la integral definida teoria y ejercicios

LA INTEGRAL DEFINIDA

En el capítulo anterior mencionamos el problema de medir áreas de ciertas regiones planas que están limitadas no solo por rectas. En este capítulo estudiaremos el cálculo de áreas de regiones que tienen fronteras curveadas. La resolución de este problema necesita del concepto de integral definida de una función en un intervalo. Este concepto tiene también un cierto número de interpretaciones importantes, además de la geometría. En economía, por ejemplo, nos permite determinar los Excedentes de Consumidores y Productores, en condiciones de equilibrio de mercado. Estos conceptos económicos fueron tratados pormenorizadamente por el distinguido economista matemático Alfred Marshall, aunque conocemos que ya habían sido descubiertos cabalmente por Jules Dupuit. Veremos en este capítulo el concepto de integral definida y las aplicaciones más importantes.

CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA. LA INTEGRAL DE RIEMANN

Los matemáticos han estudiado diversos tipos de integrales. El tipo de integral que se comenzó a estudiar en el capítulo V, basada en la antiderivada, se llama la integral de Newton - Leibnitz. Daremos un breve apunte de la llamada Integral de Riemann, que explica el concepto de integral definida, y nos permitirá comprobar que todos los matemáticos dan el mismo resultado para funciones continuas.

Supongamos que la función representada en la figura 6.1 está definida sobre el intervalo [a, b], a < b, para todo [a, b].

Dividamos este segmento en n partes arbitrarias por los puntos a = x0 < x1 < x2 …< x i – 1 <…< xn = b. Designemos esta partición por P y a x0, x1,…, xn puntos de partición. Interpretaremos la integral definida como una aproximación al área bajo la curva. En efecto, la subdivisión del segmento [a, b] en n partes arbitrarias

145

a = x0 c1 x1 c2 x2 xi -1 ci xi xn-1 cn xn = b0

y

x

f(cn)

f(ci)

f(c2)f(c1)

y = f(x)

Figura 6.1

x1 x2 xi xn

a = x0 c1 x1 c2 x2 xi -1 ci xi xn-1 cn xn = b0

y

x

f(cn)

f(ci)

f(c2)f(c1)

y = f(x)

Figura 6.1

x1 x2 xi xn

Figura 6.1

determina que esta área sea aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos que se han formado debido a la partición. Ahora la cuestión es ¿cómo aproximar el área de los rectángulos al área del trapecio curvilíneo determinado superiormente por la curva ?

Conocemos como área de un rectángulo al producto de las longitudes de dos de sus lados consecutivos, . En cada uno de los intervalos parciales [x i

– 1, x i] escojamos un punto arbitrario C i, o sea, x i – 1 < Ci < x i. Este punto Ci

determina la altura del rectángulo que corresponde al intervalo [x i – 1, x i] , que es (observe que es un lado del rectángulo).

Designemos = x i – x i – 1, que le llamamos longitud del intervalo parcial (o subintervalo). será la base del rectángulo correspondiente al intervalo [x i – 1, x i] (observe que es el segundo lado del rectángulo). Luego, el área del rectángulo en cada subintervalo será:

Planteemos la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por bases y por alturas si para todo

:

, (1)

que denominamos suma integral para la función sobre [a, b], correspondiente a la partición P dada de [a, b] en subintervalos, y a la opción dada de puntos arbitrarios Ci.

Sea ; . Entiéndase como el máximo valor de , o sea, el mayor subintervalo que

resulte de la partición elegida sobre [a, b]. Hagamos que , o que la longitud del mayor subintervalo tienda a cero. Está significando que, evidentemente, si la longitud del mayor intervalo parcial tiende a cero, el resto de los lo hacen más rápidamente. ¿Por qué queremos hacer pequeño a ? Nótese que si, entonces, ). En la medida que dividamos el segmento [a, b] en un mayor número de partes, las longitudes de los intervalos parciales ( ) tienden a cero. Luego, mientras más pequeños sean los , la aproximación de la suma integral al área bajo la curva será mejor, y más precisa será la integral de en [a, b].

DefiniciónSi existe el límite finito de la suma integral (1) para , este límite se

llama integral definida de la función en el segmento [a, b], y se denota por:

, o bien: , donde ;

. En este caso se llama integrable en [a, b]; a y b se denominan límites de

integración inferior y superior, respectivamente; es función subintegral; y x variable de integración.

