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Épine 0,48 po. / 12,19 mm – 226 pages – 120 M

puq.ca

ISBN 978-2-7605-3739-2

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L’apprentissage à travers des situations-probLèmes

mathématiques

Laurent theis, nicoLe GaGnon

bases théoriques et réaLisation pratique

Presses de l’Université du Québec

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a résolution de situations-problèmes est au centre de l’enseignement des mathématiques au primaire. Cet ouvrage vise ainsi à outiller les ensei-

gnants et les futurs enseignants du primaire en rendant compte d’une recherche-action réalisée dans une classe de 3e cycle d’une école primaire alternative. issu d’une collaboration entre un chercheur en didactique des mathématiques et une enseignante du primaire d’expérience, il allie à la fois les points de vue théorique et pratique.

après avoir exposé les fondements théoriques à la base de leur approche, les auteurs présentent les neuf situations-problèmes expérimentées, touchant à des notions telles que les nombres décimaux, les frac-tions, les pourcentages, la statistique et la géométrie. pour chacune des situations-problèmes, les éléments nécessaires à sa réalisation sont fournis, les enjeux conceptuels sous-jacents sont décrits et les stratégies auxquelles les élèves ont eu recours sont analysées. Les différents aspects de la gestion didactique de l’activité sont également abordés. rédigés sous forme de dialogues entre le chercheur et l’enseignante, ces chapitres traitent de sujets comme l’aide à fournir aux élèves aux prises avec un blocage, la fonction des retours collectifs pour l’apprentissage ou encore la prise en compte des élèves en difficulté dans la classe. si les auteurs ne prétendent pas fournir une recette miracle, la gestion d’une classe étant trop complexe pour pouvoir être résumée en quelques principes qui fonctionnent en tout temps, leur ouvrage contient toutefois des pistes de réflexion fort utiles et éclairantes.

Laurent theis est professeur agrégé au Département de l’enseignement au préscolaire et au primaire de la Faculté d’éducation de l’université de sherbrooke et membre du Centre de recherche sur l’enseignement et l’apprentissage des sciences (Creas).

niCoLe GaGnon est enseignante à l’école primaire alternative publique L’Écollectif, à sherbrooke.

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mathématiques

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Theis, Laurent, 1974-

L’apprentissage à travers des situations-problèmes mathématiques : bases théoriques et réalisation pratique

Comprend des réf. bibliogr.

ISBN 978-2-7605-3739-2

1. Mathématiques – Étude et enseignement (Primaire) – Méthodes actives. 2. Apprentissage par problèmes. 3. Apprentissage expérientiel. 4. Interdisciplinarité en éducation. I. Gagnon, Nicole, 1954- . II. Titre.

QA135.6.T43 2013 371.7’044 C2013-940432-5

ttabledes matières

IntroDuCtIonLes situations-problèmes au centre de notre approche .................................... 1

1. Quelques éléments de contexte ................................................................... 31.1. En exemple pour illustrer ce que nous entendons

par situation-problème ........................................................................... 41.2. Un rôle central dans l’enseignement et l’apprentissage

des mathématiques ................................................................................. 51.3. Franchissement d’un obstacle conceptuel ....................................... 61.4. Des situations-problèmes situées en début

de séquence d’apprentissage................................................................ 71.5. Des situations-problèmes contextualisées ..................................... 71.6. Des situations-problèmes accessibles au départ .......................... 81.7. Résolution des situations-problèmes

au sein de travaux d’équipe .................................................................. 81.8. Apport de la structure de la situation-problème

pour la validation ..................................................................................... 8

2. Méthodologie employée.................................................................................. 92.1. Des points de départ différents pour l’élaboration

des situations-problèmes ...................................................................... 9

TABLE DES MATIÈRES

VIII L’apprentissage à travers des situations-problèmes mathématiques

2.2. Une mise en forme de la situation-problème qui favorise le travail sur le concept identifié ................................ 10

2.3. Expérimentation de la situation en classe ...................................... 112.4. Discussions sur la gestion didactique

des situations-problèmes ...................................................................... 12

SItuatIon-problème 1 Calcul de taxes – Pourcentages et nombres décimaux ......................................... 15

1. Enjeux conceptuels de la situation.............................................................. 171.1. Opérations de base sur les nombres décimaux ............................. 171.2. Contexte particulier lié à l’utilisation de l’argent ......................... 181.3. Travail avec les pourcentages .............................................................. 191.4. Représentation des problèmes de pourcentage ............................ 20

2. Stratégies des élèves –Déterminer le prix avant taxes ........................ 23

3. Stratégies des élèves – Calcul des taxes ................................................... 29

DiscussionLes mises en commun en grand groupe comme moyen de faire avancer la résolution du problème ............................................................................................... 34

SItuatIon-problème 2 Le tableau d’amélioration en écriture : construction du tableau – Division, nombres décimaux, mesure ............................................................................ 41

1. Enjeux conceptuels de la situation.............................................................. 43

2. Analyse des stratégies d’élèves ..................................................................... 44

DiscussionQuelles interventions privilégier lorsqu’il y a un blocage dans la résolution d’un problème ? .............................................................................. 49

