la geometria nello spazio - ge il capitello
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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO82
è quella parte della geometria che studia le figure nello spazio.
Gli scorsi anni hai conosciuto le figure piane cioè figure formate da punti che appartengono a uno stesso piano.
Le figure piane hanno 2 dimensioni: la lunghezza e la larghezza.
Noi, però, viviamo in un mondo a 3D dove tutto ciò che ci circonda ha sì una LUNGHEZZA e una LARGHEZZA ma ha anche una ALTEZZA.
La geometria solida si occupa proprio delle figure a 3 dimensioni cioè dei SOLIDI GEOMETRICI.
LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO
LA GEOMETRIA SOLIDA...
PROVA TU!
1. Osserva il frigorifero della tua cucina e individua su di esso le 3 dimensioni.
2 Scrivi sui puntini lunghezza, larghezza e altezza al posto giusto.
larghezza
altezza
lunghezza
larghezza
lunghezza
Scatola dicaramelle
.............................................
.............................................
.............................................
UNIT
À 2 Seleziona i concetti
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83
r
a
RETTA PARALLELAAL PIANO
r
a
RETTA GIACENTENEL PIANO
r
Ha
90°
RETTA PERPENDICOLARE
AL PIANO
r
Ha
90°
P
DISTANZA DEL PUNTO P DAL PIANO
PROVA TU!3. Esegui il Laboratorio “Retta perpendicolare al piano" di pag. 96.4. Esegui l’esercizio n. 6 a pag. 65.5. Esegui l’esercizio n. 7 a pag. 65.6. Esegui l’esercizio n. 8 a pag. 65.7. Esegui l’esercizio n. 23 a pag. 97.
può essere:
NELLO SPAZIO, RISPETTO A UN PIANO, UNA RETTA...
che ha come caso particolare
in cui PH
è la
ATTENZIONE Una retta perpendicolare al piano è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto in cui la perpendicolare incontra il piano.
P
r
a
RETTA INCIDENTEAL PIANO
base dell’unità
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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO84
Possono essere:
NELLO SPAZIO, DUE PIANI...
piani incidenti hanno come caso
particolare
piano
rettacomune
r
pian
o
piano
piano
90°
PIANI INCIDENTIse hanno in comune
una retta
PIANI PERPENDICOLARI
PROVA TU!8. Esegui l’esercizio n. 9a), c) a pag. 67.
9. Esegui l’esercizio n. 12 a pag. 67.
10. Esegui l’esercizio n. 26 a pag. 97.
11. Esegui l’esercizio n. 31 a pag. 97.
piani paralleli mantengono la
stessa distanza tra di loro
piano
piano
piano
pianoH
rettaperpendicolare
K
HK � distanza tradue piani paralleli
PIANI PARALLELIse non hanno alcun punto in comune
DISTANZA TRA PIANI PARALLELI
UNIT
À 2 Seleziona i concetti
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Noi studieremo i POLIEDRI e i SOLIDI DI ROTAZIONE.
1. POLIEDRI
Le superfici piane che formano i confini di un poliedro sono dei poligoni.
Chiameremo FACCIA ciascuno di questi poligoni, 1
SPIGOLO ciascun lato del poligono 2
e VERTICE ciascun vertice del poligono. 3
Chiameremo invece DIAGONALE DEL POLIEDRO 4 non la diagonale di un poligono, ma ogni segmento che unisce due vertici che non appartengono alla stessa faccia del poliedro.
Sono figure geometriche con 3 DIMENSIONI: LUNGHEZZA, LARGHEZZA e ALTEZZA.Possiamo suddividere i solidi geometrici in POLIEDRI e in SOLIDI ROTONDI.
SOLIDI GEOMETRICI
PRISMA PIRAMIDE POLIEDROREGOLARE
FACCIA
1
SPIGOLO
2
DIAGONALEDEL POLIEDRO
4
VERTICE
3
I poliedri che studierai sono i PRISMI, le PIRAMIDI e i POLIEDRI REGOLARI.
SOLIDI DI ROTAZIONE(solidi rotondi generati dalla rotazione di una superficie piana
attorno a una retta chiamata “asse di
rotazione")
asse dirotazione
POLIEDRI(hanno per confini
solo superfici piane)
SOLIDI ROTONDI
(hanno per confini superfici piane e curve o solo
superfici curve)
SOLIDI GEOMETRICI
base dell’unità
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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO86
PROVA TU!12. Collega con una freccia ogni oggetto al solido geometrico
corrispondente.
