la fiabilité

7/30/2019 La Fiabilit

1/23

Chapitre 3 LA FIABILITE Page 44

STRATEGIES DE MAINTENANCE BTS MI

LA FIABILITE DES SYSTEMES DE PRODUCTION

I APPROCHE DE LA FIABILITE PAR LES PROBABILITES :

Dfinition selon la NF X 06501 : la fiabilit est la caractristique dun dispositif exprime par laprobabilit que ce dispositif accomplisse une fonction requise dans des conditions dutilisationdonnes et pour une priode de temps dtermine.

1. Probabilit :cest le rapport :

1possiblescasNb

favorablescasNb

On notera R(t) la probabilit de fonctionnement linstant t. Le symbole R provient de langlais Reliability.

On notera F(t) la fonction dfinie par F(t)=1-R(t). Cest la probabilit complmentaire. F(t) est la probabilit dedfaillance linstant t. F(t)+R(t)=1.

2. Fonction requise :ou accomplir une mission ou rendre le service attendu. La dfinition de la fonction requiseimplique un seuil dadmissibiliten de duquel la fonction nest plus remplie.

3. Conditions dutilisation : dfinition des conditions dusage, cest dire lenvironnement et ses variations, lescontraintes mcaniques, chimiques, physiques, etc. Il est vident que le mme matriel plac dans 2 contextesde fonctionnement diffrents naura pas la mme fiabilit.

4. Priode de temps :dfinition de la dure de mission Ten units dusage. Ex : on se fixe un minimum R(Tm) =0,9 pour une dure de mission Tm = 8000 heures ; tout instant Ti de la mission est associe une fiabilit R(ti).

Ex : moteur de voiture prpar pour les 24 heures du Mans :

Probabilit : cest celle de terminer; fiabilit requise=0,98

Fonction requise : 200 km/h de moyenne (seuil minimal)

Conditions dutilisation : de jour, de nuit, avec de la pluie, n ravitaillements, etc.

Priode de temps : au bout de 24 heures (dure de la mission)

II EXPRESSIONS MATHEMATIQUES :

21 Fonctions de distribution et de rpartition :

Notion de variable alatoire :on appelle variable alatoire X une variable telle qu chaque valeur x de la VA X on

puisse associer une probabilit F(x). Une variable alatoire est donc une fonction qui chaque vnement duneexprience alatoire associe un nombre rel.

Une VA peut tre :

Continue : intervalle de temps entre 2 dfaillances conscutives

Discrte : nombre de dfaillance sur un intervalle de temps

Soit une loi de probabilit relative une VA continue T.

Cette loi est caractrise par sa fonction de distribution (appele aussi densit de probabilit) f(t) et par sa fonction derpartition F(t) telles que :

0

( ) ( )( ) lim

dt

dF t P t T t dt f t

dt dt

La fonction F(t) reprsente la probabilit quun vnement (dfaillance) survienne linstant T dans lintervalle [0,t].

( ) ( )F t P T t

Comme ( ). ( ) ( ) ( ) ( )ti

f t dt P t T t dt F t f t dt P T ti

Remarque : si la VA est discrte, lexpression devient :0

( ) ( ) ( )n

F tn f ti P T tn


2/23




22 Application la fiabilit :

Un dispositif mis en marche la 1re

fois t=0 tombera inexorablement en panne un instant T non connu priori.

T (date de la panne), est une VA de la fonction de rpartition F(t).

F(t) probabilit de dfaillance avant un instant ti

R(t)

probabilit de bon fonctionnement ti R(t) + (F(t) = 1

0

( ) ( ) 1t

tf t dt f t dt

23 Taux de dfaillance :

On dfinit le taux de dfaillance de la manire suivante :

nombre de dfaillants sur un intervalle de temps(t)=

nombre de survivants au dbut de la priode x intervalle de temps

On dfinit :

N0 le nombre initial de dispositifs

Ns(t) est le nombre de dispositifs survivants linstant t

Ns(t + t) est le nombre de dispositifs survivants linstant t + t

Au niveau dune dfaillance, 2 cas peuvent se produire : Les dfaillants sont remplacs

Les dfaillants ne sont pas remplacs

Les dfaillants sont remplacs : Ns(t) sera toujours gal N0 :

On nomme C(t) le nombre de dfaillants durant t.

Daprs la formule gnrale du taux de dfaillance, on a :0

( )(t)=

.

C t

N t

.

Les dfaillants ne sont pas remplacs :( )

( ) ( )(t)=

.s t

Ns t Ns t t

N t

Ce taux de dfaillance est une valeur moyenne sur une priode t connue. Or, au mme titre que F(t) et R(t), il estintressant de connatre lvolution de (t) au cours du temps.

Cest le taux de dfaillance instantan:

On fait tendre t dt et (Ns(t) Ns(t +t)) dN. dN sera prcd du signe - car il y a moins de survivants (t +t) qu t.

