231

La corrente

1. Spostamento di carica in un filo metallico Dopo l’elettrostatica, affronteremo adesso lo studio del moto ordinato d’insieme delle cari-che, un fenomeno possibile solo nei materiali conduttori: in particolare ci concentreremo su quelli metallici. Sappiamo che nei metalli l’ultimo elettrone non viene utilizzato nei le-gami chimici fra gli atomi e così rimane libero di muoversi fra gli ioni del reticolo cristal-lino. Si viene in tal modo a formare una sorta di mare di carica negativa: indicheremo con nil numero di elettroni liberi in un metro cubo di materiale, detti elettroni di conduzione. Ad esempio nel rame:

elettroni di conduzione/m28 38.47 10ramen

Il mare degli elettroni di conduzione si comporta come un liquido, cioè ha volume proprio e non può essere compresso, quindi il valore di n non cambia da punto a punto del con-duttore, quale che sia lo stato di moto delle particelle. Materiali differenti sono invece ca-ratterizzati da valori diversi di n . Daremo al conduttore metallico la forma di un filo, in modo da poter incanalare facilmente, nella direzione da noi desiderata, ogni eventuale spostamento globale del mare degli elettroni di conduzione. Il mare degli elettroni di conduzione nel filo metallico è fermo? Va detto subito che, anche se il filo metallico è in equilibrio elettrostatico, gli elettroni di conduzione si spostano disordinatamente in tutte le direzioni in conseguenza della tem-peratura del materiale. Le velocità tipiche di agitazione termica sono elevate, infatti già a temperatura ambiente abbiamo:

m/s510Tv

Tuttavia si tratta di velocità individuali, cioè il mare di elettroni nel suo insieme non subisce spostamenti. Ponendo una immaginaria rete entro il metallo, se gli elettroni fossero pesci, ogni secondo la attraverserebbero mediamente in uguale numero sia in un verso che nell’altro: la velocità media associata a tale moto risulta cioè nulla. Esercizi 1. Stimare la velocità quadratica media del moto di agitazione termica degli elettroni di conduzione Tv utilizzando il modello di gas perfetto.

Capitolo

8

La Controfisica In alcuni metalli come l’alluminio e lo zinco, il mare di elettroni è così popolato che quasi tutti i posti di-sponibii sono occupati. Fra gli elet-troni rimangono però alcuni spazi vuoti, un po’ come delle poltrone libere in una sala di teatro colma di spettatori. Quando il mare di elet-troni si sposta vediamo questi posti vuoti scorrere indietro, e tutto va come se tali spazi fossero dei porta-tori positivi di carica, detti lacune.

Tv

ioni delreticolo

elettroni diconduzione

232

A temperatura ambiente K293T , essendo kg319.11 10em si ha:

m m/ss

232 5

31

31 3 3 1.38 10 2931.15 10

2 2 9.11 10B

e T B Te

k Tm v k T v

m

Come possiamo mettere in moto d’insieme gli elettroni di conduzione del filo? Per produrre un movimento collettivo degli elettroni lungo la direzione del filo è ne-cessario instaurare al suo interno un campo elettrico E

parallelo alle pareti del filo

stesso. Tralasciando per il momento il problema di come sia possibile creare un cam-po con tali caratteristiche, osserviamo che sotto la sua azione gli elettroni si mette-rebbero in moto uniformemente accelerato per l’azione della forza eE

(cioè in ver-

so opposto al campo) e, dopo aver percorso un breve tratto, urterebbero contro il primo ione reticolare sul loro cammino1. Da qui ripartirebbero per urtare di nuovo, in un moto “a singhiozzo”, la cui velocità crescerebbe e decrescerebbe bruscamente, come nel grafico a lato. Una conseguenza di questi urti è di riscaldare il filo condut-tore per le vibrazioni prodotte nel reticolo formato dagli ioni fermi: un fenomeno detto effetto Joule. I bulbi delle lampadine ad incandescenza contengono un filamento di un materiale chiamato tungsteno, così sottile da rendere l’effetto Joule intenso al punto che quando gli elettroni sono forzati a scorrervi dentro, raggiunge una tempe-ratura di °C2500 , alla quale viene emessa luce visibile. Se l’energia fornita dall’accelerazione dovuta al campo elettrico è piccola rispetto a quella di agitazione termica (cioè per temperature non elevate), possiamo assumere che dopo ogni urto l’elettrone riemerga con una velocità orientata casualmente (cioè che la velocità nella direzione di E

riparta ogni volta da zero) e stimare la velocità media di questo moto

d’insieme. Si può dimostrare che in tali condizioni si ha una velocità media proporzio-nale al campo elettrico, detta velocità di deriva Dv , ed il suo valore risulta dell’ordine di:

m/s410Dv

Il significato di Dv è bene illustrato nel grafico precedente. La velocità di deriva è

molto minore di Tv : il moto ordinato d’insieme degli elettroni è assai lento rispetto a quello individuale dovuto all’agitazione termica. Un conduttore in cui applicando un campo elettrico si può produrre un moto d’insieme delle cariche con velocità media proporzionale al campo stesso si dice conduttore ohmico. Cosa si intende con il termine corrente elettrica ? Si chiama corrente elettrica I il quantitativo di carica che attraversa la sezione di un con-duttore nell’unità di tempo. Se questo quantitativo rimane costante nel tempo in un punto del filo, la corrente elettrica si dice stazionaria e può essere misurata tramite il rapporto fra la carica Q che attraversa la sezione considerata nell’intervallo t e la durata dell’intervallo stesso: Corrente elettrica stazionaria è il quantitativo costante di carica che attraversa la sezione di un conduttore in un secondo:

QI

t

1 Più precisamente dovremmo dire che urta contro le irregolarità del reticolo cristallino. Infatti, se il reticolo fosse perfet-tamente uguale a se stesso, esiste un risultato nell’ambito ella meccanica quantistica, detto teorema di Bloch che mostra co-me un elettrone non incontra ostacoli lungo il suo cammino in un cristallo perfettamente periodico.

La Controfisica Il moto di deriva degli elettroni è più lento della lancetta dei minuti dell’orologio!

La Controfisica Attenzione! È improprio usare l’espressione “la corrente che fluisce(o che scorre) in un conduttore”. La parola corrente significa già da sola scorrimento di carica, quindi sarebbe come se dicessimo: “ lo scorrimento di carica che scorre nel circuito”. Diremo invece: “la corrente nel conduttore” , oppure “la carica che fluisce (scorre) nel conduttore”.

E

E

E

E

Dv

filamentodi tungsteno

gasinerte

Dv

velocità reale deglielettroni lungo E

t

Dv

233

e le sue unità di misura sono Coulomb al secondo, C/s , a cui nel Sistema Internazionale viene assegnato il nome2 di ampere, ed il simbolo A . Com’è legata la corrente in un filo alla velocità di deriva degli elettroni? In un intervallo di tempo di durata t gli elettroni di conduzione, in moto alla velocità di deriva Dv , si saranno spostati di un tratto Dv t , in verso opposto a quello di E

a causa

della loro carica negativa. Indiciamo con A la sezione del filo perpendicolare alle pareti. Nel tempo t , si sarà mosso, nel verso di Dv

, un cilindro di carica negativa di volume:

Dvolume area di base altezza Av t Considerato che ogni metro cubo di tale volume contiene n elettroni di conduzione, nel tempo t avranno attraversato la sezione un quantitativo di particelle pari al prodotto

Dn volume nv tA . Dividendo per t si ha il numero di elettroni che ogni secondo scavalcano la sezione:

DnAv

Per ogni elettrone che avanza rimane una lacuna, cioè lo spazio che esso lascia vuoto, e quindi tutto va come come se questo spazio si fosse mosso in direzione opposta all’elettrone stesso. In un filo metallico neutro, lo spazio lasciato vuoto dall’elettrone cor-risponde ad una carica positiva C191.60 10e . Per motivi di convenienza si preferi-sce immaginare che lo spostamento di carica non sia dovuto agli elettroni, ma a queste particelle positive immaginarie. Il vantaggio è di non avere un segno meno nell’espressione della corrente, il cui valore si ottiene quindi moltiplicando il numero

DnAv di lacune che scavalcano la sezione ogni secondo, per carica e di ciascuna:

DI neAv

Questa equazione dice che la corrente aumenta al crescere della quantità di carica per uni-tà di volume, ed al crescere della sezione del filo. In base ad essa, maggiore è la velocità dei portatori, più è grande la corrente: risultato intuitivo poiché una maggiore velocità significa che è maggiore la carica che riesce a passare in ogni secondo. Esercizi 2. In un filo di rame di diametro mm1.20 è sede di una corrente A0.850I . Calcolare la velocità di deriva degli elettroni ed il numero di elettroni che ogni secondo attraversano una sezione del filo.

La sezione del filo misura: m m2 3 2 2 6 21

23.14 ( 1.20 10 ) 1.13 10A R

usando il numero di portatori di carica per il rame, 3elettroni/m288.47 10n e ricor-dando che C191.60 10e , dalla formula per la corrente si ottiene:

m/s m/s528 19 6

0.8505.55 10

8.47 10 1.60 10 1.13 10D

Iv

neA

ed il numero di elettroni che passano la sezione del filo ogni secondo vale:

elettroni/s elettroni/s18

19

0.8505.31 10

1.60 10D

InAv

e

2 Da scriversi minuscolo e senza accenti, come tutte le unità del SI, a differenza del nome dello scienziato francese André-Marie Ampère (1775-1836) in cui onore è stata scelta la denominazione dell’unità di corrente.

La Controfisica Le unità di misura della corrente sono sempre ampere, anche nel membro di destra in questa formula. Infatti, es-sendo [n]=[m-3] risulta:

[neAvD]= m-3Cm2ms-1=Cs-1=A

DvE

D tv

D tv

A

234

Per generare corrente il filo viene svuotato dei suoi elettroni di conduzione? No, gli elettroni non vengono “consumati” allo scopo di produrre corrente! Del resto se delle particelle negative venissero progressivamente distrutte avremmo violato il principio della conservazione della carica, e al contempo staremmo producendo un Universo sempre più positivo. Allo stesso modo, se in qualche punto del percorso della corrente, ad esempio nel bulbo di una lampadina, si accumulassero eccessi di carica, il bulbo diverrebbe progressivamente negativo ed arresterebbe la corrente. Quindi per non avere accumuli di elettroni, la corrente dev’essere la stessa in tutto il filo, e pertanto il campo elettrico che la produce deve avere intensità uniforme lungo di esso. Ciò che accade è che gli elettroni vengono mantenuti in moto in un percorso che dev’essere chiuso ad anello, al quale viene dato il nome di circuito elettrico. Lo scor-rimento di carica lungo il filo in un circuito elettrico è un processo continuo in cui non viene mai raggiunta una condizione di equilibrio elettrostatico. Si dice che gli elettroni di conduzione si trovano in uno stato stazionario, cioè che la loro velocità di deriva in ogni punto del circuito non cambia al passare del tempo. Quale ruolo svolge la batteria in un circuito elettrico? Come sappiamo, il campo elettrico non è in grado di mettere in moto delle particelle cariche in un percorso chiuso, quindi per mantenere corrente in un circuito occorre un dispositivo che assolva a questo compito: la batteria. All’esterno la batteria presen-ta due localizzazioni di carica in corispondenza dei suoi estremi, detti poli, e produce al suo esterno il campo caratteristico di un dipolo, che già conosciamo. Le funzioni della batteria sono quelle di una pompa, ed i fili elettrici ricordano delle tubature che la natura ci fornisce preventivamente riempite di acqua (in questo caso gli elettroni di conduzione). La batteria non crea né distrugge elettroni, li mette soltanto in mo-vimento lungo di un percorso chiuso: possiamo pensare ad essa come a qualcosa di simile al nostro cuore, che non crea il sangue ma lo mantiene in circolazione. Cosa accade all’interno della batteria? Dentro ad una batteria reale avvengono delle reazioni chimiche, il cui dettaglio ora non affronteremo: il loro scopo è di mantenere una differenza di potenziale tra i due poli della batteria, ovvero far sì che presso il polo a potenziale più basso, il polo ne-gativo, vi sia sempre un eccesso di elettroni e viceversa vi sia un difetto di elettroni presso il polo a potenziale più alto, il polo positivo. Se inseriamo la batteria in un cir-cuito, gli elettroni in eccesso sul polo negativo, spinti dal campo elettrico generato dalla differenza di potenziale tra i poli, lasceranno quest'ultimo e si sposteranno all'interno del filo verso il polo positivo con velocità pari alla velocità di deriva Dv

. Nel contempo le reazioni chimiche all'interno della batteria, per mantenere la diffe-renza di potenziale tra i poli, preleveranno della carica negativa dal polo positivo e, lavorando in opposizione al campo elettrico, la trasportano al polo negativo facendo chiudere il giro della carica all'interno del circuito. Possiamo farci un’idea del princi-pio di funzionamento attraverso il modello meccanico in figura, formato da una cin-ghia rotante che preleva gli elettroni dal polo positivo, dove andrebbero accumulan-dosi e li trasporta nuovamente su quello negativo da cui si sono staccati. La cinghia compie lavoro contro il campo elettrico, infatti E

dentro la batteria ostacola il comple-

tamento del percorso ad anello da parte degli elettroni di conduzione, che invece tende a produrre nel filo. Fintanto che con una manovella manteniamo in rotazione la cinghia in modo da avere una separazione di carica nei due poli, avremo corrente nel circuito. In base alla convenzione che la corrente è dovuta a fittizie cariche positi-ve, mentre gli elettroni scorrono dal polo negativo a quello positivo, la corrente ha ver-so opposto, come se delle particelle positive facessero il percorso inverso, dal positivo al nega-tivo.

