L. E. J. BROUWEROVER DE GRONDSLAGEN

DER WISKUNDE CI ~

Acknowledgments

Brouwer’s dissertation and his ‘addenda and corrigenda’ are digitally published here with the kind permission of prof.dr. D. van Dalen and the Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI, Centre for Mathematics and Informatics).

For this digitization we used the CWI digitization of:

D. van Dalen (ed.), ‘L.E.J. Brouwer: Over de grondslagen der Wiskunde, aangevuld met ongepubliseerde fragmenten, correspondentie met D.J. Korteweg, recensies door G. Mannoury, etc., inleiding door D. van Dalen.’ Uitgegeven ter gelegenheid van het honderste geboortejaar van L.E.J. Brouwer onder auspici :en van het Wiskundig Genootschap en het Brouwer Archief. Mathematisch Centrum, Amsterdam 1981. MC Varia 1.

Our page numbers are Brouwer’s original ones.

For the text with comments and more information, see Dirk van Dalen, ‘L.E.J. Brouwer en de grondslagen van de wiskunde’, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2005.

OVER DE GRONDSLAGEN

DER WISKUNDEACADEMISCH PROEFSCHRIFTTERVERKRIJGINGVAN DEN GRAADVANDOCTORIN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE UNI­VERSITEIT VAN AMSTERDAM, op GEZAG VANDEN RECTOR MAGNIFICUS DR. J. ROTGANS,HOOGLEERAARIN DE FACULTEIT DER GENEES­KUNDE, IN HET OPENBAARTE VERDEDIGEN 01>DINSDAG I9 FEBRUARI I907 DES NAMIDDAGSTE 3 URE IN DE AULA DER UNIVERSITEITDOOR LUITZEN EGBERTUS JAN BROUWER,|..________|GEBORENTE OVERSCHIE

Bzj /zet indienen mm dit proefschrifi blzjft deaangemzme pliclzt, u, hooggeleerde VAN DER WAALS,VAN PESCH, SISSINGH, ZEEMAN te dam/zen voor het

onderriclzt, dat z'levan u keb mogen ontvcmgen.En. in het bijzonder u, hooggeachte pmmotor KOR­

TEWEG voor den grooten invloed op weten­schappelzj/ee vorming uitgeoefend, en voor de 1fegemoet­lzoming, belangstelling, en aanmoediging steeds mm uondervonden.

II.III.

INDEX.

De Opbouw der WiskundeWiskunde en Ervaring .Wiskunde en LogicaSamenvatting . 3

Namenregister .

P38­

79. I23

. I79

. I8I

DE OPBOUW

DER WISKUNDE

,,Een, twee, drie . . . .”, de rij dezer klanken(gesproken ordinaal-getallen) kennen we uit onshoofd als een reeks zonder einde, d. w. z. diezich altijd door voortzet volgens een als vast ge­kende wet.

Naast deze rij van klankbeelden bezitten we anderevolgens een vaste wet voortschrijdende voorste1—lingsreeksen, zoo de rij der schriftteekens (geschrevenordinaal-getallen) 1, 2, 3....

Deze dingen zijn intuitief duidelijk.Laat ik nu de rij afbreken b.v. bij 23, en

laat ik er dezelfde afgebroken rij nog eens onderschrijven; tusschen beide rijen bestaat dan eencorrespondentie één aan één. Verwissel ik tweevan de getallen der bovenste rij van plaats, dan blijftde correspondentie één aan één bestaan. Door zulkeverwisselingen kan ik zorgen, dat een uitgekozenelement van de eerste rij correspondeert met hetelement 1 der tweede rij; dzin dat een uitgekozen

3

Rekenkundeder geheelc ge­tallen.

element van de overblijvende der eerste rij corres­pondeert met het element 2 der tweede rij, enz.;ik kan m. a. w. een ,,wi1lekeurige vo1gorde" in deelementen der eerste rij aanbrengen; maar de ordi­naalgetallenreeks der tweede rij, waarmee ze cor­respondeert, blijft dezelfde. Hieruit volgt, dat eenwillekeurige verzameling van gestelde teekens, dieeenmaal geteld is, in een andere volgorde geteld,hetzelfde ,,aantal” zal geven, d. w. z. de reeks derordinaalgetallen, waarmee ze één aan één in corres­pondentie is gebracht, zal bij hetzelfde getal afbreken.(Hoofdstelling der rekenkunde).

Onder 3 + 4 versta ik: Eerst tellen tot 3, en dandoorgaan met tellen, maar de vervolgens‘ komendeelementen één aan één correspondeeren laten metde reeks der ordinaalgetallen 1 . . . 4. Uit de hoofd­stelling der rekenkunde volgtz 3 + 4: 4+ 3 ‘).Evenzoo(3+4)+5=3+(4+5).

Onder g X 4 versta ik: Tel tot 4, zet dan opeen andere rij het cijfer 1; tel op de eerste rij nog4 er bij (de reeds beschreven operatie ,,+ 4”), zetdan op de tweede rij het cijfer 2, enz.; totdat opde tweede rij het cijfer 9 bereikt is. Onder 9 )( 4

1) Immers3-1-4voerttot 1——2--3-4--5-6-7, war4—-5-6’-— 7 één aan één correspondeert met 1-- 2- 3-4. Doorverwisseling ontstaat 4 — 5 — 6 — 7 — 1 — 2 — 3. Hier correspon­deert 4-5-—6—7 nog steeds met 1—2—3—~4en 1--2-3met zich zelf. De geheele rij correspondeert derhalve één aan éénmet die welke door het aftellen van 4 + 3 ontstaat.

4

wordt verstaan het dan op de eerste rij bereiktegetal. Met behulp der hoofdstelling zijn eenvoudigaf te Ieiden:

9><4=4 X 9; (9 ><4)><5=9><f4><5);9 ><(4+5)=(9 ><4)+(9 ><5).

Onder 4‘ versta ik: Tel eerst tot 4, zet dan opeen andere rij het cijfer 1; voer daarna de reedsbeschreven operatie ,,4 X” uit en zet op de tweederij het cijier 2; voer wederom die operatie uit enzet het cijfer 3, en ga daarmee voort tot op dietweede rij het cijfer 5 verkregen is. Onder 45wordtverstaan het dan op de eerste rij bereikte getal.

We kunnen nu de rij der ordinaalgetallen naarlinks voortzetten met 0, — 1, -- 2, enz., uit tel­lingen in twee richtingen de optelling van alge­braische geheele getallen definieeren, daaruit deaftrekking en de vermenigvuldiging met een posi­tieven factor; vervolgens de operatie —( ), en aan­toonen dat die met de vermenigvuldiging commu­tatief en associatief is, waaruit dan de definitie eneigenschappen van vermenigvuldiging met eennegatiefgetal voortvloeien.

Onder een rationaal getal iverstaan we een paar

van ordinaalgetallen, geschreven -:5,waarvan we, door3 ‘*3 ..-_:-B= T te stellen,altljdkunnen zorgen, dat het twee­de, de ,,noemer", positief is. We rangschikken ze onder­

ling, door i=_>—_Eb < d te stellen, zoo (a X d) —Z.>—(b X c).

5

Negatievc ge­tallen.

Gebroken ge­talleu.

lrrationalegetallen.

We rangschikken ze tusschen de ordinaalgetallen,door

ill”; a te stellen. Onder -E-+ 3 verstaan we ad :1._.b_°.;

onder E X -3 verstaan we $1. De commutatieve,associatieve en distributieve eigenschappen zijn nulicht te bewijzen; ook volgt eenvoudig, 9.15we ,,—" en,,:” op de bekende wijze door middel van ,,—|—’’en ,,X’’

c _ ad_— bc a c addefinieeren : b d “’T<f‘"e“ t§"ci“ Fe‘Vervolgens kunnen we stap voor stap de gebruike­

lijke irrationalen, (in de eerste plaats de vormenmet gebroken exponenten) invoeren, door ze alseen symbolisch agglomeraat van reeds ingevoerdegetallen te schrijven ‘), en daarin verder te lezeneen verdeeling dier reeds ingevoerde getallen intwee klassen, de tweede waarvan geheel op de eerstevolgt, en geen eerste element heeft '); de orderelatie

(d. W. z. de voorwaarde voor %) der nieuwe getallentusschen de oude wordt dan op grond van die schei­

1) Zoo zullen b. v. de wortels van een hoogeremachtsvergeIij­king worden gelezen als symbolisch agglomeraat van haar coéfii­

.cienten, aangevuld met een rangcijfer, dat de verschillende wor­tels, [gerangschikt b. v. eerst naar den modulus en voor gelijkemodulus naar het argument], van elkander onderscheidt.

’) terwijl daarentegen de eerste dezer klassen somtijds eender reeds ingevoerde getallen als laatste element bezitten kan

(zooals 2 bij 4%‘).

6

ding vastgesteld; evenzoo de bewerkingen met denieuwe getallen, die aan weer nieuwe getallen hetaanzijn kunnen geven, en ten slotte Worden de reedsvroeger ingevoerde getallen eenduidig met een ge­deelte der nieuwe symbolen in correspondentie ge­bracht, n.l. met diegene, die in de oude getalleneen laagste klasse met een hoogste element bepaalden.De ingevoerde symbolische agglomeraten kunnen elkeindig aantal willekeurige reeds ingevoerde getallenbevatten. Daaruit volgt, dat op elk punt van ont­wikkeling der theorie het geheel der bekende getallenaftelbaar 1) blijft. Immers een aftelbaar aantal aftel­bare hoeveelheden is volgens een eenvoudig bewijsvan CANTOR(journ. f. Math. 84, pag. 243) ook aftel­baar.

Het geheel der getallen, die men zoo op elkpunt van ontwikkeling der theorie heeft ingevoerd,heeft verder de eigenschap, dat het in zich oz/em!diclzt is, d.w.z. dat tusschen elke twee nog ver­dere elementen liggen ’). Het heeft dus volgensCANTOR (Math. Annalen 46) het ordetype as derrationale getallen, d.w.z. is met behoud der orde­

‘) d. w. 2. in uniforme correspondentie te brengen met dereeks der ordinaalgetallen.

’) In het bijzonder liggen tusschen elke twee een oneindigaantal rationale getallen, hetgeen we uitdrukken door te zeggen,dat het systeem der rationale getallen ten opzichte van het geheelder ingevoerde getallen relatigf dz’:/ztligt.

Het continuum.

relaties op het systeem der rationale getallen af tebeelden.

Het zou niet moeilijk zijn, de nieuwe getallenzoo in te voeren, dat het ordetype :1verloren ging, —we zullen daarvan bij den opbouw der ..meet­kunde voorbeelden zien — maar men doet het opde aangegeven wijze uit overwegingen van doel­matigheid, die verband houden met de scheppingvan het meetbaar continuum, dat we nu gaan be­schouwen.

In de volgende hoofdstukken zullen we nader in­gaan op de oer-intuitie der wiskunde (en van allewerking van het intellect) als het van qualiteitontdane substraat van alle waarneming van ver­andering, een eenheid van continu en discreet, eenmogelijkheid van samendenken van meerdere een­heden, verbonden door een ,,tusschen”, dat doorinschakeling van nieuwe eenheden, zich nooit uitput.Waar dus in die oer-intuitie continu en discreet alsonafscheidelijke cornpleznenten optreden, beide ge­lijkgerechtigd en even duidelijk, is het uitgesloten,zich van een van beide als oorspronkelijke entiteitvrij te houden, en dat dan uit het op zichzelfgestelde andere op te bouwen; immers het is alonmogelijk, dat andere op zichzelf te stellen. Decontinuum-irituitie, het ,,vloeiende”, dus als oorspron­kelijk erkennende, zoo goed als het samendenkenvan meerdere dingen in één, die aan elk wiskundig

8

gebouw ten grondslag ligt, kunnen we van het con­tinuum als ,,matrix van samen te denken punten”eigenschappen noemen.

Vooreerst is er geen eerste of laatste punt; eenpuntrij van het ordetype van alle positieve en nega­tieve getallen is er gemakkelijk op te bouwen;nemen we vervolgens in elk interval weer een punt,in elk der zoo komende intervallen weer, enz., dankrijgen we het ordetype n op het continuum; dat weop deze wijzehet eenvoudigste laten correspondeerenmet het systeem der eindige duaalbreuken ‘), maarwe zouden het even goed kunnen lezen als eender boven ingevoerde in zich overal dichte geta11en­systemen; we zien dan direct, dat er op het con­tinuum nog punten zijn, die niet na een eindigaantal der genoemde operaties, elk bestaande in deinvoeging van een punt in alle intervallen ’), bereiktWorden; immers we kunnen, een bepaald punt Puitkiezend, bij het construeeren der schaal zorgen,dat we buiten dat punt blijven; We kunnen zelfszorgen, dat de benadering van het punt door eenoneindige duaalbreuk volgens een willekeurige denk­bare voortschrijdingswet plaats heeft; terwijl dan

1) dat wil zeggen de in het tweetallig stelsel geschreven breu­ken, waann dus voor en achter de komma geen andere cijfers dan1 en 0 optreden.

’) We kunnen die operatic dc ,,tweedeeling" der intervallennoemen.

9

Het mcctbaarcontinuum.

toch het continuum met schaal, op deze wijze gecon­strueerd, in niets zich onderscheidt van een conti­nuum met geheel vrij geconstrueerde schaal; omge­keerd leiden we hieruit af, dat voor een eenmaal ophet continuum geconstrueerde schaal voor elkedenkbare voortschrijdingswet een punt bestaat.

We kunnen de benaderingsreeks van een bepaaldaangewezen punt evenveel nooit af denken, dusmoeten haar als gedeeltelijk onbekend beschouwen.

Uit het voorkomen van elke willel-zeurige bena­deringswet is volgens CANTOR(jahresbericht derDeutschen Math. Vereinigung I, pag. 77; vgl.SCHOENFLIES,Bericht iiber die Mengenlehre, ibid.VIII pag. 20) af te leiden, dat niet alle puntenvan het continuum zijn af te tellen, d. w. z. dater buiten elke aftelbare hoeveelheid van zulkepunten nog andere zijn; (terwijl we hebben gezien,dat het systeem der opgebouwdegetallen, die even­eens zijn te benaderen door een eindige of onein­dige duaalbreuk, in elk stadium der theorie afte1­baar is.)

Als we de duale schaal naar willekeur constru­eeren, is het niet zeker dat ze overal dicht wordt,d. W. z. in elk segment van het continuum doordringt.Maar we spreken af, dat we elk segment, waarinde schaal niet doordringt, tot een enkel punt denkensamengetrokken, In. a. w. we stellen twee puntenalleen dén verschillend, als hun duale benaderings­breuken na een eindig aantal cijfers gaan verschillen.

IO

Nemen we op de geconstrueerde schaal nog eenwillekeurig punt als nulpunt aan, dan heeft deschaal het continuum tot een meetbaar continuumgemaakt. Uit de meetbaarheid leiden we af, dat elkaftelbaar oneindig aantal punten, gelegen binneneen door twee punten begrensd segment, minstenséén grenspunt heeft, d.w.z. minstens één punt zoo,dat naar minstens een van beide kanten binnen elk eraan grenzend segment, hoe klein ook, nog anderepunten liggen. ‘) (Immers anders zou er een kortsteafstand tusschen puntenparen zijn, en die zou op~—-—__..—-.. .1-—..

‘) Door op een segment tusschen twee punten van het con­tinuum, en die punten niet bevattend, een puntrij van het ordetypevan alle positieve en negatieve geheele getallen te construeeren.die volgens de maat der duale schaal onbepaald nadert tot debeide eindpunten van het segment, en daartusschen een nieuweduale schaal te construeeren, die in elk deelsegment van hetgegeven segment indringt, toonen we aan, dat het genoemdesegment als puntenmatrix gelijkwaardig is met het geheele con­tinuum; beide vonnen een zoogenaamd open com‘z'nuum.

We kunnen hieruit als volgt het gesloten corztfizuzmzopbouwen.

¢ :5 (3 Een willekeurig punt P op een open

continuum zfl heeft links en rechts van zich twee nieuwe opencontinua any en SB. Omgekeerd bouwen we uit twee open continua11)’ en 33 een nieuw open continuum a:{3op, door 7 en 3 doorinvoeging van een enkcl punt P aan elkaar te koppelen.We kunnen nu echter een analoge operatic nog eens doen, doorook is en 5 door invoeging van een enkel punt aan elkaar tekoppelen; dan hebben we een gesloten continuum gekregen.

II

De verschui­vingstransfor­

matie.

het eindige segment slechts een eindig aantal malenkunnen Worden afgepast.)

We gaan over tot beschouwingen van transfor­maties van punten van het meetbaar continuum inelkander, en beginnen met de verschm'vingstrans­formatie, die wij uitdrukken door ,,+ a”, als ahet punt is, waarin het nulpunt overgaat. Zij is opgrond van de schaalverdeeling direct duidelijk; enwe zien, dat die operatie een groep vormt (ditvolgt uit de associatieve eigenschap der optelling), enook dat ze ‘commutatief is. (d. W. z. dat a + b = b—|-a, dat de operatie ,,+ b” op a toegepast, het­zelfde resultaat geeft als de operatie ,,-|- a” op btoegepast). ‘).

Van de genoemde groep gelden de volgendeeigenschappen :

1°. Ze is eenlcdig continu, d. i. de verschillendetransformaties zijn langs een lineair continuum terangschikken zoo, dat met een continue beweginglangs dat beeldcontinuum correspondeeren ge1ijktij­dige continue bewegingen voor alle punten vanhet getransformeerd wordende continuum.

2°. Ze is uniform, d. w. z. elke transformatie

1) Voor punten der geconstrueerde schaal volgt die commu­tatieve eigenschap uit de commutatieve eigenschap der optellingvan rationale getallen, terwijl voor punten a en b niet tot dieschaal behoorende a + b en b + a dezelfdeopvolgende benaderings­punten op de schaal geven, waaruit dan op grond van demeetbaarheid van het continuum volgt, dat ze gelijk zijn.

I2

voert twee verschillende punten weer in twee ver­schillende punten over.

3°. Ze is afgeslolen, d. W. z. is Al, Ag, A3....een aftelbaar oneindige puntrij, die op het meetbaarcontinuum A tot grenspunt heeft, en evenzoo Bl,B,, B3.... een aftelbaar oneindige puntrij, die op hetmeetbaar continuum B tot grenspunt heeft, en is ereen transformatie van de groep, die het puntenpaarA1 B1 overvoert in A, B2, evenzoo een transformatie,die het overvoert in A3 B3, enz., dan is er ook eentransforrnatie, die het overvoert in AB.

Zij nu gegeven een willekeurige transformatiegroepop het meetbaar continuum, die de 3 bovengenoemdeeigenschappen bezit, die dus is eenledig continu,uniform en afgesloten. We kunnen dan daaruit devolgende verdere eigenschappen afleiden.

4°. De volgorde der punten moet bij alle trans­formaties onveranderd blijven; immers anders zoudentwee punten, wier volgorde veranderd is, elkaar ophun continue banen ontmoet hebben, en zou deuniformiteit der groep gestoord zijn.

5°. Twee verschillende punten kunnen niet doortransformaties uit de groep elkander in ’t eindigeonbepaald naderen. Immers dan zou uit de afge­slotenheid volgen, dat ze samen in een gemeen­schappelijk grenspilnt konden overgaan, hetgeen weerzou strijden tegen de uniformiteit.

6°. Een grenspunt van een puntrij gaat bij eentransformatie over in een grenspunt van de getrans­

I3

Grocpdcfini­tie der optellingop het conti­nuum.

formeerde puntrij. Immers kiezen we uit de eerstepuntrij een rij p uit, waarvan elk volgend puntrechts (resp. links) van het voorgaande ligt, en diezoo het grenspunt in kwestie P benadert, dan geeftdie rij bij transformatie een eveneens aftelbaar onein­dige rij q, waarvan elk volgend punt rechts (resp.links) van het voorgaande ligt. Zij verder Q hetpunt, waarin P door de transformatie wordt over­gevoerd, dan ligt er geen punt tusschen Q en allepunten q, omdat er geen punt ligt tusschen P enalle punten p; Q is dus grenspunt van q.

Kiezen We nu een willekeurig punt als nulpunt,en gaan we uit van een willekeurige transforrnatieuit de groep, die het punt o overvoert in hetpunt 9., en die we daarom noemen de transformatie,,+ a”. Het punt, waarin het punt a door de trans­formatie wordt overgevoerd, noemen we 29.; dat,waarin het punt 2a wordt overgevoerd, 3a; enz.Door de transformatie is nu een uniforme corres­pondentie tusschen de punten der zoo geconstru­eerde segmenten bepaald.

Tusschen het punt 0 en het punt a moet ergenseen punt b liggen zoo, dat de transforrnatie, die 0in b overvoert, b in a overvoert, dat dus de operatie,,+ b”, tweemaal achtereen toegepast, aequivalentis met de operatie ,,—|-a”. We stellen b_-.:§a, ende correspondeerende punten van b in de verderesegmenten tusschen na en (n+ 1)a, analoog =33, ga enz. Het continuum is nu verdeeld in

14

segmenten : b:-_-1}a, en de punten van al diesegmenten zijn in uniforme correspondentie.

Zoo voortgaande, construeeren we uit de operatie,,+ c”, die, tweemaal achtereen toegepast, aequi­valent is met ,,+ b”, een verdeeling van het con­tinuum in segmenten = c = 1}b = } 21,en krijgenten slotte een volledige, in zich overal dichte, dualeschaal, die de volgende eigenschappen heeft:

a. Ze heeft links noch rechts een begrenzendpunt; immers dan zouden de punten a, 2a, 3a enz.een grenspunt hebben, en zouden de punten a en 23.elkaar bij dat grenspunt onbepaald kunnen naderen,hetgeen zou strijden tegen de boven onder 5°genoemde eigenschap.

b. Ze ligt op het meetbaar continuum overaldicht, d. w. z. dringt in elk segment van het meet­baar continuum in. Immers vooreerst is duidelijk,dat de schaal onbepaald kleine segmenten bezit;was er nu een segment op het meetbaar continuum,waarbinnen de schaal niet indrong, dan zou menbinnen dat segment twee punten A en B kunnenkiezen, en er zouden voor elk segment van de schaaltransformaties zijn, die die punten samen er binnenbrachten; daar er nu onbepaald kleine segmentenvan de schaal zijn, zouden A en B elkaar onbepaaldkunnen naderen, hetgeen weer tegen de eigenschap 5°zou strijden.

Uit de eigenschappen 21)en b) volgt, dat de bijde groep behoorende schaal het continuum op een

I5

nieuwe wijze meetbaar maakt; en hieruit volgt deeigenschap:

7°. De groep is commutatief.Ten slotte merken we op, dat door herhaling

van een willekeurige continu uitgevoerde transformatieuit de groep, elke transformatie uit de groep wordtgepasseerd, hetgeen we uitdrukken door:

8°. De groepparameter is meetbaar.We hebben zoo gezien, dat een eenmaal als

meetbaar bekend continuum op een onbepaald aantalwijzen kan gemeten Worden; immers bij elke eenledigcontinue, uniforme, afgesloten groep behoort eenwijze van meetbaarheid; omgekeerd behoort bij elkeWijze van meetbaarheid een eenledig continue, uni­forme, afgesloten groep.

Laten we nu de voorwaarde 3° voor de groepweg, dan vervalt ook de eigenschap 5°; het blijftmogelijk een in zich overal dichte schaal bij degroep te construeeren, maar de eigenschappen 21)enb) kunnen op de boven aangegeven wijze niet meerWorden bewezen; evenmin voor de groep de eigen­schappen 7° en 8°. Beschouwen we echter zulk eenoveral dichte schaal, die de eigenschap b) nietbezit, nader.

We zien dan, .dat, terwijl in de bijbehoorendegroep een punt van het continuum zich binnen eenvrij interval beweegt, de grenspunten van de schaalinvariant blijven. We hebben dus transforrnaties, die,hoe vaak ook herhaald, sommige punten op hun plaats

16

laten, welke punten bij andere transformaties zichwél bewegen; herhaling van continue transformatiesvan de eerste soort doet dus nooit een transfor­matie van de tweede soort passeeren, hetgeen weuitdrukken, door de groep niet-meetbaar of m'erf­Archimedisch te noemen. Maar ook zien we in dezegroep transformaties, die het geheele vrije intervalin een enkel grenspunt van de schaal overvoeren.Deze groep is dus niet uniform. De eigenschap b)van de schaal blijkt dus een noodzakelijk gevolgte zijn van de eigenschappen 1° en 2° van degroep.

Anders voor de eigenschap a). Immers de ver­schuivingstransformatiegroep bij een op het conti­nuum overal dichte schaal, die links of rechts ofan beide zijden een begrenzend grenspunt heeft,is binnen het gebied van die schaal eenledig continuen uniform. Alleen moeten we opmerken, dat nude punten binnen dat gebied bij geen transformatiede begrenzende punten kunnen overschrijden, endat die begrenzende punten zelf invariant blijven.We zien verder, dat de eigenschappen 3° (afge­slotenheid) en 5° voor het gebied der schaal bestaan,als we de begrenzende punten uitdrukkelijk uitzon­deren, want daar kunnen twee verschillende puntenelkaar wel onbepaald naderen, terwijl er geen trans­formatie van de groep is, die ze daar beide in hungrenspunt overvoert.

De punten buiten het gebied van de schaal

2 I7

kunnen bij de groep invariant blijven, of getrans­forgneerd Worden binnen nieuwe schaalgebieden,van elkaar gescheiden door invariant blijvende be­grenzende punten. De beschouwde groep bepaaltdus op het meetbaar continuum een eindige ofoneindige reeks van aan elkaar grenzende eindigesegmenten, die elk of invariant blijven, of Wordengetransformeerd volgens een eenledig continue,uniforme, en buiten de begrenzende punten afge­sloten groep.

De invariante scheidingspunten der segmenten noe­men we de dubbelpzmten der groep.

De groep is in elk segment tusschen twee dub­belpunten commutatief, terwijl ook de groeppara­meter meetbaar is. (beide eigenschappen volgen uitde overal-dichtheid der groepschalen.)

Resumeerende, hebben we voor zekere groepenop het meetbaar continuum de voorwaarden gesteld,dat ze zijn:

1°. eenledig continu,2°. uniform,en hebben daaruit voor zulk een groep de vol­

.gende verdere eigenschappen afgeleid:3°. Ze verdeelt het continuum in eindige segmen­

ten, wier scheidingspunten, de dubbelpunten dergroep, invariant blijven, en die elk hetzij Wordengetransformeerd volgens een eenledig continue,uniforme groep zonder dubbelpunten, hetzij invariantblijven.

I8

4°. De volgorde der punten van het continuumblijft bij alle transforrnaties onveranderd.

5°. De groep is buiten haar dubbelpunten afge­sloten.

6°. Buiten de dubbelpunten kunnen twee verschil­lende punten elkaar niet onbepaald naderen.

7°. Een grenspunt van een puntrij gaat bij elketransformatie over in een grenspunt der getransfor­meerde puntrij.

8°. Op een segment tusschen twee dubbelpunten,dat niet invariant blijft, bepaalt de groep een overaldichte schaal.

9°. De groep is cornmutatief.10°. De groepparameter is meetbaar.Zoodat we de opteloperatiegroep ophet opencontinuum,

die we hadden gekarakteriseerd als eenledig continue,uniforme, afgesloten groep op hetmeetbaar continuum,nu ruimer kunnen karakteriseeren als eenledig con­tinue, uniforme groep op het meetbaar continuum,voorzoover binnen het domein tusschen twee van haardubbelpunten. — Men kan vervolgens die dubbe1pun­ten als eindpunten van het domein van de groep samen­vallend denken, en heeft dan de opteloperatie 01>hetgesloten continuum; het sluitpunt, door samenvallingvan de beide begrenzende punten ontstaan, heethet oneindigheidspunt van de groep. (Om de transfor­maties der groep te kunnen afbeelden op de puntenvan haar domein, hebben we nog een tweede bij­zonder punt ingevoerd, dat echter niet, zooals het

I9

Groepdefinitieder vermenig­vuldiging op hetcontinuum.

oneindigheidspunt, binnen de groep zelf een bijzon­dere rol speelt, n.1. het nulpzmt.)

Op een eenmaal gegeven schaal kan een wille­keurige eenledig continue, uniforme groep zeer inge­wikkeld gegeven zijn, maar op haar eigen schaal,zooals we die boven uit de groep construeerden,wordt ze op elk door twee opvolgende dubbelpuntenbegrensd segment voorgesteld door de groep deropteloperaties. Beschouwen we b. v. op een een­maal gegeven schaal de vermenigvuldigingsgfoep ‘);zij heeft het punt 0 tot dubbelpunt, heeft dus tweegescheiden domeinen, n.l. tusschen — rm en 0, entusschen 0 en + ®; haar eigen schaal dekt zichop het laatste domein met de schaal van log x;op het eerste met die van log (— x); op haar eigenschaal is de groep in beide domeinen de optelgroep.

We stellen ons thans voor, het meest algemeenestel van twee eenledig continue, uniforme groepenop het meetbaar continuum te vinden, die zich latencombineeren tot een tweeledig continue 3)groep, endie tweeledige groep op een bijzondere, er bij pas­sende‘schaa1, zoo eenvoudig mogelijk voor te stellen.Vooreerst ’_merken we op, dat We, hoe de dubbel­punten der beide componeerende eenledige groepenook verdeeld zijn; in elk geval het geheele conti­

1) d. i. dc groep der operaties van vermenigvuldiging met eenpositief getal.

’) d. w. z. waarvan de verschillende transformaties door tweecontinue parameters bepaald zijn.

20

nuum kunnen verdeelen in segmenten, begrensddoor twee dubbelpunten van een der groepen metdaartusschen liggend of één of geen enkel dubbel­punt der andere groep, en we gaan de constructieder tweeledige groep binnen elk dier segmentenafzonderlijk na; de algemeene tweeledige groepbestaat dan uit een iuxtapositie van zulke segmenten,elk met een tweeledige groep van de gevondenconstructie. Als schaal op het segment kiezen wede schaal van de eenledige groep, die de begrenzendepunten van het segment als dubbelpunten heeft; indie schaal wordt die groep dan de volledige optelope­ratiegroep, wier domein ten opzichte van een wille­keurige eenheid van de schaal zich uitstrekt van— an tot + m. Zetten we dat domein als X-asuit, en zetten we als ordinaten uit de toenamen vande bijbehoorende abscissen door een willekeurigetransformatie der tweede groep, dan wordt de tweedegroep voorgesteld door een systeem van kromme lijnen ,die, afgezien van een eventueel gemeenschappelijksnijpunt met de X-as (het eventueele dubbelpunt dertweede groep n. 1.) geheel buiten elkaar liggen.De vergelijkingen dier kromme lijnen stellen wevoor door:

)’ :: fat.(X):

en de eisch, die we gesteld hebben, komt hieropneer, dat een willekeurige serie van transformaties,elk mt een der be1de groepen, is te vervangen door

21

een enkele transformatie der tweede groep, gevolgddoor een enkele transformatie der eerste groep, dusis voor te stellen door:

X’:X+f¢We nemen een willekeurig punt op de X-as als

oorsprong, en denken het geval, dat de gezochtegroep geen dubbelpunt heeft, dus de krommeny : fa (x) buiten elkander liggen. Kiest men den groep­parameter atzoodanig, dat de kromme y ::f¢ (x)de Y-asin een punt met ordinaat assnijdt, dan gaat de krommey = f, (x) ——at door den oorsprong. Nu weten we, dathet resultaat van de opvolging van twee transforrnatiesmet de toenamefuncties f7 (x) — 7 en f; (x) — 8 iseen transformatie met een toenamefunctie fc (x)+r:,die echter 0 moet worden voor x:0, dus slechts zijnkan:

M. a. W. de transformaties x’_—_x+ {¢(x)— x vor­men een eenledig continue groep, die, zoo goedals de door x’:x+ f, (x) voorgestelde, uniform is,en die verder zich met x’:x+ astot dezelfde twee—ledige groep laat combineeren, als x'=x+ f,(x). Degroep x':x+fu(x)—a heeft nu echter een dubbel­punt. Het geval, dat de tweede groep geen dubbel­punt heeft tusschen twee opvolgende dubbelpuntender eerste groep, is dus hiermee teruggebracht tothet geval, dat zij er één heeft, en met dit laatstcgeval hebben we ons nog alleen bezig te houden.22

Het dubbelpunt op de X-as kiezen we a1s- oor­sprong; de toenamefuncties y:fu(x) snijden nuelkaar in 0, en hebben verder geen punt gemeen.Ons doel is, te bewijzen, dat die toenamefunctiesdiflerentieerbaar zijn.

Stellen we door 05¢A(x) voor de ordinaattoenarne derkr0mmey:f¢(x) tusschen de abscissenxen x+ A.Daarf¢(x) continu is, is “<pA(x)het ook. Denken we ons,dat u<DA(x)gelijke waarden zou krijgen voor tweeverschillende waarden van x, stel xi en xi + p.

Dan zouden in het systeem, bestaande uit dekrommenyz.-fa(x)+ (3en y:f“(x+ p) twee krommenvoorkomen, die elkander snijden voor x.-.:x, enx_—_x1-|-A,dus in het systeem, bestaande uit dekrommeny:f“(x+ x,)+ flen y:f“(x+x, +p) tweekrommen, die elkaar snijden voor x..-:o en x:_-_A.Maar dit systeem is bevat in de krornmenschaary=f¢(X)+(3; en daarin kunnen twee krommen, dieelkaar snijden voor x: o, elkaar niet nog eens snijden,tenzij — ze dezelfde kromme zijn. Maar dat zou voorde oorspronkelijk beschouwde kromme y:f,(x) be­teekenen, dat ze van af x:-_x, en van af x:.-_x,+p eenhomothetisch beloop zou moeten hebben, m. a. w.dat ze een periodiek-homothetisch beloop zoumoeten hebben met periode p. Dén hebben weechter: ,¢p(x, -|-k): ,¢p(x,), voor een willekeurigewaarde van k, en hieruit volgt op dezelfde wijze,318uit .,¢A (X,+ p) = “CPA(x1)het periodiek-homothe­

23

tisch beloop met periode p, nu het periodiek-homo­thetisch beloop met periode k. Maar 2115y _-:f¢(x) eenperiodiek-homothetisch beloop voor élke willekeurigeperiode heeft, kan dit niet anders, of y : f¢(x)is eenrechte Iijn, dus zeker een differentieerbare kromme.

Is zij geen rechte lijn, dan weten we nu zeker,dat a¢’A (x) niet tweemaal dezelfde waarde kankrijgen. Ze moet dus voor een bepaalde anen A 61‘steeds stijgen bf steeds dalen, en het is direct inte zien, dat zij voor gegeven at bf voor alle A ’sstijgt, bf voor alle A ’s daalt. (Immers stijgt zevoor A, dan ook voor ‘/9A. 1/4Aenz.; en ook voor 2 A,3 A enz.) Denken we nu het differentiequotient vanf. (I) gegeven tusschen de abscissen 0 en A, Aen 2 A,2 A en 3 A enz., als IZ, QZ, 3Z enz.; dan die tusschen0 en ‘[3 A. ‘,.-"1A en A, A en 1179 A enz., a1s]Zo, 1Z1,

.,Zo, enz.; dan tusschen 0 en ‘/4 A. ‘/4 A en ‘/9 A, 1/, Aen 3/4 A enz., als IZOO, IZO1, IZN, 1Z1], QZOOenz. ;we krijgen zoo ten slotte een onbepaald aantal indicesachter de Z, en we weten dat als ,,Zpen aZq een gelijkaantal indices hebben, en het eindpunt van het inter­val van aZp is het beginpunt van dat van ,Zq dat dan,Zq , ,,Zq(,, ,Zq00 enz. afnemen, maar blijven boven,,Zp; evenzoo, dat aZp, aZp,, ,,Zpn, aZpm enz. toe­nemen, maar blijven beneden ,,Zq. De eerste reeksheeft dus een onderste, de laatste een bovenste grens,waartoe ten slotte onbepaald wordt genaderd. Hiermeeis het bestaan van een difierentiaalquotient voor eenwillekeurig punt van y =2 f, (X)aangetoond, maar nog

24

niet bewezen is, dat het voorwaartsche en het achter­waartsche difierentiaalquotient niet zouden kunnenverschillen.