( )(t)=

.t

dN

N dt

(t).dt=

( )

dN

N t

(t).dt est appel probabilit conditionnelle de dfaillance sur [t, t+dt].

Applications :

Cas N1 : les dfectueux sont remplacs. Une tude a tmene sur 70 vhicules pendant une priode allant de 80000km

90000km. 41 dfaillances ont t rpares. Dterminer le tauxde dfaillance pour cette priode.

4( ) 41( ) 0,585.10 /. 70.(90000 80000)

C tt panne km

No t


3/23




Cas N2 : les dfectueux ne sont pas remplacs. On teste un lot de 50 lectrovannes soumises en continu 8impulsions par minute. A la 50

meheure, il en reste 33. A la 60

meheure, il en reste 27. Dterminer le taux de dfaillance

sur cette classe, par heure et par impulsion.

3 5( ) ( ) 33 27( ) 18.10 / 3,79.10 / .( ). 33.10

Ns t Ns t t t def heure def imp

Ns t t

Si les lectrovannes taient remplaces, on obtiendrait :

3( ) 33 27( ) 12.10 /. 50 10

C tt def heure

No t x

Liaison entre le taux de dfaillance et la fiabilit :

Probabilit davoir une panne entre t et dt = probabilit de survivre linstant t x probabilit conditionnelle dedfaillance entre t et t+dt .

Cette expression est identique : ( ). ( ). (t).dt f(t)=R(t). (t)f t dt R t

Il vient donc lexpression du taux de dfaillance en fonction de la loi de fiabilit et la densit de probabilit :

f(t)(t)=R(t)

Synthse :


4/23




III EXPRESSIONS DES LOIS DE FIABILITE :

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ).( ) ( ). ( ) (1 ( )). 1 ( )

dF uf u

du

f u dF u dF u dF u u u du R u R u d u F u du F u

Intgrons les 2 membres entre 0 et t :

0 0 0 0

00

( ) ( )( ). ( ).

1 ( ) 1 ( )

( ). ln(1 ) ln(1 ( )) ln(1 (0))

t t t t

t t

dF u dF u u du u du

F u F u

u du Fu F t F

A t=0, il ny a pas de dfaillance, donc F(0) = 0, donc ln(1-F(0)) = ln1 = 0

0

( ).

0 ( ). ln(1 ( )) 1 ( ) ( )

tt u du

u du F t e F t R t

On obtient donc les expressions gnrales des lois de fiabilit :

0

0

0

( ).

( ).

( ).

0

( )

( ) 1 ( ) 1

( )( ) ( ).

( ) . ( ).

t

t

t

u du

u du

u du

R t e

F t R t e

dF tf t t e

dtMTBF E T t f t dt

La MTBF est dfinie comme tant lesprance mathmatique de la VA T.

IV LOIS DE COMPOSITION EN FIABILITE : ASSOCIATIONS DE MATERIELS :

Le problme qui se pose la maintenance au niveau de la fiabilit est son amlioration constante. Il peut pour celaintervenir sur la technologie du composant, agencer les composants ou sous-systmes de manire les rendre plusfiables par lutilisation de redondances dont on distingue 3 grandes catgories :

Les redondances actives

Les redondances passives ou stand-by

Les redondances majoritaires

41 Redondance active :

Une redondance active est ralise par la mise en parallle dlments assurant les mmes fonctions ettravaillant en mme temps.

On a donc faire un systme appel par les fiabilistes systme parallle .

Hypothses de dpart :

Les dfaillances sont indpendantes les unes des autres

La fiabilit de chaque sous-systme ou de chaque lment a t dtermine


5/23




Systme srie :

On dit quun systme est un systme srie dun point de vue fiabilit si le systme tombe en panne lorsquun seul deses lments est en panne.

E1 E2 Ei En

( ) ( 1 2 ... ... ) ( 1). ( 2).... ( ).... ( )Rs P S P S S Si Sn P S P S P Si P Sn 1

n

i

Rs Ri

Cette association est caractristique des quipements en ligne de production.

Systme // :

On dit quun systme est un systme // dun point de vue fiabilit si, lorsquun ou plusieurs de ses lments tombent enpanne, le systme ne tombe pas en panne.

E1

E2

Ei

En

Pour calculer la fonction fiabilit dun systme // n lments, ils est plus ais de passer par lafonction dfaillance F.

1 1 ( ) ( )

( 1). ( 2).... ( ).... ( ) 1. 2.... ....(1 1).(1 2)....(1 )....(1 )

1 (1 1).(1 2)....(1 )....(1 )

F R P S P S

F P S P S P Si P Sn F F Fi Fn F R R Ri Rn

Rs R R Ri Rn

1

1 (1 )n

i

Rs Ri

Dans un systme //, la fiabilit du systme est plus grande que la plus grande des fiabilits des lments composant lesystme. On utilise ce fait pour amliorer la fiabilit ; cela ralise une redondance active.