I

I

E

Dv

I

Dv

E

E

,E generail moto delle cariche nel filoma dentro alla batterialo contrasta

235

Gli elettroni di conduzione nel filo si spingono l’un l’altro come palline in un tubo? La nostra esperienza sulla scala degli oggetti ci conduce all’idea errata che produrre corrente sia come spingere una fila di palline dentro ad un tubo. È necessario aver chiaro che “spingersi l’uno con l’altro” sulla scala delle particelle significa interagire tramite la forza elettrostatica, perché al livello microscopico non esistono azioni “a con-tatto”. Sulla scala degli oggetti, spinte e pressioni sembrano avvenire a contatto, ma sulla scala delle particelle sono sempre riconducibili a forze elettrostatiche. Quando il nostro piede calcia un pallone, o la nostra mano accompagna una porta, sono le cari-che degli elettroni nelle molecole degli oggetti che, respingendosi reciprocamente, impediscono ai corpi di compenetrarsi e danno l’idea di due cose che si toccano, si spingono o si urtano. Pertanto gli elettroni nel filo di un circuito non si spingono l’un l’altro ma, come già abbiamo detto, sono messi in moto da un campo elettrico. Chi origina il campo che tiene in moto gli elettroni nel filo? Come sappiamo, qualunque campo elettrico viene prodotto da cariche localizzate, quindi anche quello che accelera gli elettroni nel filo sede di corrente. Tuttavia ab-biamo visto che all’interno di un filo metallico non possano esserci accumuli di cari-ca, perché ostacolerebbero la corrente, e che il materiale è da considerarsi neutro. Questo comporta che per ogni repulsione elettrostatica che l’elettrone riceve da un altro elettrone a lui prossimo, ci deve essere anche attrazione da parte di uno ione del reticolo cristallino, e così le due azioni – repulsiva ed attrattiva – si compensano. E’ quindi nulla la forza elettrostatica complessiva che mediamente agisce sugli elettroni ad opera delle particelle cariche interne al filo, cioè gli elettroni non possono spingersi perché la loro repulsione è cancellata dall’attrazione da parte degli ioni positiivi nei nuclei. Il campo elettrico nel filo non è pertanto prodotto da cariche localizzate al suo interno, e quindi le sue sorgenti dovranno trovarsi altrove. Dove sono localizzate le cariche che producono questo campo parallelo al filo? Se, come abbiamo visto, le cariche che generano il campo che mette in moto gli elet-torni non risiedono dentro al filo, esiste solo un altro posto dove possono localizzarsi, e cioè sulla sua superficie. È tuttavia davvero curioso che, da un punto di vista pratico, generare una distribuzione di carica capace di produrre un campo nel filo, ovunque parallelo alle sue pareti, in grado di seguirne ogni complicato avvolgimento, risulti un’operazione quasi automatica. È sufficiente connettere i capi del filo ai poli della batteria ed immediatamente gli elettroni di conduzione si mettono in moto. Ma com’è possibile che dentro ad un filo che può estendersi anche molto lontano dalla batteria, che può essere piegato ed addirittura annodato, si formi sempre questo campo sorprendentemente uniforme e parallelo alle pareti? Per rispondere imma-giniamo di avere inizialmente il filo diviso in due, e ciascuna metà sia connessa ad un polo della batteria: solo nel momento in cui collegheremo le due parti si stabilirà corrente, ed il circuito, come si dice, sarà chiuso. Abbiamo così inserito nel circuito un dispositivo che taglia il filo e lo riunisce, chiamato interruttore. Prima della chiu-sura dell’interruttore però, il sistema è un conduttore in equilibrio elettrostatico, cioè le linee del campo della pila, là dove c’è il filo, saranno distorte rispetto a quelle di un dipolo3, in modo che all’interno del metallo risulti 0E

, come la condizione di

equilibrio richiede. Poiché ognuna delle due porzioni di filo costituisce una sorta di “prolungamento” del polo carico, sulla superficie del filo a contatto col polo positi-vo si localizzeranno delle cariche positive - come accade per ogni conduttore carico in equilibrio -, e negative sulla superficie dell’altra metà. Adesso colleghiamo i due fili: le cariche nei capi si annulleranno reciprocamente quando questi entrano a con-tatto, lasciando tutt’intorno al filo un “tubo” di carica che va gradualmente da posi-tivo a negativo, con una brusca variazione di segno nella regione di contatto. La

3 Una coppia di cariche uguali di segno opposto si chiama dipolo: il suo campo è raffigurato nel capitolo precedente.

La Controfisica Le cariche sui poli della batteria non possono essere le sole responsabili del campo che genera la corrente. Infatti esse producono il campo tipico di un dipolo, ma come è facile verificare con un semplice circuito diuna lampadina ed una pila, avvici-nando la lampadina alla pila, dove il campo dovrebbe essere più intenso,non cambia la luminosità, e quindinon cambia la corrente. Allo stesso modo è possibile piegare il filo in modo che il verso della corrente sia addirittura perpendicolare (o anche contrario) a quello del campo di dipolo della batteria, come nella fi-gura, e non osservare mutamenti di luminosità.

elettroneF

ioneF

E

IE

0E

0E

interruttore

aperto

236

scomparsa della carica che era sui capi fa sì che l’equilibrio elettrostatico nel metallo venga meno e compaia un campo non nullo all’interno. Il moto dei primi elettroni in corrispon-denza della giuntura sotto la spinta di questo campo, diluisce la carica superficiale in quel punto e rende meno brusco il passaggio da cariche superficiali di segno positi-vo a quelle di segno negativo. Che direzione e che verso ha questo campo che compare dopo la chiusura? La direzione e il verso di tale campo nella regione di contatto si intuiscono conside-rando che lungo tutta la superficie del filo vi è una serie di anelli carichi, ognuno dei quali genera un campo che, lungo il suo asse, ha direzione uscente dall’anello se po-sitivo, entrante in esso se negativo. Un calcolo dettagliato per l’intensità di E

di un

anello lungo l’asse mostra che esso decresce con la distanza dal centro dell’anello, e che è tanto più intenso quanto più grande è la carica totale sull’anello4. Quindi due anelli consecutivi di uguale segno producono due campi contrapposti, ma di intensi-tà differente se le cariche totali su ciascuno di essi sono diverse, così che il risultato della sovrapposizione è un vettore E

diretto dall’anello maggiormente carico verso

quello meno carico, come in figura. Questo è proprio il campo che occorre per mette-re in moto le cariche lungo il fllo, ed è sempre parallelo ad esso, per quanto lo si an-nodi o ci si allontani dalla batteria. Ma se i fili sono carichi, perché non esercitano attrazione tutt’intorno? La quantità di carica sulla superficie del filo necessaria per mettere in moto gli elet-troni di conduzione è davvero esigua e non può produrre effetti attrattivi o repulsivi osservabili sulla scala degli oggetti. Si tratta infatti di eccessi di carica dell’ordine di quella di qualche elettrone, per cui i fili nei normali circuiti elettrici possono pratica-mente essere considerati neutri. Il processo di sistemazione delle cariche sulla superficie del filo è istantaneo? Non esistono processi istantanei in natura, ma la massima velocità con cui hanno luogo le interazioni è quella della luce, che qui esprimiamo in unità facili da visualiz-zare:

velocità della luce = trenta centimetri ogni nanosecondo ( ns s91 10 , un miliardesimo di secondo). Appena si chiude il circuito, il campo elettrico continua ad essere nullo quasi ovunque nel filo, tranne che nelle vicinanze della giuntura, dove le cariche si sono già sistemate. Questo campo appena generato conferisce proprietà allo spazio occupato dal filo alla velocità della luce, e quindi, vi-sto che per percorrere distanze di centimetri bastano pochi nanosecondi, è quasi immediato l’effetto sugli altri elettroni del mare. Per avere gli anelli di carica tutt’intorno al filo, nessuna delle cariche si sposta se non di distanze infinitesime verso la superficie, creando a loro volta campo elettrico nella porzione di filo sotto di loro. Quando accendiamo la luce chiudendo il circuito con l’interruttore, in qualche nanosecondo gli spostamenti microscopici degli elettroni sulla superficie del metallo generano il campo elettrico nel filo, e questo mette subito in moto tutti gli altri elet-torni di conduzione. Ma gli elettroni partono dalla pila per raggiungere la lampadina? Dovremmo ormai aver chiaro che non è così! A dispetto della rapidità con cui si in-staura il campo elettrico nei fili, non va dimenticato che il moto globale del mare di elettroni di corrente è lentissimo: alla velocità di deriva, una singola parricella im-piega ore a percorrere interamente un circuito di modeste dimensioni. Questo non è

4 Risulta: / 2 2 3/2( )E kQz R z

dove z è la distanza, lungo l’asse, dal centro dell’anello, ed R il suo raggio.

La Controfisica Quando fate una telefonata su lunga distanza, l’elettone che spingete dal microfono ad esempio a Roma, non è lo stesso che batte sull’altoparlante della cornette che si trova a Milano anzi, in una conversazione di un’ora quell’elettrone non fa nemmeno intempo ad uscire dalla stanza!

E

E

E

E

interruttore

chiuso

237

un problema perché gli elettroni nella pila (o nell’interruttore) non devono raggiungere la lampadina. Il filamento del bulbo è già pieno di elettroni: tutto ciò che occorre è che si stabilisca l’appropriata carica sulla superficie del filamento, ed anche quegli elet-troni si porranno subito in marcia dando vita alla corrente. Esercizi 3. Calcolare quanto tempo impiega un elettrone a percorrere completamente il filo lungo m2 di una lampadina da comodino. Assumendo per la velocità di deriva il valore m/s410Dv

presentato all’inizio del capitolo, si ha:

s s ore e mezza44

22 10 5

10D

st

v

2. Leggi di Ohm e forza elettromotrice Abbiamo visto che si dicono conduttori ohmici quelli in cui la velocità di deriva delle ca-riche Dv è proporzionale al campo elettrico. La costante di proporzionalità si chiama mo-bilità, dipende dal tipo di materiale, e si indica con la lettera greca (mi):

Dv E

I metalli rientrano nella categoria dei conduttori ohmici (purché le temperature non siano troppo elevate). Il conduttore ohmico è però un caso speciale: in generale, non tutte le sostanze né tutti gli stati di aggregazione vi rientrano: i gas, ad esempio, non sono conduttori ohmici. Come sono legate corrente e differenza di potenziale in un conduttore ohmico? Inserendo la relazione | |Dv E

nella formula DI neAv troviamo che la corrente

in un conduttore ohmico è proporzionale al campo elettrico | |I neA E

. Poiché ri-sulta più semplice misurare le differenze di potenziale che non i campi, consideria-mo un tratto lungo L di un conduttore ohmico di sezione A , e dalla formula

/sE V s , esprimiamo l’intensità del campo al suo interno in funzione della differenza di potenziale V ai suoi capi:

VE

L

inserendo questi risultati nella relazione già ricavata DI neAv abbiamo che la cor-rente in un conduttore ohmico è proporzionale alla differenza di potenziale ai suoi capi:

AI ne V

L

Il reciproco della costante di proporzionalità che lega I a V si dice resistenza elettrica e si indica con la lettera R , cioè /R L neA . Vale quindi la seguente:

La Controfisica Chiaramente possiamo ribaltare que-sta formula e riscrivere la prima leg-ge di Ohm come:

∆V=RI tuttavia è preferibile non perdere di vista la relazione di causa ed effetto ri-cordando che è la corrente ad essere prodotta dalla differenza di poten-ziale ai capi di un conduttore, e non viceversa.

V

L

A

238

Prima legge di Ohm La corrente in un conduttore ohmico è direttamente proporzionale alla differenza di po-tenziale applicata ai suoi capi:

VI

R

Si vede bene il significato della parola resistenza: maggiore è il valore di R , minore sarà la corrente nel conduttore a parità di differenza di potenziale V applicata ai suoi capi. Le dimensioni fisiche della resistenza sono definite dalla prima legge di Ohm, e la corrispon-dente unità è chiamata ohm ed ha per simbolo la lettera greca òmega maiuscola . Risul-ta: V A 1[ ] [ ] [ ][ ]R . In un piano con la differenza di potenziale in ascisse e la corrente in ordinate, la prima legge di Ohm è raffigurata una retta di coefficiente angolare /1 R . Esercizi 4. Una differenza di potenziale di V15.0 viene applicata ai capi di una resistenza

10.0R . Calcolare la corrente all’interno della resistenza ed il valore di differenza di potenziale che la ridurrebbe ad un terzo di tale valore. Dalla prima legge di Ohm si ha semplicemente:

A A15.01.50

10.0

VI

R

Poiché la corrente in un conduttore ohmico è direttamente proporzionale alla tensione applicata ai capi, si vede subito che per avere un terzo di corrente bisogna applicare un terzo della differenza di potenziale: V5.00V , A0.500I . Che interpretazione possiamo dare della corrente e della differenza di potenziale? Sappiamo che il potenziale elettrostatico misura le proprietà di una regione di spazio in termini di energia per unità di carica, cioè il valore di V nel punto P corrisponde al numero di joule di energia che vengono conferiti ad ogni coulomb di carica che po-niamo in P . Analogamente, la differenza di potenziale V fra i capi di un pezzo di filo (o di un qualsiasi dispositivo elettrico) misura quanto di tale capacità di conferi-re energia ad ogni coulomb di carica è stata utilizzata dal dispositivo stesso (oppure dissipata per riscaldare il filo). Immaginando la batteria come una pompa che porta l’acqua in alto dentro a dei tubi, la differenza di potenziale fra due punti sarebbe la loro differenza di altezza, mentre la corrente I indicherebbe invece quanti litri d’acqua vi passano ogni secondo. Un valore elevato di tensione e bassa corrente può essere immaginato come la cascata delle Marmore, cioè molto alta ma che porta poca acqua, viceversa “bassa tensione e grande corrente” sarà la cascata del Niagara, cioè un dislivello modesto ma che riversa molta acqua. Come si può calcolare la resistenza di un tratto di filo? La resistenza elettrica è una grandezza che in un unico numero riassume sia le caratteri-stiche geometriche del filo (A , L ) sia le proprietà del materiale adoperato ( , n , e ). Si usa però separare gli aspetti geometrici da quelli fisici introducendo la resistività specifica , indicata con la lettera greca rho /1 ne . In tal modo otteniamo una relazione sempli-ce per calcolare la resistenza di un tratto di filo metallico, visto che tutte le proprietà mi-croscopiche del materiale sono riassunte dal valore di : Seconda legge di Ohm La resistenza di un tratto di filo metallico è direttamente proporzionale alla lunghezza ed inversamente proporzionale alla sezione:

LR

A

metallo m]8

8

8

8

8

8

[

1.62 10

1.69 10

2.35 10

2.75 10

5.25 10

9.68 10

argento

rame

oro

alluminio

tungsteno

ferro

V

I

1tanR

grande Vpiccola I

grande Ipiccola V

239

Le dimensioni fisiche della resistività sono definite dalla seconda legge di Ohm e risultano

m[ ] [ ][ ] . Nella tabella a fianco riportiamo qualche valore: si noti il basso del rame che ne fa il migliore fra i conduttori metallici economici.

Quale ambito di validità hanno le leggi di Ohm? Le leggi di Ohm non sono principi fondamentali della natura, ma si applicano solo ad una ristretta categoria di dispositivi, che vengono detti resistenze (o anche resistori) e raffigura-ti con il simbolo qui a lato. Qualunque pezzo di filo metallico è senz’altro una resistenza, il cui valore può essere calcolato tramite la seconda legge di Ohm. Però si realizzano indu-strialmente dei componenti per circuiti aventi il valore di resistenza desiderato, in forma di piccoli cilindri con dentro ossidi metallici e carbone, aventi due terminali metallici. Ec-cettuati tali dispositivi specifici, i componenti circuitali non sono in genere ohmici: non è oh-mico, come vedremo, un condensatore: raddoppiando la tensione ai suoi capi non si ha il raddoppio della corrente che entra ed esce. Una batteria non è ohmica: la differenza di po-tenziale ai suoi capi si mantiene costante, indipendentemente dall corrente al suo interno. Dobbiamo quindi ricordare che la validità della legge /I V R è limitata ai soli com-ponenti circuitali costruiti appositamente, quali le resistenze.

