la epistemología genética: una interpretación

La epistemología genética: unainterpretación3

Luis E. Moreno Armella

CINVESTAV – IPN, México

Resumen

En este artículo nos proponemos introducir la episte-

mología genética (constructivista) desarrollada por la

escuela piagetiana. Esta epistemología constituye una

ruptura profunda con las epistemologías tradicionales,

tanto empiristas como racionalistas, pues en ella se re-

definen conceptos centrales como conocimiento y rea-

lidad a partir de un nuevo enfoque sobre las

interacciones del sujeto cognoscente y su objeto de

conocimiento. Los métodos psicogenético e históri-

co-crítico están articulados de manera tal que consti-

tuyen la base empírica de la epistemología

constructivista, otorgándole entonces, un nivel de

cientificidad del que carecen las demás teorías episte-

mológicas. De allí que sea pertinente tomarla como

fundamento para construir las bases epistemológicas

de la educación científica.

Abstract

We will introduce the genetic Epistemology developed

by the Piagetian School, which embodies a radical de-

parture from traditional epistemologies (empiricism

and rationalism). A novel viewpoint is established regar-

ding the interaction between a cognizing subject and

its object of knowledge. Historico-critical analysis and

psychogenesis constitute the empirical scaffolding for

this constructivist epistemology, wherewith it obtains a

scientificity status foreign to other theories. It follows

that Genetic Epistemology is appropriate as an episte-

mological basis for Science Education.

Introducción

La epistemología genética se propone, comouno de sus objetivos, el análisis de la forma-ción y el desarrollo del conocimiento, en par-ticular, del conocimiento científico. Pero laformación y el desarrollo del conocimientosólo son posibles porque hay interacción en-tre un sujeto cognoscente y un objeto de co-nocimiento.

La historia de las epistemologías, empiristas yaprioristas, muestra que se las puede caracte-rizar mediante el “peso” que otorgan o bienal sujeto o bien al objeto de conocimiento, ala hora de la interacción. Sin entrar en mayo-res detalles, vale la pena detenernos un mo-mento en la consideración de estas episte-mologías. El empirismo supone que el sujetoes esencialmente pasivo en la relación suje-to-objeto y afirma en consecuencia, que elconocimiento tiene su origen en el dato per-

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3 Artículo publicado en la Revista Educación Matemática, Vol. III (3), pp. 5-23, 1996.

ceptual, suministrado por el objeto. El cono-cimiento es un modelo-copia del objeto. Estaposición se hizo célebre desde Aristóteles,para quien nada había en el intelecto que nohubiese estado antes en los sentidos.

El apriorismo, por su parte, supone que todoel peso en la interacción lo lleva el sujeto.Mediante sus estructuras cognitivas consti-tuidas de antemano, el sujeto captura al obje-to para producir el conocimiento.

Pues bien, la historia de las epistemologíastradicionales consiste, en esencia, en una es-pecie de competencia entre estas posicio-nes, empirista y apriorista, que desde luegono se mantuvieron intactas sino que fuerondesarrollándose como respuesta a las críticasy objeciones que les planteaban sus adversa-rios. Nuestro siglo ha presenciado el desen-volvimiento del empirismo lógico, sin duda elproducto más desarrollado del pensamientoempirista. Del lado del apriorismo, quizá laposición más sólida provino del sistema kan-tiano. Habremos de regresar a ella.

En todos estos casos, el sujeto que conoce esun sujeto adulto, en pleno dominio de sus fa-cultades intelectuales. Y el objeto de conoci-miento es (casi siempre) un objeto inmodifi-cable. De modo que la relación sujeto-objetoestá concebida, en estas epistemologías,como una relación de un único nivel.

Piaget y la Epistemología

La obra epistemológica de Piaget (1896-1980) vino a cambiar este estado de cosas.Naturalmente, no es un trabajo de genera-ción espontánea que rompe con el pasadosimplemente porque lo ignore. En la obrapiagetiana volveremos a encontrar la preo-cupación por la estructura de la relación suje-to-objeto. Como ocurre con frecuencia en el

trabajo renovador, no es el problema centralel que cambia sino la forma de indagar sobreél, la forma de concebir preguntas nuevas so-bre ese problema que ha estado ante noso-tros. Para Piaget, el conocimiento no es resul-tado ni de la sola actividad del sujeto, nitampoco de la sola presencia del objeto. Elconocimiento (y en esto ya se aparta de lasepistemologías tradicionales) surge de la in-teracción del sujeto y el objeto, en la cualcada uno influye sobre el otro. Ya no será po-sible concebirlos separados: sujeto-objeto esuna unidad dialéctica indisociable.

Conviene hacer notar que la forma de conce-bir la estructura sujeto-objeto en la epistemo-logía piagetiana, guarda una cierta relacióncon la forma correspondiente en la episte-mología kantiana. Presentemos primero al-gunas ideas centrales de la epistemologíakantiana para después apreciar mejor las di-ferencias.

El sujeto cognoscente kantiano viene dotado(de fábrica) de una estructura intelectual quele permite interpretar sus registros perceptua-les. En la introducción de su Crítica de la Ra-zón Pura (Kant, 1972, p. 27), Kant nos dice:

“No hay duda alguna de que todo nues-tro conocimiento comienza con la ex-periencia. Pues ¿por dónde iba a desper-tarse la facultad de conocer...como nofuera por medio de objetos que hierenlos sentidos...y elaboran así con la materiabruta de las impresiones sensibles, un co-nocimiento de los objetos llamado expe-riencia?... mas si todo nuestro conoci-miento comienza con la experiencia nopor ello se origina todo él en la experien-cia. Bien podría ser que nuestro conoci-miento fuera compuesto de lo querecibimos por medio de impresiones yde lo que nuestra facultad de conocer(...) proporciona por sí misma sin quedistingamos este añadido de aquella

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Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

materia fundamental...” (subrayadonuestro)

Tenemos entonces, de acuerdo a Kant, una fa-cultad de conocer antes de la experiencia sen-sorial, que combinada con la percepción sen-sorial produce una forma de conocimiento enla que no es fácil ya distinguir, por separado, niel aporte del sujeto ni el aporte del objeto.Toda la experiencia sensorial es pasada a tra-vés del tamiz constituido por las estructurascognitivas (inherentes) del sujeto. De modoque nuestro conocimiento del mundo, no esuna representación (en el sentido de un mode-lo-copia) de esa realidad externa en nuestro in-telecto (a pesar de la seducción del término re-presentación sobre el que tendremos quevolver), sino una interpretación, una reconstruc-ción que hacemos tomando nuestros registrosperceptuales como materia prima y sometién-dolos al influjo de esa máquina de interpretar yorganizar constituida por nuestro intelecto.Hasta aquí las semejanzas. Semejanzas, nocoincidencias, como tendremos oportunidadde mostrar a continuación. Vayamos pues a lasdiferencias.

Para Piaget, el conocimiento tampoco esuna copia de la realidad exterior al sujeto.Pero, en la interacción entre el sujeto y el ob-jeto, aquél se acerca al objeto con determi-nadas estructuras intelectuales que le permi-ten asimilarlo y, al mismo tiempo, el objetoejerce su influencia sobre el sujeto obligán-dolo a modificar sus estructuras cognitivas.Por una parte pues, el conocimiento es resul-tado de la interacción y además (aquí hay yauna diferencia de fondo) tanto el sujeto comoel objeto se transforman como resultado de lainteracción. Así que, la próxima vez que el su-jeto se acerque al objeto, ya será otro sujetoepistémico el que participa en la interaccióny será otro objeto de conocimiento el asimi-lado a sus (nuevas) estructuras cognitivas.