Si on dsire effectuer un calcul en fonction du temps, on doit introduire la fonction R(t).

Si ( ) tR t e , alors1

1 (1 )n

t

i

Rs e

.

42 Redondance passive :

Dans ce cas, un seul lment fonctionne, les autres sont en attente. Ceci a lavantage dediminuer ou de supprimer le vieillissement des lments ne travaillant pas. En contrepartie,on a linconvnient dtre oblig davoir un organe de dtection des pannes et decommutation dun systme sur un autre.

Le calcul dun systme redondance passive ou stand-by se fait en tenant compte de lavariable temps. Il faut donc connatre au pralable, pour chaque composant, son taux dedfaillance (t) et sa loi de fiabilit R(t).

Calcul dun systme redondance passive 2 lments en //:

E1

E2DC

Hypothse : le taux de dfaillance des lments E1 et E2 est constant et est gal 1e

et2e

.

Cette hypothse a pour consquence que les lois de fiabilit sont de type exponentiel :

1

e1R ( ) e

tt e et 2e2

R ( ) ett e

On fait aussi lhypothse que la fiabilit de lorgane DC est gale 1.

Il sera facile par la suite de la prendre en compte par la suite dans le calcul, cet organe tant en srie avec le systme{E1, E2}.

1 2

1 2

e1 e2

1 1 2 2

R ( ) et R ( )

( ) et ( )

e e

e e

t t

t t

e e e e

t e t e

f t e f t e

Le systme fonctionnera avec E1 ou E2, ces vnements tant mutuellement exclusifs (E1 sans E2 ou E2 sans E1,

mais jamais les 2 en mme temps).


6/23




R(S) = [Prob(S marche sachant que E1 marche) x Prob(E1 marche)]

+ [Prob(S marche sachant que E1 ne marche pas) x Prob(E1 ne marche pas)]

Prob(E1 ne marche pas) probabilit que E1 soit dfaillant

Prob(S marche sachant que E1 marche) = 1 (tant que E1 marche, S fonctionnera toujours)

Prob(E1 marche) probabilit que E1 fonctionne1

e1R ( )e t

t e

Probabilit que E1 tombe en panne sur lintervalle [0, t] linstant T = 11 10 0

( ) .et t

T

e ef t dt e dT

Probabilit que S marche sachant que E1 ne marche plus partir de T = 2 ( )e2R ( )e t Tt T e

1 1 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) . .

( ) 1 10 0

. . . ( )

( ) 1 10 0

. ( )

( ) 1

1 . . .

. . . . . . .

. . .

e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e e

t tt T t T t T t T

s t e e

t tt t T T t t T

s t e e

t t T

s t e

R xe e dT xe e e dT xe xe

R e e e e dT e e e dT

R e e e

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

( ).

10

1 2 0

( ).

( ) 1

1 2 1 2

( ).

( ) 1

1 2

1 2( )

. .( )

1. .

( ) ( )

1. .

( )

. .

e ee e

e e

e e

e e

e e

e e

t

Tt t t

e

e e

tt t

s t e

e e e e

tt t

s t e

e e

te e

s t

edT e e

eR e e

eR e e

e eR

2 2 1 2

1 1 2 2 1 2

1 1 2 1 2 1

. . ( )1 1

1 2

. . . .

1 2 1 1( )

1 2

. . .

1 2 1 1 1 2( )

1 2 1

. . .

. . . .

. . . . . .

e e e e

e e e e e e

e e e e e e

t t t t e e

e e

t t t t t t

e e e e s t

e e

t t t t t t

e e e e e e s t

e e e

e e e

e e e e R

e e e e e e R

2e

Si on prend en compte llment de dtection et de commutation DC, on obtient alors :2 1.

. 1 2( )

1 2

. ..

e e

DC

t tt e e

s t

e e

e eR e

Remarque : si on considre que tous les lments ont le mme taux de dfaillance , on obtient alors lexpression

suivante :. .

( ) . .(1 . )DC t t

s tR e e t

Pour n lments de taux de dfaillance identiques monts en //, on trouve :

1( ).

( )0

( . ).

!DC

ii nt

s ti

tR e

i


7/23




43 Redondance majoritaire :

La redondance majoritaire est telle que la fonction est assure si au moins la majorit des lments est en tat defonctionnement.

Cette redondance concerne surtout des signaux de grande scurit, et en particulier les quipements lectroniques. Lesignal de sortie est celui de la majorit des composants. Le cas le plus simple comporte 3 lments.

E3

D

E1

E2

On considre que lorgane D de dcision a une fiabilit gale 1.

RS=probabilit davoir plus de 2 lments en fonctionnement correct

Si Re1=Re2=Re3=R

33 2 3

32

. .(1 ) 3 2k

k k k

Sk

R C R R R R

Si on gnralise n (impair obligatoirement pour avoir une majorit) lments, on obtient :

1. .(1 ) avec

2

k nk k n k

S nk c

nR C R R c

La formule de calcul de c permet dobtenir la majorit des lments.