13. Nel poliedro, individua e colora di rosso:
a. una faccia
b. tutti gli spigoli
c. tutti i vertici
stickdi colla
tenda dacampeggio
punta dimatita diario melone
CILINDRO CONO SFERAPRISMA PIRAMIDE
2. SOLIDI DI ROTAZIONE
Sono solidi generati dalla rotazione di una figura piana attorno a una retta.
Hanno per confini superfici curve e piane 1 e 2 oppure solo curve 3 .
Tra di essi ricordiamo il CILINDRO, il CONO, la SFERA.
pag. esercizio n.98 38
pag. esercizio n.99 42
CILINDRO CONO SFERA
1 2 3
a. b. c.
UNIT
À 2 Seleziona i concetti
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PROVA TU!14. Esegui l’esercizio n. 1 a pag. 73.
15. Esegui l’esercizio n. 3 a pag. 73.
16. Qui sotto hai un cubetto di legno. Colora in modo giusto l’immagine della faccia che hai di fronte, quella che hai di lato e quella che hai dall’alto.
Prendi la scatoletta di un medicinale. Ha 6 facce. Immagina di doverle dipingere tutte.
Hai dipinto ciò che viene chiamata SUPERFICIE TOTALE del solido.
Appoggia ora la scatoletta su un foglio.
La faccia di appoggio (e la faccia opposta) si chiama SUPERFICIE DI BASE. Le altre facce formano invece la SUPERFICIE LATERALE.
Pensa ora di aprire la scatoletta e di distenderla sul tavolo.
Ciò che ottieni è lo SVILUPPO SUL PIANO della SUPERFICIE TOTALE DEL SOLIDO.
La superficie totale è quindi uguale all’unione della superficie laterale (quella colorata in giallo e in arancione) e della superficie di base (quella colorata di azzurro).
LA SUPERFICIE DI UN SOLIDO
BASE
BASE
BASE
SOLIDO SVILUPPO SUL PIANO
DI FRONTE DI LATO DALL’ALTO
base dell’unità
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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO88
È la MISURA dell’ESTENSIONE di un SOLIDO cioè dello spazio occupato dal solido.
L’unità di misura principale del volume è il METRO CUBO (m3).
Multipli e sottomultipli del metro cubo:
VOLUME DI UN SOLIDO
� moltiplica per 1000 � dividi per 1000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
CHILOMETRO
CUBO
ETTOMETRO
CUBO
DECAMETRO
CUBO
METRO
CUBO
DECIMETRO
CUBO
CENTIMETRO
CUBO
MILLIMETRO
CUBO
PROVA TU!17. Osserva la figura e rispondi.
a. Quanti mattoncini ci sono nel solido? .................
b. La misura del volume del solido rispetto al mattoncino è:
a 1 b 3 c 4
c. Perciò V � ............
Esempio 1:4,5 cm3 � ............ mm3
Parti da cm3 .
Per arrivare a mm3
devi andare avanti di .
� moltiplica per 1000
Perciò:
4,5 cm3 � 1000 � 4500 mm3
Esempio 2:12 dm3 � ............ m3
Parti da dm3 .
Per arrivare a m3
devi andare indietro di .
� dividi per 1000
Perciò:
12 dm3 : 1000 � 0,012 m3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
PARTENZAARRIVO
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
ARRIVOPARTENZA
UNIT
À 2 Seleziona i concetti
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89
Esempio: 1 dm3 di acqua � 1 l di acqua
perciò
1 l di acqua � 1 dm3 di acqua
PROVA TU!20. Trasforma nelle misure richieste.
a. 0,5 dm3 � ............... l b. 5 l � ............... dm3 c. 2 dm3 � ............. l � ................... ml
18. La misura del volume del solido in cm3 è:
V � ............ cm3
19. Trasforma nelle unità di misura richieste.
a. 2 m3 � ........................... dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
b. 0,5 dm3 � ........................... cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
c. 3,42 cm3 � ........................... mm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
d. 1560 mm3 � ........................... cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
e. 27 534 cm3 � ........................... dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
f. 28 dm3 � ........................... m3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
pag. esercizio n.100 48; 49101 51; 52; 56
pag. esercizio n.102 59; 60; 61
unità di misura
1 cm3
solido
LEGAME TRA VOLUME E CAPACITÀ
In tutti i liquidi... 1 dm3 � 1 l
RICORDA
dm3 cm3
l dl cl ml
base dell’unità
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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO90
Sono solidi che hanno lo stesso volume.Possono essere congruenti o no.
