Chng t rng OMKN l hnh bnh hnh.

A. Zaslavskij.

M1738. T mt c bi rt ra 7 l v cho tt c mi ngi xem. Sau xo li ccqun bi v phn u chng cho hai ngi chi v gi li mt l. Hai ngi chi lnlt c mt mnh ng c cha thng tin v mt qun bi no ca mnh. Hihai ngi chi c cch cng b thng tin v cc qun bi sao cho ngi ngoi khngth bit c bt k mt qun bi m sau khi xo ang c ai trong hai ngi chi

gi, nu:a. L bi gi li b giu kn.b. L bi gi li c a cho mt ngi ngoi bit.A. Shapovalov.

M1739. Gi sA l mt ch s chn bt k, B l mt ch s l bt k. Chng trng tn ti mt s t nhin b chia ht bi 22000 sao cho mi ch s ca n hoc l Ahoc l B.I. Akulich.

8/22/2019 KVant 2000-2009

12/114

M1740. Cho cc s t nhin a,b,c sao cho a2+b2+c2 = (ab)2+(bc)2+(ca)2.Chng t rng mi mt cc s ab, bc, ca v ab + bc + ca l s chnh phng.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

13/114


05 - 2008

M1741. Vi mi s t nhin t 000000 n 999999, ta lm nh sau: nhn ch chs u tin vi 1, nhn ch s th 2 vi 2,v.v..., nhn ch s sau cng vi 6 nhnc mt s mi. Hi c bao nhiu s mi nhn c chia ht cho 7.N. Vacilev, B. Ginzburg.

M1742. Vit cc s t nhin vo mt bng vung n n , sao cho hai s bt knu k nhau theo hng hoc ct th sai khc nhau 1 n v. Chng t rng tn ti mts t nhin sao cho hoc l mi hng hoc l mi ct ca bng vung u c cha n.V. Proizvolov.

M1743. Tnh tng

1

3

+

2

3

+

22

3

+ ... +

21000

3

.

( y [a] l k hiu phn nguyn ca s a)A. Golovanov.

M1744. Trn mt bn hnh ch nht t nhng tm ba vung vi k mu sckhc nhau, sao cho cc cnh ca chng song song vi cc cnh ca chic bn. Trong ktm ba c mu khc nhau th bt k 2 trong s cc tm ba c th ng vo bnbng 1 ci inh. Chng t rng c mt mu no sao cho tt c cc tm ba muny c th ng vo bn bi 2k 2 ci inh.V. Dolnikov.

M1745. Mt bn c 2n 2n t cc qun c mu trng v en vo nhng trno . u tin ngi ta ly ra khi bn c tt c cc qun en nm mt ct vimt qun trng, sau tip tc ly ra tt c cc qun trng m cng hng vi mtqun en trong nhng qun en cn li. Chng minh rng hoc l cc qun en hocl cc qun trng cn li trn bn c khng nhiu hn n2

S. Berlov.

M1746. Trn mt ng trn t n im c t xanh v n im c t saocho chng chia ng trn ra lm 2n cung bng nhau. Mi im mu l trung imca cung vi 2 im mu xanh lm u mt. Chng t rng mi im mu xanh cng

8/22/2019 KVant 2000-2009

14/114

ng thi l trung im ca cung vi 2 im mu lm u mt.V. Proizvolov.

M1747. ng trn ni tip tam gic ABC tip xc vi cc cnh ca n ti cc

im A, B, C. Qua im P l im ng quy ca cc ng thng AA, BB , CCdng 3 ng trn sao cho mi ng trn tip xc vi 2 cnh ca tam gic. Chngminh rng:a. Su tip im ca 3 ng trn trn vi cc cnh tam gic ABC nm trn mtng trn c tm trng vi tm ng trn ni tip tam gic ABC.b. Cc ng cho chnh ca lc gic to bi su tip im ny ng quy ti P.c. Cc im giao th hai ca su ng trn i qua P nu trn nm trn cc ngthng AA, BB , CC.A. Zaslavskij.

M1748. Trn mt phng ly 100 im khc nhau sao cho khng c 3 im nocng nm trn mt ng thng. Xt tt c cc cch t mu cc im ny bng 2mu. Mt cch t mu c gi l "khng th chia ct", nu nh khng tn ti bt cng thng no cho cc im vi cc mu khc nhau nm hai na mt phngkhc nhau. Chng minh rng s cc cch t mu "khng th chia ct" khng phthuc vo cch t cc im.G. Chelnokov.

M1749. Xt dy t nh sau, t u tin l A, th hai l AB, th ba l ABA, tht l ABAAB, th nm l ABAABABA, v c th theo quy lut nh sau: t tiptheo nhn c nh t k trc bng cch thay mi mu tA bng AB v B bng A.

a. Chng t rng mi t trong dy t ny, bt u t l t th 3 c th nhn cnh vit gp hai t lin trc v k trc na ca n. (Th d ABAABABA lgm tABAA cng vi ABA.)b. t a1 = 1, b1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, b2 = 5, a4 = 6. b3 = 7, a5 = 8, a6 = 9, b4 = 10v ni tng qut an bn xc nh theo v tri ca mu t A v B trong chui t vhn: ABAABABAABABAABABA... sinh ra theo quy tc cu a). Chng t rngbn = n + an.c. Xt mt dy t khc: A, AB, ABAA, ABAAABAB, ABAAABABABAAABAA,...sinh ra theo quy tc t sau sinh ra nh t trc bng cch thay cc mu tA bngAB v B bng AA. Chng t rng s tng ng vi v tr ca mu tB thn ln hn2 ln s tng ng vi v tr ca mu t B thn, trong chui t v hn sinh ra biquy tc trn: ABAAABABABAAABAAABAAABABABAAABAB...L. Kolanov.

M1750. a. Cho 6 t giy hnh vung, m mi cnh ca mi t giy c di l 1.em dn chng ln ton b b mt ca khi lp phng vi cnh di l 1. Chngt rng c th tm c mt t giy hnh vung sao c dn ln ton b mt mt no ca khi lp phng.b. Cho 4 t giy c dng tam gic u vi mi cnh c di l 1. em dn chng lnton b b mt ca mt khi t din. Hi c phi nht thit l lun tm c mt t

8/22/2019 KVant 2000-2009

15/114

giy dn ln ton b mt mt no ca t din hay khng.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

16/114


05 - 2008

M1751. Hai t n thit lp mt h thng hng khng chung. T mi thnh phca mt t nc ny c th bay thng n ng k thnh ph ca t nc kia (khngcn chuyn sn bay) v bt c hai thnh ph no ca hai t nc u lin thng cvi nhau nh ng hng khng (c th qua sn bay trung gian). Do khng hong ti

chnh nn ngi ta buc phi ng ca mt ng bay. Chng t rng lc ny t btk mt thnh ph ny vn c th bay n bt k mt thnh ph khc (c th qua snbay trung gian) hai t nc .O. Melnikov.

M1752. C bao nhiu cch sp xp 8 qun xe vo cc en ca bn c vuasao cho chng khng n ln nhau.V. Proizvolov.

M1753. ng trn ni tip tam gic ABC tip xc vi cc cnh ca n ti ccim A, B, C v im L l trung im ca on AB (nh hnh v). Chng t rngtam gic ALB t.

A. Zaslavskij.

M1754*. Mi s hng ca dy s t nhin c t mu en hoc trng (c v ss hng c t en cng nh t trng). Chng t rng tm c mt dy tng v hncc s hng en a1, a2,..., an...sao cho dy:

a1,a1 + a2

2, a2,

a2 + a3

2, a3,...,an,

an + an+1

2, an+1,...

8/22/2019 KVant 2000-2009

17/114

c cc s hng cng mu.V. Vacileva, Y. Protasov.

M1755*. C 10 ci khn n hnh vung, din tch ca mi ci bng 1 v mt ci

bn hnh vung c din tch l 5. Chng t rng co th ph ci bn vi 2 lp khn n(cc khn n c th k mp nhau nhng khng c t on).V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

18/114


07 - 2008

M1756. Cho cc s t nhin khc nhau sao cho vi 3 s bt k th c 2 s m sny chia ht cho s kia. Chng t rng, tt c cc s c th t bng 2 mu sao chonu hai s cng mu th mt s ny chia ht cho mt s kia.E. Cherepanov.

M1757*. Mt a gic li c th b ct ra thnh 22 hnh bnh hnh. Chng t rnga gic ny cng c th b ct ra thnh 15 hnh bnh hnh.V. Proizvolov.

M1758. Mi ngh s u c t l ng h ca mnh. Giai on u sau khi buchn, mi ngh s nm trong mt ng, m trong ng ta c th kim k c t lng h ca mnh. Ngh s c th chuyn t mt ng sang mt ng khc m tl ng h tng ng ca anh ta tng ln. Gi s trong mi giai on ch c th xy ramt ln chuyn nh vy. Chng t rng sau giai on cui cng th cc s chuyn it l ng h nh vy cng kt thc.V. Ilichev.

M1759. C mt tam gic nhn vi cnh b nht l c i din vi gc tng ngl . Bit rng tam gic c th t bng 2 mu sao cho khong cc gia hai im cngmu khng ln hn c. Chng t rng 36.A. Evnin.

M1760. Bng vung n n gi l "k l" nu tha mn tnh cht: bt k n sno ca bng sao cho bt k hng v ct no ca bng u c cha mt mt s trongchng th cc s ny cho mt tng c nh. Chng t rng mi bng vung k l c th

biu din thnh tng hai bng vung khc sao cho mt trong chng th trong mi ctcc s u bng nhau, ci cn li th trong mi hng cc s u bng nhau. Th d:

3 4 16 7 45 6 3

=

2 3 02 3 0

2 3 0

+

1 1 14 4 4

3 3 3

.

V. Proizvolov.

M1761. Mt o thut gia c 100 tm phiu, c nh s t 1 n 100. ng tasp xp cc tm phiu ny vo ba chic hp mu , trng v xanh sao cho trong mi

8/22/2019 KVant 2000-2009

19/114

hp c t nht mt qun bi. Mt khn gi chn ra hai chic hp v rt ln lt tmi chic hp mt tm phiu v c cho mi ngi bit tng cc s ghi trn chng.Khi bit tng ny, o thut gia ngay lp tc xc nh c chic hp no khng ctm no b rt ra. Hi c bao nhiu cch sp xp cc tm phiu vo cc hp cho tr

o thut ny lun thnh cng?(Hungaria)

M1762. Tn ti hay khng s t nhin n sao cho n c ng 2000 c s nguynt khc nhau v 2n + 1 chia ht cho n?V. Senderov.

M1763*. Gi sCH1, CH2, CH3 l cc ng cao ca tam gic nhn ABC. ngtrn ni tip trong tam gic ABC tip xc vi cc cnh ca n ti cc im T1, T2, T3tng ng. Cc ng thng l1, l2, l3 l nh ca cc ng thng H2H3, H3H1, H1H2

qua cc php i xng vi cc trc tng ng T2

T3

, T3

T1

, T1

T2

. Chng t rng ccng thng l1, l2, l3 to thnh mt tam gic vi cc nh nm trn ng trn nitip tam gic ABC.T. Emelianova.

M1764. Gi s hm s f : [0, 1] R tha mn iu kin: f(0) = 0, f(1) > 0, fn iu tng trn [0, 1] v vi bt k x1, x2 [0.1] sao cho x1 + x2 [0, 1] th c btng thc sau

f(x1) + f(x2) f(x1 + x2)

Chng t rng, khi dy s

sn = f(1) + f

12

+ f

13

+ ... + f

1n

, n = 1, 2, 3...

khng b chn.V. Popov.

M1765. Cc cnh ca mt t din u bng 1. Cho cc trng hpa. Trn cc cnh c 5 im c nh du.b. Trn cc mt c 9 im c nh du.c. Trong t din c 9 im c nh du.Chng t rng trong mi trng hp lun tm c hai im c nh du sao chokhong cch gia chng khng vt qu 0,5.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

20/114


07 - 2008

M1766. Trn mt bn c vua v hn c mt qun hu v mt qun vua khcmu, sao cho qun vua khng c i theo ng cho. Chng c i ln lt. Cth hay khng trng hp qun vua khng sm th mun cng b chiu tng.A. Shapovalov.

M1767. Trong hnh vung ABCD ly hai im P, Q sao cho P AQ = P CQ =45 (Xem hnh). Chng minh rng P Q2 = BP2 + QD2

V. Proizvolov.

M1768. a. Phn b cc s 1,2,3,...,100 trn mt hng theo mt th t sao chomt vi bt k (khng phi tt c) t nhng s ny c tng cc ch s th t khngtrng vi tng cc gi tr ca chng.b. Trn cc gh trong mt chic xe in gm, cc hnh khc c th ngi bt c v tr

no m h mun. Tng kt li tt c cc gh c ngi ngi th vi mt nhm khngnhiu hn 100 hnh khch bt k th trung bnh cng cc ch s ghi trn cc gh mh ngi ln hn 1 n v so vi trung bnh cng cc s ghi trn v ca h. Hi s ghti thiu c th c l bao nhiu?S. Tokarev.

