República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

Universidad Pedagógica Experimental LibertadorInstituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio

Acarigua –Edo-Portuguesa

Facilitador: Prof. Renzo Briceño Ecuaciones diferenciales ordinariasParticipantes: Oscar García Marianni PeñaIbenel Salcedo

Acarigua, Abril del 2015

La Historia de las Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias

¿Que son las ecuaciones diferenciales ordinarias?

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una mas derivadas de esta función desconocida con respecto a una o mas variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial de llama ordinaria, por el contario , di depende de mas de una variable se llama parcial. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

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Historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales se originan en el estudio de problemas dinámicos. De acuerdo con Haaser . (1990)1 , el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó con Newton (1642 – 1727) y Leibniz (1646 – 1716) a fines del siglo XVII. En esta época los problemas se abordaban de manera geométrica. Para Leibniz el cálculo trataba de sucesiones de valores infinitamente próximos, concibiendo el continuo geométrico como un conjunto de segmentos infinitesimales, en tanto que para Newton involucraba cantidades que variaban con el tiempo.

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Historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Durante el siglo XVIII el trabajo consistía en resolver ecuaciones particulares específicas. a la llegada de Liouville (1809 – 1882) los matemáticos no dejaron de buscar un método de resolución que fuera aplicable a todo tipo de ecuaciones diferenciales. A lo largo de buena parte del siglo XIX los trabajos se orientaron hacia la búsqueda de soluciones en serie y hacia la cuestión de la existencia y unicidad de las soluciones. El método de Euler (1840). Si bien los primeros métodos numéricos datan de fines del siglo XIX, el desarrollo del análisis numérico sólo fue posible a partir de 1950, con la aparición de las primeras computadoras, que permitieron la puesta a prueba de los algoritmos construidos.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según su orden

El orden de una ecuación diferencial ya sea EDO o EDP es el orden mayor de las variables involucradas en la ecuación

De tal manera una ecuación diferencial ordinaria también se puede expresar mediante forma general

Donde F es un función de valores reales de n+2 variables x,y,y´,y´´….,y (n)

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según su grado

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

Es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, esta elevada el cubo

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según su linealidad

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´, y´´,…, y(n).Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden (n) es lineal cuando.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según su linealidad

En la ecuación diferenciales lineales de primer y segundo orden (n=1 y n=2):

Se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal:• La variable dependiente «y» y de todas sus derivadas y´,y´´,…,y(n)

son de primer grado es decir, la potencia de cada termino que invierte es 1

• Los coeficientes a0,a1…. an de y´,y´´…,y(n) Dependen solo de la variable independiente x.

Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a la función j.

 Dada una EDO*    an(x)y(n) +………a1(x)y’ + a(x)y = g(x)  Se entiende por solución de * a una función: y=f(x) cuyas derivadas y’, y’’… y(n)

Existen y tales que satisfacen la ecuación * al ser sustituidos en la misma. Ejemplo:  La función  y = f(x) = 3e2x + e-2x – 3 es una solución de la EDOy’’- 4y = 12xVerificación:   Tenemos:                             y = 3e2x + e-2x – 3x y' = 6e2x + 2e-2x – 3 y’’ = 12e2x + 4-2x

  Sustituimos y’’- 4y = (12e2x + 4-2x ) – 4 (3e2x + e-2x – 3x) = (12e2x + 4-2x ) – 12e2x + 4e-2x – 12x)

Soluciones explicitas

Soluciones implicita

Es aquella donde no se expresa de manera directa la relación entre la variable dependiente e independiente.Solución implícita:

x2 + y2 = cd(x2+y2) /dx= 0[dx2 / dx  +  dy2 / dx]= 02x (dx/dx) + (2y dy/dx)  = 02x + (2y dy/dx)  = 0(2y dy/dx)  -2xdy/dx   =  -2x/2y   =  -x/ydy/dx   =  ex/yy’= x/y 

Referencias Electrónicas consultadas y sugeridas

•  http://ecuaciones-diferenciales-ordinar.webnode.com.ve/solucion-de-una-ecuacion-diferencial-ordinaria/

• http://ecuaciones-diferenciales-ordinar.webnode.com.ve/solucion-de-una-ecuacion-diferencial-ordinaria/

• http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C06Bis_Historia_EDO.pdf

• http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_ecuaciones_diferenciales

• http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1412254858_783293954.pdf

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

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Facilitador: Prof. Renzo Briceño Ecuaciones diferenciales ordinariasAbril 2015

Participante: Marianni Peña

Participante: Oscar García

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