Esercizi 5. Un elettrodotto è costruito con dei cavi di rame di sezione mm22.50A . Ad una distanza ignota d dalla centrale elettrica un guasto pone in contatto i cavi, così che questi formano un unico percorso avanti e poi indietro lungo 2d . Per individuare la posizione del guasto senza ispezionare la linea, si decide di applicare una differenza di potenziale V100V fra i capi alla centrale, e si osserva che viene prodotta nei cavi una corrente A2.60I . Calcolare la distanza d alla quale dev’essere inviata la squadra di riparazione. I due cavi in contatto hanno nel loro insieme una resistenza R che può essere calco-lata tramite la prima legge di Ohm:

V A

10038.5

2.60

VR

I

dalla seconda legge di Ohm si ricava invece una formula per d :

2

2

d RAR d

A

Il valore della resistività del rame può essere letto dalla tabella precedente, mentre per l’area dobbiamo trasformare in metri quadrati:

m81.69 10 mm m2 6 22.50 2.50 10A Inserendo tutti questi valori abbiamo:

m m km38

638.5 2.50 10

2 22.85 10 2.85

1.69 10

RAd

6. Si deve realizzare una resistenza di 20.0 utilizzando del filo di alluminio avente diametro cm0.0240d . Calcolare quanti metri di filo occorrono. [R: m32.9 ] Come possiamo valutare i trasferimenti di energia che hanno luogo in un circuito? Percorrendo un filo nel verso della corrente elettrica, poiché il campo E

punta nl verso

in cui V decresce, il valore del potenziale diminuisce gradualmente, partendo dal va-lore che assume nel polo positivo della batteria fino ad arrivare a quello nel polo ne-gativo. Questa variazione continua di potenziale genera il campo che accelera gli elettroni di conduzione, i quali guadagnano così energia cinetica. L’energia cinetica viene da loro ceduta lungo il tragitto sotto varie forme, ad esempio quando urtano il

simbolodella resistenza

R

+V

V

6V

2V3V

4V

5V

1V

E

E

E

E

dispositivo

elettrico

1 2

:

...

E punta nel verso

in cui il potenziale decresce

V V V V

d

240

reticolo di cariche positive e questo, posto in vibrazione, aumenta la sua temperatu-ra, oppure quando viene convertita in energia meccanica nei motori elettrici. In ogni caso, fra i capi di un dispositivo in cui passa una corrente I c’è una differenza di potenziale

V , e la corrente è diretta, come il campo elettrico, dai potenziali maggiori verso i minori. Ora, mentre il valore di I ci informa su quanti coulomb di carica passano ogni secondo, la differenza V ci dice quanta energia ciascun coulomb di carica consegna al dispositivo stesso. Infatti V esprime il cambiamento di energia potenziale per unità di carica prima e dopo il passaggio nel dispositivo, quindi è l’energia che gli elettroni hanno ceduto al dispositivo stesso. Possiamo scrivere una formula che esprima la potenza del dispositivo cioè l’energia che viene trasferita ogni secondo dalla batteria al dispositivo utilizzatore:

numero di coulomb energia che ciascun coulombpotenza

che passano ogni secondo consegna al dispositivo

sostituendo i simboli alle parole, ed usando per la potenza la lettera P :

P I V Nel Sistema Internazionale, all’unità di misura dell’energia per unità di tempo è asse-gnato il nome watt ed il simbolo W , cioè W A V /s1 1 1 1J . Per far funzionare dispositivi elettrici quali lampadine, motori eccetera viene quindi trasferita energia dal generatore verso gli utilizzatori: più energia si consegna ad un utilizzatore nell’unità di tempo, maggiore è il lavoro che questo potrà eseguire ogni secondo. La formula P I V mostra che a garantire una potenza elevata non è né una grande caduta di potenziale né una grande corrente, ma un elevato valore del loro prodotto Esercizi 7. Un motore elettrico utilizza una corrente di A2.00 quando ai suoi capi viene sta-bilita un differenza di potenziale di V6.00 . Calcolare l’energia che occorre per farlo funzionare un quarto d’ora. Possiamo tradurre i dati numerici del problema in linguaggo colloquiale dicendo che ogni secondo il motore viene attraversato da un quantitativo di carica pari a C2.00 , e che ognuno di questi coulomb cede al motore stesso un’energia di 6.00J . Pertanto la potenza del motore, cioè l’energia che esso utilizza ogni secondo, risulta:

A V W2.00 6.00 12.0P I V moltiplicando la potenza per l’intervallo temporale di un quarto d’ora, espresso in secondi, si ha l’energia complessivaP t necessaria al motore:

s s (15 60) 900t

W s 412.0 900 1.08 10 JP t Come si scrive il bilancio dell’energia per una resistenza? La formula P I V è valida per qualsiasi dispositivo elettrico, ma nel caso di un dispositivo ohmico, come una resistenza di valore R , possiamo inserire in essa la prima legge di Ohm V RI ed ottenere le due espressioni equivalenti:

2P I R 2V

PR

da usare a seconda che sia nota I oppure V .

La Controfisica Per visualizzare la formula P=I∆V pensiamo all’energia come a dei pa-nini a bordo di tanti furgoni. Un furgone sarà 1 coulomb di carica, ed il numero di panini che contiene, l’energia che esso trasporta. Ponia-mo che I indichi quanti furgoni consegnano il pane ad un supermer-cato ogni secondo, mentre ∆V sia il numero di panini trasportati da cia-scuno. Il prodotto del numero di furgoni al secondo per il numero di panini a bordo di ciascuno, produce il numero di panini che ogni secon-do sono consegnate al supermercato, cioè l’energia che esso riceve ogni secondo.

La Controfisica Quando acquistiamo il lavoro dalle compagnie elettriche, lo paghiamo mediamente qualche decina di cente-simi di euro al kilowattora. Il conta-tore energetico di una abitazione normalmente eroga una potenza massima di 3.3kW. Utilizzatori ter-mici o che compiono lavoro mecca-nico, come forni, scaldabagno, lava-stoviglie, stufe, lavatrici consumano una potenza che va da 1kW a 3kW , mentre dispositivi più piccoli come lampadine, televisori e PC potenze da 20W a 200W circa.

PANEPANE

241

Cos’è un kilowattora? È un’unità di misura per il lavoro usata commercialmente al posto del joule, e che si riferisce al tempo misurato in ore. Il kilowattora è formato da mille wattora (simbolo Wh ), ed il lavoro in wattora si ottiene moltiplicando la potenza in watt per il tempo espresso in ore. Ad esempio per tenere accesa un’ora e mezza una lampadina da W100 occorre un lavoro di

Wh Wh(1.5 100) 150 . Poiché in un’ora vi sono s3600 , se lavoriamo alla potenza di un watt, in un’ora abbiamo prodotto un lavoro di Wh3600J 1 , quindi :

kWh 61 3.6 10 J

Esercizi 8. Un asciugacapelli elettrico da W800 funziona sfruttando l’effetto joule che riscal-da un filamento di resistenza R . Sapendo che la tensione di rete a vale V220 si cal-coli R ed il valore della corrente al suo interno. Usando entrambe le formule valide per la potenza dissipata da un conduttore ohmi-co si ha:

2 2 2220

60.5800

V VP R

R P

A A2 8003.64

60.5

PP I R I

R

9. Calcolare quanto costa complessivamente tenere accesa una lampada da W100 per dodici ore ed una stufa da kW1.50 per quattro ore, sapendo che la compagnia elettrica vende l’energia a 30 centesimi al kilovattora. Esprimere il consumo energeti-co anche in joule. [R: euro72.59 10 J,2.16 ] 10. Calcolare la resistenza e l’intensità di corrente in uno scaldabagno da kW0.950 di potenza collegato alla rete casalinga a V220 . Calcolare quanti joule e quanti kilo-vattora di energia consuma se viene tenuto acceso per tre ore. Calcolare quanta po-tenza dissiperebbe se venisse collegato ad un impianto dove la tensione vale V150 . [R: A kWh W750.9 ,4.32 ,1.03 10 J,2.85 , 442 ] 11. Un bollitore elettrico collegato alla rete domestica a V220 funziona sfruttando l’effetto Joule in una resistenza da 50.0 . Esso viene utilizzato per portare la tempe-ratura di kg2.50 di acqua da C20.0 fino a C95.0 . Si calcoli per quanto a lungo dev’essere tenuto acceso il bollitore, supponendo trascurabile l’acqua evaporata, e ricordando che il suo calore specifico è /kg C4186J . [R: minuti13.5 ] Che relazione c’è fra potenza, resistenza e luminosità in una lampadina? La potenza dissipata da una lampadina ad incandescenza ne determina la luminosi-tà: una lampada da W100 è più luminosa di una da W60 . Una maggiore potenza implica una minore resistenza dato che /2P V R ed il valore della resistenza fi-gura a denominatore. Le lampadine ad incandescenza però non seguono bene la leg-ge di Ohm perché la loro resistenza diminuisce con la temperatura. Infatti al crescere della temperatura si rendono liberi molti più elettroni che vanno ad aggiungersi al mare di conduzione. Una lampada alogena (vedi a lato) a W70 che funziona alla differenza di potenziale V220 , quando è accesa (e cioè la temperatura del filamento sta ad oltre

C2500 ) ha una resistenza di 50 . Per la stessa lampada, a freddo, usando le leggi di Ohm si ha: / / 2 2(220 70) 691R V P .

La Controfisica Una lampada alogena ha il bulbo riempito di un gas alogeno, come lo Iodio, il Kripto, lo Xeno. Questi hanno la proprietà di aggregare a sé facilmente un elettrone prendendolo da altre sostanze, allo scopo di com-pletare l’orbitale più esterno dell’atomo. Un alogeno nel bulbo quindi raccoglie le particelle di tung-steno evaporate dal filamento, forma un alogenuro di tungsteno, che suc-cessivamente si rideposita sul fila-mento e ne prolunga la vita ripor-tandovi gli atomi liberati.

242

Perché l’energia elettrica viene trasportata a differenze di potenziale elevate? Spostare energia elettrica dalla centrale dove viene prodotta, fino alle nostre abita-zioni, richiede una linea di trasmissione, cioè un apparato di fili lungo anche molti chi-lometri, che stabilisca un collegamento elettrico fra le due località. Poiché questo enorme circuito è caratterizzato anch’esso da una sua resistenza complessiva, nel tragitto una frazione dell’energia prodotta sarà dissipata nell’effetto joule di riscal-damento dei fili della linea. Esercizi 12. Stimare la potenza che si dissiperebbe per trasportare energia ad un appartamen-to che utilizza A100 , partendo ad una centrale elettrica distante km1 , se il trasfe-rimento avvenisse alla normale differenza di potenziale di V220 della rete casalinga. Si assuma che i fili di rame abbiamo una resistenza di 8 ogni chilometro. Portare energia ad km1 dalla centrale richiede km2 di filo, e se il trasporto avve-nisse con una differenza di potenziale di V220 anche fra i cavi di trasmissione, do-vremmo avere la loro interno la stessa corrente di A100 utlizzata in casa. Quindi si dissiperebbe una potenza:

W W2 2 5100 (8 2) 1.6 10P I R , cioè quasi dieci volte maggiore di quella resa disponibile a V220 nell’ appartamen-to: W W4(100 220) 2.2 10P IV . La potenza si esprime nella forma P I V , quindi una stessa P può essere tra-sportata nella linea tramite diversi di valori di differenza di potenziale e di corrente, purché abbiano lo stesso prodotto I V . Proponiamoci quindi di scoprire quali so-no i valori di I e V che permettono di trasferire quanto più possibile inalterata una certa potenza P dalla centrale all’utilizzatore finale, cioè di rendere minima la dissipazione nel trasporto. Schematizziamo l’elettrodotto che trasmette l’energia con un’unica resistenza complessiva TR che comprenda l’effetto di tutti i cavi5. La po-

tenza dissipata per riscaldamento risulta6 allora 2TI R . Pertanto se vogliamo che ar-

rivi ai punti di utilizzazione una potenza P , dalla centrale dobbiamo immettere nel-la linea una potenza maggiore, cioè 2

TP R I , che contenga anche la parte destinata ad essere dissipata. Chiamiamo efficienza della linea di trasmissione il rapporto:

2T

P

P R I

potenza che giunge alle abitazioniefficienza =

potenza totale erogata dalla centrale

come si vede tale rapporto èsempre minore di 1, e più grande esso risulta, migliore è il trasferimento di potenza. Nel caso ideale in cui l’efficienza valga 1 , tutta la po-tenza erogata dalla centrale è disponibile alle abitazioni. Per aumentare l’efficienza possiamo ridurre la resistenza della linea? Riducendo il valore di TR , diminuisce 2

TI R e potremmo in tal modo raggiungere facilmente il nostro scopo di diminuire la dissipazione. Questa soluzione non è tutta-via praticabile oltre un certo limite, in quanto, come si vede dalla seconda legge di

5 La resistenza dei cavi degli elettrodotti è dell’ordine di qualche ohm ogni chilometro. 6 L’altra espressione /2

T TV R non può essere utilizzata se non si conosce la differenza di potenziale TV ai capi di

TR , che è pari alla differenza fra il V che si ha alla centrale e il UV che i ha nel punto di utilizzo.

La Controfisica La scelta di ridurre la resistenza dei cavi aumentando la loro sezione fu uno dei motivi per cui le centrali elettriche di Thomas Edison perse-ro la cosiddetta “guerra delle cor-renti”. L’America della seconda metà dell’Ottocento vide contrappo-sti due sistemi di trasmissione dell’energia elettrica: quello di Edi-son e quello del fisico Nikola Tesla (e l’industriale George Westinghou-se). Il sistema di Tesla mirava a ri-durre le dissipazioni negli elettrodot-ti alzando la tensione di trasporto, quello di Edison invece diminuendo la resistenza dei cavi aumentandone la sezione. Quando il prezzo del rame sul mercato s’impennò, Edison si trovò in grande svantaggio rispetto al suo concorrente. Prima di capito-lare egli tentò la via di gettare discre-dito sull’alta tensione di Tesla, fa-cendo leva sulla pericolosità di quel sistema. Nel tentativo di risvegliare la paura collettiva, Edison eseguì delle pubbliche dimostrazioni di come gli animali venivano folgorati dall’alta tensione (il video Electrocuting an elephant del 1905 è tutt’oggi dispo-nibile sul web). Quando poi gli ven-ne chiesto di progettare un dispositi-vo moderno per le esecuzioni capita-li, egli realizzò la sedia elettrica, ap-positamente concepita per utilizzare l’alta tensione di Tesla.