M1769. 2n u mt ca cc dy cung khng giao nhau phn chia ng trnthnh 4n cung bng nhau. Chng t rng gia cc dy cung ny tn ti 2 dy cungsong song vi nhau.

8/22/2019 KVant 2000-2009

21/114

V. Proizvolov.

M1770. Cho trc mt a thc bc 10 vi cc h s l cc ch ci. Hai ngi thayln lt h s ch ci bt k thnh bi mt h s ch s. a thc nhn c l A(x).

t a1 = max A(x) vi x [1, 0], v a2 = max A(x) vi x [0, 1]. Nu a1 > a2 thngi chi u tin thng, nu a1 < a2 th ngi cn li thng. Hi ai l ngi chinthng trong tr chi ny?N. Vasilev, B. Ginzburg.

8/22/2019 KVant 2000-2009

22/114


07 - 2008

M1771. Chia s 111...11 (c 3n ch s 1) cho 3n nhn c s M. Chng t rngM nguyn v n c th phn tch thnh n nhn t khc nhau.D. Mamediarov.

M1772. Mi s a1, a2,...,a2n, a2n+1 bng 2, 5 hoc 9 v a1 = a2n+1, hai s lin tipnhau th phi khc nhau. Chng minh ng thc:

a1a2 a1a3 + a3a4 ... + a2n1a2n a2na2n+1 = 0.

V. Proizvolov.

M1773. Chiu cao CD v phn gic AE ca tam gic vung ABC (C = 90)ct nhau ti F. t G l giao im ca ED v BF. Chng t rng din tch ca tgic CEGF v tam gic BDG bng nhau.Y. Jyk.

M1774. c vua ca mt t nc c tch n mi cc tn n tht ngi trong tnc ca mnh n d yn tic. Gia chng c nhng tn mun n nhng tn n thtngi khc (nu nh tn n tht ngi A mun n tn n tht ngi B th khng chcsuy ra c B mun n A). Bit rng mt dy c lp nhng tn n tht ngi saocho tn th nht mun n tn th hai, tn th hai mun n tn th ba,.. th c diln nht l 6. Chng t rng c vua c th sp nhng tn n tht ngi ny vo 6phng sao cho trong mi phng khng c ai mun n tht ai c.O. Melnikov.

M1775. a. Tn ti hay khng mt hnh vung m tt c cc nh v tt c cctrung im ca cc cnh ca n nm trn hyperbol xy = 1?b. Chng t rng tn ti v hn cc hnh bnh hnh, sao cho mt trong cc nh cami hnh bnh hnh ny l gc ta , hai nh khc nm trn hyperbol xy = 1, vnh cn li nm trn xy = 1.c. Chng t rng din tch ca mi hnh bnh hnh nh vy bng

5.

d. Xt vi bt k hnh bnh hnh OABC nh vy, tp hp cc im M sao choOM = k

OA + l

OC vi k, l nguyn, gi l li sinh ra bi hnh bnh hnh ny. Chng

t rng phn trong gii hn bi cc hyperbol xy = 1 khng cha bt k im noca li ny tr gc ta .

8/22/2019 KVant 2000-2009

23/114

N. Osipov.

M1776. Mt gi trc mi anh em trai trong mt gia nh ci nhau cng mt slng cc ch em gi, cn mi ch em gi ci nhau vi mt s lng cc anh em trai

khc nhau. By gi th mt s trong h ging ha vi nhau v mi ch em gi li cinhau vi cng mt s lng cc anh em trai, v mt anh em trai ci nhau vi mt slng cc ch em gi nhau. Hi c bao nhiu anh em trai, ch em gi trong gia nhphin phc ny?Y. Akulich, A. Jukov.

M1777. Trong hnh vung n v ni tip mt t gic, vi cc nh nm trn cccnh ca hnh vung ny. Trong tam gic vung to bi cc cnh ca hnh vung vt gic, ly 4 ng trn ni tip cc tam gic ny. Chng minh rng tng bn cabn ng trn ny khng vt qu 2

2, v t c gi tr ny khi v ch khi cc

cnh ca t gic ni tip song song vi cc ng cho ca hnh vung.V. Proizvolov.

M1778. Trn bng vit s phc 1 + i. Thc hin mt s ln bt k v theo mtth t bt k cc php ton di y: 1. Xa i mt s bt k a + bi v vit thay vo 2 s bng (a + 1) + bi.2. Xa i mt s bt k a + bi v vit thay vo 3 s bng (a + 1) + bi, a + (b + 1)i,(a + 1) + (b + 1)i.3. Xa i mt s bt k a+ bi v vit thay vo 4 s, trong 2 s bng a+ (b+ 1)i,v 2 s bng (a + 1) + (b + 1)i.Sau mt vi php ton nh vy th modul ca tt c cc s c vit trn bng ln

hn 3. Chng t rng gia chng phi c hai s bng nhau.Y. Voronovich, Y. Akulich.

M1779. Tm tt c cc a thc f trong cc trng hpa. f(x) + f(y) = f(x + y)b. af(x) = f(2001x), vi a l mt s cho trc.c. af(x) + bf(y) = f(cx + dy) vi a,b,c,d l cc s cho trc.V. Senderov.

M1780*. Mi im ca mt cu c t m hoc xanh. Chng minh rng cth tm c ba im cng mu l ba nh ca mt tam gic u.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

24/114


07 - 2008

M1781. Ngi trng b phn bo v mun sp xp cc vng gc xung quanhdoanh tri sao cho khng ai c th ln lt n gn doanh tri cng nh khng th ngn cc vng gc m khng b pht hin. Bit bng trn mi vng gc c mt ngnn pha, c tm chiu khong 100 m. Liu nh ca ngi ny c th thc hin ckhng?V. Klentsyn.

M1782. Chng t rng vi bt k s t nhin n tn ti ch mt s hu hn nghimca bt ng thc |x! yy| < n, x, y l s t nhin.S. Zlobin.

M1783. Trong tam gic ABC dng ng cao AH, phn gic BL v trung tuynCM. Bit rng tam gic HML u, chng minh tam gic ABC cng u.R. Jenodarov.

M1984. Trn bng vit sn cc s nguyn t 1 n 2000.a. Xa ngu nhin 998 s. Chng minh rng gia cc s cn li c th ch ra mt bs (bao gm khng t hn hai s) m tng ca chng cng c mt trn bng.b. Xa ngu nhin 89 s. Chng t rng gia cc s cn li c th ch ra 20 s sao chotng ca chng cng c mt trn bng. Hi khng nh cn ng khng nu xa thmmt s na.F. Shleyfer.

M1985. Trn hn o n l lnh th ca cc cng quca. Lnh th ca cc cng quc ny trn bn ca o c th hin bng cc tam

gic u. Chng minh rng bng cch t mu ng bn (khng c hai cng quclng ging no m c t cng mu) th ch cn 2 mu l .b. Lnh th ca cc cng quc c biu din bng cc tam gic vung cn trn bn ca o. Chng minh rng vi cch t mu ng th ch cn 4 mu l .V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

25/114


07 - 2008

M1786. Trn mt phng cho cc 6 im sao cho khng c 3 im no trong schng thng hng, hn na khong cc gia hai im bt k i mt khc nhau. Chngt rng gia cc tam gic vi cc nh ly t 6 im ny th c th tm c hai tamgic vi cnh chung sao cho i vi tam gic ny l cnh ln nht, i vi tam gic kia

l cnh nh nht.C. Pukshin.

M1787*. Vi p v q l cc s t nhin, ln hn 1. Bit rng, q3 1 chia ht cho p,v p 1 chia ht cho q. Chng t rng p = q

3

2 + 1 hoc p = q2 + q+ 1.N. Ocipov.

M1788. Trong tam gic ABC im I l tm ng trn ni tip, A, B, C l tipim ca ng trn ny vi cc cnh BC,CA,AB. ng thng AA v BB giaonhau ti im P, AC v AC giao nhau tai im M, BC v BC ti im N. Chngminh rng IP v MN vung gc nhau.A. Zaslavskij.

M1789. a. Cho 100 qu cn vi khi lng 1, 2,...,100g. Chn t chng 50 qu cnsao cho tng khi lng bng tng khi lng cc qu cn li v khng c hai qu noc hiu khi lng l 50. Chng minh rng c th chn ra hai qu cn sao cho tngkhi lng bng 101g.b. Cho 200 qu cn vi khi lng 1,2,...,200g. Chn t chng 100 qu cn sao chotng khi lng bng tng khi lng cc qu cn li. Khng c hai qu no c hiukhi lng l 100g v tng khi lng bng 201g. Chng minh rng 50 qu cn nhnht c tng khi lng l 2525g.

V. Proizvolov.

M1790. Trn mt phng cho mt s lng cc tam gic u, sao cho mi tam gicc mt cnh mu xanh, mt cnh mu vng, mt cnh mu . Ta tin hnh nh lincc tam gic ny vi nhau bng cch nh lin cc cnh cng mu, hoc mt phn cccnh cng mu vi nhau gia hai tam gic sao cho to ra c mt tam gic u ln. Chng minh rng trn bin ca tam gic u ln tng di cc phn cnh cami mu u bng nhau.S. Volchenkov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

26/114

M1791. a. Trn mt phng cho 5 ng trn sao cho 4 ng trn bt k u ctip tuyn chung. Liu chng tt c 5 ng trn ny c tip tuyn chung.b. Trn mt phng cho n ng trn sao cho 5 ng trn bt k u c tip tuynchung. Chng minh rng tt c n ng trn ny u c tip tuyn chung.

V. Proizvolov.

M1792. Trong mt cn phng c 2n+ 1 ngi, sao cho vi n ngi bt k lun tnti mt ngi quen vi tt c n ngi ny. Chng minh rng, c mt ngi quen vitt c cc ngi trong phng ny.S. Berlov.

M1793. Cho ma phng kch thc n n c t cc ch s 1, 2,...,n2 mi. Vi hai bt k, ngi ta dng mt vector vi nh v gc ti tm ca hai ny,hng t c s ln hn n c s b hn. Chng minh rng tng cc vector nhn

c bng vector khng. (Ma phng l bng vung c vit s trong cc tngcc s c vit mi dng v mi ct u bng nhau).I. Bogdanov.

M1794. Trn mt ng thng cho 100 tp hp A1, A2,...,An sao cho mi tp hpc lp t 100 on thng i mt khng giao nhau. Chng minh rng giao ca 100tp hp ny l hp ca khng qu 9901 on thng i mt khng giao nhau. (C thcoi mt im nh l mt on thng suy bin)R. Karancev.

M1795. Cho mt mt cu S v mt hm lin tc y = f(X), vi X S. Chng

minh rng tm c y0 sao cho hm t gi tr ny trn mi ng trn ln ca S.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

27/114


Nhm dch thut Kvant - http://mathvn.org

07 - 2008

M1796. Mt con vua i qua tt c cc trn bn c vua v tr li ch xut phtca n, sao cho mi n ch i qua 1 ln. Ni tt c tm ca cc m n i qua lintip ta nhn c mt hnh gp khc kn gm 64 mt xch (mi bc chuyn l mtmt xch), khng c c hai mt xch no k tip m cng nm trn mt ng thng.Chng minh rng s bc cho ca con vua i ti thiu l 8 bc.Y. Akulin.

M1797. Cc im mu xanh v ln lt lun phin nhau chia ng trnthnh 2n cung. Bit rng bt k hai cung k nhau c di sai khc nhau l 1. Chngminh rng ngic vi cc nh mu v ngic vi cc nh mu xanh c cng chuvi v cng din tch.V. Proizvolov.

M1798. Trong thnh ph n c 1000 ngi dn sinh sng. ng 300 ngi trong

s h l tht th, cn li l tinh ranh s ni tht hay ni di ty theo mnh. Bitrng tt c cc c dn thnh ph u bit nhau. Bn c th nhn bit c bao nhiungi tinh ranh bng cch t mt s ty cc cu hi.N. Vacilev, B. Ginzburg.

M1799*. Xt cc s t nhin x, y sao cho xy + x + y l s chnh phng. Chngminh rng cc s sau y cng l s chnh phng: xy + z, yz+ x, zx + y, yz+ y + z,zx + z+ x, xy + yz+ zx, xy + yz+ zx + x+ y + z.V. Proizvolov.

M1800. Chng minh rng tng bnh phng din tch 4 mt ca mt t din bng

4 ln tng bnh phng din tch 3 tit din i qua cc b bn trung im ng phngca cc cnh t din.A. Zaslavskij.

8/22/2019 KVant 2000-2009

28/114



01 - 2009

M1801. S t nhin n l tng ca ba c s t nhin phn bit ca n 1. Tmtt c cc s n nh vy.S. Tokarev.