En tenant compte de la fiabilit du composant de dcision :

1. . .(1 ) avec

2

k nk k n k

S D nk c

nR R C R R c

44 Application :

Un processus estreprsent par le processusci-contre :

M1

0,85

M2

0,99

M3

0,99

M4

0,99

M5

0,99

T1

0,8

T2

0,99

T3

0,99

La fiabilit du systme entier est le produit de toutes les fiabilits lmentaires : Rs = 0,64

Pour amliorer cette fiabilit, on peut appliquer des redondances sur les systmes les moins fiables : M1 et T1.

Une des solutions peut consister utiliser 3 T1 et 2 M1. Economiquement, il va de soi que cette solution coterait trop

cher. On se contentera de redonder les lments faibles des systmes M1 et T1

M1M2

0,99

M3

0,99

M4

0,99

M5

0,99T1

T2

0,99

T3

0,99

M1 T1

T1

2 4 3 21 (1 0,85) 0,99 1 (1 0,8) 0,99 0,91Rs x x x Rsultat satisfaisant.


8/23




V ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI EXPONENTIELLE :

51 Dfinition de la loi exponentielle :

Rappel sur la dure de vie dun matriel :

t

tx de dfaillance

Maturit

On constate que durant la priode de maturit dun quipement,(t) est constant ou sensiblement constant. Cest le champ

dapplication de la loi exponentielle qui repose sur lhypothse = constante.

Les dfaillances mergent sous laction de causes diverses etindpendantes.

Si =cte, alors MTBF = 1/ en fiabilit

Si =cte (taux de rparation), alors MTTR = 1/ enmaintenabilit

0

0

( ).

.. .

0

( ) et comme ( )

( )

t

t

u du

tdu u t

R t e u cte

R t e e e

.( ) tR t e

Densit de probabilit : .( ) . tf t e

Fonction de rpartition : .( ) 1 ( ) 1 tF t R t e

Esprance mathmatique :1

( )E t MTBF

52 Dure de vie associe un seuil de fiabilit :

Il est intressant de savoir quel instant la fiabilit atteindra un seuil dtermin.

. 1 1 1( ) ln ( ) . .ln ( ) .ln( )

tR t e R t t t R t t R t

Ex : un composant a une MTBF de 2000 heures. A quelle date tj ce composant aura une fiabilit de 90% ?

1 1 1 1.ln .ln 2000 ln 211 heures

( ) ( ) 0,9tj MTBF x

R t R t

Au bout de 211 heures, on estime donc que 90% des composants survivront.

53 Reprsentation graphique de la loi exponentielle :

Si.( ) tR t e , alors ln ( ) .R t t en logarithmes npriens et

- .logR(t)=

2,3

ten logarithmes dcimaux.

Loi exponentielle sur chelle linaire Loi exponentielle sur papier semi logarithmique

t ou t

R(t)

m=1/

1/e=0,368

t

logR(t)

Droitedepente/2,3

1

2,3/

0,1


9/23




54 Estimation du taux de dfaillance :

Porter sur papier semi logarithmique les N points forms des couples (ti, Ri)

Tracer la courbe de rgression des N points

Si les N points sont sensiblement aligns, alors la loi de fiabilit est exponentielle

Dterminer par la pente de la courbe En dduire MTBF = 1/

En dduire.( ) tR t e

VI ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI DE WEIBULL :

61 Dfinition de la loi de Weibll :

Cest une loi de fiabilit 3 paramtres qui permet de prendre en compte les priodes o le taux de dfaillance nestpas constant (jeunesse et vieillesse). Cette loi permet :

Une estimation de la MTBF

Les calculs de (t) et de R(t) et leurs reprsentations graphiques

Grce au paramtre de forme dorienter un diagnostic, car peut tre caractristique de certains modes dedfaillanceLes 3 paramtres de la loi sont :

Paramtre de forme >0 sans dimension:

Si >1, le taux de dfaillance est croissant, caractristique de la zone de vieillesse

o 1,5 < < 2,5 : fatigue

o 3 < < 4 : usure, corrosion

Si =1, le taux de dfaillance est constant, caractristique de la zone de maturit

Si 0 qui sexprime dans lunit detemps

paramtre de position, - 0 : survie totale sur lintervalle de temps[0, ]

=0 : les dfaillances dbutent loriginedes temps

0= 0 < 0

t

f(t)

1

2t

avec 2 < 1

(t)R(t)f(t)

1

tt

=3

=3

=3

=1

=1

=0,5=0,5=1

t

0,5

1


10/23




Relations fondamentales :

Densit de probabilit :

1

( ) . . avec

tt

f t e t

Fonction de rpartition : ( ) 1

t

F t e

Loi de fiabilit : ( ) 1 ( )

t

R t F t e

Taux de dfaillance :

1 1

( ) ( ) 1( ) . . . ( ) .