243

Ohm /R L A , perché un cavo abbia bassa resistenza, dev’essere grande la sua se-

zione A e quindi grande il suo peso. Ad una riduzione eccessiva di TR consegui-rebbero enormi difficoltà tecniche nella realizzazione della linea stessa, e un incre-mento notevole dei costi del materiale. La soluzione consiste quindi nel ridurre quanto più possibile la corrente I nella linea, mantenendo però fissa la potenza traspor-tata. Dall’equazione P I V vediamo che un basso valore di corrente richiede un elevato valore della differenza di potenziale, in modo che resti costante il loro pro-dotto. Per questo motivo le linee di trasmissione sono sempre in alta tensione, cioè con valori di V che possono raggiungere anche i V300000 . Valori così elevati di dif-ferenza di potenziale non sono però pratici nelle centrali e nei punti di utilizzazione, quindi si fa uso di dispositivi che alzano la tensione quando l’energia viene immessa nella linea di trasmissione, e la riabbassano in prossimità dei punti di utilizzo7. Esercizi 13. Una centrale elettrica deve fornire ad uno stabilimento industriale una potenza

kW180P facendo uso di cavi la cui resistenza complessiva vale 0.200TR . Si calcoli se sia più conveniente far giungere l’energia ad una differenza di potenziale di V480 allo stabilimento, oppure di V120 , confrontando l’energia dissipata nei due casi e l’efficienza della linea di trasmissione. Se vogliamo che lo stabilimento fruisca, in entrambi i casi, di una stessa potenza

kW180P , la corrente complessiva che lo attraversa dovrà avere un valore diver-so a seconda della differenza di potenziale che si sceglie:

W V A A3

3 3180 10180 10 (120 ) 1.50 10

120P V I I I

W V A A3

3 180 10180 10 (480 ) 375

480P V I I I

questo stesso valore di corrente percorre i cavi, dissipando nei due casi: W kW2 3 2[(1.50 10 ) 0.200] 450dissP I R

W kW2 2[375 0.200] 28.1dissP I R pertanto nei due casi la centrale dovrà erogare una potenza complessiva:

kW kW kW180 450 630TOT dissP P P

kW kW kW180 28.1 208TOT dissP P P e come si riconosce facilmente, l’efficienza della linea di trasmissione è maggiore se il potenziale è più alto:

W W W W

180 1800.286 28.6% 0.865 86.5%

630 208TOT TOT

P P

P P

Come si scrive il bilancio dell’energia per una batteria? La batteria restituisce l’energia iniziale ad ogni coulomb di carica che ha terminato il percorso. Ciascun pacchetto da un coulomb fa il pieno di energia al polo positivo, compie un percorso e raggiunge il polo negativo solo quando ha vuotato completa-mente il “serbatoio”, e qui la batteria provvede nuovamente a riempirlo. Per farlo at-tinge all’energia di alcune reazioni chimiche, quindi, mentre gli utilizzatori estraggo-no energia potenziale elettrica dalle cariche per convertirla in forma meccanica o termica, la batteria preleva energia dalle reazioni chimiche e la trasferisce alle cariche come energia potenziale elettrica. L’energia che la pila consegna ad ogni coulomb di ca-rica si chiama “forza” elettromotrice della pila o fem , più precisamente si dice: 7 Questi dispositivi, detti trasformatori, però funzionano solo per correnti la cui intensità varia nel tempo come una sinu-soide, che vengono dette correnti alternate.

La Controfisica Nell’analogia proposta in preceden-za, la fem esprime il numero di pa-nini che vengono caricati su ogni camion dal fornaio.

PANEPANE

simbolodella batteria

V300000

V220

centrale

244

Forza elettromotrice di una pila ( fem ) Il lavoro svolto dalla pila per portare un coulomb di carica dal terminale negativo al terminale positivo, contro le forze del campo elettrico. Come si capisce dalla sua definizione, la “forza” elettromotrice non è una forza, ma un lavoro per unità di carica, pertanto la sua unità di misura è il volt, come per il potenzia-le. Essa porta un nome inadeguato perché concepito al tempo in cui gli scienziati non avevano ancora ben chiaro il funzionamento dei circuiti elettrici. Che relazione eiste fra la fem e la differenza di potenziale tra i poli della batteria? La differenza di potenziale V V V fra i terminali della batteria è uguale pro-

prio alla sua fem perché, pensando ad un coulomb di carica che parte fermo nel po-lo negativo, e giunge fermo al positivo, il teorema dell’energia cinetica ci assicura che è nullo il lavoro totale eseguito su di esso. Poiché tale lavoro è composto di quello motore da parte del campo generato dalle reazioni chimiche nella pila ( femL ) e di quello resistente da parte del campo elettrico (L V ), si ha:

0TOTL V K V V V fem fem

Tuttavia l’interpretazione che si deve dare della differenza di potenziale misurata fra i capi di una batteria, è concettualmente opposta a quella relativa al valore V ai capi di una resistenza. Infatti, mentre in un utilizzatore l’energia viene prelevata da ogni coulomb di carica e consegnata al dispositivo (che la trasforrma in energia meccanica o la cede in forma di calore), nella pila l’energia viene sottratta al dispositivo (cioè alla reazione chimica) e trasferita alle cariche. Come funziona una batteria? Come sappiamo, l’energia non può essere creata, e la batteria non fa eccezione: essa semplicemente la estrae da quella stipata nei legami chimici delle sostanze, sfruttando la differenza fra livelli energetici in materiali diversi. Praticamente qualsiasi coppia di conduttori solidi, detti elèttrodi, può funzionare - più o meno efficacemente - come batteria. È sufficiente immergerli in una opportuna soluzione liquida, oppure in una pasta conduttrice, detta elettrolìta: ad esempio alluminio e rame in acqua e sale, zinco e grafite in succo di frutta, una moneta di rame ed un chiodo di zinco infilati in un limone, od in una patata (meglio se bollita), e così via. I due elettrodi si sciolgono pian piano nella soluzione elettrolita, cioè perdono alcuni ioni positivi del reticolo cristal-lino perché ciò risulta conveniente dal punto di vista energetico, e così rimane su di loro un eccesso di elettroni. Siccome sostanze diverse vengono intaccate dalla solu-zione elettrolita in maniera differente, uno dei due elettordi finisce per rilasciare ioni positivi in misura maggiore dell’altro, ed acquistare quindi un maggior eccesso di elettroni. Ad esempio nella pila di rame (Cu) e zinco (Zn) in soluzione di acido solfo-rico ( 2 4H SO ), l’elettrodo di zinco finisce per essere più ricco di elettroni rispetto a quello di rame, e quindi diviene negativo rispetto ad esso. L’eccesso di elettroni con-ferisce un potenziale elettrostatico alla sostanza utilizzata: si usa misurare questi po-tenziali elettrodici rispetto ad un elettrodo di riferimento8: i conduttori meno carichi di elettroni rispetto a lui hanno potenziali positivi, quelli più carichi di elettroni hanno potenziali negativi, come in tabella. Una coppia di elettrodi in soluzione viene detta cella: la forza elettromotrice di una cella non dipende dalla sua grandezza, ma solo dalla

8 Si tratta del cosiddetto elettrodo di idrogeno cioè una barra di platino in una qualunque soluzione acida che gorgoglia idro-geno attorno ad essa.

I

elettroni

carbone

zinco

pasta di clorurodi ammonio

zinco

rame

membranaporosa

acidosolforico

SO4

++

Zn

-e -e

Lo zinco perde più ioni positivi quindi Adiviene negativo rispetto al rame. Gli e-lettroni ristabiliscono la neutralità pas-sando al rame per il filo, e qui neutraliz-zano gli ioni ++ di rame in soluzione, chesi depositano sull'elettrodo. Ad impedire che la soluzione diventi positiva presso il rame e negativa presso lo zinco c'è un setto poroso che fa passare solo gli ioni negativi

di acido SO in eccesso 4 .

++

Cu

elettroni

E

E

E

E

245

V

V V

V

V

V V

V

V V

V

V

3.04

2.93

2.71

1.66

0.76

0.45

0.13

0.34

0.80

0.80

1.18

1.30

litio

potassio

sodio

alluminio

zinco

ferro

piombo

rame

mercurio

argento

platino

oro

potenzialesostanza elettrodico

differenza fra i potenziali elettrodici. Più celle collegate formano una pila od una bat-teria a seconda della disposizione geometrica: qui useremo i termini come sinonimi. Esercizi 14. Calcolare la forza elettromotrice di una cella di rame e zinco, cioè una coppia di elettrodi di tali materiali immersa in soluzione elettrolitica di acido solforico. Come si legge in tabella, il potenziale del rame rispetto all’elettrodo di riferimento vale V0.34 mentre quello dello zinco V0.76 quindi la differenza di potenziale fra i due, a vuoto, quando sono immersi in una stessa soluzione vale:

V V(0.34 0.76) 1.10 fem Che significato hanno le varie dimensioni delle pile? La forza elettromotrice è stabilita dalla chimica dei materiali, però più estesi sono gli elettrodi, maggiore è la carica che essi rilasciano, e cioè la corrente che da quella cella si può ottenere. La diffusissima cella a zinco e carbone, ha una forza elettromotrice di

V1.5 . Essa viene commercializzata in diverse dimensioni, corrispondenti a differen-ti capacità di corrente, una grandezza che viene misurata in amperora Ah( ) , e che esprime la carica massima erogabile dalla cella. La dimensione più piccola, detta mini-stilo, è da circa Ah0.6 : questo numero indica la possibilità di servirsi della pila per generare una corrente da A0.6 per un’ora, oppure da A0.3 per due ore e così via. La dimensione più grande, detta torcione, è invece da 8 Ah . Come possiamo collegare più celle? Più celle possono essere messe in serie, cioè con i poli in contatto a segni alternati, in modo da addizionare le forze elettromotrici, ad esempio dentro ad una radio dove occorrono V4.5 oppure V6.0 . La configurazione in serie non aumenta la massima corrente che possiamo produrre: batterie in serie sono attraversate dalla stessa cor-rente, pari a quella che ne produrrebbe una sola. Se invece colleghiamo più celle in parallelo, cioè con i poli di segno uguale tutti connessi fra loro, è come se formassi-mo una nuova batteria, ai cui capi risulta la stessa differenza di potenziale di ciascu-na di esse, ma capace di produrre una corrente che è la somma di quelle generate dalle singole. 15. Si deve costruire una batteria per un motorino che richiede A2.0 alla tensione di

V3.0 . Avendo a disposizione celle da V1.5 , in ciascuna delle quali non deve aversi più di A1.0 di corrente, che configurazione possiamo utilizzare? Quanto durerà la batteria, se ciascuna cella ha una capacità di corrente di Ah2.0 ? Per rispettare il vincolo di A1.0 di corrente per cella, occorrerà disporre almeno due celle in parallelo. Ai capi del parallelo avremo la stessa tensione della singola cella, cioè V1.5 : per arrivare ai V3.0 richiesti dal motore dobbiamo porre in serie due blocchi da due celle in parallelo, in modo da addizionare le differenze di potenziale. La configurazione è proposta a lato. Poiché in ogni cella abbiamo A1.0 di corrente e la capacità di corrente è Ah2.0 , le singole celle cessano di funzionare dopo due ore, e con esse l’intera batteria. 16. Due celle, ognuna di forza elettromotrice V1.50 e capacità di corrente Ah0.600 , poste in serie, fanno passare in un dispositivo elettrico 182.00 10 elettroni al secondo. Calcolare il valore della corrente, della potenza erogata, e per quanto il dispositivo resterà acceso prima di scaricarle. [R: A W h0.320 , 0.960 ,2.00 ]

La Controfisica Una batteria “stilo” da 1.5V costa 40cent e può erogare 1.1Ah. Se le facciamo produrre una corrente da 1.1A per un’ora eroga una potenza:

VI = (1.5V)(1.1A) = 1.65 W e cioè 1.65Wh di energia, che ci co-stano 40cent. Se volessimo acquista-re 1 kWh in batterie spenderemmo:

(1000/1.65)0.40 = 242 euro Cifra da confrontare con i 30cent al chilovattora ai quali viene venduta l’energia domestica.

V1.5

V1.5

parallelo

serie

V0

V1.5 V3 V4.5

2A

V3.0

2A

V1.5

V1.51A 1A

246

3. Le leggi dei circuiti L’avvento della corrente elettrica ha reso possibile all’uomo trasportare rapidamente energia a distanze che possono essere anche molto grandi. Le cariche di segno diver-so vengono separate in continuazione da dipositivi come le batterie ed i generatori: le batterie si avvalgono di reazioni chimiche per rimuovere continuamente elettroni dal terminale negativo e portarli su quello positivo, i generatori invece realizzano lo stesso scopo sfruttando i fenomeni del magnetismo, che studieremo più avanti. La se-parazione di carica è un modo di incamerare energia, che poi verrà rilasciata nei modi che vogliamo noi ed alla distanza che desideriamo dal generatore. Uno di que-sti modi è far scorrere gli elettroni dentro ad un filo, spinti dal campo elettrico che punta da regioni a maggior potenziale verso quelle a valori minori. Durante lo spo-stamento parte della loro energia viene trasformata in agitazione termica delle parti-celle nel filo, il quale si riscalda. L’effetto di riscaldamento può essere sfruttato diret-tamente, in dispositivi come le stufe elettriche, od indirettamente, arrivando ad emis-sioni luminose come nelle lampadine ad incandescenza. La combinazione dei dispo-sitivi elettrici in cui passa corrente è detta circuito: scopriremo adesso in che modo i principi fisici dell’elettricità si traducono in alcune leggi specifiche che governano il comportamento dei circuiti, dette leggi di Kirchhoff. Quali elementi geometrici si possono individuare in un circuito? Lo studio dei circuiti risulta facilitato se si individuano, al loro interno, tre strutture geometriche fondamentali, che permettono di tradurre in modo semplice le leggi fondamentali dell’elettricità. Queste strutture sono: NODO: un punto del circuito in cui confluiscono tre o più conduttori. RAMO: un tratto di circuito compreso far due nodi consecutivi. MAGLIA: un percorso chiuso nel circuito che non ripassi negli stessi punti. Esercizi 17. Si individuino quanti sono i nodi, i rami e le maglie del circuito a lato. Dalla figura emerge che tre conduttori confluiscono solo nei punti C, E, H, G, che quindi sono gli unici nodi del circuito. Per quanto riguarda A, B, D, F si tratta di an-goli retti disegnati per comodità grafica, ma che nella realtà sono interni ad un unico conduttore. Senza alterare il significato fisico del disegno, A, B, D, F potrebbero es-sere sostituiti da tratti curvi. Individuati i nodi consecutivi, si hanno quindi i quattro rami GC (passante per A, B e la batteria), GE, CE, EH, HC. I possibili percorsi chiusi che non ripassano per gli stessi punti sono invece le sette maglie ABCGA, ABDFA, ABDEHGA, CDEHC, HEFGH, CDFGC, ABCHEFA. La conservazione della carica regola il valore della corrente nei circuiti? Ogni ramo, anche se al suo interno contiene più elementi, deve essere visto come un unico conduttore ininterrotto. Quindi il flusso di carica in un ramo non può cambiare da punto a punto perché gli elettroni di conduzione non hanno modo di uscire od entrare. In un circuito avremo quindi tanti diversi valori di corrente quanti sono i suoi rami. Entrando in un nodo la corrente si divide, ma la legge di conservazione della carica prevede che istante per istante non possa uscire dal nodo un quantitativo di carica diverso da quello che vi è entrato. In caso contrario infatti, dovremmo supporre delle sorgenti o dei pozzi nel nodo stesso, ed inoltre un accumulo – positivo o negativo - fermerebbe la corrente. Pertanto la legge di conservazione della carica si traduce nella seguente proprietà dei circuiti:

La Controfisica Di carattere solare e gioioso, il fisico tedesco Gustav Kirchhoff (1824-1887) passò buona parte della sua vita sulla sedia a rotelle in seguito ad un incidente.