M1802. C mt khu vc b mt l hnh vung 8 8, n c phn hoch thnhcc vung n v 1 1 bi cc hnh lang ngang dc. Ti mi ng giao c mt khamnh in, nu nhn vo th bt hoc tt ngay lp tc cc hnh lang di 1 i rat giao l ny. Ban u tt khu vc chm trong bng ti. mt ngi lnh gc v trgc bn tri di cng ca khu vc ny, anh ta ch c th i vo cc hnh lang canh ta bt sng, v c th bt hoc ngt kha in cc giao l nhiu ln. Hi anh tac th i n c gc bn tri trn cng ca khu vc sau khi nh sng tt c cchnh lang u b tt hay khng? Tm tt c cc giao l ca khu vc m anh ta c thi n c, sau khi tt ht cc n tt c cc hng lang.A. Shapovalov.

M1803. Trong hnh vung ABCD ly hai im P, Q sao cho PAQ = QCP =45. Chng minh rng tng din tch cc tam gic PAQ,PCB,QCD bng tng dintch cc tam gic QCP,QAD,PAB.

V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

29/114

M1804. Chng minh rng vi a,b,c l cc s dng th

aa2 + bc

+b

b2 + ca+

cc2 + ab

1

(Nam Triu Tin)

M1805. Ti mt cuc thi Olympic Ton c s tham gia ca 21 bn nam v 21 bnn. Bit rng:- Mi bn ch gii khng qu 6 bi.- i vi mi bn nam v mi bn n th tn ti ti thiu mt bi m c hai u giic.Chng minh tn ti mt bi ton m n c gii bi 3 bn nam v 3 bn n.(CHLB c)

M1806. Xt bng s c chiu n n sao cho vi bt k n s t nhin ly ra theotng hng hay theo tng ct u cho mt tng duy nht. Trong mi hng xc nh sb nht, v gia n s b nht c chn ny chn tip s ln nht, t l M. Trongmi ct xc nh s ln nht, v gia n s ln nht c chn ny chn tip s bnht, t l m. Chng minh M = n.V. Proizvolov.

M1807. Vi nhng s t nhin n no th c th chia mt tam gic ra thnh n agic li vi s cch khc nhau.A. Zalavskij.

M1808. Gii cc phng trnh trong tp s t nhin sau:a. x! + y! = z!!;b. x!y! = z!!.vi z!! l tch cc s t nhin cng tnh chn l vi z t 1 n z.V. Senderov.

M1809. Ch s dng thc thng tm tm ca:a. hai ng trn giao nhau;b. hai ng trn tip xc (trong v ngoi);c. hai ng trn ng tm.

Y. Vainshtein.

M1810. Xt a din li a li vi mi nh l u mt ca mt s l cc cnh. Mimt ca n c t bng mu , cc mt cn lai t mu xanh. Chu vi ca mi mtxanh bng 1. Chng minh rng chu vi ca mt cng bng 1.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

30/114



01 - 2009

M1811. Hai vn ng vin tin hnh mt cuc thi chy, mt ngi chy t im An B kt thc v ngi kia chy ngc li. Gi s rng ti mi thi im, vn tcmi ngi u nh nhau. Gia A,B 1000m th c mi 100m th c mt ng trngcy (hng cy trng gia, phn ng thnh 2 pha) chiu di 100m, chy ngang quanh hnh v. Vn ng vin nu gp hng cy chn ngang c th chy dc theo chon ht ng trng cy sang pha bn kia hoc tro bng qua chng chy tip.Chng minh rng s gp nhau ca hai ngi ny l khng th trnh khi.

V. Proizvolov.

M1812. Cho a,b,c l cc s t nhin tha mn

UCLN(a2 1, b2 1, c2 1) = 1

Chng minh rng

UCLN(ab + c,bc + a,ca + b) = UCLN(a,b,c)

A.Glovanov

M1813. Hnh F c gii hn bi na ng trn v hai cung mt phn t ngtrn cng bn knh nh hnh v.a. Chia F thnh 3 phn sao cho c th ghp li thnh mt hnh vung.b. Chia F thnh 4 phn sao cho mt phn l hnh vung cn cc phn cn li c thghp thnh hnh vung khc.

8/22/2019 KVant 2000-2009

31/114

V. Proizvolov.

M1814. S t nhin a nguyn t cng nhau vi m1, m2. K hiu rn l phn d caphp chia phn nguyn ca an/m1 cho m2 (n = 1, 2,...). Chng minh {rn} l dy tunhon.N. Asipov.

M1815. Cc ng vung gc chung ca cc cnh i din ca t gic ghnhABCD vung gc vi nhau, chng t chng ct nhau.A. Zaslavskij.

8/22/2019 KVant 2000-2009

32/114



01 - 2009

M1816. Tng ca ca 2000 s t nhin ln hn tch ca chng. Chng minh rngc khng nhiu hn 10 s t chng khc 1.A. Spivak, V. Senderov.

M1817. Hnh t gic vi hai ng cho vung gc ni tip trong mt hnh vung.ng cho, cc cnh ca t gic ny chia hnh vung thnh 8 tam gic. T mu cctam gic ny bng hai mu xanh v sao cho khng c hai tam gic no chung cnhm cng mu. Chng minh rng tng cc bn knh cc ng trn ni tip trong cctam gic xanh bng tng bn knh cc ng trn ni tip trong cc tam gic mu .

V. Proizvolov.

M1818. Chng minh bt ng thca

b + c+

b

c + a+

c

a + b> 2

vi a, b, c > 0.S. Nesterov.

M1819. Cho tam gic ABC vi O, I l tm ca cc ng trn ngoi v ni tip.Gi A, B, C l giao im ca ng trn ni tip vi cc cnh BC,CA,AB. P l

8/22/2019 KVant 2000-2009

33/114

trc tm ca tam gic ABC. Chng minh rng P , O , I nm trn mt ng thng.A. Zaslavskij.

M1820. a. Vi hai s t nhin x, y th tn cng ca s x2 + xy + y2 trong h thp

phn bng 0. Chng minh rng hai ch s tn cng ca n bng 0.b. Vi hai s t nhin x, y sao cho x4 + x2y2 + y4 chia ht cho 11. Chng minh rng sny cng chia ht cho 14641.V. Proizvolov.

M1821*. Chng minh rng vi mi s t nhin n th{n

1} {n

2} + {n

3} ... (1)n{n

n} < 2n

V. Barzov.

M1822. Trong mt gii u bng c s tham gia ca 2N i tuyn, mi i su vi ln lt mi i cn li ng mt ln. Ban t chc chia gii u thnh 2N 1lt u. Mt ln n do c s v , h xp lch thi u mt lt m khng c khoch cho cc lt tip theo. C th hay khng xy ra trng hp m cc lt u cnli khng th sp tip c do s c trn lp li gia hai i u vi nhau, nu:a. N = 5;b. N = 6;c. N = 8;d. N l s t nhin bt k.Y. Akulich.

M1823. Cho f(x) l a thc bc 3. Gi s f(n) l mt s lp phng vi mi st nhin n. Chng minh rng f(x) = (ax + b)3 vi a, b l cc s nguyn.N. Osipov.

M1824. Cho A1(x1, y1), A2(x2, y2),...,An(xn, yn) l cc im trn mt phng ta

, n 2 vi M

x1 + x2 + ... + xnn

,y1 + y2 + ... + yn

n

l trng tm ca chng.

K hiu C l tm ca ng trn c bn knh nh nht r, trong n cha cc im

A1, A2,..,An v d l khong cch gia M v C. Chng minh rngd

r n 2

n.

I.Protacov, G. Radzievskij.

M1825. B mt ca khi lp phng kch thc 5 5 5 c th c bao phhon ton bi 150 t giy dng hnh vung n v. Trn mi mt ca hnh lp phngny c th c ph bi 25 hnh vung n v. Chng minh rng c th ph 150 tgiy hnh vung n v ln b mt hnh lp phng sao cho khng c mt no ca nc ph bi 25 t giy hnh vung n v.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

34/114



01 - 2009

M1826. Vi ba s dng a,b,c tha mn

1

a+1

b+1

c a+ b+ c.

Chng minh rnga+ b+ c 3abc.

S. Zlobin.

M1827. Cho Q l mt im nm trn ng trn ng knh AB. QH l ngvung gc h xung AB, im C,M l cc giao im ca ng trn tm Q bn knhQH vi ng trn u tin. Chng minh rng CM chia i bn knh QH.

V. Dubov.

M1828. A,B,C,D,E cng su tp tem. A c s tem trng vi hn 3/4 s temca B, B c s tem trng vi hn 3/4 s tem ca C, C c s tem trng vi hn 3/4 stem ca D, D c s tem trng vi hn 3/4 s tem ca E, E c s tem trng vi hn3/4 s tem ca A. Chng minh rng, c mt con tem m c 5 ngi ny u c.V. Proizvolov.

M1829. C th hay khng khi t mu cc hnh vung v hnh trn bng cc muen v trng, sao cho cc tp im en ca hnh trn v hnh vung ng dng vi

8/22/2019 KVant 2000-2009

35/114

nhau, tp cc im trng ca hnh trn v hnh vung cng ng dng vi nhau.G. Galperin.

M1840. Trong mt dy tng cc s t nhin, mi s bt u t s th 2002 l c

ca tng tt c cc s trc . Chng minh rng tn ti mt s trong dy m bt ut s ny th mi s bng tng ca cc s trc n.A. Shapovalov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

36/114



01 - 2009

M1831. Xt mt b 20 qu cn, khi lng khc nhau. Gia bt k 11 qu cn thc th chn ra hai qu c tng khi lng chung bng 100g. Chng minh rng tngkhi lng ca tt c 20 qu cn bng 1000g.V. Proizvolov.

M1832. ng trn ni tip tam gic ABC tip xc vi cc cnh BC,CA,AB tiA, B, C. Gi Q l trung im ca AB. Chng minh rng gc BCC v ACQbng nhau.

A. Zaslavskij.

M1833. Qun xe i trn bn c theo chiu ngang hoc dc mt ln i qua n (n > 1). Qun xe ny thc hin mt s ln i nh vy trn bn c rng v hn ri trv v tr c sao cho n khng i qua li nhng m c "vt" ca n trong mi ln itrc. i vi gi tr no ca n th hnh b b chn bi "vt" ca qun xe ny c dintch bng 2002.A. Maleev, S. Volchenkov.

M1834. Chng minh rng vi cc s thc x,y,ztha.

x6y6 + x6z6 + z6y6 + 3x4y4z4 2(x3 + y3 + z3)x3y3z3

b.x6 + y6 + z6 + 3x2y2z2 2(x3y3 + x3z3 + y3z3)

F. Shleyfer.

8/22/2019 KVant 2000-2009

37/114

M1835. Cho mt t gic ngoi tip v ni tip. Dng mt ng thng qua tmng trn ni tip song song vi mt cnh no ca t gic, ng thng ny bchn bi hai cnh i din ca t gic. Chng minh di on chn bng mt phnt chu vi ca t gic.

V. Proizvolov.

M1836. Mt con qui vt hydra bao gm nhng ci u v nhng ci c, mt cic ni ng vi hai ci u. Mt ln vung gm chm Heracles c th ct t c ttc ci c mc ra t ci u A no ca con qui vt ny. Khi t u A ln ltmc ra tng ci c ni vi tt c ci u m A cha kt ni. Heracles chin thngcon qui vt ny nu cht c n ra lm hai phn khng kt ni c vi nhau. Tm sN nh nht m Heracles c th chin thng con qui vt ny sau khng qu N lnchm. Bit c tt c 100 ci c.Yu. Lifshitz.

M1837. Chng minh rng vi bt k s t nhin n 10000, tm c s t nhinm biu din c di dng tng hai s chnh phng sao cho 0 < m n < 3 4n.A. Golovanov.

M1838. Trn mt phng, cho hu hn cc ng thng c t mu xanh hocmu , gia chng khng c hai ng thng no song song. Qua bt k giao imca cc ng thng cng mu th c mt ng thng khc mu i qua. Chng minhrng cc ng thng ny ng quy ti mt im.V. Dolnikov, I. Bogdanov.

M1839. Cho 0 x

4 . Chng minh rng

(cosx)cos2x > (sin x)sin

2x,

v(cosx)cos

4x < (sin x)sin

4x.

V. Senderov.

M1840. Mt s cc t din u ni tip trong mt mt cu sao cho hai trong

chng u c im chung. Chng minh rng tt c cc t din ny u c im chung.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

38/114



01 - 2009

M1841. Cho a,b,c l cc s t nhin, chng t

(a, b), (b, c), (c, a)] = ([a, b], [b, c], [c, a])

Trong (x1, x2,...,xn) v [x1, x2,...,xn] l k hiu c chung ln nht, bi chung nhnht ca cc s t nhin x1, x2,...,xn.V. Proizvolov.

