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XVII CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS EN TIERRA DE CINE

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA COMO APOYO PARA ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA COMO APOYO PARA ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN EN SECUNDARIA Y

BACHILLERATO

Juan Núñez Valdés, Universidad de Sevilla

Ángeles Ruiz González, Universidad de Sevilla

RESUMEN. En esta comunicación mostramos algunas actividades de ampliación que

pueden proponérseles a los alumnos de Secundaria y Bachillerato, preferentemente a los de altas capacidades en Matemáticas, basadas en el estudio de las propiedades de los hexágonos y sirviéndonos para ello de la ayuda de cualquier programa de Geometría Dinámica (en la comunicación se ha usado GeoGebra). Su objetivo principal es darles a conocer a estos alumnos propiedades de estos polígonos que no se tratan habitualmente en el aula, sobre las que ellos puedan realizar un estudio teórico y otro práctico, experimental, con la ayuda de esos programas. Nivel educativo: Secundaria y Bachillerato.

1. INTRODUCCIÓN. Esta comunicación es la continuación natural de otras dos previas, elaboradas

por el mismo autor y diferentes coautoras, que se presentaron, respectivamente, en el VIII CIBEM, celebrado en Madrid, en julio de 2017 y en el VII Encuentro del Profesorado de Matemáticas de la Provincia de Sevilla, celebrado en esa capital en marzo de 2018. El objetivo de la primera de ellas era ofrecerle al profesorado de Secundaria y Bachillerato una actividad especialmente dirigida a los alumnos de altas capacidades en Matemáticas, favoreciendo así la atención a la diversidad, consistente en el estudio teórico-práctico de la geometría del triángulo, dándoles a conocer a esos alumnos los elementos más relevantes de un triángulo, como pueden ser los puntos y rectas notables del mismo: circuncentro, ortocentro, baricentro e incentro, rectas de Euler y de Simpson, las circunferencias que se pueden obtener sobre el mismo como son, aparte las circunferencias inscrita y circunscrita, las circunferencias de 6 y 9 puntos y las de Tucker y Taylor, y los triángulos asociados al mismo, como el Órtico y el de Napoleón. Sobre todos estos elementos notables, los alumnos desarrollarían un estudio teórico, que les permitiría descubrir sus principales propiedades, y otro práctico, con la ayuda de cualquier programa de Geometría Dinámica, que les facilitasen su propia investigación sobre todos estos elementos, pudiendo ellos mismos llegar a obtener nuevas propiedades de estos elementos o incluso


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descubrir otras nuevos mediante la manipulación de las figuras que fuesen obteniendo con esos programas (véase (Arroyo, Núñez y Pámpano, 2017) para mayor información).

La segunda de esas dos comunicaciones extendía el campo teórico anterior de estudio, centrándose especialmente en los cuadriláteros y pentágonos (ver Núñez y Ruiz, 2018).

Esta comunicación vuelve a ampliar el estudio iniciado anteriormente y se centra ahora en los hexágonos. Tiene el mismo objetivo y está dirigida al mismo tipo de alumnado, es decir, a alumnos de altas capacidades en Matemáticas, a los que se les pretende dar a conocer propiedades habitualmente no tratadas en el aula de estos polígonos, para que ellos mismos sean capaces de experimentarlas a través del mismo programa de Geometría Dinámica que se usó en las dos comunicaciones anteriores, el programa GeoGebra, ya bastante habitual y conocido por el profesorado de estos niveles. GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo programa muy fácil de usar. Puede descargarse una versión gratuita de este programa en (web1).

Asimismo, esta comunicación está dirigida también a los profesores de Matemáticas de Secundaria y Bachillerato que deseen interesar a sus alumnos de altas capacidades matemáticas en el conocimiento de los elementos notables y principales propiedades de estos polígonos.

El desarrollo de las actividades que se proponen podría llevarse a cabo en dos partes. En la primera, más puramente teórica, o bien los propios profesores les explicarían a esos alumnos el contenido teórico que deben conocer para realizarlas adecuadamente, o bien les propondrían que fuesen ellos mismos los que obtuviesen ese contenido investigando para ello en diferentes fuentes, tanto de tipo bibliográficas como informáticas o en red.