( ) 1 ( )

t

t

f t f t t t t e t

R t F t e

MTBF et cart type :

1

0 0 0( ) . ( ). lim . ( ). lim . . . .

1( ) . (1 )

tx x

x x

tE t MTBF t f t dt t f t dt t e dt

E t MTBF A

B

est une fonction mathmatique complexe. A et B sont des paramtres issus de tables et sont calculs partir de la loi.


11/23




Ex : pour =1,2, =0 et =550 heures MTBF = 0,9407x550+0517 heures.


12/23




62 Dure de vie associe un seuil de fiabilit :

Il est intressant de savoir quel instant la fiabilit atteindra un seuil dtermin, en particulier les roulements billes.

1 1

1 1 1( ) ln ( ) ln ln . ln

( ) ( ) ( )

tt t t

R t e R t t

R t R t R t

63 Papier Weibll :

Cest un papier log / log qui comporte 4 axes :

Axe A : axe des temps sur lequel on porte les valeurs ti des TBF

Axe B : valeurs des probabilits de dfaillance Fi calcules par la mthode des rangs moyens ou des rangsmdians. On estime R(t) par R(t) = 1 F(t)

Axe a : axe des temps en logarithmes npriens : ln(t)

Axe b : axe qui permet lvaluation de

64 Dtermination graphique des paramtres de la loi :

1. Prparation des donnes : dtermination des couples (ti, Fi) par les rangs moyens ou les rangs mdians

2. Trac du nuage de points

3. Trac de la droite de Weibll

4. Dtermination de , ,

5. Dtermination des quations de la loi de Weibll

6. Calcul de la MTBF

7. Exploitation des donnes issues de la loi

AXE A

AXE A

AXE B

AXE a

AXE b


13/23




Exemple dapplication :

Prparation des donnes :

Ordre i TBF Fi

1 165 0,11

2 330 0,26

3 515 0,42

4 740 0,58

5 915 0,73

6 1320 0,89

Trac du nuage de points :

Trac de la droite de Weibll D1 :le trac se fait sans difficult au jug .

Dtermination des paramtres de la loi :

Le fait dobtenir directement une droite D1 sans faire de redressements indique que =0 (paramtre deposition)

La droite D2, // D1, passant par lorigine coupe laxe b en un point =1,4. Cest la valeur duparamtre de forme

La droite D1 coupe laxe des temps t==770 heures. Cest le paramtre de la loi de Weibll Equations de la loi :

0,4

770( )

t

R t e

=770 heures

=1,4

D2 D1


14/23




Dtermination de la MTBF :

Les tables annexes donnent les valeurs de A et B pour =1,4 : A=0,911 et B=0,660. On en dduit

0,911 770 700MTBF A x heures et 0,660 770 508B x heures.

Remarque sur la forme du nuage de points :

Si le nuage de points approxime une droite, la dtermination de est instantane puisque =0.

Dans le cas o ce nest pas une droite mais une courbe (concave ou convexe) qui est approxime, il existe desmthodes de redressement de la courbe pour obtenir une droite et donc . Dans ce cas, lutilisation de logicielsspcialiss est conseille.

VIIMETHODES DAPPROXIMATION DES VALEURS DE LA FONCTION DE REPARTITION :

On dispose pour nos tudes de fiabilit dun certain nombre de donnes exprimentales ou relles sur les TBF ; TBFdont on veut tudier la fonction de rpartition.

Ces donnes reprsentent un chantillon n de la population que lon veut apprhender. Elles doivent tre classespar ordre croissant de dure (en heures, jours, etc), suivant lunit la plus adapte.

Lestimation de la fonction de densit pour une dure ti est donne par: ( )1

if ti

n

Or, ce nest pas la fonction de densit qui nous intresse mais la fonction de rpartition F(ti). Cette fonction derpartition peut tre estime selon plusieurs mthodes dont 2 sont particulirement applicables pour les lois de fiabilit(exponentielle et Weibll) : ce sont les mthodes des rangs mdians et des rangs moyens. Le choix entre lune oulautre des mthodes est fonction de la taille n de lchantillon.

Si 20n , on utilise la mthode des rangs mdians et0,3

( )0,4

iF ti

n

Si 20n , on utilise la mthode des rangs moyens et ( )1

iF ti

n

Des tables donnent les valeurs de F(ti) directement en fonction de la taille n de lchantillon.