Dat is voor ons doel evenwel niet noodig, want dediflerentieerbaarheid zonder meer veroorlooft, voorons probleem, d.i. het zoeken van de rneest algemeenetweeledig continue, uniforme groep, toe te passen degrondformule van LIE 1), die voor een tweeledigedifierentieerbare groep wordt:

¢ld¢1 " ¢2d¢t :3 01¢) + C14)!»

waarin CD1en <1’;toenamen door zeer kleine transfor­maties uit de beide componeerende eenledige groepenvoorstellen. Zij vooreerst C2:1 o, zoodat we hebben:

¢,d¢,—4>,d¢,=c,¢, . . . . . (I)

Bepalen we de punten van het continuum tusschentwee opvolgende dubbelpunten van de groep 4:,door een coiirdinaat x, gemeten op de schaal van¢,, dan kunnen we schrijven:

Q5!:: 51,

en in 41.2komt de differentiaalvergelijking 2

(1

34.3.2.._.. 5,

$1: 510:+ h):

’) cf. Math. Ann. Bd. 8, pag. 303; Géitt. Nachr. I374; TheorieJet Transformationsgruppen I, pag. 150.

waarbij als eindige groep met c als groepparameterkomt:

(x,+h):C(x+h)aen de gecombincerde tweeledige groep wordt:

x’ : clx + c2.

Zoo hebben we hier de eenledige groep tot eentweeledige gecompleteerd, door haar als optelgroepvan een schaal te nernen, en dan als tweeledigegroep te nemen die van optelling en vermenig­vuldiging, op die schaal gecombineerd. En alstweede eenledige groep, die zich met de eerstelaat samenstellen, is hier verkregen de vermenigvuldi­gingsgroep uit die schaal met een willekeurig nulpunt.

Zij vervolgens Cgniet 0, dan kunnen we c,(D,+c.3¢,:--_<93stellen, en vinden tusschen 43,en qb;de betrekking:

<P.d<P3— ¢3d¢. = C-;¢3- - - (1)

of 2115we weer werken op de schaal van <15,:

dg: :: k¢3 ;¢3::£ekx ;¢,_: £,ekx+ 81.

Door de transformatie 43,ondergaat dus x eentoename:

dx = eleh + 6,,

en e"'kx ondergaat een toename:

d<e—h) _.—'_53+ £4:-—kx,

26

zoodat, als we e-kx = 5 stellen, en in de schaal derverschuivingsgroep van 5 gaan werken:bf ¢-2 = 54 + h) bf 4’: : 53'hetgeen als eindige groep geeft:

bf £'+h:c(E+h) 6f E’:E+c.De oorspronkelijk gegeven eenledige groep wordt

in de schaal van 5:E’ 2: CE.

en de gecombineerde tweeledige groep wordt:§' : c1.§+ C2.

We hadden ook uit vergelijking (2) direct kunnenaflezen, dat, als we gaan werken op de schaal van4P3,we voor ¢I%vindeneen vermenigvuldigingsgroep,dus voor 4); een der groepen:

(x’+h):c(x+h).Zoo hebben we hier de eenledige groep tot een

tweeledige gecompleteerd, door haar als ,,vermenig­vuldigingsgroep tusschen de punten 0 en N” vaneen schaal te nemen (d. w. z. te nemen de schaal

van e"kx, als x is de schaal van de groep alsoptelgroep 1)) en dan als tweeledige groep te nemen.._—¢_.

1) Eigenlijk krijgen we dc ,,vermenigvuldigingsgroep tusschen0 en cxz” alleen voor negatieve k; voor positieve k vinden weE = <—\'>voor x = ——gxy; daar we hier verder, om de schaal met

x toenemend te houden, liever spreken van de schaal van —-—e“k°‘.

dan van e "" kx, krijgen we hier onze oorspronkelijke groep als,,vermenigvu1digingsgroep tusschen — C-\"7en 0."

die van optelling en vermenigvuldiging op die schaalgecornbineerd. De completeerende eenledige groepis of de optelgroep op die schaal of de vermenig­vuldigingsgroep met een ander nu1punt(d.i. dubbel­punt), 2115de eerste groep. De completeering kan,:11 naar de waarde van k, op verschillende wijzeplaats hebben; bij elke verschillende completeeringhoort een verschillende schaal, die de rol vanoptelgroep in de tweeledige groep vervult, en doordie keuze van schaal der optelgroep is de wijzevan completeering bepaald. De gekozen optelgroepis ook de eenig mogelijke, ten opzichte waarvanbeide componeerende eenledige groepen, dus ookde resulteerende tweeledige groep de rol van gelzjk­vormigfl) transformatiegroepen vervullen; de twee­ledige groep in ’tbijzonder is ten opzichte van die:schaal de groep van alle gelijkvormige transfor­maties, en door de tweeledige groep als groep dergelijkvormige transformaties is de schaal over hetgeheele beschouwde domein bepaald.

Verder hebben we gemerkt, dat hier e'e'n derbegrenzende dubbelpunten van de oorspronkelijkceenledige groep dubbelpunt blijft voor de tweeledige.maar het andere niet; de completeerende eenledigcgroep heeft binnen het domein der oorspronkelijkec'e'nof gun dubbelpunt.no.2. :4­

‘) Hieronder vcrstaan we in het volgende: C-nmet invananteverhoudingen. én steeds gelijk gericht.

28

Beschouwenwe nu weer de beide eenledige groepen,die zich tot een tweeledige laten combineeren, zooalswe ze ons oorspronkelijk uitgestrekt dachten overhet geheele continuum; noemen we Pazde dubbelpun­ten voor beide groepen dus ook voor de uit beidesamengestelde tweeledige groep; Qua die voor deeerste; Ra die voor de tweede. Dan worden elketwee punten Q, en evenzoo elke twee punten Rgescheiden door minstens één punt P; m. a. w.tusschen twee punten P kan hoogstens één punt Qen één punt R liggen.

We beschouwen nu het domein tusschen tweeopvolgende punten P, stel P1 en P ; en denkendaartusschen een punt Q en een punt R.

P1. Q. R. P2.Passen we dan onze laatste resultaten voor

het domein tusschen twee opvolgende dubbel­punten van eenzelfde der beide componeerendegroepen achtereenvolgens toe voor het domein QP2en het domein PIR, dan weten we:

Tusschen Q en P, bestaat een schaal, in Q be­grensd 1), maar naar P2 toe onbegrensd; de eerstecomponeerende eenledige groep bestaat uit de ge1ijk­vormige transformaties van die schaal met Q als in­variant punt; de tweede uit de gelijkvormige trans­formaties met R als invariant punt; de resulteerende

‘) We noemen ter bekorting een schaal in een punt begrensd,als dat punt volgens de op die schaal gebouwde verschuivings­groep bercikbaar is.

29

tweeledige groep uit alle gelijkvormige transfor­maties. Het gedeelte van die schaal .tusschen Q enR is de eenig mogelijke schaal tusschen Q en R, tenopzichte waarvan de tweeledige groep de rol eenergelijkvormige groep speelt.

Tusschen P, en R bestaat eveneens een schaal,in R begrensd, maar naar P, toe onbegrensd; deeerste componeerende eenledige groep bestaat uit degelijkvormige transformaties van die schaal met Q alsinvariant punt ; de tweede uit de gelijkvormige transfor­maties met R als invariant punt ; de resulteerende twee­ledige groep uit alle gelijkvormige transformaties.Het gedeelte van die schaal tusschen Q en R is doeenig mogelijke schaal tusschen Q en R, ten opzichtewaarvan de tweeledige groep de rol eener ge1ijk­vormige groep speelt. Het gedeelte van daze schaaltusschen Q en R is dus identiek met het gedeeltetusschen Q en R van de vorige schaal; we kunnendus nu zeggen:

Tusschen P1 en P, bestaat een schaal, naar beidezijden onbegrensd; de eerste componeerende een­ledige groep bestaat uit de gelijkvormige trans­formaties met Q als invariant punt (vermenigvu1dig­groep met Q als nulpunt); de tweede uit de gelijk­vormige transformaties met R als invariant punt(vermenigvuldiggroep met R als nulpunt). De resul­teerende tweeledige groep is de gelijkvormige groep(of groep van optelling en verrnenigvuldiging gecom­bineerd).

30

Gesteld nu, er ligt tusschen P1 en P9 alleen eenpunt R, geen punt Q; dit komt alleen voor bijonze eerste manier van completeering eener eenledigegroep tot een tweeledige, waar we n.1. de eerste een­ledige groep tusschen twee opeenvolgende van haardubbelpunten als optelgroep nemen, en als tweedekiezen de vermenigvuldiggroep met willekeurig nul­punt; de tweeledige groep wordt weer tusschenP1 en P, op de geconstrueerde schaal de ge1ijk­vormige groep.

Dat er ten slotte tusschen P1 en P._.nbch eenpunt Q, nbch een punt R zou liggen, is onmogelijk;want we hebben gezien, dat we niet aan een een­ledige groep tusschen twee opeenvolgende van haardubbelpunten een andere eenledige groep kunnentoevoegen, die met de eerste samen een tweeledigegroep geeft, de beide genoemde dubbelpunten be­houdt, en daartusschen niet nog een nieuw dubbel­punt zou bezitten.

We hebben nu omtrent twee eenledig continue,uniforme groepen op het open meetbaar continuum,die zich laten vereenigen toteeen tweeledige groep,het volgende afgeleid:

Op het meetbaar continuum is een eindige oioneindige reeks van aan elkaar grenzende eindigesegmenten bepaald, wier scheidingspunten invariantblijven bij de tweeledige groep, en dubbelpunten dertweeledige groep worden genoemd. Op elk der zoobcpaalde segmenten is vervolgens een naar beide

31

zijden onbegrensde overal dichtc schaal te constru­eeren, zoodanig dat elk der componeerende eenledigegroepen in elk der segmenten eei. der volgenderollen speelt:

of ze laat het segment invariant;of ze speelt er de rol van optelgroep;of ze speelt er de rol van vermenigvuldiggroep

met willekeurig nulpunt.Dezelfde eenledige groep zal in de verschil1endeseg­

inenten in ’t algemeen een verschillende rol vervullen.De resulteerende tweeledige groep speelt in ’t alge­

meen binnen alle segmenten de rol van gelijkvormigegroep; maar er kunnen bijzondere segmenten zijn,waar ze zich reduceert tot een eenledige groep (diedan als optelgroep kan worden gelezen) of zelfs.die ze invariant laat.

Op een eenmaal gegeven schaal kan een wille­keurige tweeledig continue, uniforme groep zeeringewikkeld gegeven zijn, maar op haar eigen schaal.zooals die steeds uit de groep te construeeren is.wordt ze op elk door twee opeenvolgende van haardubbelpunten begrensd segment voorgesteld doorde groep der optel- en verrnenigvuldigtransformaties.

Het doel der voorafgaande ontwikkelingen was.nu de optel- en vermenigvuldigoperaties op hetvolledig meetbaar continuum aldus te definieeren(onder vermenigvuldiging alleen die met een positie­ven vermenigvuldiger verstaande):

Opteloperatie op het volledig mcetbaar continuum:

32

Eenledig continue, uniforme groep op het meet­baar continuum tusschen twee opeenvolgende vanhaar dubbelpunten.

Vermcnig'uuldigo;‘>erat2‘crrmtinuum :

Eenledig continue, uniforme groep tusschen de­zelfde dubbelpunten als de vorige, en zich met haartot een tweeledige groep iatende cornbineeren.

We kunnen ook beginnen met de combinatie vanoptelling en vermenigvuldiging te definieeren 2115-;de tweeledig continue, uniforme groep op het meet­baar continuum tusschen twee opeenvolgende vanhaar dubbelpunten; daarna de optelling hetzij alsde eenige eenledige ondergroep, die binnen datdomein geen verder dubbelpunt heeft, hetzij als deeenige invariante ondergroep; en de vermenigvul—diging als een willekeurige andere.eenledige onder­groep. 1)

Deze groepdefinitie der rekenoperaties op hetmeetbaar continuum toont aan, dat bij de axioma­tische definitie dier operaties, als de associatieveen commutatieve eigenschap van optelling en ver­menigvuldiging zijn gegeven. niet meer de volledistributieve eigenschap noodig is, om de operaties

0/5 hr! volledig meetbaar

‘) Op het ge.v/ofcncontzbzuunzkunnen we de beidc begrenzendcdubbelpunten laten samenvallen; de groep der hoofdbewerkingenkan dus ook worden gelezen in de algemeene tweeledig con­tinue. uniforme grocp op het gesloten meetbaar continuum metéén enkel dubhelpunt.

3 L» be

Uvertollig be­standdeel in dedistributieve ei­gcnschap.

De teekcnom­keering en devermenigvuldi­glng met eennegatieven fac­tor.

Het ncmender reciproke ende proiecticvegroep.

geheel te bepalen. Immers stellen we de opte1ope­ratie voor door fa, de vermenigvuldigoperatie door‘Pa, dan zegt de distributieve eigenschap:

¢¢{ [¢¢*,terwijl we hebben aangetoond, dat voldoende is devoorwaarde:

¢¢{ffi}: f7Voegen we thans toe de transformatie x’ :2 ——x,

dan zien we, dat zij zich met de optelgroep asso­cieeren laat; het resultaat blijft een eenledige uniformegroep, maar met een discontinuiteit in den groep­parameter. Evenzoo met de vermenigvuldiggroep laatzij zich associeeren tot een vermenigvuldiggroepmet positieven of negatieven vermenigvuldiger,eveneens een uniforme eenledige groep met eendiscontinuiteit; en ten slotte laat zich ook degecombineerde tweeledige groep door haar overeen discontinuiteit 1) verdubbelen.

. 1 ..

Voegen we toe de transformatle x’=;; Z1]laatzich met de volledige vermenigvuldiggroep associ­eeren tot een uniforme eenledige groep, onderinvoering van een nieuwe discontinuiteit; en metde volledige tweeledige gelijkvormige groep tot eenuniforme drieledig continue groep, de zoogenaamde

‘) Dat wil zeggen hier voor een tweeledige groep :een coupurein het parametervlak.

34

a x -|—b 1)c X + d°

LIE heeft bewezen voor differentieerbare trans­formaties, dat er maar één constructie voor eendrieledig continue groep op het meetbaar continuumbestaat, namelijk de projectieve groep. Onafhankelijkvan do differentieerbaarheid is boven aangetoond,dat er maar één constructie voor één- resp. tweeledigcontinue, uniforme groepen bestaat; zich ook voorde drieledige groep van de beperking der diHeren­Iieerbaarheid los te maken, blijve hier als probleemgesteld. 9)

projectievegroep, der transformaties x’ :

Om de projectieve meetkunde op te bouwen.nemen we n + 1 open continua, elk met een trans­latiegroep en een nulpunt; (op elk is dan tevenseen vermenigvuldiggroep bepaald). We kunnendie n -I-1 translatiegroepen met nulpunten alleof gedeeltelijk op elkaar afbeelden; elk continuum,

') Ook deze drieledige groep heeft een coupure in de para­meterruimte, nl. die de met een bepaaldc uitgekozene gelijkgerichte van de tegengesteld gerichte transformaties scheidt.

’) Denken we de projectieve groep op het gesloten continuum,en houden we een willekeurig punt vast. dam is duidelijk, dat Wt.‘een tweeledige groep overhouden met dat punt als eenig dubbel­punt; die groep is dus te lezen als een groep vrm }zo:y‘a'bezoerkz'ngen.'vgl. het ,,Rechnen mit projectiven Strecken" van SCHUR (Math.Ann. 55) en evenzoo de ..Endenrechnung" van HII.BER1'(Math.Ann. 57).

La; U1

De projec tie-remcetkunde.

dat aan de afbeelding deelneernt, kan dat nog intwee richtingen. Het agglomeraat van die groepen.zooals ze in de afbeelding optreden, noemen weeen punt P; in het agglomeraat kan ook meermaler:dezelfde groep voorkomen, dan kunnen we die ver­schillende afbeeldingen sommeeren tot een nieuwvafbeelding, waarbij de overeenkomstige punten dercomponenten door hun som zijn vervangen; dcgroepen van verschillende continua zijn echtcr inde som niet te vereenigen.

De groepen van een willekeurig gekozen puntkunnen elk door een vermenigvuldigoperatie wordenovergevoerd in die van een willekeurig ander punt,en bij die vermenigvuldigingen is alleen de verhoudingder factoren bepaald. Nemen we het eerstc punt alszgn. fundamentaalpunt, dan is een willekeurig andenpunt door die verhoudingsgetallen, zijn ,,coo'rdz'naten",bepaald. We zien hier dat een punt niet op zichzelf,doch eerst in vergelijking met een tweede punt.door coordinaten, d. w. z. getallen van één geschaaldcontinuum, kan worden aangegeven.

Daar de verschillende groepen van eenzelfde puntsamen van één parameter afhangen, kunnen we inelk punt ook een enkele translatiegroep met nulpuntzien. En we kunnen de translatiegroepen van twee,drie . . . . n —|-1 punten op elkaar afbeelden, en dcsom der afgebeelde groepen nemen; die som zal steedsweer een der boven gedefinieerde punten P geven. Depunten, op deze wijze afgeleid uit de afbeelding van36

twee punten A, en A__,op elkaar, heeten te /iggenop de r_ech'telzjn (A, A ,2); die, afgeleid uit de afbeel­ding van p + 1 punten A". . . ., AP .,_, op elkaar,heeten te liggen in de /vlatte Pruimte (A,A2. . . . .Ap - ,). We zien, dat als Al ligt in (A1A3. . . .Aq), dun ook A2 in (A_A3 . . . . .Aq) enz., en datin de coordinaten de plattc ruimten door stelselshomogene lineaire vergelijkingen worden voorgesteld.Verder is te bewijzen, dat, als A’,, . . .. A’,,_,_.punten zijn van de platte Pruimte (A, A: . . . .Ap + 1), «lie met in een P"ruimte liggen, elkpunt van de Pruimte is af te leiden uit de puntenA’, zoo good als uit de punten A; evenzoo, dat eenPruimte en een qruimte in een F’+ ‘iruimte één punt, ofeen -rcchte lijn of een ‘ruimte, enz. gemeen hebben.

Beschouwen we een Pruimte, nemen we daarin alsbasispunten A; Bl ; . . . . ; BP en noemen we de over­eenkomstige coordinaten ac,fi,_. . . ., Bp. Zijn Fl; . . .;FP punten op (AB,); (AB2). . . .; (ABp); zijn G, enG, punten in (B1 . . . . Bp) en C. en C2 de snijpuntenvan AG, en AG, met (F. . . .. FP). Stel nu wekrijgen G3 uit G. door de coordinaten 5,, . . . , 3,,van G. te vermenigvuldigen ~met h,, . . ., hp. Dangeldt hetzelfde voor C2 en C,, want die hebben de­zelfde coordinaten 5,, . . . , 3,, als G, en G1. Gaanwe nu evenwel C2 en C, bepalen ten opzichte vanA; F. ; . . . .; F p, en stel we moeten de coordinatenct, ,. . . . . , ¢p van C, naar C2 met factoren h’, . . . h’pvermenigvuldigen. Dan hebben we:

37

De Cartesi­auuche meet­kunde.

Dc Buclldisc heneethnde.

.C1:¢1x1(Bl + a, A)+. . .+¢l, ,.l,(BP+apA):—_—¢,1‘. B1+---+459 xp B,,+£ <9.~,a,.A.C£=h|l ¢| “I B|+°"hP/¢p ”p Bp +2111’ 451"I 31-A­Maar de coéfficicnten van A, B,, . . ., B, in deze

formules zijn de coordinaten at, (31,.. ,3, in het oor.spronkelijke stelsel; we zien dus, dat de h"s de­zelfde zijn als de h’s. Dus zijn de relatieve coordi­naten van punten in eenzelfde Pruimtc fvojectie;gebleken, in het bijzonder dus de dubbelvcrlzoudingvan 4 collineaire punten.

De verdere opbouw der projectieve meetkund:-,in de eerste plaats de constructie der tweedegraads­ruimten, levert na deze principieele gegevens geenmoeilijkheden meer.

De Cartesiaansche meetkzmde kan worden opge­bouwd, door n open continua te nemen, en ondereen punt van “R te verstaan de combinatie van npunten dier verschillende continua. Zulk een puntvan “R is te definieeren door n coérdinaten, d.w.z.getallen van één geschaald continuum, als we Opelk der n gegeven continua een naar beide zijdenonbegrensde schaal (dus een translatiegroep) en eeneenheids-segment aannemen. De Cartesiaanschemeetkunde wordt verder tot een Euclidische meet­/eunde, als we nog als ,,afstand” van twee puntendefinieerenV .

Men merkt dan op, dat de transformatiegroepX, :: ,9‘! x‘ + ‘at x,_+....,¢,,xn—|-B,I38

voor fl pm} -_-_.-1 en E puq rug -_: o den afstand vanelke twee punten onveranderd laat, en dat omgekeerddoor dat invariant blijven van I/2—()_r_,—"-_—T1_E,-'7’die

groep bepaald is. Men noemt ze de Euclidischecongruente groep van “R. Schrijft men in deeerste leden der transforrnatievergelijking c: X],c X, enz. in plaats van X1, X2enz., dan krijgt mende groep der gelg'j/wormige transformaties, waarbijalle afstanden steeds in dezelfde reden vergroot ofverkleind Worden.

In ‘R wordt de ondergroep der gelijkvormigetransformaties met positieven substitutiemodulusz

X1=ax, —bx._.,—l-d,X,,=bx, +ax2+d_2,

die we definieeren als de ,,groej> der complexe bewar­kingen”, na onder een imaginair getal x1+ x,i eenpunt van “R met coérdinaten x1 en X2 te hebbenverstaan. De bovenstaande transformatie wordt dangelezen:

X1+Xai=(a+ bi) bi‘-I-xii)+(d1+d2 i),of :¢x-|—S,als we hier de letters imaginaire getallen laten voor­stellen. Zoo is de tweedimensionale schaal derimaginaire getallen aan een groep van optelling envermenigvuldigingonderworpen, even goed als vroegerde eendimensionale schaal. Mar de eerste biedthet voordeel van grootere algemeengeldigheid deralgebraische bewerkingen; zoo in de eerste plaats is

39

De ge|ijkvor—mige groep.

De groepcomplex:werkingen.

derbe­

Projectievcdefinitie van dcgroep der com­plexe bewcrkin­gen.

hier uit elk punt elk ander door machtsverheffing tekrijgen; daarom bouwt men zoowel de projectieve,2113de Cartesiaansche "ruimte dikwijls op uitn -1- 1resp. n complexe schalen in plaats van. zooalsboven, uit reéele schalen.

Men kan verder de Cartesiaansche “ruimte com­pleteeren tot den samenhang van een projectieve"ruimte, door er op de bekende wijze een ,,""ruimte­in het oneindige" aan toe te voegen. Dit heettnatuurlijk een geheel willekeurig karakter; men kaneven goed een bol in het oneindige toevoegen, watin de potentiaaltheorie soms zijn nut heeft, of 00keen enkel punt in het oneindigc en zoo de Carte­siaansche ruimte tot een tweezijdig gesloten ruimtemaken. Doen we het laatste in het bijzonder vooreen plat vlak, dan kunnen we het daarna zoo opeen ovaal tweedegraadsoppervlak in de gewone ruimtcsafbeelden, dat de groep der complcxe bewerkingenverschijnt als groep der projectieve trans/ormaties van.de ruimte, die het tweedegraadsopjaervlale met omloopsziuen bovendim een punt daarop (11.1.het aan het ,,puntin 't oneindige” van het Euclidische vlak beantwoor­dende) invariant laten. Op deze wijze is dus de groepder complexe bewerkingen te definieeren onafhan­kelijk van de Euclidische bewegingsgroep. ‘)

‘J Bij deze detinitie van een stel bewerkingen als een groep{die 001: is door te voeren voor quaternionen en hoogere com­plexen) komt de afbeelding van het parameter-continuum op het

4.0

De groep der complexe bewerkingen, gelezen opeen ovaal tweedegraadsoppervlak, laat zich verderuitbreiden tot de algemeene projectieve transformatz'e­grasp van dat tweedegraadsoppervlak met invariantenomloopszin;beelden we deze weer terug op het Eucli­dische platte vlak, dan krijgen we de con/ormetrans­formatiegroep van het platte vlale met invartanten om­loopszin, ook te lezen als de j>ro_7'ectz'e'0etransformatz'e­groep der complexe schaal.

De groep der projectieve transformaties in een"ruimte laat zich volgens LIE karakteriseeren, alsde eindige continue (d. W. z. door de continue ver­andering van een eindig aantal parameters gegene­reerde) Liesche 1) groep, waarbij eerst n + 3 verschz'l­lende punten een invariant hebben.

Zoeken we uit de projectieve groep die trans­formaties uit, die een tweedegraads-“"‘ruimte ’)

getransformeerde continuum zelt eerst als iets secundairs. Bij degewone complexe bewerkingen voorkomt men door de groepdefinitiedc noodzakelijkheid, een bepaald punt en een bepaalde lijn daar­door als nulpunt en lijn der reéele getallen een bijzondere rol telaten spelen.

‘) LIE onderstelt hier en overal, dat zijn groepen7door difl'erenti­cc:-bare infinitesimaaltransformaties worden gegenereerd. Soms zelfsveronderstelt hij ze analytisch. In dit opzicht zijn zijn theorieénnog voor veel vervolkomening vatbaar. Vgl. pag. 51.

,2) Wil men een 1*- 'ruimte invariant houden, en toch eenprojectieve groep van 1: n (n + I) (het aantal der Euclidischebewegingsgroep) parameters mogelijk laten. dan kan men voordie invariante ruimte niet anders nemen, dan een van den eersten

4I

Groep dercomplexe pro­jectieve tans­formaties.

Karakterisee­ring der proiec­tieve groep.

De niet- Eucli­dische groepen.

Alciding vanhet boogele­

invariant laten, dam xinden vvc ale zoogenaamdeniet-Euclidisc/zc congruente groejmz dcr "rzu'mte. Voortwee punten blijft daarbij elke willekeurige functievan hun dubbelverhouding ten opzichte van detweedegraads-““‘ruimte invariant; als ,,afstand” kiestmen die functie, die langs de rechte lijnen additiefis, d.i. de logarithme, met een constante ver­menigvuldigd: de rechte lijnen blijken bij die keuzetevens geodetische lijnen te zijn; daar men geen lijnen.waarop de afstandcn 0 worden, wil toelaten,b1ijvenslechts 3 soorten van fundumentaal-""‘tweedegraads­oppervlakken, n.1. het 2.11gcmec~.neovale, dat in zijnbinnenruimte aanleiding geeft tot de hyperbolischemeetkunde, het nlgemeenc imaginaire (met reéelevergelijking), dat aanleiding geeft tot de elliptischemeetkunde, en 2115overgang tusschen beide het:imaginaire ““'3tweedegraadsoppervlak, dat aanleidinggeeft tot de Euclidische mcetkunde. Van deze drielaten de hyperbolische en de Euclidische groep zichafbeelden op de (niet gecompleteerde) Cartesiaanscheruimte, en als uniforrne continue groepen hebben deEuclidische en de hyperbolischc groep een disconti­nuiteit, die ze verdeelt in twee ondergroepen. diebewegingsgroepen worden genoemd.

Op verschillende wijzen zijn de groepen der Eucli­dische en niet-Euclidische bewegingen samen te

of tweeden graad, zouais LIE heeft amngetoumi.Transformationsgruppen, H1; in aansluiting nan e-en onderzoekvan KLEIN en LIF. in Mathem. Annalen 4.)

42

Theoric der

karakteriseeren. Vooreerst kan men beginnen met in’t algemeen te beschouwen een “ruimte, waar deafstand tusschen twee dicht bijeen gelegen puntenis gedefinieerd als een steeds positieve uitdrukkingvan den vorm l/zfpq(x,....x,,) dxl,dxq met niet ver­dwijnende discriminant (de f’s tweemaal differentieer­bare functies), m.a.w. waar in het oneindig kleinede Euclidische meetkunde geldt. (Wat b.v. voorgebogen ruimten, in hoogere Euclidische ruimtengeplaatst, steeds het geval is). We willen dan bepaleneen transformatiegroep, die de afstandselementeninvariant laat, dus ook de geodetische lijnen inelkaar overvoert en stellen den eisch, dat ieder puntnaar ieder ander punt kan Worden verplaatst ; dat navasthouding van een enkel punt P1, een tweede puntP2 nog op een ,,geodetische “"’bo1” om P, vrij be­wegelijk is, zéé, dat de geodetische ““‘bo1len om P,de ruimte geheel vullen; dat na vasthouding van P3een derde punt P3, op die geodetische bol, vrijbewegelijk is op een “"’bol om P2, welke “"bollenom P2 de genoemde ““bol geheel overdekken, enz.

W’e lossen dit vraagstuk eerst op voor een ’ruimteen nemen daarop als coérdinaten de geodetische lijnenuit een punt M en de geodetische cirkels om M. Hetboogelement ds moet dan wegens de vrije bewege—lijkheid om M Worden van de vorm l/ dr3+ f (r) 9d¢’.Daaruit vinden we de algemeene differentiaa1­vergelijking der geodetische lijnen:

f<r>= cm-3-:C

d::43

ment der Eucli­dische en Inlet­

Euclidischcgroepen.

M

In de figuur zijn MQ, MP en NQ geodetischelijnen, PQ een geodetisch cirkelboogie om M, ende hoeken (D en xlozeer klein, dus ook voor NQ czeer klein. We stellen MN:-r_ ; MP:r1, en hebben:

_ t(r )d¢ __ c __E__4' _ :13 _ f(r‘)f(r1)""f(r1).

Verder :

Q ds I-> dr

(P::c N ‘(-6, : c z ‘W en hieruit:r,~

‘2 drP _—_ f , -— 'Q c<r)r1/ W

Daar nu het vlak om N gelijk gebouwd moetzijn als om M, zoo moet ook:

PQ :: \|:.f(r2—r1).

f(r,——r1)::f(r,).f(r2). /r2 ~93; . . . . . . . . .21.)I1 f(r)~

Hieruit, e zeer klein stellendez

/In 9:” __t<;1—-> __3 {(1)9"- f(r1)f(‘) "'

__ 1 _ 5 flr_1) 92 {'01)— —) {(1%) 2_fT-'7.E

Evenzoo

’2._‘_1£_—._L_.f_ "_(.‘_==’_._1'’. ‘I9.. we ’t(e) <2)’ f<n_»> arm for.)

Door aftrekking uit de beide laatste vergelijkingen:

-r2 :1: __ 3 [f’(r1)__f'(r._,)t ___ rt‘) fag) . . . . . . . . . . . . _1', KY)? {ET

Maar ook

[V23 __f(r2—-r1)_r, f<r>*“f<r.>r<r.3>

Derhalve

f(r._,--r1):-..f’(t1)f(r3)—f'(r2)f(r1) . . . . . . . . -1}.Nu is {(5)::. s + . . ., dus we weten

{(0): o.f'(o): L

Stellen we in (1)rl : 5, dan 1;omt:f(r2) — ef'(r._,) :f(r2) -|- 5 f"(o) f(r._,) ——s f'(r._,) . . . . . . . ('3)­

Dus f”(o):o.

Differentieeren we (1) naar rl, tot:f’(r,—r,):f'(r1)f'(r2)—f"(r1)f(r,) . . . . (3).

Stellen we hierin r1 2: 2, dan kornt:

f'(r2) —' f'(r2) -_-'f'(°) {'02) ++ s f"(o) f’ (r,) (valt weg) —-f"(o) f(r,)(va.1t weg) — 5 f”’(o) {(13).

f'(r,):::f"'(o)f(r,) . . . . . . . . . . . . (45­

45

Stellen we f"'(o)r:::a, dan hebben we dus in fdedifferentiaalvergelijking:

2 f

3-!’ — a I,

die drie groepen oplossingen bezit, al naar a positief,0, of negatief is, n.l. :

(I3 f-_:.-clsin (a:r+c2),of wcgcnsf(o):o en f'(o)= I:

f.-:I— sin at r.d.

(11) 1 I ¢1(r + C-2)»of wcgens f(o) :: 0 en f’(o):: I:f : r.

(III) f:c1 sh (at--§—c._,).of wcgens f(o):::o en f’{(o): 1:

rzgsh 4 r.

Alle drie oplossingen blijken aan (H) te voldoen.Willen we alleen singulariteitvrije oppervlakken,dan geeft (II) het gewone Euclidische platte vlak,(III) het hyperbolische vlak, en (I) hetzij een bol(bilateraal), hetzij een elliptisch vlak (unilateraal,van den sarnenhang van het projectieve vlak).

Deze vier oppervlakken blijken dan achteraf, wer­kelijk den geéischten homogenen bouw te bezitten.

Onderzoeken we thans de 3ruimten, die aan de voor­waarden van het vraagstuk voldoen, dan weten we, datde geodetische bollen om een punt zelf vrij in zichbewegelijk moeten zijn, maar daar die bollen 1° eindigen 2° bilateraal zijn, kunnen van de vier boven gevon—

46

den oppervlakken daarvoor niet anders dan gewonebollen worden genomen. Zoeken we dan, welke iunctiede boogelementen op die bol van den straal moetenzijn, dan vinden we eerst, dat de geodetische lijnenliggen in platte vla/ekcndoor M (hier gedefinieerd alsoppervlakken, gevormd door de geodetische lijnen vanM naar een grooten cirkel op een bol om M), endaaruit, dat weer slechts dezelfde drie functies alsboven en clus alleen de vier <1aaruit op te bouwen’ruimten mogelijk zijn.

Op dezelfde wijze als van 2 naar 3 gaat deovergang van 3 naar 4 afrnetingen, enz. Voor elkaantal afmetingen bestaan slechts de vier bovenge­noemde ruimtetypen, m.a.w. transforrnatiegroepen.

Van de beide groepen bij het boogelement I kunnenwe cen Cartesiaansche ruirnte de bolvormige latenondergaan, als we haar completeeren met een punt;de elliptische, als we haar completeeren met een‘*"‘ruimte in ’t oneindige.

Deze karakteriseerende voorwaarden voor de groe­pen der Euclidische en der niet-Euclidische bewegin­gen zijn ongeveer de oorspronkelijk door RIEMANN1)er voor gegevene. Eenigszins willekeurig is vooreerstde aanname van het kwadratisch boogelement, en dandie van de differentieerbare coéfficienten er van. LIE ’)

‘) ,,Ueber die Hypothesen. welche der Geometric zu (Srundcliegen”, Gesammelte Werke. 1*‘Aufl. pag. 254.

’) Them-ie der Transformationsgruppen III. Abt. IV. Kap. 17.

47

Karakteriscc­ring der Eucli­dlsche en niet­

Euclldischegrocpen doorHBLMHOLTZ.

heeft de voorwaarden iets beperkt, doorde Euclidischoen niet~Euclidische bewegingen te karakteriseeren.als dié Liesche groepen, welke 1° een kwadratischboogelement met niet verdwijnende determinant inva­riant laten, 2° door een vastgehouden punt de c\‘*"‘'richtingen zoo algemeen transformeeren, als word:toegelaten door het invariant blijven van de verge­lijking, die het boogelement gelijk o stelt (en dienatuurlijk een tweedegraadsruimte in den bundc-.1denlijnelementen voorstelt.) Wordt de eerste voorwaardevervangen door den eisch, dat de vergelijking, dirhet boogelement o stelt, invariant moet blijven.dan worden er nog bij gevonden: 1° de grocp.bestaande uit Euclidische bewegingen en gelijk­vormigheidstransformaties, 2° die bestaande uit.Euclidische bewegingen, gelijkvormigheidstransfov—maties en transformaties op wederkeerige voerstralen(de conforme groep).

HELMHOLTZ1) heeft de karakteriseering willer.losmaken van de aanname van het boogelement, enheeft gezocht in een “ruimte alle omkeerbare.continue groepen met n (n + 1)parameters, wiertransformatiefuncties een zeker aantal diHerentiaal­quotienten (voor zoover hij ze n.1. bij ziju ont­wikkeling noodig heeft) toelaten, waarbij verdertwee punten één enkele invariant, die voor elk

') ,.Ueber die Thatsachen. die der Geometric zu ( LrundeIiegenGott. Nachrichten I868.

48

puntenpaar een werlzelij/ae beperkende betrekkinggeeft, en meer dan twee punten geen nieuwe invarianthebben, en waarbij eindelijk die invarianten de eenigebeperking in de vrijheid der beweging van de ver­schillende punten uitdrukken. ')

Hij voegt ten slotte nog toe het zoogenaamdemonodromie-jmstulaat, dat eischt, dat bij vasthou­ding van n-—-1punten een_n"" punt nog eenperiodiekebaan kan beschrijven.

Aan a1 deze voorwaarden bewijst hij dan, datalleen de Euclidische en niet-Euclidische bewegin­gen voldoen. LIE heeft later ’) echter aangetoond:

1°. Dat de redeneeringen van HELMHOLTZonge­oorloofd zijn, m.a.w. dat hij stilzwijgend nog meervoorwaarden invoert. Deze I-{omenhierop neer, dathij uit het vervuld zijn van zijn voorwaarden vooreindig van elkaar verwijderde puntenparen besluittot een analoog gedrag voor puntenparen, dieoneindig dicht bij elkaar Iiggen; LIE toont doorvoorbeelden aan, dat die gevolgtrekking ongeoor­Ioofd is ten opzichte van en den invariant van

‘) LIE heeft (Theorie des Transformationsgruppen III, pag. 487en 505) opgemerkt, dat het bestaan van een ,,afstand” (d.w.z. eeninvariant) tusschen twee eindig van elkaar verwijderde punten enhet bestaan van een invariant boogelement (dus van een invariante,,Iengte" voor alle kromme lijnen) twee wederkeerig van elkaaronafhankelijke voorwaarden zijn.