En una segunda parte de las actividades, ya se pasaría al aspecto práctico de las mismas, enseñándoles en primer lugar el profesor a esos alumnos los fundamentos más básicos de funcionamiento de cualquier programa de Geometría Dinámica (nosotros hemos usado GeoGebra para la comunicación, si bien puede usarse cualquier otro, como Cabrí-Geómetre, por ejemplo) y pidiéndoles después que fuesen ellos mismos los que hiciesen uso de ese programa para visualizar y sacar conclusiones de toda la teoría aprendida.

Pasamos ahora a tratar el contenido teórico que se desea que los alumnos aprendan, dejando, por razones de extensión, la descripción de los programas de Geometría Dinámica utilizados para mostrar ese contenido para la exposición de la comunicación.

2. MANIPULANDO LOS HEXÁGONOS. Como los alumnos ya conocen desde sus estudios en Primaria, un hexágono es

un polígono formado por seis lados y seis ángulos. Cuando estos lados y ángulos son, respectivamente, iguales, el hexágono se dice regular.

Las principales propiedades de un hexágono regular son las siguientes:


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• Todos sus ángulos interiores miden 120º. • Sus lados miden lo mismo que el radio de la circunferencia circunscrita. • Se puede trazar empleando únicamente regla y compás. • Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros de forma que,

uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.

Antes de continuar, es interesante comentar que el Diccionario de la RAE

admite el uso de la palabra exágono en lugar de su denominación habitual hexágono. La razón de ese uso es su frecuente empleo en otras épocas, si bien es más usual usar hexágono por su origen etimológico (hexa en griego significa seis), por lo que se desaconseja el empleo de la grafía exágono, y lo mismo cabe decir del adjetivo hexagonal, grafía que debe preferirse a exagonal.

Pasamos a continuación a comentar una serie de actividades que pueden experimentar los alumnos de altas capacidades en Matemáticas con la ayuda de GeoGebra.

2.1. ACTIVIDAD PRÁCTICA 1: BÚSQUEDA DEL HEXÁGONO EN LA NATURALEZA. El hexágono aparece innumerables veces en la Naturaleza. Así, se le puede

explicar al alumno entre otras cosas que el sistema hexagonal, en el que cristalizan por ejemplo las esmeraldas, es uno de los siete sistemas cristalinos de crecimiento de los minerales.

También se les puede comentar que, en La Calzada de los Gigantes, en Irlanda, descubierta en 1693 y declarada Patrimonio de la Humanidad en 1986, la mayoría de las piedras, formadas por erupciones volcánicas, tienen forma hexagonal, al igual que los copos de nieve, que también la tienen y fue indicada por primera vez en 1611 por Kepler (web6).

Figura 1. Piedras en La Calzada de los Gigantes (izqda) y copos de nieve (dcha).

Fuente: web4.

Con toda seguridad, los alumnos habrán visto en algún momento de sus vidas una colmena de abejas o de avispas. Reconocerán en ella, sin ninguna duda, los hexágonos regulares perfectos que la forman.


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Figura 2. Una colmena de abejas. Fuente: web2.

A los alumnos se les puede pedir que investiguen sobre la denominada conjetura del panal de abeja, formulada en el año 36 a.C. por el sabio romano Marco Terencio Varrón y refrendada ya en el siglo III d.C. por el matemático Pappus de Alejandría, quien por suerte fue quien se llevó gran parte de la gloria porque la conjetura se le suele atribuir a él.

La conjetura viene a decir que la retícula hexagonal que forma un panal de abejas es la forma más eficiente de dividir en pequeñas parcelas una superficie para sacarle un mayor rendimiento, es decir, que para las abejas, distribuir la colmena en hexágonos era la mejor manera de almacenar más miel con un gasto menor de material, es decir, de cera. Obsérvese que las abejas también podrían haber dividido la colmena en cuadrados o triángulos sin que de esa manera desaprovecharan nada del espacio, pero, sin embargo, su intuición animal hizo que la distribuyeran en hexágonos.

Al respecto, Pappus demostró que, entre todos los polígonos regulares que poseen un perímetro igual, los que tienen un mayor número de lados son capaces de acumular más área, lo cual explica este comportamiento de las abejas en la construcción de sus colmenas, al poder acumular más miel usando la forma hexagonal.

La conjetura tardó 17 siglos en probarse, siendo en 1999 el matemático norteamericano Thomas C. Hales quien finalmente la resolvió (web2).