M1842. Hai nh A, B ca tam gic ABC nm trn mt ng trn tm O saocho nh C v tm O nm cng pha i vi ng thng AB. Quay tam gic ABCquanh tm O nhn c tam gic A1B1C1 sao cho C1B1 i qua nh C, ct ngtrn ti im F. Chng minh rng CF = CB.V. Dubov.

M1843. Cho mt s lng khng gii hn cc chic v. u tin trong mt chic

v c b KM ng xu, cc chic cn li rng. Sau , thc hin nhiu ln cc hnhng sau: rt theo 1 ng xu v no c tin v b ng xu vo mt v rng khc.Sau mt thi gian c K chic v, mi chic c M ng xu. Hi K, M l cc s nh thno?Y. Akulich.

M1844. Ng gic li ABCDE c chu vi bng 4, cnh AB = DE = 1 v BAE =DEA = BC D = 90. Chng t rng phn gic ca gc C chia ng gic ra thnhhai t gic c chu vi v din tch bng nhau.

8/22/2019 KVant 2000-2009

39/114

V. Proizvolov.

M1845. Hai s t nhin khng lin tip c gi l thn mt nu a2 1 chia htcho b v b2 1 chia ht cho a.

a. Chng t vi n > 1 th trong on [n, 8n

8] tm c mt cp s thn mt.b. Tm on [n, 8n 9], vi n > 1 sao cho trong on ny khng c cp s thn mtno.Y. Bogdanov, V. Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

40/114



04 - 2010

M1846. Chng minh rng i vi bt k s t nhin n v bt k s t nhin k nta c bt ng thc

1 +1

nk

1 +1

k+

k2

n2.

V. Orlov.

M1847. Trong 8 ci l c 80 con nhn. Ta thc hin php chuyn nhn nh sau:chn hai l bt k c tng s con nhn l s chn v chuyn mt phn nhn t l nysang l kia hai l c s nhn bng nhau. Liu c phi vi bt k s phn b ban us nhn trong cc l d th no i na th sau mt vi thc hin php chuyn nhnnh trn th s nhn trong mi l s bng nhau.V. Kaskevich.

M1848. Cho ng trn tm O ni tip tam gic ABC tip xc vi cc cng ca

n tai A1, B1, C1. Cc ng thng AO,BO,CO ct ng trn ti A2, B2, C2. Chngminh rng din tch tam gic A2, B2, C2 bng mt na din tch lc gic B1A2C1B2A1C2

V. Proizvolov.

M1849. S nguyn t p c dng p2 = 2n = 2n.3m + 1 vi m,n l hai s nguynkhng m no . Chng minh p 17.V. Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

41/114

M1850. Cc s t nhin t 1 n n(n + 1) c vit thnh cc dy lin tip bngmu v mu xanh. Vi n s u tin mu , tip n 1 s mu xanh, ri n 1 smu , tip n 2 s mu xanh, v c nh vy n ht. Chng minh rng tng cacc s xanh ln gp 2 ln tng ca cc s mu .

V. Proizvolov.

M1851. Trn mt phng ta v cc trc Ox,Oy v th hm y = 18x

, cc tl xch trn cc trc khng c v. Ch dng compa hy xc nh im (1, 1).S. Tokarev.

M1852. Cho s t nhin n, trn khong (n2, n2 +n) chn cc s t nhin a, b khcnhau. Chng minh rng trong on ny khng c c s no ca ab m khc a v b.S. Ivanov.

M1853. Xt php bin i nh sau:i. Ly ly tha vi m t nhin no ;ii Loi b i hai ch s cui cng, nhn s nhn c vi 3 v vi cng s to thnht cc ch s cn li.Hi liu sau mt s cc php bin i nh vy c th nhn c s 82 t s 81.K. Kokhas.

M1854. t f(x) l a thc bc m 2 vi h s nguyn. Chng minh rng tpgi tr ca a thc f(x) ti cc im nguyn cha mt cp s nhn v hn khi v chkhi f(x) = a(bx + c)m (a,b,c l cc s nguyn, a = 0, b = 0).N. Osipov.

M1855. Cc mt phng song song vi cc mt ca hnh hp ch nht chia n rathnh cc hnh hp khc nh hn v t mu cc hnh hp ny theo kiu bn c vuavi hai mu trng en, sao cho tng th tch cc khi mu en bng tng th tch cacc khi mu trng. Chng minh rng, t nhng khi mu en hp thnh hnh hp Pv t nhng khi mu trng hp thnh hnh hp Q th P v Q bng nhau.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

42/114



04 - 2010

M1856. ng trn tm O ni tip trong tam gic ABC tip xc vi AC ti Ev hai cnh cn li ti M,K. ng thng MK ct AC ti P. Chng minh PO vunggc vi BE.

V. Proizvolov.

M1857. Trn ng trn cho tp hp K gm k im chia ng trn n thnh kcung bng nhau. Trong K ly hai tp con M, N cha m v n im sao cho cc tpny c ng r im chung. Hn na nu ta quay cc im ca tp N mt gc bi ca2/k th tp N cc im mi nhn c ny vn c chung r im vi tp M. Chngt ng thc rk = mn.V. Proizvolov.

M1858. Cho cc s t nhin a, b sao cho 2a + 1, 2b + 1 nguyn t cng nhau. Hic s chung ln nht ca 22a+1 + 2a+1 + 1 v 22b+1 + 2b+1 + 1 l bao nhiu.

D. Rostovskij, A. Khrabrov.

M1859. Trn mt chic bn hnh vung c din tch l 2. Xp 2 lp khn t bntm khn din tch bng 1, sao cho hai tm khn trn mt lp th c chung bin vinhau ch khng ln nhau. Tm 100 cch xp khn nh vy.V. Proizvolov.

M1860. im F l mt tiu c ca mt ellipse ni tip trong t gic li ABCD.Chng t AFB +CFD = 180

8/22/2019 KVant 2000-2009

43/114

M. Volchkevich.

8/22/2019 KVant 2000-2009

44/114



04 - 2010

M1861. Chng minh rng gia n + 1 nh bt k ca mt 2n + 1gic u, n > 1th c 3 nh to thnh mt tam gic cn.V. Proizvolov.

M1862. Phn gic AD,BE,CF ca tam gic ABC ng quy ti I. Chng minhrng:a. Nu ID = IE = IF th tam gic ABC u.b. Nu tam gic DF E u th tam gic ABC cng uA. Zaslavskij, V. Senderov.

M1863. Xt dy s, hai s hng u tin bng 1 hoc 2 tng ng, v mi shng l s t nhin nh nht m cha bt gp trong dy trc m khng nguynt cng nhau vi cc s hng trc . Chng minh rng mi s t nhin u c ththy trong dy ny.

J. Lagarias, Y. Reins, N. Sloan.

M1864. Trong hnh vung ABCD ly ni tip mt ng gp khc MKALN saocho cc gc MKA, KAL, ALN u bng 45. Chng minh rng M K2 + AL2 =AK2 + N L2

V. Proizvolov.

M1865. Vi s t nhin N = 46 c th ch ra s t nhin

M = 460100021743857360295716,

8/22/2019 KVant 2000-2009

45/114

tha mn cc tnh cht sau:i. Cc ch s u tin ca M l cc ch s ca N;ii. Nu em nhng ch s u tin ny vo cui s M th nhn c s

M1 = 10002174385736029571646,

m b hn ng N ln so vi M. i vi nhng s t nhin N no na th tn ti sM tha mn cc tnh cht nh vy.Y. Akulich.

M1866. Mt hn o n c phn chia thnh cc lnh th ca cc cng quc,m mi cng quc c biu din trn bn ca o l mt hnh bnh hnh . Vi btk hai bnh hnh no hoc l khng c bin gii chung hoc l bin gii chung c mtchung cnh. Chng minh rng vi mt lut t mu ng (bt k hai cng quc no knhau th t mu khc nhau) th ch cn 3 mu l .

V. Proizvolov.

M1867. t M l tp cc s hng ca mt cp s nhn. Tm s cc phn t lnnht c th ca tp giao M vi tp:a. {2n 1 | n Z}b. {2n + 1 | n Z}A. Golovanov, V. Senderov.

M1868. Xt tp hp cc bng s vung p p (p > 1), c vit cc s t nhin1, 2,...,p2. Gi bng l "ng" nu trong dng (ct) u tin theo th t l cc s1, 2,..,p, v dng (ct) th hai theo th t l p + 1, p + 2, ..., 2p v tng t nh th.

t A l tp con ca tp cc bng vung ang xt m mi bng c th nhn c tbng ng bng cch hon v cc dng v hon v cc ct; B l tp bng con m trong thm vo s 1 vo tt c cc s ca cc dng, cc ct ca bt k bng no c thnhn c bng vi cc s bng nhau. Chng minh rng A = B khi v ch khi p l snguyn t.D. Kalinin

M1869. a. Gii phng trnh

sin8 x +

1

sin3 x

= cos8 x +

1

cos3 x.

b. Cho x > 0, y > 0, x = y v m, n l cc s t nhin sao cho

xn +1

xm= yn +

1

ym.

Chng minh rng

x2 + y2 >

16

9

1n+m

V.Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

46/114

M1870. a. Trn mt phng cho cc im A.B.C, D, bit rng, gc gia cc ngthng AB v CD, AC v BD, AD v BC. Chng minh rng chng thng hng.b. Cc gc gia hai cnh i din ca mt t din u bng nhau, phi chng chngl cc gc vung.

A. Zaslavskij.

8/22/2019 KVant 2000-2009

47/114



04 - 2010

M1871. Ti mt bn trn c 35 khch ngi ung tr. Ngi ta mang n 10cc 1 lt v 25 cc na lt. Ngi ta mang n cho mi khc mt m na lt vi ytr. Khch c th rt tr t m ca mnh hoc m ca khch bn cnh. Khch chung khi cc c rt y. Hi s khch ung tr ln nht bng bao nhiu.R. Zhenodarov.

M1872. Hnh ch nht c ct thnh cc hnh ch nh sao cho mi hnh chnht ny c t nht mt cnh nm trn bin ca hnh ch nht ban u. Chng trng tn ti hai hnh ch nht c cnh chung.V. Proizvolov.

M1873. Mt t nc n gm cc thnh ph c ni vi nhau bng ng mtchiu hoc hai chiu. Bit rng t mi thnh ph n mt thnh ph bt k c thi bng duy nht mt tuyn ng m khng i qua 2 ln qua cng mt thnh ph.

Chng minh rng t nc ny c th phn thnh 3 tnh m trong khng c thnhph no m khng th ni vi hai thnh ph trong cng mt tnh.A. Spivak, Y. Mezhirov.

M1874. Tm tt c nghim t nhin ca phng trnh sau

xy y

x= 1.

V. Proizvolov, V. Senderov.

M1875. S mt ca mt hnh a din li c th l bao nhiu sao cho vi bt k

cnh no th gc nh din trong tng ng vi n l gc nhn.A. Zaslavskij, O. Podlinskij.

8/22/2019 KVant 2000-2009

48/114



04 - 2010

M1876. a. Ban u tt c cc ca bng vung c n n c in du tr.Trong mt ln thc hin c th i du cc trong mt hnh nm trong bng vungc 1 trong cc dng

Hi vi n nh th no th c th i thnh du cng tt c cc ca bng vung.b. Chng minh rng nu trong mt bng vung no i du nh th th cc 4 hnhnh trn c s dng vi s ln u cng chn hoc cng l.D. Permiakov.

M1877. Trong 64 bc qun vua i qua tt c cc ca bn c v quay li v tr

ban u. Nu trong hnh trnh ca n c cha hai bc a2 b2, g8 g7 th qun vua thc hin ti thiu hai bc i cho.

V. Proizvolov.

M1878. Cho tam gic ABC vi CH ng cao, dng ng trn ng knh CHct hai cnh CA v CB ti M, N. Chng minh rng cc tip tuyn ca ng trnny ti M.N ct nhau ti im nm trn trung tuyn ca tam gic k t nh C.

8/22/2019 KVant 2000-2009

49/114

A. Zaslavskij.

M1879. Sp t cc qu cn c khi lng 1g, 2g, 3g, ...,100g vo a bn tri va bn phi ca mt ci cn. Vi mt qu cn t trn mt a ta gi s cc qu cn

nh hn qu cn a cn li gi l tr s ca qu cn . Chng minh rng khilng hai a cn bng khi v ch khi tng tr s cc qu cn a bn phi bng tngtr s cc qu qun a bn tri.V. Proizvolov.

M1880. Trn ng thng cho 2k1 on thng v 2k1 on thng mu trng.Bit rng bt k on mu trng no giao vi t nht k on thng mu en, v btk mt on mu en giao vi t nht k on mu trng. Chng minh rng, c t nhtmt on thng mu trng giao vi tt c cc on mu en, c mt on mu engiao vi tt c cc on mu trng.V. Dolnikov.

M1881. Cho a,b,c l cc s dng c tng bng 1, chng minh bt ng thc

1

1 a+

1

1 b+

1

1 c

2

1 + a+

2

1 + b+

2

1 + c.