‘) Leipziger Berichte 1890; Theorie desTransforrnationsg1-uppenIII, Abt. V.

4 49

Verbetering derkarakterisee­

ring van HELM­HOLTZdoor LIE.

twee punten, en de vrije bewegelijkheid, en demonodromie.

Hij laat vervolgens z'1en, hoe de berekeningenvan HELMHOLTZjuist Worden, als zijn voorwaardenvoor eindig van elkaar verwijderde puntenparenWorden vervangen door andere, die voor oneindigdicht bijeengelegen puntenparen gelden.

2°. Dat na deze juistere formuleering der axioma’svan HELMHOLTZ,ze nog overbodige bestanddeelenbevatten. LIE toont n.l. aan, dat voldoende is dekarakteriseering: ,,Omkeerbare Liesche groep, diein één enkel punt van algemeene ligging vrfje be­wegelfikheid in het infinitesimale (d.w.z. mogelijkheidvan continue beweging bij vasthouding van hetpunt met een lijnelement, een vlakelement door hetlijnelement, een ‘element door het v1akelement....en een ““'2element door het °‘3element, maarniet meer als bovendien nog een "‘1e1ement doorhet °"2e1ement in rust moet blijven) bezit.” Alleenvoor n -_-.:2 geeft deze karakteriseering nog bovendiende groep der spiraaltransformaties, die we door eenbijzonder axiorna, b.v. het monodromie-postulaat vanHELMHOLTZ dienen uit te sluiten.

3°. Dat ook, wanneer men de groepen wilkarakteriseeren, zooals HELMHOLTZoorspronkelijkbeproefde, uit het gedrag van eindig van elkaarverwijderde puntenparen, diens forrnuleering te veelbevat. LIE bewijst n.l. als voldoende de karak­teriseering: ,,Omkeerbare Liesche groep 266,So

dat na vasthouding van één punt een ander puntzich nog vrij kan bewegen in een zoogenaamdepseudo—bo1ruimte,die niet door het vaste punt gaat, enin ’t algemeen n—1 dimensies heeft. Verder moetbinnen een zeker eindig gebied de eigenschap gelden,dat, na vasthouding van q<n—-1 punten, een puntvan algemeene ligging zich over de gemeenschap­pelijke doorsnede der door de vastgehouden puntenbepaalde pseudo-bolruimten nog geheel vrij kanbewegen.”

Het ligt voor de hand, om bij a1 de boven­genoemde karakteriseeringen van groepen te trachtenzich los te maken van de beperking tot Lieschegroepen 1), in ‘t algemeen te trachten naar den op­bouw van een groepentheorie onafhankelijk van pos­tulaten over differentieerbaarheid (cf. HILBERT,,,Mathematische Probleme, Vortrag gehalten aufdem internationalen Mathernatiker-Congresse Paris1900”, Problem n°5, Gott. Nachr. Igoo, pag. 269.)

‘) KLEIN (,,Zur ersten Verteilung des Lobatcheffsky-Preises”,Math. Ann. 50) verdedigt de beperking tot differentieerbarefuncties bij de onderzoekingen over de grondslagen der meetkundevan LIE met de opmerking, dat elke empirische functie toch metzoo groote benadering als we willen door een analytische functiekan worden voorgesteld. Maar het is a priori zeer goed mogelijk,dat er niet-Liesche groepen bestaan 266, dat de benaderendeanalytische transformaties geen groep vormen. (al vormden zedan ook ,,bijna” een groep, d. w. z. naderden onbepaald tot degroepeigenschap, zonder haar echter, zoolang ze analytisch blijven.te kunnen bereiken.)

51

De karakteri­seering der

vlakke bewe­gingsgroepenonafhankelijkvan differenti­eerbaarheid

doorHu.BER'r.

2002115We dat boven hebben doorgevoerd voor eenzeer eenvoudig geval n.1. de groep der hoofd­bewerkingen met reéele getallen.

Een tweede geval, dat is afgedaan, betreft de groepder Euclidische of niet-Euclidische bewegingen vanhet vlak. HILBERT1) heeft ze gekarakteriseerd alsgroep van omkeerbaar mziforme trans/ormaties, diehet sitalc verband onvercmderd lczten, die een a/geslotensyteem vormen, (d.w.z., dat, zoo er transformaties vande groep zijn, die een stel bepaalde punten tot eenander stel bepaalde punten onbepaald kunnen latennaderen, er ook een transformatie van de groep is,die het eerste stel in het tweede overvoert), enwaarbij elke ,,cirkel” (d.i. het geheel der punten,waarin na vasthouding van één punt een anderpunt nog kan overgaan) uit oneindig veal puntenbestaat 9).

Hij bewijst daaruit eerst, dat elke cirkel eengesloten continue kromme zonder dubbe1punten(eengesloten "Jordan-kromme”) is. dat de cirkels omeen punt, elkaar omsluitend, het geheele vlak vullen,en dat bij draaiing van het vlak om P alle puntentezamen hun cirkels geheel doorloopen volgens functiesvan één continuen parameter; verder, dat een wille­

‘) Mathem. Annalen 56. Ook in dit geval blijkt het analytischzijn der functies een gevolg van de groepeigenschap.

’) Daar hij evenwel het Cartesiaansche vlak niet completeert,nbch met een punt, nbch met een lijn in ’t oneindige, vindt hijalleen de Euclidische en de hyperbolische bewegingsgroepen.

52

keurig punt zich in elk ander punt door beweginglaat overvoeren, en dat na vasthouding van tweepunten het geheele vlak vast staat. Het tweede deelvan zijn betoog dient dan, om de rechte Iijnenin te voeren; hij bouwt tusschen twee punten derechte verbindingslijn, door de in zich overal dichteduale schaal der middens te construeeren, onderhet midden van AB verstaande het middelpunt vande draaiing, die A naar B en B naar Avoert (zooge­naamde ,,halfdraai‘1'ng”),en hij bewijst dat deze puntrijin het platte vlak geen lacunes vertoont, dus methaar grenspunten samen een continue krornme geeft;verder wordt de rechte lijn over haar uiteindenheen verlengd, door om die uiteinden halfdraaiingenuit te voeren; vervolgens wordt bewezen, dat tweerechte Iijnen hoogstens één punt gemeen hebben,en dat twee punten steeds een rechte verbindings­lijn hebben, en natuurlijk ook niet meer; en ten slotteworden de stellingen over congruentie aangetoond,waaruit zich dan al naar den eisch omtrent parallellen,die men toevoegt, de Euclidische of de hyperbolischemeetkunde laat opbouwen.

Men kan zich vragen voor een ruimte van densamenhang der projectieve ruimte een systeem vankrornrnen, oppervlakken, ruimten enz., overeenko­mende met het projeqtieve systeern der rechte Iijnen,platte vlakken, platte ‘ruimten enz. te karakteriseeren.Het volgende is voldoendez

53

Karakterisee­ring van het li­neaire systeemder projectieveof elliptische

ruimte.

Door twee punten is steeds één rechte lijnbepaald; door een rechte lijn en een punt er buitengaat een plat vlak, dat alle rechte Iijnen, die ertwee punten mee gemeen hebben, bevat; door eenplat vlal-: en een punt er buiten gaat een ‘ruimte,die elke rechte lijn, die er twee punten mee gemeenheeft, bevat; enz.; verder: een rechte lijn en een°"'ruimte hebben een snijpunt.

Uit deze eigenschappen is n.1, eenvoudig de eendui­digheid van de quadrilaterale constructie der 4“°harmo­nische voor puntrijen, stralenbundels enz. af te leiden.Kiest men dan n+1 willekeurige punten uit en laat diecorrespondeeren met de n+1 basispunten van eenvolgens vroegere uiteenzetting opgebouwde projec­tieve “ruimte en vervolgens een eveneens willekeuriggekozen (n+2)"° punt aan het eenheidspunt derprojectieve ruimte, dan kan men door opvolgendequadrilateraalconstructies (dus alleen door projec­teeren en snijden) uit de n+2 willekeurig gekozenpunten zooveel verdere punten bepalen, dat er aanelk punt met rationale coordinaten van de projec­tieve nruimte een beantwoordt.

Dat de aldus geconstrueerde punten overal dichtliggen, volgt uit een bewijs van L1'iRoTHen ZEUTHEN,meegedeeld door KLEINin Math. Ann. 7. En hieruitvolgt dan, dat de één-éénduidige correspondentieder punten van beide ruimten ook doorgaat voorde irrationale punten 1).

1) Door deze afbeelding op een reeds vooraf opgebouwde pro­

54

Een systeem overeenkomende met de rechtelijnen, platte vlakken, 3ruimten enz. van een Eucli­dische of hyperbolische “ruimte (in beide gevallenvult het geheel der punten een Cartesiaansche“ruimte op) kan aldus worden gekarakteriseerd:

Door twee punten is steeds één rechte lijn bepaald ;door een rechte lijn en een punt er buiten gaateen plat vlak, dat alle rechte lijnen, die er tweepunten mee gemeen hebben, bevat; door een platvlak en een punt er buiten gaat een 3ruimte, dieelke rechte lijn, die er twee punten mee gemeenheeft, bevat, enz.; verder: elke ““ruimte verdeeltde °ruimte in twee deelen zoo, dat elke rechte lijn,die een punt van het eene deel met een punt vanhet andere deel verbindt, de “"ruimte snijdt in eentusschen de beide laatstgenoemde punten gelegenpunt. Men kan dan n.1. volgens SCHUR(Mathema­tische Annalen 39) bewijzen, dat dit systeem metzijn ,,ideale e1ementen” kan Worden aangevuld tothet volledige boven behandelde projectieve systeem.Zoo zien we, als nog de eisc-h, dat het para11e11en­axioma van EUCLIDESmoet ge1den,_wordt opgelegd,noodzakelijk het lineaire systeem van‘deCartesiaansche“ruimte (of van de projectieve “ruimte verminderd met

jectieve ruirnte schijnen de ontwikkelingen van KLEIN (Vor1esun­gen iiber nicht-Euclidische Geometric I pag. 319-353), die be­oogen uit de axioma’s der projectieve meetkunde de verderestellingen direct te bewijzen, overbodig.

55

Karakterisee­ring van hetlineaire systeemder Cartesiaan­sche of Euclidi­sche en derhyperbolische

ruimte.

De variatie­problemen, dielineaire syste­men geven.

een enkele platte ""ruimte) voor den dag komen; leg-.gen we echter den parallelleneisch van LOBATCHEFFSKYop, dan komt het lineaire systeem van een Cartesiaan­sche (of ook van een projectieve)ruimte, voorzoovergelegen binnen een willekeurig convex ovaal; welkovaal men als ,,ovaa1 der grenspunten" aan hetgegeven systeem kan toevoegen.

Het lineaire systeem van de hyperbolische "ruimtehebben we hier dus alleen, zoo het ovaal der grens­punten een tweede graads- ““ruimte is; men kandit dwingen met den eisch, dat het gegeven systeemeen projectieve uniforme groep met 7}n (n +1)parameters toelaat.

Men kan zioh nu vragen, op welke wijze tusschentwee willekeurige punten eener Cartesiaansche ruimtesteeds een kromme bepaald kan zijn zoo, dat hetgeheel dier krommen voldoet aan de bovengenoemdekarakteriseeringen van een 1ineair‘systeem en zaldan in_ de eerste plaats denken aan variatiepro1>le­men, waarvoor die krommen extremalen zijn.

We weten dat een krommenstel, zooals verlangdwordt, uniform is af te beelden, hetzij op de rechtelijnen eener Cartesiaansche ruimte aangevuld meteen ruimte in ’t oneindige, hetzij op die eenerCartesiaansche ruimte zonder meer, hetzij op dieeener Cartesiaansche ruimte voor zoover gelegenbinnen een convex ovaal.

Men zal dus zoeken naar variatieproblemen inde Cartesiaansche ruimte, die als extremalen de

56

rechte lijnen geven: immers in de meest algerneeneuniforme continue transformatie der oplossing van ditprobleem zal men vinden het algemeene variatiepro­bleem,waarvan de extremalen de sitale eigenschappenvan het lineaire systeem bezitten.

Over dit vraagstuk zijn onderzoekingen gedaandoor HAMEI.(Mathem. Annalen 57) voor het plattevlak, en in hoofdtrekken voor de 3ruirnte; die we,wat het platte vlak betreft, in ’t kort weergeven.HAMEL stelt de vraag van een eenigszins anderstandpunt als hier; het gezochte integraalelementonderwerpt hij daardoor van te voren aan eenigebeperkingen, waardoor het zich met de gewoneopvatting van ,,1engteé1ement"der metrische geometrierneer of min dekt, en de extremalen, die hij zoekt,speciaal minimaalkrommen zijn.Zoo zoekt hij de minimaalkrommen van de integraal

jds. f(xytg 3);.‘-‘/‘dx.g(xy tg .9),

waar f een positieve, eenduidige (dit, omdat hetlengteélement omkeerbaar moet zijn) en in ’t algemeencontinue en naar alle drie argumenten diFferentieer­bare functie voorstelt. Daar de differentiaa1verge1ij­king van het variatieprobleem den vorm

d_’>' __d x’ —

moet aannemen, moet g voldoen aan de difTerentiaa1­vergelijkingz

57

3’g 32g P'g__ dy__+P —'a';_._O pgesteld).Door deze vergelijking naar p te differentieeren,

.. . . 89

komt een vergehjkmg 1n B-5, met de algerneeneoplossing :

waaruit ten slotte voor g wordt gevonden:(‘UP P Bu

8-c/c/ W(P»Y—PX)dPdP+‘fi+135‘­(u een willekeurige functie van x en y).

Merken we op:

c_/PC/‘pv (p)dp dp :C/p(p—£)v(E)d£, en stellen weW: C0833’.w,

dan komt :

3- Bu Bu

g: 90/ cos’:-.w(tg'r,y—xtg«r)(tgS'-tg'r)d*r—|—§;—]-—tg3'5§.

.':3- 1 , B u 6 u

gisaf E")-‘s§'.S1D(.9’—-‘T).W.dT-‘-3-;-}-tg.9'»é'?.

.9 . B B .

f: 90! sm (E3--—-r).and 7+ 3-} cos3+ -3; s1n.9.

Hierin wordt als voorwaarde, dat we een mz'm’mumhebben, gevonden :

w positief voor elke x, y en 3;58

terwijl verder uit de eenduidigheid van f volgt:a) eenduidigheid van w.

(‘I1_ S'o+7r ­

b) 7‘ _.. figof s1n'r.w.d-r.

31.1 5' + 7:‘_ — <5 ° cos«r.w.d~r.by 9,0/‘

Zoo wordt ten slotte het boogelementz

dl-_—‘:§2 3'—7r / &sin(3 —-'r). w(tg¢, y — xtga-)d'r.

HAMEL onderzoekt dan eerst, in Welk geval totde minimaalkrommen alle rechte lijnen van het plattevlak, de lijn in 't oneindige incluis, behooren —zoodat door het variatie-vraagstuk een _z5rojectz'eflineair systeem is bepaald —; hij vindt als voor­

waarde, dat /dl langs alle rechte lijnen eindig blijft,en voor alle rechte lijnen dezelfde waarde heeft.

Vervolgens geeft hij een kategorie ongeveer over­eenkomende met een door MINKOWSKIin zijn ,,Geo­metrie der Zahlen” opgestelde geometrie, waar totde minirnaalkrommen alle rechte lijnen, maar niet delijn in ’t oneindige, behooren — het variatie-vraagstukbepaalt hier dus een volledig Euclidisch lineairsysteem —; hij stelt nl. w van haar tweede argument

.. Bu .

onafhankelljk, en 3-;en —-constant, z1et echter voordit geval van de ornkeerbaarheid van het 1engte­

59

element af; zoo vindt hij als ,,rnaatkromme", d. w.z.meetkundige plaats der punten op een afstand 1 vanden oorsprong gelegenz

F(r,.9): 1 ——r : /S.sin(3 - 7).W(7).d¢+ acos3—l-flsins»Q:. o.so 9

3 L

%—§;—)-1-’; :; w(S-).

En daar het eerste lid hiervan, met een positievenfactor vermenigvuldigd, de kromtestraal is, en deeenige beperking voor F is, dat W steeds positiefmoet zijn, vindt hij als eenige beperking voor de,,maatkromme”,\ dat zij overal convex is.

Ten slotte geeft hij als voorbeeld van een op10s­sing, die een Euclidisch lineair systeem binnen eenconvex ovaal voorstelt, de zoogenaamde Hilbertschemeetkunde: HILBERT definieert n.1. in Math. Ann.46 den afstand tusschcn twee punten als de logarithmevan hun dubbelverhouding met de snijpunten vanhun verbindingslijn met een convex ovaal, waar zebinnen liggen; hij toont 1.c. meetkundig aan, datvoor die aanname in een driehoek de som van tweezijden grooter is dan de derde; HAMELlaat nu zien,hoe ook deze meetkunde uit zijn algemeene formulekan Worden afgeleid.

Daartoe zoekt hij de functies W en u zéé tebepalen, dat6o

*2 P P

/ dx / dP /. dPW+‘1(X2Y2)'-‘1(x1)’1)=x, c c

(*1 "" V1) (32 "" V2):10 flg("2 "" V1) (*1 - V2)

en vindt, y — p x : b gesteldz33 v. -— v

W [p. .v—P X]= [—(%52-'-)]p

van welke uitdrukking hij gemakkelijk aantoont, dat zepositief (negatief) is voor S m het eerste of derde(tweede of vierde) kwadrant, waaruit dan weer volgt,dat w in elk geval positief is, zooals voor de minimum­eigenschap noodig is.

Verder vindt‘ hij:

x -— v, (c,y —-cx)x—v1(c,y—- cx)'

We kunnen de bovengenoemde Minkowskischegeometrie (met omkeerbaar boogelement) als bijzon­der geval van deze Hilbertsche meetkunde latenvoor den dag komen.

Immers stelt MINKOWSKIals boogelement ds f (3),

u:log

en HILBERT:ds{ I + I }; laten we nu hets—-sl s, - sHilbertsche grensovaal onbepaald groot van bepaal­

+s—-s1 s,

klein, maar tevens voor evenwijdige lijnen gelijk,het wordt dus na vermenigvuldiging met een onein­

61

I . .

den vorm Worden, dan wordt S one1nd1g

De mogelijkepuntverzame­lingcn.

dig groote constante een functie van de richtingalleen, en het boogelement wordt van den vormds f (.9).

In den aanvang van dit hoofdstuk hebben we2 soorten lineair geordende puntrijen kunnen op­bouwen, n.l. het ordetype an der afgetelde posi­tieve ordinaalgetallen en het omgekeerde type en’,en daarnaast de in zich overal dichte aftelbarerij (het ordetype H der rationale getallen, alle, oftusschen 0 en 1, of 00k der duale schaal, geheel,of tusschen oen1')). Daarnaast hebben we hetintuitief continuum beschouwd als meetbaar conti­nuum, en gez°en, dat zich elk punt daarop laatbenaderen door een duale schaal. Het c0ntz'7zmmzals gelzeel was ons echter intuitief gegeven; eenopbouw er van, een handeling die ,,a11e”punten er vangeindividualiseerd door de mathernatische intuitiezou scheppen, is ondenkbaar en onmogelijk.

De mathematische intuitie is niet in staat andersdan aftelbare hoeveelheden geindividualiseerd tescheppen. Maar wel kan zij, eenmaal een schaalvan het ordetype n opgebouwd hebbend, er eencontinuum als geheel overheen plaatsen, welk conti­nuum dan achteraf weer omgekeerd als meetbaarcontinuum als matrix van de punten der schaalkan Worden genomen.

1) waarbij we zullen rekenen, 0 en 1 zelf naar verkiezing bijde puntrij te kunnen tellen of niet.

62

Zoo kan een gegeven continuum door een andercontinuum met lacunes Worden overdekt; we behoe­ven daartoe op het eerste continuum maar eenordetype in te bouwen, dat het niet overal dichtbedekten vervolgens bij dat ordetype ishet continuum teconstrueeren; we kunnen dan altijd een punt van hettweede continuum identiek noemen met het grens­punt van zijn benaderingsreeks op het eerste con­tinuum. In zooverre kunnen we dan zeggen: ,,Depunten van het tweede continuum maken een deeluit van die van het eerste” ; en in zooverre hebbenwe nu drie wijzen van opbouw voor ,,puntverzame­

'1ingen op het continuum”, n.l. :1°. kunnen we er volgens eindige getallen of de orde­

typen to of H, of ook in afwisseling of onderschikkingaan elkaar vandeze drie '), discrete, geindividualiseerde

1) Gebruiken we alleen het ordetype (0 in verbinding met ein­dige getallen, dan krijgen we de zoogenaamde we/geordezzdeverza­melingen, bij den opbouw waarvan elk element, dat later in denopbouw komt, ook later komt in de rangschikking. De opbouwkan als element voor haar eindige getallen of getallen van hetordetype w natuurlijk ook alle reeds vroeger opgebouwde weIge­ordende verzamelingen nemen. We krijgen zoo achtereenvolgens1; 2;... w;w+1; w+2;...w. 2;... cu’;ca’-+—1;...

03:... w‘'’;... w” ;.. 5, (cl. i. ww , de machtsverheffing w

maal voortgezet) ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Een welgeordende verzameling heeft de eigenschap, dat zij zelf

63

puntverzamelingen Opbouwen; het aantal dezer pun­ten is steeds aftelbaar, en evenzoo het aantal derdoor puntenparen daaruit op het continuum bepaaldeintervallen; in elk van haar intervallen, en evenzooin haar geheel is de puntverzameling al of nietdicht (hieronder verstaan we: van het ordetype sq,nadat alle welgeordende of omgekeerd welgeordendeverzamelingen er in tot een enkel punt zijn samen­getrokken).

We kunnen ook zeggen: in een willekeurig seg­ment van het continuum (waarvoor ook het geheelecontinuum kan worden gekozen) is de puntverzamelingal of niet dicht; en nader onderzoek leert, dat ditlaatste zich a.1\svolgt karakteriseert bij benaderingvan de puntverzameling volgens een willekeurigeoveral dichte duale schaal op het beschouwde seg­

en ook al haar deelverzamelingen een eerste element hebben.Naast de welgeordende kunnen we ook omgekeerd welgeordendeverzamelingen krijgen. De eenige wijze om niet welgeordende ofomgekeerd welgeordende verzamelingen op te bouwen, bestaat in0 maal herhaalde tusschenvoeging in welgeordende verzamelingenvan welgeordende verzamelingen; hierbij kunnen dan ,,dichte" (zieden tekst) deelverzamelingen ontstaan.

Men vergelijke hierbij een theorema, door BERNsTEIN(Mathem.Ann. 61 pag. I44) uitgesprokeni

Elke geordende aftelbare verzameling (dus ook elke individueelopbouwbare verzameling; immers zeg ik bij het opbouwen nietsomtrent ordening, dan kan ik stilzwijgend al het later bijgebouwderza het vroeger gebouwde denken) is met behoud van orderela­ties af te beelden op een deel van het ordetype 11.

64

ment als eenheidssegment geconstrueerd: bij bepalingvan elk volgend duaalcijfer is dat of bepaald doorhet vorige of laat keus tusschen twee; is hetlaatstehet geval, dan is voor elk der beide keuzen hetdaaropvolgende duaalcijfer weer of bepaald, of laatkeus tusschen twee, enz. hetgeen zich laat afbeeldendoor een figuur van den vorm

Rbreken we hier elke tak, die zich nooit meer ver­takt, af, 1) dan blijft ten slotte over of niets of eenvoortdurend zichvermenigvuldigende tweevertakking ;in het laatste geval is de verzameling wél, in heteerste niet, binnen het beschouwde interval dicht.

2°. kunnen we in intervallen, waarbinnen de laatste

‘) van links naar rechts naar volgorde van den rang van hetduaalcijfer der aanhechtingsplaats; is de afbrekingsoperatie opalle an rangen volbracht, dan wordt zij op dezelfde wijze op hetgebleven residu nog eens toegepast.

5 65

Oplouing vanhet continuum­probleem.

puntverzameling dicht is, haar eerst door de bovcnbeschreven samentrekkingen maken tot een overalin zich dichte verzameling, en dan daarop de operatie,,completeering tot een continuum” toepassen; deintervallen, die we daartoe uitkiezen, zijn steedsduidelijk te definieeren, want, daar hun aantalaftel—baar is, zijn ze geindividualiseerd.

3°. kunnen we een puntverzameling scheppen,door aan een continuum in een zeker interval eener op geconstrueerde dichte schaal te onttrekken.

Is nu bij den opbouw van een puntverzamelingde operatic 2° (al of niet in vereeniging met 3°) toe­gepast, dan is zij op een continuum ,,af te beelden" ;dit is zoo te v rstaan: in beide verzamelingen (hetcontinuum on de gegeven puntverzame-ling) wordt eenwelgedefinieerde, dus aftelbare puntgroep uitgekozenzoo, dat alle andere punten als benaderingen ten op­zichte van overal dichte deelen van die groep kunnenworden beschouwd, en vervolgens worden de ongo­definieerde punten met elkaar één-éénduidig in corres­pondentie gebracht, door de overal dichte deelen.ten opzichte waarvan in beide de oneindig voort­loopende benaderingen moeten worden genomen, opelkaar af te beelden; de wél gedefinieerde puntenkunnen dan altijd nog daarna in correspondenticmet elkaar worden gebracht, daar ze in beideaftelbaar zijn.

Waaruit volgt, dat elke puntverzameling op hetmeetbaar continuum (dus ook op het intuitief conti­66

nuum zonder meer, waarrnee we immers eerstkunnen werken nadat we het meetbaar ‘) ——of uitgeindividualiseerde meetbare stukken opgebouwd —hebben gemaakt), die niet aftelbaar is, de mach­tigheid van het continuum bezit.

Hiermee schijnt het ,,continuuxn-probleem”, doorCANTORin 1873 opgesteld en door HILBERT (,,Ma­thematische Prob1eme”, Problem no. 1, pag. 263.) alsnog steeds actueel gesignaleerd, te zijn opgelost, enwel in de eerste plaats door streng vast te houdenaan het inzicht: over een continuum als puntver­zarneling kan niet worden gesproken, dan in betrek­king tot een schaal van het ordetype :1.

We kunnen\. een Cartesiaansche ruimte denkenvan a dimensies, ook van Au"-I-at dimensies, endaarvan beschouwen alle punten wier coordinatenvan lager dan een gegeven nummer, nul zijn. ’)

We kunnen nog verder gaan, en een Cartesiaansche_ruimte van (w*+u)“ afmetingen denken. Elke coor­

‘) De niet-Archimedische pseudocontinua, waarover benedcn zalworden gesproken, moeten volgens onze continuum-opvatting als1rteerdimen.s'z'0nalecontinua (op een bijzondere wijze geordend enaan een bijzondere transformatiegroep onderhevig) worden opgevat;daar echter volgens CANTORrneerdimensionale, en ook afte1baar­oneindig-dirnensionale continua zijn af te beelden op eendimensio­nale, gaat de stelling ook voor en meerdirnensionale en niet-Archi­medische continua door.

’) Men vergelijke in dit verband HILBBRT,Festschrift zur Feierder Enthiillung des Gauss-Weber-Denkmals in Gottingen, S 33.

57

_Niet-Archigaedxsche1. formgroepcn opeendiu1en’;a­

naalcontinua II:

dinaat draagt dan n geheele positieve of negatievegetallen als indices, en we beschouwen slechts diepunten, wier coordinaten alleen bestaan (niet nul zijn)voorzooverre alle indices er van grooter zijn, dandie van een bepaalde gegeven coordinaat, zoodatde nummers van de overblijvende coordinaten eenwelgeordende verzameling vormen.

Deze punten zijn lineair te ordenen, door voor2 punten het voor of na te beslissen naar de laagst­genummerde coordinaat, waarin ze verschillen. Opeen zoo geconstrueerd pseudo-continuum (dat eengewoon meetbaar continuum is met:nog allerlei puntentusschen een willekeurig er op gekozen punt en eendoor dat punt \begrensd segment, en met bovendiennog allerlei punten rechts en allerlei punten linksvan alle punten van het gewone continuum) geldthet nu, een groep van hoofdbewerkingen te con­strueeren, die voor de er op liggende punten van hetgewone continuum een groep van hoofdbewerkingenin elkander geeft. We kunnen dan beginnen, voorieder der coordinaten een schaal en daaruit eengewonc optelgroep te construeeren. Daarmee is dantegelijk een optelgroep voor het geheel geconstrueerd,die werkelijk associatief en comrnutatief is, en die elkpunt in elk ander punt kan overvoeren.

Kiezen we vervolgens op elk der schalen willekeurigeen 1-punt, dan is de operatic: ,,vermenigvuldigingmet een punt van het gewone continuum” (d.w.z. meteen punt, waarvan alle coordinaten nul zijn behalve

68

die met index 0) van zelf duidelijk; zij is associatiefer met de optelgroep distributief. Zoeken we hierbijeen associatieve operatic, die alle indices der cobr­dinaten 1 vergroot, en die we zullen voorstellendoor ,,a1 X”; speciaal ,,11 X”, als ze steeds 1-puntenin elkaar overvoert (Waartoe we onze 1-punten altijdgeschikt kunnen kiezen). Daar 'ze de groepen birmende enkele coérdinaten in elkaar rnoet overvoeren,hebben we nu ook algemeen

11 X 21“: a, _l_1,

Zoeken we verder een associatieve operatie, diealle indices der coérdinaten as vergroot, en die wezullen voorstellen door ,,aa, X”; speciaal ,,1“, X",als ze het 1-punt van de o-coérdinaat overvoert indat van de an-coérdinaat, dat van de an-coérdinaat indat van de 2»-coérdinaat, enz.

Daar ze weer de groepen binnen de enkele co<')'rdi­naten in elkéar rnoet overvoeren, hebben We, als aceeneindig getal:

1w><3a—': { Pac3tw+a:,Daar de operaties 1, en 1., samen associatief moc­

ten zijn, hebben we verder:

‘P9314-1+2: 10 X 3:=(1u X 1;)><31=P1X11X1w><ax

=P1X 11_X :P1a:u +1= : P1,a§a+2:

en we krijgen, zoo voortgaande:Pa = P‘­

En in 't algemeen, 3.181' een willekeurig eindigof oneindig getal:

10 X a'r+1

(la X 1.) X 3-.­=—‘p1X11X(1u X31’)=P.X 1.X SP-rat.-+..=tP1p«.a:¢+.+1

zoodat in ’t algerneen

P’? :1 P‘!

als as het eind§ge deel van het transfinite getal 1-is.

‘P'l'+I 3':-r+u+1

Op dezelfde wijze voeren we in de operatic,,1,2 X” 266, dat:

102 X 31"‘-: {qr 33¢ + 09,

en vinden uit de associatieve eigenschap vooreerst:

q, = q“

(lpu 27-I3,

21.3anen 5 eindige getallen zijn.En vervolgens hebben we, als '7==1.’+ 90 + 1.

waarin C slechts termen van hoogeren, dan deneersten graad in at bevat:

tq'r}'r+u9= 163x17Zllflgxlflxlfla X1:

70

:=q“ X :, X‘,,,9X1B,,X1€laxlawxlwgXI:

: ‘ ‘T+w2)zoodat we hebben

qr : q“r5.Dat verder deze voor p, en q, 3.15noodzakelijk

gevonden voorwaarden ook voldoende zijn, blijktals we uitrekenen:

1a1+b‘0-f-cit)‘-><E1314-b,U+c1N’><la.,+b3fl J.-c:N’:en

{1a'+hlU+c1N2X 131+ Ia,” -I-‘cad-I9:X1a3+b3fl + c,w’.

We vinden dnn voor beide uitdrukkingen:

pb,ag+b,a;+b;a3_ qc1b,+c1b3+c,b3. rc1ag+c1a,+c,a3 XX 1(a,+a;+a3)+(_b;-I-b,+b,)u+(c;+c,+c3) m3‘

Zoo voortgaande kunnen we ,,1,,:.X".....,, 1,. X"defmieeren, en, 9.15we onder vermenigvuldigen meteen som nog verstaan vermenigvuldigen met determen en dan sommeeren; en opmerken, dat voorde reciproke van een getal alle‘ coérdinaten bijopvolging zijn te benaderen, dus ook de deelinguitvoerbaar is, hebben we een volledig stel bewer­kingen op ons lineair pseudo-continuum, waarvoorde associatieve en distributieve eigenschappen gel­den, maar,- als n> 1 is, niet noodzakelijk dc com­mutatieve; immers bijv.:

7I

1,X1,=1,_, +1, maar1» X 1!: P» + 13

terwijl we daarentegen boven van het gewonemeetbare continuum hebben gezien, dat daiargeengroep van hoofdbewerkingen is te construeeren,zonder dat de commutatieve eigenschap geldt.

Het geconstrueerde pseudocontinuum kan wegenshet gemis van de meetbaarheid een niet-Archimedischcontinuum worden genoemd; het mist bovendien nogeen andere eigenschap van het gewone continuum,n.l. de Dedekindsche continuiteit ‘), die zich als volgtlaat formuleerenz wordt het geheel der punten vanhet continuum-5in twee deelen verdeeld zoo, dat elkpunt van het eene deel hooger in rang is, dan elkpunt van het andere deel, dan heeft of het laagste deeleen hoogste punt en het hoogste geen laagste punt, ofhet hoogste deel een laagste punt en het laagste geenhoogste punt. Uit deze Dedekindsche continuiteit istrouwens de meetbaarheid direct af te leiden.

Wel bezit het niet-Archimedisch continuum Vero­nesische continuiteit. die aldus is te definieeren:wordt het geheel der punten van het continuum intwee deelen verdeeld zoo, dat elk punt van het eenedeel hooger in rang is, dan elk punt van het andere,en kan ik bovendien uit beide deelen steeds 2 puntenuitkiezen zoo, dat hun verschil kleiner kan wordendan elke gegeven grootheid, dan heeft of het laagste

3) cf. DEDEKIND, ,.Stetigkeit und irrationale Zahlen.”

72

deel een hoogste punt en het hoogste geen laagstepunt, bf het hoogste deel een laagste punt en hetlaagste geen hoogste punt. (Is de voorwaarde voorhet onbepaald klein worden van het verschil niet ver­vuld, dan kan het dus voorkomen dat én hetIaagste deel geen hoogste punt én het hoogste deelgeen laagste punt heeft.)

Zooals we vroeger de projectieve meetkunde op­bouwden uit n+1 van een hoofdbewerkingsgroepvoorziene gewone continua of complexe continua, zookunnen we het nu ook doen uit niet-Archimedischecontinua. De bewijzen voor de lineaire vergelijkingenvan rechte lijnen, platte vlakken enz. (waarbij we erhier intusschen‘ om moeten denken, de coéfficientensteeds rechts van de coérdinaten teschrijven) blijvenonveranderd doorgaan; dus ook alle stellingén, diewij boven (zie pag. 54) *.erkarakteriseering van hetstelsel rechte lijnen, platte vlakken enz. in een gewoneprojectieve ruimte hebben opgenoemd.

Hieruit volgt, dat ook de stelling van DESARGUES(,,als van twee driehoeken de verbindingslijnen vanovereenkomstige hoekpunten door één punt gaan,liggen dc snijpunten van overeenkomstige zijden opeen rechte lijn”) of, wat er rnee gelijkwaardig is,de stelling van de eenduidigheid van het 4“ har­monische punt, blijven doorgaan; evenzoo blijft geldigde projectiviteit van harmonische ligging.

Maar onderzoeken we, of doorgaat de stelling van

73

Niet-Archimc­dischc en niet­Pascalsche pro­jectievc geome­trieén.