Estos y muchos otros más son ejemplos de la vida real en los que aparecen los hexágonos. Aparte de mostrárselos a los alumnos, la actividad puede consistir en pedirles que ellos investiguen y descubran nuevos ejemplos extraídos de la Naturaleza en los que el hexágono sea el protagonista.

2.2. ACTIVIDAD PRÁCTICA 2: INVESTIGACIÓN SOBRE LA FLOR DE LA VIDA. Flor de la Vida es el nombre que se da a una figura geométrica formada por 19

círculos de igual diámetro y 36 arcos circulares que forman un conjunto de forma hexagonal, incluido a su vez en un círculo mayor. Estos 19 círculos se solapan creando patrones radiales simétricos similares a flores, de ahí el nombre de este conjunto, que ha sido empleados desde la antigüedad como patrón ornamental para decorar toda clase de superficies.


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De ese conjunto derivan varias figuras y patrones como la Semilla de la Vida, el Huevo de la Vida, el Árbol de la Vida, el Fruto de la Vida, los Sólidos Platónicos, el Cubo de Metatron, la Media Áurea, etc., que se usan como símbolos religiosos para representar determinadas creencias espirituales (web3).

El nombre dado a ese conjunto de Flor de la Vida se debe no solo a que parece una flor, sino porque representa el ciclo del árbol frutal: un árbol frutal hace una pequeña flor, que pasa por una metamorfosis y se vuelve una fruta. La fruta contiene en ella misma una semilla, que cae a la tierra y crece como otro árbol: un ciclo de cinco pasos, de árbol a flor, de flor a fruto, de fruto a semilla y de semilla a árbol de nuevo.

Figura 3. La Flor de la Vida. Fuente: web3.

La Flor de la Vida tiene muchas connotaciones religiosas, sobre todo en el

cristianismo. Así, a Jesús se le representa por un pez y los cristianos modernos usan el pez para representar la Cristiandad. En particular, la Semilla de la Vida y sus componentes tienen un fuerte significado cristiano. Estos componentes son el Octaedro Esférico, Vesica Piscis (ya descubierta por los pitagóricos), el Trípode de la Vida y el Árbol de la Vida (Kabbalah).

Dentro de la Flor de la Vida se encuentran todas las formas geométricas básicas: los 5 sólidos platónicos: el cubo, el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro, y el icosaedro. La combinación de los dos últimos forma la Red de Conciencia Crística, alrededor de nosotros y alrededor de nuestro Planeta. La imagen del Niño Cristo es preciosa, pues encierra al Cristo, dentro de un Icosaedro, figura íntimamente vinculada con la Conciencia Crística (véase (web3) para más información).

Figura 4. Los sólidos platónicos y el hexágono. Fuente: web3.


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La actividad con los alumnos puede consistir en explicarles todo lo anterior y pedirles que realicen sus propias investigaciones sobre esta figura y las relaciones de este con las diferentes religiones mayoritarias en nuestros días. 2.3. ACTIVIDAD PRÁCTICA 3: CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO CON REGLA Y

COMPÁS. Para construir un hexágono con regla y compás se dan los siguientes pasos: - Con el compás, trazar una circunferencia de centro cualquier punto y radio

la longitud que se desea para el lado del hexágono. - Elegir cualquier punto de esa circunferencia (lo denominaremos A) y con

centro en él y manteniendo la abertura anterior del compás, trazar otra circunferencia, que cortará a la primera en los puntos B y F.

- Tomando como centros los dos puntos anteriores, repetir la misma operación anterior con el compás (con igual abertura). Además del punto A, se volverán ahora a obtener dos nuevos puntos sobre la circunferencia inicial, C y E.

- Con centro en cualquiera de los dos puntos anteriores, C o E, repetir la operación anterior con la misma abertura del compás. Se obtendrá así un nuevo punto sobre la circunferencia inicial, D, distinto de todos los anteriormente obtenidos.

- Con la regla, unir los seis puntos obtenidos, A, B, C, D, E y F, obteniéndose así el hexágono regular de vértices esos puntos.

La actividad a desarrollar con los alumnos puede consistir en explicarles todo

lo anterior y animarles a construir sus propios hexágonos, primero tal como se acaba de describir y después usando la herramienta GeoGebra. Con este programa, se les puede pedir a continuación que construyan el dodecágono y el polígono de 18 lados por bisección y trisección, respectivamente, de los lados del hexágono, si bien para ello habría que explicarles cómo dividir un segmento en varias partes iguales, por aplicación del Teorema de Tales.