Ex : table des rangs mdians :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 50,0 29,2 20,6 15,9 13,0 10,9 9,5 8,3 7,4 6,7 6,1 5,6 5,2 4,9 4,5 4,3 4,0 3,8 3,6 3,4

2 70,8 50,0 38,6 31,5 26,6 23,0 20,2 18,1 16,3 14,9 13,7 12,7 11,8 11,0 10,4 9,8 9,2 8,8 8,3

3 79,4 61,4 50,0 42,2 36,5 32,1 28,7 26,0 23,7 21,8 20,1 18,8 17,5 16,5 15,5 14,7 13,9 13,2

4 84,1 68,5 57,8 50,0 44,0 39,4 35,6 32,5 29,8 27,6 25,7 24,0 22,6 21,3 20,1 19,1 18,1

5 87,0 73,4 63,5 56,0 50,0 45,2 41,2 37,9 35,1 32,6 30,5 28,7 27,0 25,5 24,2 23,0

6 89,1 77,0 67,9 60,6 54,8 50,0 46,0 42,5 39,6 37,0 34,8 32,8 31,0 29,4 27,9

7 90,5 79,8 71,3 64,4 58,8 54,0 50,0 46,5 43,5 40,9 38,5 36,4 34,5 32,8

8 91,7 81,9 74,0 67,5 62,1 57,5 53,5 50,0 47,0 44,3 41,8 39,7 37,7

9 92,6 83,7 76,3 70,2 64,9 60,4 56,5 53,0 50,0 47,3 44,8 42,6

10 93,3 85,1 78,2 72,4 67,4 63,0 59,1 55,7 52,7 50,0 47,511 93,9 86,3 79,9 74,3 69,5 65,2 61,5 58,2 55,2 52,5

12 94,4 87,3 81,3 76,0 71,3 67,2 63,6 60,3 57,4

13 94,8 88,2 82,5 77,4 73,0 69,0 65,5 62,3

14 95,1 89,0 83,5 78,7 74,5 70,6 67,2

15 95,5 89,6 84,5 79,9 75,8 72,1

16 95,7 90,2 85,3 80,9 77,0

17 96,0 90,8 86,1 81,9

18 96,2 91,2 86,8

19 96,4 91,7

20 96,6

ordreTAILLE DE L'ECHANTILLON


15/23




VIII APPLICATION DE WEIBULL : OPTIMISATION DUNE PERIODE DINTERVENTIONSYSTEMATIQUE : ABAQUES DE KELLY :

La question qui revient sans cesse dans un service maintenance pour un quipement est : faut-il choisir de garder lecorrectif ou de mettre en uvre un prventif systmatique ? Pour rpondre cette question, il existe plusieurs outils

(abaques de Noiret par exemple) dont lutilisation de la loi de Weibll.La mise en pratique de cette loi va permettre de rpondre aux 2 questions suivantes :

Existe-t-il une priode dintervention systmatique T telle que la maintenance prventive soit plus conomiqu eque la maintenance corrective ?

Si oui, quelle est cette priode optimise ?

Cet outil doptimisation sera nomm outil r, .

71Mise en uvre de la mthode :

Sur un systme rparable, dont un constituant fragile est interchangeable, comment faire pour dterminer la priode de remplacement prventif?

Il faut en 1er

lieu connatre :

La loi comportementale R(t) du constituant

Le cot p du correctif qui, par hypothse, est gal au cot de lintervention prventive lie au remplacementdu constituant dfectueux

Le cot indirect P des consquences de la dfaillanceOn appellera r=P/p le ratio de criticit conomique de la dfaillance. Domaine de validit : 2 < r < 100.

Evaluation du cot C1 de lintervention corrective :

Le cot moyen dune intervention corrective est p + P.

Le cot moyen par unit dusage devient : 1p P

CMTBF

Evaluation du cot C2() dune intervention prventive systmatique :

Si est la priode de remplacement systmatique du composant, le cot aura 2 termes :

Le cot de lintervention p Le cot du correctif rsiduel li au risque de dfaillance avant et valu par sa probabilit F(t) avec t< . Ce

cot est gal : . ( ) .(1 ( ))P F t P R t .

Le cot moyen par unit dusage est donc .(1 ( ))

2( )( )

p P R t C

m

, avec m() la dure de vie moyenne des

composants ne dpassant pas , puisquils ont t changs cette date.0

( ) ( )m R t dt

.Critre de choix :

Le prventif systmatique sera choisi sil existe une priode telle que C2()


16/23




La MTBF est aussi une fonction de et :1

. 1MTBF

avec

1

0. .t ae t dt qui est une fonction

mathmatique complexe.

Si on pose x

et

Pr

p , alors

2( ) (1 ( )).

1 ( )

C p P R MTBF

C m p P

devient : 0

1

11 12( ).

1 1.

x

xt

r eC x

C re dt

On constate que le rapport2( )

1

C x

Cest dpendant de 2

paramtres : qui caractrise la forme de la distribution et r,paramtre conomique, qui caractrise le rapport des cotsindirects / directs (criticit des dfaillances).

Exploitation du rapport :2( )

1

C x

C

En plus des 2 paramtres cits prcdemment, le rapport faitaussi intervenir le temps. On trace alors sur un graphique une

srie de courbes2( )

( )1

C xf x

C pour des valeurs successives

de et de r. On obtient alors des abaques (appeles abaquesde KELLY) tels que celle ci-contre :

72 Mthodes de gestion des matriels :

Gestion individuelle en maintenance prventivesystmatique : en cas de dfaillance rsiduelle, leremplacement du composant dfaillant initialise une nouvellepriode pour lchancier. Cest la mthode la plusfrquente.