De stalling vanPascal volgt uithet bestun van

de projectiviteit der relatieve coordinaten, dan blijktdat af te hangen van het al of niet bestaan van decommutatieve eigenschap der vermenigvuldiging.Hetzelfde geldt voor de er mee gelijkwaardige stel­ling van PAPPUS(,,zijn op twee snijdende rechte lijnenelk 3 punten gegeven, dan liggen de 3 snijpunten derkruisverbindingslijnen van overeenkomstigc parenop een rechte lijn”), die HILBERT (Festschrift.in ’t bijzonder Kap. VI) noemt dc stelling van PASCAL.(Van de gewone onder dien naam bekende stellingkan zij n.l. worden beschouwd als het bijzonderegeval voor een degenercerende kegelsnede.) Geldtdus de commutatieve eigenschap der vermenigvul­diging niet, dan vervallen met de stelling vanPASCAL verschillende snijpuntsstellingen, b.v. dcstelling van het eenduidig bepaald zijn van eengemeenschappelijk harmonisch puntenpaar bij tweepuntenparen van een rechte lijn, en ook de zgn.hoo/dstelling der [>r0jectz'evemeetkunde: Zijn twee rechteIijnen door een rij van perspectiviteiten op elkaarbetrokken, dan is door de betrekking van driepuntenparen op elkaar, ook van elk ander punt hetcorrespondeerende bepaald.

Bestaat voor de niet-Archimedische projectieve meet­kunde of het gedeelte er van binnen een convex ovaal ')

.2) Is alleen dat beperktc gedcelte gegcven met dc (zie pag. 55)karakterisecrcnde cigenschappen, dan gaat dc completeering met ide­ale clementen volgens SCHUR (Math. Annalen 39) 001-:voor deniet-Archimedische meetkunde onveranderd door.

74

(of bij de limiet binnen een tweernaal getelde platte“ " ‘ruimte) een congruente groep, d. w. z. een groepin eigenschappen overeenkomende met de elliptischeresp. hyperbolische(Euclidische) congruente groep ‘),dan heeft HILBERTaangetoond, dat alle snijpuntsstel­lingen doorgaan, dus ook de commutatieve eigen­schap der vermenigvuldiging er geldig moet zijn.(Festschrift, Kapitel III; Neue Begriindung derBolyai-Lobatcheffskyschen Geornetrie, Math. An­nalen 57; vgl. ook VAHLEN,Abstrakte Geometricp. 251.)

Voor een niet-Archimedischeprojectieve meetkundebinnen een convex ovaal heeft VAHLEN(AbstrakteGeometric p. go4—233) aangetoond, dat alle con­gruentiestellingen, dus ook de stelling van PASCAL,dus ook de comrnutatieve eigenschap der verrnenig—vuldiging, zijn af te leiden uit alleen het bestaanvan een afiinc groep, d.i. een projectieve groep, dieieder punt in ieder punt kan overvoeren, en daarbij inelk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesirnalebezit.

‘) Zulk een groep is te karakteriseeren als projectieve groep, die:1°. elk punt in elk punt kan overvoeren.‘2°. om elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit,

en ,,bollen" om het punt bepaalt, die elke halflijn om het punteenmaal snijden,

3". all: segmenten kan omkeeren, en van alle gelijkbeenigedrichoeken dc beenen kan verwisselen;

en zij bestaat uit bewegingen en symmetrische transformaties.(dc laatstc alleen voor de hyperbolische en Euclidische groepenuitdrukkeliik tc noemen.)

75

een congruen teprojectieve

groep.

Semi-congrucntc groepen

der niet-Archi­medische meet­lmnde.

Van de niet-Archimedische vlakke meetkunde heeftI-IILBERTnog een eigenschap bewezen (vgl. ,,Ueberden Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich­schenkligen Dreieck," Proceedings of the LondonMathem. Society vol. 35). Bestaan de gewone (Eucli­dische of niet-Euclidische) congruente groepen, dangeldt, zooals we zagen, de stelling van PASCAL;maardan bestaan er nog naast de genoemde groepensemi-congruente bewegigzgsgroepen, die alle eigen­schappen der congruente bewegingsgroepen bezitten;terwijl toch het vlak ten opzichte van die groepniet symmetrisch is: een gelijkbeenige driehoekheeft geen gelijke basishoeken. De niet-mono­drome spiraalgrpep van HELMHOLTZin de gewoneArchimedische meetkunde, doet aan deze eigenschap­pen denken, maar een segment is hier niet omkeer­baar: immers een draaiingarverandert zijn ,,grootte",d.i. zijn invariant ten opzichte van de verschuivings­groep; en ook wordt, als we een punt vasthouden,elke uit dat punt ontspringende halflijn door elke baan­kromme meermalen gesneden. Dit wordt in de Hilbert­sche semicongruente groep voorkomen, door van debeide deelen van den draaiingshoek (n.l. het eindige enhet oneindig kleine: een oneindig groot deel bestaatvoor hoeken niet), alleen het tweede met een evenredigevergrooting gepaard te doen gaan. Elk punt beschrijftzoo wel een spiraal, maar alleen ten opzichte van hetoneindig kleine deel van den hoek, dat bij de perio­den r en 2:: telkens weer 0 is; dus blijft vooreerst

76

het eindige deel van den afstand tot het middelpuntbij de draaiing constant, zoodat de oorsprong nietonbepaald wordt genaderd; verder wordt elke half­straal uit het middelpunt door de baankrommenslechtséénmaal gesneden; en ten slotte de omkeerbaarheidder segmenten blijft behouden.

In het voorgaande is van de fundamenteele gedeeltender wiskunde getoond, hoe ze zijn op te bouwen uitvoorstellingseenhedenz door eenvoudige iuxtapositieof vorming van reeksen van het type onof asof vancontinua; waarbij intusschen in elk stadium van denopbouw als nieuwe eenheden geheele reeds opge­bouwde systernen genomen kunnen worden.

Dat geen wiskunde, die niet op deze wijze intuitiefis opgebouwd, kan bestaan; dat dus in dezen opbouw,onder de verplichting, zorgvuldig acht te geven, Watde intuitie veroorlooft te stellen en wat niet, de eenigmogelijke grondvesting der wiskunde is tefzoeken;en hoe elke andere poging tot zulk een grondvestingmoet mislukken, zal in het derde hoofdstuk wordenuiteengezet.

Binnen zulk een opgebouwd systeem zijn dikwijls,geheel buiten zijn wijze van ontstaan om, nieuwegebouwen zeer eenvoudig aan te brengen, als elemen­ten waarvan de elementen van het oude of systemendaarvan worden genomen, in nieuwe rangschikking,maar waarbij men de rangschikking in het oudegebouw voor oogen behoudt. Op de mogelijkheid

77

De wiskundekangeen andercmaterie behan­delcn, dan dieze zelf heeftopgebouwd.

van zulk bouwen van nieuwe systemen in bepaaldensamenhang met een vooraf gegeven systeem, komtneer, wat men noemt de ,,eigenschappen” van hetgegeven systeem.

En een belangrijke rol speelt bij den opbouw derwiskunde juist dat inpassen in can gegeven systeemvan nieuwe systemen, dikwijls in den vorrn van eenonderzoek naar de mogelijkheid of onmogelijkheidvan een inpassing, die aan bepaalde voorwaardenvoldoet, en in geval van mogelijkheid naar de ver­schillende wijzen waarop.

Voorbeelden daarvan zijn in het voorgaande behan­deld als onderzoekingen naar de mogelijkheid derinpassing van ,aan zekere voorwaarden voldoendetransformatiegroepen in gegevensystemen.(We kunnendaar het continuum der groeppararneters als het inte passen systeem beschouwen, en het karakter vandat continuum als groepparametercontinuum als Voor­waarde omtrent de wijze van inpassing.) En in dezenvorm hebben we onder meer substraten gegeven vanverschillende in de laatste jaren uitgevoerde onder­zoekingen, die bedoelden licht te werpen op degrondslagen der wiskunde, en die alleen in den zinonzer vertolking wiskundige beteekenis hebben; ditop grond van opvattingen, die in het derde hoofdstukzullen Worden verdedigd, en als toelichting waartoede voorgaande ontwikkelingen kunnen Worden be­schouwd.

78

H.

WISKUNDEEN ERVARING

Den menschen is een vermogen eigen data1hunwis—selwerkingen met de natuur begeleidt, het vermogenn.l. tot wislzzmdig bclezjkenvan hun Ieven, tot hetzien in de wereld van herhalingen van volgreeksen,van causale s'ystemen in den tijd. Het oer-pheno­meen is daarbij de tijdsintuitie zonder meer, waarinherhaling als ,,ding in den tijd en nog eens ding”mogelijk is, en op grond waarvan levensmomentenuiteenvallen als volgreeksen van qualitatief verschi1­lende dingen; die vervolgens zich in het intellectconcentreeren tot niet gevoelde, doch waargenomenwiskundige volgreeksen. En het levensgedrag dermenschen zoekt zooveel mogelijk van die wiskundigevolgreeksen te kunnen waarnemen, om telkens, waarin de werkelijkheid bij een vroeger element van zulkeen reeks met meer succes schijnt te kunnen Wordeningegrepen, dan bij een later, ook dan, wanneerallcen bij dat latere het instinct wordt aangedaan,het eerste te kiezen als richting voor hun daden.

6 81

Het intellecten de sprang

van doel opmiddel.

Wiskundigesystemen, diemeet dan hetwerkelijke be ­vatten.

(Vervanging van het doel door het mz'dcz'cl.)Het on­instinctieve van deze intellectueele handeling maaktechter de zekerheidl dat werkelijk de deelen eenervolgreeks bijeen behooren alles behalve volkomen,zoodat ze steeds kan Worden gelogenstraft, watwaargenomen wordt als ontdekking ,,dat de regelniet langer doorgaat”.

Intusschen in ’t aigemeen blijkt de taktiek, be­staande in het beschouwen der volgreeksen en hetop grond daarvan teruggaan van doel op middel, waarin het middel gemakkelijker ingegrepen schijnt te kun­nen Worden, eene doeltreffende en bezorgt de mensch­heid haar macht. Het gelukt regelmaat op eenbeperkt gebiedd van verschijnselen te ontdekkenonafhankelijk van andere verschijnselen, die derhalvebij de intellectueele beschouwing volkomen latentkunnen blijven.

Om de zekerheid van een waargenomen regelmaatzoo lang mogelijk te handhaven, tracht men daarbijsystemen te isoleercn d.w.z. het 2115de regelmaatstorend waargenomene, verwijderd te houden; zoomaalet de mensch in de natuur veel rneer rege1rna­tigheid dan er oorspronkelijk spontaan in voorkwam;hij wenscht die regelrnatigheid, omdat ze hem sterktin den strijd om het bestaan, doordat ze hem in staatstelt te voorspellen, en zijn maatregelen te nemen.

Het intellectueel bekijken der Wereldwint in uitge­breidheid, doordat men, onafhankelijk van directe toe­pasbaarheid, uit de oer-intuitie van het intellect de82

abstracte wiskunde (reine Mathematik) opbouwt, enzoo een voorraad van onwerkelijke causale volgreek­sen kan klaar hebben, die slechts wachten op eengelegenheid, om in de werkelijkheid te Worden gepro­jecteerd. Men bedenke hierbij, dat de wiskundigesysternen, waarin geen tijdcoordinaat voorkomt,bij practische toepassing toch a1 hun relaties totcausale relaties in den tijd zien Worden. Zoo b.v.de Euclidische meetkunde geeft, op de werkelijkheidtoegepast, het causaal verband tusschen de resultatenvan verschillende metingen, met behulp van de groepder rigide lichamen uitgevoerd. — Onnoodig tezeggen, dat van de elementen en ondergebouwen vaneen wiskundigA,systeem bij de toepassing gewoonlijkslechts een klein deel hun correspondeerende in dewerkelijkheid vindt: de rest vergemakkelijkt slechtshet overzicht daarvan. ') -— Evenzoo bestaan dewaargenomen volgreeksen reeds bij een geringeontwikkeling der methode niet meer uitsluitend uitonafhanl-zelijkvan den menschelijken wilwaargenomenverschijnselen, maar Worden deze gecompleteerdmet door de menschen zelf te voorschijn geroepene;(daden zonder eenig direct instinctief doel, maar

‘) In het bijzoncler geeft men aan waargenomen eindige volg~reeksen dikwijls dc hypothetische (immers alleen wiskundig be­stazmde) uitbreiding tot reeksen van to termen; op het invoerenvan zulk een reeks in onze waarnemingen berust b.v. de oneindigelengte van de tijdcoordinaat.

83

Uitbreiding vande toepassingder wiskundedoor daadwcr­kelijk ingrijpen.

Uitbrciding vanhet werkelijketot het moge­lijke door in­ductie.

uitgevoerd, alleen om het causale systeem tot breederehandelbaarheid te completeeren); het eenvoudigstevoorbeeld hiervan is het door de telhandeling ver­kregen klankbeeld ‘)van aantal, of het door de maat­handeling verkregen klankbeeld ') van maatgetal.

Haar groote macht krijgt echter de wiskundigenatuurwetenschap nog niet door het opmerken vanvoor het instinct ongeveer gelijkwaardige volgreeksen,maar door het samenvatten van een zeer groot aantalvan zulke volgreeksen onder één gezichtspunt doormiddel van een met behulp van mathematischeinductieopgebouwd wiskundig systeem, dat wet wordt ge­noemd; het verschil van twee daaronder vallendevolgreeksen berpst dan alleen op het verschil in waar­den van in de wet optredende parameters. ’) Naastde werkelijk Waargenomen volgreeksen met hunbepaalde parameterwaarden worden dan die metandere parameterwaarden als mogelzj/2gesteld; endat juist de Waargenomen parameterwaarden alleenwerkelijk voorkomen, wordt als toevallig beschouwd.

Aan den anderen kant blijkt, dat men vaak eenin een enkele waargenomen volgreeks optredendegrootheid met succes als toevallige parameterwaardebeschouwt, en zoo met juistheid door inductienieuwe volgreeksen voorspelt.

1) of schriftteeken.“) Haar belangrijkste toepassing vindt de samenvatting door

inductie in causaliteitsbetrekkingen tusschen geta/Zen, m.a. w. tus­schen resultaten van tellingen of-metingen.

84

De eenvoudigste inductieve uitbreiding tot eengroep van mogelijke verschijnselen geschiedt langsde coordinaten van ruimte en tijd als parameters.Dat een volgreeks juist dam’ en toen zich verwe­zenlijkte, en niet op andere plaats en anderen tijd,is voor den physicus toevallig.

En na het opmerken van volgreeksen en het samen­vatten daarvan door inductie, gaat de wiskundigeactie op de wereld nog verder. Vooreerst worden, omde groote menigte bewerkingen, die afhankelijk zijnvan het meetbaar continuum, te kunnen toepassen,de discrete waarnemingen aangevuld tot continuefuncties 1); en het is niet alleen de tijdcoordinaat, diecontinu wordtg’gemaakt (hier geeft de intuitie eralle aanleiding toe), maar ook elk functioneel ver­band ttisschen gemeten grootheden, waarmee detijdcoordinaat niets te maken heeft; dat is eenwillekeurige daad, weer alleen gerechtvaardigd, om­dat ze blijl-:t, te ,,gaan.” Het continu maken derwaargenornen functies doet men door de bekendemethode der interpolatie, weer een willekeurige daad,die zich weer in de praktijk niet straft. Bij hetinterpoleeren krijgt men analytiscbe functies; enzfilke heeft men toch reeds ‘neiging, in de natuur­beschouwing uitsluitend te gebruiken; waarom?

Voornamelijk door een willekeurige daad vananthropomorphiseering der natuur: waar men bij——‘—-..

1) vgl. echtcr pag. 9o. noot.

85

Continuiteitder physischcfuucties.

Diflercntieenbaarheid der

physische func­ties.

zijn eigen ingrijpen uit den waargenomen weerstandmerkt, alle toestanden slechts ge1eidelijktekunnenver­anderen, postuleert men voor in de natuur practischte meten functies in dicht bijeen gelegen argument­punten ongeveer gelijk gedrag 3). Van een functie,die tot deze kategorie behoort, behooren ook dedifferentiequotienten van verschillende orde daartoe(immers deze Worden uit dezelfde metingen als defunctie zelf bepaald), dus 001:de differentiaalquotiemten van verschillende orde, en differentiequotientendaarvan, zoo deze differentiaalquotimten bestaan, wat wezullen aantoonen dat het geval is. Zij n.l. Xxeen deronafhankelijk veranderlijken, en zij 8A(X¢)het maxi­mum der spelingsgebieden tusschen xa en xx-1-Avande verschillende differentiequotienten, zooals diehooren bij de verschillende aangroeiingen der onaf­hankelijk veranderlijke xx, wanneer men die aangroei­ingen achtereenvolgens alle waarden laat doorloopentusschen 0 en een zekere zoo klein als men wil. dochvast te kiezen waarde a, dam volgt uit het zooevengenoemde postulaat, dat EAmeta tot o nadert. Verderhebben we, onder P een echte breuk verstaande:I]

A!) _l_( At_ 1_ Af)(Ax —n —3—Ax¢’x“+nfl-Ax“ xa +f;A+flxd

1 At). . . . . . . . .+F(fi_Axx x¢+n:1A_ 7

1) wat niet wegneemt dat men, zonder voor de natuur meer dan eensnelle overgang te postuleeren, bij benadering dikwijls discontinuitei­ten invoert in het wiskundig beeld tot vereenvoudiging van het rekenen.86

At /_\.f) 1_ At’) .(_EAx)x¢'—P 3-Ax x“+pi§—Ax¢ x“+1—A+

1_(_A_f_9. . . . . _. -I-P _"1_/Ax“x“+p_p—1A;fl

waaruit we in verband met de boven gegeven definitievan 5A (xx) aflelden :

A t ( Af ) .(A xx ‘xx %Ax“ x“ < EA(xx) in absolute waarde,

en hieruit volgt, dat het spelingsgebied «A(x,,)der diffe­rentiequotienten voor aangroeiingen van xx, gelijk aan

een echte breukmaal A, kleiner is dan zea (xx).Nemen we dus in een bepaald punt een oneindig

voortloopende reeks van ten opzichte van A rationale,onbepaald afnemende, aangroeiingen 3, dan nemende spelingsgebieden :3 (xx) onbepaald af, terwijltevens elk volgend spelingsgebied binnen het voor­gaande ligt; ze naderen dus tot een enkel punt; dezeeigenschap is direct van rationale op irrationale 3 uitte breiden (dit op grond van de continuiteit der fun­ties); het differentiequotient voor een aangroeiing Sligt echter binnen het spelingsgebied 0'; (xx); 001: ditnadert dus onbepaald tot hetzelfde punt, als het spe­lingsgebied, waarin het bevat is; er is dus een lirniet­waarde voor het diiferentiequotient, het dz'fferentz'aal­quotient; en op dezelfde wijze toont men op grond vanhetzelfde postulaat het bestaan van alle hoogere diffe­

37

Principe: dermechanics.

rentiaalquotienten aan. ‘)(Hierbij heeft dan het idee tengrondslag gelegen, dat de primitieve willekeurige scha­len, b.v. tijdmaat door den slinger, lengtemaat door eenmaatstok, een soort van absolute waarheid hebben,n.l. een soort absolute gelijkheid voor dichtbijeengelegen gelijke schaaldeelenz die schalen zijn trou­wens tamelijl-: instinctief geconstrueerd.) ’)

Wat men dan verder 3) niet willekeurig heeft aan­genomen, mat in de praktijk a posteriori heeft opge­merkt, is, dat een groot gebied van waargenomenverschijnselen is uit te drukken door diflerentiaal­vergelijkingen der 2° orde (,,inertiebeginse1”), opgrond waarvan kmchtcn (de naam in analogie met de

') waarmee dc zekcrheid, dat dc functie analytisch is. nog nietis verkregen, vgl. dc ontwikkelingen van PRINC..s'HEI.\1in Math.Annalen Bd 44.

’) W'aar men in gebieden van verschillende orde van grootheidverschillend gedrag der functies heeft moeten invoeren (b.v. bijmoleculairtheorieén), tracht men de differentieerbaarheid te hand­haven voor beide gebieden van grootheid, en dat zelfs dan nog.wanneer men ter vereenvoudiging van het rekenen vaak de eenemaat oneindig klein in verhouding tot de andere onderstelt. Hierbijontrnoet men dan echter op het gebied der grootere maat vaakmoeilijkheden. Zoo scheen de onbepaald voortzetbare differenti­eerbaarheid der door het principe van DIRICHLETbepaalde potenti­aalfunctie een tijd lang moeilijk te l1andhaven.(Vgl. I-IILBERT.Ueber das Dirichlet’sche Prinzip,jahresber. der Deutschen Mathem.Vereinig. Bd VIII, en Mathem. Ann. 59, waar die onbepaaldvoortzetbare difierentieerbaarheid toch weer wordt bewezen).

3) Voor deze en de vier volgende alinea’s vgl. POINCARE,,,LaScience et 1'1-Iypothese”, Chap. X.

88

eveneens in ’t grove slechts in de tweede differenti­aalquotienten iets uitwerkende door ons eigen lichaamuitgeoefende invloeden) als vruchtbare hu1pbegrip­pen konden Worden ingevoerd.

Ook heeft men-opgemerkt, geschikte coéfficientenvoor lichamen, massa’s genoemd, zoo te kunnen invoc­ren, dat men dikwijls systemen als wat men noemtongeveer geisoleerd kan beschouwen, wanneer menn.l. opmerkt dat de beweging van het zwaartepuntongeveer rechtlijnjg en eenparig is, en in het zwaarte­punt een ongeveer invariabele as van n1aximaal­moment der relatieve beweging aan te wijzen is.

Men heeft daarom in de wiskunde der mechanicahet beginsel van gelijkheid van actie en reactie inge­voerd, en noemt systemen alleen dan geisoleerd, alsde beweging van het zwaartepunt streng rechtlijnigen eenparig is. En zoowel een mechanica der rigidelichamen als een theoretische astronomie blijkenpractisch te beheerschen met een uit de begrippenvan kracht en massa opgebouwde wiskunde.

Het essentieele er van ligt gecondenseerd in debewegingsvergelijkingen van LAGRANGE;en het isgebleken, dat bijna alle gedeelten der physica, waarmen met omkeerbare veranderingen te doen heeft,zich door analoge vergelijkingen laten beelden. ‘)

POINCARE9)heeft bewezen, dat voor al die verschijn­-—..._

i) terwijl cle overige door aanvulling met de principes derthermodynamica zijn te beheerschen.

‘) l. c. Chap. X11.

39

Mechanischenatuurverkla­

ringen.

selen een verklaring door een rigide mechanismernogelijk is; dat naar zulke interpretaties zoo vaakgezocht is, zelfs op zoodanig gebied waar eene anderebeschouwingswijze gegrond op het bestaan vancontinue en elastische materie 1neer voor de handschijnt te liggen (men denke bijv. aan de modernegastheorie en aan WILLIAMTHOMSON’sverklaring derelasticiteit uit het beginsel der gyrostatische veer),heeft waarschijnlijk zijn oorsprong daarin, dat hetbouwen van rigide constructies en mechanismen denmenschen het rneest vertrouwd is, en dat men derigide lichamen het gemakkelijkst in hun gedragbeheerscht; dat dus het idee, dat de natuur alleenrigide mechanigmen bouwt, haar mysterie, inzooverrezij dingen zou bouwen, die de menschen niet materieelzouden kunnen nabouwen, wegneemt; en ook hierin,dat zoo het zeer groote vertrouwen op de onveran­derlijkheid der wetten, die de vaste licharnen beheer­schen, de illusie, ,,de natuur te kunnen beheerschen,”versterkt. ‘) Daar de rigide-mechanische interpreta­

‘) Of is de oorzaak meer, dat een vast lichaam het familiarevoorbeeld is van een door een eindig aantal coordinatcn bepaaldding, zoodat op deze wijze in het geheel der mogelijkheden vaneen physisch verschijnsel nooit een willekeurige functie, maar slechtseen eindig aantal veranderlijken zou optreden? De nog verdcrgaande consequentie van deze tendens zou zijn, dat nu ook dcnog overblijvende coordinaten slechts discontinue sprongen zoudenvertoonen, dus door geheele getallen zouden zijn te bepalen, en

90

ties der vergelijkingen van LAGRANGEechter in hetalgemeen zeer ingewikkeld Worden en men even goedals tot de rigide groep tot andere, b.v. e1ectrodyna­mische verschijnselen zou kunnen herleiden, moetmen misschien liever alle groepen van verschijnselen,die door vergelijkingen van LAGRANGEWorden uitge­drukt, als gelijkgerechtigd naast elkander laten staan,en een opbouw daarvan uit elementairverschijnselenin het zeer kleine verwerpen, waar ze geen suggestiestot het ontdekken van nieuwe verschijnselen brengt.

De waarde der ,,verk1aringen” toch ligt niet hierin,dat zij in de plaats van een wonderlijk verschijnseleen minder wonderlijk stellen; noch 00k in de eersteplaats in de -grootere overzichtelijkheid, waarmeezij de waargenomen volgreeksen veroorloven tekatalogizeeren 9); maar in de splitsing, die zij het

dc natuur zou slechts de orde van vrijheid van een perrnutatiegroepbehouden; al het in de natuur mogelijke zou zijn na te bouwendoor iuxtapositie in ruimte en tijd van een eindig aantal elementenin verschillende geoorloofde combinaties. (vgl. hierrnee het pag. 85opgemerkte). Dat zou de natuur nég dichter _brengen bij demate­rieele gebouwen der rnenschen, en de beperkte vrijheid in hetscheppen daarvan gevoeki

Natuurlijk zouden ook bij deze opvatting de gebruikelijke con­tinue functies der natuurbeschrijving in gebruik blijven; zezoudenhicr optreden als benadering van groote getallen met kleinediscontinue sprongen.

‘) Als zoodanig zijn overigens dikwijlsverschillende verklaringeneven geschikt; men denke b.v. aan de verschillende hypothesenomtrcnt werkingen van stroomelementen op elkander, die de door

§)I

Waarde der,verklaring"vanverschijnselen.

waargenomene doen ondergaan in een csscntieel eneen toevallig gedeelte, en de door die splitsingaangewezen richting, waarin het werleelzjkwaarge­nomene tot een grooter gebied van mogelgjkhedmkan Worden uitgebreid, dus nieuwe aan regelmaatgebonden verschijnselen kunnen worden voorspeld. ‘)

M. a. w. een ,,verklaring”, die doel treft, openteen veld van inductie; i_s dat veld van inductieafgeweid, dan verliest de verklaring haar actueelebeteekenis; men zal dan van het daarin nog essen­tieele een nieuw gedeelte afscheiden, en als toe­vallig gaan beschouwen 9), om zich zoodoende eennieuw veld van inductie te scheppen.

Aanleiding en aanwijzing tot de keuze van dieafscheiding geeft dikwijls de ontdekking, dat tweete voren niet als samenhangend bekende, ieder aaneen eigen regelrnaat gebonden, verschijnselgroepenonder elkaars invloed kunnen kornen, d.w.z. dat ze,in elkanders nabijheid gebracht, elkaars isolementkunnen storen. Dan zal men trachten, in het wis­kundig beeld van elk van beide de essentieele deelen

AMPERE gegevene bleken te kunnen vervangen; evenmin is hetuitgesloten, dat de moleculairtheorieén eens andere gelijkgerechtigdenaast zich krijgen.

') m. a. w. in het aanwijzen van de grootheden in het wis­kundig beeld der verschijnselen, die als toevallige waarden vaneen veranderlijken parameter kunnen worden beschouwd.

’) Wie gelooft aan realiteit van hypothesen, spreekt bier van:,,nog dieper op het wezen der verschijnselen ingaan."

92

zoo te kiezen, dat deze als twee toevallige modificatiesvan eenzelfde continu gebied van mogelijkheden, endat met zoo gr-ootmogelijk gemeenschappelijk essen­tieel element verschijnen. Op deze wijze zijnvaak doel­treflende velden van inductie geopend, d.w.z. veldenvan inductie, die vele te voren onbekende verschijn­selen met juistheid hebben doen voorspellen.

Merken we nog op, dat nooit een verklaring, diehaar diensten bij de uitbreiding door inductie vanhet gebied der bekende volgreeksen heeft gedaan,later kan Worden gezegd, onjuist te zijn gebleken.Immers dan bewijst een démenti der ervaring alleen,dat men op grond der verklaring een tegroot veld vaninductie had geopend. En in zulk een geval kanmen de verklaring steeds redden, door in het er opgegronde wiskundig beeld der verschijnselen weerhet essentieele gedeelte uit te breiden ten koste vanhet reeds als toevallig gestelde.

En als oorsprong van een zeker veld van inductiebehoudt zulk een verklaring een historische beteeke­nis; maar een hoogere beteekenis is voor geen ver­klaring weggelegd. Immers de nieuwe, die in ver­vanging der oude een grooter veld van inductie in ’tleven roept, zal, als de grenzen van dat veld bereiktzijn, op haar beurt moeten verdwijnen; Want hetgeheel der inductief samengevatte verschijnselen,waarin de menschen vermogen gevolgen te voorspellen,en uithoofde daarvan met succes in te grijpen, zullenzij steeds willen en kunnen uitbreiden.

93

Problemcn vanruimte en tijd.

\Ve gaan thans de klassieke problemen van ruimteen tfjd aanroeren, door in ’t algemeen te onderzoe­ken, in hoeverre objeclz'vz'tez'ten a;5riorz'tez't aan wis­kundige systemen kunnen Worden toegekend, vragendie bij RIEMANN en HELMHOLTZ nog een belang­rijke rol spelen, maar sedert weer uitsluitend vanphilosophen belangstelling ondervonden, en door dewiskundigen, die zich met onderzoekingen omtrentde grondslagen hunner wetenschap bezighielden, bui­ten beschouwing werden gelaten. Eerst in denallerlaatsten tijd is een boek verschenen, dat in hetlicht van de jongste resultaten der wiskunde opnieuw de genoemde philosophische vragen aan deorde stelt, en op dit werk van B. A. VV.RUSSELL,,,An Essay on the Foundations of Geometry" is danook algemeen de aandacht gevallen. In de ,,Revuede Métaphysique et de Morale" heeft het tot voort­gezette discussies aanleiding gegeven tusschen COU­TURAT, POINCARE, LECHALAS en den auteur zelf,waarbij de onhoudbaarheid van sommige er in uitge­sproken stellingen aan het licht kwam; maar waarnatoch aan een groot deel der resultaten blijvende waardebleef toegekend. COUTURATspreel-ct zelfs van eenx'rI'ip.aL:2; inst, en van niet minder dan de volmakingvan KAN'1"sTranscendentale Aesthetiek.

We zullen hier beginnen, met een eigen stellingtegenover het onderwerp in te nemen, en daarnaop het Werk van RUSSELLnader ingaan, door eerstop enkele er in voorkomende wiskundige fouten

94

de aandacht te laten vallen, en vervolgens te onder­zoeken, Wat van de totale strekking van het boekkan over blijven.

Vooreerst dus over de objectiviteu‘:men noemt demassa der lichamen objectief, en denkt daarbijaan haar onvernietigbaarheid; we hebben echterboven gezien, dat de massa’s niets zijn, dan doorhun invoering het wiskundig natuurbeeld vereen­voudigende coéfficienten, die bij de wiskundigetransformaties, die de natuurverschijnselen afbeelden,invariant blijven. Zou men nu echter natuurver­schijnselen vinden, die het eenvoudigst zijn af tebeelden door de massa’s variabel te nemen, danzal men deze nog alleen objectief kunnen blijvennoemen op grond van hun invariabiliteit bij een zeerbelangrfikegroep van vcrsclzgfizselenin het natuurbeeld;maar men bedenke, dat dit natuurbeeld willekeurigzou zijn gekozen, op grond van zijn eenvoudigheiden bruikbaarheid weliswaar, maar toch willekeurig;dat men het eenerzijds, zij het geforceerd, zoo hadkunnen bouwen, dat de massa’s_ bij alle bekendeverschijnselen invariant blijven, maar andererzijds ookzoo, dat ze slechts bij zeer weinig verschijnseleninvariant blijven of zelfs, dat ze in ’t geheel nietoptreden.

Men zal dus van objectiviteit (voor grootheden ofvoor wetten) alleen kunnen spreken ten opzichte vaneen bepaald wiskundig natuurbeeld en relatief een

95

Objectiviteit.

bepaalde groep van verschijnselen, of, 200 men vanobjectiviteit zonder meer wil spreken, kan men daar­mee niet anders bedoelen dan:

bf invariabiliteit bij een ze/eereverklaring van alletot nog toe bekende verschijnselen;

dan zou het echter een eigenschap zijn, die wijwillekeurig zouden kunnen aanbrengen, zij het onderopbouw van geforceerde systemen;

bf invariabiliteit bij de eenvoudigste of de meestgebruikelijke interpretatie van alle tot nog toe be­kende verschijnselen;

dan zou het echter een eigenschap zijn, die elkoogenblik zou kunnen worden verloren;

bf invariabiliteit bij de eenvoudigste of de meestgebruikelijke interpretatie van een zeer belangrgj/eegroep van verschijnselen;

aan deze definitie heeft men het meest houvast,en al blijft er een factor van subjectieve appreciatiein over, men 2211niet aarzelen, op deze wijze b.v.massa, energie en Newtonsche attractie objectief tenoemen; en aan b.v. temperatuur, rnagnetisatie enmagnetische attractie objectiviteit ete ontzeggen.

Houden we ons dus aan de laatste definitie, envragen we bijvoorbeeld, in hoeverre de physische tgjden ruimte objectief 2;’/'n, dan moet het antwoord zijn,dat zij deze gradueele eigenschap op zeer volkornenwijze bezitten, en misschien volkomener dan eenigeandere physische entiteit.

Immers vooreerst de fictieve eendimensionale

96

coordinaat, met daarop geconstrueerde eenledigegroep, die de wetenschapgbelzj/eetjfdmaat is, dringt inbijna alle wiskundige natuurbeelden in, en Wel steedsmet dezelfde groep, die zoo het cachet van eenonwrikbare invariant verkrijgt.

En in nog sterkere mate geldt dit van de drie­dimensionale Cartesiaansche ruimte met daarin ge­construeerde zesledige (Euclidische) groep, die dephysisclze rzdmte is; omdat alle bekende physischeverschijnselen zich daarop laten betrekken, en zelfszonder haar de wiskundigeprojecteering dier verschijn­selen buitengewoon moeilijk zou Worden. (Wat hetmisschien niet te gewaagd is, hiermee in verband tebrengen, dat die fictieve Euclidische ruimte ont­leend is aan de bewegingsgroep der physisch voor­komende vaste lichamen, en het die vaste lichamenzijn, waarop we voor alle metingen zijn verwezen;waar het dan alleen mogelijk is, grootheden te meten,voorzoover ze met vaste lichamen in verband staan,behoeft het niet te verwonderen, dat in de wis­kundige afbeelding der betrekkingen tusschen diegrootheden het wiskundig beeld van de bewegings­groep der vaste lichamen een zoo integreerende rolblijft spelen.)

Nu de aprz'orz'teit;men kan hiermee twee begrip­pen bedoelen, n.l.:

1°. Bestaan onafhankelijk van de ervaring.

7 97

Aprioriteit.

2°. Noodzakelijke voorwaarde voor de moge1ijk­heid der wetenschap.

VVordt het eerste bedoeld, dan volgt nit denintuitieven opbouw, dat de geheele wiskunde a prioriis, en b.v. de niet-Euclidische meetkunde even goedals de Euclidische, de metrische meetkunde even goedals de projectieve.

Wordt het tweede bedoeld, dan mogen we, daarwetenschappelijke ervaring haar oorsprong vindt intoepassing der intuitieve wiskunde op de werkelijk­heid, en er behalve ervaringswetenschap geen anderewetenschap bestaat, dan juist alleen de eigenschappenvan die intuitieve wiskunde 1), niets anders a priorinoemen, dan dat eene, wat aan alle wiskunde gemeenis, en dat aan den anderen kant toereikend is, omalle wiskunde op te bouwen, de intuitie van veel­eenigheid, de oer-intuitie der wiskunde.

En daar deze samenvalt met de bewustwording

‘) Eigenlijk is het gebouw der intuitieve wiskunde zonder meereen daad, en geen wetmsc/zajfi; een wetenschap, d.w.z. een samen­vatting van in den tijd herhaalbare causale volgreeksen, wordtzijeerst in de wiskunde der tweede orde, die het zm':l'una'ig bekfikenvan de wzkkunde of van de taal der wz's.£'1ma’eis: eerst daar be­

staat causaal verband in de wijze van opvolging der wiskundigesystemen eenerzijds, en der wiskundige teekens, woorden of be­grippen andererzijds; maar daar, evenals bij de theoretischelogica,hebben we ook weer te doen met een toepassing der wzkkunde,met een nvarzhgswetmschap. Men vergelijke in dit verband deontwikkelingen van het derde hoofdstuk.

98

van den tijd als verandering zonder meer, kunnenwe ook zeggen:

Hat cenigc ajbrioristisc/ze element in de wetensclzap isde tgjd. 1)

Tot het boek van RUSSELLkomende, wijzen weeerst de volgende onjuistheden aan:

(V/Verefereeren naar de door den schrijver her­ziene Fransche vertalingz B. A. W. RUSSELL,,,Essaisur les Fondements de la Géométrie”, Traduction parA. CADENAT,revue et annotée par 1’auteur et parL. COUTURAT.Paris. Gauthier-Villars. I901.)