2.4. ACTIVIDAD PRÁCTICA 4: RECUBRIMIENTO DEL PLANO CON HEXÁGONOS. A los alumnos de altas capacidades de Matemáticas de Secundaria y

Bachillerato se les puede probar de forma sencilla, sin usar conocimientos matemáticos de nivel superior, que los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos son los únicos polígonos regulares que pueden recubrir el plano, siendo de los tres el hexágono el que mayor área tiene a igual perímetro.

Con GeoGebra se les podía tratar de ilustrar esta actividad, usando las herramientas de simetría propias de este programa. Se les podría pedir además que ellos lo usasen para experimentar con otros polígonos regulares de diferente número de lados (véase (web 4) para más información).


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Figura 5. Enlosado de hexágonos. Fuente: web4.

2.5. ACTIVIDAD PRÁCTICA 5: EL HEXÁGONO DE SIERPINSKI. Esta actividad puede resultarles muy interesante para los alumnos al iniciarlos

en el conocimiento de los fractales. Para la mayoría de los investigadores, los fractales fueron concebidos por el

matemático francés Henri Poincaré (1854-1912), cuyos trabajos sobre ellos fueron seguidos posteriormente por otros matemáticos. Karl Weierstrass, en 1872, definió por primera vez una curva continua no diferenciable en ningún punto. En 1883, George Cantor describió, posiblemente, el fractal clásico más importante y más conocido, el Conjunto Triádico de Cantor, el cual se puede relacionar con muchos otros objetos fractales. Giuseppe Peano, en 1890, introdujo la denominada curva de Peano, que como la de Hilbert, tiene la propiedad notable de “llenar” el plano, en el sentido de que pasa por cualquier punto de un conjunto plano acotado (Mandelbrot, 1977 y web6).

Por otra parte, Wacław Franciszek Sierpiński (Varsovia, 1882 - 1969) fue un matemático polaco que realizó notables aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. Estudió la curva que describe un camino cerrado que contiene todos los puntos interiores de un cuadrado y tres conocidos fractales llevan su nombre: el triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski. También existen los números de Sierpinski, nombrados así en su honor.

Los llamados hexágonos de Sierpinski pueden considerarse generados, respectivamente, a partir de cinco pentágonos unidos, seis hexágonos unidos y ocho octógonos unidos. Después, cada uno de los pentágonos, hexágonos y octógonos se sustituye por una figura similar a la inicial repitiendo el proceso indefinidamente.


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Figura 6. Polígonos de Sierpinski. Fuente: web5.

De los tres polígonos, el que tiene unas propiedades más interesantes es el

hexágono, ya que la parte central del fractal forma un copo de Koch (el copo de nieve de Koch, descubierto en 1904 por Niels Fabian Helge Von Koch (Estocolmo, 1870 - 1924), matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a esa famosa curva fractal, una de las primeras curvas fractales en ser descritas. Del mismo modo los perímetros de cada lado de un hexágono son curvas de Koch (web5).

Figura 7. Construcción del Copo de Nieve de Koch. Fuente: web5

Esta actividad es muy rica para ser realizada por los alumnos. Se les puede explicar en primer lugar qué es un fractal y cómo en la Naturaleza se pueden encontrar numerosos ejemplos de ellos. Se les puede iniciar, asimismo, en el conocimiento de la dimensión fractal, en contraposición a las dimensiones geométricas de las conocidas figuras y cuerpos geométricos planas y espaciales, respectivamente, y finalmente, se les puede animar a que experimenten con GeoGebra en la construcción de sus propios fractales, proponiéndoles que investiguen sobre el área de esos objetos fractales que construyan, así como sobre la longitud de la línea cerrada que envuelve dicha área.