SItuatIon-problème 3 Travailler avec le tableau d’amélioration en écriture – Raisonnement proportionnel, pourcentage ................................................................. 55


2. Analyse des stratégies des élèves lors de la première présentation de la situation-problème................................................................................. 59

3. Passage à une stratégie permettant de convertir n’importe quelle longueur de texte à la fin de l’année ........................ 60

DiscussionQuel moment pour introduire des algorithmes standardisés au primaire ? ...... 64

SItuatIon-problème 4 Boîtes de Noël – Géométrie, périmètre du cercle .................................................... 73


2. Description des stratégies des élèves ........................................................ 75

DiscussionQuel soutien pour le processus de résolution de problèmes ? ............................ 82

IXTable des matières

SItuatIon-problème 5 Barres granola – Opérations sur les fractions .......................................................... 89


2. Analyse des stratégies des élèves ................................................................ 932.1. Recours à différents modèles pour représenter les fractions ... 932.2. Émergence de stratégies originales ................................................... 972.3. Difficultés majeures chez certains élèves ........................................ 982.4. Multiplication de fractions et traitement

du reste d’une division ............................................................................ 99

DiscussionLa gestion des différents niveaux d’élèves dans la classe .................................... 103

SItuatIon-problème 6 La fonte de la calotte glaciaire – Calcul de l’aire d’une surface irrégulière, pourcentage .......................................................................................................................... 109


2. Analyse des stratégies d’élèves ..................................................................... 113

DiscussionLa gestion de l’erreur en résolution de problèmes : à quel moment faut-il intervenir ? ................................................................................ 119

SItuatIon-problème 7 Préparation pour la sortie scolaire – Statistiques, raisonnement proportionnel ........................................................................................................................ 127

1. Préparation de la situation-problème en classe ..................................... 128


3. Analyse des stratégies utilisées par les élèves ....................................... 135

4. Traitement de la deuxième tâche comprenant des données qualitatives ................................................................................ 140

DiscussionEst-ce préférable de prévoir un travail en équipe ou un travail individuel pour résoudre des situations-problèmes ? ................................................................. 142

SItuatIon-problème 8 Les valeurs nutritives – Pourcentage, raisonnement proportionnel ................. 149

A. Trouver l’apport quotidien recommandé (le 100 %)............................... 1511. Enjeux conceptuels de la situation .................................................... 1512. Analyse des stratégies des élèves ...................................................... 153

B. Le travail sur un repas ...................................................................................... 1581. Enjeux de la situation-problème ........................................................ 1592. Analyse des stratégies d’élèves............................................................ 160

DiscussionEnjeux et limites de la contextualisation en enseignement des mathématiques ............................................................................................................ 166

X L’apprentissage à travers des situations-problèmes mathématiques

SItuatIon-problème 9 Calcul de la durée du jour – Calcul dans d’autres bases, situations non proportionnelles ..................................................................................... 175

1. Enjeux conceptuels de la situation.............................................................. 1771.1. Calcul de la durée du jour ..................................................................... 1771.2. Calcul de la durée du jour et reconnaissance

du caractère non proportionnel de la situation ............................ 177

2. Analyse des stratégies des élèves ................................................................ 1822.1. Calcul de la durée du jour ..................................................................... 1822.2. Prédiction de la durée du jour pour le 20 juin ............................... 188

DiscussionÉvaluation des apprentissages ...................................................................................... 193

ConCluSIon ................................................................................................................................... 201

anneXe .............................................................................................................................................. 207

bIblIographIe ............................................................................................................................... 211

INTRODUCTION IIntroductionleS SItuatIonS-problèmeS au Centre de notre approChe

Quel lien pouvons-nous établir entre la recherche en didactique des mathématiques et le savoir expérientiel développé par des enseignants d’expérience ? C’est la question centrale à laquelle nous tenterons de répondre dans cet ouvrage.

D’un côté, la didactique, telle qu’elle est décrite dans la recherche, propose des outils qui permettent d’analyser ce qui se passe lors de l’appren-tissage ou lors de l’enseignement des mathématiques. En revanche, cette didactique ne donne que peu d’informations sur les actions à entreprendre pour faire avancer l’apprentissage des élèves. Dans un certain sens, la didac-tique est très analytique, mais très peu prescriptive. Cependant, cela ne veut pas dire que la didactique n’est pas utile pour l’enseignant. Afi n que celui-ci puisse intervenir de manière adéquate, il doit comprendre comment l’élève apprend les mathématiques et avoir à sa disposition des outils qui lui per-mettent d’analyser ce qui se passe en classe. Le rôle de la didactique est donc essentiel, même si elle ne donne pas nécessairement de « recettes » sur la façon de procéder en classe. Selon nous, la didactique fournit à l’enseignant les outils d’analyse sur lesquels il peut se baser pour guider sa pratique.