Los niveles de interacción van cambiando

como consecuencia de la actividad cognitiva

del sujeto. El conocimiento producido no es

ni una copia de la realidad externa al sujeto,

ni tampoco es un estado: el conocimiento se

halla en un permanente estado de re-elabo-

ración. Es decir, las conquistas cognitivas del

sujeto se van transformando continuamente

dentro de aquella interacción. Piaget lo ha

expresado así, (véase Piaget 1995, p. 324):

La actividad intelectual comienza por laconfusión entre la experiencia y la con-ciencia de sí, por la indiferenciación en-tre la asimilación y la acomodación...elconocimiento del mundo exterior co-mienza por una utilización inmediatade las cosas... la inteligencia no comien-za así ni por el conocimiento del yo nipor las cosas en cuanto tales sino por suinteracción y orientándose simultánea-mente hacia los dos polos de esa inte-racción, la inteligencia organiza almundo organizándose a sí misma (sub-rayado nuestro).

Otra diferencia de fondo se halla en el ori-

gen de las estructuras cognitivas. Para

Kant, ellas son inherentes al sujeto. Para

Piaget, las estructuras cognitivas se cons-

truyen. Tal construcción empieza desde la

más tierna edad; es un proceso complejo,

cuya explicación ha requerido más de me-

dio siglo de investigación psicológica y aún

no termina. Fue necesario elaborar una dis-

ciplina, la psicología genética, para dar una

respuesta a este interrogante fundamental.

En la próxima sección daremos algunas in-

dicaciones a este respecto.

Asimilación y niveles de desarrollo

La naturaleza de los contenidos producidos

en la relación sujeto-objeto, depende del gra-

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La epistemología genética: una interpretación

do de desarrollo cognitivo de este sujeto. Laconstrucción de las estructuras cognitivascomienza, de acuerdo a la teoría piagetiana,desde el nacimiento mismo del sujeto. Ha-blamos de sujeto, no del niño, por razonesde énfasis. Nos interesa resaltar las caracte-rísticas del niño, del adolescente, del adultoen tanto sujetos epistémicos.

En el desarrollo cognitivo, la primera etapa esde acción externa pura. La adquisición clavede este periodo es el esquema sensoriomo-tor. Un esquema es aquello que es repetibley generalizable en una acción. Por ejemplo,succionar (el biberón primero, luego se trans-fiere al dedo u otro objeto material), jalar,agarrar, etc. Los esquemas de acción sonalgo así como conceptos prácticos que sirvenpara incorporar objetos a las acciones. Conrespecto a la inteligencia sensoriomotriz, Pia-get nos dice (véase Piaget 1995, p. 7):

El estudio de la inteligencia sensoriomo-triz o práctica durante los dos primerosaños del desarrollo nos ha enseñadocómo el niño que asimila directamenteel medio externo a su propia actividaddesde un principio, construye después,para prolongar esa asimilación un nú-mero creciente de esquemas a la vezmás móviles y aptos para coordinarseentre sí.

Una de las fuentes de confusión y dificultadcuando tratamos con una disciplina altamen-te organizada es que las palabras adquierenun significado más preciso, un matiz distintoal que tienen cuando se las emplea en el len-guaje cotidiano donde la libertad de interpre-tación deja márgenes amplios y al mismotiempo difusos, al campo semántico de laspalabras. Por ello, términos como asimilación,equilibración, conocimiento, objetividad, etc.tendrán que ser gradualmente redefinidos deacuerdo a la epistemología genética. Lo em-

pezaremos a hacer como si se tratara de te-jer una red con los significados de términosconsiderados como centrales dentro de lateoría.

Insistamos un poco más en la noción de es-quema. Podemos describir un esquema comoun núcleo de acción transferible. El esquematiene tres componentes:

i) un mecanismo de reconocimiento de si-tuaciones

ii) una actividad vinculada a esos reconoci-mientos

iii) una expectativa sobre el resultado de laactividad (Glasersfeld, 1991, p. 121).

La asimilación de un objeto a un esquema deacción, consiste en identificarlo como admi-sible para desempeñar cierta función. Talidentificación es un acto de abstracción. Porejemplo, si necesitamos un martillo, pode-mos sustituirlo por un objeto duro, más omenos pesado. Incorporamos así ese objetoal esquema. Eso significa que lo identifica-mos como viable para la acción de martillar.Si la expectativa sobre el resultado no es sa-tisfecha, entonces debemos modificar el es-quema: no se puede incluir cualquier objetoduro y pesado si además, por ejemplo, es frá-gil. Esta modificación del esquema, debido ala presión del objeto que se trata de asimilar,se conoce como acomodación. La pareja in-disociable asimilación-acomodación tieneun lugar central dentro de la teoría, por loque estaremos volviendo sobre ella. Por aho-ra añadiremos que la asimilación es un actode interpretación, de cómo el sujeto incorpo-ra al objeto, mientras que la acomodación esuna respuesta del esquema al objeto. Resultadel mecanismo de equilibración del esquema.

El periodo sensoriomotor es de acción pura.Los esquemas están orientados hacia el exte-

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rior: un esquema de acción es como el equi-

valente práctico de un concepto. Mediante

la actividad sensoriomotriz el sujeto logra la

construcción de la permanencia del objeto.

Esta adquisición es de suma importancia. Tra-

temos de imaginar la concepción que ten-

dríamos del espacio si todos los cuerpos fue-

ran gaseosos, fugaces... Cuando los objetos

percibidos siguen existiendo fuera de nues-

tro campo visual, se ha dado entonces un

gran paso en la construcción del espacio.

Piaget mismo nos dice (Piaget 1995, p. 11) a

este respecto:

Un mundo sin objetos no podría presen-tar el carácter de homogeneidad espacialy de coherencia en los desplazamientosque define nuestro universo. Por otrolado, la ausencia de “grupos” en los cam-bios de posición... equivaldría a transfor-maciones sin retorno, es decir, acontinuos cambios de estado, a la ausen-cia de objetos permanentes.

En esta cita, grupos se refiere a que para cada

desplazamiento haya la posibilidad de efec-

tuar el desplazamiento inverso. Como avan-

zar y retroceder por el mismo camino.

Para el sujeto adulto resulta inconcebible el

darse cuenta que hubo un tiempo en que él

no había construido la permanencia de los

objetos. No somos conscientes de muchas

de estas construcciones. Quizá esto expli-

que, al menos parcialmente, por qué en el

pasado, las epistemologías siempre supusie-

ron un sujeto adulto, activo o pasivo, en la re-

lación con el objeto de conocimiento. No

fueron conscientes de que esa relación era

cambiante y que dependía del desarrollo

cognitivo del sujeto. En un plano más fami-

liar: el experto no puede esperar que su discí-

pulo tenga un conocimiento con el mismo

grado de organización que el suyo. Eso exige

un proceso largo y complejo que no se redu-ce a la lectura de textos, pues, entre otrascosas, no es cuestión de acercarse a un cono-cimiento que le está esperando allí afuera,sino de comprometerse en un proceso cons-tructivo. Cuando Kant habla de las estructu-ras a priori del sujeto (es decir, de las estruc-turas instaladas ya de nacimiento), con lascuales organiza al mundo, es como si empe-zara a contarnos una historia que, desde laperspectiva genética, hace rato ya comenzó.

Después de la permanencia del objeto, otraadquisición central del sujeto la constituye lacapacidad de representación. Aquí están in-cluídos el juego y la imitación, por ejemplo.De esta manera, el mundo de la acción que-da enriquecido con la posibilidad de repre-sentar las acciones. A pesar de este progresoque mostrará todo su potencial un poco másadelante, en esta etapa el pensamiento delsujeto sigue anclado a la esfera del compor-tamiento motor. El sujeto confía en su expe-riencia perceptual; el progreso se empieza amanifestar en la posibilidad de representa-ción de situaciones pasadas.