I. RUSSELLtracht aan te toonen, dat het axiomavan RIEMANN en HELMHOLTZ, dat de ruimte een,,Zahlenmannigfaltigkeit” is, het axioma der vrijebewegelijkheid vooronderstelt.

Uit zijn weinig beknopte, op dit punt betrekkinghebbende, redeneeringen citeeren we de duidelijkstgeformuleerde gedeeltenz

(§ 62.) ,,Tous les attributs nécessaires de 1’espacesont présupposés dans tout jugement de grandeurspatiale, et ne peuvent, par suite, étre des conse­quences d’un tel jugernent.” . .. ,,Pour formulerles axiomes de la Géométrie métrique on doit se

‘) Natuurlijk wordt hier bedoeld de z'7ztuz‘tz'ez/etzjd, wel teonderscheiden van de zoeterzsclzajfijfielzjlzetgja’, die, wel zeer a pos­teriori, eerst door de ervaring blijkt, als met een eenledige groepvoorziene eendimensionale co'o‘rdinaatgeschiktte kunnen ingevoerdtot het katalogizeeren der verschijnselen.

99

De ruimte alsZahlenmannig­faltigkeit voor—onderstelt gcenvrije bewege­lijkheid.

poser cette question: Quels axiomes, c’est 2'1direquels attributs de 1’espace, faut-il présupposer, pourque la comparaison quantitative des portions del’espace soit possible en général?” . . .

(§ 64.) ,,Si la mesure consiste dans la superpo­sition des grandeurs comparées, ne s’ensuit-il pasimmédiatement que la mesure nc soit logiquementpossible que la ou une telle superpositon laisse lesgrandeurs invariables, et, par suite, que la mesure,telle qu’elle a été définie ci-dessus, implique, commecondition a priori, que les grandeurs restent inva­riables dans le mouvement ?" . . .

(§ I44.) ,,Ainsi 1’on postule, dés le début meme,un criterium de l’éga1ité spatiale: sans un tel crite­rium, la Géométrie métrique deviendrait tout a faitimpossible. I1 peut sembler, 5;.premiere vue, que cecriterium n’ait pas besoin d’étre un axiome, maispuisse étre une simple definition. Ce n’est cependantpas le cas.” . . . ,,Tout criterium de l’éga1itéest,non pas une définition, mais une proposition quipeut étre vraie ou fausse." . . . ,,Il s’ensuit que1’application du concept de grandeur aux figures del’espace implique 1’axiome suivant: Les grandeursspatiales peuvent étre déplacées sans déformation. . .,,Si l’on n’admettait pas cet axiome, la Géométriemétrique serait incapable d’établir, sans une absur­dité logique, la notion d’une grandeur spatiale quel­conquef’...

(§ 153) Nous avons parlé ci-dessus de la GéométrieI00

sur un oeuf,qui n’admet pas la Libre Mobilité. En quoi,peut-on me demander, une Géométrie, qui excluraitentiérement la congruence serait—e11eplus impossibleque cette Géométrie de 1’oeuf? La réponse est facile.La Géornétrie des surfaces non congruentes n’estpossible que par 1’emp1oides infiniment petits; or,dans Pinfiniment petit, toutes les surfaces deviennentplanes. Si nous n’avions pas notre nzesure enclidienne,qni pent étre defilacek sans deformation, nous n’aurz'onsaucnne nzétizodepour comfmrer do pctits arcs en dif­férents licux.

Op de laatste zin heeft nu de weerlegginggemakkelijk vat. Immers we kunnen een Cartesiaan­sche ruimte opbouwen, daarin willekeurige stelselsvan oppervlakken als coérdinaatvlakken en in elkder coordinaten een willekeurige eenledige groepals grondslag voor een maatbepaling nemen; ver­volgens uit de elementen van coordinaat-toenameeen willekeurige functie als boogelement, en alsafstand van twee punten hun geodetischen afstanddefinieeren. We behoeven derhalve, om quantiteitenin verschillende deelen der ruimte te kunnen ver­gelijken, niet een mogelijkheid van verplaatsingvoor driedimensionale lichamen ten grondslag teleggen, maar eenvoudig voor eendimensionaledraden, en hierbij krijgen we niet eens noodzakelijkin het oneindig kleine een meetkunde met vrijebewegelijkheid voor lichamen, getuige b.v. de Min­kowskische meetkunde. (zi_ehoofdstuk I, pag. 59).

IOI

Een met dentijd variabeleruimteconstan­te is zeer goeddcnkbaan

2. § Ioo zegt de schrijver, dat het ondenlebaar is,dat de ruimteconstante met den tijd zou veranderen.,,Ce1a impliquerait entre 1’espace et les autres choses,une relation causale qui parait difficilement conce­vable et qui, si on la regardait comme possible,ruinerait infailliblement la Géométrie, car la Geo­métrie repose entiérement sur l’hypothése que lacausalité n’a rien a y voir. D’ail1eurs, toutes lesopérations de mesure prennent un certain temps, ilest difficile de voir comment nos résultats pourraientétre dignes de foi; et comment par conséquent onpourrait découvrir une variation du paramétrespatial.”

Bedoelt hij, dat een ruimte met veranderlijke con­stante niet denkbaar is, dan kunnen we zeggen:Denk maar een bol, die zich uitzet, de vaste lichamendaarop deformeeren zich alle op een bepaalde wijze ;ten opzichte van elkaar deformeeren ze zich ook,maar op elk tijdstip is de deformatie ten opzichtevan verplaatsing invariant, de rigide groep is dusrigide groep gebleven, maar de ruimteconstantevoor de verplaatsingsgroep is veranderd. Bedoelthij, dat de empirische ruimteconstante nooit kanveranderen, dan is werkelijk waar, dat men zoo ietsnooit zou kunnen ,,ontdekken”, omdat we niets doen,dan onze empirische verschijnselen katalogizeeren ineen door ons zelf geschapen Euclidische ruimte, en wedie Euclidische ruimte kunnen handhaven onafhan­kelijk van de verschijnselen; maar we kunnen evenI02

goed katalogizeeren in een ruimte, die op elk tijdstipeen andere kromming heeft.

Het zijn de waarnemingen met onze astronomischeinstrumenten, die door een voortzetting der gebrui­kelijkeaardsche Euclidische ruimte in de hemelruimte,en een verlenging daarin als rechte lijnen van delichtstralen, die onze kijkers treflen, het eenvoudigstworden gekatalogizeerd. Maar het is niet uitgesloten,dat die waarnemingen voor sterren met zeer geringeparallaxis eenvoudiger zouden kunnen worden geka—talogizeerd door op den bundel van 1ichtstraalrich­tingen, die uit het waarnemingspunt ontspringen,op zeer groote afstanden niet meer tusschen de maatlangs de stralen en tusschende stralen de betrekkingaan te nernen:

d..f.loodrechtr : I d¢’

1 .

maar = ; smar. d4>

of:‘-‘1— sh ar. dcp

(a zeer klein, zoodat eerst op zeer groote afstandenmerkbaar verschil met de formule -_-.-rdcp zou komen),

of zelfs nog andere betrekkingen, die niet eensoveral in de ruimte dezelfde constante geven zouden.

Evenmin is er a priori reden, waarom die ruimte­constante, m.a.w. die principale bewegingsgroep,niet zou kunnen veranderen, b.v. onder den invloed

I03

In den op­bouw der meet­kunde zijn geencirkelredenee­

ringen.

Een meerdi­menslonulcomtinnnm is geennoodukelijkevoorwaardevoor de et­

vadng.

van verschillende systemen van hemellichamen opelkaar. En zelfs zou men kunnen zeggen:

Op het oogenblik, dat de doelmatigheid der con­-stante ¢ mocht worden ontdekt, wordt de ruimteplotseling van Euclidisch niet-Euclidisch; zooalsPOINCARE zegt, dat de aarde eerst draait, sindsCOPERNICUShet heeft uitgesproken.

3. In § I08 staat: ,,Tout raisonnement géométriqueest, en derniére analyse, un cercle logiquez si l’oncommence par admettre les points, on ne pourra lesdéfinir que par les lignes on les plans qui les mettenten rapport, et si l’on commence par admettre leslignes ou les plans, on ne pourra les définir que parles points par lesquels ils passent." Hiervan bewijstde eenvoudige opbouwder Cartesiaansche meetkundede onjuistheid.

4. § I86-192 wordt de volgende stelling berede­neerd: ,,L’existence de choses diverses, maisen relationmutuelle, serait inconnaissable, s’il n’y avait pas,dans la perception sensible, quelque forme d’exté­riorité”, en het essentieele van deze redeneering komtneer op het signaleeren van wat wij hebben genoemdde oer-intuitie der wiskunde als onmisbaar voor elkeintellectueele functie. In § I91 in ’t bijzonder wordtdan echter getracht aan te toonen, dat dc tzjd allecnniet voldoende zou zijn, en wel op grond hiervan, dater geen objecten zouden kunnen worden opgemerkt.Wij antwoorden: De eenvoudigste causale Volg­reeksen die de menschen opmerken hebben werkelijk

I04

alleen den tzjd als eendimensionaal intuitief continuumtot wiskundig substraat; dat daarbij geen andereobjecten, d.w.z. invarianten optreden, dan die tijdzelf, hindert niet. Objecten komen eerst bij deelender ervaring met meer ingewikkeld wiskundigsubstraat, zooals eerst in wiskundige systemen vaneenige samengesteldheid invarianten optreden.

In aansluiting aan laatstgenoemde stelling wordt in§ 135 beredeneerd, dat de forme d’extériorité, die er,behalve de tijd, nog als eveneens noodzakelijke voor­waarde voor de ervaring zou moeten zijn, en die als deempirische ruimte zal moeten voor den dag komen,noodzakelijk meer dan één dimensie heeft. ,,En effet,dans une forme 5 une dimension, les divers contenus nepeuvent étre ordonnés qu’en série, et ne peuvent paschanger leur ordre dans la série sans se pénétrer mutu­ellement. Mais cela leur estimpossible”. .. ,,Une formea une dimension ne peut donc pas, par elle-méme, per­mettre ce changement des relations d’ex’cériorité, quiseul peut nous donner conscience d'un monde variéde chases en relation réciproque.” Waarop wij weerantwoorden, dat een dergelijke wereld van objecten(chases) voor de ervaring niet noodig is, dat deempirische ruimte een willekeurige schepping is, omverschillendecausale volgreeksen (van meetresultaten),toch met behulp van mathematische inductie ondere'e'ngezichtspzmt samen te brengen, en dat de schep­ping dier idealiseerende samenvatting van werkelijkeervaringen als deel van een fictief geheel van moge­

I05

A fortiori iseen meerdimen­sionale forme d’cxtériorité zon­der meer niet

noodzakelijkvoor de er­

varing.

lijke ervaringen, niet meesleept, dat er bij de werkelijkeervaringen invarianten voorkomen, die den naam vanobjecten verdienen.

Het eenige wat in dit verband in de richting vanRUSsELL’s gedachtengang kan worden opgemerkt,is dat, zoodra de mathematische inductie inhet Wiskundig ervaringsbeeld optreedt als middeltot samenvatting van vcrsckillende volgreeksen, dewiskundige oer-intuitie daar tweemaal onafhankelijkoptreedt op verschillende wijze, Wat, zoo we haarbeide malen als continu in het oog vatten, voert toteen meerdimensionaal continuum; maar het wiskundigbestaan van het meerdimensionaal continuum is onaf­hankelijk van de ervaring, en zijn toepasbaarheid opde ervaring is a posteriori.

Is dus de invoering van een meerdimensionaalcontinuum niet a priori noodzakelijk, nog veel minderdie van een meerdimensionaal continuum met zfilkerelaties tusschen de elementen, dat het, evenalshet eendimensionaal intuitief continuum, kan wor­den beschouwd als forme d’extériorité zonder meer.

En het is niet anders dan op grond van deze onjuistemeening, dat RUSSELL§ 129- 139 de volgende eigen­schappen der empirische ruimte als voor de ervaringnoodzakelijk ontwikkelt, ze afiezend 1)uit het concept

') Ook deze redcnceringen zelf zijn niet juist; vgl. POINCARE,,,Dcs Fondements de la Géométrie” S 4, Revue de Métaphysiqueet de Morale. I899.

106

van forme d’ea:te'rz'orite'zonder meer, verwezenlijkt ineen meerdimensionaal continuum:

I. ,,L’espace est continu et divisible a1’infini; lezéro d’étendue, résultant d’une division infinie_, est ap­pelé point. Tous les points sont qualitativement sem­blables, et se distinguent entre eux par le seul fait qu’ilssont extérieurs les uns aux autres.”

II. ,,Deux points quelconques déterminent unefigure unique, la ligne droite; deux lignes droites,comme deux points, sont qualitativement semblables,et se distinguent entre elles par le seul fait qu’e1lessont extérieures 1’une a 1’autre.”

III. ,,Trois points non en ligne droite déterminentune figure unique, 1eplan, et quatre points non situesdans un meme plan déterminent une figure a trois di­mensions. Cette progression peut, autant qu’on peut enjuger a priori, se prolonger jusqu’ a cinq Cu 7:points, sans exclure en aucune maniére la possibilitéd’une Géométrie projective. Mais la Géométrie pro­jective exige, a titre d’axiome, que cette progressions’arréte a un nombre de points entier etpositif, apresquoi tout point nouveau doit étre contenu dans lafigure déterminée par ceux qui sont déja donnés. Sicette progression s’arréte a (n + 1)points, on dit que1’espace a n dimensions.”

5. Ben grove wiskundige fout is verder, dezooeven genoemde axioma’s als volledige karakte—riseering der projectieve meetkunde te signaleeren. 1)

1) vgl. Po1Nc.-xmiz, 1. c. S 3.

107

Deprojectievemeetkunde is

niet noodzake­lijk voor de er­varing.

Immers de kern der projectieve axioma’s, de eigen­schappen, dat de Pruimte door p + 1 punten bepaald,elke rechte lijn die er 2 punten mee gemeen heeft,geheel bevat, en dat een rechte lijn en een“ ‘ ‘ruirnteelkaar snijden, ontbreken, en deze volgen niet uitde axioma's van RUSSELL. Immers in een Cartesi­aansche ruimte kunnen we zooveel stelsels vankromrnen, oppervlakken enz., die aan de projectieveaxioma’s voldoen, bouwen als we willen. En wekunnen dan ten slotte als relatie tusschen 2 puntende rechte lijn uit een der stelsels, als relatie tus­schen 3 punten het platte vlak uit een ander stelsel,enz., definieeren; zoo wordt aan de axiorna’s vanRUSSELL voldaan, maar niet aan de projectieveaxioma’s.

De schepping van het projectieve systeem isniet alleen niet noodzakelijk, maar zelfs alles be­halve prirnitief of eenvoudig bepaald, zooals duidelijkblijkt uit de in het eerste hoofdstuk pag. 57 sqq. gere­sumeerde ontwikkelingen van HAMEL,die aantoonen,hoe op allerlei verschillende manieren het lineairestelsel kan Worden bepaald; welke manieren dan nogweer onbepaald te verrnenigvuldigen zijn door wil­lekeurige uniforme punttransformaties; immers zooblijven de intrinsieke eigenschappen der rechte lijnenbij de daaruit door transformatie ontstaande geode­tische krommen behouden, zoodat deze steeds eentransformatiegroep blijven toelaten, met de projectievegroep gelijkvormig.108

6. Ook het axioma der vrije bewegelijkheid wordtgetracht at te lezen uit het concept van forme d’ex­te'rz’orz'te'zonder meer. (in ’t bijzonder § I43—I57.)

(§ 62) ,,Les conditions de la mesure elles-rnémesseront a priori, quoiqu’elles ne dérivent d’aucunenotion de grandeur, si l’on peut montrer que,-sanselles, 1’expérienced’une extériorité serait impossible.”

(§ 145). ,,Puisque 1’espace est une forme d’ex­tériorité, i1 ne peut admettre que des positionsrelatives et non absolues, et il doit étre comple­tement homogéne d’un bout 23.l'autre.”

We zullen de hierop betrekking hebbende rede­neeringen, die misschien het zwakste gedeelte vanhet geheele boek vorrnen, niet nader besprelcen;het is natuurlijk duidelijk, dat, Wat onjuist is ge­bleken voor de projectieve groep, a fortiori nietkan gelden voor de nog engere groep der Eucli­dische of niet-Euclidische bewegingen.

We merken alleen op, dat COUTURAT(kritiek opRUSSELL,Revue de Métaphysique et de Morale I898pag. 372 sqq.) van de genoemde stelling een zeerjuiste consequentie trekt. RUSSELLzegt in§ I45:,,Puisque l'espace est une forme d’extériorité, ilne peut admettre que des positions relatives, etnon absolues, et il doit étre complétement homo­gene d’un bout a l’autre;” m. a. w. (§ 144): ,,Lesformes ne dépendent en aucune maniére de laposition absolue dans 1’espace.”

COUTURATwijst er dan op, dat waar reden

109

De vrijebewegelijkheidis niet noodza­kelijk voor dcervaring.

De projectieveafstand voor­onderstelt geen,,gewone” af­

stand.

wordt gevonden, om allen invloed aan de absoluteorienteering te ontzeggen, evenveel grond moet zijn,geen invloed der absolute grootte toe te laten,daar in het concept van forme d’cxtc'riorz'te' zondermeer hoogstens relatieve, maar in geen geval absolutequantiteiten kunnen optreden. En hieruit leidt hijat, dat niet alleen het axioma der vrije bewegelij1~:­heid, maar ool-:het parallellenaxioma van EUCLIDES,dus de geheele Euclidische meetkunde als a priorimoet Worden beschouwd.

Tegenover RUSSELL heeft COUTURATgelijk, maarwe herhalen: De forme d’extériorité is alleen inéén dimensie a priori, en daar treden er niet alleengeen absolute, maar zelfs geen relatieve quantiteitenin op; de laatste verschijnen eerst, nadat als eenwillekeurige wiskundige bouw (van zulk een bouwis het element, d.i. de oer-intuitie der forme d’exté­riorité, onveranderlijk en a. priori, maar de wijzeder aaneenschakeling van de telkens herhaalde toe­passingen van de oer-intuitie op het reeds opge­bouwde of een deel er van, willekeurig) op heteendimensionaal continuum een eenledig continue,uniforme groep is geconstrueerd.

7. In § 37 wordt getracht de afstanden op eenrechte lijn als primaire begrippen te handhaven, engezegd, dat de projectieve invoering der afstandenvolgens KLEIN uit de quadrilateraal-constructie een­voudig willekeurig ieis anders als afstand definieert,en dat toch nooit kan doen zonder dat vooraf de

IIO

voorstelling van wat RUSSELLnoemt ,,distance ausens ordinaire” reeds aanwezig is.

We citeeren ter toe1ichting(pag. 46): ,,Si A,B, C sont trois points différents d’une droite, i1doit exister quelque diflérence entre les relationsde A a B et de A :21C, car autrement, en vertude 1’identité qualitative de tous les points, B et Cne pourraient etre distingués l'un de l’autre; maisune telle difference implique, entre A et B, unerelation qui soit indépendante des autres points dela droite; car si 1’on n’avait pas une telle relation,les autres points ne pourraient apparaitre comrnedifférents. Donc, avant de pouvoir distinguer lesdeux points fixes qui servent de base a la definitionprojective, i1 faut déja supposer qu’i1 existe, entredeux points quelconques de notre droite, une cer­taine relation indépendante des autres points, etcette relation est la distance au sens ordinaire”.....,,La distance, au sens ordinaire, reste une relationentre deua: points, et non entre quatre”.

Hierbij is uit het oog verloren, dat men zichzeer goed een continuum kan voorstellen, zondernog daarop ,,grootheden” te kunnen vergelijken.Dat kan men eerst, na preferentie te hebben gege­ven aan een willekeurige eenledige groep. (In § I78roert trouwens RUSSELLzelf dit onderscheid tus­schen ,,intensieve" en ,,extensieve” grootheden aan,en hij heeft er later den nadruk op gelegd in zijn,,Principles of Mathematics"). Verder is het fout, om

III

Rcwnatcnvan LIE.

den lineairen afstand een relatie tusschen tweepun­ten te noemen; hij kan niet anders optreden danin verhoudingen tusschen twee afstanden, dus in be­trekkingen tusschen minstens drie punten. Zooleerthem ool-: inzien de eenledige groep, waarmee elkeschaal, dus ook elke afstandsbepaling gelijkwaardig is.

8. In § 45 Worden de resultaten van LIE foutiefweergegeven. Er staat n.l.:

,,Dans la Géométrie £1 deux dimensions, si lalibre mobilité a lieu dans tout l'csj>ace, il n'y apas de groupe qui satisfasse aux trois premiersaxiornes de HELMHOLTZ,excepté ceux qui donnentles mouvements euclidiens et non-euclidiens ordi­naires; mais si elle a seulement lieu d Z’z'nte'rz'eurd’zme certaine region, il y a encore un groupe pos­sible on la courbe décrite par un point quelconqueen rotation n’est pas fermée, mais forme une spiralelogarithmique. L’axiome de la Monodromie deHELMHOLTZ est nécessaire pour exclure cettepossibilité.”

Maar zoo is het niet. Als de vrije bewegelijkheidover de geheele ruimte1)moet plaats hebben, komenniet meer alle Euclidische en niet-Euclidische bewe­

‘) LIE bedoelt de volledige projectieve ruimte, en daar hebbende Euclidische en hyperbolische groepen hun fundamentaalkegel­snede als onbereikbare punten, en zull-:een onbereikbaar puntmist de eigenschap, dat als het met een willekeurig lijnelernenter door wordt vastgehouden, dat dan het geheele vlak vast staat.

II2

gingen in aanmerking, alleen de niet-Euclidischeelliptische groep. (vgl. LIE, ,,Ueber die Grundlagender Geometrie,” Leipziger Berichte 1890, pag. 289).

De eisch van vrije bewegelijkheid over degeheele ruimte kan dus niet dienen, om de Eucli­dische en niet-Euclidische bewegingen te behouden,en de spiraalgroep uit te sluiten. Men moet alseisch nemen, bf dat de pseudocirkels hun n1idde1­punt niet mogen bevatten (ook niet als grenspunt),bf het monodromie-postulaat van HELMHOLTZ.

Verder staat er:,,Si dans la Géométrie :1 trois dimensions la

libre mobilité, dans la région spécifiée, a lieu Seu­lement pour chaque point de positioazge'ne'rale, tandisque, si 1’on fixe un point, les points d’une certaineligne ne peuvent se mouvoir que sur cette ligne,et non sur une surface; dans ce cas d’aut1'esgroupes sont possibles et ne peuvent étre exclusque par le quatriérne axiome de HELMHOLTZ.”

Het resultaat van LIE komt echter neer op: ,,etne peuvent étre exclus mémepar le quatriéme axiomede HELMHOLTZ."

We komen tot de totale strekking van het werk,die bedoelt, het standpunt van KANT ten opzichtevan de eprioriteit in de ervaring te rectificeeren, enop de hoogte van den tijd te brengen.

KANT verdedigt omtrent de ruimte de volgendestelling:

8 II3

Hetstandpuntvan KANT.

De voorstelling van een uitwendige wereld doormiddel van een Euclidische driedimensionale ruimteis van het menschelijk intellect een onveranderlijkattribuut; een andere voorstelling van een uitwen­dige wereld bij dezelfde menschen is een contra­dictore onderstelling.

KANT bewijst zijn stelling ') als volgt:Van de empirische ruimte merken we twee din­

gen op:1°. wij krijgen geen uitwendige ervaringen, dan

geplaatst in de empirische ruimte, en kunnen onsdie ervaringen niet los van de empirische ruimtedenken (1. c. onder (1) en (2));

2°. voor de empirische ruimte geldt de Eucli­dische driedimensionale meetkunde (1. c. onder (3)),

waaruit volgt, dat de Euclidische driedimensionalemeetkunde noodzakelijke voorwaarde voor alle uit­wendige ervaringen en het eenig mogelijke recep­taculum voor de voorstelling eener uitwendige wereldis, zoodat de eigenschappen der Euclidische meet­kunde synthetische oordeelen a priori voor alle nit­wendige ervaring moeten worden genoemd.

De beide praemissen betoogen in zekeren zin(die meer dan de door ons pag. 96 bedoelde om­vat) de objectiviteit, eerst van de empirische ruimtezonder meer, zonder welke geen uitwendige ervaringheet te kunnen Worden gedacht, (hiermee wordt

‘) Kritik der reinen Vemunft,» ed. KEHRBACH,pag. 50-52.

114

waarschijnlijk niet meer dan een Cartesiaanschedriedimensionale ruimte bedoeld), en vervolgens vande daaringeconstrueerde Euclidische bewegingsgroep .Maar er kan direct tegen worden ingebracht, dat wijonze ervaringen lergfgen 105 Van alle wiskunde, dusook van alle ruimtevoorstelling; wiskundige classi­ficatién van groepen van ervaringen, dus 001: deschepping der ruimtevoorstelling, zijn vrije daden vanhet intellect, en wij kunnen naar verkiezing onze er­varingen op die katalogizeering betrekken, of onwis­kundig ondergaan.

Beslist onwaar is dus ook de toevoeging bij deeerste praemisse, dat we de bekende uitwendigeervaringen niet kunnen denken los van de ruimtevoor—stelling. En de conclusie, die de ajnrioriteitder Eucli­dische driedimensionale meetkunde hoofzakelijk op dietoevoeging grondt, moet mede worden verworpen.

Maar zelfs de praemissen van KANTaanvaardende,kunnen we tegen dc conclusie aanvoeren: kandan het menschelijk intellect niet even goed geot­ganiseerd zijn, om in andere receptacula de voor­stelling eener uitwendige wereld te plaatsen, zonderdat nochtans dit in dc j>ra/etgj/evoorkomt; b.v. omdater weinig resultaat mee is te bereiken, en dus hetvermogen daartoe weinig wordt geoefend? De em­pirische vaste lichamen zijn de eenige, waarop zichhet menschelijk meetinstinct kan werpen; dit ver­klaart dat langzamerhand de bewegingsgroep diervaste lichamen het schema der menschelijke verstand—

I15

Hetstandpuntvan RUSSELL.

houding over meetresultaten geworden is, maar datnu de virtuositeit in het betrekken van verschijn­selen der ervaringswereld op dat schema zeergroot is, sluit niet uit, dat men zich kan oefenen,om andere schema’s (b.v. meerdimensionale enniet-Euclidische ruimten) niet alleen te bouwen,maar ook er zijn ervaringen op te betrekken. Hetuitwendige ervaringen ondergaande menschelijkeintellect kan zich, zoo dat het geval is, dus zeergoed van de Euclidische driedimensionale meetkundelosmaken.

Dit laatste is ook de meening van RUSSELL,maar als noodzakelijke eigenschappen van het recep­taculum wil hij behouden de eigenschappen der projec­tieve meetkunde en het axioma der vrije bewege1ijl-:­heid, zoodat alleen nog keuze zou blijven voor deEuclidische, hyperbolische en elliptische geometrieénvan een zeker aantal dimensies.

En dan verder is zijn opvatting, dat, al is hetmenschelijk intellect tot deze verschillende geometrieéngeorganiseerd, de ervaring leert, dat alleen de Eucli­dische driedimensionale meetkunde voor de toevalliggegeven werkelijkheid kan dienen, waarvoor ze n.1.bij hooge benadering ,,waar” zou zijn. (vgl. b.v.§ 209 pag. 253.)

We hebben boven aangewezen, hoe RUSSELLdeeerste dezer beide stellingen afleidt:

voor de projectieve meetkunde uit den foutieveneisch van meer dan één dimensie voor het wiskundig116

substraat der ervaring, en de onjuiste uitbreidingover de uit meerdere dimensies gebouwde ruimtevan de voorwaarden, waaraan moet voldoen eenforme d’exte'rz'orz'te'zonder meer.

voor de metrische meetkunde uit de willekeurigeinvoering der meetbaarheid (Wat alleen kan geschie—den door den bouw van een groep, zooals hier inhet eerste hoofdstuk is aangegeven, en Wat voor deervaring niet een bestaansvoorwaarde is) en danverder weer uit de onjuiste uitbreiding tot ruimtenmet meer dimensies van eischen, die alleen voor ééndimensie gerechtvaardigd zijn.

En Wat de tweede stelling betreft, er is niet eenbepaalde empirische rm'm.te: wij kunnen alle ver­schijnselen katalogizeeren in elke ruimte, met zooveeldimensies als we willen, zoo bizar gekromd als wewillen, dus ook zonder vrije bewegelijkheid. Erva­ringswetenschap is gebonden aan wiskunde, maardwingen tot de keuze van een bepaald wiskundigsysteem kan de ervaring nooit.

De Euclidische driedimensionale meetkunde is eenzesledige groep, waarin zich de beweging derempirische vaste lichamen in onze onmiddellijkeomgeving met zeer groote benadering laat weergeven,en daar verder van de verschijnselen der natuur, diede menschen bestudeeren, vaak een substraat in debewegingsgroep der empirische vaste lichamen gemak­kelijk onder wetten is te brengen (Watdan als in depraktijk meest geschikte manier geschiedt volgens met

II7

Rcsumccringvan het verbandtusschen wis­kundc en erva—ring.

behulp dier groep geconstrueerde empirische krom­men, die men reclztc: lz_'j7ze7znoemt, en op de rechtelijnen geconstrueerde schalen, die men afslandsscizalcnnoemt), en zoo dienstig is als middel om voor veledoeleinden die verschijnselen te beheerschen. kondenvoor techniek en natuurkunde brui1~:baremeetwerk­tuigen worden geconstrueerd, waaraan de empirischvvaste lichamen ten grondslag liggen, en werd de Eucli­dische meetkunde, dat is de Euclidische wiskundigegroep de grondslag voor de verstandhoucling dermenschen over alle verschijnselen der ervaringswereld.

De Euclidische meetkunde is een door geregeldgebruik onder de menschen zeer algemeen handelbaargeworden gebied der wiskunde, maar het is zeergoed denkbaar, dat bij dezelfde organisatie van hetmenschelijk intellect een ander wiskundig gebouwdeze populariteit zou hebben verkregen.

Ons standpunt resumeerende ten opzichte vande beide hoofdpunten van KANT’sTranscendentaleAesthetiek:

a). Ten opziclzte van het ona/scheidelzjk verbondencaan de uitwendigeervaring: Niet alleen bestaat, zooalspag. 98 is gezegd, de wiskunde onafhankelijk vande ervaring, maar ook is alle ervaring onafhanke­lijk van alle wiskunde. Geen enkel wiskundig systeemwordt door ons met onze ervaringen passiefonder­gaan; niet eens dc tijdcoordinaat, niet eens hetmaatlooze tijdcontinuum.118

b). Ten opzic/zte van noodzakclzj/2 optrcdcn m netwiskmzdig receptaculum der ervaring.' Die noodz.'1keli_jk­heid bestaat alleen voor de wiskundige oer-intuitie,daar het wiskundig receptaculum der ervaring aangeen andere beperking Onderhevig is, dan de wis­kunde zelf, en deze ontwikkelt zich u'it haar oer­intuitie in een door vrije willekeur geleide ze1fver­menigvuldiging; de eenige synthetische oordeelena priori voor de uitwendige ervaring, en tevens deeenige synthetische oordeelen a priori in het algemeenzijn dus die welke Worden afgelezen als wiskundigebouvv-rnogelijkhedenop grond van de oer-intuitie vantijd of van veeleenigheid, m.a.w. worden ufgelezenals mogelijkheden van puntsystemen op het con­tinuum. 1)

Men kan dus als zulke oordeclen noemen:1°. de mogelijkheid zelf van wiskundige synthese,

van het denken van veeleenigheid, en van de her­haling daarvan in een nieuwe veeleenigheid.

2°. de mogelijkheid van tusschenvoeging, (datmen n.1. als nieuw element kan zien niet alleen hetgelzeel van twee reeds samengestelde, maar ooki—.._._T:

‘) Men trachte echter niet. die oordeelcn nun (lc wiskundc ofaan de ervaring ten grondslag te leggcn: ze zijn het gevolg vanzrrzkkundzy belezjicender oer-intuitie, moronderstellen dus (lo oer­intuitie zoowel in het bekijken als in het bekekenc; ze hehoorentot wat we in het volgende lmofclstuk xullcn noemcn 2w'.v/.-mm?der tweed: orde. '

119

het bz‘nde2za’c::dat wat niet het geheel is, en nietelement is.)

3°. de oneindige voortzetbaarheid. (axioma vanvolledige inductie).

De ervaring a posteriori kan omtrent het nood­zakelijk optreden van bepaalde wiskundige s_\_'st(‘menin de ervaringswetenschap niets lceren.

I20

.33:

.é_a.._.£...3:c.o_E.E.£.shasor

._3:_...ocow.32:

...*kV.»~3:3

.mmE.5pmcm».9:.o_xa:o:v__m._mn_go:so88::.832.8:-§_o_m:oE:uo_:uBu

.:3w:_.m:ncu-_.€P_m€ooEBuco.8:___:2.E_u_u_§:_-0332.03.5oz.3-E::o.6_Uo.8E2.

.3m:::.o.ou6.5uE€ooEowso.352:2w:o_m:oE_U

.25fiomzezsmat

...._..&mS.96.\.c..§.:c.S%S..\

.u.w3mmm:.mE

..&u_:

.c.€o~oo:maE2..so.3E_:._o_a:o_m:oE:u

-25ozumsususman

.3:o~oo:m«.Eowco.858»o_.m:o_m:oE:u

2%ofiugusmow

...§€-.:\.:.mv..u\S§.:§..

-..:ck.m.........Z<M5

“mutate

.53_u:o..uno3

L328.:_u_.E9_.....EoE3;:5.2325»;ow

cw.»ccohmnoAm

_m:ca>:3BaE2suSn_ouo.m_u:3_m_.sHo:5no:39:xfioxmuvooz

“m_mES>.8ow:uco.:.2:cucancause:

omv:__%_o€es_o

”oEox.,:>$coSEB:sorfimmmsmsoHz<MS3c355

écfimowxEoEo_n.$>o§Eom.8>mfionomovcom_o>pom

III.

WISKUNDEEN LOGICA.

We willen toonen, dat de wiskunde onafhankelijkis van de zoogenaamde logisclzewetten, (wetten vanredeneering of van menschelijk denken). Dit sfchijntparadox, want wiskunde wordt gewoonlijk gesprokenen geschreven als bewijsvoering, afleiding van eigen­schappen, en in den vorm van een aaneenschakelingvan syllogismen. Maar de voorstellingen, die doorde daarbij gebruikte woorden worden gewekt, bestaanhierin, dat, waar wiskundige dingen Worden gegevendoor hun relaties met een gedeelte van de enkelvoudigeof samengestelde deelen van een wiskundig gebouw, ‘)men door een reeks van tautologieén ’), de gegevenrelaties vervormt en trapsgewijs voortschrijdt naar derelaties van het ding met andere deelen vanhet gebouw.

De bewijzen, die we in het eerste hoofdstuk van deallereerste stellingen der wiskunde gaven, bestonden in

‘) d.w. 2. dat men tot den bouw van het ding in kwestie komt insamenhang met die deelen waartoe het wordt gezegd,in relatie te staan.

1) d. w. z. wisseling in de ondergroepeeringen, die men in een­zelfde wiskundig systeem in 't oog vat.

I25

Wiskundcis onafhankelijkvan logica.

het leeren lezen van die stellingen als tautologieén. Datin meer gecompliceerde gevalleneen stelling niet directduidelijk is, maar eerst na een reeks van tautologieénwordt ingezien, bewijst alleen, dat wij onze gebouweningewikkelder bouwen, dan weineens kunnen overzien.

Er is een bijzonder geval, waar de aaneenscha—keling van syllogismen een eenigszins ander karak­ter heeft, dat aan de gewone logische figuren meernabij schijnt te komen, en werkelijk het hypothetischeoordeel der logica schijnt te vooronderstellen. Dat is,waar een gebouw in een gebouw door eenige relatiewordt gedefinieerd zonder dat men daarin direct hetmiddel ziet het te construeeren. Het schijnt, dat mendaar onderstelt dat het gezochte geconstrueerd was,en uit die onderstellingen een keten van hypothetischeoordeelen afleidt. 1)Maar meer dan schijn is dit niet;wat men hier eigenlijk doet, bestaat in het volgendezmen begint met een systeem te construeeren, dat aaneen deel der geéischte relaties voldoet, en trachtuit die relaties door tautologieén andere af te leidenzéé, dat ten slotte de afgeleide _zich met de nogachteraf gehoudene laten combineeren tot eenstelsel voorwaarden, dat als uitgangspunt voor deconstructie van het gezochte systeem kan dienen. Met

‘) Men denke hier b.v. aan de uniciteitsbewijzenvoor transformatiegroepen met gegeven eigenschappen van HILBERTen LIE; of ookaan gewone elementaire werkstukken, als het zoeken van een gemeen­schappelijk harmonisch par, of de werkstukken van APOLLONIUS.