Luego la magnitud de la integral definida depende únicamente de , a y b; y es cierto número.

Ejemplo resuelto 6. 1

146

0 11/n

1/n

1/n 1/n0 11/n

1/n

1/n 1/n

Utilizando la definición, calcular .

Solución:Realicemos una partición de [0, 1] en n partes iguales por los puntos 0 = x0 <

x1 < x2 <…< x i – 1 < x i <…x n= 1, luego, .

Observe el siguiente razonamiento.

Si n = 2,

Si n = 3,

Si n = 4,

En general si tenemos una partición en n partes iguales, tenemos:

Luego, se verifica que la longitud del subintervalo ( ) es

En calidad de puntos intermedios Ci tomemos los extremos derechos de los subintervalos (xi). ¿Por qué podemos tomar al extremo xi como valor de Ci? Recordemos que si , la longitud de los subintervalos se va acortando progresivamente, hasta que lógicamente será indiferente cualquier punto arbitrario Ci que tomemos dentro del segmento .

Luego, Ci = x i = , donde

Veamos:Si n = 2,

Si n = 3,

Si n = 4

147

0 11/2

1/2

0 11/2

1/2

0 11/3

1/3

1/30 11/3

1/3

1/3

0 11/4

1/4

1/4

1/4

0 11/4

1/4

1/4

1/4

0 2/2 = 11/20 2/2 = 11/2

3/3 = 10 1/3 2/3 3/3 = 10 1/3 2/30 1/3 2/3

3/40 1/4 2/4 4/4 = 13/40 1/4 2/4 3/40 1/4 2/4 4/4 = 1

En general, si tenemos una partición de n partes iguales, tenemos:

Luego, en este caso, se le hace corresponder a x el propio x,

.

Planteemos la suma integral correspondiente:

Puede probarse por el método de inducción matemática o inducción

completa, que .

Calculemos el límite de An para , entonces y . Luego,

.

Puede verse fácilmente la complejidad del proceso seguido para encontrar la integral definida de una función, usando la definición según el razonamiento de Riemann. El cálculo de las integrales definidas mediante el método dado en la determinación de la integral como un límite de la suma integral presenta grandes complejidades. Por esta razón, trataremos a continuación otra herramienta que facilitará el proceso de cálculo de la integral definida, basado en la estrecha relación existente entre los conceptos de integral indefinida y definida.

CÁLCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Integral con límite superior variableSea la función integrable en [a, b]. Si fijamos el extremo inferior de la

integral definida en a, y hacemos variar el extremo superior que llamaremos x ( ), es integrable en cualquier subintervalo [a, x] y tenemos:

.

La integral será una función del límite superior x; denotemos esta función por G, o sea:

.

Teorema que establece la relación entre la derivada y la integral (Establece la relación entre la derivada y la integral)

Si es continua en [a, b] y , entonces:

para todo . Luego, toda función continua tiene una función primitiva.

148

n/n = 13/n0 1/n 2/n n/n = 13/n0 1/n 2/n

Teorema Fundamental del Cálculo IntegralSi es una función continua en [a, b] y es una primitiva de ,

entonces:

Se acostumbra a utilizar la notación = .

Verifiquemos la integral desarrollada anteriormente según Riemann.

Ejemplo resuelto 6.2Calcular:

a) b)

Solución:

a) = =

b) =

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

fue introducida para a < b. Generalicemos para a = b, y a > b. En

cada caso, las integrales que forman parte de la fórmula, existen.

1. Si a = b, entonces, por definición, = 0.

Si a > b, entonces, por definición, = - .

2. Cualesquiera sean los números a, b, c, tales que a < c < b, se cumple:

= + .

3. El factor constante puede sacarse fuera del signo de la integral definida.

Sea m , .

4. La integral definida de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales, o sea:

=

149

Esta propiedad es válida para todo número finito de sumandos. Si utilizamos las dos propiedades anteriores, se cumple:

(Propiedad de

Linealidad)

5. Si para todo , entonces, .

6. Si para todo , entonces .

7. a) Si está definida sobre [a, b], entonces .

b) Si para todo ( a < b), entonces:

. Se cumple .