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

dure

Dfaillance

Gestion collective en maintenance prventive systmatique :en cas de dfaillance rsiduelle, le remplacement ducomposant dfaillant ne modifie pas lchancier prvu.

t1 t2 t3 t4 t5 t6

Dfaillance

Cette notion de gestion des quipements nous intresse dans le cas de loptimisation dune priode de remplacement,puisquelle nous conduit lobtention de 2 abaques.


17/23




IX DETERMINATION EXPERIMENTALE DU TAUX DE DEFAILLANCE :

Rappels :

Le taux de dfaillance, not (t), est un indicateur de la fiabilit. Il reprsente une proportion de dispositifssurvivants un instant t.

Sa forme gnrale est :usaged'dure

esdfaillancdenombre. Le plus frquemment, il sexprime en pannes / heure .

Attention : utilis en fiabilit, le taux de dfaillance devra exclure les dfaillances extrinsques lensemble analys, telles que les pannes dues des fautes de conduite (accidents, consignesnon respectes) ou dues une influence accidentelle du milieu extrieur (inondation, incendie, etc.).

Expos de la mthode :

Cette dtermination ncessite un nombre important de donnes sur une priode relativement longue de la vie desmatriels. Si ce nest pas le cas, seule une partie de la courbe sera mise en vidence.

La mthode utilise est celle de lactuariat qui consiste faire des calculs de probabilits partir de renseignements

statistiques.

Il sagit donc de dterminer exprimentalement le taux de dfaillance ( )t qui correspond la probabilit davoir une

dfaillance dans les intervalles de temps constituant la vie du matriel tudi. Une estimation de ( )t par tranche de

temps est dtermine par le calcul suivant :

( ).

ii

i i

nt

N t

in le nombre de dfaillant durant it ,

iN le nombre de survivants au dbut de la tranche it

1i i it t t

lintervalle de temps observLa dtermination du nombre de classes doit tre telle que la courbe ne soit pas trop dforme. Ce nombre dpend dunombre total de dfaillants. On peut dterminer le nombre de classes r tel que :

ir n ou 1 3,3.log ir n

Le nombre de classes ainsi dtermin, il reste construire la courbe en baignoire partir des donnes.

La synthse de la mthode est donne ci-aprs :

Phase 1 : choix des classes :

Ex : on a 112 dfaillances au bout de 1000 heures de fonctionnement. On choisit k = 10 classes de 100 heures.

Phase 2 : tableau :

Classe Nombre de machines enfonctionnement

Cumul des temps defonctionnement

Nombre dedfaillances

Taux moyen dedfaillance

Phase 3 : exploitation :

Ce tableau permet de tracer lhistogramme desdfaillances (rpartition dans le temps) et de tracer la

courbe en baignoire (t) :


18/23




Application :

Soit un bien non rparable sur lequel ont t raliss des essais sur 55 matriels, depuis linstant t0, pendant unedure totale de 3490 heures.

N0 : nombre initial de matriels

Ns(t1) : nombre de survivants linstant t1

Ns(t1+t): nombre de survivants linstant t1+t

t : intervalle de temps

Ndt: nombre de dfaillants dans t

Ns(t) : nombre de survivants linstant t (en dbut de classe)

Dtermination dunombre declasses :

55 7, 4 7classes

Dtermination delintervalle declasse : 3490 / 7 =498,6 heures 500heures

t t+ t Nd t Ns(t) t t)

( )( )

tt tNs t t

Nd

La colonne Ndt est issue des essaisraliss : elle correspond au nombre dematriels dfaillants dans chaque intervallede temps.

0- 500 3 55 1,09E-4

500- 1000 8 52 3,08E-4

1000- 1500 10 44 4,55E-4

1500- 2000 12 34 7,06E-4

2000- 2500 7 22 6,36E-4

2500- 3000 8 15 1,07E-3

3000- 3500 7 7 2,00E-3

N0 Ns(t1) Ns(t1+t)t0 t1 t1+t

Mthodologie dtude du taux de dfaillance moyen :

1. Avoir un nombre significatif dquipements semblables (N0), utiliss dans des conditions identiques.2. Possder lhistorique de chaque matriel.3. Initialiser lorigine des mesures un temps t0.

4. Si le nombre dquipement est suprieur 50 alors dcouper en classes : le nombre de classes = N0et la dure dune classe (t) = (dure de vie maxi dure de vie mini) / N0.