Posteriormente, las acciones interiorizadasse organizan de manera tal que adquierenla reversibilidad. Por ejemplo, ante la pre-gunta de si hay más plastilina en una bola oen la salchicha que se hace con la mismabola, el sujeto contesta que igual porquebasta deshacer la salchicha y convertirla denuevo en la bola original. Este argumentotiene ya en él la necesidad lógica, que ma-nifiesta la aparición del pensamiento lógico.Aunque ya se tiene la capacidad de repre-sentar operaciones (acciones simbolizadasmentalmente que son reversibles, como enel ejemplo anterior) y de razonar lógicamen-te, el pensamiento sigue anclado a lo concre-to: las operaciones sólo se pueden aplicar aobjetos materiales. La capacidad de cons-

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truir seriaciones, clasificaciones (de objetospor su tamaño, por ejemplo), corresponden-cias entre colecciones, son característicasdel periodo.

Más adelante el sujeto arriba al periodo delas operaciones formales. En él, aparece la re-versibilidad en el plano lógico; el pensamien-to abstracto y sobre todo, el pensamiento hi-potético-deductivo. Debe decirse, que latransformación de las estructuras cognitivasdel sujeto no es un proceso de maduración,en el que aquél se sienta a esperar la llegadade las estructuras cognitivas. La construccióncognitiva implica un proceso activo. Eso nosignifica, por otra parte, como ya hemos teni-do oportunidad de señalar, que las construc-ciones sean siempre conscientes.

Un error que no debe cometerse es supo-ner que estas etapas del desarrollo cogniti-vo están claramente separadas. No es así. Esmás adecuado pensar las etapas como refe-rencias generales, como registros de carac-terísticas centrales del desarrollo cognitivo.Cada una de las cuales quedará subsumidaen la etapa siguiente. Es decir, (Piaget-Gar-cía, 1983, p. 9):

...no sólo los estadios sucesivos de laconstrucción de las diferentes formasdel saber son secuenciales —es decir,que cada uno es a la vez resultado de lasposibilidades abiertas por el preceden-te y condición necesaria de la forma-ción del siguiente— sino, además, cadanuevo estadio comienza por una reor-ganización a otro nivel, de las principa-les adquisiciones logradas en losprecedentes.

Asimilación y acomodación

La capacidad de simbolización y la interioriza-ción de las acciones conducen eventualmente

a la formación de operaciones y de esquemas

conceptuales. Un objeto se le conoce cuando

se le asimila a un esquema. La asimilación es

un acto de interpretación mediante el cual un

objeto es reconocido como admisible (recor-

demos el ejemplo del esquema martillar).

Entonces, al ser asimilado a un esquema, un

objeto queda inserto en una red de relaciones,

mediante las cuales adquiere significado. Es de-

cir, el objeto es conceptualizado. De esta for-

ma, el sujeto va organizando sus experiencias

y, mediante la coordinación de esquemas, va

construyendo estructuras cognitivas cada vez

con mayor nivel de organización. Considere-

mos los ejemplos siguientes: percibir algo

como una montaña, es asimilar ese algo me-

diante cierta estructura cognitiva, estructura

constituida por un sistema de esquemas que

involucran espacio, sustancia y volumen. Otro

ejemplo: cuando percibimos algo como una

llave, ese reconocimiento del objeto no tiene

que ver con el hecho de que sea metálico sino

con su forma, que sugiere su función. Es decir,

llave es un concepto operativo. El objeto de

nuestra cognición no llega directo a nuestro

sistema cognitivo. Lo que se produce es una in-

terpretación del objeto material (o conceptual,

ya veremos ejemplos) en términos de estructu-

ras cognitivas anteriores. Si la interpretación

permite la acción del sujeto sin mayores con-

flictos, diremos que se ha producido una asimi-

lación conservadora. Este tipo de asimilaciones

fija el esquema en cuestión dentro de la estruc-

tura cognitiva. Puede ocurrir, empero, que la

asimilación al esquema no genere el resultado

esperado. En ese caso, ocurre una desequili-

bración del esquema cognitivo. El esquema (o

la estructura cognitiva) responde entonces a la

perturbación, acomodándose a su contenido.

Un objeto, tal como lo entendemos en deter-

minado momento, es una conceptualiza-

ción. La construcción del objeto, que conti-

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núa indefinidamente es, desde la perspectiva

del sujeto, parte del proceso de interioriza-

ción de su entorno.

Esa interiorización es un proceso de concep-

tualización del entorno y en ese sentido, po-

demos afirmar que el entorno adquiere así,

su dimensión histórica. Queda humanizado.

La objetivación del conocimiento depende

entonces del aumento de actividad cognitiva

por parte del sujeto, dando como resultado

estructuras más equilibradas.

En sus comienzos, la asimilación es esen-cialmente la utilización del medio exter-no por el sujeto con el fin de alimentarsus esquemas hereditarios o adquiridos.Es evidente que tales esquemas, visión,succión, prensión, tienen necesidad deacomodarse continuamente a las cosas.

A medida que los esquemas se multipli-can...la asimilación deja pues de incor-porar simplemente las cosas a la propiaactividad para establecer una red de re-laciones cada vez más estrecha de coor-dinaciones entre los esquemas quedefinen a ésta y en consecuencia entrelas cosas a las que dichos esquemas seaplican.(Véase Piaget 1995, p. 321).

Un poco más adelante (p.325) añade:

La asimilación y la acomodación consti-tuyen así, desde el plano sensoriomo-tor, un proceso formador análogo alque representan en el plano de la inteli-gencia verbal y reflexiva, las relacionesdel pensamiento individual y la sociali-zación: del mismo modo que la acomo-dación al punto de vista de los otrospermite al pensamiento individual si-tuarse en un conjunto de perspectivasque asegura su objetividad y reduce suegocentrismo, igualmente, la coordina-ción de la asimilación y la acomodaciónsensoriomotrices, conduce al sujeto a

salirse de sí mismo para (...) objetivar suuniverso.

En estas citas se encuentra ya la clave paraexplicar la objetividad desde un enfoqueepistemológico construtivista. Es decir, des-de un enfoque que no toma la objetividadcomo algo que pueda existir al margen delsujeto, al margen del observador.

Epistemología y Psicología

Es frecuente que una epistemología haga re-ferencia a hechos psicológicos. Por ejemplo,el empirismo nos dice que el sujeto es pasivoy se limita a registrar los datos que le suminis-tra la experiencia. Sin embargo, el empirismono ha dado, en ningún momento de su desa-rrollo, pruebas de que el sujeto se comporte,en efecto, como allí se dice. Si no hay una ex-perimentación, como la que ha desarrolladola epistemología genética a través de la psi-cología genética, carecen de fundamento taltipo de afirmaciones. Por su parte, Piaget lo-gró sacar a la epistemología del terreno espe-culativo y convertirla en una investigación endonde las afirmaciones sobre el conocimien-to, sobre el sujeto epistémico, estuvieran fun-damentadas en un trabajo experimental y sis-temático. Es decir, llevó a la epistemología alstatus de ciencia experimental.

La epistemología genética es el estudio de laconstitución del conocimiento válido. Es decir,el estudio de las condiciones mediante las cua-les se produce el conocimiento y además el delos métodos que validan ese conocimiento. Laprimera condición es de carácter fáctico y lasegunda de carácter normativo. La epistemo-logía genética trata de cuestiones que involu-cran cuándo una afirmación puede ser justifi-cada y bajo qué criterios. Los criteriospsicogenéticos han alcanzado tal notoriedad

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que a veces se confunde todo el edificio pia-

getiano con la psicología genética.

Hay otro terreno que también es fuente de

fundamentación empírica para la epistemo-

logía: la historia de la ciencia.