2 L’apprentissage à travers des situations-problèmes mathématiques

D’un autre côté, cette didactique n’apporte pas nécessairement de réponses quant à la gestion didactique de l’activité mathématique de l’élève en classe. Ce savoir-faire, développé par les enseignants à travers leur expérience au fil des ans, reste ainsi souvent à un niveau implicite et est peu accessible aux autres enseignants. Or, nous sommes convaincu que cette expertise développée par les enseignants peut aider d’autres enseignants à développer leurs pratiques.

Dans cet ouvrage, nous faisons le pari de tenter de concilier ces deux points de vue, celui de la recherche et celui de la pratique, autour de la thé-matique de la résolution de situations-problèmes en mathématiques. Cette thématique nous semble centrale pour l’apprentissage des mathématiques, puisque résoudre des situations-problèmes est au cœur de l’activité faire des mathématiques. Le présent ouvrage est le fruit d’une longue collabora-tion entre un chercheur en didactique des mathématiques dont les travaux s’intéressent aux situations-problèmes mathématiques et une enseignante du primaire, qui a, depuis de nombreuses années, développé un grand intérêt et une expertise dans la conception et la gestion de situations-problèmes en mathématiques.

Cette collaboration s’est concrétisée au sein de l’école primaire alternative et publique L’Écollectif de Sherbrooke. Le projet éducatif de l’Écollectif est particulier en ce sens que les enseignants y mettent en pra-tique depuis de nombreuses années une approche centrée sur les projets et axée sur le développement de l’autonomie des élèves du primaire. Au fil des années, et bien avant l’introduction des programmes par compétences au Québec, les enseignants des différents cycles, et particulièrement Nicole Gagnon, y ont développé un enseignement des mathématiques centré sur des situations-problèmes mathématiques, complexes et signifiantes. C’est cette longue expérience dans la mise en place d’une telle approche qui fait de cette école un milieu particulièrement intéressant pour tenter de décrire l’expertise enseignante qui s’y est développée. En même temps, le carac-tère alternatif de cette école ne devrait pas être compris comme un obstacle pour une utilisation plus large des situations-problèmes que nous y avons expérimentées. D’une part, les caractéristiques des élèves qui fréquentent cette école sont similaires à celles d’autres écoles, que ce soit au regard du nombre d’élèves considérés en difficulté ou du milieu socioéconomique des parents. D’autre part, la présence de classes regroupant des élèves de deux années différentes, généralisée dans cette école, est de plus en plus obser-vée dans d’autres écoles primaires. Finalement, même si l’expérimentation de nos activités s’est déroulée dans un contexte d’une approche centrée sur les projets, elle pourrait tout aussi bien s’insérer dans d’autres types de projets

3Introduction

pédagogiques. Nous pensons donc que les activités de mathématiques que nous décrirons dans ce livre pourraient être utilisées telles quelles ou avec un certain nombre de modifications, dans n’importe quelle autre école primaire.

Les chapitres de ce livre sont articulés autour de trois thématiques bien différentes. D’abord, l’introduction vise à situer le concept de situation-problème tel que nous l’entendons et à décrire les principes qui sont à la base de notre collaboration. Ensuite, nous décrirons les situations-problèmes sur lesquelles nous avons travaillé en classe avec les élèves de 3e cycle du primaire (5e et 6e année). Chacune des situations-problèmes propose une des-cription du déroulement, une analyse des concepts qui sont abordés à travers la situation-problème et des obstacles que les élèves doivent surmonter ainsi qu’une analyse des stratégies auxquelles ont eu recours les élèves lors de l’expérimentation. Finalement, une série de sections, intercalée entre les des-criptions des situations-problèmes, vise à croiser les regards théorique et pratique posés sur différentes thématiques en lien avec la gestion didactique des activités en classe. Ces sections sont présentées sous forme de dialogue. Ainsi, les particularités des discours pratiques et théoriques restent intactes et deux points de vue différents éclairent une même question.

Il importe enfin de noter qu’à travers cet ouvrage nous ne tentons pas de montrer comment il faut enseigner les mathématiques au primaire. Même si les situations que nous soumettons peuvent être reprises par d’autres enseignants dans leur classe, notre propos est plutôt analytique et ne vise pas à prescrire certaines pratiques en particulier. Nous espérons cependant pouvoir faire avancer la réflexion du lecteur sur ses propres pratiques à travers la présentation de points de vue différents, mais complémentaires.

1 QuelQueS élémentS de ConteXte

Avec le renouveau pédagogique qui a cours au Québec en enseigne-ment primaire depuis 2000, la résolution de problèmes ou de situations- problèmes est devenue un pivot de l’enseignement des mathématiques. Ainsi, les programmes de formation du primaire (MEQ, 2001) mettent le développement de la compétence « résoudre une situation-problème mathé-matique » au centre de l’enseignement des mathématiques.

Pour le MEQ (2001), une « situation-problème [en mathématiques] se caractérise par le fait qu’il y a un but à atteindre, une tâche à réaliser ou une solution à trouver » (p. 126). Par ailleurs, cette solution « ne saurait être atteinte d’emblée, car il ne s’agit pas d’un exercice d’application. Sa quête suppose, au contraire, raisonnement, recherche et mise en place de straté-gies mobilisant des connaissances » (ibid. , p. 126). La résolution de problèmes


assume alors un double rôle à l’intérieur du programme de formation : moyen pédagogique, d’un côté, et compétence à développer de l’autre. « Le traitement de situations-problèmes est omniprésent dans les activités mathématiques. En tant que processus, la résolution de situations-problèmes constitue un objet d’apprentissage en soi. En tant que modalité pédagogique, elle sou-tient la grande majorité des démarches d’apprentissage en mathématique » (ibid. , p. 124).