8. Si m y M son, respectivamente los valores mínimo y máximo de la función en un segmento [a, b], a < b (o sea, para todo ),

entonces:

Demostración:Tenemos que para todo , aplicando propiedad 6, se

cumple:

, o sea, .

Luego,

TEOREMA DEL VALOR MEDIOSi la función es continua en un intervalo [a, b], entonces en este intervalo

existe un punto c tal que:

Demostración:Como es continua en [a, b] existen m, M tales que:

[a, b] [a, b]

Entonces, , y por lo tanto:

, sea y .

150

Como está entre los valores mínimo y máximo de sobre a, b y es continua, existe un tal que , o sea:

, entonces: (el punto C no es

necesariamente único).

CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA INTEGRAL DEFINIDATeorema Si la función es integrable en [a, b], entonces está acotada en [a, b],

(observe que la condición es necesaria, pero no suficiente).

Teorema Si la función es continua en [a, b], entonces es integrable en [a, b], (esta

condición es suficiente).

Pero esto no significa que solo las funciones continuas son integrables. La clase de funciones integrables es mucho más amplia. Se puede demostrar que existe la integral definida de funciones acotadas que poseen un número finito de puntos de discontinuidad.

Ejemplo de función acotada no integrableSea la función de Dirichlet definida en [0,1]:

Si para toda partición de [0, 1] se eligen los puntos C i(x i - 1 C i x i) como

racionales, resulta .

Y si se toman irracionales, resulta Luego,

no existe.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EN LA INTEGRAL DEFINIDA

Cambio de variable en la Integral definidaAl estudiar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, este nos permitió

calcular la integral definida aplicando el concepto de integral indefinida, ya estudiado, o sea, conociendo la primitiva de una función dada. En el caso de los métodos de cambio de variable e integración por partes, ¿cómo se aplica para el caso de la integración definida?

Teorema Sea una función continua en el intervalo [a, b], tal que:

151

1. [a, b] es el conjunto de los valores de la función desde hasta .

2. La función es derivable sobre el intervalo , donde , y es continua sobre .

Entonces se cumple:

Observe que al calcular una integral indefinida con ayuda de cambio de variable, debemos retornar de la variable nueva, o , a la inicial, x. Esto puede no hacerse, calculando una integral definida, ya que el objetivo consiste en hallar un número que en virtud a la fórmula demostrada es igual al valor de cada una de las integrales consideradas.

Ejemplo resuelto 6.3

Calcular la integral

Solución:

Supongamos x = z4, entonces, ; ; = 4z3

Observe que si se realiza un cambio juicioso de la variable x por la z para resolver la integral planteada, en integral definida, debemos cambiar los límites de integración, pues finalmente se evalúa en una primitiva que es una función de z, no de x.

Veamos:

Si x = 0 z =

Si x = 16 z = 16 = 2

Por tanto:

= =

= =

=

Al utilizar la fórmula del cambio de variable, es necesario comprobar el cumplimiento de las hipótesis citadas en el teorema. Si no se cumplen, el cambio de variable, según la fórmula, puede llevar a un resultado erróneo.


152

Calcular las siguientes integrales definidas.

a) b)

Solución:

a)

= Si x = 0 u = 3 = Si x = 1 u = 1

Luego, =

b)

Resolvamos la integral por racionalización o método que muchos autores llaman cambio de variable.

Sea t2 = 2 + 4x

Si x = 1 Si x = 4

Luego, =

=

Integración por partes en Integral definida

TeoremaSi las funciones y son continuas junto con sus derivadas y

en un intervalo [a, b], entonces se cumple:

Ejemplo resuelto 6.5Calcular:

153

a) b) c)

Solución:

a)

= lnx

=

Luego, =

= = 1

Observe que en la integración por partes en integral definida, no se cambian los límites de integración. La x permanece hasta que se evalúan los límites de integración. Puede notarse fácilmente que, esto sucede porque el uso de

, ha sido solo de forma auxiliar para resolver la integral mediante la fórmula que nos ofrece el método.

b)

Luego, = =

c)

=

Observe que es muy fácil darse cuenta de la derivada de la función arctan x. Obviamente, la integral de esta función es una primitiva, tal que si la derivamos,

obtenemos función original, . Luego, , por lo que

resulta sencillo darnos cuenta de que la primera derivada de la arctan x, es

.

Entonces, =

154

=

.