S. Berlov.

M1882. Ania v Boria c hai bng giy di v hn. Ban u trn mt bng giyc vit chA v bng cn li vit chB. Mi pht mt trong hai bn (khng cnphi tun t nhau) vit thm tip vo sau t trn bng giy ca mnh t bng giy

ca ngi kia. Chng minh rng sau mt ngy m, t trn bng giy ca Ania c thchia i thnh hai phn, i v tr li cho nhau v nhn c t mi cng l t cvit pht trc .E. Cherepanov.

M1883. Gii phng trnh trong tp s nguyna. x4 2y2 = 1; b. x2 2y4 = 1;c. x4 8y2 = 1; d. x2 8y4 = 1;V. Senderov.

M1884. a. Mt hnh vung c ct ra thnh cc hnh vung nh, mt hnh ct mu , cn li c t xanh. Chu vi ca mi hnh vung xanh l mt s nguyn.Chng t chu vi ca hnh vung cng l mt s nguyn.b. Tam gic u c ct ra thnh cc tam gic u nh, mt hnh c t mu ,cn li c t xanh. Chu vi ca mi tam gic xanh l mt s nguyn. Chng minhchu vi ca tam gic mu cng l mt s nguyn.V. Proizvolov.

M1885. Mt bn u xe l mt dy cc n ch u, c nh s t 1 n n, vli i vo t bn phi. Trc li vo c n xe chun b ln lt vo bn. Mi li xe bt

8/22/2019 KVant 2000-2009

50/114

u n ch u yu thch ca mnh, nu ch cn trng th quyt nh u xe ,nu ngc li th n mt ch cn trng gn nht (vi iu kin khng c quay xengc tr li). K hiu (a1, a2,...,an) l b cc ch yu thch ca cc n li xe theo tt vo bn. Ni rng dy (a1, a2,...,an) l khng tranh chp nu lut xe nh trn

c tha mn khi ai cng c ch ca mnh. Th d vi n = 2, dy (1, 2), (2, 1), (2, 2)l cc dy khng tranh chp, v (1, 1) l dy tranh chp.a. Chng minh rng dy s nguyn dng (a1, a2,...,an) l khng tranh chp khi v chch khi khng c s hng no trong dy vt qu n v khi i vi bt k s t nhin k,s lng cc s hng khng vt qu k khng ln hn k.b. Tnh s cc dy khng tranh chp c di n.c. Tnh s cc dy khng tranh chp khng gim c di n.Yu. Burman.

8/22/2019 KVant 2000-2009

51/114



04 - 2010

M1886. Trn mt bn t 8 qun bi t xp. Bn c th chn ra bt k nhmcc qun bi no t 8 qun ny v t cu hi l c bao nhiu qun "r" trong .Ngi ta s tr li bn s qun r sai khc vi con s thc t 1 n v. Hi lm thno vi 5 ln t cu hi bn chc chn bit c s cc qun r trong 8 qun bi

t trn bn.S. Tokarev.

M1887. T giao im ca hai ng cho ca mt t gic ngoi tip, dng ccon vung gc vi cc cnh ca n. Chng minh rng tng di cc on vunggc h xung hai cp cnh i din bng tng di cc on thng vung gc vihai cp cnh i din cn li.A. Zaslavskij

M1888. Trong hp c n 1 ng xu c tng gi tr l 2n 1 ho, mi ng xu cgi tr l mt s nguyn cc ho. Chng minh rng c th chn t cc ng xu vohp sao cho bt k tng no t 1 n 2n 1 c th l tng gi tr ca mt s cc ngxu trong hp.V. Proizvolov.

M1889.Trn mt phn cho cc im A1, A2,...,An v B1, B2,...,Bn. Chng minhrng cc im B1, B2,...,Bn c th nh s li sao cho vi bt k cp ch s k, j khc

nhau th gc gia cc vector

AkAj,

BkBj nhn hoc vung gc.R. Karasev.

M1890. Bn cung chia hnh trn thnh 9 phn, mt trong chng l hnh ch nht

nh hnh v

8/22/2019 KVant 2000-2009

52/114

Cc din tch ca 8 hnh t mu xanh l cc s hu t. Chng t rng din tch catam gic cong mu cng l s hu t.V. Proizvolov

8/22/2019 KVant 2000-2009

53/114



05 - 2010

M1891. Trong n hip s th quan h gia hai ngi no hoc l bn hoc lth. Mi hip s c ng 3 k th, sao cho k th ca bn cng l k th ca anh ta.Vi gi tr no ca n th iu c th?.E. Barabanov, Y. Boronovich.

M1892. Nu ACB = 45, chng minh rng AB4 = (BC2AB2)2+(CA2AB2)2

A. Rumjanzheva.

M1893. Trong mt vng trn dng 100 y cung sao cho trung im bt k cady cung no nm trn mt dy cung khc. Chng t rng gia chng tm c tnht hai dy cung l ng knh.V. Proizvolov.

M1894. Cho m, n l cc s nguyn dng v n > 1. Bit rng s m2n2 4m + 4n

l s chnh phng. Chng minh rng m = n.N. Osipov.

M1895. Trong hnh vung ABCD, ly ni tip tam gic M AN sao cho M AN =45. Chng t rng ng cho BD chia tam gic ny thnh hai phn c din tch bngnhau.

M. Volchkevich.

8/22/2019 KVant 2000-2009

54/114

M1896. Trong giy v hnh vung cnh 2n + 1 (n nguyn dng), ngi ha s vmt bc tranh bng mu en trong mi hnh vung 2 2 c hai cnh song song vihai cnh ca t giy c t mu ena. khng t hn 3/4 din tch ca n,

b. khng nhiu hn 3/4 din tch ca n.Hi din tch nh nht vng mu en trn bc tranh trong trng hp a. b nht lbao nhiu, trong trng hp b. ln nht l bao nhiu.A. Maleev.

M1897. Trn trc s nh du cc im c ta 1, 2, 3,..., 2n. Mt con b chtsau 2n bc nhy i qua tt c cc im nh du v tr v li v tr ban u. Vibt k hay bc nhy lin tip th b cht nhy hai hng ngc nhau. Bit rng tng di cc bc nhy ca n ngoi tr bc cui cng ng bng 4n 3. Chng minhrng di bc nhy cui ng bng 2n-1.V. Proizvolov.

M1898. Cnh AD ca hnh ch nht ABCD b chia thnh n on bicc im A1, A2,...,An1. Trn cnh BC ly cc im B1, B2,...,Bn, mt vitrong chng c th trng nhau. Dng trong hnh ch nht hnh gp khc ziczacA0B1A1B2...AkBk+1Ak+1...An (ng ny c th t ct), trong A0 l A cn An lD. Phi chn im Ak, Bk, 1 k k 1 nh th no tng di bn knh rk cang trn ni tip trong tt c cc tam gic AkBk+1Ak+1 l ln nht.S. Dvorjaninov

M1899. K hiu

f(n) = sin n + sin n+ sin n,

vi , , l cc gc ca mt tam gic nhn.a. Chng minh rng f(n) < f(1) vi n = 3, 4.b. Chng minh rng f(n) f(1) vi n = 2, 8.c. Chng minh rng vi n > 4, n = 7, 8 th tn ti tam gic vi cc gc n, n, n saocho f(n) > f(1).S. Markelov, V. Senderov.

M1900. Sp xp trong khng gian 5 hnh lp phng n v nh th no bt khai trong chng c ng cho chung, m khng c 3 hnh no c chung ng cho.

A. Zaslavskij

8/22/2019 KVant 2000-2009

55/114



05 - 2010

M1901. Trong tam gic cong b chn bi hai ng trn tip xc nhau v tiptuyn chung ca chng, xt hnh vung c t xanh v hnh vung c t nhhnh v. Chng minh rng cnh ca hnh vung mu xanh ln gp 2 ln cnh hnhvung mu .

S. Berlov.

M1902. Trong mt bui gp mt c 45 ngi tham d. Bit rng bt k hai ngino m c cng s ngui quen vi nhau th khng quen nhau. Hi s ngi quen lnnht ca mt khch tham d l bao nhiu.S. Berlov.

M1903. Trn mt phng cho on thng AB. Dng cc na ng trn ngknh AX,BXbn ngoi tam gic ABX. Tm tp hp cc im X sao cho tn ti mtng trn tip xc vi cc na ng trn ny ti trung im ca chng.V. Senderov.

M1904. Cc s nguyn dng a,b,c tha mn ng thc a(b2

+ c2

) = 2b2

c. Chngminh rng 2b aa + c.N. Osipov.

M1905. C 50 chic khn kch thc 1 1 dng xp li thnh 2 lp ph mtci bn c kch thc 5 5, sao cho khng c mp ca ci khn no nm trn mpca bn v cc khn c xp kht mp vi nhau ch khng c ln nhau, khnc th c gp. Lm cch no thc hin iu ny.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

56/114



05 - 2010

M1906. Cho mt di bng, t mt hnh vung c cnh bng chiu rng ca dibng, sao cho 4 cnh ca hnh vung ct 2 cnh ca di bng (nh hnh v). Chngminh rng hai ng thng i qua cc giao im ct nhau ti im nm trn ngcho ca hnh vung.

V. Proizvolov.

M1907. a. S 92004 1 biu din thnh tng mt vi ly tha bc ba ca cc snguyn khng m. Hi s lng cc ly tha nh vy b nht bng bao nhiu?b. S 2004! 1 biu din thnh tng ca mt vi giai tha. Hi s giai tha nh vyb nht bng bao nhiu?B. Frenkin, V. Senderov.

M1908. Vi cp (a, b) cc s nguyn dng t dy cp s (xn, yn)n theo lut sao:x1 = a, y1 = b, xn+1 = xnyn, yn+1 = xn + yn. Chng minh rng vi mi cp (a, b) tn

ti n sao cho xn > yn v k hiu s nh nht nh vy l f(a, b). Hi vi (a, b) nh thno th f(a, b) t cc i.A. Sarantsev.

M1909. 9 ng thng nm ngang v 9 ng thng nm dc ct hnh ch nhtra lm 100 hnh ch nht nh, 91 hnh trong chng c t mu xanh, cn li t mu. Chu vi ca mi hnh mu xanh l mt s nguyn. Chng minh rng chu vi cami hnh mu cng l mt s nguyn.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

57/114

M1910. Trn cnh huyn AB ca tam gic vung ABC ly im trong D. Ccim O1, O2 l tm ng trn ngoi tip tam gic ACD,BCD. Gi E l giao imca BO1 v AO2. Chng minh rng BC E = ACD.A. Vasilev.

M1911. Cho cc s a,b,c tha mn h

an + bn = cn + dn,am + bm = cm + dm,

vi m, n l cc s nguyn dng, n > m v xt tp

M = {|a|, |b|, |c|, |d|}

Chng minh cc khng nh saua. Vi m, n l cc s cng tnh chn l, th gia cc phn t ca M tn c cc phnt trng nhau no .b. Vi n chn, m l, th khng nh a. vn ng.

c. Vi m chn, n l, th tn ti cc s a,b,c,d sao cho cc phn t ca M l i mtphn bit.V. Senderov.

M1912. Tt c cc qu cn 1g, 2g, ..., 200g c t ln hai a cn, mi bn 100qu sao cho khi lng hai bn cn bng nhau. Trong khng c hai qu cn a bntri c tng khi lng bng 201g. Gi s a1 < a2 < ... < a100 v b1 < b2 < ... < b100ln lt l khi lng cc qu cn a bn phi. Chng minh rng

a1 + 2a2 + ... + 100a100 = b1 + 2b2 + ... + 100b100.

V. Proizvolov.

M1913. Vi 0 x, y 1. Chng minh

2

(x2 1)(y2 1) 2(x 1)(y 1) + 1.

V. Dolnikov.

M1914. Xt hm f xc nh trn R sao choi. f(2 + x) = f(2 x) vi mi x;ii. f(7 + x) = f(7 x) vi mi x;iii. f(0) = 0.

Hi rnga. Hm f c th nhn ng hai gi tr hay khng? hm f c th nhn v hn gi trhay khng?b. Tm tt c cc gi tr c th ca nghim ln nht ca phng trnh f(x) = 0 trongon [0; 1000].P. Samovol.

M1915.T din ABCD c AB = BC = CD = a, BD = DA = AC = b. Tnhkhong cch gia AD v BC.A. Zaslavskij.

8/22/2019 KVant 2000-2009

58/114



05 - 2010

M1916. Lm th no ct tam gic u ra thnh 25 tam gic u nh sao choch mt chng c din tch khc 1.V. Proizvolov.

M1917. Cho cc s nguyn dng a,p,q sao cho ap + 1 chia ht cho q, v aq+ 1chia ht cho p. Chng minh

a >pq

2(p + q).

A. Golovanov.

M1918. K cc tip tuyn chung trong i vi hai ng trn, mt trong chngtip xc vi cc ng trn ti A, B. Mt qu bi-da c nh t im A b phn xkhi gp tip tuyn th hai v ln vo im B. Chng minh cc dy cung m vin bi-davch ra i vi hai ng trn cho l bng nhau.