simbolo della

batteria simbolo del

generatore

A B

C

DEF

G H

1I

2I

3I

4I

nodo

1 2 3I I I

3 4I I punto

247

Legge di Kirchhoff dei nodi La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

entranti uscentiI I

Esercizi 18. Calcolare il valore della corrente 4I in relazione ai valori in figura, e ripetere il

calcolo nel caso in cui raddoppi d’intensità la corrente 1I . La somma delle correnti entranti nel nodo in figura deve essere uguale alla somma delle correnti uscenti, quindi:

1 4 2 3I I I I sostituendo i valori otteniamo:

A A A A A A A4 46 4 3 6 4 3 1I I

Raddoppiando il valore di 1I invece abbiamo:

A A A A A A A4 412 4 3 12 4 3 5I I

Il che significa che 4I non può essere entrante, come raffigurato, ma uscente. 19. Con riferimento alla figura a margine, sapendo che A2 4.35I e che A3 3.65I

si calcolino le intensità delle correnti 1I ed 4I . [R: A8.00 ] La conservatività del campo elettrico regola le cadute di potenziale nei circuiti? Come sappiamo, la forza elettrostatica, essendo conservativa, compie sempre lavoro nullo su di un percorso chiuso, cioè la circuitazione del campo elettrico vale zero. Se quindi si parte da un punto A e si segue una maglia qualsiasi del circuito, tornati al punto A il potenziale dovrà assumere nuovamente lo stesso valore iniziale AV . La situazione è simile a quello che accade se, partendo dal tetto A di un palazzo dove la nostra altezza rispetto alla strada risulta AV , scendiamo per le scale fino al piano terra, percorriamo un tratto nel cortile, poi risaliamo sul tetto con l’ascensore: al ter-mine del giro non potremmo che ritrovarci ad avere la stessa altezza AV iniziale. Questa proprietà viene di solito espressa dicendo che percorrendo una maglia di cir-cuito, è nulla la somma delle cadute di potenziale, cioè la somma delle differenze V che si hanno scavalcando ciascun componente durante il nostro giro: Legge di Kirchhoff delle maglie La somma delle cadute di potenziale in una maglia di circuito è sempre nulla:

( ) 0magliaV

Come si applica la legge delle maglie? Si percorre interamente una maglia, partendo da un suo punto al cui potenziale si assegna un nome, ad esempio AV . Facendo attenzione a non confondere il verso di percorrenza con quello delle correnti, si somma al valore iniziale del potenziale la caduta

V che ogni volta si ha scavalcando un componente, e quando siamo tornati al ri-sultato di partenza, si impone che il potenziale sia di nuovo AV .

La Controfisica Più in generale, la carica non può accumularsi in nessun punto ed è una quantità conservata, quindi in ogni punto del circuito - non solo nei nodi - la corrente che entra deve essere uguale a quella che esce.

A1 6I

A2 4I

A3 3I

4I

1I

2I

3I

4I

1

2

3

AV

1V

2V

3V

1 2 3A AV V V V V

AV

248

Come si calcola la caduta di potenziale scavalcando una batteria? La caduta di potenziale ai capi di una batteria non dipende dal verso della corrente che l’attraversa. Dobbiamo infatti immaginare ogni batteria come se fosse una scaletta che sale dal polo negativo a quello positivo. Quindi risulta sempre V V fem ,

indipendentemente dal fatto che la corrente segua il verso che vorrebbe la batteria, oppure vada in verso opposto perché viene forzata a farlo da un altro generatore di maggior forza elettromotrice. Allo stesso modo, forzare dell’acqua dentro ad un tubo a risalire un gradino, che invece tenderebbe naturalmente a farla scorrere in verso opposto, non cambia il verso di salita del gradino. Se quindi, percorrendo la maglia, an-diamo dal polo positivo al polo negativo, avremo V V V fem ; viceversa,

scavalcando il generatore dal negativo al positivo, risulta V V V fem .

Come si calcola la caduta di potenziale scavalcando una resistenza? La caduta di potenziale ai capi della resistenza dipende dal verso della corrente che l’attraversa. La resistenza va immaginata come una cascata, dove l’acqua, cioè la cor-rente, va sempre da punti a potenziale più alto verso punti a potenziale più basso. È quindi fondamentale saper distinguere il verso della corrente da quello in cui stiamo girando la maglia e quindi scavalcando la resistenza. Se scavalchiamo R nello stesso verso della corrente abbiamo una caduta V RI , se la risaliamo contro il verso della corrente avremo V RI . Esercizi 20. Applicare il principio delle maglie al circuito in figura, percorrendolo a partire dal punto A, prima in verso orario e poi in verso antiorario. Il giro orario scavalca la resistenza nel verso della corrente, quindi:

2 1f fA AV RI V il giro antiorario scavalca la resistenza contro il verso della corrente, quindi:

1 2f fA AV RI V Come si riconosce subito, le due equazioni sono uguali. Quando due resistenze si dicono collegate in serie? Due o più resistenze si dicono collegate in serie fra un punto A ed un punto B quando, per andare da A a B non incontriamo nodi, e dobbiamo necessariamente passare per ciascuna di esse. Le resistenze in serie sono attraversate dalla stessa corrente. A tutti gli effetti esterni (corrente nella serie, potenza dissipata, differenza di potenziale ai capi della serie) due o più resistenze in serie possono essere sostituite da una sola resi-stenza equivalente ER . Il valore di ER dev’essere tale da permettere il passaggio della stessa corrente I della serie, se sottoposta alla stessa differenza di potenziale della serie. Per le due resistenze in serie qui a lato, percorrendo la maglia abbiamo

1 2f 0V V , da cui:

1 2 1 2 1 2f ( )V V R I R I R R I

e quindi, se si sostituisce al posto di un certo numero di resistenze in serie un’unica resistenza pari alla somma:

1 2...

ER R R

essa assorbirà la medesima corrente 1 2

/( ...)I R Rf e dissiperà la stessa poten-za della serie.

f

V

V

f V V

R

2f

I

1f

AV

IBVAV

A BV V RI

IBVAV

A BV V RI

fI

1R

2R

1RA B

I

2R

249

Come si ripartisce la tensione in una serie di resistenze? Si dice che due o più resistenze in serie costituiscono un partitore di tensione, visto che la tensione complessiva si ripartisce ai capi di ciascuna in modo direttamente proporzionale al valore della resistenza stessa, come si vede dalla formula sopra, in cui 1 1V R I e

2 2V R I , mentre I è la stessa. Una pila consuma di più collegata ad una serie di resistenze o ad una sola di esse? Collegare due o più resistenze in serie è come allungare la prima resistenza: lo si ve-de bene matematicamente osservando che la resistenza equivalente è pari alla loro somma. La resistenza equivalente è quindi più grande della maggiore delle resistenze presen-ti, con la conseguenza che nella serie si ha meno corrente di quella che avremmo nel-le singole resistenze collegate da sole alla stessa batteria. Possiamo fare un’analogia idraulica immaginando di voler svuotare un serbatoio posto in alto, tramite due tu-bature di diversa sezione, saldate in serie. La resistenza maggiore è rappresentata dal tubo più stretto, la minore da quello più largo. Sarà il tubo stretto a determinare il flusso di acqua complessivo, limitando così il liquido che sarebbe fluito attraverso il solo tubo a sezione grande. Se ai capi di una batteria di forza elettromotrice f colle-ghiamo la resistenza equivalente, dissipiamo meno potenza di ciascuna delle singole resistenze collegate da sole, come emerge dalle formule:

/2serie EP R f /2

1 1P R f /22 2P R f

in cui la potenza della serie è la minore essendo quella che ha il maggior denomina-tore. Quindi la pila consuma meno se collegata alla serie. Quando due resistenze si dicono in parallelo? Due o più resistenze si dicono collegate in parallelo fra un punto A ed un punto B quando possiamo andare da A a B attraversando soltanto una qualunque di esse. Ai capi delle resistenze collegate in parallelo è applicata la stessa differenza di poten-ziale. A tutti gli effetti esterni (corrente che entra nel parallelo, potenza dissipata, differenza di potenziale complessiva ai capi del parallelo) due o più resistenze in parallelo possono es-sere sostituite da un’unica resistenza equivalente ER . Il valore di ER dev’essere tale da permettere il passaggio della stessa corrente complessiva I quando viene sottoposta alla stessa differenza di potenziale ai capi del parallelo. Con riferimento alle due resistenze in parallelo nel circuito a lato, applicando la legge dei nodi al nodo A :

1 21 2 1 2

1 1I I I

R R R R

f ff

e quindi sostituendo al posto del parallelo un’unica resistenza di valore ER tale che:

1 2

1 2 1 2

1 1 1E

E

R RR

R R R R R

si ha che quando ER viene sottoposta alla stessa differenza di potenziale f che c’è ai

capi del parallelo, essa assorbirà la medesima corrente 1 2I I I complessiva e dissiperà conseguentemente la stessa potenza del parallelo.

La Controfisica L’impianto di casa è chiaramente collegato in paral-lelo, altrimenti dovremmo ac-cendere sempre tutti i dispositivi per farne funzio-nare uno solo.

f

1R 2R

1I 2II

A

1R

A

B

2R

2R

1R

V220

250

Come si ripartisce la corrente in un parallelo di resistenze? Si dice che più resistenze in parallelo costituiscono un partitore di corrente, in cui la corrente complessiva che entra nel nodo del parallelo si ripartisce in maniere inversamente proporzionale alle resistenze stesse, come si vede dalle formule usate sopra, in cui

/1 1I R f ed /2 2I R f . Quindi in un parallelo di due resistenze di cui una è molto più grande dell’altra, la corrente in quella grande può essere trascurata, cioè si com-mette solo un piccolo errore se si assume che la resistenza equivalente coincida con la minore delle due. Una pila consuma di più collegata ad un parallelo di resistenze o ad una sola di esse? Collegare una seconda resistenza in parallelo ad una prima è come fornire alla batte-ria una nuova strada attraverso cui può far scorrere carica. In un’analogia idraulica possiamo pensare ad un serbatoio che si svuota in una vasca, al quale viene aggiunto un secondo rubinetto 2R affiancato al primo 1R : come il flusso di acqua cresce, così cresce la corrente. Questo si vede bene matematicamente osservando che la resisten-za equivalente alla serie:

1 2 21

1 2 1 2E

R R RR R

R R R R

è più piccola della minore delle resistenze presenti (quindi fa passare maggior corrente a parità di V ). Supponendo infatti che la minore resistenza sia 1R , si vede nella

formula che essa viene moltiplicata per il fattore 2 1 2/( ) 1R R R . Per quanto ri-

guarda la potenza, se ad una stessa pila di forza elettromotrice f colleghiamo un pa-rallelo di resistenza equivalente ER , oppure le singole 1R ed 2R si ha:

2/parallelo E

P Rf 21 1

/P Rf 22 2

/P Rf

e si vede che la potenza del parallelo è la maggiore, essendo quella che ha il minor denominatore. Quindi la pila consuma di più se collegata al parallelo. In altri termi-ni, come da un serbatoio posto in alto esce più acqua se gli faccio un secondo buco, così la batteria è costretta ad erogare più potenza nel parallelo rispetto a quanto fa-rebbe mettendo una sola delle due resistenze. Esercizi 21. Con riferimento alla figura, calcolare il valore della resistenza equivalente ad

1 150R , 2 250R ed 3 350R da connettere ai terminali della batteria Vf 12.0 . Calcolare l’energia dissipata dal circuito in mezz’ora di utilizzo.

Il circuito presenta due nodi e tre rami. Le resistenze 2R ed 3R sono poste di segui-to sullo stesso ramo e quindi in serie. Sono equivalenti a:

23 2 3 (150 250) 400R R R

valore, come si vede, maggiore di ciascuna delle due resistenze. A sua volta 23R si

trova in parallelo ad 1R quindi le due sono equivalenti a:

1 23123

1 23

150 400109

150 400

R RR

R R

valore inferiore a ciascuna delle due resistenze in paralellelo. 123 109R è la resi-stenza equivalente al circuito dal punto di vista dei terminali della batteria. La po-tenza dissipata risulta:

La Controfisica La resistenza equivalente ad un pa-rallelo è più piccola della più piccola delle resistenze presenti: ad esempio, la resistenza equivalente ad un paral-lelo di due resistenze uguali ad R vale R/2, di tre resistenze uguali ad R vale R/3 e così via.

1R

2R

f3R

2R1R

251

W W2 2 2

123 123

f 12.01.32

109

VP

R R

e quindi in mezz’ora di utilizzo, pari a s1800 , il circuito consuma: 3(1.32 1800)J 2.38 10 JP t

22. Dopo aver trovato la resistenza equivalente vista dai terminali della batteria, si calcoli la potenza dissipata dal circuito a lato, sapendo che 1 500R , 2 250R

ed 3 150R ed Vf 30.0 . [R: W2.84 ] 23. Il circuito qui raffigurato, contenente le tre resistenze 2A B CR R R dissipa una potenza W6.00P . Sapendo che Vf 12.0 si calcoli il valore delle tre resistenze. [R:18.0 ,18.0 ,36.0 ] 24. Si dica se è possibile un circuito con un’unica batteria, in cui a due resistenze in serie viene applicata la stessa differenza di potenziale, e se è possibile un circuito in cui in due resistenze in parallelo ci sia la stessa corrente. [R] 25. Tre resistenze del valore 1 30.0R , 2 40.0R , 3 20.0R sono collegate prima in serie e successivamente in parallelo ad una batteria di fem V24.0 . Calco-lare la differenza fra la potenza dissipata nei due casi. [R: W56.0 ] 26. Si consideri un circuito a forma di cubo avente una resistenza di valore R su ogni spigolo. Si calcoli la resistenza equivalente da porre fra i nodi A e B, ragionando su come si ripartisce la corrente I entrante in A ad ogni nodo lungo il percorso, ed os-servando che il valore di uscita in B dev’essere uguale a quello d’ingresso. [R: 5

6R ]

Cosa succede alla luminosità di due lampadine in serie? La luminosità di una lampadina è espressa dalla potenza da essa dissipata. Se si col-legano in serie ad una battteria due lampadine di uguale resistenza R (come A e B in figura), esse risultano meno brillanti di una delle due collegata da sola alla stessa batteria. Infatti con due lampade in serie aumenta la resistenza complessiva vista dalla batteria, e quindi diminuisce la corrente erogata, passando da /I R f ad

/ /2 2I R I f . La potenza di ciascuna lampada passa allora da 2P RI a 2( ) /4P R I P . Se invece le resistenze delle lampade sono differenti, quanto più

piccola è la resistenza di una rispetta all’altra, tanto meno essa risulterà brillante ri-spetto all’altra, visto che la potenza vale rispettivamente 2