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3. CONCLUSIONES Muchas de las propiedades de los polígonos en general no se enseñan en los currículos de las asignaturas de Matemáticas de Secundaria y Bachillerato, a pesar de ser muy susceptibles no solo de ser aprendidas sino de ser experimentadas e incluso generalizadas por los alumnos de la clase, especialmente por los de altas capacidades en Matemáticas, y más si se les ponen a su disposición herramientas metodológicas que les permitan manipularlas o modificarlas mediante la imposición de sus propias condiciones. Así, propiedades como la Recta de Euler en los triángulos, el Teorema de Varignon en los cuadriláteros o la aparición del Número de Oro en los pentágonos pueden ser observadas y sobre todo manejadas por los alumnos, para obtener sus propias conclusiones o comprobar la veracidad o falsedad de sus conjeturas, mediante el uso de GeoGebra, por ejemplo, que les permite manipularlas a su antojo y observar de manera clara e intuitiva qué es lo que ocurre cuando se ponen en práctica esos cambios. En esta comunicación continuamos esta línea con el estudio de los hexágonos, facilitándoles a los alumnos la realización de varias actividades que, por lo general, no les son mostradas en las clases de Matemáticas y que sin embargo, no solo es importante que las conozcan, sino, sobre todo, que puedan experimentarlas ellos mismos con la ayuda de cualquier programa de Geometría Dinámica (nosotros hemos usado GeoGebra). Con ello, además de tratar varias competencias diferentes a la de Matemáticas y de contribuir al tratamiento de la diversidad en el aula, facilitamos el que sean los propios alumnos los que, en virtud de su iniciativa, vayan experimentando con estas propiedades y puedan ir descubriendo ellos mismos, mediante la ayuda de los deslizadores, por ejemplo, qué ocurre si se cambian las condiciones del problema o bien se varían algunos de los datos del mismo. En todo caso, los autores creemos conveniente señalar que estas reflexiones personales y conclusiones que se han indicado son puramente teóricas y no están basadas en la experiencia, habida cuenta de que las actividades que se proponen en esta comunicación están dirigidas fundamentalmente a alumnos de altas capacidades en Matemáticas y por el momento y aunque esa sea nuestra intención a corto plazo, estas no se han podido poner todavía en práctica con ese tipo de alumnos por razones puramente de organización de los institutos que nos han acogido en otras ocasiones para realizar otras actividades similares.

No obstante, estas actividades sí se han llegado a experimentar con los alumnos matriculados en el Máster Universitario en Formación del Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas; Especialidad: Matemáticas. curso académico 2017-18, en la asignatura “Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas”, que imparte el autor de esta comunicación y que ha sido cursada por la autora. Todos los alumnos, tanto los que no conocían inicialmente el programa GeoGebra, que se les enseñó, como los que ya lo manejaban manifestaron su contento por valorar la cantidad de aplicaciones que este puede proporcionarles en su futura vida


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docente. De ahí que, como se ha indicado, sí podamos comentar algunas conclusiones del estudio realizado en la comunicación, extraídas de las respuestas de esos alumnos a una encuesta anónima final que se les realizó. Finalmente, indicar que nuestra intención es seguir con esta línea de trabajo en el futuro centrándonos en polígonos cada vez con mayor número de lados.

REFERENCIAS. ARROYO CASTILLEJA, M.; NÚÑEZ VALDÉS, J. y PÁMPANO MUÑIZ, A. (2017). La Geometría del triángulo para alumnos sobredotados, Programa del VIII Congreso Iberoamericano de Enseñanza de la Matemática (VIII CIBEM), 7118. NÚÑEZ VALDÉS, J., RUIZ GONZÁLEZ, A. (2018). Usando geometría para actividades de ampliación en el tratamiento de la diversidad. Actas del VII Encuentro del Profesorado de Matemáticas de la Provincia de Sevilla. En prensa. MANDELBROT, B. (1977). La Geometría Fractal de la Naturaleza, Metatemas 49, 150–157. web1. Recuperado 10 de abril de 2018 de https://www.geogebra.org web2. Recuperado 10 de abril de 2018 de https://www.universomiel.es/las-abejas-y-las-matematicas/ web3. Recuperado 10 de abril de 2018 de https://santuariodelalba.wordpress.com/2017/11/07/el-hexagono-y-la-flor-de-la-vida/ web4. Recuperado 10 de abril de 2018 de http://www.cosasdearquitectos.com/2014/06/el-hexagono-ceramico-en-la-arquitectura/ web5. Recuperado 10 de abril de 2018 de http://personales.unican.es/alvareze/estalmat/Fractales2010/page_28.htm web6. Recuperado 10 de abril de 2018. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ (Biografías muy completas de Pappus, Kepler, Mandelbrot, Sierpiński y Koch).

la geometrÍa dinÁmica como apoyo para …de la vida y el Árbol de la vida (kabbalah). dentro de...

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