A. Zaslavskij.

M1919. Chng minh rng sa. 2004x + 1,b. 2004x 1,khng l ly tha bc hai hay cao hn ca mt s nguyn dng vi mt s t nhinx no .A. Vasilev.

M1920. Tn ti hay khng s thc x sao cho cot x v cot 2004x u l hai snguyn.Y. Bogdanov, V. Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

59/114



05 - 2010

M1921. Trn cnh ln nht AB ca tam gic ABC ly cc im M, N sao choBC = BM, CA = AN, trn cnh CA,BC ly cc im P v Q sao cho P M||BC,QN||CA. Chng minh QC = CP.

V. Proizvolov.

M1922. Chic bn bi-da c hnh a gic (khng nht thit phi li), c cc cnhk nhau vung gc vi nhau. Mi nh ca a gic chnh l l m cc vin bi-da c thri vo. T mt nh vi gc trong l 90, mt qu cu c nh ra v s b phn xnu gp cnh ca a gic theo lut gc ti bng gc phn x. Chng minh rng qucu s khng bao gi tr li v tr ban u.A. Kanel-Belov.

M1923. Trn mt phng cho trc N im phn bit. Bit rng trong s cckhong cch gia tng cp im th c khng ln hn n khong cch khc nhau.Chng t N (n + 1)2.V. Dolnikov.

M1924. Cho ba s nguyn dng sao cho tch ca bt k hai s no cng chia htcho tng ca hai s . Chng minh rng ba s t nhin cho c mt c chung lnhn 1.S. Berlov.

M1925. Mt mc tiu di ng nm mt trong n ci l phn b thnh mt dy.Cc l c khp kn vo mi thi im khng th thy c n u. bntrng th cn bn vo l m mc tiu vo thi im bn nm trong . Nu mc tiukhng nm l tn cng bn phi th sau mi ln bn n li dch sang mt l bn

8/22/2019 KVant 2000-2009

60/114

phi , nu nm l tn cng bn phi th n khng di chuyn i u c na. Hi sln bn ti thiu l bao nhiu chn chn bn trng c vo mc tiu.S. Tokarev.

M1926. Tm tt c cc s nguyn t p,q,r ,s sao cho tt c cc s ps + sq, qs + sr,

rs + sp l nguyn t.B. Frenkin, V. Senderov.

M1927. Gi s tam gic ABC khng phi l tam gic u, O, I l tm ngtrn ngoi v ni tip, H l trc tm ca tam gic ABC. Cc nh O , I , H c th l 3nh ca mt tam gic u hay khng.R. Budilin, A Kulikov, V. Senderov.

M1928. Cc s dng x1, x2,...,xn vi n 2 nm trong mt on trn ng

thng thc c di bng 2. Chng minh rngx1 + x2 + ... + xn

x1x2 + 1 + ... +

xnx1 + 1 < x1 + ... + xn + n.

Khi no xy ra du bng?N. Agakhanov.

M1929. Chng minh rng vi bt k s nguyn dng d tn ti s nguyn dngn chia ht cho n vit trong h thp phn m c th b i mt vi ch s khc khngca n nhn c s cng chia ht cho d.A. Galochkin.

M1930. Phi chng l c th chn c 4 im trn 4 ng thng ct nhau imt bt k chung l nh caa. Ca mt hnh thang.b. Ca mt hnh bnh hnh.P. Borodin.

8/22/2019 KVant 2000-2009

61/114



05 - 2010

M1931. Mi im ta nguyn trn mt phng c t bi mt trong ba mu(mi mu u c s dng). Chng t rng tn ti mt tam gic vung vi ba nhc ba mu khc nhau.S. Berlov.

M1932. Dy cc s hu t khng m a1, a2, a3... tha mn am + an = amn vi micc s nguyn dng m,n. Chng minh rng khng phi tt c cc s hng ca dyny u khc nhau.A. Protoponov.

M1933. Trong t nc n c mt vi thnh ph, trong mt vi cp thnhph kt ni vi nhau bng tuyn ng hng khng bay thng hai chiu thuc trong khng hng khng. Bit rng bt k hai tuyn no ca mt hng hng khng th c mtim nt chung. Chng minh rng t tt c cc thnh ph c th phn hoch thnh

k + 2 nhm sao cho khng c hai thnh ph no cng mt nhm c th kt ni vinhau.V. Dolnikov.

M1934. Cho 4 s nguyn dng nguyn t cng nhau lp thnh cp s cng vicng sai khc 0. Khng phi tt c tt c chng u chnh phng tuy nhin tch cachng l s chnh phng. Chng minh rng tch ca chng chia ht cho (2520)2.V. Senderov.

M1935. Tt c cc mt ca t din l cc tam gic ng dng nhau. Liu chngc bng nhau khng?V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

62/114



06 - 2010

M1936. Chiu rng b nht ca mt bng giy v hn l bao nhiu c th ctra mt tam gic bt k c din tch l 1.D. Semenov.

M1937. Cc ng trn S1, S2, S3 i mt tip xc ngoi nhau. Gi A,B,C lnlt l cc tip im ca S1 v S2, S1 v S3, S2 v S3. ng thng AB ct ln th 2S2 v S3 ti D v E. ng thng DC ct ln th 2 S3 ti F. Chng minh tam gicDEF vung.I. Rudakov.

M1938. i vi cc s thc x1, x2,...,xn chng minh rng

max{x1, x2,...,xn,x1 ... xn} |x1| + ... + |xn|

2n 1.

N. Osipov.

M1939. Cc nh ca 50 hnh ch nht chia ng trn ra lm 200 cung bngnhau. Chng minh rng gia chng c t nht hai hnh ch nht bng nhau.V. Proizvolov.

M1940. Gi sa l s nguyn dng. Chng minh rng phng trnh x(x+a) = y2

a. vi a = 1, 2, 4 khng c nghim nguyn dng.b. vi nhng s nguyn dng a khc, hy tm cc nghim ca phng trnh ny.V. Senderov.

M1941. Trn mt phng c 44 con hong tc, mi con xem nh mt im vcon ny c th chn hng nhn ca con khc. Sau mt ln gh thm n ca ngi thsn cc con hong tc ny bay t tung v bay n mt v tr khc trn mt phngsau cho mi con ch nhn thy c ng 10 con khc. Chng minh rng s lng cccon hong tc trn mt phng ny b suy gim v s gh thm ca ngi th sn.G. Galperin, V. Senderov.

M1942. Trong gc nhn vi nh O cho trc hai im A,B. Vin bi-da c bnh tA, phn x hoc trn mt cnh ca gc cho ti im M hoc ti N trn

8/22/2019 KVant 2000-2009

63/114

cnh kia n im B. Chng minh rng nu OA = OB th cc im O,A,B,M,Ncng nm trn mt ng trn.A. Zaslavskij

M1943. Trn ng trn t mt vi ci gi (khng t hn ba). u tin c mtgi c t mt qu to v cc gi cn li th rng. Sau sau thc hin nhiuln cch lm nh sau: t mt gi no ly ra mt qu to v b thm vo mi gibn cnh gi mt qu to. Vi s lng gi nh th no th c th t c ntrng hp l tt c cc gi c s lng to bng nhau.I. Akylich.

M1944. Mt chic bn hnh vung c din tch l 5 c th c tri 4 lp khnbng 5 chic khn, mi chic c din tch l 4. Lm cch no thc hin iu ny(cc chic khn c mp k st nhau ch khng c ln nhau trn mi lp, khn c

th c gp).V. Proizvolov

M1945. C phi mi tam gic nhn c th sp trong khng gian sao cho cc nhca n:a. Nm trn nm trn cc cnh mt hnh lp phng no , mi cnh ny i qua mttrong cc nh ca n.b. Nm trn cc ng cho ca mt ca mt hnh lp phng no , mi ng choi qua mt trong cc nh ca n.S. Dvorjanikov, V. Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

64/114



06 - 2010

M1946. AH,CL l cc ng cao ca tam gic ABC, I l tm ng trn nitip, AC= CB. Chng minh rng di hnh chiu CH ca cnh AC ln cnh BCbng di on AB khi v ch khi IH||AB.A. Poljanskij.

M1947. Bnh phng ca mt s t nhin tn cng bng ba ch s ging nhaukhc 0. Chng minh rng ch s tip sau l l.V. Senderov.

M1948. Cc ng trn S1, S2, S3 tip xc ngoi nhau i mt. S1, S2 c cngbn knh v tip xc nhau ti B. S1 v S3 tip xc nhau ti A. S2, S3 tip xc nhauti C. ng thng AB ct ln th 2 S2 ti D. ng thng DC ct ln th 2 S3 tiF. ng thng FA ct ln th 2 S1 ti N. ng thng AC ct ln th 2 S2 ti L.Chng minh DNAL l hnh thoi.

I. Rudakov.

M1949. Trong mt phng ta c a gic u li vi tm l O(0, 0) v mttrong cc nh l im (1, 0).a. Gi s{x1,...,xn} l tp hp cc honh hnh chiu ca cc nh ca a gic lnOx. Chng minh rng tn ti mt a thc bc n vi h s nguyn nhn cc s trnlm nghim.b. Gi s{x1,...,xm} l tp hp cc tung hnh chiu ca cc nh ca a gic lnOy. Chng minh rng tn ti mt a thc bc m vi h s nguyn nhn cc s trnlm nghim.I. Dorofeev.

M1950. Chng minh mt bt gic u c th ct ra thnh cc hnh binh hnhnhng khng th ct ra thnh cc hnh bnh hnh cng din tch.V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

65/114



06 - 2010

M1951. C hai cch phn b khc nhau cc qun xe trn bn c vua, bit rngcch phn b ny c th nhn c t cch phn b kia sau khi mi qun xe i haibc. C phi chng lun ch c cch phn b th 3 ca cc qun xe ny trn bnc sao cho t mi trong hai cch phn b ni th sau khi ca mi qun xe i mt

bc th c th t n trng thi phn b th 3 ?S. Bolchenkov.

M1952. Cho AH l ng cao, BL l phn gic, CM l trung tuyn ca tam gicABC. Chng t rng cc ng thng ny ng quy ti mt im khi v ch khi:a. LH||AB.b. sinA = tanB cosC.A. Poljanskij.

M1953. T mt t giy k vung ct theo ng li thng ra mt a gickhng c l (a gic cng khng nht thit li). Bit rng n c th ct theo ngthng li ra mt hnh ch nht kch thc 2 1. Chng t rng n c t nht mtcnh c di chn.B. Gurovizh.

M1954. Tm tt c cc s chnh phng c dng a0...0b, vi a, b khc 0.V. Senderov.

M1955. im D nm trn ng trung trc ca mt cnh no ca tam gicABC. Chng t rng im C nm trn ng trung trc ca mt cnh ca tam gicABD.

A. Zaslavskij

M1956. Tn ti hay khng mt dy cp s cng tng gm 2005 s t nhin saocho tch ca bt k 4 s no cng chia ht cho lp phng tng ca chng? Nu thaygi thit mt cp s cng v hn th th no?I. Akylich.

M1957. T mt b -mi-n y chn ra mt vi qun v sp chng thnhdy theo ng lut chi. Chng minh rng cc qun -mi-n ca c b c th spxp thnh mt dy sao cho nhng qun c chn vn gi nguyn th t ni (c

8/22/2019 KVant 2000-2009

66/114

th khng lin tip nhau).S. Volchenkov.

M1958. C th tm c cc cp s nguyn dng x, y sao cho

a. x2 + xy + y2,b. x2 xy + y2,l bnh phng ca mt s nguyn. Chng minh rng khng th tm c cc snguyn dng x, y ng thi x2 + xy + y2, x2 xy + y2 u l bnh phng ca mts nguyn.V. Proizvolov, V. Senderov.

M1959. C n tam thc bc hai vi cc h s l cc ch ci v mt ci ti trongsut ng 3n s nguyn dng. Hai ngi ln lt tin hnh tr chi nh sau: Trongmi bc ca h chn t bao mt s v thay n vo h s ch ci m cha c thay

ca mt tam thc no . Ngi chi th nht mong mun mi trong sn

tam thcu c t nht mt nghim nguyn. C th hay khng khi ngi chi th hai (mc dtrong bao cha bt k nhng s no v bt k trng hp chi no ca ngi th nht)mun ngn chn iu ny nu:a. n = 1, b. n = 2, c. n > 2.N. Agakhanov, V. Senderov.

M1960. Hnh chiu ca mt im nm trong t din u xung cc mt l umt ca cc on thng c u mt cn li chnh l cc nh ca t din. B mt cat din b cc on thng ny phn chia thnh 6 min (mi mi min khng phngny c dng gp). Cp min cha cp cnh i din nhau ca t din th c t cng

mu. C 3 mu c t l vng, xanh, . Chng t din tch mi phn c t bimi mu bng nhau.