Esto es particularmente importante a la hora

del estudio epistemológico de las matemáti-

cas. En relación a esta disciplina, podemos

argumentar que los problemas de orden nor-

mativo son más o menos claros. Tienen que

ver con los procesos deductivos, con la es-

tructura de las demostraciones. Las cuestio-

nes de orden fáctico se abordan (principal-

mente cuando vemos las matemáticas como

un cuerpo de conocimientos constituido)

desde la historia. Es pertinente responder la

pregunta: ¿cómo se concibe a la historia en

este programa de investigación? de inmedia-

to podemos responder que no se concibe

como un relato lineal, en el que cada cosa

tiene un antecedente claramente diferencia-

do. Más bien, la historia será concebida de

acuerdo a la ya celebre expresión del histo-

riador holandés Dijkterhuis, (véase Piaget-

García,1982, p.60) como un laboratorio epis-

temológico. ¿Qué significa esta expresión?

Quiere decir que la historia, desde el punto

de vista epistemológico, debe investigarse

buscando en ella las condiciones que han he-

cho posible el conocimiento y los mecanis-

mos de su validación. Será necesario enton-

ces recuperar la dinámica del desarrollo

histórico pues es en la dinámica donde apa-

recen los mecanismos de paso de una etapa

a la siguiente. Como ya hemos hablado de

dos procesos de transición de un nivel de co-

nocimiento a otro mejor (en la historia y en la

psicogénesis) resulta natural que parte de la

experimentación en el dominio de la episte-

mología genética incluya una comparación

entre estos estratos de desarrollo.

Podría pensarse que los estudios psicogené-ticos y los estudios históricos son dos formastotalmente diferentes de abordar los proble-mas de construcción de los conocimientos.Sin embargo, la epistemología genética seencarga de argumentar con fuerza que losmecanismos de desarrollo del conocimientoa nivel histórico son los mismos que los co-rrespondientes a nivel psicogenético. Esta esuna tesis que no quisiéramos dejar de seña-lar, aunque requiere de un análisis más cuida-doso que el que podremos hacer en este mo-mento (véase Piaget-García, 1982).

Regresemos al problema de los hechos y lasnormas. Tanto en la historia como en la psi-cogénesis, puede observarse que los hechosy las normas no permanecen desvinculadosunos de las otras. La razón es que el sujeto yel objeto de conocimiento están indisoluble-mente vinculados. Entonces aunque se tratede la validación dentro de un sistema lógico,de una cierta proposición, no podemos olvi-dar que hay un problema de hecho (en estecaso psicogenético) involucrado, como lo esla construcción de la lógica por el sujeto. Deallí que la significación epistémica de esteinstrumento de conocimiento —es decir, suempleo para la construcción de un conoci-miento válido—, no es independiente de sumodo de construcción (véase la Introduc-ción en Piaget-García, 1982).

Aspectos figurativos y operativosdel pensamiento

La representación nos remite a los aspectosoperativos del pensamiento, mientras que lapercepción nos remite a los figurativos. Vea-mos un ejemplo. Tenemos dos recipientes,uno delgado y alto y uno ancho y bajo. Va-mos a trasvasar un líquido del recipiente del-gado al ancho. Si le preguntamos a un niño

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pequeño (alrededor de los 7 años o menos)

antes de hacerlo, si la cantidad de líquido per-

manecerá igual después de trasvasar el líqui-

do, no sabe qué contestar.

Cuando se efectúa el trasvasamiento, en su

presencia, y él verifica que el nivel del líquido

en el recipiente ancho es inferior al que tenía

en el recipiente delgado, entonces concluye

que la cantidad de líquido ha cambiado: aho-ra hay menos, es su respuesta. Es una res-

puesta típica de esta etapa el que los sujetos

privilegien una de las dimensiones (la altura)

del vaso a la hora de la interpretación del

dato perceptual. Este aspecto figurativo del

pensamiento, será sustituido más adelante,

cuando el sujeto ya esté en posesión de la re-

versibilidad aún cuando sea al nivel de las

operaciones concretas. Es decir, realizadas

sobre objetos materiales. Entonces, el sujeto

podrá comprender que hay una compensa-

ción: el líquido sube menos porque ahora su

superficie es mayor. Inclusive puede demos-

trar que la cantidad de líquido no ha variado,

para lo cual recurre a la posibilidad de rever-

tir la acción del trasvasamiento. Bastaría que

se restituyera el líquido al recipiente original

para constatar que la cantidad es la misma.

Esta forma de razonamiento es claramente

operativa. El razonamiento se ha desligado

de la percepción.

Dos formas de conocimiento

Distingamos dos formas de conocimiento:

i) conocimientos construidos mediante laexperiencia física en todas sus formas

ii) conocimientos lógico-matemáticos.

Hay que recalcar que los conocimientos

construidos mediante la experiencia física no

son copias de objetos materiales o de even-

tos externos al sujeto. Siempre son (re)cons-trucciones que el sujeto hace a partir de laasimilación del objeto o del evento, a sus es-quemas conceptuales. Cuando el sujeto per-cibe un objeto, éste adquiere la categoría deobservable una vez que el sujeto lo interpre-ta desde su sistema conceptual. Un actorprofesional puede darse cuenta, mientrasasiste a una puesta en escena, que la actua-ción del protagonista es mala, aunque estono sea claro para los espectadores debido alos trucos del protagonista, que disimula sufalta de calidad histriónica. Es decir, paraellos, la mala actuación no es un observable,aunque estén presenciando la puesta en es-cena. Una persona sin la preparación profe-sional necesaria, no distingue entre el virusdel sida y la bacteria del cólera. Estos ejem-plos y los diversos que el lector es capaz deimaginar, señalan algo importante: toda ob-servación que hacemos pasa por el filtro deuna interpretación. Como ha dicho Hanson(Hanson, N.R, 1977, p.13):

toda observación está cargada de teoría

Los observables pues, son observaciones in-terpretadas. Por ello, en ausencia de un mar-co asimilador (piénsese en la situación delobservador y el microscopio), el sujeto noatribuye una significación al dato perceptualque permanece entonces al nivel de registrosensorial sin mayores consecuencias cogniti-vas. Son pues los observables que se produ-cen mediante la experiencia física del sujeto,lo primero que resulta de interés para la ela-boración del conocimiento físico. Una vezque estos observables son susceptibles de in-corporación a una teoría, entonces se trans-forman en hechos de esa teoría.

Un dato físico aislado, sin interpretación, esun buen ejemplo de situación caótica. Sólo

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la actividad cognitiva del sujeto lo torna inte-ligible, al transformarlo en un observable. Poraquí empieza la construcción de la realidad,entendida como resultado de la actividadcognitiva del sujeto, que progresivamentecoordina sus puntos de vista, vinculadossiempre, eso sí, al mundo de sus experien-cias. A este respecto:

...En términos de inteligencia reflexiva,la deducción se organiza y aplica a unaexperiencia concebida como exterior.De ahí que el universo se constituya enun conjunto de objetos permanentesvinculados por relaciones causales...si-tuados en un espacio y tiempo...la pers-pectiva del sujeto sobre el universo setransforma radicalmente: del egocen-trismo integral a la objetividad, tal es laley de su evolución. (Piaget, 1995, pp.327)

Cuando hablamos de actividad lógico-mate-mática, no nos estamos refiriendo exclusiva-mente a la actividad dentro de las disciplinasaltamente organizadas como el álgebra o lalógica proposicional. Nos estamos refirien-do, de manera amplia, al razonamiento delsujeto cuando, por ejemplo, dice que la can-tidad de líquido permanece igual —a pesarde las apariencias contrarias— al trasvasarlode un recipiente de determinada forma aotro de una forma totalmente distinta. Loque el sujeto pone en juego en tal situaciónes una estructura lógica, al margen del gradode formalización que podamos atribuirle.Análogamente, cuando el sujeto de ciertaedad (cognitiva) dice que no hay el númeromás grande porque dado ese número él po-dría construir otro más grande sumándole ununo, está razonando matemáticamente. Lasestructuras lógico-matemáticas son puesaquellas que el sujeto posee como resultadode la interiorización de sus acciones y de lacoordinación de las mismas.