Dans la littérature scientifique, il n’y a pas de définition univoque de ce qu’est un « problème » ou une « situation-problème ». Ainsi, pour Nesher, Hershkovitz et Novotna (2003), la résolution de problèmes est un terme géné-rique plutôt vague qui englobe plusieurs approches théoriques différentes. Il en va de même pour Francisco et Maher (2005), qui relèvent que la réso-lution de problèmes a été associée à diverses significations, qui reflètent des points de vue différents sur les mathématiques et l’apprentissage des mathématiques.

Pour notre part, nous nous appuyons sur la définition d’Astolfi (1993), utilisée largement dans la communauté didactique. Cette définition, que nous allons expliciter dans les prochains paragraphes en donnant un exemple de situation-problème, présente un certain nombre de ressemblances, mais éga-lement des différences importantes, avec les définitions actuellement utili-sées dans les documents ministériels québécois.

1.1. en exemple pour illustrer ce que nous entendons par situation-problème

Afin d’illustrer certaines caractéristiques des situations-problèmes que nous proposons dans cet ouvrage, nous aurons recours à la consigne de la situation de la fonte des glaciers, présentée de manière plus détaillée à la page 109 et destinée, comme les autres situations-problèmes décrites dans cet ouvrage, à des élèves du troisième cycle du primaire.

ExEmplE dE consignE dE départ

Voici une image satellite de la calotte glaciaire au-dessus de l’arctique. la ligne bleue représente l’étendue de la calotte glaciaire en 2003. la surface blanche constitue la prévision de climatologues de l’étendue de la calotte glaciaire en 2020. Quelle est l’étendue de la calotte glaciaire prévue en 2020 par rapport à aujourd’hui (2003) ?

5Introduction

Source : ACIA (2004). Impacts of a Warming Arctic : Arctic Climate Impact Assessment, ACIA Overview Report, Cambridge, Cambridge University Press, <http://amap.no/acia/>, consulté le 5 mars 2013. Nous tenons à remercier Marie-Pier Morin pour l’idée originale de transformer ces résultats de recherche en activité mathématique.

Figure 1. Image de la calote glaciaire fournie aux élèves

Quelles sont les caractéristiques d’une situation-problème comme celle-ci et comment sont actualisés les critères d’Astolfi (1993) dans cette tâche ?

1.2. un rôle central dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques

Tout d’abord, au niveau de la fonction de la situation-problème, elle joue pour Astolfi (1993) un rôle central dans l’enseignement mathématique.

Dans les cas des situations-problèmes […], le problème devient le moyen même de l’apprentissage, puisque c’est autour de lui que va se nouer le dispositif didactique. Le problème est ici la source, le lieu et le critère de l’élaboration du savoir. C’est lui qui va permettre l’engagement de l’élève dans une résolution et qui va catalyser la genèse des instruments intellectuels, dont la construction se révélera nécessaire, chemin faisant (ibid., p. 313).

Outre la place occupée par les situations-problèmes en enseigne-ment, la fonction décrite ici a d’autres implications importantes, puisque la situation-problème y est considérée comme une source, un lieu et un critère d’élaboration d’un savoir. Pour Antoine (1999), le critère de la construction des savoirs est d’ailleurs un des éléments clés qui distinguent la situation-problème du problème d’application. « [La situation-problème est] un problème dont l’objectif est à l’opposé de celui du problème d’appli-cation, puisqu’il ne s’agit plus d’exercer et de renforcer les connaissances existantes, mais bien de découvrir le savoir à partir du problème, de lui donner du sens » (ibid. , p. 102).

http://amap.no/acia/

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1.3. Franchissement d’un obstacle conceptuelDans ce sens, un autre élément important concerne la nature de l’obstacle à franchir dans une situation-problème. Si les documents ministériels qué-bécois ne donnent pas nécessairement d’indication quant à la nature de cet obstacle, Astolfi (1993) précise la place centrale qu’occupe l’obstacle et sa nature. « Une situation-problème est organisée autour du franchissement d’un obstacle par la classe, obstacle préalablement identifié » (p. 319). L’obstacle à franchir dans la situation-problème ne relève, par conséquent, pas du hasard, mais de la situation qui a été construite expressément pour permettre son franchissement par l’élève. L’obstacle est également clairement identifié par Astolfi (1993) comme étant de nature conceptuelle. « La situation-problème se justifie par le fait que des obstacles à la connaissance se présentent pour les élèves, qui les empêchent de saisir immédiatement ce qu’on se propose de leur faire acquérir » (p. 318). Pour qu’il y ait situation-problème au sens d’Astolfi (1993), il devient donc nécessaire que l’obstacle à franchir soit de nature conceptuelle. Dans ce sens, chacune des situations-problèmes que nous allons décrire dans cet ouvrage est centrée autour d’un concept mathé-matique particulier. La situation-problème n’est alors pas une fin en soi, mais un prétexte qui permet de travailler sur des concepts mathématiques bien identifiés.