V. Proizvolov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

67/114



06 - 2010

M1961. im Q nm trong hnh binh hnh ABCD sao cho AQB + CQD =180. Chng minh rng QBA = QDA v QAD = QCD.

V. Proizvolov.

M1962. Hnh ch nht k c vung c ph hon ton bi cc qun -mi-n(dng 2 vung k nhau). Vi hnh ch nht dng no th xy ra trng hp c mtcch ph cc qun -mi-n sao cho c mt cch ph khc cha mt qun -mi-nc gi nguyn v tr so vi cch ph ban u.I. Akylich.

M1963. Cc s nguyn dng x,y,z, (x > 2, y > 1) tha mn xy + 1 = z2. Chngminh rng x c khng t hn 8 c nguyn dng khc nhau.V. Senderov.

M1964. ng trn bng tip ca tam gic khng cn ABC tip xc vi cnhAB ti C, AC,BC ko di ti B, A. ng thng AA, BB ct nhau ti K. Chngminh rng K nm trn ng trn ngoi tip tam gic ABC khi v ch khi bn knhca ng trn ngoi tip ABC v ABC bng nhau.A. Zaslavskij

M1965. Mt cu thang b bc ln nc ca mt ngi nh cha n bc thang. Timi bc thang c th i sang bc cnh n ngoi tr bc trn cng chm n nc nhv bc di cng chm xung t. Trn mi bc thang c thm mi tn ch dn i lnhoc i xung bc tip theo. Ti thi im ban u, t mt bc thang no c mt

8/22/2019 KVant 2000-2009

68/114

ngi ang ng v anh ta bt u di chuyn theo hng ca mi tn ti bc thanganh ta ng sang bc tip theo, ngay sau khi anh ta bc xong th lp tc mi tn nyquay hng ngc li, v tip tc vi quy lut i theo mi tn v mi tn i chiunh th. Hi s bc ln nht m ngi ny c th phi thc hin bc xung t

hoc ln mi nh l bao nhiu?I. Akulich.

8/22/2019 KVant 2000-2009

69/114



07 - 2010

M1966. Chng minh rng nu s 11...11

n s 1

2 11...11

n s 1

chia ht cho 11 th n cng chia

ht cho 121.V. Senderov.

M1967 Trong mt b 11 qu cn vi khi lng khc nhau l cc s nguyn dnggramme. Bit rng tng khi lng 7 qu cn no th ln hn tng khi lng 4qu cn cn li. Tm gi tr b nht c th ca tng khi lng ca tt c cc qu cntrong b ny.O. Podlinskij, I. Bogdanov.

M1968. Mi nh t gic li Q sao cho khi i xng qua ng cho th t gickhng cha nh ny. Cc im nhn c bng php i xng l nh ca t gic Q.a. Chng minh rng nu Q l hnh thang th Q cng l hnh thang.

b. Chng minh t s din tch ca Q

vi Q b hn 3.L. Emeljanov.

M1969. Trn mt sau mi trong 2005 ci th vit mi s khc nhau. Sau mt lnhi c th bit c tp hp cc s vit 3 ci th bt k trong . Hi s cu hi tithiu c th bit chc c s no c vit trn mi ci th.I. Bogdanov.

M1970. Tn ti hay khng mt tam thc bc hai f(x) m vi bt k s nguyndng n th phng trnh f(f(...f(x))) = 0

n ln

c ng 2n nghim thc phn bit?

A. Tolpigo.

M1971. Trn bng k vung 2 n ghi cc s dng sao cho trong mi ct thtng ca hai s ca n bng 1. Chng minh rng, c th b i mt s trong mi ct

trn mi hng cc s cn li c tng khng vt qun + 1

4.

E. Kylikov.

M1972. Trn mt phng cho tp hp v hn cc ng thng L m khng c haing thng no song song. Bit rng nu b mt hnh vung c cnh l 1 trn mt

8/22/2019 KVant 2000-2009

70/114

phng ny th n b ct bi t nht mt ng thng ca tp L. Chng minh rng tnti hnh vung vi cnh:a. 0,8b. 0,75

m n b ct bi khng t hn 3 ng thng thuc L.S. Volchenkov.

M1973. Gi I l tm ng trn ni tip tam gic ABC, AB < AC, M v N ltrung im on AC v cung ABC ca ng trn ngoi tip tam gic ABC. Chngminh rng IM A = IN B.A. Badzjan.

M1974. Trn mt t giy trng k ca-r v hn c hu hn cc vung c tmu en sao cho mi mu en c s chn cc trng k cnh vi n (0, 2 hoc 4).

Chng minh rng mi trng c th t mu hoc vng sao cho mi en c s vng v bng nhau k cnh vi n.A. Glebov, D. Fon-Der-Flaass.

M1975. a. Ti mt ci bn trn c tt c 100 v i biu ca 50 nc, mi nc chai i biu tham d. Chng minh rng c th phn h ra lm hai nhm sao cho trongmi nhm c theo tng i biu t mi nc v vi mi ngi th trong hai ngi ngik vi ngi th khng nhiu hn mt ngi cng nhm.b. Ti mt bn trn c tt c 100 v i biu ca 25 nc v mi nc c 4 i biu.Chng minh rng c th phn h ra lm 4 nhm sao cho mi nhm c theo tng ibiu t mi nc v khng c hai ngi no cng mt nhm ngi cnh nhau.

S. Berlov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

71/114



07 - 2010

M1976. Gi sN l s nguyn dng bt k. Chng minh rng trong ccg vit hthp phn ca hoc l s N hoc l 3N c tm c mt trong cc s 1, 2, 9.P. Zhenodarov.

M1977. Trn hng u tin ca bn c vua t dy 8 qun hu mu en v trnhng cui cng t 8 qun hu mu trng. Hi sau ti thiu bao nhiu nc i th ccqun hu mu trng hon i v tr cho cc qun hu mu en? Bit rng cc huqun trng en i lun phin nhau, v trong mi nc i ch 1 qun hu di chuyn.Qun hu c th i cho, i ngang hoc dc vi s lng ty min l trn ngi ca n khng c qun hu no chn ngang.S. Tokarev,

M1978. Phn gic gc BAD,BCD ca t gic ni tip ABCD ct nhau ti Knm trn ng cho BD. im M l trung im ca BD. ng thng song song

vi vi AD v qua im C ct tia AM tai P, nm ngoi t gic. Chng minh rngDP = DC.V. Shmarov.

M1979. Trn mt ng ph thng t mt vi n tn hiu giao thng sao chovi mt n tn hiu th n c s nguyn dng pht bt mu hoc mu xanh nhnhau, nhng hai n khc nhau th s pht ny c th khc nhau. Mt ti x t iukhin xe ca mnh trn con ph vo mi thi im hoc l i vi vn tc c nh, hocl dng li khi n bt. Anh ta nghin cu ch lm vic ca cc n tn hiuri khng nh rng anh ta c th i t u n ht tuyn ng mt 30 hay 32 phtnhng khng th i trong 31 pht. Liu ngi ti x pht biu nh th liu c chnh

xc khng.I. Bogdanov.

M1980. Chng minh rng bt k hnh a gic li i xng tm vi din tch bng1 c th c t trong mt hnh a gic i xng tm c din tch l 4/3.V. Dolnikov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

72/114



03 - 2009

M1981. Cho bng 11 11 in cc s t nhin t 1 n 121. Dima nhn cc sca bng theo tng hng ngang, cn Sasha nhn cc s ca bng theo hng dc, Tnti hay khng b s ca Dima v Shasa ging nhau hon ton.S. Berlov.

M1982. Vit mt s t nhin bt k trn giy, sau mi giy th ta vit s l tchcc ch s ca s cho. Chng t sau hu hn ln nh vy th s nhn c khngthay i.A. Belov.

M1983. Tn ti bao nhiu trng hp phn tch s 2006 ra cc s hng xp x. Shng c gi l xp x nu chng bng nhau hoc hn km nhau 1 n v.A. Tolpigo.

M1984. Cho 1000 im trong mt phng sao cho khng tn ti bt k b ba imthng hng. Chng minh rng c t hn 1.000.000 tam gic cn c xc nh t 1000im cho.S. Berlov, I. Bogdanov.

M1985. Cho t gic ABCD sao cho khng c bt k 2 cnh song song, vngoi tip ng trn tm O. Trung im ca cc cnh AB,BC,CD,DA ln lt lK,L,M,N. Chng minh rng nu O,K,M thng hng th O,L,N cng thng hng.A. Zaslavskij, M. Ycaev, D. Tsvetov.

M1986. Chng t rng vi 2n s thc tha mn:

x1 x2 ... xn y1 y2 ... yn

th ta c bt ng thc ni=1

xi +

ni=1

yi

2 4n

ni=1

xiyi

P. Camovol, M. Appelbaum.

8/22/2019 KVant 2000-2009

73/114

M1987. Cho mt khi thp din u v khi hnh thp nh din u vi cckhong cch t tm n cc cnh bn tng ng bng nhau. Th tch hnh no lnhn? Hy chng minh iu ny.A Zaslavskij.

M1988. Vi cc s t nhin a no th tn ti cc s nguyn khng m k,m,n thamn ng thc: am10x + an = ak, vi x l s ch s ca an vit trong h thp phn.V. Senderov.

M1989. Trong vng quc n c N thnh ph v n con ng. Mi con ngni lin 2 thnh ph bt k, v t thnh ph ny c th i n mt thnh ph khctrn cc con ng . Mi thnh ph c cc ngi a th, v vo u nm mi mttrong cc thnh ph gi qua mi thnh ph lng ging mt ngi a th (thnh phgi lng ging nu ni vi nhau trc tip bi 1 con ng m khng qua thnh ph

trung gian). Qu trnh gi ngi a th s dng li nu thnh ph ny cn li lngngi a th t hn so vi s thnh ph lng ging ca n.a) Sau mt vi nm th qu trnh gi ngii a th dng li. Chng t rng ccthnh ph gi ngi a th nu nh c chn cch khc th qu trnh vn dng li,di iu kin s lng ngi a th hu hn trong mi thnh ph khng ph thucvo cch chn thnh ph.b) Sau nm vi nm th s lng ngi a th ca tng thnh ph quay tr li nhc. Hi vng quc c t nht l bao nhiu ngi a th.Y. Bogdanov.

1990*. Cho tam gic ABC trn ng ko di ca BC v pha C ly im X.

ng trn ni tip tam gic ABX v ACX ct nhau ti P, Q. Chng minh rngng thng P, Q lun i qua mt im c nh khng ph thuc vo v tr ca X.L. Emelianov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

74/114



04 - 2009

M1991. C 6 ng tin, 1 trong 6 ng tin l ng tin gi (cha bit khilng ng tin gi nng hay nh hn ng tin tht. Ch vi 3 ln cn hy xc nhng tin gi.M. Malkin.

M1992. Lt khi lp phng mt vi ln (mi ln qua mt cnh) sao cho khi lpphng li v v tr xut pht vi cng mt mt trn. Hi mt trn c th c xoay90 so vi v tr lc ban u hay khng?I. Bogdanov.

M1993. Cho tam gic ABC v H l trc tm ca n, gi X l im bt k sao choX khng thuc ng thng cha AH,BH,CH. ng trn ng knh XH ct ccng thng AH,BH,CHtheo th t ti A1, B1, C1 v cc ng thng AX,BX,CXtheo th t ti A2, B2, C2. Chng minh rng A1A2, B1B2, C1C2 ng qui.

A. Zaslavskij.

M1994. a. Trong ti ng 2001 qu nho kh c khi lng 1001g v khng c qunho no c khi lng ln hn 1,001g. Chng t rng c th chia s nho trn vo 2 acn sao cho hiu khi lng ca chng khng ln hn 1g.b. Trong ti ng 2001 qu nho khng c khi lng 1001g, v khng c qu nho noc khi lng ln hn (1 + x)g. Tm gi tr ln nht ca x c th chia vo 2 a cnsao cho hiu khi lng ca chng khng ln hn 1g.I. Bogdanov, E Petrov, D. Karpov.

M1995. Chng t phng trnh sau v nghim trong tp s nguyn dng

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = m(m + 1)2(m + 2)3(m + 3)4.

A. Ivanov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

75/114



04 - 2009

M1996. Tm tt c cc gi tr t nhin n sao cho biu thc sau nhn gi tr nguyn

a1

a2+

a2

a3+

a3

a4+ ... +

an

a1

vi a1, a2, . . . , an phn bit.A. Shapovalov.

M1997. Cho tam gic vung ABC vi din tch 1 n v, v pha ngoi cc cnhtam gic dng cc hnh vung vung tm ln lt l D,E,F. Chng t rng din tchtam gic DEF nh hn 2.V. Filimonov, I. Bogdanov, Yu. Kudriashov.

