kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu...
TRANSCRIPT
![Page 1: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/1.jpg)
Kvantu algoritmi lineāru
vienādojumu sistēmu risināšanai
Andris Ambainis
LU Datorikas fakultāte
Datorzinātnes lietojumi un tās saiknes ar kvantu fiziku
Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044
LU 69. konference, 2011. gada 4. februārī
![Page 2: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/2.jpg)
Varbūtiska sistēma
q1
q2
q4
q3
0.5 0.2 0.1
0.2
![Page 3: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/3.jpg)
Kvantu sistēma
q1
q2
q4
q3
1
2 3
4
i – kompleksi skaitļi
![Page 4: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/4.jpg)
Kvantu sistēma
q1
q2
q4
q3
1
2 3
4
Mērot iegūstam qi ar varbūtību |i|
2.
![Page 5: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/5.jpg)
Lineāras vienādojumu sistēmas
NNNNNN
NN
NN
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
Zināms: a11, a12, ..., aNN, b1, b2, ..., bN.
Jāatrod: x1, x2, ..., xN.
![Page 6: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/6.jpg)
Lineāras vienādojumu sistēmas
Klasiskais algoritms: O(N2.38...).
Ieejas datu apjoms: N2.
Izejas datu apjoms: N.
NNNNNN
NN
NN
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
![Page 7: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/7.jpg)
[Harrow-Hassidim-Lloyd, 2008]
Algoritma rezultāts – kvantu stāvoklis:
N stāvokļi – log N kvantu biti.
Stāvokli var radīt O(log N) laikā.
Nxxx N ...21 21
O(N2.38...) O(log N)
![Page 8: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/8.jpg)
Scientific American
Warp-Speed
Algebra: New
Algorithm Does
Algebra in a Snap
New quantum
algorithm can solve
monster-size
equations.
![Page 9: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/9.jpg)
[Harrow-Hassidim-Lloyd, 2008]
Algoritma rezultāts – kvantu stāvoklis:
Trūkums: no kvantu stāvokļa nevar nolasīt visu
atrisinājumu x1, x2, ..., xN.
Var iegūt daļēju informāciju par atrisinājumu.
NxxxN
...21 21
![Page 10: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/10.jpg)
Pamatideja
N
i
i ib1
N
i
i ix1
Zināms Risinājums
NNNNNN
NN
NN
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
![Page 11: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/11.jpg)
Pamatidejas
NNNN
N
N
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Nx
x
x
x...
2
1
Nb
b
b
b...
2
1
bAx
bAx 1
N
i
i ib1
N
i
i ix1
![Page 12: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/12.jpg)
Algoritma darbības laiks
1. Atkarība no vienādojumu/nezināmo skaita:
O(log N).
2. Kondīcijas skaitlis k.
![Page 13: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/13.jpg)
Kondīcijas skaitlis
Cik daudz mainās atrisinājums,
nedaudz izmainot b1, b2, ..., bN?
NNNNNN
NN
NN
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
![Page 14: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/14.jpg)
Kondīcijas skaitlis
Nx
x
x
...
2
1
Nx
x
x
...
2
1
Izmaiņa: .
Nb
b
b
...
2
1
Izmaiņa: min.
Izmaiņa: max.
min
max
k
![Page 15: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/15.jpg)
Algoritma ātrdarbība
[Harrow, Hassidim, Lloyd, 08]: O(k2 log N).
[A, 2010]: O(k log N).
![Page 16: Kvantu algoritmi lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai · 2012-11-13 · vienādojumu sistēmu risināšanai Andris Ambainis LU Datorikas fakultāte Datorzinātnes lietojumi](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040512/5e5e263be01b855eb769f500/html5/thumbnails/16.jpg)
Algoritma pielietojumi
Kā var izmantot atrisinājumu – kvantu stāvokli?
[Rivošs, 2010]: piemēri, kur no šāda atrisinājuma
var iegūt lietderīgu informāciju (piemēram, xi=1
vienam i, xj=0 pārējiem j).
NxxxN
...21 21