Se pasa de la lógica de la acción (dar un ro-deo para evitar un obstáculo, a la edad detres años, por ejemplo, es poner en marchala lógica de la acción) a la lógica de las ope-raciones pues, las operaciones son, al finalde cuentas, resultado de la interiorizaciónde las acciones. De allí que resulte delicadodesvincular los problemas de hecho, de losde validación formal. Sin embargo el nivelde las operaciones es solidario del nivel delas acciones, en el sentido que el de las ac-ciones queda subsumido en el de las opera-ciones. Aquí aparece una de las característi-cas básicas de los procesos de estructura-ción: cada nivel queda subsumido en elsiguiente donde se produce una re-semanti-zación del nivel anterior. Nos quedaremosaquí, a las orillas de un tema fascinante: lasrelaciones entre los niveles biológico y cog-nitivo. En cuanto al acuerdo entre las es-tructuras lógico-matemáticas y la experien-cia, aparte de la actividad estructurante delsujeto que (re)define el mundo a partir desus experiencias, habrá que tomar en cuen-ta que su pensamiento depende en ciertogrado de los recursos del organismo —porejemplo, de la estructura de sus sentidosque le suministran cierta “materia prima” yno otra. Un pregunta que se impone (véasela siguiente sección) es:

¿Qué significa la objetividad cuando he-mos redefinido al objeto?

En la medida en que el sujeto actúe sobre undeterminado objeto, aumentará el grado deobjetividad de sus conocimientos sobre di-cho objeto pues ese grado no puede medirsesino de acuerdo a la forma endógena de co-nocimiento producido. La objetividad es ladel conocimiento endógeno. Pensemos quees la actividad del sujeto la que organiza, es-tructura el conocimiento.

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El universo lógico-matemático no sustituye al

universo físico, sino que éste queda sumergi-

do en aquél, y así puede ser mejor explicado.

Sobre el realismo y la realidad

Las epistemologías clásicas fundadas sobre

el apriorismo o sobre el empirismo, son rea-

listas. Es decir, suponen la existencia de una

realidad exterior al sujeto cognoscente que,

de alguna manera, atesora el conocimiento al

que el sujeto puede acceder a través de su in-

teracción con ella. La epistemología genética

nunca ha negado la existencia de un mundo

exterior al sujeto epistémico; sólo que conci-

be al conocimiento como resultado de los

procesos fundamentales de asimilación y

acomodación. El resultado es, en cada caso,

una estructura cognitiva. El mundo al que se

enfrenta el sujeto es el mundo de sus expe-

riencias. De allí que no se pueda decir que el

incremento de organización interna de las

estructuras cognitivas acerque al sujeto a la

verdadera estructura del mundo exterior

sino que lo dota de un conocimiento cada

vez mas viable (es decir, más adecuado) que

resulta de organizar el mundo de sus expe-

riencias. Cuando un sujeto está involucrado

en una actividad cognitiva, puede o no tener

éxito en sus objetivos. Es entonces allí, en el

terreno de la reflexión sobre sus acciones, en

donde tiene sentido hablar de verdadero o

falso. Nunca a partir de una supuesta corres-

pondencia del conocimiento con el mundo

exterior al sujeto epistémico. Así surge la no-

ción de realidad y objetividad: son nociones

que se van generando mediante la actividad

del sujeto epistémico. En efecto (Ferreiro, E.

y García, R. 1978, p.17):

La objetividad no está garantizada en elpunto de partida, no coincide con elregistro perceptivo directo puesto que

no hay registro pasivo de los hechos, y

mal podría coincidir con un aparta-

miento del sujeto. En la concepción

epistemológica sustentada por Piaget,

un incremento de objetividad será de-

pendiente de un incremento de activi-

dad por parte del sujeto...en ningún

nivel del conocimiento empírico hay

una frontera delimitable entre las pro-

piedades del objeto asimilado y las es-

tructuras del sujeto asimilador. Para

conocer, el sujeto debe poseer ciertas

estructuras asimiladoras que funcionan

como órganos del conocimiento...

pero esas estructuras asimiladoras no

preexisten a la acción sino que se cons-

tituyen en virtud de los requerimientos

de la acción.

En el lenguaje cotidiano se presenta unafuerte tendencia a la sustantivación. Porejemplo, si una bailarina se mueve caden-ciosamente, decimos que sus movimientosson cadenciosos. Es decir posee movimien-tos acompasados. Si a una persona le duelela cabeza, diremos que tiene un dolor decabeza. En lugar de mover usamos movi-mientos; en lugar de doler usamos dolor.Esta tendencia a sustantivar, a crear cosas,seguramente es causa del realismo de lasepistemologías clásicas. Quizá de aquípueda surgir una estrategia para entenderla epistemología genética. Se trataría de re-cuperar los verbos: en lugar de conoci-miento objetivo, mejor hablemos de objeti-var; en lugar de conocimiento, mejorhablemos de conocer; en lugar de realidad,mejor hablar de realizar; en lugar de ver-dad, mejor hablemos de verificar, etc. to-dos estos verbos son acciones (cognitivas)que realiza el sujeto cognoscente. Por esodecíamos que un incremento de actividaddel sujeto comporta un incremento de ob-jetividad: en este caso, la actividad del suje-to se confunde con objetivar.

213


Nota sobre la equilibración de lasestructuras cognitivas

El desarrollo cognitivo consiste en una organi-

zación progresiva de las estructuras cognitivas.

Un mayor grado de organización de una es-

tructura cognitiva implica un mayor equilibrio

de la misma. El equilibrio se refiere al estado en

el cual las estructuras cognitivas de un sujeto

han dado y continúan dando los resultados es-

perados, sin que salgan a la superficie ningún

tipo de conflictos conceptuales. Por ejemplo,

ante una perturbación causada por un objeto

o un evento que trata de ser asimilado por un

esquema, éste se acomoda generando una

mejor discriminación de los objetos o eventos

admisibles para el esquema o bien modifican-

do drásticamente el esquema hasta el punto

de producir un nuevo esquema. Diremos que

la conquista de este nuevo nivel de equilibrio

es un cambio cognitivo que identificamos con

el aprendizaje. A nivel sensoriomotor (todos te-

nemos un nivel de funcionamiento sensorio-

motor!) los esquemas de acción son cruciales

para alcanzar nuestras metas dentro del mun-

do de nuestras experiencias. A nivel reflexivo,

los esquemas operatorios son centrales para el

logro de una red conceptual coherente. Los es-

quemas tanto de acción como operatorios,

que resultan viables (es decir que producen re-

sultados adecuados de acuerdo a los propósi-

tos del sujeto) se retienen a título de orientado-

res de la acción. Refraseando una de las citas

ya presentadas, el sujeto se adapta al mundo

de sus experiencias mediante la adaptación de

sus esquemas cognitivos.

En el estudio del desarrollo cognitivo, es decir,

en el incremento de organización interna, la

noción de esquema es central. Si decidiéra-

mos adoptar una metáfora computacional, di-

ríamos que un esquema es como una sub-ruti-

na o como un programa.

Sobre la abstracción

La abstracción se entiende comúnmente

como un acto de extracción (o de separación)

de una característica de un objeto. Por ejem-

plo, podemos abstraer de los cuerpos la no-

ción de peso. La idea de color, de hecho, es re-

sultado de una abstracción. La idea de forma

de los cuerpos también es una abstracción.