5. Etablir un tableau permettant le calcul des (ti+ t)

6. Tracer lhistogramme dvolution de (ti+ t)7. Anal ser lhisto ramme et conclure.


19/23




X ESTIMATIONS DES DIVERSES FONCTIONS EMPIRIQUES DE FIABILITE ET ETUDES DELEURS RELATIONS :

0N : nombre dlments bons linstant 0t

iN : nombre dlments bons linstant it

in : nombre dlments dfaillants entre it et 1it , not aussi iN

it : intervalle de temps observ gal 1i it t

On estime ( )t le taux de dfaillance par tranche t :

( ).

ii

i i

nt

N t

On estime ( ).i if t t la fonction dfaillance sur lintervalle it par :0

( ). ii in

f t tN

On estime ( )iF t la fonction de dfaillance cumule par :0 0

0 0 0 0

( ) ( ). 1

i

iii i

i i i

n N N NF t f t t

N N N

On estime ( )iR t la fonction de fiabilit par :0

( ) 1 ( ) ii iN

R t F t N

On peut calculer alors ( )it par :0 0

0 0

. . ( )( )

.. ( )

.

i i

i ii ii

i i ii i i

i

n n

N t N t n f tt

N t NN t R t

N t N

( )( )

( )

ii

i

f tt

R t et

( )( ). .

( )

ii i i

i

f tt t t

R t (relations servant au calcul des lois de fiabilit)

On peut aussi calculer la MTBF par : 1 1 2 20 0 0 0

1. ( ). . ... ...ii i i i i i

nMTBF t f t t t n t n t n t n t

N N

car en gnral t0=0


20/23




XI LE ROCOF : Rate of Occurrence Of Failure :

Le ROCOF (Rate of OCurence Of Failure) ou INTENSITE DE DEFAILLANCE est un indicateur de fiabilitquivalent au taux de dfaillance.

Il ne concerne uniquement que les matriels rparables.

Analyse mathmatique :Soient des variables alatoires (T1, T2, T3, ... Ti ) les instants de dfaillance et (X1, X2,X3...Xi ) lintervalle de temps entrela dfaillance (i-1) et la dfaillance i.

N(t) est le nombre de dfaillances observes sur [0, t]

On sintresse ici aux instants successifs de dfaillance dun matriel.

Le comportement de Xiest intressant tudier, en particulier ses tendances qui peuvent mettre envidence de mauvaises maintenances, des phnomnes de vieillissement, etc. On sintresse donciciaux instants successifs de dfaillance dun matriel (alors quen fiabilit, on sintresse plus souvent lapremire dfaillance survenue sur plusieurs matriels diffrents mais de mme conception et exploits dansdes conditions identiques).

Hypothses :

Le retour dexprience dbute ds la mise en service du matriel ; La maintenance est du type As bad as old (Matriel remis dans ltat qui prcdait la dfaillance) et non du

type As good as old (Matriel remis neuf aprs dfaillance)

Dfinitions du ROCOF :

Le ROCOF est estim par le paramtre z(t) :

0

[ ( ) ( )]( ) lim [ ( )]

dt

E N t dt N t dz t E N t

dt dt

Le ROCOF est la limite (si elle existe), du quotient de lesprance mathmatique du nombre dedfaillances dune entit rpare, pendant un intervalle de temps [t, t + dt] par la dure de lintervalle

de temps lorsque cette dure tend vers 0.

Lestimateur z(t) se construit et sanalyse de la mme manire que le taux de dfaillance.

Graphe de Nelson Aalen :

Lvolution des dfaillances peut tre reprsente par un graphe appele graphe de Nelson-Aalen.

Lallure de lvolution permet dapporter un jugement sur ltat du matriel.

Dure de vie indpendante

Amlioration du matriel

Dtrioration du matriel

Nombre cumul dedfaillances

Temps cumul

Estimateur : ( )z t = (Nombre de dfaillances observes dans [ t, t + t ]) / t


21/23




Application : changeur doutil :

On dsire analyser les dfaillances dun changeur doutils.Pour cela, on dispose dun extrait de lhistorique de 1999 2007.

Annes Nb dedfaillances Heures defonctionnement

1999 8 2956

2000 8 3021

2001 5 2895

2002 2 1800

2003 4 2905

2004 3 2896

2005 1 1600

2006 2 3135

2007 2 3296

On construit un tableau ayant le tramesuivante :

AnnesNb de

Dfaillances nit

(heures)z(t) ni

z(t) : intensit de dfaillance (estimateur du ROCOF) : z(t) = ni / tni : nombre de dfaillances cumules (Graphe de Nelson Aalen)

On aboutit donc au tableau suivant :

AnnesNb de

dfaillancest

(heures)z(t) ni

1999 8 2956 2,71E-03 8

2000 8 3021 2,65E-03 16

2001 5 2895 1,73E-03 212002 2 1800 1,11E-03 23

2003 4 2905 1,38E-03 27

2004 3 2896 1,04E-03 30

2005 1 1600 6,25E-04 31

2006 2 3135 6,38E-04 33

2007 2 3296 6,07E-04 35

Matriel en fin de priode de jeunesse.Mettre en place une politique damlioration du matriel et de la

maintenance.


22/23




XI SYNTHESE :


23/23




la fiabilité

Documents