SOLIDI EQUIVALENTI
Esempio 1:I solidi A e B sono formati da cubetti di 1 cm3.
I solidi A e B sono equivalenti? Contiamo i cubetti di A e di B.
A è formato da 4 cubetti: ha V � 4 cm3.
Anche B è formato da 4 cubetti: ha V � 4 cm3.
CONCLUSIONE: i solidi A e B sono equivalenti.
Esempio 2:Sai che il solido A è equivalente al solido B.Il solido A ha volume di 8 cm3. Quant’è il volume di B?
Siccome i due solidi sono equivalenti, avranno lo stesso volume perciò anche il solido B avrà volume di 8 cm3:
VA � VB � 8 cm3
BA
VA = 8 cm3
PROVA TU!21. Esegui l’esercizio n. 5 a pag. 77.
22. Un dado da gioco ha il volume di 6,4 cm3. Quant’è il volume di una pallina equivalente al dado?
a 6,4 cm3 b 2 c Non si può trovare
pag. esercizio n.102 67; 68; 72
BA
UNIT
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91
Esempio 1:
Ricorda la formula �ps PV
Sostituisci e fai i calcoli
� � �ps PV
357
5 g/cm3
dati incognita
P � 35 gV � 7 cm3
ps � ?
Esempio 2:
Ricorda la formula p � ps � V
Sostituisci e fai i calcoli
p � ps � V � 2 � 1,5 � 3 g
dati incognita
ps � 2 g/cm3
V � 1,5 cm3
P � ?
Esempio 3:
Ricorda la formula �V Pps
Sostituisci e fai i calcoli
� � �V Pps
92
4,5 cm3
dati incognita
P � 9 gps � 2 g/cm3
V � ?
è il rapporto tra PESO e VOLUME di una stessa sostanza. In formula:
IL PESO SPECIFICO...
�ps PV
Quando conosci il peso specifico e il volume puoi trovare il peso con la formula inversa:
LE FORMULE INVERSE
P � ps � V
Quando conosci il peso e il peso specifico puoi trovare il volume con la formula inversa:
�V Pps
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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO92
PROVA TU!
23. Fai i calcoli e scrivi la risposta sui puntini.
a. P � 10 g
V � 2 cm3
� �ps PV � .........................
b. ps � 4 g/cm3
V � 5 cm3
P � ps � V � .........................
c. ps � 8 g/cm3
P � 4 g
� �V Pps
� .........................
a. b. c.
1. Calcola il peso
specifico:
ps � .......................................
2. Consulta la tabella del peso specifico
di S.O.S e scrivi di
quale sostanza si
tratta: ................................
Calcola il peso:
P � .......................................
Calcola il Volume:
V � .......................................
24. Osserva le figure e calcola quanto richiesto.
pag. esercizio n.103 da 75 a 78 e 80; 81104 85; 86; 87
42 g
4 cm32 cm3
........... cm3
stagnops � 7,3 Piombo
ps � 11,3
........... g
ps � ...........
113 g42 g
4 cm32 cm3
........... cm3
stagnops � 7,3 Piombo
ps � 11,3
........... g
ps � ...........
113 g42 g
4 cm32 cm3
........... cm3
stagnops � 7,3 Piombo
ps � 11,3
........... g
ps � ...........
113 g
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À 2 Seleziona i concetti base dell’unità
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93
COMPLANARI SGHEMBE
PARALLELI INCIDENTI
INCIDENTE
GIACENTE
PARALLELA
PERPENDICOLARI
90°PERPENDICOLARE
r
H90°
E COME CASO PARTICOLARE
LE RETTE POSSONO ESSERE
(vedi pag. 64)
I PIANI POSSONO ESSERE
UNA RETTA RISPETTO A UN PIANO PUÒ ESSERE
E COME CASO PARTICOLARE
NELLO SPAZIO
GEOMETRIA SOLIDA
STUDIA
SOLIDI GEOMETRICI
SI DIVIDONO IN
EQUIVALENTI
QUANDOSONO
RETTE
PIANI
FORMATI DA
POLIEDRI SOLIDI DI ROTAZIONE
AREA VOLUME PESO
PESOSPECIFICO
�ps PV
CHE CON IL DETERMINA
DI ESSI SI STUDIANO
STESSO VOLUME
HANNO
L’ESSENZIALE
Seleziona i concetti base dell’unità
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