Así, la circunferencia, el triángulo, el cuadrado,

son resultado de abstracciones. A esta forma

de abstracción, en donde la noción abstraída

se extrae directamente de los objetos (que

siempre son objetos conceptuales), Piaget la

denomina abstracción empírica.

El proceso mental de abstracción puede ser

consciente o inconsciente. De hecho la ma-

yoría de las veces es inconsciente. Por ejem-

plo, al ver un mango, de inmediato lo reco-

nocemos. No importa si es de manila, ataúlfo

o de cualquier otro tipo, sabemos que es un

mango. ¿Qué es lo que reconocemos, más

allá de las diferencias obvias en forma, color

y tamaño? cuando se hace esta pregunta a

una persona, normalmente se queda perple-

ja, pues sabe que lo que ve es un mango,

pero no sabe por qué lo reconoce (y sin em-

bargo, le parece obvio que lo que ve es un

mango). No es consciente del proceso de

abstracción necesario para haber llegado a la

noción de mango. Desde luego, esto mismo

se puede decir de casi cualquier otra catego-

ría; algunas incluso, las hemos formado a

edad muy temprana.

Sobre la re–presentación

Hemos insistido en las páginas anteriores, que

el conocimiento no es una representación del

objeto (de conocimiento). Es decir, no es una

copia de un supuesto modelo, como la que

214


haría un pintor cuando tiene delante de sí unpaisaje que trata de llevar al lienzo. Entonces,la representación, como copia, no tiene cabi-da en la epistemología genética. Veamos aho-ra el término re–presentación. Cuando vamosal teatro, por ejemplo, vemos una re–presen-tación de una obra. Lo que hace una actriz oun actor es re–presentar un papel. Es funda-mental entender que en una re–presentaciónhay un elemento de construcción del sujeto.Tal construcción está presente tanto en elagente de la re–presentación (la actriz, el ac-tor) como en aquello que es re–presentado(que es algo construido por otro sujeto). Enepistemología genética al término representa-ción siempre debe dársele el significado dere-presentación.

La capacidad de representación tiene su fun-damento en la existencia de la función se-miótica o simbólica. En determinado mo-mento del desarrollo cognitivo, el sujetopuede re–presentar sus acciones hechas so-bre objetos materiales, mediante esquemasmentales. Estos esquemas mentales actúan omejor, operan, sobre las representacionesmentales de los objetos materiales. Es decir,tanto los objetos como las acciones sobreellos son susceptibles de ser representadosmentalmente. Como sabemos, esto es funda-mental para la construcción de los esquemasy estructuras cognitivos. Pero la capacidadsemiótica del sujeto le permite otras formasde representación. Por ejemplo, cuando re-cuerdo un rostro, lo estoy representando (re-cuerde: en el sentido de re–presentar). Escomo si recordar fuera equivalente a ejecu-tar un programa que tenemos almacenado.Pero también puedo dibujarlo. El dibujo esotra forma de representación. Es un registrográfico.

Este es un tema muy importante; en particu-lar en matemáticas. Puedo representar una

circunferencia mediante un registro gráfico,

un dibujo sobre el pizarrón, sobre una hoja.

Puedo también representarlo mediante una

ecuación (de la geometría analítica). Esta es

una forma de representación simbólica.

Abstracción reflexiva

En contraste con la abstracción empírica, la

abstracción reflexiva, es el mecanismo que

nos sirve para formar abstracciones a partir,

no de los objetos, sino de las acciones que

realizamos sobre tales objetos. Por ejemplo,

si tenemos una colección de veinte objetos,

sabemos que no importa la disposición geo-

métrica que demos a esa colección, sobre

una mesa, siempre habrá veinte objetos. Ese

saber (i.e.: que no varía el número de obje-

tos) es distinto a saber que un determinado

objeto tiene forma rectangular. Es un saber

extraído de la coordinación de nuestras ac-

ciones sobre esos veinte objetos. No es un

conocimiento sobre los objetos mismos. De

allí el nombre reflexiva que se da a esta forma

de abstracción pues resulta de reflexionar so-

bre nuestras acciones. Atención: el término

reflexiva de esta forma de abstracción, tiene

una connotación adicional. En nuestro ejem-

plo, se trata de que primero reflejamos (pro-

yectamos) nuestra acción (contar) sobre el

plano de las operaciones. Es allí, en el plano

de la representación de las acciones, donde

descubrimos que el número de objetos es in-

dependiente de la ubicación sobre la mesa.

En promedio, un niño de ocho años ya sabe

esto. Cuando le preguntamos a un adoles-

cente si el número de objetos cambia al mo-

dificar su disposición geométrica, hasta se

sorprende de que le hagamos la pregunta.

Para él ya resulta obvio, necesario, que sea

así. No es consciente de que ha realizado,

tiempo atrás, una abstracción reflexiva.

215


Es necesario detenernos un poco en el térmi-no reflexión. Por una parte se refiere a unacto mental. Como meditar, considerar. Porotra, se refiere a la reflexión, por ejemplo dela luz, sobre una superficie. Ambas acepcio-nes entran en la definición de abstracción re-flexiva. Cuando decimos que una acción serefleja sobre el plano de las operaciones(como en el ejemplo sobre la invariancia delnúmero de objetos), también podríamos de-cir, que la acción se proyecta sobre el planode las operaciones.

Los individuos construyen conceptos y conellos estructuras conceptuales; luego re-es-tructuran éstas para formar esquemas máspotentes. Tal es el proceso de organizacióncreciente del sistema cognitivo. En él, la abs-tracción reflexiva juega un papel central.

Observaciones sobre la educaciónmatemática

Las ideas que se van a presentar se han idoelaborando a partir del trabajo con profeso-res y estudiantes de niveles superiores, y delestudio de artículos que tienen propósitos si-milares al nuestro. La epistemología genéticatiene como uno de sus pilares una teoríaconstructivista del conocimiento. De lo argu-mentado en la primera parte de este trabajo,podemos extraer las siguientes afirmaciones:

a) el sujeto construye su conocimiento

b) conocer es una función adaptativa.

La adaptación se refiere tanto a las accionessensoriomotoras como a las operacionesconceptuales que han probado ser viables(adecuadas, que producen los resultados de-seados) dentro del mundo de experienciasdel sujeto cognoscente. Las construccionesconceptuales se llevan a cabo para ampliar el

mapa de los caminos viables en el mundo de

las experiencias del sujeto. Nunca para obte-

ner un conocimiento-copia del mundo ónti-

co. La obra de la escuela piagetiana puede

entenderse como un pronunciado esfuerzo

para diseñar un modelo de construcción de

conocimiento viable. (Glasersfeld, 1991).