I26

die constructie is dan eerst bewezen, dat werkelijkaan de voorwaarden kan Worden voldaan.

,,Maar”, zal de logicus zeggen, ,,het had ookkunnen zijn, dat bij de redeneeringen een strijdig­heid tusschen de afgeleide en de nog wachtendevoorwaarden was voor den dag gekomen, en diestrijdigheid wordt toch waargenomen als logischefiguur en bij het inzicht van de strijdigheid steuntmen op het principium contradictionis.” Waaropkan Worden geantwoordz ,,De woorden van uwwiskundig betoog zijn slechts de begeleiding vaneen woordloos wiskundig bouwen, en waar gij destrijdigheid uitspreekt, merk ik eenvoudig, dat hetbouwen niet verder gaat, dat er geen plaats is tevinden in het gegeven grondgebouw voor het op­gegeven gebouw. En waar ik dat merk, denk ikaan geen principium contradictionis.

Is dus de wiskunde niet afhankelijk van delogica, Logicais af­de logica is wél afhankelijk van de wiskunde: Va“vooreerst het intuitief logisch redeneeren is dat bij­zondere wiskundige redeneeren, dat overblijft, alsmen bij het bekijken der wiskundige systemen zichuitsluitend beperkt tot relaties van geheel en deel;de beschouwde wiskundige systemen zelf dragenin geen opzicht een speciaal elementair karakter,dat een prioriteit van logisch redeneeren ten opzichtevan gewoon wiskundig redeneeren zou kunnen wet­tigen. Men zou kunnen. aanvoeren: De relatieofivolgcr zzjn mm, die het redeneeren in de eigen­

I27

lijke wiskunde beheerscht, treedt in de wiskunde vanhet logisch redeneeren nag niet op. Dan dient geant­woord: Die relatie treedt weliswaar m'etmeerexplicietop, maar ze is er zoo goed als in alle wiskundevoorondersteld; immers ze vergezelt alle wiskundigeopbouw, hoezeer ze ook na het beéindigen van denbouw bij zekere relaties tusschen de elementen nietmeer als zoodanig duidelijk in het oog springt.

Van het wiskundig bouwen en redeneeren, en inhet bijzonder van het logisch redeneeren, dat demenschen bij zichzelf doen, trachten ze door middelvan klanken of teekens bij andere menschen copieénte doen oprijzen, of ook hun eigen herinnerings­vermogen te hulp te komen. Zoo ontstaat de wis­lezmdige taal, en als bijzonder geval hiervan de taalder logisclze redcneeringen. ')

Voor welke wiskundige begrippen men een klank­beeld of schriftteeken zal scheppen, om er aan telaten beantwoorden, deze keuze zal zoo ekonomischmogelijk rekening houden met de meest gebruikelijkewiskundige systemen en wijzen van redeneering;ze zal dus in ’t algemeen in elk milieu verschillend

1) Dat men ook bij wiskunde, waar nan geen relaties van geheel endeel wordt gedacht, dikwijls voor de mededeeling door woorden aananderen, a’egedaclzte relaties om:/ormt toz‘re/afies mm gclzeelen der/,zoodat de gebruikelijke taal der algemeene wiskunde doortrokken isvan de uitdrukkingswijze der logische redeneeringen, is slechts toe teschrijven aan de eeuwenoude traditie der logische termen in de taal,in verband met haar beperkten woordenvoorraad.

I28

zijn. En in het bijzonder: welke gedeelten der wis­kunde een taal zullen krijgen niet alleen bij de wiskun­digen van beroep, rnaar 00k in het dagelijksch leven,dit zal voor elk volk weer op nieuw er van af han­gen, welke gedeelten der wiskunde als leiding voorhet levensgedrag of 2115middel tot verstandhoudingdaarover er de meeste toepassing hebben gevonden.

Het is dus zeer goed denkbaar, dat bij dezelfdeorganisatie van het menschelijk intellect, dus bij de­zelfde wiskunde, een andere taal van verstandhoudingware ontstaan, waarin voor de ons bekende taal derlogischeredeneeringen geen plaats zou zijn. En waar­schijnlijk zijn er" nog wel buiten het cultuurverbandlevende volken, waarbij dat werkelijk het geval is.En evenmin is voor de taal der cultuurvolken uitge­sloten, dat in een verder ontwikkelingsstadium delogische redeneeringen er hun plaats zullen verliezen.

Nu hebben de menschen, die alles wiskundigwillen bekijken, dat ook gedaan met de wiskundigetaal, en wel in vroeger eeuwen steeds uitsluitend metde taal der logische redeneeringen: de hieruit voort­gekomen wetenschap is de tkeoretiscke logica.

Eerst in de laatste twintig jaren (de vroegste sporengaan overigens tot op LEIBNITZ terug) is men dewiskundige tan! in het algemeen op dezelfde wijzegaan bekijken: hierin bestaat, voor zoover ze zonderzelfoverschatting wordt beoefend 1), de logistiek.

‘) vgl. pag. 159 sqq. De totnogtoe uitgewerkte systemen van

9 I29

Zoowel theoretische logica als logistiek zijn dus em­pirische wetenschappen, en toepassingender wiskunde, dieomtrent de organisatie van het menschelijk intellectnooit iets zullen kunnen leeren, ennogeerder tot deethno­gra[>hie,dan tot depsychologie,moeten worden gerekend.

En de taal der logische redeneeringen is zoo mineen toepassing van de theoretisclte logica (waarvan zouoverigens in dat geval de taal der theoretische logicazelf een toepassing zijn P)als het menschelijk lichaameen toepassing der anatomie is.

Beschouwen we tot toelichting het klassiekesyllogismez

Alle menschen zijn sterfelij k.Socrates is een mensch.

ergo: Socrates is sterfelijk.

De gedachten door deze woorden geaccompag­neerd zijn de volgende:

Ten grondslag ligt de projecteering in de aanschou­wingswereld van een wiskundig systeem, n.1. eengroep van een eindig aantal elementen, ,,subjecten”,elk verbonden aan geen of een of meer uit eengroep van een eindig aantal andere elementen (,,prae­dicaten"). Het blijkt dat het gelukt, in het men­schelijk intellect een deel der aanschouwingswereld

logistiek beschouwen een wiskundige taal die een overmatig ge­bruik maakt van de woorden der theoretische logica,en die soms,waar dat overmatig gebruik voerde tot een ongeoorloofd gebruik,wiskundige dwalingen heeft in het leven geroepen.

I30

bij benadering op zoo’n systeem te projecteeren,Nu, en in zoo’n wiskundig systeem is het een wis­

kundigetautologie, dat als alle elementen met het prae­dicaat ,,mensch” een deel zijn van die met het praedi­caat ,,sterfe1ijk”, dat dan het element ,,Socrates” uitde eerste groep, ook deel uitmaakt van de tweedegroep. We hebben hier een der allereenvoudigste vor­men van wiskundige redeneering, dat is van doortautologie overgaan van de eene relatie op de andere.

Gaat men evenwel de woorden, die deze primitievewiskunde begeleiden, bekijken, dan kan men erwiskundig een verrassend mechanisme van een nieta priori duidelijke regelmatigheid in zien, m.a.w.men kan op die woorden een nieuw eenvoudigwiskundig systeem projecteeren, waarover sprekendemen de theorie van het syllogismeuiteenzet. Maar dehier van kracht zijnde wiskundige systemen be­hooren tot de allereenvoudigste, hebben dus voorhun bekendheid de logica niet noodig.

Was in het syllogisme nog een wiskundig elementte onderkennen, de stelling:

Een functie is of difierentieerbaar of niet differen­tieerbaar

zegt niets; drukt hetzelfde uit, als het volgende:Als een functie niet differentieerbaar is, is ze niet

difierentieerbaar.Maar de woorden van eerstgenoemde volzin be­

kijkend, en een regelmatig gedrag in de opvolgingder woorden van deze en van dergelijke volzinnen

131

ontdekkend, projecteert de logicus ook hier een wis­kundig systeem, en noemt zulk een volzin een toe­passing van het jarincipe van tertium non datur.

We leggen er verder den nadruk op, dat hetsyllogisme en de verdere logische principes kunnenWorden gerekend te gelden voor de taal der logischeredeneeringen, die handelen over eindige element­groepen, of aftelbaar oneindige, of gebieden binnencontinua, maar in elk geval uitsluitend over wiskundigopgebouwde systemen; de overtuiging vande betrouw­baarheid hunner toepassing steunt op de zekerheid,dathet wiskundig opbouwbare systemen zijn, waaroverwordt gesproken. En wanneer het gelukt taalgebouwenop te trekken, reeksen van volzinnen, die volgens dewetten der logica op elkaar volgen, uitgaande vantaalbeelden, die voor werkelijke wiskundige gebou­wen, wiskundige grondwaarheden zouden kunnenaccompagneeren, en het blijkt dat die taalgebouwennooit het taalbeeld van een contradictie zullen kunnenvertoonen, dan zijn ze toch alleen wiskunde als taa1­gebouw en hebben met wiskunde buiten dat gebouw,bijv. met de gewone rekenkunde of meetkunde nietste maken.

Dus in geen geval mag men denken, door middelvan die taalgebouwen iets van andere wiskunde,dan die direct intuitief op te bouwen is, te kunnente weten komen. En nog veel minder mag menmeenen, op die manier de grondslagen der wiskundete kunnen leggen, m.a.w. de betrouwbaarheid der132

wiskundige eigenschappen te kunnen verzekeren.We gaan er toe over, op grond van boven­

staande overwegingen achtereenvolgens nader tebespreken:1°. De grondvesting der wiskunde op axioma’s.2°. De theorie der transfinite getallen van CANTOR.3°. De logistiek van PEANO-RUSSELL.4°. De logische grondslagen der wiskunde volgens

HILBERT.

Ad 1°.

Het klassiel-ze voorbeeld is» hier de meetkundevan EUCLIDES Dat het als logisch taalgebouwonvolkomen is, dat n.l. stilzwijgend hier en daarniet genoemde axioma’s worden ingevoerd, is doorde nieuwere onderzoekingen van PASCH, SCHUR,HILBERT, PEANO, PIERI e. a. overtuigend aange­toond, maar het systeem in dat opzicht te perfec­tionneeren, heeft dezen wiskundigen weinig moeitegel-tost. Daarnaast hebben zij, en vooral HILBERT,zich onledig gehouden, taalgebouwen van patholo­gische geometrieén te construeeren, om aan te too­nen, welke eigenschappen (d.w.z. volzinnen, dievoor de Euclidische meetkunde meetkundige eigen­schappen uitdrukken) wél, en welke niet behoudenblijven, wanneer men een deel der axioma’s laatvallen (hierin de voetsporen drukkend van LOBAT­CHEFFSKY,die onderzocht, Wat van het logischegebouw van EUCLIDESoverblijft, als men zijn paral­

I33

Deverbctcrirgen op EUCLI­DES.

lellen-axioma vallen laat')). In het bijzonder steldenzij zich ten doel, voor elk der zoo geconstrueerdelogische gebouwen de benoodigde axioma’s tot eenminimum te beperken. Zoo heeft HILBERT voorde meeste in zijn Festschrift opgestelde axioma'saangetoond, dat zij niet kunnen weggelaten worden,zonder dat de meetkunde daardoor een deel vanhaar eigenschappen verliest. ’)

We moeten echter opmerken, dat het verwijt vanonvolledigheid tegen EUCLIDESvervalt, als hij zichzijn wiskundig gcbouw der Euclidische meetkunde,reeds af voorstelde (als een Cartesiaansche ruimte meteen bewegingsgroep), en zijn redeneeringen alleendienen als begeleiding bij het uit duidelijk geziene

') Ook al is uit de bcrekeningcn van LOBATCHEFFSKY,vooralvoor het plattc vlak op vrij eenvoudige wijze, wcl een bestaansbewfisaan te brengen, en is het niet onmogelijk, dat hij zelf dat er inheeft willen zien; vgl. b.v. .,Pangeometrie”, S 8.

,1) Intusschen, zelfs. al had hij dat van a! zijn axioma's aange­toond ——dc ,,Axiome der Verkniipfung" en ,,Axiome der Anord­nung" onderzoekt hij in dat opzicht niet; waarvoor hij (I. c. p. 20)den vagcn grond opgeeft. dat zij ,,bei unserer Darstellung deniibrigcn Axiomcn zu Grunde liegcn" ——dan was daarmee hetminimurnbewijs nog niet geleverd. Immers elk axioma, waarinhet woord alle voorkomt, is splitsbaar, al was het alleen in hetaxioma voor all: op 49'!»na en dat voor de een: resteerende, endaarvoor zou dan tclkens rnoeten worden aangetoond, dat hettweede decl niet uit het eerste volgt, wat misschien wel mogelijkis, maar in elk geval niet zoo eenvoudig, en HILBERT hecft indat opzicht zijn ondcrzoek onvolledig gelaten.

134

relaties (dat zijn ondergeschikte gebouwen) door eenreeks van tautologieén overgaan tot nieuwe, nietdirect geziene, m.a.w. als begeleiding van eenexploratie van een zelf opgebouwd gebouw. Dan iszijn werk zuiver wiskundig, en het niet invoerenvan cofjrdinaten en opereeren daarmee, is alleeneen methodische onvolkomenheid.

Het is natuurlijk ook mogelijk, dat EUCLIDEShetniet zoo heeft ingezien, en in de fout van zoovelenis vervallen, die dachten logisch te kunnen rede­neeren over andere dingen dan eigengemaakte wis­kundige systemen, en voorbijzagen, dat, waar delogica het woord alle of ellzegebruikt,'_deze woorden,om zin te hebben, de beperking van voor zooverbehoarend tot een als vooraf opgebouwd gedacht wis­kzmdig systeem stilzwijgend insluiten ')._...i. .-_——-j-:.

‘) Naast deze waan van de z2rgj}zez'a’der logica staat als eenanalogc overschatting er van het idee van ARISTOTELESen dcscholastici - dat nog sterk bij SPINOZAen in mindere mate bijKANT nawerkt, en waaraan eerst in de I9d° eeuw de philosophicontgroeid schijnt te zijn ——dat men door logica niet a. prioriduidelijke geheimen der natuur zou kunnen ontdekken, terwijl inwerkelijkheid dc conclusies waartoe men zoo geraakt, niet voorde natuur zelf, maar alleen voor het in willekeur daarop geprojec­teerde wiskundigc systeem (waarvan dan slechts een deel hetdirect doorleefde dekt, terwijl het overige een uitbreiding doorinductie daarvan is) geldig zijn; dat die conclusies ook voor denatuur juist zijn (d. w. z. als leiddraad voor het menschelijk han­delen doel trefien), dient voor elke conclusie opnieuw geveri­

I35

LOBATCHEFF­

SKY, BOLYAL

RlEMANN.

HILBERT c. s.

In elk geval is het Werk van EUCLIDESdoor de nako­melingschap meest als zulk eenlogisch gebouwopgevaten LOBATCHEFFSKY misschien en BOLYAI zeker

construeerden eveneens logische gebouwen, zonderzich om wiskundige systemen, die ze zouden kunnenaccompagneeren, te bekommeren. Eerst RIEMANNheeft voor het onderzoek naar de grondslagen dermeetkunde den juisten Weg gewezen, door bijzijn redeneeringen er van uit te gaan, dat deruimte een Zalzlenmannigfaltigkeit is, dus een doorons zelf gebouwd systeem. Hij voert dit even­wel met nadruk in als een hypothese, die eenwillekeurig karakter draagt; en spreekt er nietvan, dat we in all: geval een wiskundig systeemmoeten ten grondslag leggen, en dan als zoodaniguithoofde van doelmatigheid deZah1enmannigfa1tigkeitkiezen. Zoo zijn dus PASCH, HILBERT enz., in zijn

fieerd (en elke verifieering door wiskundige inductie aangevuld).Zulk een verifieering is noodig, hoe juist de gebruikte praemissenook waren, zoo goed als van een physische hypothese, hoe bruik­baar ook tot nog toe gebleken, elke nieuwe consequentie uit­drukkelijk dient gecontréleerd te worden.

Die verifieering kan verder voor verschillencle personen totverschillend resultaat leiden, omdat zij de woorden der conclusictoetsen aan verschillende voor die woorden in hun geestbestaandcwiskundige systemen, of ook zij kan bij gebrek aan zulke wis-­kundige systemen in afwachting van latere ondervinding, datis vorming van nieuwe wiskundige systemen, voorloopig onmo­gelijk zijn.‘

I36

aannarne iets willekeurigs ziende, weer tot de logischegrondvesting der meetkunde teruggekeerd, en hebbengetracht EUCLIDESte verbeteren, door, zooals weboven hebben uiteengezet, zich ten doel te stellentaalgebouwen ‘) te construeeren, die uit axioma’szich ontwikkelen, enkel door middel van het for­meele syllogisrne en de verdere logische principes.De intuitieve wiskunde halen ze alleen binnen denkring hunner beschouwingen tot het voeren vannict-strzjdighcidsbewzjzen(aangeven van een systeern,waarvan een zeker stelsel logische axioma’s en dus ookalle er uit afgeleide stellingen kunnen worden be­schouwd, eigenschappen uit te drukken 9'))en onafhcm­

?

‘) HILBERT verklaaw zelfs uitdrukkelijk, bij woorden als ,,Punkt,”..Gerade”, ,,zwischen" enz. aan geen wiskundige interpretatie tewillen denken.

3) Het is duidelijk, dat door het aangeven van een wiskundigsysteem, waarvan de axioma’s eigenschappen zouden .éurmenaccompagneeren, bewezen is, dat nooit twee strijdige stellingenuit die a.xioma’s kunnen worden afgeleid, want twee strijdige stel­lingen kunnen niet van een wiskundig gebouw gelden. Overigens ligtin het aanvoeren der wiskundige systemen als bestaansbewijzen voorde logische, dat men nog voelde dat het wiskundig systeem zelfgeen verder bestaansbewijs, dan zijn intuitieven opbouw noodighad. Hoe die overtuiging HILBERTlater echter weer heeft verlaten,blijkt uit zijnnoot ,,iiber den Zahlbegriff" (Iahresber. der DeutschenMath. Ver. VIII), waar hij de getalsystemen, die hij als bestaans­bewijzen voor zijn geometrieén had ingevoerd, op hun beurt zelfweer alleen axiomatisch gedefinieerd denkt, zoodat dan daarvan

I37

Iaelzjkheidsbewgfitcn(d.w,z. dat men, om aan te toonen,dat een zeker axiorna uit zekere andere niet loglscb

nog weer even goed onafhankelijk van de intuitie de niet-strijdigheidmoet worden aangetoond. Maar hij bedenke dat hij dan toch weerintuitief een wiskundig systeem (dat van de uit de axio1na’s afge­leide stellingen) intuitief opbouwt volgens de wetten der logica,en dan eenvoudig in de niet-strijdigheid een wiskundige eigenschapvan dat wiskundig systeem aantoont, en dat niet anders danintuitief. Daar hij geen intuitieve wiskunde wil erkennen, zal hij_die laatste bewijsvoering ook weer als gebouw in de taal moetenbeschouwen, en er een redeneering op grond van axioma’s (n.l.over 'de ,,Verkniipfung" van de elementen, die de stellingen vanhet systeem zijn, en daaronder sober het axioma van volledigeinductie) in moeten zien ; en hij zal weer moeten bewijzen, dat die axio­ma's niet strijdig zijn. Maar 1° is hij dan nog even ver,als zooeven,1° volgt uit de niet-strijdigheid der axioma’s nog niet het bestaauvan het bijbehoorend wiskundig systeem, 3° volgt uit het bestaanvan dat wiskundig redeneersysteem nog niet, dat dat taalsysteem/egft, m. a. w. een aaneenschakeling van gedachten begeleidt, endan nog niet, dat die aaneenschakeling van gedachten een wz‘:.€-undzjgeontwikkeling is, dus overtuigingskracht bezit.

We zullen beneden zien, hoe HILBERTzich hieruit heeft trachtente redden, en in hoeverre hij daarin geslaagd is.

Herinneren we in dit verband ook aan de beroemde brochurevan DEDEKIND: ,,Was sind und was sollen die Zahlen ?”,die zichten doel stelt, de arithmetiek der geheele getallen logisch tebewijzen uit de allerprimitiefste begrippen. Hij geeft daartoe eenlogisch systeem (dus een wiskundig gebouw van woorden), waarindc woordbeelden van de onderlinge verhouding van de primitievebegrippen (gefieel en deal, beantwoording van elementerz aanelkaar, afbeelding van .9/sterrzerzop elkaar enz.) de axioma’s zijn,

I38

is af te leiden, een wiskundig systeem aangeeft, waar­van de laatste we], het eerste niet, beschouwd kunnen

en dat dan verder volgens de logische wetten ez'nd{gwordt opge­bouwd (dus zonder gebruik te maken van de volledige inductie,dat is de wiskundige intuitie ,,en zoo voorzt”) Zou dit systeemnu wiskundige beteekenis hebben, dan zou het door een wiskundigbestaansbewijs moeten worden gecompleteerd. Maar wilden we datgeven, dan zouden we daarbij zeker de intuitie ,,e7zzoo wort”moeten gebruiken, en zouden meteen zien, dat we alle arithme­tische stellingen veel eenvoudiger kunnen zien, dan volgens hetgewrongen systeem van DEDEKIND; deze geeft dan ook niet hetbestaansbewijs. Wei geeft hij S66 een bewijs voor: ,,Es giebtunendliche Systeme," maar 1° is vereischt een bewijs voor: ,,Esgiebt einfach unendliche Systeme,” wat meer is; en 2" is zijnbewijs, dat ,,meine Gedankenwelt” aanvoert, fout; want ,,meineGedankenwelt" is niet wiskundig te bekijken, en het is dus ookniet zeker, dat ten opzichte van zoo iets de gewone axioma’s vangeheel en deel niet~strijdig zullen blijven. Wiskundige beteekenisheeft het systeem van DEDEKIND dus niet; om het logische betee­kenis te geven, ware een onafhankelijk bewijs van niet-strijdigheidvereischt geweest, dat DEDEKIND evenmin geeft; had hij dattrouwens gegeven, dan had hij zich op de -intuitie ,,m 200 wort"moeten beroepen, maar had hij die intuitief erkend, dan had hijweer gezien, hoe hij met behulp daarvan de arithmetiek eenvoudighad kunnen opbouwen, en was zijn logisch systeem hem alsén ongemotiveerd, en omslachtig verschenen, en had hij niet volge­houden, dat ieder die rekent, onbewust alle phasen van zijn logischsysteem doormaakt. (vgl.Vorrede pag. IX : ,,Ich erblicke gerade in derMiiglichkeit, solche Wahrheiten auf andere,einfachere,zuriickzufiih­ren, mag die Reihe der Schliisse noch so lang und scheinbar kiinstlichsein, einen iiberzeugenden Beweis dafiir, das ihr Besitz oder der

I39

worden eigenschappen uit te drukken), en in dezenzin treden bij hen o.a. niet-Archimedische en niet­Pascalsche geometrieén op, zooals we aan het eind vanhet eerste hoofdstuk hebben geconstrueerd ‘). Dezeweinig harmonische, met moeite samengetimmerdesystemen krijgen zoo, doordat ze een beperkterstel axioma’s representeeren, een prioriteit ten op­zichte van de eenvoudige, doorzichtige, Euclidischemeetkunde '). Zoo iets storends is het gevolg, wan­

Glaube an sie niemals durch innere Anschauung gegeben,sondernimmer nur durch eine mehr oder weniger vollstandige Wiederho­lung der einzelnen Schliisse erworben ist.")

Op dezelfde gronden als het werk van DEDEKIND, moet dcverhandeling van MANNOURY:,,De zoogenaamde grondeigenschapder Rekenkunde" (Handelingen van het 8' Natuur~ en Genees­kundig congres, Rotterdam I901) die eenvoudiger hetzelfde ideeuitwerkt, als grondlegging voor de rekenkunde worden veroor­deeld.

') Van dc daar opgebouwde groep van niet-Pascalsche geome­trieén zijn de door HILBERT (Festschrift p. 69) en VAHLEN (Ab­strakte Geometric pag. 42; no) aangegevene bijzondere gevallcn.

’) Van ons standpunt kunnen we in de pathologische geome­trieén van HILBERT c. s. niets zien, dan speciale veralgemeeningen van de Euclidische bewegingsgroep. En deze veralgemee­ningen blijven eenzijdig hierin. dat ze zich (in tegenstelling metdie van LIE) tot projectieve groepen beperken, en dat ze(eveneensanders dan bij LIE) niet de algemeene groep, die aan zekerevoorwaarden voldoet, opsporen; wat overigens ook niet zal gaan,zoolang niet eerst als willekeurige bcperking een bepaald wiskundiggrondsysteem wordt gegeven, waarin de verder nog aan zekereintrinsieke voorwaarden voldoende groep rnoet worden ingepast.

I40

neer men de taal, die een, zij het gebrekkig,hulpmiddel is om wiskunde mee te deelen, maarmet de wiskunde zelf niets uitstaande heeft dan alseen begeleiding, als iets essentieels er van gaatbekijken, en de wetten, die de opvolging der vol­zinnen regeeren, de logische wetten, als het eigenlijkerichtende bij daden van wiskundig bouwen in ’t ooggaat vatten.

Intusschen blijven de moderne axiomatici natuurlijktoch van plan, om hun logische systemen ten slotteweer toegepastte zien, en hebben dan ook geen woord­gebouwen opgetrokken, dan die geschikt zijn, omopbouwbare wiskundige systemen te begeleiden. Nurijst de vraag: gesteld we hebben op een of anderemanier, zonder aanwiskundige interpretaties te denken,bewezen dat het uit eenige taa1axioma’sopgebouwdelogische systeem niet-strijdig is, d.w.z. dat opgeen moment der ontwikkeling van het systeem tweestrijdige stellingen komen; vinden we vervolgens eenwiskundige interpretatie voor de axioma’s ,(die dannatuurlijk bestaat in den eisch, een wiskundig gebouwte construeeren met aan gegeven wiskundige relatiesvoldoende elementen), volgt dan uit de niet-strijdig­heid van het logische systeem, dat zulk een wiskun­dig gebouw bestaat? Maar zoo iets is door deaxiornatici nooit bewezen, niet eens voor het gevalde gestelde voorwaarden insluiten, dat het een wis­kundig opbouwbaar systeem is, wat gezocht wordt;zoo b.v. wordt nergens bewezen, dat als een eindig

141

Veroordeclingvan de logischcgrondslagenderMcngenlchre.

getal aan een stelsel voorwaarden moet voldoen,waarvan bewezen kan worden, dat ze niet contra­dictoor zijn, dat dan dat getal ook bestaat. 1)

Maar zeker niet is de stelling waar, als in degegeven voorwaarden niet reeds dc opbouwbaarheiduitdrukkelijk begrepen is. Zoo b.v. zijn volgensHILBERT de eigenschappen, door CANTORgesteldvoor de welgeordende verzameling, bestaande uital de getallen der tweede getalklasse, niet contra­dictoor; maar de verzameling bestaat niet wiskundig.

Ad 2°.

We hebben in het eerste hoofdstuk gezien, dater geen andere verzamelingen bestaan, dan eindigeen aftelbaar oneindige, en continua; hetgeen isaangetoond op grond van de intuitieve waarheid,dat wij wiskundig niet anders kunnen scheppen, daneindige rijen, verder op grond van het duidelijk gedach­te ,,en zoo voort” het ordetype 0, doch alleen be­

') Het is dus a fortiori niet zeker. dat van elk wiskundig pro­bleem of de oplossing kan worden gegeven of logisch kan wordenaangetoond, dat het onoplosbaar is; iets, waarvan intusschenHILBERTin ,,Mathc-matische Probleme" meent,datieder wiskundigeten innigste is overtuigd.

Maar van deze kwestie zelf is het natuurlijk ook weer nietzeker,dat ze ooit zal kunnen worden afgedaan, d.w.z. of opgelost, ofalsonoplosbaar aangetoond (een logische kwestie is ook niets danecn wiskundig probleem.)

142

staande uit gelzj/eeelementen ‘), zoodat we ons b.v. dewillekeurige oneindige duaalbreuken nooit af, dusnooit geindividualiseerd kunnen denken, omdat hetaftelbaar oneindige aantal cijfers achter de komma nietis te zien als een aftelbaar aantal gelgfke dingen),en ten slotte het intuitief continuum, (met behulpwaarvan we vervolgens het gewone continuum, hetmeetbaar continuum, hebben geconstrueerd).

CANTORen zijn volgelingen meenen echter nogallerlei andere verzamelingen te kennen; hun grond­beginsel is (CANTOR,,,Grund1agen einer allgemeinenMannigfaltigkeitslehre,” pag. 45) het volgendez

,,Der Vorgang bei der correcten Bildung vonBegriffen ist m. E. iiberall derselbe; man setzt eineigenschaftsloses Ding, das zuerst nichts anderesist, als ein Name oder ein Zeichen A und giebt dem­selben ordnungsméissigverschiedene, selbst unendlichviele verstandliche Pradicate, deren Bedeutung anbereits vorhandenen Ideeén bekannt ist und dieeinander nicht widersprechen diirfen ; dadurch werdendie Beziehungen von A zu den bereits vorhandenenBegriffen und namentlich zu den verwandten be­stimmt; ist man hiermit vollstéindig zu Ende, sosind alle Bedingungen zur Weckung des BegriffesA, welcher in uns geschlummert, vorhanden und

5‘)Waar men zegt: ,,en zoo voort", bedoelt men het onbepaaldherhalen van eenzezfdeding of operatie, ook al is dat ding of dieoperatic tamelijk complex gedefinieerd.

I43

Dc twccdegctalklasse vanCANTURbestaat

nick.

er tritt fertig ins Dasein, versehen mit der intrasub­jectiven Realitiit, welche iiberall von Begriffen nurverlangt werden kann; seine transiente Bedeutung zuconstatiren ist alsdann Sache der Metaphysik.”

Het komt zooals we zien ongeveer neer op hetstandpunt der axiomatici.

We hebben boven getoond dat dit principe nietgewettigd is, en beweren nu Op dezen grond, datde vele paradoxen der ,,Mengenlehre”, waarvan deoplossing met zooveel ijver wordt gezocht, geenrecht van bestaan hebben; dat veelmeer de Can­torianen verplicht waren geweest een begrip dattot een contradictie aanleiding geeft, direct, alszeker onwiskundig gevormd, te verwerpen.

Gaan we op enkele punten nader in:

Van de definitie der zvelgeordende verzamelingenvolgens CANTOR(zie hoofdstuk I pag. 63) weten we, datze niet-contradictoor is; immers er bestaan welge­ordende verzamelingen, in de eerste plaats het orde­type onvan de rij der eindige ordetypenzo, 1, 2. ..Er is dan ook niets tegen, om note stellen als eennieuw ordegetal, en weer op nieuw te gaan tellen

ac,n+1, w+2,... zw, zw-|—],...., mw—|-—n,....

Evenmin is er iets tegen, na alle op deze wijzete vormen getallen te stellen een getal an’;we openenons zoo weer een grooter gebied van volgens een

144

welgeordende rij op elkaar volgende ordegetallen,waarvan 'de uitdrukking geschiedt door den alge­meenen vorrn:

mlwpl+ mgop’+ . . . . (pr > pr +1)

als eerstvolgende waarop we cu“kunnen invoeren.Zoo kunnen we doorgaan, en CANTORtoont (,,Grund­lagen” pag. 35) aan, dat elk zoo ingevoerd ordetype,dus 00k in elk stadium het geheel der ingevoerdegetallen, aftelbaar blijft. Dan laat hij echter volgenz

,,Wir definiren daher die zweite Zahlenclasse alsden Inbegriff aller mit Hiilfe der beiden Erzeugungs­principe (hij verstaat onder die twee principes: eeneenheid verder gacm, en van een ordetypc to het mast­hoogere element, lzet grenselememf, nemen) bildbaren,in bestimmter Succession fortschreitenden Zahlen an:

no,w+1,..., v0ml‘+v,w#—'+...+v,‘_1w+ vfl,....OJIw,lIIIm,IOU¢l

welche der Bedingung unterworfen sind, dass alleder Zahl a voraufgehenden Zahlen, Von 1 an, eineMenge von der Méichtigkeit der erstenZah1enc1assebfldenf’

Let wel, ,,den Inbegrifi a1ler”; hij spreekt hiervan iets, wat zich niet laat denken, d.w.z. zichniet wiskundig laat opbouwen; immers een geheel,

IO 145

geconstrueerd met behulp van ,,en zoo voort" laatzich alleen denken, als dat ,,en zoo voort” op eenordetype :0 van gelijke dingen slaat; maar het.,en zoo voort” hier slaat niet op een orde­type en, en ook niet op gelijke dingen. CANTORverliest dus hier den wiskundigen bodem. Volgenszijn boven aangehaald grondprincipe moet hem ditonverschillig zijn; maar in elk geval moet hij dantoch zorgen, dat hij logisch vasten grond houdt,heeft dus aan te toonen, dat de invoering van dit,,InbegriE aller” niet tot strijdigheden aanleidingkan geven, Wat hij evenmin doet, Wat echter kangeschieden volgens de methode, waarop HILBERT1)de logische entiteit ,.,Inbegriff aller" invoert, enhaar niet-strijdigheid bewijst.

CANTORgaat nu door en spreekt over zijn tweedegetalklasse, alsof hij haar reéel voor oogen had;zijn rnanier van uitdrukken wijst er alles behalve op,dat hij alleen een logisch systeem op het oog heeft.Bij het bewijzen der machtigheidsstellingen, dat detweede getalklasse een hoogere machtigheid heeftdan de eerste, en wel de naasthoogere, ziet hij in diemachtigheidsgelijkheid resp. ongelijkheid wel degelijkeen reéele mogelijkheid resp. onmogelijkheid van eeneenduidige afbeelding van twee bestaande getal­klassen op elkaar.

‘) Verhandlungen des internationalen Mathematiker-Congressesin Heidelberg, 1904 p. 183, I84.

I46

Van ons standpunt zijn die redeneeringen met detendons die CANTORer in Iegt beschouwd, zinloos; heteenige, wat er, met eenige wijzigingen, van te maken is,kornt neer op de volgende trivialiteitz Wordt delogische entiteit T (machtigheid der tweede geta1­klasse) ingevoerd, dan zou het axioma T : A (A isde machtigheid van :0) in het logisch gebouw toteen contradictie voeren; evenzoo de invoering vaneen logische entiteit I, die de logische functie vaneen machtigheid zou moeten vervullen, en aan deaxioma’s A < I < T zou moeten voldoen. Dat is hetlogische, voor de Wiskunde waardelooze resultaatdezer bewijzen van CANTOR. VVi1men het in wis­kundig licht bezien, dan kan men niet anders vin­den dan de volgende uitspraak: Onwaar zijn debeide stellingenz

1°. De tweede getalklasse is denkbaar en aftelbaar.2°. De tweede getalklasse is denkbaar, en er ligt

een machtigheid tusschen de hare, en die der eerstegetalklasse.

Maar dat deze twee stellingen onwaar zijn, wistenwe 211,Want we wisten a1dat het eerste deel van beide(de denkbaarheid der tweede geta1k1asse)onwaaris.

En als parallelle wiskundige inhoud der in debewijzen van CANTORbevatte ontwikkelingen blijft alleenhet volgende over: ,,Er is zeker geen rij met machtig­heid A van welgeordende verzamelingen zéo', dat iknog niet een nieuwe, niet tot die rij behoorendewe1­geordende verzameling zou kunnen opbouwen. Maar

147

De aftelbaaronafie verzamc­linger).

het geheel der welgeordende verzamelingen, die ikin een of ander wiskundig systeern heb ingevoerd,is zeker aftelbaar.” (We spreken in deze wislzundigestelling niet van ,,geta1len der tweede getalklasse,”omdat het woord /elasse hier niet tot ons begripspreken kan; we spreken ook niet uitdrukkelijk vande ,,aftelbm'e welgeordende verzamelingen,” wantwe kunnen geen andere welgeordende verzame­lingen, dan aftelbare, opbouwen.)

