la géométrie autrement le théorème de pythagore pythagore mathématicien grec vers 500 avant jc...
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La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore
Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC
représentation à la cathédrale de
Chartres
Vu par Raphael
La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore
vocabulairedémonstration
exemples :réciproque
ex 1 ex 2 ex 3
exemples r :ex 1r ex 2r ex 3r
La Géométrie Autrement
A
C
B
Vocabulaire
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
[BC] est l’ du triangle ABC
hypoténuse
La Géométrie Autrement
On a quatre triangles rectangles identiquesa
bc a
bc a
bc a
bc
Démonstration
La Géométrie Autrement
On dispose les quatre triangles rectangles
dans un carré
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
La Géométrie Autrement On obtient un nouveau carré
JOLI
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
J
O
L
I
La Géométrie Autrement
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
J
O
L
I
L ’aire de JOLI est :
c²
La Géométrie Autrement
dans le même carré d ’une autre façon .
On dispose ensuite les quatre triangles rectangles
a
b
a
b
La Géométrie Autrement
a
b
a
b
On obtient deux nouveaux carrés :
JADE
JA
D OCREE O
CR
La Géométrie Autrement
a
b
a
b
JA
D E O
CR
L ’aire de OCRE est :
a²
La Géométrie Autrement
a
b
a
b
JA
D E O
CR
L ’aire de JADE est :
b²
La Géométrie Autrement
c
J
O
L
I a
b
a
b
JA
D E O
CR
L ’aire de JOLI est égale àla somme des aires de OCRE et de JADE
c²a²
b²+
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
a
b
a
b
La Géométrie Autrement
c2 = a2 + b2
Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :
théorème de Pythagore
a
bc
On peut donc écrire pour le triangle
La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés .
hypoténuse
La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore un autre énoncé
A
C
B
Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²
! Le théorème de Pythagore ne s’appliquequ’aux triangles rectangles.
La Géométrie Autrement
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B
A C
3
4
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)
BC² = 16 + 9 (on calcule)
BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B
A C
3
4
1) On fait un dessin
2)
BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)
BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)
La Géométrie Autrement
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm.Calculer EF E
D F
5
6
La Géométrie Autrement
DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm.Calculer EF E
D F
5
6
1) On fait un dessin
2) On applique le théorème de Pythagore :On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)
EF² = 25 + 36 (on calcule)
EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)
~~
EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8)~~
La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²
Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm.Calculer AC A
B C
8
6
AC² = 64 + 36AC² = 8² + 6²
AC² = 100AC = 100AC = 10 cm
La Géométrie Autrement
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH G
I H
23
La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)
1) On fait un dessin2)
9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²)
3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable)
~~
IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 )
GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH
G
I H
23
IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2)~~
La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²
36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU²
TU 3,3 cm ~~
TU² = 36 - 25
EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm.Calculer TU
S
T U
56
TU² = 11 TU = 11
La Géométrie Autrement
à suivre …
La Géométrie Autrement
La réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.
La Géométrie Autrement
La réciproque du théorème de Pythagore
un autre énoncé
Si, dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.
! à la présentation des calculs
La Géométrie Autrement
Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ?
1) On repère le côté le plus long: c’est [AB]
2) On calcule le carré de la longueur de [AB]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate l’égalité :
5) On cite la propriété appliquée pour conclure :
AB² = 75² = 5 625
BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625
AB² = BC² + AC²
d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.
La Géométrie Autrement
Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ?
1) On repère le côté le plus long: c’est [EF]
2) On calcule le carré de la longueur de [EF]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate qu’il n’y a pas égalité :
5) On peut affirmer que :
EF² = 15² = 225
DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81
= 202
EF² = DE² + DF²
le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle.
La Géométrie Autrement
2) On repère le côté le plus long: c’est [EL]
3) On calcule le carré de la longueur de [EL]
4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
5) On constate l’égalité :
EL² = 8,5² = 72,25
SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25
= 72,25EL² = SE² + SL²
4cm
8,5cm
7,5cm
S
OL E
A-t-on (SE) (SL) ?┴
1) On précise le triangle dans lequel on travaille :Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.
6) On cite la propriété appliquée pour conclure :d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) .┴
La Géométrie Autrement
fin