Frente al desequilibrio, producido por una si-

tuación nueva que el sujeto no puede asimi-

lar a sus estructuras cognitivas, él se ve forza-

do a modificar tales estructuras, para

acomodar el nuevo contenido. El doble pro-

ceso de asimilación-acomodación de las es-

tructuras cognitivas, está en el centro de la

explicación de cómo el sujeto construye su

mundo. La exploración del mundo que lo ro-

dea es una fuente permanente de desequili-

bración de las estructuras cognitivas del suje-

to. El constructivismo no estudia la realidad

sino la construcción de la realidad. Desde lue-

go, el sujeto cognoscente no es un Robinson

Crusoe, aislado, organizándolo y clasificán-

dolo todo. No, el sujeto cognoscente es un

ser social y la fuente primordial de sus dese-

quilibrios cognitivos (sobre todo, después de

la infancia) es justamente su entorno social,

cuando los medios y las estrategias del sujeto

se tornan insuficientes al compararlos con

los de los demás. De allí que la abstracción

reflexiva puesta en marcha a partir de sus ac-

ciones, debe complementarse con la inter-

pretación de la actividad de los demás. En su

libro Psicogénesis e Historia de la Ciencia,

(p.228) Piaget y García (1983) lo expresan

de modo por demás elocuente:

...la acción, excepto al comienzo mismodel período sensorio-motriz, no tiene lu-gar solamente en función de impulsosinternos...bien pronto en la experienciadel niño, las situaciones con las cualesse enfrenta son generadas por su entor-no social...no se asimilan objetos “pu-

216


ros”. Se asimilan situaciones en las

cuales los objetos desempeñan ciertos

papeles y no otros. Cuando el sistema

de comunicación del niño con su entor-

no social se hace más complejo y más

rico, y particularmente cuando el len-

guaje se convierte en el medio domi-

nante, lo que podríamos llamar la

experiencia directa de los objetos co-

mienza a quedar subordinada, al siste-

ma de significaciones que le otorga el

medio social. El problema que aquí sur-

ge para la epistemología genética es ex-

plicar cómo queda la asimilación, en

dichos casos, condicionada por el siste-

ma social de significaciones, y en qué

medida la interpretación de cada expe-

riencia depende de ellas.

Desconstrucción y Reconstrucción

La institución escolar recoge como objetos deenseñanza, las transposiciones de objetos con-ceptuales creados en el dominio de la investi-gación matemática (Kang-Kilpatrick, 1992). Losobjetos transpuestos ya no tienen la misma es-tructura ni la misma significación que los ob-jetos originales: han sido sometidos a unareorganización para que puedan ser coloca-dos dentro del discurso escolar. Esto nos en-frenta a lo que parecen dos formas diferentesde conocimiento: el que se construye dentrode la práctica de la investigación en el inte-rior de la matemática, y el que se transformaen conocimiento enseñable como resultadode una transposición. Parece entonces, queel proceso de (re)-construcción del conoci-miento por parte del estudiante, es decir, suproceso de aprendizaje, tiene como uno desus propósitos des-construir el conocimientotranspuesto (el enseñable) para re-construirun significado más profundo del conocimien-to que se pierde a causa de la transposición.Esta situación es de importancia decisiva

puesto que el profesor debe analizar las

construcciones que hacen sus estudiantes de

la realidad matemática a partir de sus expe-

riencias. La lectura de un texto matemático tí-

pico puede servir para ilustrar esta situación:

por ejemplo, al leer la definición formal del

concepto de función, los textos de cierto ni-

vel (libros de cálculo, por ejemplo) suelen en-

frentarnos a algo análogo a esto:

una función es una colección de paresordenados de suerte que si dos parestienen el mismo primer elemento, en-tonces tienen también el mismo segun-do elemento.

¿Qué puede hacer un estudiante con esta de-

finición? algo que siempre debe hacerse al

leer un texto de enseñanza escrito en un len-

guaje más o menos formal: buscar ejemplos,

tratar de asociarla a una tabla de valores, a

una gráfica y a otras formas de representa-

ción, que son las que se usan cuando se tra-

baja con este concepto; relacionarla con

otras ideas. El fin es construirle un significado.

En otros términos, uno busca hacer suyo lo

que fue presentado formalmente, mediante

la reelaboración de un contexto en donde el

tema bajo estudio sea familiar. La realidad

construida por el estudiante debe ser viable,

es decir, suficientemente adecuada para per-

mitirle actuar de manera efectiva. La acción,

desde luego, se refiere a acción en el mundode sus experiencias conceptuales. Es impor-

tante aquí volver a llamar la atención sobre el

hecho que todo este proceso de construc-

ción de una realidad matemática, no se reali-

za aisladamente sino que el estudiante des-

pliega una actividad interactiva que consiste

en coordinar sus puntos de vista con los de

los demás estudiantes y profesores. La entra-

da a un dominio consensual, le da a su cono-

cimiento una mayor y mejor objetividad. Rei-

teremos: la interacción social es una de las

217


principales fuentes de desequilibrio cogniti-vo y por ende, de aprendizaje. Pues el apren-dizaje aparecerá allí donde haya re-equilibra-ción de las estructuras cognitivas.

Hay razones profundas que conducen a laformalización de las estructuras conceptua-les de la matemática, pero no podemos olvi-dar la transposición que está involucrada. Laeducación, al reconocer estos dos niveles deconocimiento con los que tiene que tratar,estará en condiciones de enunciar que laconstrucción del significado es parte esencialdel aprendizaje de la matemática. Aquí es im-portante evitar la tentación dualista de pen-sar que todo lo produce el sujeto o que todolo produce el medio: el resultado lo es de lainteracción dialéctica entre las estructurasdel sujeto y su medio, que aquél tratará siem-pre de organizar, de estructurar (medianteuno de sus instrumentos básicos: la abstrac-ción reflexiva) para poderlo comprender: labúsqueda de razones funciona como motorde la cognición.

Historia y Cognición

El análisis histórico—crítico de las ideas mate-máticas nos permite identificar en el procesode elaboración de las ideas, ciertas formas deconcebir que, eventualmente, se convierten enobstáculos para el desarrollo de tales ideas.Como la epistemología trata de las circunstan-cias que hacen posible el conocimiento, a ta-les obstáculos se les llama obstáculos episte-mológicos. Un obstáculo epistemológico espues una forma de conocimiento que se tor-na inadecuada (ie: ya no es viable) para unacierta tarea cognitiva. Los obstáculos no de-saparecen cuando trasladamos las ideas ma-temáticas al discurso escolarizado. Allí, to-man otras formas, por ejemplo, aparecencomo errores que el estudiante comete reite-

radamente. Aquellos errores que aparecen

cuando el estudiante no puede resolver un

problema, cuando no entiende un enuncia-

do (siempre este no poder, no entender, es

desde la perspectiva del profesor) son mani-

festación de que una determinada estructura

cognitiva no puede ya asimilar una nueva si-

tuación que se le presenta. Es necesario en-

tonces que el profesor cuente con un mode-

lo de cómo funciona cognitivamente el

estudiante, para que encuentre, en conse-

cuencia, las situaciones propicias a las que, a

través de su mediación, se enfrente el estu-

diante en busca de una asimilación y acomo-

dación posibles. Una vez más: estas situacio-

nes incluyen la coordinación de puntos de

vista con sus pares, con el profesor, sobre

una temática que se define como pertinente,

a partir de normas sociales: las de la institu-

ción escolar.

Consideremos ahora un ejemplo, tomado

de un trabajo que se propone explorar las

ideas que los estudiantes tienen sobre lími-

tes. A estudiantes (que ya habían tomado

un curso de cálculo) se les pidió que con-

testasen esta pregunta:

¿Es 0.9999... igual a o menor que 1?

Con notable frecuencia, se obtuvieron res-

puestas de los siguientes tipos:

igual a uno porque la diferencia es infi-nitamente pequeña;

igual, porque en el infinito, están tancerca que pueden considerarse comoiguales;

menor que uno, aunque la diferenciaentre ellos es infinitamente pequeña;

menor que uno, pero es lo más cercanoque puede estarse de uno, sin que seauno.

218


Podemos concluir que en las respuestas de

los estudiantes subyacen elementos infinitesi-

males, que son activados por la pregunta. To-

mando en cuenta las tesis de la epistemolo-

gía piagetiana en cuanto a la pertinencia de

las comparaciones entre los desarrollos con-

ceptuales del individuo y los desarrollos con-

ceptuales histórico-colectivos, traigamos a

escena el texto de 1696 sobre el cálculo dife-

rencial, del Marqués de L’Hôpital. El texto tie-

ne, como uno de sus principios organizado-

res el siguiente:

Una cantidad que crece o decrece poruna cantidad infinitamente pequeñapuede seguir siendo considerada comoigual. Es decir, si a una cantidad (finita)le añadimos o le restamos una cantidadinfinitesimal, la nueva cantidad puedeser sustituida por la cantidad original.