Wil men toch van ,,het geheel der welgeordendegetallen” spreken, en iets omtrent de machtigheiddaarvan zeggen, dan gelukt dat in een eenigszins ge­wijzigde beteekenis, in verband met delaatstgenoemdewiskundige stelling, door de volgende uitspraak:

De nzaclztigheid van het ge/zeal der welgeordendegetallen is aftelbaar omzf; we verstaan dan ondereen aftelbaar rgmaffeverzameling een, waarvan nietanders dan een aftelbare groep welgedefinieerd isaan te geven, maar waar dan tevens dadelijk volgenseen of. ander vc-oraf gedefinieerd Wiskundig procesuit elke zoodanige aftelbare groep nieuwe elernentenzijn af te leiden, die gerekend Worden eveneens totde verzameling in kwestie te behooren. Maar strengwiskundig bestaat die verzameling als geheel niet;evenmin haar machtigheid; we kunnen deze Woot­den echter invoeren als willekeurige uitdrukkings­wijzen voor een bekende bedoeling.

Als verdere voorbeelden van aftelbaar onaffe ver­zamelingen kunnen we noemen: He: geheel der

I48

definieerbare punten Op het continuum; en a. fortiorihet geheel van alle mogelijke wiskundige systemen.

Bij het nooit klaar komend opbouwen van eenaftelbaar onafie verzameling kunnen we al voort­bouwende naar opvolging afbeelden op de rij derwelgeordende verzamelingen, die eveneens nooituitgeput raakt; het begrip van gelijkmachtigheiduitbreidend, om het hier toepasbaar te houden, kun­nen we zeggen:

A lle aftelbaar mza/‘fa verzamelingen zijn gelg'jle­machtig ‘).

We onderscheiden dus dan voor verzamelingennaar volgorde van grootte de volgende machtigheden:

1°. de verschillende eindige.2°. de aftelbaar oneindige.3°. de aftelbaar oneindig onaffe.4°. de continue.

Het corztinuumgfirobleein,waarover voortdurend

‘) Intusschen kan men in zekeren zin ook zeggen, dataftelbaaronafi'e en aftelbare ve.rzamr:!in.gen gelijkmachtig zijn, daar elkeaftelbaar onaffe verzameling 57-af te beeidcn op cu’ (immers elkgedeelte, dat ik telkens wee1 toevoeg, als ik de aftelbaar onaffeverzameling opbouw, is af te beelden op oi, immers is aftelbaar;construeer i1-:zulk een atbeelding voor elk toegevoegd gedeelte,dan beeld ik de onafie verzamcling af op co -1- w 4- w 3--= w’); alleen is deze afbeelding J-feed:onaf; het bcwijs, dat eenafbeelding eener aftelbaar onaffe verzameling op een aftelbareonmogelijk is, geldt dan ook alleen voor een /rflé afbeelding.

I49

Het conti­nuumprobleem.

bijdragen verschijnen met het doel, de oplossingeen stap verder te voeren, stelt den eisch aan tetoonen, dat het continuum en het ,,geheel der ge­tallen van de tweede getalklasse” gelijkmachtigzijn.Uit het voorgaande blijkt nu, dat men daarmee,aangezien nbch het geheel der getallen van de tweedegetalklasse, nrbch het continuum als systeem vangeindividualiseerde punten wiskundig bestaan, nietsduidelijk gedachts kan zoeken, dan de volgendebuiten de eigenlijke wiskundestaande logischestelling:

, ,Men lean als Zogische entiiciten invoeren het geheelder getallen van de tweede getallelasse en het geheelder punten van /zet c0nz.‘z'nz:-um:0'o', dat de aannamedat daartusschen erzn correspondentie e'e'n aan e'e'nbestaat, waarbzj gcen enkel element van een vanbeide bniten die corresporzdentic valt, nz'et-contra­dictoor 2's.”

Maar als men invoert de logische entiteit: geheelder punten van het continuum, en de continuum­intuitie heeft verlaten, dus dc punten van het conti­nuum rnoet definieeren, is dat niet anders mogelijk,dan als de te definiecren wetten ‘van voortschrzjdingvoor benadercnde dnaalbrea/zen. Nu, als zoodanigis dan het continuum aftelbaar onaf en ook detweede getalklasse is aftelbaar onaf, de gezochteLogische stelling is dus bewezen.

De verwantc wisknndige kwestie (dat alle ophet continuum te definieeren verzamelingen bf afiel­baar zijn, bf de machtigheid van het continuum

I50

bezitten) is in het eerste hoofdstuk (pag. 62-67)behandeld.

Volgen we CANTORverder, dan zien we hoe hijals eerste ordegetal, dat op alle ordegetallen dertweede klasse volgt, .0. invoert, en dat noemt:eerste ordegetal der derde getalklasse. Maar .0. be—staat m'et wiskundig, en het logische bewijs voor deniet-strijdigheid van het nieuw ingevoerde ding,hoewel waarschijnlijk licht te voeren, heeft geenbelang.

CANTOR’svolgelingen zijn onbeschroomd nog verderdoorgegaan, en hebben zoo evenveel getalklassenen machtigheden geschapen, als ze ordegetallen zelfkonden scheppen, zich noch om wiskundige denk­baarheid, noch om logische niet-strijdigheid bekom­merend. Ten slotte voerden ze in het geheel z/analle ordegetallen, maar bemerkten nu een logischestrijdigheid, die intusschen werd gesignaleerd alswiskundige paradox en waarvan een wisleundige(weverstaan onder wiskundig steeds: in het gebied derintuitieve denkbaarheden liggend) oplossing met ijverwerd gezocht, zonder dat men er erg in had, hoehier het gebied der wiskunde reeds lang verlaten was.

Het is de paradox van BURALI-FORTI: (,,Unaquestione sui numeri transfiniti,” Rendiconti delcircolo Matematico di Palermo I897) ,,Stellen wehet geheel der welgeordende typen mzar volgorde vangrootte gerangschikt, O, dam is O zelf een welge­

I51

Dc paradox vanBURALI-FORTI.

De wel-orde­ning eener wil­lekeurige ver­zameling.

ordend type, en daar alle welgeordende typen ojvtredenals een deelverzameling van 0, moat O het grootstewelgeordcnde type zijn. Maar als O can welgeordendtype is, is O + 1 er 00/: em, e120 +1 z's>O; Ois cirss niet het grootste ordegetal."

Ten eerste zou de paradox licht te verhelpenzijn, door aan O niet opnieuw de eigena-chap toete kennen, (aan vroeger geschapen welgeordendetypen toch ook alleen bij willel-zeurige axioma'stoecrekend), dat O + 1 weer een welgeordend type is.

Maar ten tweede mag men zoo iets niet paradoxvinden: was-.1men logische gebouwen schept, zondereen wiskunde, die ze als taalbegeleiding accompag­neeren, is van elk gebouw a priori even goed mogelijk,dat het strijdig, als niet-strijdig is.

Een tweede beroemd probleem uit de leer dertransfinite getallen is: ,,Te bewijzcn, dat ellee ver­zameling kan warden welgeorden.ri.” CANTOR sprakdeze stelling (,,Grundlagen" pag. 6) uit als ,,Denk­gesetz.” waarvoor natuurlijk niet de minste redenis, zoodat zijn volgelingen dan oolr trachtten haarte bewijzen. In Mathem. Ann. 39 geeft ZERMELOzulk een bewijs op grond van het volgend axioma:

,,_]eder Teilmenge M’ einer Menge M kann manein beliebiges Element tn’, zugeordnet denken, dasin M’ selbst vorkommt und das ,,ausgezeichnete”Element Von M’ genannt werden moge.”

BOREL merkt dam in Mathem. Ann. 60 terecht

I52

op, dat wie zoo iets als axioma invoert, even goedde stelling zelf als axioma nemen kan.

Nu weten we, dat behalve de aftelbare ver­zamelingen, waarvoor de stelling zeker geldt, nogalleen het continuum bestaat, waarvoor de stellingzeker niet geldt, vooreerst omdat men het grootstedeel der elementen van het continuum als onbekendmoet beschouwen, ze dus allerminst individueelkanordenen, en dan, omdat alle welgeordende verza­melingen aftelbaar zijn. Ook deze kwestie blijktdus illusoor.

Als hoofdstelling van de leer der transfinite ge­tallen wordt gewoonlijk genoemd het theorema vanBERNSTEIN-SCHRODER :

,,Zzjn A an B twee verzamelingen an is A een-een­duidig af te beelden. op een deel van B an evenzoo B opeen deel mm A, dam ook A op B,”of wat op hetzelfde neerkomt, (we voeren in hetsymbool ,,ac\>b”, gelezenz a aeguivalent met b, ornuit te drukken dat 21en b een-eenduidig op elkaarafbeeldbaar zijn):

AlsA:-.A,+B+CA<nA,

dan oakAcnA,—|-B.

(Gesteld n.1. dat de stelling in de laatste formu­leering bewezen is en gegeven:

I53

Het theoremau.van BERNSTEIN

A=H,—l—C H:A,+DH canH, A ax‘:A,

hebben we eveneens

H1: An + D1waarin

A. N A. <-\'>AD, c\‘> D.

En nu volgt uitA _'_—..A“ + D, + C

volgens de stelling in de tweede formuleeringAcx3An'+D1

Het bewijs voor de tweede formuleering wordtgegeven als volgtz Passen we de operatic, die Averdeelt in een deel, met het geheel aequivalent, ennog twee andere deelen, weer toe op A1,zoodat

A1-—"'A2""B1""‘C1a

vervolgens op A, enz., dan hebben we ten slottezA::B+B,—|—B, . . . . ..++C+C,+C,....+D,

als D de verzameling is, die aan alle opvolgendeA’s gemeenschappelijk is. Maar duidelijk is

c+c, +c, +.... !'_\‘'DC,+c,....Dus

A®B+B,+B,....+C, -+C,+....+Dc.\'3A,+B;en men krijgt de gezochte afbeelding, door C af tebeelden op C,; C, op C,; C, op C3; enz.

Voor de alleen als niet-contradictore logische

I54

entiteiten bestaande verzarnelingen bewijst dit theo­rerna, dat als

A::A,+B+C,

en er is een een-eenduidige afbeelding van A op A1gegeven, dat het dan logisch niet-strijdig is, aan tenemen dat ook A en A, + B aequivalent zijn.Wiskundig geeft het ook een middel aan, om eeneen-eenduidige afbeelding van A op A, + B werkelijkuit te voeren, maar alleen voor de gedefinieerde, debekendeelementen van A, dat is dus voor een afiel­baar onaf gedeelte. Voor de onbekende elementen leerthet zulk een afbeelding niet. Zoo b.v. bij een A, dieeen continuum is, zullen we van een willekeurigelement, dat dus alleen bij steeds onaffe benaderingbekend is, nooit weten, of het al of niet tot eender C's hoort, en zoo ja, tot welke, dus kunnen wevan de benadering van de afbeelding niets zeggen.

Wiskundigen zin heeft dus de stelling, zooals zeboven is bewezen, alleen voor eindige, aftelbare enaftelbaar onaffe verzamelingen. Maar daarvoor ishaar geldigheid direct duidelijk.

Het theorema is zooals We van vroeger (zieHoofdstuk I pag. 62-67) weten, ook geldig voorcontinua; maar het zooeven gegeven bewijs heeftvoor dat geval geen waarde.

Nu het theorema zonder beteekenis blijkt te zijn,kunnen we verwachten, dat de vele toepassingen,die de Cantorianen er van maken, even inhoudsloos

I55

zijn. Onderzoeken we als voorbeeld een verhan­deling van BERNSTEIN in Mathem. Annalen 61.Om het continuumprobleem dichter bij zijn oplossingte voeren, leidt hij daar naast de bekendc stellingz

De machtigheid van alle welgeordende typen metmachtiglzeid A (eerste machtiglzeid) is F (tweede mach­tigheid)een analoge af :

De maclztigheid van alle ordetyjben met nzaclztz'g­heid A is C (machtigheid van ket continuum).

Deze stelling grondt hij met behulp van zijnaequivalentietheorema op de beide hulpstellingenz

a) Het continuum is aequivalent met een deelver­zameling uit lzet geheel van alle ordetypen met mach­tigkeid A: zeggen we uit de verzameling OA.

b) De verzameling 0A is aequivalent met een deelvan lzet continuum.

Het eerste bewijst hij door aan een oneindigeduaalbreuk te laten beantwoorden het ordetype,dat ontstaat door tusschen elke twee cijfers achter dekornma een ordetype w*+m in te voeren, en ver­volgens alle cijfers 0 te schrappen, en voor allecijfers 1 een enkel element te zetten.

Het bewijs dat hij voor de tweede hulpstellinggeeft, is onjuist; zooals hij daar de ordetypen metmachtigheid A opbouwt (n.l. eerst één neerzetten,dan de tweede, waarvoor 2 keuzen van plaats zijn,dan de derde, waarvoor er 3 zijn enz.), krijgt hij nooitI56

meer, dan een bijzondere groep van typen, waarvanhet aantal aftelbaar is, n.l. 1 X 2 X 3 X 4 X . . . .Want het if denken van een aanta1A van iactoren,dat voor de duaalbreuken van het continuum gebeurt,kan daar alleen geschieden uithoofde van de conti­nuumintuiiie; een analoge intuitieve mogelijkheidbestaat hier niet.

Hier kunnen we dus alleen aan die ordetypendenken, waarvoor een wet van voortschrijding isgegeven, maar dan Wordt de verzameling van alleordetypen gedacht als aftelbaar onafi'e verzamelingvan voortschrijdingswetten. Die gegeven afbeeldingis er dus eene van 0,‘ als wettenverzameling op eendeel van het continuum.

Keeren we terug tot de eerste hulpstelling, dankunnen we haar op twee manieren lezen. Of :

,,Alle punten van het continuum zijn aequivalentmet een deel van alle elementen uit OA.”

Of :

,,Alle benaderingswetten voor punten van hetcontinuum zijn aequivalent met een deel van all:benaderingswetten voor elementen uit 0,.”

Alleen de laatste lezing is te combineeren met detweede hulpstelling, voor zoover ze door BERNSTEINbewezen mag Worden geacht. Maar Wat blijit dannu van het resultaat? Dat alle voortschrijdingswettenin 0,, aequivalent zijn met alle benaderingswettenin het continuum, Wat vanzelf spreekt, daar beideverzamelingen aftelbaar onaf zijn.

I57

De transinitcunclutter­

hating.

Behalve de rij der welgeordende klassen wordt inde leer der transfinite verzamelingen nog een andermiddel gebruikt, om tot steeds hoogere machtighedenop te klimmen, berustend op machtsverhefling tot eentransfinite exponent.

Men verstaat onder MN de beleggingsverzamelingvan N met M d.w.z. de verzameling, bestaandeuit alle manieren, om met elk element van N eenelement van M te laten correspondeeren.

Men bewijst dan dat voor M >1,

MN>N.

(vgl. b.v. SCHOENFLIES,Bericht iiber die Mengen­lehre, Jahresber. der Deutschen Math. Ver. Bd VIIIHeft 2 pag. 26; daar wordt bewezen dat NN> N,maar het bewijs laat zich op de hier gegeven stel­ling onveranderd veralgemeenen).

De eerste op deze wijze afgeleide hoogere machtig­heid is

C :: MA

waar M eindig of aftelbaar oneindig, en A de aftelbaaroneindige machtigheid; deze beleggingsverzamelingkunnen we denken, omdat we het continuum kunnendenken.

Maar reeds de volgende beleggingsverzamelingder reeks:

F:MCkunnen we niet meer denken, dus de stelling dat F

158

(dus b.v. de verzameling van alle functies van eenenkele reéele veranderlijke) > C is, heeft geen anderewiskundige beteekenis meer, dan de volgende uit­spraak:

,,Met elk verschillend element van C is eenduidigeen verschillende beleggingsgroep in correspondentiete brengen; — terwijl het niet waar is, dat F denk­baar en afbeeldbaar op C zou zijn."

Wat We natuurlijk 001-:zonder het bewijs voorde stelling a1 wisten, omdat we wisten, dat F nietdenkbaar is.

Ad. 3°.

De klassieke theoretische logica was ontoereikend,om van de wiskunde rekenschap te geven. Haar zoo­danig uit te breiden, dat ze dat wel zou kunnen was hetdoel van de logistici. Nu hebben we gezien, datde klassieke logica bestudeert de taalbegeleiding 1)der logische redeneeringen, d.W.z. der redeneerin­gen in relaties van geheel en deel voor wil1ekeu—rige wiskundig opgebouwde systemen; en Wewetenuit het feit, dat we die wiskundige systemen zien,dat daar de volgens de klassieke logica elkaar

’) Zoo goed als alle wiskundige taal is ook deze taal zondermoeite te condenseeren tot symbolen. Men vergelijke voor zulkeen symbolische taal (,,Algebra der Logica” genoemd) b. v. A. N.WHITEHEAD, ,,A Treatise on Universal Algebra”, CambridgeUniversity Press 1898, pag. 35 sqq.

I59

Propositio­neele functies

en klassen.

opvolgende volzinnen, die immers wiskundige bouvwhandelingen begeleiden, nooit contradicties zullen ver­toonen. Zoo voeren we daar veilig in de iagz'.s'ci:c‘som,het logisciz /woduct, en de ccimz/vlenmztazrzverzanzelhzgd.w.z. de verzameling die als praedicaat heeft de ont­kenning van het praedicaat der gegeven verzameling;en passen er veilig toe de ;‘>rz'ncz'pasvan icicntz‘!eit, .9yll0­gisme, dz'strz'butz'c '), c0;zlradz'ct2'e, en .*¢’r!z'zm2mm datur.

De logistici gaan omgekeerd van deze principesuit, en leggen als operatiegebied, waarbinnen (it:met de woorden of symbolen bedoelde relatiesmoeten bestaan, ten grondslag niet een of anderwiskundig systeem, maar het hersenschimmige ,,a1les"— dat, zooals we boven (pag. I38 sqq, noot) zagen,ook DEDEKINDten onrechte als uitgangspunt wildenemen — waaruit ze verschillende lalassendefinieerendoor wat ze noemen propositioneele fznzcties.

Onder een propositioneele functie verstaan ze ecnbewering omtrent x, of omtrent x en 3', in ’t alge­meen omtrent een zeker aantal variabelen, waarinmen voor die variabelen alle substituties moet den­ken; zij rekenen dan, dat door die bewering eenlzlasse bepaald is, bestaande uit ails. dingen (of voormeer veranderlijken: groepen van dingen), die, ge­substitueerd, de bewering waar maken.

Ze schrijven x 3 45.r voor alle dirzgm, waarvoor dc

1) d. w. z. (a -4-b) c=ac + be. waarin dc lngische sommen enproducten bedoeld zijn.

I60

bewering CDat waar is; het reciproke teeken 5 wordtingevoerd zo’c’>,dat ke(x 34>x) E¢ la, m.a.W. voorhet geval, dat de propositioneele functie een klassea bepaalt, beduidt k 2 at khoorttot de lelassea.

PEANO had het het teeken s primair genoemd;RUSSELL gaat liever uit van 2, omdat hij het nietzeker vindt, dat iedere propositioneele functie eenklasse bepaalt.

Daar heeft hij gelijk aan; hij werkt echter metzijn propositioneele functies als met de praedicatender gewone logica, doet dus toch alsof de functiewél altijd een klasse bepaalt.

Maar nooit kan men een woordsysteem van bewe­ringen en propositioneele functies een prioriteit inhet intellect geven ten opzichte der wiskunde; wantgeen beweringen omtrent de buitenwereld Wordenmet vol verstand gezegd, dan die een op de buiten­wereld geprojecteerd wiskundig systeem vooronder­stellen. Hoe men zich draait of wendt, de grondvan de wiskunde blijft de wiskunde en die groeitover haar geheele gebied vrij en intuitief.

Terwijl de logistici, als vrijen oorsprong vanlogica en wiskunde de propositioneele functies be­schouwend, als zoodanig allerlei door (foutieve)analogie met wiskundige eigenschappen gevormdevolzinnen uitspreken en daarvoor postuleeren dat zeklassen bepalen, en dat over die klassen volgens dewetten der klassieke logica kan worden geredeneerd.

Dat zij dus, evenals de Cnantorianen, op contradicties

161II

De contradictic

stooten ‘), behoeft niet te verwonderen, en hun eigenverwondering kan alleen zijn te wijten aan begrips­verwarring.

RUSSELL(.,The Principles of Mathematics”, Part I,Chap. X) bespreekt het uitvoerigst de volgendecontradictie :

,,Er zijn klassen, die zelf als eenheid beschouwdtot hun elementen behooren, b.v. de klasse derklassen, de klasse van alle dingen, die niet leven,en meer. Ik beschouw nu de klasse van alle klas­sen, die de zooeven genoernde eigenschap, tothun elementen te behooren, niet bezitten; bezitdie klasse dan de genoemde eigenschap? Zoo ja,dan hoort ze tot haar elementen, is dus één vande klassen, die de eigenschap niet bezitten, bezitdus de eigenschap niet. En vice versa: zoo neen,dan staat ze daarin met haar elementen gelijk, be­hoort dus tot haar elementen, bezit dus de eigen­schap wel.”

RUSSELL suggereert eenige middelen om aan decontradictie te ontkomen maar verwerpt ze dantoch weer en gelooft dat een diepgaande hervormingder logica tot de oplossing noodig zal zijn. Hetmeest geneigd voelt hij zich tot de opvatting, dat

‘) In zulk een contradictoor systeem zijn natuurlijk bijna geenredeneeringen meet gerechtvaardigd, daar het voornaamste rede­necrmiddel, het principe van contradictie, niet mag worden toe­gepast.

I62

een theorie moet worden gezocht, die niet veroor­looft, alle klassen, zelf als eenheid beschouwd, totlogische subjecten te maken. ,,Misschien ook”, zegthij, ,,moet de notie alle dingen Worden verworpen,maar elk wills/eeurig ding moet in elk geval behou­den blijven; immers er zijn waarheden, n.1, delogische principes, die voor elk willekeurig dinggelden.”

Dat is intusschen juist niet waar: logische prin­cipes gelden alleen voor woorden met wiskundigebeteekenis. En juist omdat RUSSELL’slogica nietsis dan een Woordsysteem, zonder een vooronder­steld wiskundig systeem, waarop het betrekkingheeft, is er geen reden, dat er geen contradictieszouden komen.

Overigens ziet ook het gezond verstand direct,waar de redeneering in kwestie haar leven verliest,dus niet meer betrouwbaar is, en dat zelfs zonder datde illusie van het hersenschirnmige ,,a11es" behoeft teWorden weggenomen. Immers gesteld, il-2kende een,,a11es” met een ,,geheel” van tusschen de dingenbestaande relaties en een stelsel van voor de dingenmogelijke proposities. Dan kan ik voor een propo­sitioneele functie voor elk wille/eeurig ding op grondvan zijn gegeven relaties uitmaken, of het wel ofniet de functie waar maakt, dus in welke van debeide door de functie bepaalae klassen het dient teWorden geplaatst.

Maar wil ik voor het ding, dat de kwestieuze klasse

I63

is, onderzoeken, of het de gestelde propositioneelefunctie waar maakt, dan merk ik, dat de uitvoeringvan het onderzoek het reeds afgeloopen zijn er vanvereischt. Het onderzoek kan dus niet wardenuitgevoerd, en zoo is de contradictie opgelost. Wehebben hier een propositioneele functie, die tweecomplementaire klassen bepaalt, die niet aan hetprincipe van tertium non datur voldoen; wat nietbehoeft te verwonderen, want de logische principesbestaan slechts voor de taal der wiskunde; voorandere taalsystemen, hoe zeer ook aan de wiskun­dige verwant, behoeven ze dus niet te gelden.

In anderen vorm geeft RUSSELLde contradictiepag. 80 en pag. I02. Daar zegt hij:

,,Er zijn praedicaten, die van hun eigen uitdruk­king door woorden gelden; en die dat niet doen.Het eenvoudigste voorbeeld van de eerste soort iswe]: eenpraedicaat zijn. Maar geldt nu de eigenschapvoor: niet gelden voor zijn eigen ujtdrukking doorwoorden? Zoo ja, dan neen; zoo neen, dan ja.”

Hij wil dit oplossen door te zeggen, dat nietgelden voor zzjn eigen uitdrukking door woorden geenpraedicaat is, wat natuurlijk niemandhem zaltoegeven.

En evenmin wat hij pag. 88 voorstelt, om teontkomen aan de contradictie in een derden vorm,die voortvloeit uit de verdeeling van propositioneelefuncties in zulke als wel en als niet voor zich zelfgelden, dat n.l. een propositioneele functie niet opzich zelf zou kunnen Worden gedacht.

I64

Voor de beide laatste contradicties geldt overigensdezelfde oplossing als voor de eerste.

Tot zoover de rol van de klassieke logica; delogistiek vult haar dan verder aan met de zoo-­genaamde relatielogica, en de conclusie luidt tenslotte, dat zuivere wiskunde niets mag zijn dan eensysteem, opgebouwd uit eenige logische gro1zdbe­grippen, volgens eenige logische grondprincipes (RUS­SELL telt er van de eerste 9 en van de laatste 20);dat zij alleen op deze Wijze een vasten grond eneen zekeren voortgang behoudt; dat er misschiennog wel cen intuitieve wiskunde ook kan zijn, maardat die dan uitsluitend bestaat in de toepassing dergenoemde zuivere wiskunde op materieele dingen.(vgl. b.v. COUTURAT,,,Les Principes des Mathéma­tiques", Introduction, pag. 4.)

Maar zuivere wiskunde is, zooals we weten, nc‘>chhet één néch het ander.

De relatielogica dan, aanvangende bij het woordvolgen op, dat afbeeldt de meest elementaire daad vanwiskundig bouwen, zooals ze direct uit de oer-intu'1‘tievoortkomt, bestudeert de taal der wiskunde in hetalgemeen, zooals de klassieke logica die van despeciale wiskunde van geheel en deel.

Dat in de taal, die de wiskunde begeleidt, de opvol­ging der woorden aan wetten gehoorzaamt, spreektvan zelf; maar dié wetten als het leidende bij denopbouw der wiskunde te Vbeschouwen, daarin ligtde fout.

165

De relatle­logica.

Rekenkundevan PEANO.

Rekenkundevan RUSSELL.

Gaan we ter toelichting in op de theorie dergeheele positieve getallen m.a.w. de gewone reken­lezmde,zooals ze door de logistici gegeven wordt.

PEANO (,,Sul concetto di numero”, Rivista diMatematica, t.I; vgl. COUTURAT,,,Les Principesdes Mathématiques”, pag. 54) voert hier na deklassieke logica in drie nieuwe grondbegrippen:0, N (eindig ordinaalgetal) en seq (opvolger), en mjfdaarvoor geldende grondprincipes:

1°. 0 is een N.2°. er is geen N, waarvcm. 0 de seq. is.3°. de seq. van elite N is een N. ‘)4°. twee N ’s zzjn gelzjk, als him seq.’s gelijk zijn.5°. een /elasse, die 0 bevat, en die van elleeN, die

ze bevat, oola de seq bevat, bevat alle N ’s.Maar leidt PEANO hieruit de rekenkunde af, dan

bouwt hij weer op een logisch systeem, dat nochdoor een bestaansbewijs, noch door een bewijs vanniet-strijdigheid wordt gesteund.

Het is dus te veroordeelen op dezelfde gronden alshet systeem van DEDEKIND.(vgl. pag. I38 sqq, noot.)

RUSSELL(,,The Principles of Mathematics” p. I27)verbetert de methode van PEANOaanmerkelijk, doorte beginnen, cardinaalgetallen te definieeren alsklassenvan aequivalente klassen, en vervolgens te zeggen:

1) Waaraan dient te worden toegevoegd (POINCARE,Revue dcMétaphysique et de Morale 1905 p. 833): elk getal heeft een op­volger, elke N Izeeft can 3:9.

166

1°. 0 is de klasse van klassen, die als eeniglid heeft de nulklasse — de nulklasse zelf gedefinieerd(1.c. pag. 75) als klasse van alle klasse-concepten,die geen leden voor hun klasse geven; en daaromgecenseerd (of als een principe gepostuleerd P) tebestaan --; de klasse 0 bestaat dus.

2°. 1 is de klasse van lalassen met laden, zéé, datals x tot de klasse behoort, de klasse verminderdmet x, geen leden heeft.

De klasse 1 bestaat, Want heeft reeds een lid dat ertoe behoort, n.l. de zooeven gedefinieerde klasse 0.

3°. 11+ 1 is de klasse van klassen, aequivalentmet de klasse, verkregen door bij een klasse, hoorendtot de klasse n, een element te voegen. De klassen + 1 bestaat dus, als n bestaat.

4°. Eindige getallen zijn die cardinaalgetallen,welke behooren tot elke klasse s, waartoe 0 behoort,en verder n+ 1, als :1 er toe behoort.

De zoo gedefinieerde eindige getallen voldoen aanalle postulaten van PEANO, zonder nieuwe grond­begrippen en grondprincipes in te voeren, en kunnendus volgens RUSSELL als bestaénsbewijs dienen(als we 11+1 als de seq. van n beschouwen) enCOUTURAT (antwoord aan POINCARE, Revue deMétaphysique et de Morale 1906, n° 2) legt sterk dennadruk op dit bestaansbewijs, dat de intuitie vanto of van de volledige inductie niet noodig zouhebben, zoodat het logische systeem hier vrij vandie intu'1'tiezou zijn opgebouwd, en zonder behulp

I67

Oneindige ge­tallen.

van volledige inductie niet-contradictoor zou zijngebleken. '

Maar we hebben boven gernerkt, dat het k1asse­concept door definitie wél contradictoor is, dat dusnooit de niet-strijdigheid van een logisch systeemmag Worden gebaseerd op haar parallel loopen metpseudo-wiskundige operaties in klassen, die alleendoor definitie bestaan.

RUSSELL schroomt intusschen niet, de volledigeinductie, die hij niet als axioma wil uitspreken,toch met de daad toe te passen. Hij bewijst n. 1.dat n+1 het cardinaalgetal van de klasse der ge­tallen o,1,2.... n is en dat als volgtz 1 is hetcardinaalgetal van de klasse o; 2 (gedefinieerd als1 + 1) dat van de klasse 0, 1; 3 (gedefinieerd als2+ 1) dat van de klasse o, 1, 2; enzoovoort.

Evenzoo past hij de volledige inductie toe omte bewijzen, dat een eindig getal niet met een vanzijn deelen aequivalent kan zijn (1.c. pag. I21, 123).

De gedefinieerde eindige getallen geven meteende definitie van het cardinaalgetal A der klasse, dieze alle bevat (de eerste transfinite machtigheid), vanwelk cardinaalgetal RUSSELLzonder moeite bewijst,dat het zelf geen eindig getal is, omdat het n.1.wél met het geheel aequivalente deelen bezit; ver­volgens toont hij aan, dat elke oneindige klasse deelenbezit met cardinaalgetal A. (l.c. pag. I22, 123).

Mar de wijze waarop delogistici de verdere wis­kunde ontwikkelen heeft, behalve dat de taal zoo­

I68

veel mogelijk in symbolische teeleenswordtgecondenseerd,geen bijzonder karakter meer. Ze smelt samen metde methoden der Cantorianen en die der axiomatici.

De conclusies omtrent de logistiek moetenIuiden: dat ze niets kan leeren omtrent de grond­slagen der wiskunde, omdat ze onherroepelijk van dewiskunde gescheiden blijft; dat ze integendeel, omeen bestaan in zichzelf te handhaven, d.w.z. zichvoor contradicties te bewaren, al haar eigen specialeprincipes heeft te verwerpen en zich heeft te beper­ken, een getrouwe, rnachinale, stenographischecopie te zijn van de taal der wiskunde, die zel/‘geenwiskunde is, maar alleen een gebrekkig hulpmiddelvoor de menschen, om wiskunde aan elkaar meete deelen, en h.ungeheugen voor wiskunde te onder­steunen.

Ad 4°.

De zuiverste consequentie van de hier bestredenmethoden, waaraan tegelijk het eenvoudigst en hel­derst de ontoereikendheid er van blijkt, is getrokkendoor HILBERT (Verhandlungen des internationalenMathematiker-Congresses in Heidelberg I904, pag.I74). In ,,Ueber den Zahlbegriff” (jahresber. derDeutschen Math. Ver. VIII) had hij de axioma’s vande hoofdbewerkingen op het meetbaar continuumgeformuleerd en het probleem gesteld, onafhankelijkvan eenige wiskundige intu'1't_:ie,de niet-strijdigheid vandie axiorna's te bewijzen (vgl. ook ,,Mathernatische

I69

Conclusie:omtrent de

logistiek.

Niet-striidig­heidsbewijzen

van teekensys­temen,onafhan­kelijk van hun

beteekenis.

Probleme”, Problem n° 2, Gott. Nachr. I900,pag. 264.)

Het spreekt van zelf, dat dit alleen te bereiken isdoor de teekens, die de axioma’s uitdrukken, zelfals een wiskundig systeem te beschouwen, de prin­cipes van de logica volgens de algebra der logicate formuleeren als regels om dat systeem verder uitte bouwen, en dan wiskundig te bewijzen, dat dieuit de algebra der logica afgelezen bouwregelsnooit tegelijk een vergelijking en haar ontken­ning zullen kunnen afleiden. Het geheel der uitde axiomatische grondvergelijkingen af te leidenvergelijkingen vormt natuurlijk een aftelbaar oneindigsysteem. 1)

HILBERT schetst 1.c. de wijze van uitvoering’)dezer niet-strijdigheidsbewijzen in groote trekken,niet alleen voor het zooeven genoemde stel axiorna’sder hoofdbewerkingen, maar ook voor dat vanverschillende andere deelen der wiskunde. Zoovoert hij b.v. om de grondslagen der Mengenlehrete leggen pag. 182-184 het klassesymbool in,

‘) lrnmers het geheel van alle combinaties van een eindig aantalder ingevoerde teekens (waartoe ook het teeken = behoort, endie eindig in aantal zijn voor elke wiskundige theorie) blijft aftel­baar, a fortiori dus het geheel van die bijzondere der teeken­combinaties, dje als ware vergelijkingen zijn te lezen.

’) Een enkele maal vergist hij zich, waar hij n.I. pag. I81 eenniet-strijdigheid door een zzoorbéela’bewijst, wat van het doorhem ingenomen standpunt natuurlijk ongeoorloofd is.

170

maar alleen in relatie tot reeds ingevoerde sym­bolen, waardoor hij beveiligd is voor de contradictiesvan RUSSELL, die klassen invoerde, als door eendefinitie omgrepen deelen van het al.

Nu heeit HILBERT evenwel, zooals hij in zijninleiding uitdrukkelijk zegt, de adspiratie, om vanniets af te beginnen en de wiskunde en de logica.zich gezamenlijk te laten ontwikkelen. Maar bij dezooeven genoemde redeneeringen over niet-strijdig­heid van axioma’s, gebruikt hij steeds intuitief termenals een, twee, drie, eenige (daarbij een ze/eer eindiggetal bedoelend) en past verder intu'1’tiefalle wettender logica en ook de volledige inductie toe.

Om zich van deze belasting met intuitieve elemen­ten te ontdoen, gaat hij ten s1otte(1.c. pag. 184, V)in eens zijn eigen te voren geschreven woordenbekijken, ziet die complex van woorden en rede­neeringen als een wiskundig gebouw aan, dat ookweer volgens regels zich van het begin naar heteinde ontwikkelt, en zegt:

,,De wetten volgens welke ik dat taalgebouw zichzie ontwikkelen, heb ik zooeven bewezen, dat niet­strijdig, dus juist zijn. M.a.w. de daar in die taalvan mij gehouden redeneeringen bewijzen meteenhet intuitieve in hun eigen daad als gerechtvaardigd.”

Dat is fout en om de volgende reden:Vooreerst de grond, waarop hij steunt, blzjft dc

intuitie van zooeven; immers hij weet alleenz als deintuitie van zooeven juist is, dan volgt daaruit, dat

171

De poging totbevrijding dierbewiizen van deintuitie.

de woorden, die die intuitie begeleiden, zich ont­wikkelen volgens een niet-strijdig logisch systeem,wat geen nieuws is; wie zal een wiskundige stellingbewijzen, door op grond van die stelling zelf haarnog eens af te leiden, en dan te zeggen: ,,nu ismeteen het onderstelde gerechtvaardigd”?

Maar verder: De niet-strijdigheid van het taal­systeem, op grond der wiskundige intuitie afgeleid,bewijst niet omgekeerd de wiskundige intuitie, dieze begeleidt, zooals we boven bij de behandelingder axiomatische grondslagen hebben aangetoond.(vgl. ook POINCARE,Revue de Métaphysique et deMorale I905, pag. 834.)

De gewraakte methode overtreft die der logisticidoordat zij de ongeoorloofde sprong uit het oudewiskundige gebied door de taaldaad naar een nieuwmeermalen achtereen uitvoert en dan doordat zij niet,zooals de logistici, voor twee zulke wiskundige gebie­den, die alleen via de taalklanken verband houden,dat intuitieve verband handhaaft, dus ze als ongelijk­soortig blijft behandelen, tnaar ze gaat verwarren enop één lijn stellen. De logistici voeren den sprongéénmaal uit, en bewegen zich dan wisselend opbeide gebieden, ze beide in hun beteekenis hand­havend; HILBERT doet den sprong, waar hij hemdoet, gedecideerd en voor' goed, bljjft dus op hettweede gebied, gebruikt het eerste nog alleen, omhet beteekenis in het tweede te geven; doet hemvervolgens een tweede maal weer voor goed, blijft

I72

dus op het zoo geschapen derde gebied, en gebruiktdaar het eerste en het tweede nog alleen, om zebeteekenis in het derde te geven.