Nous pouvons donc retrouver dans la construction du savoir une diffé-rence importante avec la définition du MEQ (2001), qui, comme nous l’avons vu un peu plus tôt, met l’accent sur le « raisonnement, [la] recherche et [la] mise en place de stratégies mobilisant des connaissances » (p. 126 ; nous sou-lignons). Cette différence nous apparaît fondamentale : dans les définitions utilisées en didactique, c’est le savoir même qui est construit à travers la résolution d’une situation-problème tandis que dans les documents minis-tériels, ce savoir n’y est pas construit, mais seulement réinvesti et mobilisé. Lors de notre travail en classe, c’est la première fonction du problème, centrée autour de la construction d’un savoir, qui est au cœur de nos actions.

Dans le cas de la situation de la calotte glaciaire, le savoir à construire se situe essentiellement à deux niveaux. Comme il faut calculer l’aire de deux figures irrégulières, les élèves doivent trouver un moyen de calculer cette surface, alors qu’aucun algorithme qu’ils connaissent ne permet de le faire directement. Par ailleurs, ils doivent trouver une façon d’exprimer la différence qu’ils obtiennent entre les deux surfaces sous forme d’un rapport, d’une fraction ou d’un pourcentage. Voilà les savoirs qu’il s’agit de construire dans cette situation, et qui constituent en même temps des obstacles à franchir.

7Introduction

1.4. des situations-problèmes situées en début de séquence d’apprentissage

La posture voulant que les situations-problèmes servent à construire des savoirs a des implications importantes sur la place qu’occupent les situations-problèmes dans une séquence d’enseignement. Si nous considérons que le savoir se construit à l’intérieur d’une situation-problème, il devient important que la situation-problème se situe au début d’une séquence d’apprentissage d’un concept (Antoine, 1999). En effet, dans une approche, où l’on présenterait d’abord les contenus à apprendre, qui seraient ensuite réinvestis dans le cadre d’une situation-problème, la fonction du problème changerait considérable-ment, puisque ce ne serait plus le lieu où se construit le savoir.

Pour la situation des glaciers, cela signifie qu’elle est travaillée par les élèves sans que nous ayons présenté auparavant les différents conte-nus mathématiques qu’il faut élaborer dans la situation. Nous ne travaillons pas préalablement, dans d’autres tâches, sur des manières qui permettraient de calculer des aires de figures irrégulières, et il n’y a pas de travail fait au préalable sur les rapports ou les pourcentages. Comme le mentionne Astolfi (1993), les élèves ne disposent pas, au départ, de tous les moyens et de toutes les connaissances nécessaires pour résoudre la situation-problème. C’est à travers la situation-problème des glaciers que se construisent ces connaissances. Cela ne veut cependant pas dire que, dans la classe, il n’y a aucune tâche d’application qui est proposée aux élèves. La différence touche le moment où sont présentées ces situations : elles n’apparaissent qu’une fois que les élèves ont eu l’occasion de démarrer la construction des connais-sances visées dans des situations-problèmes1.

1.5. des situations-problèmes contextualiséesLa contextualisation est un autre critère d’une situation-problème pour Astolfi (1993, p. 319). « L’étude s’organise autour d’une situation à caractère concret, qui permette effectivement à l’élève de formuler hypothèses et conjectures. » Dans la situation des glaciers, ce contexte provient d’un article de journal qui nous a permis de développer la situation-problème. Pour d’autres activi-tés réalisées en classe, nous tentons d’insérer les situations-problèmes dans un contexte relié soit à la vie de la classe, au quotidien ou aux intérêts des élèves. Dans tous les cas, nous tentons d’avoir des contextes les plus authen-tiques possibles, notamment pour minimiser les risques qu’apparaissent cer-tains effets reliés au contexte et que nous allons décrire plus en détail à la page 166.

1. Dans cet ouvrage, nous allons nous limiter à la description des situations-problèmes, puisque c’est là que se situe l’originalité de notre recherche.


1.6. des situations-problèmes accessibles au départUne autre caractéristique de notre situation est que, d’une part, il est assez facile au départ d’envisager quelle forme prendra la réponse finale. Lorsque nous proposons la situation de la fonte de la calotte glaciaire à des élèves du primaire, ils se rendent généralement compte assez rapidement qu’il est nécessaire de trouver une réponse sous forme de fraction ou de pourcen-tage et d’envisager les premières stratégies qui permettront l’exploration du problème. En même temps, les concepts qu’elle contient sont suffisamment complexes pour qu’ils posent un véritable défi pour les élèves. La manière de transformer les résultats obtenus en une fraction ou un pourcentage consti-tuent alors des défis considérables. Dans ce cadre, Astolfi (1993) souligne l’importance que la situation-problème ne soit pas perçue comme étant hors d’atteinte par les élèves et qu’en même temps elle offre une résistance suffi-sante pour permettre l’élaboration de nouvelles idées.