A AP I R e 2B BP I R e

la corrente nella serie è la stessa. Cosa succede alla luminosità di due lampadine in parallelo? Prendiamo in esame il circuito a lato. Prima della chiusura dell’interruttore la corren-te vale /I R f , dopo la chiusura, se le lampade sono di pari resistenza, la corrente

totale raddoppia, divenendo / /( 12

) 2EI R R I f f . Dopo la chiusura, le due

lampadine A e B ora in parallelo, si comportano come segue: (1) Se di uguale resistenza, esse sono brillanti quanto una di esse collegata da sola alla stessa batteria. Infatti la differenza di potenziale ai capi di ciascuna lampada è sempre f e quindi la potenza dissipata da ciascuna ancora /2 Rf . Chiaramente la batteria che deve alimentarle entrambe si esaurisce più rapidamente. (2) Sono più brillanti delle stesse lampadine collegate in serie. Infatti nel caso della serie abbiamo visto che la differenza di potenziale ai capi di ciascuna lampada è minore di

I

I

A

B

f

1R

3R

2R

Af

I

B

A

f

I

B

CR

AR

BRf

252

f , mentre nel parallelo resta sempre pari ad f . Dalla formula /2P V R si vede allora che dissipano maggior potenza quando sono in parallelo (3) Quanto più una delle due ha piccola la resistenza in rapporto all’altra, tanto più è brillan-te, e tanta più potenza deve erogare la pila. Infatti, essendo la differenza di potenziale pari ad f per entrambe, la potenza vale /2

ARf per la prima ed /2BRf per la secon-

da, cioè tanto maggiore quanto minore è il denominatore. Esercizi 27. Le tre lampadine A, B e C sono identiche, e quando sono accese hanno resistenza R . Cosa succede alla luminosità di A e di B se l’interruttore viene chiuso? Quando l’interruttore viene chiuso aumenta la corrente I nella batteria perché si è offerta una via aggiuntiva al passaggio delle cariche dal polo positivo al negativo. Ne segue che A diventa più brillante perché vi passa più corrente di prima. La resi-stenza complessiva e la corrente nella batteria (trascurando la resistenza interna) cambiano da: interruttore aperto: f/2 2A BR R R I R

interruttore chiuso: / / f/( ) (3 2) 2 3A paralleloBCR R R RR R R R I R

e quindi la corrente aumenta di un fattore / f/ / f/ /(2 3 ) ( 2 ) 4 3I I R R . Al contrario B diventa più debole in quanto la nuova corrente 4

3 I si divide in due pozioni uguali

essendo uguale la resistenza che ha di fronte, e così B è attraversata da 1 4 22 3 3I I

cioè due terzi della corrente originale. 28. Le tre lampadine A, B e C sono identiche. Ad un certo momento si brucia il fila-mento di B. Si spieghi cosa succede alla luminosità di A e di C. [R: ,A più fioca C più luminosa ] 29. Un garage con l’impianto a V220 è illuminato da quattro lampadine identiche, e ciascuna da accesa ha una resistenza 60.0R . Per aumentare la luminosità dell’ambiente si decide di disporre le stesse lampadine in parallelo. Calcolare l’incremento di spesa in un’ora di utilizzo (costo dell’energia: cent/kWh30.0 ). [R: euro0.909 ] Una batteria reale ha una sua resistenza interna che dissipa parte della potenza? La batteria ideale fornisce sempre la stessa differenza di potenziale, indipendente-mente dal carico che vi si attacca. Ma come si verifica facilmente, la differenza di po-tenziale ai capi della battteria può decrescere leggermente se si chiede ad essa di ero-gare più corrente: ad esempio quando si tenta di mettere in moto l’auto con i fari ac-cesi. La luce si affievolisce in conseguenza della diminuzione di potenziale ai capi dovuta alla richiesta di maggior corrente per far funzionare anche il motorino di ac-censione. Non va infatti dimenticato che la corrente si stabilisce anche all’interno della batteria stessa, cioè nella soluzione elettrolitica che la costituisce, la quale, come ogni materiale, presenta resistenza al passaggio di carica. Si schematizza allora la batteria reale come composta di una batteria reale in serie ad una resistenza interna, solitamen-te indicata con il simbolo r . Quando la batteria viene chiusa su di un qualunque uti-lizzatore, al passaggio di corrente I nella batteria si deve avere una caduta di po-tenziale I r ai capi della resistenza interna. Questa caduta va sottratta alla forza elettomotrice, e quindi a circuito chiuso si avrà ai capi della batteria la differenza di poten-ziale minore che non a circuito aperto.

A

f

I

B C

fem r

I I

A

fB

C

253

Quando una corrente I va dal polo negativo al polo positivo9 dentro ad una batteria reale, la differenza di potenziale fra i suoi poli è minore della forza elettromotrice:

V rI fem La resistenza interna aumenta con l’utilizzo della batteria, e quando raggiunge un valore tale da impedirne l’utilizzo, diciamo che la batteria è scarica.

Esercizi 30. Una batteria avente V3.60fem ha una resistenza interna 0.300r . Viene collegata ad una resistenza esterna 4.50R . Calcolare la differenza di potenziale che si misura fra i poli della batteria. Le due resistenze, quella interna e quella estena sono in serie, in esse si ha corrente:

A A3.600.800

4.20 0.300I

R r

fem

Quindi fra i poli della batteria si misura: V V(3.60 0.800 0.300) 3.36V rI fem

In che condizioni si può estrarre la massima potenza da una batteria reale? Consideriamo il semplice circuito raffigurato in precedenza, dove ai capi di una bat-teria reale di forza elettromotrice f , avente resistenza interna r , viene collegata una resistenza R , detta anche resistenza di carico. La resistenza interna r non è mai nulla, e fa si che non si possa trasferire al carico R tutta l’energia, ma che una parte di essa venga dissipata all’interno della batteria in forma di calore. Ci chiediamo dunque quale sia il valore di R che permetta di estrarre dalla batteria la potenza massima possibile, oppure, che è lo stesso, di minimizzare le dissipazioni. La corrente nel cir-cuito vale /( )I r R f , da cui si ricavano facilmente sia la potenza fornita ad R , sia quella dissipata da r , entrambe che variano al variare di R stesso:

2 22( )

RR

P I Rr R

f 2 22( )

rr

P I rr R

f

In questa formula, se R è nulla, risulta nulla anche la potenza, mentre all’estremo opposto, quando R è molto più grande di r (così che possiamo porre 0r ), risulta

/2P R f cioè la potenza tende a zero per grandi carichi. Come si vede rappresen-tando la curva, il massimo si ha per R r , cioè la massima potenza viene estratta quando la resistenza esterna eguaglia quella interna. In tali condizioni risulta che alla resistenza R viene trasferita una potenza /2 4P R f . Non va dimenticato però che contemporaneamente, una stessa potenza è dissipata all’interno della batteria, es-sendo il circuito un partitore di tensione che divide a metà fra le due resistenze la forza elettromotrice. Per l’estrazione della massima potenza bisogna pertanto dissi-pare la metà dell’energia in forma di calore nella batteria o nel generatore. Non è quindi detto che porre R r sia la condizione più conveniente: in generale nelle centrali elettriche il carico è maggiore delle resistenze interne, in maniera da mimi-mizzare le dissipazioni. Ma se dobbiamo trasferire un segnale elettrico fino ad un’antenna che lo irraggi, nel trasporto dal generatore ad essa tramite un lungo filo detto cavo coassiale, la resistenza di uscita dal generatore, quella del cavo per unità di lunghezza e quella di ingresso presentata dell’antenna è bene che siano uguali. In tal modo si rende più efficiente il processo perché per il segnale è come se si proseguisse

9Se invece con un generatore esterno, forziamo la corrente ad andare dal polo positivo a quello negativo anche dentro alla batteria, la differenza di potenziale ai suoi capi risulta maggiore della forza elettromotrice, sempre di un valore pari ad Ir.

fem r

R

dissipatanella batteria

P

R

2

4Rf

r

trasferitaad R

254

nello stesso conduttore. In caso contrario si avrebbero indesiderate riflessioni del se-gnale nei punti di raccordo. Lo stesso criterio si segue per il trasferimento di correnti corrispondenti a segnali audio o video. Come si effettua una misura di differenza di potenziale? Il voltmetro è lo strumento che usiamo per misurare la differena di potenziale fra due punti in un circuito: il numero V che esso fornisce ci informa sulla differenza di energia fra un coulomb di carica che entra nella regione considerata ed uno che ne esce. Esso è dotato di due puntali metallici che debbono essere posti in contatto con il circuito nei due punti di ingresso ed uscita che delimitano la regione ai capi della quale desideriamo misurare

V . Perché la misura abbia senso, ai capi del voltmetro dobbiamo avere la stessa diffe-renza di potenziale che c’è ai capi della porzione di circuito in esame, quindi il contatto sarà fatto in maniera che il voltmetro risulti in parallelo rispetto ad essa. Per effettuare la misura lo strumento deve prelevare una frazione I della corrente I presente nel tratto di circuito interessato, frazione che dev’essere la più piccola possibile per non alterare troppo l’oggetto della misura. Pertanto il voltmetro, che è a sua volta un circuito, dovrà offrire una elevata resistenza al passaggio di carica, molto maggiore di quella fra i capi della regione da misurare. Solo così infatti avremo I I . Maggiore le resistenza interna, mi-gliore sarà il voltmetro: un voltmetro ideale avrà resistenza interna infinita.

Come si effettua una misura di corrente? Lo strumento che si utilizza per misurare un valore di corrente in un ramo del circuito è detto amperometro. Il valore I che esso fornisce informa su quanta carica attraversa la se-zione di quel ramo in un secondo. L’amperometro è dotato di due terminali metallici, e poiché deve essere attraversato da una corrente uguale a quella che si desidera misurare, esso deve essere inserito in serie a tutti i dispositivi nel ramo in esame. Per farlo è necessa-rio interrompere materialmente il circuito in un punto e ricollegare fra loro i due capi tra-mite l’amperometro stesso. Per non alterare il valore di corrente da misurare, l’amperometro dovrà pertanto offrire ad esso bassa resistenza, molto minore di quella de-gli altri dispositivi nel ramo. Minore le resistenza interna, migliore sarà l’amperometro: un amperometro ideale avrà resistenza interna nulla.

Esercizi 31. Si trovi il valore di tensione che si legge sul voltmetro in figura ed il valore di corrente che si legge sull’amperometro sapendo che Vf 12.0 , 1 10.0R , 2 22.0R ,

3 16.0R . Le tre resistenze sono in serie e ad esse è posto in serie anche l’amperometro. Assumendo che il voltmetro sia ideale possiamo trascurare la piccola frazione di corrente che esso sot-trae e calcolare la lettura prevista per l’amperometro:

A A1 2 3

f 12.00.250

48.0I

R R R

La lettura V del voltmetro è invece la differenza di potenziale ai capi della serie delle due resistenze 1R ed 2R , che si ottiene moltiplicando la resistenza equivalente alla serie per la corrente nel ramo:

V V1 2( ) [(10.0 22.0) 0.250] 8.00V R R I 32. Si consideri il circuito a lato dove l’interruttore è aperto. Sapendo che Vf 10.0 ,

1 15.0R , 2 25.0R , 3 35.0R si dica che misure si leggono sul volmetro e sull’amperometro. Si calcoli quindi come queste misure variano chiudendo l’interruttore. [R: V A V A10.0 , 0.286 ,3.75 ,0.286 ]

La Controfisica Inserire un voltmetro in un circuito è come bucare un’enorme conduttu-ra di acqua con un tubicino per farvi passare un po’ di liquido e reimmet-terlo subito dopo nel flusso

La Controfisica L’amperometro va inserito in un circuito come farebbe un bambino che desidera entrere in un girotondo, cioè aprendo il cerchio e stringendo una persona nella mano sinistra ed una nella amano destra.

IA

I I V

I I

f

1R

3R

2R

V

A

f

1R

2R

V

A

3R

'simboli

dell amperometro

A

simboli delvoltmetro

V

255

Come si “risolve” un circuito? Supponendo di dover calcolare il valore delle correnti in un circuito di cui siano noti tutti i componenti, si procede seguendo tre passi: (1) Si identificano i nodi nel circuito, e a partire da questi, i rami che li collegano, e si associa un valore di corrente ad ogni ramo. Il verso delle correnti sarà inizialmente a nostro a piacere, purché non risulti che tutte le correnti entrino od escano in uno stesso nodo, che sarebbe impossibile. (2) Si applicano sia il principio dei nodi sia quello delle maglie, finché non si otten-gono tante equazioni quante sono le correnti da determinare (3) Si risolve il sistema così scritto e se una o più correnti risultano avere segno nega-tivo significa che non abbiamo indovinato il verso nella nostra assegnazione iniziale, che quindi provvederemo a cambiarlo sul disegno del circuito. Esercizi 33. Sapendo che nel circuito in figura si ha V1f 12.0 , V2f 15.0 , 1 100R ,

2 200R , 3 300R , si calcoli il valore della corrente in ciascuno dei rami e la differenza di potenziale fra i due nodi che esso presenta. Il circuito presenta solo due punti in cui confluiscono almeno tre conduttori, cioè i nodi A e B in figura. Ci sono in tutto tre percorsi indipendenti che portano da A in B: il ramo che contiene 1f ed 1R , la cui corrente chiamiamo 1I ; il ramo che contiene so-

lo 2R , la cui corrente chiamiamo 2I , ed infine il ramo che passa per 2f ed 3R , alla

cui corrente diamo nome 3I . Scegliamo a nostro piacere un verso per ciascuna di queste tre corrrenti, purché non risultino tutte entranti o tutte uscenti da un nodo, che sappiamo essere impossibile. Per quei versi che si riveleranno non coincidere con quelli reali, otterremo un segno negativo alla fine dei nostri calcoli. Ci occorrono ora tre equazioni indipendenti per ricavare le tre incognite 1I , 2I 3I , la prima delle quali sarà che la corrente entrante in un nodo deve risultare uguale a quella uscente. Scegliamo il nodo A :

1 2 3I I I Osserviamo che non possiamo ottenere un’equazione indipendente da questa appli-cando la legge delle correnti al nodo B, in quanto si ottiene sempre: 2 3 1I I I . La seconda equazione sarà invece data dal fatto che la somma delle cadute di poten-ziale lungo un percorso chiuso dovrà essere nulla. Partiamo quindi da A e percor-riamo in verso orario la maglia contenente, nell’ordine, 2f , 3R ed 2R . All’inizio il po-

tenziale sarà AV , e lo stesso valore dovremo ritrovare alla fine:

AV 2 3 3 2 2f AR I R I V 2 2 2 3 3f R I R I

Notiamo che andando dal polo positivo a quello negativo di 2f il potenziale deve

diminuire, (quindi a AV abbiamo sottratto 2f ) indipendentemente dal fatto che il cir-cuito forzi la corrente nel verso opposto. Per avere la terza equazione giriamo in verso orario la maglia che, partendo da A con-tiene, nell’ordine, 2R , 1f ed 1R , ed applichiamo di nuovo il principio che al termine

di un percorso chiuso si ritrova il potenziale di partenza AV :

AV 2 2 1 1 1f AR I R I V 1 1 1 2 2f R I R I

Risolviamo ora il sistema delle due ultime equazioni, inserendo la relazione fra le correnti 1 2 3I I I :

//

2 2 2 3 3 3 2 2 2 3

1 1 2 3 2 2 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2

f ( f )

f ( ) f ( f )

R I R I I R I R

R I I R I R I R R I R R I

La Controfisica Una differenza di potenziale fra due punti di un circuito non può mai superare la forza elettromotrice della batteria (o la somma delle forze elet-tromotrici di tutte le batterie presen-ti). Proprio come la differenza di altezza fra due finestre non può su-perare l’altezza complessiva del pa-lazzo!