Ter toelichting sommen we in genetische volgordeop de hier te onderscheiden verschillende phasen:

I. Het zuivere bouwen van intuitieve wiskundigesystemen, die zoo ze worden toegepast, in hetleven worden veruiterlijkt, door de wereld wiskundigte men.

2. De taalparallel der wiskunde: het wiskundigspreken of schrijven.

3. I-Iet wiskundig zien van de taalz opgemerktworden logische taalgebouwen, opgetrokken volgensprincipes uit de gewone logica of uit de uitbreidingdaarvan met relatielogica, de logistiek, maar dcelementen dier taalgebouwen zijn taalbegeleidingenvan wiskundige gebouwen of relaties.

4. Het niet rneer denken aan een beteekenisvan de elementen der zooeven genoemde logischefiguren; en het nabouwen van die figuren door eennieuw wiskundig systeem der tweedeorde, voorloopigzonder taal, die het bouwen begeleidt; het is hetsysteem van de logistici, dat bij de minste vrijegeneralizeerende uitbreiding zeer goed vatbaar wordtvoor de figuur der contradictie, tenzij daartegen devoorzorgsmaatregelen van HILBERTworden genomen,en het zijn deze voorzorgsrnaatregelen, die den eigen1ij­ken inhoud der verhandeling van HILBERTuitmaken.

173

Opsommingder bij dc logi­sche behande­ling der WiIk\ll­

de verwardcphasen.

5. De taal der logistiek, d.w.z. de woorden,die het logistisch bouwen begeleiden en rnotiveeren;PEANO zorgt wel zooveel mogelijk om ook debegeleidende gedachten aan symbolische teekens tebinden; niettemin blijft dan het systeem te splitsenin het eigenlijke gebouw, en de principes volgenswelke het gebouw zich ontwikkelt; a1 worden dieprincipes eveneens symbolisch geformuleerd, zulkeformuleeringen rnoeten Worden beschouwd als hete­rogeen ten opzichte van de verdere formules,waarop die eerste Worden toegepast niet als formu­leeringen, maar als intuitieve daden, waarvan detoegevoegde formuleeringen slechts de taa1begelei­dingen zijn.

HILBERT heeft die intuitieve daden, dus ook debegeleidende taal meet noodig dan PEANO,omdathij de niet-strijdigheid van zijn logistisch systeemin zichzelf wil bewijzen, iets waarom PEANOzichniet bekommert.

Tot de vijfde phase behoort de woordinhoudder verhandeling van HILBERTtot aan pag. 184, V.

6. Het wiskundig zien van die taal; dezen stapuitdrukkelijk te doen, is iets essentieels bij HILBERTin onderscheid van PEANO en RUSSELL; hij merkt,op zijn eigen woorden terugziende, logische figurenop, die zich ontwikkelen volgens logische en arith­metische principes, ook o.a. het theorema der vol­ledige inductie; de elementen dezer logische figuren,zooals de woorden mehrere, zwei, F ortsetzung, an

174

Stelle van, beliebig, enz. zijn taalbegeleidingen vanbouwhandelingen in het zooeven genoemde wiskundigsysteem der tweede orde.

7. Het niet rneer denken aan een beteekenisvan de elementen der zooeven genoemde logischefiguren, en het nabouwen er van door een nieuwwiskundig systeem der derde orde, voorloopig zonderbegeleidende taal.

Den overgang van 6 naar 7 volvoert HILBERTi7zz§']'1zgedachten 1.c. pag. I84 en 185 onder V, eerste alinea.

8. De taalbegeleiding van het wiskundig systeemder derde orde, die den opbouw van dat systeemmotiveert, en de niet-strijdigheid er van aantoont.

Deze phase‘ is, in de woorden der zooeven ge­noemde a1inea.l.c. pag. I84, I85, de laatste die bijHILBERTwordt aangetroffen.

Men zou nog verder door kunnen gaan, maar dewiskundige systemen van nog hooger orde zoudenalle ongeveer elkaars copieén zijn; het heeft dusgeen zin den gang verder voort te zetten.

Intusschen de vorige phasen, vanaf de derde zijnevenmin van wiskundig belang. Wiskunde behoortslechts in de eerste thuis; van de tweede kan zijzich in het practische leven niet vrijhouden, maardie phase blijft een niet-wiskundige onbewuste daad,al of niet vervolgens door toegepastewiskmzdegeleiden gesteund, maar nooit een prioriteit ten opzichteder intuitieve Wiskunde verkrijgend.

175

Dekrltlek vanPomcmé.

De logistiek en het cantorisme zijn reeds scherpgekritizeerd door POINCARE(Revue de Métaphysi­que et de Morale I905, n° 6; I906, n° 1, 3);hij laakt voornamelijk in de logistiek de petitioprincipii en in het cantorisme de aanname vanhet actueel oneindige. Zoo raakt hij intusschenniet het hart van de kwestie, dat dieper zit, n.l. inde verwarring van de daad van het bouwen derwiskunde en de taal der wiskunde.

De petitio principii is in zekeren zin geoorloofd,want Waar die in de daad van den opbouw vanhet taalsysteem wordt uitgevoerd, raakt zij aan devolkomenheid van dat taalgebouw als zoodanig niet;een ongeoorloofde petitio principii in de wiskundezouden we alleen hebben, als op grond van eenprirnaire wiskundige intuitie later in verdere phasenvan het wiskundig bouwen diezelfde intuitie weervoor den dag zou komen, en dan zou Wordengesignaleerd als niet primair.

Maar de fout der logistiek bestaat hierin, dat zijniets schept dan een taalgebouw, dat nooit in deeigenlijke wiskunde kan worden overgevoerd. ‘)

En het actueel oneindige der Cantorianen, ditbestaat wel degelijk, als we het maar beperken tothet intuitief opbouwbare, en dat niet door niet teverwezenlijken logische combinaties willenuitbreiden.

‘) Wél wordt dc petitio principii natuurlijk ongeoorloofd,zoodramen, zooals HILBERT, uit het taalsysteem omgekeerd op de pri­maire intuitic, die het begeleidt, wil concludeeren.

176

Hoe weinig PoINCAR1':er aan denkt, den intui­tieven bouw der wiskunde als eenigen grondslagvoor zijn kritiek te nemen, blijkt uit zijn woorden(1.c. pag. 819):

,,Les mathématiques sont indépendantes de 1’exis­tence des objets matériels; en mathématiques lemot exister ne peut avoir qu’un sens, il signifieexempt de contradiction.”

Het doet haast aan zijn tegenstander RUSSELLdenken. De wiskunde is zeker geheel onafhankelijkvan de materieele wereld, maar bestacmin wiskundebeteekent: intuitief zfjn opgebouwd; en of een bege­leidende taal vrij van contradictie his, is niet alleenop zichzelf zonder belang, maar ook geen criteriumvoor het wiskundig bestazin.

Het wiskundig bekijken van taalteekens, ’t zijWoorden of Peanistische teekens, kan omtrent dewiskunde niets leeren; men beschouwe wiskundigeformules niet als een onafhankelijk bestaan voerende,,waarheden”, maar alleen als hulpmiddel door tee­kens, om zich zoo ekonomisch mogelijk te herinneren,hoe in een zeker gebouw een ander gebouw isingepast. Zoo leze men in de formule

13 = 7 + 6

de herinnering aan het inpassen in een groep waar­langs men tot 13 kan tellen van een groep bestaandeuit de iuxtapositie van een groep waarlangs mentot 6, en een waarlangs men tot 7 kan tellen.

I2 I77

Samenvattende :De wiskunde is een vrije schepping, onafhankelijk

van de ervaring; zij ontwikkelt zich uit een enkeleaprioristische oér-intuitie, die men zoowel kannoemenconstantheid in wisseling als eenheid in veelheid 1).

Vervolgens het projecteeren van wiskundigesystemen op de ervaring is eveneens een vrijedaad, die in den strijd om het bestaan doeltreffend

') De eerste bouwdaad heeft twee samengedachte discretedingen (zoo ook CANTOR,Vortrag auf der Naturforscherversamm—lung in Kassel 1903); F. MEYER (Verhandl. des HeidelbergerKongresses p. 678) zegt dat e’e’nding genoeg is, want dat deomstandigheid dat ik dat ding denk er als tweede ding bij kanworden genomen; wat onjuist is, want juist dat er bfinemen (d.w.z.stellcn onder vasthouding van het vroegcr gedachte) vooronderstelt de z'ntu'z'tz'evan twee; welk wiskundig systeem dan eerstdaarna op het oorspronkelijk gedachte ding en het 216,dat lzetding denkt, wordt toegepast. '

I79

blijkt; het eene wiskundige systeem kan daarbijpraktischer, ekonomischer blijken, dan het andere,althans voorzoover betreft een bepaalde kategorievan doeleinden, die men door middel van die systementracht te berciken: absoluut doeltreffend zijn zegeen van alle, de Euclidische meetkunde evenweinig als de logische redeneeringen of de elec­tronentheorie.

In de wiskunde behooren wiskundige definities eneigenschappen niet zelf weer wiskundig te Worden be­keken, rnaar alleen een middel te zijn, om eigen herin­nering of mededeeling aan anderen van een wiskundiggebouw zoo ekonomisch mogelijk te leiden. Er zijn ele­menten van Wiskundige bouwing, die in het systeem derdefinities onherleidbaar moeten blijven, dus bij mede—deeling door een enkel woord, klank of teeken,weerklank moeten vinden; het zijn de uit de oer­intuitie of continuumintuitie afgelezen bouwe1emen­ten; begrippen als continu, een/zeid,nag eens, enzoo­voort zijn onherleidbaar.

Een logische opbouw der wiskunde, onafhankelijkvan de wiskundige intu'1'tie, is onrnogelijk — daarop die manier slechts een taalgebouw wordt ver­kregen, dat van de eigenlijke wiskunde onher­roepelijk gescheiden blijft —- en bovendien een con­tradictio in terminis — daar een logisch systeem, zoogoed als de wiskunde zelf, de wiskundige oer-intuitienoodig heeft.

I80

NAMENREGISTER.:_AMPERE (II) 92.APOLLONIUS(III) 126.ARISTOTELES(III) 135.BERNSTEIN(I) 64; (III) I53, I56, I57.BOLYAI(III) 136.BOREL(III) I52.BURALI-FORTI(III) I5I.CANTOR(I) 7, I0, 67; (III) 133, 142-147, 15:,

152; 179.COPERNICUS(II) 104.COUTURAT(II) 94, 99, I09, I10; (III) I65-I67.DEDEKIND(I) 72; (III) I38-I40, 160, I66.DESARGUES (I) 73.DIRICHLET(II) 88.EUCLIDES(I) 55; (II) IIO, I2I; (III) I33—I37.HAMEL (I) 57, 59, 60; (I1) I03.HELMHOLTZ(I) 48-50, 76; (II) 94. 99, II2, 113.HILBERT (I) 35, 51, 52, 60, 61, 67, 74-76; (11333;

I81

(III) 126, 133, 134, 136-138, 140, 142, 146,169-176.

KANT(II) 94, 113-115, 118, 121; (III) 135.KLEIN (I) 42, 51, 54, 55; (II) 110.LAGBANGE(II) 89, 91.LECHALAS(II) 94.LEIBNITZ(III) 129.LIE (I) 25, 35, 41, 42, 47, 49-51; (II) 112,113;

(III) 126, 140.LOBATCHEFFSKY(I) 56; (III) 133, 134, 136.LiiROTH (I) 54.MANNOURY(III) 140.MEYER 179.MINKOWSKI(I) 59, 61.PAPPUS (I) 74.PASCAL(I) 74-76.PASCH (III) 133, 136.PEANO (III) 133, 161, 166, 167, 174.PIERI (III) 133.POINCARE(II) 88, 89, 94, 104, 106, 107; (III) 167,

172,176,177.PRINGSHEIM (II) 88.RIEMANN(I) 47; (II) 94. 99; (III) 136.RUSSELL(II) 94, 99, 106, 108-111, 116, 121; (III)

133, 161-168,171, 174, 177.SCHOENELIES(I) 10; (III) 158.SCHRCSDER(III) 153.

SCHUR(I) 35, 55, 74; (III) 133.SPINOZA(III) 135.

182

THOMSON(II) 90.VAHLEN(I) 75; (III) 140.WHITEHEAD(III) 159.ZERMELO(III) 152.

ZEUTHEN (I) 54%‘

I83

STELLINGEN.

I.

Ten onrechte zegt SCHUBERT(Enz. der Math.Wiss. I A. I.§I):

,,Dinge zéihlen heisst: sie als gleichartig ansehen,zusammen auffassen, und ihnen einzeln andereDinge zuordnen, die man auch als gleichartigansieht.”.... ,,Wegen der Gleichartigkeit der Ein­heiten unter einander ist die Zahl unabhéingig vonder Reihenfolge, in welcher den Einheiten die Einerzugeordnet werden.”

II.

De geoorloofdheid der volledige inductie kanniet alleen niet Worden bewezen, maar behoort ookgeen plaats als afzonderlijk axioma of afzonderlijkingeziene intu'1’tievewaarheid in te nemen. Volledigeinductie is een daad van wiskundig bouwen, diein de oer-intuitie der wiskunde reeds haar recht­vaardiging heeft.

III.

De taal van de Euclidische meetkunde, en even­eens van de daarin door PASCH en HILBERT ge­brachte verbeteringen ontleent haar betrouwbaarheidslechts hieraan, dat tevoren onafhankelijk van dietaal de wiskundige systemen en relaties zijn opge­bouwd, die door de woorden als afgesproken teekenssymbolisch voorgesteld worden.

De meetkunde van EUCLIDES en evenzoo de ver­

schillende pathologische geometrieén van HILBERTverschijnen, op deze wijze bezien, als bestudeeringvan in gegeven. systemen in te passen, zekere eigen­schappen bezittende transformatiegroepen.

IV.

De verdediging door KLEIN(, ,Zur ersten Verteilungdes Lobatclzeffs/ey-Praises”, Mathem. Ann. 50) van debeperking tot analytische transformaties bij de on­derzoekingen van LIE over de grondslagen der meet­kunde, is ongegrond.

V.

De hoofdbewerkingen op het meetbaar continuumbehooren door groepentheorie te Worden gedefinieerd.

2

VI.

In de natuurkunde is een onderscheiding tusschenphenomenologische en theoretische beschouwingenniet vol te houden. In het bijzonder bestaat tus­schen het karakter der verklaring van de eigen­schappen van gassen en vloeistofi"endoor moleculenen van die van het licht door electrische trillingengeen principieel onderscheid.

VII‘.

Het toekennen van ,,objectiviteit" aan physischegrootheden als massa en aantal berust op de inva­riabiliteit daarvan bij een belangrijke groep vanverschijnselen in het wiskundig natuurbeeld.

VIII.

De verstandhouding der menschen berust op hetbouwen van gemeenschappelijke wiskundige syste­men, en het verbinden aan eenzelfde e1ement vanzulk een systeem van een levenselernent voor elkder individuen.

IX.

Wiskunde is onafhankelijk van logica; practischelogica en theoretische logica zijn toepassingen vanverschillende gedeelten der wiskunde.

3

X.

Logische redeneeringen over de wereld kunnenalleen zeker gaan, als begeleiding van vooraf opge­bouwde op de wereld geprojecteerde wiskundigesystemen; de contradicties van de logistiek behoorente worden verklaard uit het ontbreken van zulkesystemen, de antinomieén van KANT uit het nietvasthouden aan eenzelfde wiskundig systeem overhet geheele verloop van eenzelfde redeneering.

XI.

Ten onrechte zegt HOUEL (Cows de Calcul Infi­m'te’sz'maltome I, pag. 3):

,,Une Science fondée sur des hypotheses quisont compatibles entre elles, et qui ne sont pas réduc­tibles £1un moindre nombre, est absolument vraieau point de vue rationnel et abstrait, quand rnémeelle ne se trouverait pas conforme aux faits réelsqu'e11e était destinée é représenter.”

XII.

Behalve de eindige, bestaan geen andere mach­tigheden dan

aftelbaar oneindigaftelbaar oneindig onaf.confinu.

XIII.

De tweede getalklasse van CANTORbestaat niet.

XIV.

CLAUSIUS (Die Potentialfun/etion zmd das Potential,4° Aufl., Leipzig 1885, pag. I27) legt aan een

9

scalarfunctie U, om gelijk aan Z1;f -V-—r—gte zijn,de volgende 4 voorwaarden op:

1°. lim U:o.

2°. R o.3°. U en haar eerste en tweede afgeleiden rnogen

nergens oneindig Worden.4°. v’U kan binnen een zekere in ’t eindige

gelegen ruimte willekeurige eindige waardenhebben, maar is daarbuiten tot in ’t oneindigeoveral 0.

Van deze vier voorwaarden zijn de laatste drie over­bodig. Wel moet men eventueele V” in ’t oneindigein rekening brengen, maar voor beschouwing vande gradient kan dit weer buiten rekening Wordengelaten.

XV.

CLAUSIUS (1. c. pag. I25) leidt uit de 1. c. pag.II8 gestelde voorwaarden, dat in ’toneindige1imR

5

en lirn R’;-3131niet oneindig groot mogen worden,de eenduidigheid der GREEN’sche functie u af.

Voldoende is hier echter de voorwaarde, dat uin ’t oneindige o wordt.

XVI.

BLUMENTALbewijst Math. Ann. 61 pag. 235 sqq.voor vectordistributies, die in het oneindige 0 Wor­den, met behulp van de eindigheid en difTerentieer­baarheid:

v=={<=7-—‘:7..§/\7 V+{"\'7—\"/‘o}f§}1-+V°1'

Deze stelling is echter juist, onafhankelijk vande eindigheid en differentieerbaarheid.

XVII.

Bij het verifieeren, of een uit een differentiaalverge­lijking afgeleide singuliere oplossing werkelijk voldoet,is het niet noodig, om haar, zooals algemeen wordtaangegeven, in de differentiaalvergelijking te substi­tueeren.

CAYl.E\", .-‘llemenger Q/' J/at/(emu/z}.'.v II pug. 6--12. VIpag. 23-27.

FORSVTI-I. A Treatise on Dzfl2're1ztz'a/ Equatz'o7z.s‘,pag. 30-—36.HOUEL, Cour: de Calcul l7z_/i7zz't¢"sz'ma/,tome II, S 85 5.

XVIII.

LAURENT (Sur Zes principes fondamentaux de laThéorie des nombres et de la Ge'0me'trz'epag. 9) verzuimteen bewijs te geven, dat in een systeem vanhomogenequantiteiten een quantiteit, die van can effect mt! isten opzichte van één andere quantiteit, dat 001;is tenopzichte van alle quantiteiten.

Verder ontbreekt (1. c. pag. 20 en 23) een bewijsvoor het Archimedische axioma.

XIX.

In de logistiek behoort streng te worden onder­scheiden tusschen het teekensysteexn, dat wordt Op­gebouwd, en de principes volgens welke het wordtopgebouwd.

XX.

Het kan niet gelukken, de betrouwbaarheid derwiskundige redeneeringen te verzekeren, enkel dooruit te gaan van eenige scherp gestelde axioma’s enverder streng vast te houden aan de wetten der theo­retische logica.

XXI.

Ongegrond is de overtuiging van HILBERT(Gétt.Nachr. I900, pag. 261):

,,dass ein jedes bestimmte mathernahsche Problem

I

einer strengen Erledigung notwendig féihig seinmiisse, sei es, dass es gelingt, die Beantwortung dergestellten Frage zu geben, sei es dass die Unm<'5g­lichkeit der Léisung und damit die Notwendigkeit desMisslingens aller Versuche dargetan wird."

ADDENDA EN U()RR[GE.\’DA 0VEl{'DE (}l{U.\’Db'LAGEN DER

WISKUNDE '),

DOOR

L. E. J. BROUWER

(Amsterdam).

.._._.._:_...

In aansluiting aan mijn voor tien jaren verschenen werk:,,Over (le Grondslagen der W2'slcunde” (Amsterdam, MAAS enVAN SUCHTELEN,1907) 9) vallen thans de volgende opmerkingente maken:

1. De groepentheoretische karakteriseering der hoofdbeWer­kingen op het meetbaar continuum (p. 12-35) is gedetailleerduitgewerkt in Mathem. Ann. 67, p. 246-267. In het bgjzondervindt men aldaar p. 258 het bewfis zoowel van de p. 20 onderaanals van de p. 22 onderaan uitgesproken eigenschap betreffendede dubbelpunten der componeerende eenledige groepen 3);p. 260-262 de rechtvaardiging van den p. 25 bovenaan uit­gevoerden overgang van de differentieerbaarheid zonder meerder toenamefuncties tot de toepasbaarheid der grondformule vanLIE; p. 264-265 de oplossing van het p. 35 gestelde probleembetreffende de projectieve groep.

2. De afleiding van het boogelement der tweedimensionaleEuclidische en niet-Euclidische geornetrieén van het uitgangs­punt van RIEMANN,die p. 43-46 door middel van infinitesimaalsbeschouwingen 4) Wordt verricht, is synthetisch uitgevoerd inHand. XII. Nederl. Nat. en Geneeslc. C’0ngr., p. 192-196,

1) Overgedrukt uit Verslagen der Kon. Akademie van Wetenschappen,27 April 1917, met inachtneming van het bijbehoorende erratum [bu] denherdruk toegevoegde noot].

2) Een discussie over den inhoud is in dit tijdschrift gevoerd door G.MANNOURYen den schrijver. Vgl. N. Archief (2) VIII, p. 175-180, 326-328[bzj den herdruk toegevoegde noot].

3) De p. 21-22 gegeven afleiding van de laatste eigenschap uit de eerstewordt dus voor den bewijagang overbodig.

4) Van de hierbij ingevoerde ditferentiaalquotiénten is, ter plaatse waurze gebruikt warden, telkens het bestaan evident.

2

terwijl met andere infinitesimaalmethoden het doel reeds vroegerwas bereikt door KILLING in ,,Einfz'ilu'znzg in (/ia Grmzd/a,r/ender Geometric” I, p. 80-89 en door FLYE-S‘° MAl\'IEin ,,’1'lzc'orz'edes paralléles”, p. l2——l9. De p. 46——47gesehetste afleidingvan het n-dimensionale uit het tweedimensionale boogelementis uitvoeriger ontwikkeld in Hand. XII. Nederl. Nat. on Geneesk.Oongr., p. 196-199.

3. Van de p. 63-66 opgesomde en Am‘ IV. Oongr. Int.d. Mat. III, p. 569 -571 overgenomen drie constructieprinoipesvoor puntverzamelingen eischt de consequentie van het intuitio­nistische standpunt (vgl. Jalzresber. (l. D. M. V. 23, p. 79), dathet derde vervalt, terwijl bij het tweede in het oneindige ver­takkingsagglomeraat, waarop, als het afbrekingsproces tot eeneinde is gekomen, de operatie ,,completeering tot een continuum”wordt toegepast, niet slechts splitsingen in twee, doeh 00k ineen willekeurig eindig of aftelbaar oneindig aantal deeltakkenbehooren te worden toegelaten ‘), waardoor het eerste constructie­principe in een bijzonder geval van het tweede overgaat. Deuit de vaststelling der constructieprincipes volgende oplossingvan het continuumprobleem blfift ook na. deze wijzigingen haargeldigheid behouden. Op alle drie de genoemde plaatsen, evenalsin ,,Intuz't-ionisme en Formalisme”, p. 23 en in Amer. Bull. (2)20, p. 92-93, liggen aan de evidentie van de aftelbare ofcontinue machtigheid eener puntverzameling (en ook aan dievan de splitsbaarheid eener afgesloten puntverzameling in eenperfekte en een aftelbare) twee essentieele onderstellingen tengrondslag, en wel ten eerste, dat de puntverzameling _qe'2'ndz'vi­dualiseerd kan worden geconstrueerd, d. w.z. zoo, dat tweeverschillende oneindig voortgezette takken van het verte.kkings­agglomeraat tot twee verschillende punten voeren, ten tweede,dat de geindividualiseerd geconstrueerde puntverzameling inwendigontleed kan worden, d. W.z. dat het afbrekingsproces der zichniet weer vertakkende takken, dat na. een aftelbaar aantalschreden tot een eind moet voeren, werkelijk kan worden uit­gevoerd. Inderdaad heeft men op het intuitionistische standpunt,waarop het gebruik van het onbeperkte comprehensie-axioms.(vgl. beneden onder 7.) is uitgesloten, en waarop men zichdaarom van speciale aannamen betreffende den aard der con­

1) Op bijzondere wijze geschiedt dit trouwens reeds p. 158.

3

struéerbaarheid der te beschouwcn puntverzamelingen, en die!)­overeenkomstig betreffende de begrenzing van het gebied derverzamelingsleer, nimmer kan bevrijden, het recht, zoodanigeonderstellingen, ale ter wille van de levensvatbaarheid der theoriewenschelijk zijn, in de constructieprincipes geimpliceerd te achten.Intusschen is my gebleken, dat, zooals ik in een eerlang ver­schijnend werk ‘) hoop uiteen te zetten, met bchoud van de1evens­vatbaarheid der theorie, de begrenzing van het gebied der ver­zamelingsleer ruimer, en zonder de beide laatstgenoemde impli­caties in de constructiepriucipes, kan worden genomen, waarvandan tevens het gevolg is, dat de oplossing van het continuum­probleem in tegengestelden zin uitvalt. Vgl. het Amer. Bull.(2) 20, p. 92 in een noot gegeven voorbeeld van een deelver­zameling van het continuum met een machtigheid grooter dande aftelbare, doch kleiner dan de continue.

4. Bij den opbouw der voorbeelden van niet-Archimedischehoofdbewerkingen behoort p. 68 r. 4 in plants van: nvoorzooverrealle indices er van grooter zijn, dan die van een bepaalde go­geven coordinaat” te worden gelezen : nvoorzooverre bi_jgegevenvoorafgaande indices elke index er van gr-ooter is, dan eenbepaald getal”. Verder behoort p. 69 r. 1, 3 en 12 in plaatsvan ,,index” resp. ,,indices” te worden gelezen ,,uummer”resp. ,,nummers” en behooren p. 71 r. 13 de letters q en r toworden verwisseld. Uitgebreide mogelijkheden tot opbouw vancommutatieve niet-Archimedische hootdbewerkingcn zijn in­tusschen ontwikkeld door HAHN in Wiener Sitzztngsber. 116, p.60l——655.

5. De p. 85-88 gegeven afleiding van de difi'erentieerbaar­heid eener functie uit de continuiteit van het systeem derdifferentiequotiénten is uitvoeriger ontwikkeld en uitgebreid tothoogere differentiaalquotiénten en functies van meerdere ver­anderlijken in Versl. X. AA: 2:. Wet. 17, p. 38-45.

6. Een nadere bevestiging van het p. 95-99 en 118-1‘-21ten opzichte van de objectivitcit en aprioriteit van ruimte e.xtijd verdedigde standpunt is geleverd door de diensten, die de

.1-—­

1) Van dit werk, getitcldz ,,Begri‘mdunqder Mengenlehre unabhiingig vomogischen Sat: vom ausgeschlossenen Dritten”, is inrniddels het eerste deel

als Verhan-ieling der lion. Akademie van Wetenschappen verschcnen [bu]den herdruk toegevoegde noot].

4

relativiteitstheorie in do natuurkunde heeft bewezen. Vgl. dedesbetreffende uiteenzettingen in ,,Het Wezen der Meetlc2mu.’e”,p. 5-13, in het bijzonder ter illustratie van de noodzakelijkheidder objectiviteitsdefinitie van p. 96.

7. In het betoog, dat logica afhankelijk is van wiskunde,Worden p. 131-132 de toepassingen van het zoogenaamdeprincipe van tertium exclusum (of principe van ter/ium non datur)op de wiskunde nietszeggende tautologieén genoernd. Dit isonjuist; integendeel, deze toepassingen vormen dikwij1songeoor­loofde petitiones principii, zooals nader is uiteengezet in Tgljdsch-r.1:. Wzjsbeg. 2, p. 152-158. Verder wordt p. 135 het comprehensie­a-xioma. (d. w. z. het bestaansaxioma der verzameling van allewiskundige entiteiten, die een gegeven eigenschap bezitten)beperkt tot die wiskundige entiteiten, die behooren tot een tevoren opgebouwd wiskundig systeem s. Hier moet verder Wordengegaan en in overeenstemming met p. 177 de eisch Worden toe­gevoegd, dat de door het axioma gepostuleerde verzamelingzelf ook een opbouwbaar wiskundig systeem is (De door ZERMELOin Mathem. Ann. 65, p. 263 geformuleerde eisch van hetnieuwere formalisms, dat voor elke entiteit van 3 moet vast­staan, of de bedoelde eigenschap er voor geldt of niet geldt,is, al naarmate de oplosbaarlmfl van alle u‘is/czcnrligeproblemener bfi wordt ondersteld of niet, veel te zwak of veel te sterkvoor de intuitionistische beschouwingswijze).

8. De p. 140 geciteerde verhandeling van MANNOURYisintusschen met geringe wijzigingen gereproduceerd in zijn werk,,MethodologischesmadPhilosophisclzes zur Elementarmatlzematik”,p. 59-72, en een opstel met eng verwanten gedachtengangover hetzelfde onderwerp is gepubliceerd door ZERMELOin ActaMathem. 32, p. 185-193. Van beiden lijden dc bewijsvoeringenaan de wiskundige fout van het gebruik van het onbeperktecomprehensic-axioma en het principium tertii exclusi, en aandc logische font van het ontbreken van een niet-strijdigheids­bewijs. Bovcndien postuleert (vgl. N. Arch. v. I/Vislc. (2) 9,p. 201) het betoog van MANNOURY1. c. p. 71 het besfucm eener()—R, 11.1.die der geschreven ordinaalgetallen, een postulaataequivalent met de erkenning van de intuitie der volledigeinductie, en wordt 1. c. p. 72 bovenaan zonder bewijs aange­nomen, dat een verzameling (1, die met alle deelverzamelingenvan een vcrzamcling b een acquivalent gedeelte bezit, ook een

met I) zelf aequivalent gedeelte bezit ‘), waartegenover het betoogvan ZERMELO l. c. p. 190 de logiséhe petitio principii, die inhet keuze-a.'rioma (vgl. ,,Infuiti0m'sme an Fm'malisme”, p 15)ligt uitgedrukt, noodig been,

9. In verband met de bespreking der tweede getalklasse opp. 144-149 vergelfike men Amer. Bull. (2) 20, p. 91, waaroverigens in de noot dnor een zinstorende drukfout de winge­haalde uitdrukkingen: ,,muss es geben” en ,,k6nnen wir be­stimmen” verwisseld zijn.

10. In verband met de p. 149- 151 goformuleerde logischeen wiskundige preciseeringen van het aontinnumprolrleem, ende correspondeerende oplossingen or van, vergelijkc men nader,,Intuitiom'sme en I1'rn~malisme”,p 22-25 en Amer. Bull. (2)20, p. 9l—93, en lette op de uit het boven onder 3. opge­merkte voor de oplossing der eerste 1. c. aangegeven precisee­ring voortvloeiende restrictie.

11. Ten opzichte van het p. 152-153 besproken welordceningsprobleem kan in overeenstemming I1'1etJ(I}H'e’£f)(’)'.«I. I).M. V. 23, p. 81, waar echter de nauwkeurigheid der re-dactiete wenschen overlaat, worden opgemerkt, dat een dour eenoneindig vertakkiugsagglomeraat bepaalde niet-aftelbare puntver­zameling slechts z66‘lineair te ordenen is, def.aclltereenvolgens eonfundamentaalreeks van eindige verzamelingen 2",2',, . .. van eindigetakken, die geen verlengingen van e1ka.nderzijn, lineair goordeudwordt, Waarbfi dan voor elke 1°zekerheid moet bestaan, datE3 32),, -z';,_,_1,. . .3 van alle oneiudige eimitakken beginsegmontenbevat. Stellen we door j,, voor de aftelbare verzameling van ein­dige takken, die wordt verkregen, door in de takkenverzameling6 gig, iH_1, . . .1 alleen de takken te behouden, die geen ver­lenging van een voomfgaanden tak dezer verzameling zijn, dankan in elke tak -r van een j,, slechts voor hoogstens één punt(nameljjk voor" datgene, dat bepaald wordt, door voor p > v inelke volgende j,. steeds de laatst geordende takverlenging tekiezen) zekerheid worden verkregen, dat het in de resulteerendeordening dcr bcschouwde puntverzameling een eerstvolgendeelement bezit. De punten, waarvoor deze zekerheid te verkrnjgenis, kunnen due onmogelfik een verzameling van grootere dan

{I1) E-an ander I. c. N. Arch. 1:. Wink. tegen dezellde zinsnede geuit be­

zwaar kan daarentegen door een geringe wijziging van den bewijsgang Wordenondervangen.

6

de aftelbare machtigheid vormen, zoodat een puntverzamelingran grootere dan rle uftellmre machtiglzeid zelcer niet in Imargeheel welgeordend 1-an -warden.

12. De kritiek op het aequivalentietheorema van BERNSTEIN(p. 153-155) is nader gepreciseerd en door een voorbeeld toege­licht in ,,Intuitz'om°sme en Formalisme”, p. 26 -—29 en Amer. Bull.(2) 20, p. 94-96. De kritiek op de door BERNSTEINgedefi­niecrde afbeelding van de aftelbare ordetypen op punten vanhet continuum (p. 156-157) wordt beter zoo geformuleerd,dat de methode van BERNSTEINgeen middel geeft, om vooreen gegeven aftelbaar ordetype het correspondeerende punt vanhet continuum te bcpalen, zoodat de afbeelding alleen kan Wordenuitgevoerd voor die ordetypen, waarvoor onder de verschillendcwetten van voortschrijding der ordening met de aftelling, waar­door ze worden voortgebracht, een bepaalde keuze is gedaan,welke ordetypen een hoogstens aftelbaar onaffe verzamelingvormen.

13. Aan de p. 158-159 besproken stelling, dat F(de ver­zameling der functies eener reéele variabele) een grooteremachtigheid bczit, dan C?‘(de verzameling der punten van hetcontinuum) wordt ook wel do volgende wiskundige beteekenistoegekend: ,,.\Iet alle punten van het continuum kan men ver­schillende functies eener reéele variabele in correspondenticbrengen, doch naast elk oneindig vertakkingsagglomeraat vanzoodanige functies kan men een functie aangeven, die er niettoe behoort” (vgl. ,,Intm'ti0m'sme en ]*'ormalisme”, p. 25). I)ochook deze interpretatie blijkt bij nader onderzoek onhoudbaar,en wcl op grond van de omstandigheid, dat een in het Carte­sische X)’-vlak gedefinieerde niet-continue functie van .2:en 3/niet noodzakelijk op de ljjn x = y con functie van ac bepaalt.

14 De p. 160 gegevcn voorstelling, als zouden ten opzichteook van oneindige wiskundige systemen de invoering van delog¢'.s-che.s-am,het iogische product en de complementairverzamelingsteeds veiligc operaties zijn, berust op een reeds boven onder 7.gekritiseerden vorm van het compreheneie-axioma, en kan daaromniet worden volgehouden. Het op dezelfde pagina, evenalsp. 163-164, voor wiskundige in tegenstelling met onwiskundigesubjectcn en praedicaten gehandhaafde principe van tertium nondaiur is cvcneens reeds hovcn onder 7. verworpen, ook voorwiskundige systcmen.

7

15. Ten opzichte van de rokenkuude van IIIISSELLbehoortte worden opgetnerkt, «lat do p. 168‘ ter spraku komeude ont­wikkeliugen (1. v. p. [21 --123%) wc-liswaar up do intuitie dvrvolledige iuductic borusten. (loch volgcns dm schrjjver uitdruk­kelijk slechts een voorloopig kamkter dragen; indenlaad kunnende bewuste eigenschappen ook onaflmnkelijk van doze intuitieWorden afgeleid op groud van het p. 167 aangehaalde defiuitie­systeem. Dit beteekeut echter voor het standpunt van RUSSELI.geen versterking, daar het bedoelde definitiesysteem eerst bruik­baar wordt nu toevoeging van het existentiepostulaat van minstenséén klasse van het in de laatste definitie aangegeven karakter.een postulaat dat in het comprehensie-axionm nict geimpliceertlligt en vrijwel op toelating van intuitieve volledige indm-tin.neerkomt.