1.7. résolution des situations-problèmes au sein de travaux d’équipe

Lors de la résolution de ces situations-problèmes en classe, les élèves fonc-tionnent de manière générale en équipe, afin qu’ils puissent avancer à travers les argumentations et les confrontations de points de vue. Astolfi (1993) parle, dans ce contexte, d’un « mode du débat scientifique à l’intérieur de la classe, stimulant les conflits sociocognitifs potentiels » (p. 319). Dans ce sens, le débat et les échanges sont également les modes d’intervention privilégiés lors des différents moments de travail collectif. Lors du retour sur le proces-sus de résolution à la toute fin du travail sur la situation-problème, ce sont plutôt les concepts travaillés dans la situation ainsi que les stratégies utili-sées pour résoudre la situation-problème qui sont abordés. Dans le cas de la situation-problème sur la fonte des glaciers, ce sont les concepts centraux travaillés dans l’activité, à savoir le calcul de l’aire d’une surface irrégulière et les pourcentages, qui ont été évoqués lors de ces retours en grand groupe. Ces aspects de la gestion des situations-problèmes en classe seront traités plus en détail à la page 34.

1.8. apport de la structure de la situation-problème pour la validation

Un dernier critère d’Astolfi (1993), plus difficile à mettre en place celui-là, concerne le soutien qu’offre la structure du problème pour la validation des différentes stratégies. Selon Astolfi (1993, p. 319), « la validation de la solution et sa sanction n’est pas apportée de façon externe par l’enseignant, mais résulte du mode de structuration de la situation elle-même ». De quelle manière peut alors concrètement se faire cette validation ? Tout d’abord, dans

9Introduction

la situation-problème sur la fonte des glaciers, la comparaison des résultats obtenus par les différentes équipes à la suite du travail de compilation des aires peut être une façon de valider les réponses. Bien sûr, cette validation est plutôt pragmatique, puisqu’il est toujours possible que toutes les équipes se soient trompées dans leur travail. Par ailleurs, la confrontation des résul-tats obtenus à la tâche initiale peut également contribuer à leur validation. Comme nous le verrons dans la description de cette situation- problème, à partir de la page 109, certains élèves se servent des périmètres des deux figures pour conclure sur l’aire. Cependant, comme les deux périmètres ont des longueurs presque égales, c’est la structure même de la situation qui permet la validation : les deux périmètres étant presque identiques, les résul-tats obtenus par cette stratégie indiqueraient que la calotte glaciaire n’a presque pas diminué. Or, en confrontant ces résultats à l’image initiale, nous voyons bien que ce résultat ne peut pas être correct.

La structuration de l’activité afin de donner cette rétroaction n’est cependant pas facile et n’est pas contenue dans toutes les situations. Dans les tâches statistiques par exemple, il s’agit souvent de déterminer quel outil, parmi plusieurs disponibles, est le plus adapté pour répondre à la question posée. Toutefois, il n’y a pas de réponse définitive et unique à cette interroga-tion, et c’est par le débat et l’argumentation qu’est alors tranchée la validation du choix d’un outil.

2 méthodologIe employée

Avant de procéder à la description des différentes situations-problèmes pro-posées aux élèves, il convient de décrire succinctement la méthodologie que nous avons utilisée pour l’élaboration et l’expérimentation des situations-problèmes, pour l’analyse des stratégies des élèves et pour le travail sur les chapitres reliés à la gestion didactique des situations-problèmes en classe.

Au départ, il convient de signaler qu’il n’existe pas de « recette infail-lible » pour l’élaboration d’une situation-problème riche et adaptée aux besoins des élèves. En revanche, nous espérons, en dégageant les principes sous-jacents à notre démarche, rendre explicites les leviers sur lesquels nous avons tenté d’agir afin de maximiser le potentiel de nos situations-problèmes.

2.1. des points de départ différents pour l’élaboration des situations-problèmes

Les points de départ à partir desquels les situations présentées dans cet ouvrage ont été élaborées diffèrent largement. D’un côté, bon nombre de situations avaient déjà été utilisées dans la classe de Nicole Gagnon avant


notre collaboration intensive et ont seulement fait l’objet de quelques ajustements. D’autres situations ont été développées spécialement pour ce projet. D’un autre côté, nous avons constaté que nous avons utilisé plusieurs points de départ différents dans l’élaboration des situations-problèmes. Pour certaines d’entre elles, nous sommes partis d’un concept puis nous avons essayé de construire une situation-problème autour de ce dernier. C’est le cas de la situation-problème 5 sur les fractions. Pour d’autres, c’est un contexte ou une thématique sur laquelle les enfants travaillaient en classe qui a été le point de départ de la situation. Notre travail consistait alors à identifier, à l’intérieur de ce contexte, une situation potentiellement riche en apprentis-sages mathématiques. Ce fut d’ailleurs le cas pour la situation-problème sur le calcul des taxes. Finalement, pour certaines activités, comme celle sur la fonte des glaciers, c’est un article dans un quotidien qui a constitué le point de départ pour le développement de la situation-problème.

