La cornea: una superficie diferenciable

Plano del cristalino

Plano del apex

sagital

plana

Sobre la hipótesis de la diferenciabilidad

• Un tejido continuo• Sin cambios bruscos de

pendiente para que se forme una imagen coherente (dos veces diferenciable)

Sobre las representaciones

• Mapa de alturas, fijado el plano del apex o el del cristalino

• Mapa de distancias al apex (convexidad)

La cornea: una superficie diferenciable

• (1) Mecánica: estructura + dinámica de fluidos

• (2) Óptica: lente convexa

(1) Mecánica: un esquema

fluido

Material elástico

Sustrato Sólido

Entrada y salida

(1) Navier Stokesy condiciones de contorno

densidadCampo de velocidades

Gradiente de presión

Fuerzas externas

Tensor deesfuerzos

(2) Una lente convexa:videokeratografía

• Idea 1: Cada círculo del disco de Plácido se refleja en una curva cerrada

• Idea 2: La imagen de cada punto está en la recta que lo une con el nodo de la cámara

Idea 1

El uso de círculos ayuda a la valoración cualitativa

Nodo de la Cámara

fuente

a

imagen

Idea 2

¿Dónde está este punto?

Primera respuesta: en la recta que une la imagen y el nodo.

Para el desarrollo de un algoritmo hay que imponer alguna hipótesis adicional que permita

seleccionar el punto de la recta adecuado

Algoritmos comerciales:

• implementados en instrumentos comerciales

• no accesibles

Algoritmos teóricos:

1. Van Sarloos-Constable

2. Klein

3. Klein et al

1.Van Sarloos-Constable

• Hipótesis 1: La fuente, el nodo de la cámara y la imagen están en el mismo meridiano (de alguna manera simetría rotacional)

• Hipótesis 2: En cada meridiano dos puntos consecutivos están unidos por arcos de circunferencia cuyas rectas tangentes son las mismas (diferenciable) y siguen las leyes ópticas

Hipótesis 2

nodo

Mi

ai

Imagen de Mi

Imagen de Mi+1

Mi+1

mi mi+1

Funciona

• El punto mi se construye a partir del anterior

• Se aporta un algoritmo para construir m1

• La circunferencia que debemos construir pasa por mi, la tangente en mi está fijada y la tangente en el correspondiente punto de intersección con la recta (Mi, nodo) está fijada: Pencils de cónicas

Valoración

Deficiencias• Tratamiento

meridiano a meridiano asume simetría rotacional

• El resultado no es dos veces diferenciable

Ventajas• Rápido y simple (sólo

involucra ecuaciones cuadráticas)

¿Valoración cuantitativa?

2. Klein

• Hipótesis 1: La fuente, el nodo de la cámara y la imagen están en el mismo meridiano

• Hipótesis 2: m(i), m(i+1) y m(i+2) yacen en un polinomio cúbico dos veces diferenciable

Funciona

• El punto mi se construye a partir de los dos anteriores

• Se aporta un algoritmo para calcular m1• Para calcular m2 se utiliza un polinomio

cuadrático (en vez de cúbico) (la zona paracentral de la cornea puede considerase esférica)

• Curvas de Bezier y polinomios de Bernstein

Valoración

Deficiencias• Tratamiento

meridiano a meridiano asume simetría rotacional

• Involucra ecuaciones cúbicas

Ventajas• Las cúbicas en

geometría computacional

• El resultado es dos veces diferenciable

¿Valoración cuantitativa?

2. Klein et al

• Hipótesis 1: La superficie es polinomial a trozos (parches de grado 5)

• Hipótesis 2: es dos veces diferenciable

Funciona dinámicamente

• Se parte de una superficie de referencia

• Se computa la imagen por esta superficie y se estima un error con la imagen real

• Se modifican los vectores normales a la superficie para minimizar este error

• Se itera

Valoración

Deficiencias• No hay resultados de

convergencia• Involucra ecuaciones

quínticas

Ventajas• No se asume simetría

rotacional• El resultado es dos

veces diferenciable

¿Valoración cuantitativa?

Líneas de trabajo

• Paso 1: Diseñar un experimento para medir la cornea (ni asuma las hipótesis de los aparatos comerciales y no tenga limitaciones temporales tan estrictas)

• Paso 2: Tomar estas medidas en pacientes con comportamientos evolutivos en la cornea (por ejemplo sometidos a cirugía)

• Paso 3: Diseñar modelos evolutivos

Dos Ideas

Estereografía

• Instrumentos adecuados

• Tratamiento estadístico

• Implementaciones

Secciones planas

• Ajustar la lámpara de hendidura

• Tratamiento estadístico

• Implementaciones