3R

1f2R

1R 2f

1I3R

1f2R

1R 2f

2I 3I

A

B

3R2R

2f

2I 3I

A

B

1I

1f2R

1R

2I

A

B

256

/// /

3 2 2 2 33 2 2 2 31 2

1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 23 3

( f )( f )

f f ( ) ( ) 12.0 15.0 (300 100 )

I R I RI R I R

R R I R R R R R I

/ A mA A mA

3 3

2 2

[(200 0.0464 15.0) 300] 19.1

0.0464 46.4

I I

I I

Si ha infine: mA mA1 2 3 (46.4 19.1) 27.3I I I

Il segno negativo indica che il verso ipotizzato per 3I è opposto a quello reale, quin-

di poniamo mA3 19.1I e cambiamo il verso nel disegno. Per il calcolo della diffe-renza di potenziale fra i nodi, scegliamo uno qualunque dei rami che li collega, ad esempio quello contenente 2R , e scriviamo le cadute di potenziale:

V V2 2 2 2 (200 0.0191) 3.82A B A BV R I V V V R I

34. In relazione al problema precendente, si verifichi che si ottiene la stesso risultato per A BV V calcolando le cadute di potenziale lungo gli altri due rami. [R] 35. Nel circuito a fianco risulta V1f 15.0 , V2f 10.0 , 1 1.50R , 2 2.50R . Si

calcoli la differenza di potenziale fra i punti A e B e la potenza dissipata da 1R . [R: A V W2.5 ,6.3 , 3.1 ] 36. Si consideri il circuito proposto qui a lato dotato di interruttore, in cui abbiamo

V1f 3.00 , V2f 4.00 , 1 2.00R , 2 6.00R . Si calcoli come cambia la diffe-renza di potenziale dei punti B e C rispetto al punto A, prima e dopo la chiusura dell’interruttore. [R] 37. Si scrivano, senza risolverle, tre equazioni indipendenti che permettano di ricava-re i valori delle correnti in ogni ramo del circuito qui a lato, supponendo noti i valori delle resistenze 1R , 2R , 3R e delle forze elettromotrici 1f , 2f , 3f . [R] 38. Due scaldabagni elettrici da W1400 il primo, e W1100 il secondo, vengono acce-si in parallelo per quattro ore in un impianto domestico a V220 , e consumano

kWh5.00 . Calcolare le loro resistenze, e l’energia che consumerebbero se venissero posti in serie prima di essere connessi all’ impianto. [R] 39. Una batteria di forza elettromotrice Vf 12.0 ha collegato in serie un fusibile, cioè un dispositivo con un sottile filo metallico che fonde se la corrente supera un va-lore massimo di mA24.0 . Si calcoli il numero massimo di resistenze uguali

k4.00R che possono essere poste in parallelo alla serie di batteria e fusibile, come in figura, senza che quest’ultimo fonda. [R:8 ] 40. Un ferro da stiro da W800 progettato per un impianto da V220 dev’essere uti-lizzato in un impianto da V110 . Calcolare il valore della resistenza da mettere in se-rie al ferro da stiro per poterlo adoperare. [R] 41. Un circuito come in figura ha V1f 12.0 , 20.0AR , 10.0BR . Quando l’interruttore viene chiuso si osserva che la lampadina L non si accende. Sapendo che la lampadina spenta ha resistenza 300LR , calcolare 2f . Se poniamo un’altra

lampadina identica in serie ad L , cambia il valore di 2f che non le fa accendere? [R: V4.00 ,no ]

2R

1f

2f

1R

A

B

2R2f

1R

A

B C

1f

1R

2R

1f

2f3R

3f

fmA24

R R R

mA27.3

3R

1f2R

1R 2f

mA46.4 mA

19.1

A

B

1f

AR

BR

2f

L

257

4. Carica e scarica di un circuito RC

Il processo di carica di un condensatore non è istantaneo, occorre del tempo per-ché le cariche si depositino sulle armature, ed analogamente non è istantaneo quello di scarica: ci occuperemo ora di descriverli. Va innanzitutto considerato che qualsiasi circuito contenente un condensatore, compreso il più semplice composto da un’unica maglia, deve avere anche una sua resistenza, dovuta al filo ed ai contatti elettrici. Consideriamo dunque il circuito a lato, detto circuito RC , dove la resistenza com-plessiva è stata resa esplicita tramite un componente R . Come vedremo, la possibili-tà di variare R permette di controllare i tempi dei processi di carica e di scarica, e rende il circuito RC utile per produrre correnti variabili nel tempo. Poniamo quindi che sulle armature ci sia la carica 0Q ed analizziamo il processo di scarica che ha luogo dopo la chiusura dell’interruttore. Nella realtà sappiamo che i portatori di ca-rica sono gli elettroni, ma come al solito assumeremo che la corrente sia dovuta allo spostamento di cariche positive fittizie, che si muovono in verso opposto a quello degli elettroni. Cosa succede subito dopo la chiusura dell’interruttore? Finché l’interruttore è aperto (posizione 1) si ha fra le armature una differenza di po-tenziale /0 0V Q C . Quando l’interruttore viene portato nella posizione 2, il conden-satore funge da generatore tentando di spostare le cariche positive in eccesso su di un’armatura fino a bilanciare quelle negative in eccesso sull’altra, che si trova a po-tenziale minore. Il processo funziona un po’ come quando si rilascia una molla com-pressa. I capi della resistenza sono collegati ciascuno ad un’armatura, quindi fra di loro si ha sempre la stessa differenza di potenziale che c’è ai capi di C . Questo signi-fica che, per la prima legge di Ohm, all’inizio si stabilisce in R una corrente:

0 00

V QI

R RC

Cosa accade col procedere dello spostamento delle cariche positive? Iniziamo a contare i secondi dall’istante 0t della chiusura dell’interruttore, ed indichiamo con ( )Q t la carica che al tempo t si trova sull’armatura positiva del con-densatore. Il passaggio di corrente comporta la diminuzione di ( )Q t perché è proprio dal condensatore che vengono prelevate le particelle cariche che attraversano R . Chia-miamo Q la variazione di ( )Q t in un certo intervallo di tempo t : essendo una diminuzione dovrà risultare 0Q . La carica Q staccatasi dall’armatura positi-va attraverserà una qualunque sezione del circuito nello stesso intervallo t (altri-menti avremmo accumuli in qualche punto). Indicando10 con ( )i t la corrente in quel momento, presa positiva se diretta dall’armatura “+” all’armatura “-“, possiamo scrivere:

( )Q

i tt

dove il segno negativo è stato inserito perché è 0Q , mentre vogliamo ( ) 0i t in quanto ha il verso da noi scelto come positivo. Al diminuire di ( )Q t diminuisce la differenza di potenziale /( )Q t C ai capi del condensatore che, come abbiamo detto, è

10 Abbiamo adoperato il simbolo i (minuscola) a significare che la corrente non rimane costante nel tempo.

La Controfisica Ricorda che la capacità, cioè il rap-porto:

C=Q(t)/VC(t) è una grandezza costante, caratteri-stica del condensatore, cioè dipen-dente solo dalla sua geometria e dai materiali adoperati, ma non dalla quan-tità di carica depositata né dal tempo tra-scorso. Per questo si può scrivere VC(t)= Q(t)/C in ogni istante.

R

2

C

1

RCV

2i(t)

C

1

258

in ogni istante uguale a quella ai capi di R . Quest’ultima si scrive ( )Ri t in base alla prima legge di Ohm. Uguagliando le due differenze di potenziale abbiamo:

( ) 1( ) ( ) ( )C

Q t Q QV t Ri t R Q t

C t t RC

Cosa dice questa relazione? Questa relazione lega la corrente /Q t alla carica ( )Q t sulle armature tramite una costante di proporzionalità: il numero /1 RC . Ciò significa che queste due grandezze variano nello stesso modo, al diminuire della carica residua diminuisce pure la corrente. Il rapporto /Q t è però anche la rapidità con cui cala la quantità di carica in eccesso sulle armature, cioè quanta carica esce dall’armatura “+” e si porta sulla “-“ ogni secondo che passa. Pertanto anche questa rapidità dipende dalla carica ancora presente sulle armature. Se dividiamo per ( )Q t ambo i membri dell’ultima espressione otteniamo un rapporto che misura la rapidità di variazione della carica sulle armature in modo relativo, cioè rispetto al totale ( )Q t :

/ 1

( )

Q t

Q t RC

Il rapporto a primo membro è la frazione del totale della carica che esce dal conden-satore nell’unità di tempo. Infatti i rapporti fra grandezze in fisica si leggono come quantitativo del numeratore associato ad una unità del denominatore. In questo caso specifico abbiamo: al numeratore la carica che esce, e ben due denominatori: l’intervallo di tempo in cui essa esce e la carica ancora presente. Quindi questo rap-porto esprime quanta carica esce per ogni secondo trascorso e per ogni coulomb presente. L’equazione trovata ci dice che tale frazione è costante nel tempo. Se ad esempio nel primo secondo esce dal condensatore una frazione pari al cinque per cento del totale, anche in ognuno dei secondi successivi sarà il cinque per cento del totale a lasciare il condensatore. Chiaramente, poiché il totale diminuisce progressivamente, mantenere costante la frazione al cinque per cento significa avere un quantitativo di fuoriuscita di-verso ogni secondo, e quindi sempre più piccolo col passare del tempo, visto che ( )Q t si va facendo più piccola. Qual è l’espressione matematica per Q(t) ? La matematica ci mostra che ogni volta che abbiamo una grandezza che varia nel tempo con una rapidità proporzionale al quantitativo già presente, allora la legge che descrive come essa cresce (o diminuisce) rispetto alla variabile t è quella in cui t figura ad esponente di un numero compreso fra 2 e 3 ed indicato con le lettera 2.718...e (ad infinite cifre decimali). In particolare risulta che nel processo di scarica del con-densatore appena esaminato si ha:

/0( ) t RCQ t Q e

In un piano cartesiano con il tempo in ascisse e la carica in ordinate, si vede bene che all’istante iniziale la carica vale 0

0 0(0)Q Q e Q , mentre per tempi molto lunghi ( ) 0Q t . La quantità /Q t (sempre negativa) costituisce la pendenza della retta

tangente alla curva ( )y Q t , infatti se t è breve rispetto alla durata del fenomeno, il coefficiente angolare della retta tangente si può scrivere / /m y x Q t . L’equazione precedente ci dice che questa pendenza è in ogni punto proporzionale al valore di ( )Q t in quel punto. Quindi all’inizio, quando ( )Q t è grande, avremo una curva molto ripida, poi trascorso molto tempo la curva diverrà praticamente orizzon-

La Controfisica In fisica sono comuni questi pro-cessi in cui si ha che il cambiamento di una quantità avviene con una ra-pidità che dipende dal quantitativo già presente. Ad esempio la diminu-zione della pressione atmosferica per metro di salita in quota dipende dalla pressione a quella quota; oppure il numero di decadimenti radiativi per secondo in un campione di uranio dipende dal numero di atomi che ancora non hanno decaduto.

( )Q t

t

0Q

RC

00.37Q

259

tale, cioè a pendenza zero, poiché ( )Q t si approssima a zero sempre di più. Essendo corrente nella resistenza uguale alla pendenza di questa curva cambiata di segno,

/( )i t Q t , anch’essa sarà elevata all’inizio, e poi via via sempre più debole. Che interpretazione si può dare della costante RC ? La costanteRC che figura nell’esponente della legge per ( )Q t , si indica con la lettera greca (tau), ha le dimensioni di un tempo:

e si dice costante di tempo del circuito. Maggiore è il valore di meno ripida risulta la curva . La costante rappresenta infatti il tempo che occorre

alla carica sul condensatore per scendere al 37% del suo valore iniziale 0Q :

/ 10 0 0( ) 0.37RC RCQ Q e Q e Q

Quindi, più breve è , prima la carica si riduce al 37% del valore iniziale, più ripida è la curva. La costante di tempo è in particolare legata alla pendenza iniziale della curva, infatti all’istante 0t la pendenza può essere ricavata dalla relazione prece-dente: / /0Q t Q RC . Questo valore è il coefficiente angolare della retta11 che

taglia le ordinate in 0Q , e la sua intersezione con l’asse dei tempi vale proprio RC . Quanto impiega il condensatore a scaricarsi completamente? Anche se il tempo ideale di scarica è infinito, si osserva che il condensatore è quasi completamente scarico per 4t . Questa discrepanza con la teoria si spiega ricor-dando che tutta la procedura ha fatto uso dall’approssimazione secondo cui l’intera carica del condensatore si dispone solo sulle superfici affacciate delle armature, tra-scurando gli effetti al bordo. Ciò ha avuto il vantaggio di consentire l’introduzione della capacità come una costante del condensatore, ma ora ci presenta il piccolo prezzo da pagare in termini di imprecisione nel tempo di carica complessivo. Quali sono le espressioni matematiche per la corrente ed il potenziale? Sostituendo nell’espressione di ( )Q t l’uguaglianza fra la differenza di potenziale ai

capi di condensatore e resistenza, /( ) ( ) ( )CV t Q t C Ri t troviamo le corrispondenti leggi per la corrente e per il potenziale:

/ /00

( )( ) t RC t RCQQ ti t e I e

RC RC / /0

0

( )( ) t RC t RC

C

QQ tV t e V e

C C

I grafici corrispondenti a queste leggi sono qualitativamente analoghi a quello della carica, con identico significato anche di RC . Come si vede la corrente si annulla per tempi molto lunghi (teoricamente in un tempo infinito). Quale significato ha l’area sotto alla curva della corrente di scarica? L’area sotto alla curva si può esprimere per mezzo della somma delle aree dei rettangoli di base ed altezza . Poiché /| ( ) |i t Q t allora ogni rettangolo ha per area il piccolo incremento di carica , infatti:

11La tangente alla curva in (0;Q0), di coefficiente angolare m=-Q0/RC, ha equazione Q=-(Q0/RC)t+Q0

VF

CA V

C s

C/s

RC ( )Q t RC

( )i t

t ( )i t

Q

( )I t

t

0I

RC

00.37I

( )CV t

t

0V

RC

00.37V

/0( ) t RCI t I e

/0( ) t RC

CV t V e

i(t)

0I

5 s s10 43 5

s(5 )i

(3 )i

0Q

t

( )Q t

t

0Q

grande

piccolo

00.37Q

260

| ( ) | | ( ) |Q

i t Q t i t base altezzat

L’area totale eguaglia dunque la carica 0Q che all’inizio era accumulata sul conden-satore, ed è approssimativamente pari a:

0 1 1 2 2( ) ( ) ...Q t i t t i t Come funziona invece il processo di carica di un condensatore? Consideriamo ora il circuito a lato, in cui si ha un condensatore scarico che deve es-sere caricato tramite una batteria. Come già fatto per il circuito di scarica, la resisten-za complessiva del filo e dei contatti elettrici è stata resa esplicita tramite un compo-nente R . Quando l’interruttore viene portato nella posizione 2, immediatamente si depositano cariche positive12 sull’armatura collegata con il polo positivo del genera-tore, perché si trova a potenziale inferiore rispetto ad esso. Per lo stesso motivo, con-temporaneamente altre cariche positive si staccano dalla seconda armatura per por-tarsi sul polo negativo del generatore, che si trova a potenziale minore dell’armatura. Col procedere del depositarsi di altre cariche positive sull’armatura “+” le nuove ar-rivate vengono respinte da quelle già presenti ed analogamente quelle positive che desiderano lasciare l’armatura “-“ sono trattenute dall’eccesso di cariche negative che lì esiste. Il processo rallenta progressivamente, per arrestarsi quando le due ar-mature si sono portate al potenziale dei rispettivi poli del generatore, e fra di esse si è riprodotta la forza elettromotrice f della batteria. Ma il circuito è interrotto dal condensatore: come può esserci corrente? È così, il circuito è interrotto dal condensatore, quindi durante questo processo non sta realmente circolando carica. Se infatti considero una superficie fra le armature del di C , essa non viene attraversata da nessuna particella. Tuttavia, per ogni portatore che giunge sull’armatura positiva, ce n’é uno uguale che si stacca da quella negativa e quindi tutto va come se il circuito fosse sempre continuo anche in corrispondenza di C . Che relazione c’è fra la carica sul condensatore e la corrente nel circuito? Indichiamo con la quantità di carica che, dall’istante 0t in cui l’interruttore è stato chiuso, fino all’istante t , è passata attraverso una sezione del filo e si è deposi-tato sull’armatura positiva del condensatore. Sia poi Q la quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell’intervallo t , in modo che /( )i t Q t misuri la corrente nel circuito, presa positiva se diretta dal “+” al “-“ della batteria. Infine indi-chiamo con la differenza, variabile nel tempo, fra il potenziale dell’armatura positiva e quello dell’armatura negativa ed applichiamo la legge delle maglie di Kirchhoff partendo dal polo negativo del generatore:

( ) ( ) 0CRi t V t f

Sapendo che in ogni istante il potenziale e la carica sono legati dalla capacità/( ) ( )CV t Q t C , dall’equazione precendente si verifica subito che la differenza di

potenziale ai capi della batteria è uguale alla somma delle differenze di potenziale ai capi del condensatore ed ai capi della resistenza:

12 Seguiamo sempre la convenzione che la corrente sia dovuta a fittizie cariche positive mobili, di valore assoluto uguale a quella dell’elettrone, identificabili con le lacune che lo spostamento di elettroni lascia dietro.

( )Q t

( )CV t V V

R

2

C

1

f

R

2

i(t) C

1

f

261

( )( )

Q tRi t

C f

Guardando questo risultato, poiché f non cambia mai, mentre la carica si accumula sul condensatore, ( )i t deve necessariamente diminuire affinché il secondo membro dell’ equazione resti costante. Quindi negli istanti iniziali, quando è ( ) 0Q t abbiamo

/0(0)i I R f , cioè la corrente nella resistenza è quella che si avrebbe se al posto di C ci fosse un tratto di cortocircuito, cioè un pezzetto di filo a resistenza zero. Per tempi molto lunghi invece la corrente diminuisce fino ad annullarsi perché la carica raggiunge il suo valore massimo, che è quello ottenibile ponendo ( ) 0i t nell’equazione, cioè:

maxQ C f Quale legge esprime l’andamento della carica su C in funzione del tempo? Inserendo nella relazione trovata con Kirchhoff, l’espressione per la corrente

/( )i t Q t otteniamo una relazione che lega la rapidità /Q t con cui aumenta la carica sulle armature, alla differenza fra il valore massimo Cf che la carica può raggiungere ed il valore ( )Q t già presente:

1( )]

QC Q t

t RC

[f

Questa equazione, simile a quella del processo di carica, ammette anch’essa una so-luzione di tipo esponenziale:

/( ) (1 )t RCQ t C e f

Utilizzando i precedenti risultati /( ) ( )Ri t Q t C f e /( ) ( )CV t Q t C otteniamo:

/( ) t RCi t eR

f /( ) (1 )t RC

CV t e f

Gli andamenti di Q , V ed i in funzione del tempo sono rappresentati nelle figure a margine. Come possiamo leggere questi grafici? All’inizio del processo di carica il condensatore si comporta come un tratto di corto circuito (cioè un pezzo di filo ideale con resistenza zero), infatti si stabilisce nel circui-to una corrente pari ad /Rf , che è quella che avremmo se C non ci fosse. Poi man mano che la carica si accumula, la corrente viene sempre più ostacolata finché non cessa del tutto. Quindi dopo un tempo molto lungo il condensatore agisce come un tratto di circuito aperto, cioè un componente a resistenza infinita. La differenza di po-tenziale fra le armature invece, parte da un valore nullo e cresce con la carica deposi-tata su di esse, finché , in un tempo idealmente infinito, non diviene pari a quella fornita dalla batteria, che costituisce il valore massimo raggiungibile. In un’analogia idraulica, se i fili fossero dei tubi pieni di acqua, la batteria sarebbe una pompa ed il condensatore uno scomparto allargato con in mezzo una membrana elastica che si tende fino a che la forza elastica di richiamo non eguaglia la spinta esercitata dalla pompa. A questo punto il condensatore è carico di energia potenziale e può esser fat-to scaricare rimuovendo la pompa e sostituendola con un tubo.

( )I t

t

R

f

RC

0.37R

f/( ) t RCI t e

R

f

( )CV t

t

f

RC

0.63f( ) (1 )

tRC

CV t e f

( ) (1 )t

RCQ t C e f

( )Q t

t

Cf

RC

0.63 Cf

pompa

membranaelastica

262

Esercizi 42. Nel circuito a lato si ha k1 15R , k2 30R ed V9.0f . Si stimi il valore della corrente (1) immediatamente dopo la chiusura dell’interrutore, (2) dopo che è trascorso un tempo molto lungo. Sappiamo che appena chiuso l’interruttore il condensatore agisce come un tratto di cortocircuito, cioè un pezzo di filo a resistenza nulla, pertanto è come se avessimo solo le due resistenze 1R ed 2R in parallello. Calcoliamo la loro resistenza equivalen-te e da questa la corrente:

k k A mA1 23

1 2

15 30 9.010 0.90

15 30 10 10E

E

R RR I

R R R

f

Viceversa, trascorso un tempo molto lungo il condensatore si comporta come un cir-cuito aperto, pertanto è come se il ramo contenente 1R non ci fosse:

A mA3

2

9.00.30

30 10I

R

f

Che interpretazione si può dare della costante RC? La costante RC ha un significato anaolgo a quello rivestito nel processo di sca-rica: più è breve più è rapido il fenomeno. In questo caso rappresenta il tempo che occorre a ( )Q t per raggiungere il 63% del suo valore massimo Cf :

/ 1( ) (1 ) (1 ) 0.632t RCQ t C e C e C f f f

oppure, analogamente, esprime il tempo che occorre alla differenza di potenziale fra le armature per raggiungere il 63% del suo massimo f . Quando t la corren-te ( )i t è invece scesa al 37% del valore iniziale /Rf . Esercizi 43. Si calcoli la costante di tempo di un circuito RC in cui è μF100C k220R ed il tempo che esso impiega a caricarsi fino al cinquanta per cento della differenza di potenziale massima f fornita dalla batteria. Risulta:

) s s3 6(220 10 )(100 10 22.0RC

Imponiamo che /( ) (1 )t RCV t e f si a pari al 50% del suo valore massimo f :

Cf / 12

(1 )t RCe C f / 12

t RCe

s s 12

ln( ) 22.0 ( 0.693) 15.2t RC

Quali usi pratici sono possibili per un condensatore? Il condensatore innanzitutto serve a separare due porzioni di circuito che devono stare a potenziale differente. A questo va però aggiunto che esso svolge il ruolo di un dispositivo che, controllando la resistenza di scarica, può produrre scariche brevi ed intense oppure lunghe e diluite nel tempo. Come già vedemmo infatti, con una colo-rita analogia possiamo pensare al circuito RC come all’analogo elettrico dello sciac-quone del gabinetto: accumula acqua per poi rilasciarla tutta insieme (un flusso di acqua costante che scaricasse lo stesso liquido, non avrebbe uguale effetto). Se il valore di è reso piccolo da una opportuna scelta di R , il condensatore produce una scarica breve ed intensa, come nel caso della macchina defibrillatrice (una pila sul cuore non sarebbe lo stesso!) oppure dei flash fotografici, (in cui esiste anche un tempo di carica). Il condensatore viene sfruttato nei dispositivi che producono

f

1R

2R

C

( )Q t

t

grandepiccolo

Cf

0.63 Cf

263

fenomeni intervallati nel tempo, cioè circuiti che si avviano quando si supera un dato potenziale di innesco, raggiunto in un tempo che dipende dalla costante , e superato il quale si ha la scarica. Ad esempio il temporizzatore del tergicristallo può avere maggiore o minore ritardo quando con la manopola variamo la costante di un circuito , così che questo impiega un tempo differente a caricarsi. Lo stesso principio si adopera per le frecce nelle auto o per i pacemaker nel cuore. Esercizi 44. Un pacemeker cardiaco deve stimolare il cuore al ritmo del suo battito di 75 im-pulsi al minuto. Calcolare quante volte al secondo si deve raggiungere il potenziale d’innesco del pacemaker e la costante di tempo del circuito RC da adoperare. Trasformiamo:

impulsi/s impulsi/s751.25

60

quindi si deve raggiungere il potenziale d’innesco ogni:

s s 10.80

1.25RC

Viceversa, con una scelta di valori elevati per R e C , la costante di tempo può essere resa molto grande, così che il circuito di scarica viene adoperato come batteria. In questo caso esso produce una corrente praticamente costante per lunghissimo tempo. Ne sono esempi gli orologi del PC oppure le memorie della TV, alimentati da un condensatore che viene caricato quando l’apparecchio è acceso. Il motivo per cui è pericoloso aprire questi apparecchi se non si è esperti, è che toccando un condensatore potremmo farlo scaricare attraverso il nostro corpo producendo una corrente anche molto grande. Esercizi 45. Si consideri un dispositivo formato da un’unica maglia con due resistenze in se-rie, di valore k1 150R ed k2 250R , un condensatore μF200C ed una batteria di forza elettromotrice V4.50f . L’interruttore viene chiuso ed il conden-satore si carica attraverso le due resistenze. Calcolare la costante di tempo del pro-cesso, il valore massimo della carica sul condensatore, ed il tempo che occorre affin-ché sulle armature si depositi il 75.0% di tale massimo di carica. Il dispositivo funziona come se fosse un unico circuito RC di resistenza pari a quella equivalente alla serie:

k k k1 2 150 250 400ER R R Il valore massimo della carica è quindi:

C μC6max (4.50 200 10 ) 900Q C f

La costante di tempo vale: s s3 6(400 10 )(200 10 ) 80.0ER C

Imponiamo che /( ) (1 )t RCQ t C e f si a pari al 75.0% del suo valore massimo Cf :

Cf /(1 ) 0.750t RCe C f / 0.250t RCe

s s ln(0.250) 80.0 ( 1.39) 111t RC 46. Nel circuito a lato, si ha una batteria di V18.0f , due resistenze 1 300R ,

2 600R ed un condensatore nF100C in parallelo ad 2R . Si calcoli la corrente nelle resistenze e la carica sulle armature del condensatore, dopo un tempo molto

RC

( )i t

t

R

f

scarica veloce(defibrillatore, flash)

piccolo

scarica lenta("batteria" in PC e TV)

grande

1Rf

C

2R

f

C

1R

2R

264

lungo dalla chiusura dell’interruttore, quando, conclusa la fase iniziale di carica, C può considerarsi un tratto di circuito aperto. Trascorso un tempo lungo dalla chiusura dell’interruttore, ed esaurita la fase di cari-ca, C diviene un tratto di circuito aperto ed 1R , 2R costituiscono una serie. Calco-liamo la corrente nelle due resistenze:

A A1 2

f 18.00.0200

300 600I

R R

Il condensatore ed 2R sono in parallelo quindi ai loro capi c’è la stessa diffeenza di

potenziale. Applicando la prima legge di Ohm ad 2R si ha:

V V2 2 (0.0200 600) 12.0R CV IR V

e da questa possiamo ricavare la carica sulle armature del condensatore: C C μC9 6(100 10 12.0) 1.20 10 1.20CQ C V

47. Nel circuito in figura risulta Vf 12.0 , μF1 0.400C , μF2 0.600C ed

1 20.0R , 2 40.0R . Si calcoli la corrente nelle resistenze e le cariche sui con-densatori una volta che si è conclusa la fase iniziale di carica e quindi i due conden-satori possono considerarsi dei tratti di circuito aperto. [R: A μC0.200 ,2.88 ] 48. Nel circuito in figura risulta Vf 18.0 μF40.0AC , μF50.0BC ed

3.00AR , 4.00BR . Si calcoli la corrente nelle resistenze e le cariche sui con-densatori una volta che si è conclusa la fase iniziale di carica. [R: A μC μC2.57 ,308 ,515 ] 49. Si calcoli la carica sui due condensatori nF1 10.0C e nF2 30.0C in figura

dopo che si è conclusa la fase di carica, sapendo che 1 500R ed 2 600R e che la forza elettromotrice vale Vf 14.0 . [R: nC nC63.5 ,229 ] 50. Si calcoli la carica che ci sarà sui due condensatori nF60.0AC e nF80.0BC in figura quando sarà trascorso un tempo molto lungo dalla chiusura dell’interruttore, sapendo che k400R ed Vf 36.0 . Calcolare dopo quanti millisecondi dalla chiusura dell’interruttore si raggiungerà l’ 80.0% di tale carica. [R: μC μC ms2.16 ,2.88 ,90.2 ] 51. Nel grafico a lato è rappresentato l’andamento della corrente in funzione del tempo durante il processo di scarica di un circuito RC alimentato da una batteria di forza elettromotrice Vf 9.00 . Si calcolino i valori della resistenza, del condensato-re, e della corrente 1I . [R: k μF A30.0 ,66.7 ,0.0111 ] 52. Dato un circuito RC avente k4.00R , μF120C ed Vf 6.00 , calcolare la costante di tempo, la carica massima sulle armature, e la corrente iniziale. Si rap-presenti l’andamento nel tempo, dopo la chiusura dell’interruttore, della differenza di potenziale, e della carica sulle armature. [R: s μC mA0.480 ,7.20 ,1.50 ] 53. Nel circuito a lato si ha Vf 18.0 , pF1 20.0C , pF2 50.0C , ed

M1 5.00R . Calcolare la differenza di potenziale ai capi della resistenza, sia im-mediatamente dopo la chiusura dell’interruttore, sia quando è trascorso un tempo molto lungo. [R: V V0 , 0 ]

1R

f

2R1C

2C

AR BR

f

AC BC

f

ACBCR

1R 2R

f

1C 2C

( ) [ ]I t A

[ ]t s

0.0300

2.00

1I

f

2C

R

1C