2.2. une mise en forme de la situation-problème qui favorise le travail sur le concept identifié

Après avoir repéré un concept à travailler avec les élèves et un contexte dans lequel nous pouvions le traiter, nos discussions tournaient essentiellement autour d’une analyse des concepts à explorer dans la situation. De façon générale, les questions abordées étaient les suivantes : Quelles mathéma-tiques sont présentes dans cette situation ? Quels sont les difficultés et les obstacles que les élèves devront surmonter ? Bien entendu, les réponses à ces questions varient selon chacune des situations. Lors de la description de chacune des situations-problèmes, nous allons tenter de rendre accessibles les éléments de cette analyse conceptuelle dans la section où est présentée la situation-problème.

La mise en forme de la situation-problème était également discutée. Nous avons alors tenté de formuler la consigne de manière à ce qu’elle per-mette aux élèves de travailler le concept visé, de manière riche et accessible. Plusieurs principes nous ont alors guidés.

En règle générale, et dans la mesure du possible, nous avons tenté de rendre les consignes présentées aux élèves relativement simples. Pour nous, la complexité d’une situation-problème doit se situer dans les obstacles conceptuels qu’elle contient et non dans le décodage de la consigne. Nous avons tâché de formuler la consigne de manière à ce qu’elle ne présente que les informations nécessaires à la conceptualisation du problème. Il était important pour nous que les élèves, après avoir pris connaissance de la consigne, soient en mesure de s’approprier rapidement le problème et de commencer à le traiter.

11Introduction

Les variables didactiques contenues dans le problème sont placées de manière à ce que les actions des élèves convergent le plus possible vers le franchissement de l’obstacle conceptuel identifié. Quelles informations doivent être fournies à l’élève pour qu’il dispose de tous les éléments néces-saires à la résolution, sans être distrait par des informations superflues ? Comment choisir les nombres contenus dans le problème pour maximiser le potentiel d’apprentissage chez les élèves ? Comment formuler la question pour que la situation devienne à la fois complexe et accessible ? Telles sont les questions que nous nous sommes posées à cette étape.

Lors de ces réflexions, c’est par ailleurs la cohérence de la structure de la situation qui primait sur le caractère réaliste de la tâche. Par exemple, dans la première situation-problème, dans laquelle les élèves doivent calcu-ler deux taxes sur différents produits, nous avons choisi d’avoir recours à des taxes de 5 % et de 7,5 %, parce qu’avec ces valeurs, une taxe (7,5 %) correspond à une fois et demie l’autre taxe (5 %). Ces valeurs pourraient être maintenues telles quelles même après l’augmentation de la taxe provinciale à 8,5 % et à 9,5 % dans les années qui ont suivi notre expérimentation, afin de faciliter le traitement de la tâche. Par ailleurs, contrairement à l’application réelle des taxes au Québec2, nous ne demandons pas d’appliquer la taxe de 7,5 % sur la taxe de 5 %. Les deux taxes s’appliquent sur le prix hors taxes, ce qui ne correspond pas tout à fait à la réalité, mais qui permet de rendre la tâche plus accessible et de recourir à des stratégies impossibles à utiliser autrement par les élèves.

2.3. expérimentation de la situation en classeToutes les situations-problèmes présentées dans ce livre ont été expérimen-tées dans la classe du troisième cycle du primaire de Nicole Gagnon. Cette classe comportait 26 élèves, dont certains étaient en 5e année et d’autres en 6e année. Par ailleurs, plusieurs élèves de la classe sont considérés comme étant des élèves en difficulté. Par sa taille et sa composition, cette classe nous semble donc représentative de la réalité observée dans de nombreuses classes à double niveau du troisième cycle du primaire3.

Dans la description du déroulement des différentes situations- problèmes, nous allons tenter de donner accès le plus possible au dérou-lement de l’activité ainsi qu’aux stratégies déployées par les élèves. Pour ce faire, nous avons pris des notes pendant les périodes de travail collectif et les

2. Au Québec, la taxe de vente provinciale (TVQ) ne s’applique pas sur le prix hors taxes, mais sur le prix qui inclut la taxe fédérale (TPS) de 5 %.

3. Nous reviendrons, à la discussion de la situation-problème 5 sur la gestion des diffé-rents niveaux d’élèves dans la classe.


périodes en grand groupe. En outre, nous sommes intervenus lors des travaux en équipe et nous avons enregistré, à l’aide d’un magnétophone, les discus-sions entre les élèves dans certaines équipes. Parfois, lorsqu’une stratégie nous a paru particulièrement intéressante, nous avons réalisé des entrevues avec des élèves individuels, dans un local adjacent à la classe. Au cours de ces entrevues, nous avons principalement demandé aux élèves d’expliquer certaines des stratégies qu’ils ont employées, afin de mieux les comprendre et de pouvoir les analyser par la suite. Nous avons également eu recours aux traces écrites des élèves dans leurs cahiers afin de valider les interprétations faites de leurs propos4.