M1998. C hai hp ng si, hp th nht cha n hn si, hp cn li cha k hnsi. C sau 1 pht ta t ng ly ng mt na s si ca hp c s si l s chn vb qua hp cn li. Qui c: Nu 2 hp u c s si l chn th chn ngu nhin, vc 2 hp u s si l l th qu trnh dng li. Hi tn ti bao nhiu cp (n, k) c tht khng ln hn 1000, sao cho sau 1 khong thi gian nht nh qu trnh dng li.A. Gein.

M1999. C th sp t ln t giy k vung v hn 2005 hnh ch nht gm 3 sao cho mi hnh ch nht c ng mt im chung vi hai hnh ch nht khc vkhng c im chung no vi cc hnh ch nht cn li.K. Knop, S. Berlov.

M2000. C n nh hin trit mt lng v hn chic m vi n mu khc nhau. Cc

nh hin trit ng thi nhm mt li, m mi ngi h i ln u mnh mt ci m(c th cc m c i c cng mu). Tip theo cc nh hin trit m mt ra. Mingi thy cc m c i ca ngi khc nhng khng thy m ca mnh mu g.Sau mi nh hin trit th on mu m ca mnh, vit cc gi nh ca mnh vomt t giy. Chng minh rng cc nh hin trit c th sm kt lun c trong btk trng hp c t nht mt ngi on c mu m ca mnh.(Su tm)

M2001. Cho tam gic ABC v cc ng phn gic AA1, BB1, CC1. S o ccgc tam gic t l vi 4:2:1. Chng minh rng A1B1 = A1C1.

8/22/2019 KVant 2000-2009

76/114

S. Tokarev.

M2002. Tng cc s dng a,b,c bng 1. Chng minh rng

1a

+ 1b

+ 1c 25

1 + 48abc.

Ya. Aliev.

M2003. Chng minh cc khng nh sau a. Vi bt k s nguyn dng a,b,c,nphng trnh

x2 + y2 + z2 = (a2 + b2 + c2)n

lun c nghim nguyn dng x,y,z.b. Vi bt k s chn n 3 v bt k s nguyn dng a,b,c th phng trnhax2 + by2 + cz2 = tn lun c nghim nguyn dng x,y,z,t.

A. Avakian.

M2004. Kahlson c 1000 l mt, cc l khng nht thit phi ging nhau vth tch nhng khng c l no cha nhiu hn 1/100 lng mt trong tt c cc l.Kahlson c th n sng vi lng nh nhau trong 100 l bt k. Chng minh rng saumt s hu hn ba n sng th Kahlson c th n ht s mt trong cc l.D. Musatov.

M2005. Chng t rng bt k hnh a din li n nh no u khng th chia rathnh t hn n 3 t din .

R. Karasev.

8/22/2019 KVant 2000-2009

77/114



04 - 2009

M2006. th hm s tuyn tnh ct th hm s bc hai y = f(x) v thbnh phng ca hm tuyn tnh ny nhn c t hm s y = f(x) bng cch tnhtin xung mt lng p. Hy tm s p.N. Agakhanov.

M2007. T gic ABCD ngoi tip ng trn tm I. Trn on AI v ICly im M v N theo th t sao cho MBN = 1/2ABC. Chng minh rngMDN = 1/2ADC.L. Emelianov.

M2008. Gi c s ca n l nh nu n khng vt qu n/10000, v ln trongtrng hp ngc li. Tp hp cc s n c hu hn hay khng nu tch ca cc c lnca s n khc vi chnh n v bng tch ca cc c s nh ca n.A. Golovanov.

M2009. Tn ti hay khng n > 1 v cc s i mt khc nhau a1, a2, ..., an, b1,b2, ..., bn mi s trong chng l nghim ca mt trong s cc a thc x2 a1x + b1,x2 a2x + b2, ..., x2 anx + bn?A. Badzian.

M2010. Vi cc s nguyn dng m v n. K hiu F(m, n) l s cc hnh dng vung lin thng trong hnh ch nht kch thc mn . Chng rng F(m, n) chn khi

v ch khin(n + 1)

2.m(m + 1)

2chn. (Hnh dng vung lin thng l mt tp khng

rng c vung kiu bn c, sao cho t bt k c th i qua bt k khc ca tp

hp ny theo tng mt, mi ln qua cc chung cnh vi nhau.)A. Badzian.

8/22/2019 KVant 2000-2009

78/114



04 - 2009

M2011. Cc s t nhin t 1 n 100 c phn hoch thnh 50 tp hp. Chngminh rng, tm c trong mt tp hp 3 s l di ca ba cnh tam gic.M. Murashkin.

M2012. Trong t din ABCD h cc ng vung gc xung AB, AC, AD

xung cc mt phng chia gc nh din cnh CD,BD,BC lm i. Chng minh rngmt phng BCD song song vi mt phng BCD.A. Badzian.

M2013. Vi nhng s nguyn dng n no tm c cc s hu t dng, nhngkhng phi l s nguyn a v b sao cho c hai s a + b v an + bn l s nguyn.V. Senderov.

M2014. Trn hai cung AB v BC ca ng trn ngoi tip tam gic ABC, ly

cc im K v L sao cho cc ng thng KL,AC song song. Chng minh rng, tmng trn ni tip tam gic ABK v CBL cch u trung im cung ABC.S. Berlov.

M2015. C th hay khng khi hn mt khung dy thp dng khi lp phng kchthc 2 2 2 c phn hoch thnh cc khung lp phng nh kch thc 1 1 1(nh hnh v) t 18 chi tit cu trc, m mi chi tit nh vy c dng.

a. Dng 3 on ghp i mt vung gc, mi on c di l 1.b. Dng 3 on ghp c hnh ch , mi on di 1.L. Emelianov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

79/114

M2016. Hnh a din li 2n mt (n 3) , v tt c cc mt ca n l tam gic.Tm s nh nh nht, m ti nh l u mt ca ca ng 3 cnh.A. Garber.

M2017. Hnh vung kch thc 3000 3000 c phn hoch ty thnh ccmin (l hnh ch nht kch thc 1 2).a. Chng minh rng, c th t mu cc min bng 3 mu sao cho s min cami mu u bng nhau v mi min c khng nhiu hn 2 min cng mu kvi n (cc min c xem l k nu chng cha c chung cnh).b. Chng minh rng c th t mu cc min bng 4 mu sao cho, s min cami mu u bng nhau v khng c hai min cng mu k nhau.A. Pastor.

M2018. Chng minh rng nu s nguyn dng N c biu din di dng tng

ca 3 s chnh phng m mi s chia ht cho 3, th n cng biu din c di dngtng ca 3 s chnh phng m mi s khng chia ht cho 3.P. Kozlov.

M2019. ng trn tip xc hai cnh bng nhau AB,AC ca tam gic cnABC v ct cnh BC ti K,L. on AK ct ng trn ln th 2 ti M. im Pv Q tng ng i xng vi im K qua im B v C. Chng minh rng ng trnngoi tip tam gic PMQ tip xc vi ng trn .V. Filimonov.

M2020*. Bit rng a thc (x + 1)n 1 chia ht cho a thc P(x) =

xk

+ c(k 1)x(k 1) + ...+ c1x+ c0 no c bc k chn v cc h s c0, c1,...,ck1 ls nguyn l. Chng minh rng n chia ht cho k + 1.A. Garber.

8/22/2019 KVant 2000-2009

80/114



04 - 2009

M2021. Trong phng c n ngi, gia h c cc cp quen nhau. Bit rng nutrong phng cn li 98 ngi th lun lun c th phn hoch h ra thnh 49 cp quennhau. S ti thiu cc cp quen nhau trong phng ny l bao nhiu nua. n = 99, b. n = 100.S. Berlov.

M2022. Cho mt ng trn, im A nm trn v im M nm trong ng trnny. Dy cung BC i qua im M. Chng minh rng ng trn i qua trung imcc cnh ca tam gic ABC nh vy tip xc vi mt ng trn c nh.V. Protasov.

M2023. Gi s a,b,c l cc s nguyn khc 0 v c tng bng 0. Chng minh rnga. (ab)5 + (bc)5 + (ca)5 chia ht cho (ab)2 + (bc)2 + (ca)2.b. an + bn + cn chia ht cho a4 + b4 + c4 vi bt k s t nhin n chia cho 3 d 1.

c. (ab)n

+ (bc)n

+ (ca)n

chia ht cho (ab)2

+ (bc)2

+ (ca)2

vi bt k s t nhin n chia3 d 2.V. Proizvolov, V. Senderov.

M2024. Tn ti hay khng mt hnh a gic u m trong mi cnh bng mtng cho no , v mi ng cho bng mt cnh no .B. Frenkin.

M2025*. Cc s t nhin a,b,c,d lp thnh mt cp s cng tng.a. Chng minh rng, vi bt k s n l th tch abcd c th l s ly tha bc n.b. Chng minh rng, tch abcd khng th l s chnh phng.V. Senderov.

8/22/2019 KVant 2000-2009

81/114

ra k ny - Tp ch Kvant s 01-2007


Thng 04-2009

M2026. Trn cc cnh AB,AC,CD v DA ca hnh vung ABCD ly tngng cc im P , M , N , Q sao cho MN A = 45, P M||AN, AM||N Q. on P Q ctAM, AN tng ng ti cc im F v G. Chng minh rng, din tch ca tam gic

AF G bng tng din tch ca cc tam gic F M P v GN Q.V. Proizvolov.

M2027. Trn bng c vit ba ch s t nhin x,y,z. Petia vit vo t giy camnh tch hay s bt k t ba s , v gim s th ba trn bng i 1. Vi 3 s mitrn bng, mt ln na cu ta li tin hnh cc php ton trn, v c tip tc vy choti khi mt trong cc s bng 0. Hi tng ca cc s trn t giy ca cu lc sbng bao nhiu?E. Gorskij, S. Dorichenko.

M2028. Bit rng nhng "k ni tht" lun ni s tht, nhng "k ni di" lun

ni nhng iu di tr cn nhng "k lu c" c th ni tht hoc ni di. Bn ch cth a ra nhng cu hi vi nhng k ny nhn c cu hi "c" hoc "khng".a. Nu c mt k ni tht, mt k ni di, mt k lu lnh v h u bit nhau th bnlm cch no phn bit h.b. Nu c mt k ni tht, mt k ni di, hai k lu c v tt c h u bit nhau.Chng t rng hai k lu c ny c th tr li sao cho bn khng th bit c chcchn mt ai trong 4 ngi trn khi m bn t ra nhng cu hi vi tt c h.B. Ginzburg, M. Gerver.

M2029. Cho hai cp s nhn v cp s cng v hn c to ra t cc s nguyndng, sao cho chng c chung tt c cc s hng. Chng minh rng gi tr ca cp snhn phi l mt s nguyn.B. Frenkin.

M2030. C th ni tip mt hnh bt din u vo mt hnh lp phng sao chocc nh ca hnh bt din nm cc cnh ca hnh lp phng c hay khng?L. Radzivilovskij.

M2031. Cc ng thng i qua cc trung tuyn ca tam gic ABC ct ngtrn ngoi tip ca tam gic ny ti cc im A1, B1, C1. Cc ng thng i qua

8/22/2019 KVant 2000-2009

82/114

cc nh A,B ,C v song song vi cc cnh i din ct ln th hai ti A2, B2, C2.Chng minh rng A1A2, B1B2, C1C2 ng quy ti mt im.A. Zaslavskij.

M2032. a. Tn ti hay khng mt s t nhin n vi bt k s t nhin k noth t ra mt trong hai s nk 1, nk + 1 c dng ab vi cc s t nhin a v b > 1?b. Mt s t nhin c gi l "phn nguyn t" nu n chia ht cho bnh phng cs nguyn t bt k ca n. Hai s t nhin c gi l "gi tr gn nhau" nu chngsai khc nhau 2 n v. Hi c v hn hay hu hn cc cp s phn nguyn t gi trgn nhau.V. Senderov.

M2033. Mt ngi c mt b bi gm 52 con. Anh ta cng b cho mi ngi ubit con nm trn cng v di cng ca b bi . Mi ngi c th t cu hi dng

"c bao nhiu qun bi gia qun... v qun...". Hi cn phi t ra t nht l baonhiu cu hi i vi ngi ny bit c th t ca ton b cc qun bi trong cb bi.A. Shanovalov.

M2034. Trn cc cnh AB,BC,CA ca tam gic ABC ly tng ng cc imX , Y , Z sao cho tam gic XY Z ng dng vi tam gic ABC (X = A,Y = B).Chng minh rng tm ng trn ngoi tip ca tam gic XY Z cch u cc giaoim ca cc ng cao.N. Nikolov.

M2035. a. Trn ng trn t mt vi cc s nguyn dng sao cho chng ukhng ln hn 1. Chng t rng, cc s ny c th phn hoch thnh 3 nhm sao chotng cc s hai nhm bt k sai khc nhau khng qu 1 (Nu mt nhm khng c sno, xem nh tng ny xem nh bng 0).b*. t mt vi cc s dng khng ln hn 1 ln mt on thng. Chng minh rngc th phn hoch

kvant 2000-2009

Documents