Estamos obligados a modificar nuestra pri-

mera evaluación de las respuestas incorrec-

tas de los estudiantes. En efecto, ellas reflejan

la forma como operamos con una determi-

nada noción de infinitamente pequeño y de

infinitamente grande, en un contexto que po-

demos llamar práctico: desde tal perspectiva,

no hay diferencia entre estos números.

Como esta forma de concebir las cantidades

infinitesimales funciona, entonces la adopta-

mos como la forma correcta. Cuando pasa-

mos a otros contextos, incluso prácticos, ya

no nos ofrece respuestas adecuadas. Apare-

cen disfuncionamientos en la estructura con-

ceptual que hemos elaborado con aquella in-

terpretación, la cual aparece ahora como un

obstáculo para asimilar una nueva situación.

Resulta plausible afirmar que los obstáculos

en el proceso de aprendizaje son consustan-

ciales a dicho proceso, ya que el aprendizaje

es siempre contextual. Creemos que esto

puede verse en la historia y también en el de-

sarrollo individual.

La epistemología genética puede ofreceruna interpretación a estas cuestiones de losobstáculos a partir de la teoría de la equilibra-ción de las estructuras cognitivas. Nos con-duce además a reflexionar sobre un proble-ma de mucha importancia: que las reglas devalidación de una disciplina dependen delproceso de su formación histórica.

Lo anterior cobra mayor relevancia cuandolo ubicamos en el marco de las transposicio-nes, pues es allí donde es factible analizar lainteracción de las formas consideradas obs-táculos. El problema de la validación tieneimportancia no sólo como problema episte-mológico sino, además, como problema di-dáctico, pues no es posible seguir sostenien-do que la evaluación del alumno se hagacontra el discurso del profesor, sino que hade tener en cuenta las estructuras concep-tuales que el estudiante vaya desarrollando.

Dominios de inteligibilidad locales

La historia de la matemática nos enseña quedurante la evolución de una disciplina, se vanformando núcleos conceptuales alrededorde los cuales se adelanta la actividad mate-mática. A tales núcleos les llamaremos domi-nios de inteligibilidad locales (agradezco alProfesor Gil Henriques esta denominación yuna discusión esclarecedora sobre el conte-nido de esta sección). Veamos un ejemplotomado del cálculo diferencial. Durante el si-glo XVII, los problemas de máximos y míni-mos se identificaron con problemas de traza-do de tangentes en puntos especiales de unacurva que venía dada mediante una expre-sión analítica. Este tipo de representaciónanalítica permitió el ensanchamiento del uni-verso de curvas a las que podía trazarse unatangente. Así, surge una organización localcuyos componentes son:

219


1. una curva representada mediante una

ecuación

2. un campo operatorio que consiste esen-

cialmente en derivar la ecuación y hacer

igual a cero esta derivada.

La lectura de un texto de historia del Cálcu-

lo, por ejemplo, Edwards (1979) muestra

que este es el tipo de herramienta matemá-

tica que utilizaba P. de Fermat. Este domi-

nio local de inteligibilidad está anclado al

contexto que proporciona la geometría

analítica; generaliza el problema del traza-

do de tangentes mediante una nueva repre-

sentación del objeto geométrico que va a

ser manipulado: la curva. La exploración de

la derivada en este dominio local, no re-

quiere, en principio, que se tenga una defi-

nición formal del concepto que se está ex-

plorando. Mas bien, es a partir del dominio

local como se va gestando el concepto. En

el caso que estamos considerando, cuando

se trata de trazar tangentes a curvas conve-

xas el campo operatorio es suficiente; pero

surge un problema cuando se trata de tra-

zar una tangente en un punto de inflexión.

Allí, el campo operatorio indica que la tan-

gente es una recta que atraviesa a la curva;

pero la concepción de recta tangente —por

generalización de tangente a curvas conve-

xas— se opone a aceptarla como tal.

Esta tensión entre el campo operatorio y la

concepción de tangente se ve reforzada

por la eventual independencia que el cam-

po operatorio adquiere de la concepción

de tangente que le acompaña en un princi-

pio. Entonces estamos obligados a modifi-

car la concepción para que acomode situa-

ciones nuevas. De esta manera la concep-

ción original va adquiriendo un más alto ni-

vel de organización, se va haciendo más

abstracta, se va independizando del con-

texto del que surge y aparece un mayor

grado de compatibilidad con el campo

operatorio. Eventualmente, surge de esta

actividad, lo que denominamos el concepto

de derivada.

Es importante observar, que si bien las con-

cepciones son estructuras cognitivas, el con-

cepto producido desde ellas es un objeto for-

mal, que pertenece mas bien al lenguaje

matemático. Es una organización lógica, que

captura mediante un proceso de interioriza-

ción las acciones que se realizan sobre las

concepciones.

Cuando se parte del concepto formal, el es-

tudiante, como ya lo hemos dicho, se en-

frenta a la tarea de desconstruir la estructura

lógica, para recuperar los significados con-

textuales y situaciones que dieron lugar a la

construcción del concepto y a su intenciona-lidad. En esta tarea pone en juego su capaci-

dad de análisis y de asimilación. Sería iluso

pensar que los estudiantes, hablando en ge-

neral, puedan realizar todas estas actividades

por sí solos. Los procesos de aprendizaje y

de enseñanza son distintos pero de ninguna

manera podemos pretender que estén des-

vinculados. Es importante y necesaria la in-

tervención del profesor. Un comentario final

sobre estas cosas: las ideas que los estudian-

tes pusieron en juego para contestar sobre la

comparación entre 0.99999... y 1 forman

parte de sus concepciones sobre lo infinitesi-

mal. Sus respuestas fueron dadas desde una

estructura cognitiva de allí que no deberían

ser evaluadas con criterios que sólo se ade-

cúan a la estructura lógica, es decir, al con-

cepto.

En esta discusión sobre dominios de inteligi-

bilidad locales, concepciones y conceptos,

hemos cruzado un puente que va de la histo-

ria a la enseñanza. La vinculación entre ellas

220


es muy fuerte; ello queda reflejado en losmecanismos que permiten pasar de las con-cepciones a los conceptos tanto a nivel his-tórico como individual. De ninguna maneradeberá esto interpretarse como una asevera-ción sobre la equivalencia entre el desarrollodel conocimiento del individuo y el desarro-llo histórico del conocimiento en una comu-nidad. Lo que se dice, es que los mecanismospara pasar de un nivel de estructuración al si-guiente, son análogos.

Por ejemplo, tanto a nivel individual comocolectivo, los mecanismos de generalizacióny abstracción están presentes para pasar delas concepciones al concepto. La epistemo-logía genética sostiene que esto es así en to-dos los casos. Para un análisis detenido sobreestas cuestiones véase el texto “Psicogénesise Historia de la Ciencia” (Piaget y García,1983).

Afirmamos que, para la didáctica de la mate-mática, la historia sirve como un fundamentosobre el que podemos basar nuestros juiciosacerca de la naturaleza de nuestro conoci-miento.

Para terminar, una conclusión cuya pertinen-cia creemos haber construido a lo largo delescrito: no es posible aspirar a una epistemo-logía con un alto grado de cientificidad, almargen de la lógica y de la psicología.

Referencias

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Ferreiro, E, & García, R. (1978) Presentación a laedición castellana de Piaget, J: Introducción ala Epistemología Genética, Tomo I, Paidós,2a. edición, Buenos Aires.

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221


la epistemología genética: una interpretación

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