Signalons que nous présentons les stratégies des élèves dans chacune des activités afin de permettre à un enseignant d’avoir une idée des raison-nements qui peuvent apparaître dans ce type de situations. Cependant, le fait que nous les avons observées ne veut pas dire qu’elles vont ou qu’elles doivent apparaître dans d’autres classes. L’une des caractéristiques des situations-problèmes que nous proposons est justement qu’elles peuvent susciter une grande diversité de stratégies. Celles-ci sont alors présentées strictement à titre indicatif afin de montrer l’éventail de stratégies que les situations ont engendré lors de notre expérimentation et qu’elles pourraient également engendrer dans d’autres contextes.

2.4. discussions sur la gestion didactique des situations-problèmes

À côté des sections qui visent la description des différentes situations- problèmes que nous avons expérimentées en classe, d’autres sections font état des enjeux qui concernent la gestion didactique des situations-problèmes en classe. L’idée derrière ces sections est de permettre au lecteur d’avoir accès aux principes de gestion didactique mis en place par une enseignante qui dispose d’une longue expérience avec une approche par problèmes et qui est reconnue comme ayant une pratique exemplaire dans ce domaine. L’objectif de ces sections est de rendre accessibles des principes d’intervention qui ne sont traités que très rarement dans les recherches didactiques.

Ces sections sont rédigées sous forme de discussion entre le chercheur et l’enseignante. Ce format nous a permis de présenter conjointement, tout en les gardant intacts, les points de vue plus théoriques, du chercheur, et plus pratiques, de l’enseignante. L’objectif principal est de rendre explicites certains principes qui guident la gestion de l’avancement de la résolution

4. Nous tenons à préciser que nous n’avons pas enregistré l’ensemble du déroulement des situations-problèmes en classe ni les discussions dans toutes les équipes d’élèves. Par conséquent, nos descriptions des stratégies d’élèves ne peuvent pas revêtir un caractère exhaustif.

13Introduction

des situations-problèmes dans la classe de Nicole Gagnon, de les mettre en perspective en fonction de cadres théoriques didactiques et de les illustrer à l’aide d’exemples tirés de notre vécu en classe.

Il est cependant important de comprendre que ces sections ne devraient pas constituer un mode d’emploi de la gestion didactique « efficace » de situations-problèmes mathématiques au primaire dans n’importe quelle classe. Une telle entreprise serait d’ailleurs futile. D’une part, la gestion didactique d’une classe est bien trop complexe pour pouvoir la résumer en quelques principes qui fonctionnent en tout temps. D’autre part, trop de paramètres changent d’une réalité d’enseignant à une autre : le contexte de l’école, les caractéristiques des élèves de la classe, la personnalité et les valeurs de l’enseignant, les caractéristiques didactiques des situations avec lesquelles il travaille, etc.

Dès lors, ces sections ne se veulent pas prescriptives, c’est-à-dire que nous ne tentons pas de suggérer au lecteur ce qu’il faut faire en classe pour gérer le travail des situations-problèmes ; elles sont plutôt descriptives et font état de ce qui s’est passé au cours du projet. Bien évidemment, le carac-tère local des constats relevés dans cette section n’empêche pas le lecteur de tirer ses propres conclusions et de s’en inspirer dans sa pratique.

Épine 0,48 po. / 12,19 mm – 226 pages – 120 M

puq.ca

ISBN 978-2-7605-3739-2

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a résolution de situations-problèmes est au centre de l’enseignement des mathématiques au primaire. Cet ouvrage vise ainsi à outiller les ensei-

gnants et les futurs enseignants du primaire en rendant compte d’une recherche-action réalisée dans une classe de 3e cycle d’une école primaire alternative. issu d’une collaboration entre un chercheur en didactique des mathématiques et une enseignante du primaire d’expérience, il allie à la fois les points de vue théorique et pratique.

après avoir exposé les fondements théoriques à la base de leur approche, les auteurs présentent les neuf situations-problèmes expérimentées, touchant à des notions telles que les nombres décimaux, les frac-tions, les pourcentages, la statistique et la géométrie. pour chacune des situations-problèmes, les éléments nécessaires à sa réalisation sont fournis, les enjeux conceptuels sous-jacents sont décrits et les stratégies auxquelles les élèves ont eu recours sont analysées. Les différents aspects de la gestion didactique de l’activité sont également abordés. rédigés sous forme de dialogues entre le chercheur et l’enseignante, ces chapitres traitent de sujets comme l’aide à fournir aux élèves aux prises avec un blocage, la fonction des retours collectifs pour l’apprentissage ou encore la prise en compte des élèves en difficulté dans la classe. si les auteurs ne prétendent pas fournir une recette miracle, la gestion d’une classe étant trop complexe pour pouvoir être résumée en quelques principes qui fonctionnent en tout temps, leur ouvrage contient toutefois des pistes de réflexion fort utiles et éclairantes.

Laurent theis est professeur agrégé au Département de l’enseignement au préscolaire et au primaire de la Faculté d’éducation de l’université de sherbrooke et membre du Centre de recherche sur l’enseignement et l’apprentissage des sciences (Creas).

niCoLe GaGnon est enseignante à l’école primaire alternative publique L’Écollectif, à sherbrooke.

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