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Supongamos que en el plano se da una figura limitada por el segmento [a, b] del eje de las x, por las rectas x = a, x = b y por la gráfica de la función continua no negativa en [a, b], representada en la figura 6.2.

Esta figura se llama trapecio curvilíneo cuya área A puede ser calculada por:

, como se vio en los inicios

del capítulo. La integral definida de la función

continua no negativa en [a, b], es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo que tiene por base [a, b] y está limitado superiormente por la gráfica de la función .

Si < 0, el área de la región R , representada en la figura 6.3, se define como:

.

Por lo que concluimos diciendo que el área de una región comprendida entre la gráfica de una función , el eje x y las rectas x = a y x = b, es igual a:

Ejemplo resuelto 6.6Hallar el área A de una figura limitada por la gráfica de la función , por

la recta x = 1 y el eje de las x.

155

0

y

xR

a b

Figura 6.3

0

y

xR

a b

Figura 6.3Figura 6.3

0

y

x

R

a bFigura 6.20

y

x

R

a bFigura 6.2Figura 6.2

x1

1

Figura 6.4

x

y

/22 /2 2

1

1

Figura 6.5

Solución:El área sombreada en la figura 6.4 es la que debemos encontrar.

El área de la región es u2.

Ejemplo resuelto 6.7Calcular el área bajo la curva = Sen x en el intervalo [0; 2 ] (esto significa

el área de la superficie determinada por = Sen x , y el eje de las x, en el intervalo señalado).

Solución:Observe dicha área en la figura 6.5

0 en el intervalo [0; ]

0 en el intervalo [ ]Luego:

=

= = -(-1) + 1 + 1 – (-1) = 4

Área entre curvas

156

Sean y dos funciones continuas sobre [a, b]. (Véase la figura 6.6). Veamos cómo calcular el área de regiones planas limitadas por las curvas y , y las rectas x = a y x = b, siendo f(x) g(x) para todo .

Se puede observar que el área de la región R está determinada por la diferencia entre las áreas de los trapecios aFEb y aCDb, o sea:

, donde para

todo .Esta fórmula es válida independientemente de los signos de y . Es

aplicable al cálculo de áreas entre dos curvas.Veamos el caso que se muestra en la figura 6.7:

El área de R es:

=

.

En el cálculo de áreas también se aplica la propiedad de aditividad de la región de integración: se puede dividir la figura en partes disjuntas y calcular el área de toda la

figura como suma de las áreas de estas partes.


Hallar el área de la región S comprendida por ; = ; ; .

Solución: S = S1 + S2 (Véase la figura 6.8).

157

0

y

x

Ry = f(x)

y = g(x)

Figura 6.6

a b

C

D

E

F

0

y

x

Ry = f(x)

y = g(x)

Figura 6.6

a b

C

D

E

F

Figura 6.6

0

y

xa bR

y = g(x)

y = f(x)

Figura 6.7

0

y

xa bR

y = g(x)

y = f(x)


x

y

10

Figura 6.9

Luego,

El área de la región S es igual a u2.

Ejemplo resuelto 6.9Hallar el área de la superficie limitada por la curva , el eje de las x, y

la recta x = 10. Solución:El área de la superficie es la que se muestra en la figura 6.9.

Ejemplo resuelto 6.10Hallar el área de la superficie limitada por la parábola = 6x – x2 y la recta y

= x.

x

y

1 3

Figura 6.8

158

x

y

0 3 6

Figura 6.10

Solución:Observe dicha área en la figura 6.10.

Hallemos los puntos de intersección:6x – x2 = x x2 -5x = 0x (x – 5) = 0 x = 0 ó x = 5

El área de la superficie es u2.

Ejemplo resuelto 6.11Calcular el área de la superficie limitada por la gráfica de = x2 -2x +2,

la tangente a ella en el punto (3; 5) y el eje de las Y.

Solución:Para determinar el área indicada, debemos conocer la ecuación de la recta

tangente. Hallémosla:2x – 2;

= 4x + n; 5 = 4.3 + n n = - 7

Luego, la tangente a la gráfica de en dicho punto es: = 4x – 7 Se cumple que en [0; 3], x2 -2x +2 4x – 7. (Véase la figura 6.11).

159

Figura 6.12

Entonces,

= =

El área de la superficie es 9 u2.

EXCEDENTE DE PRODUCTORES Y CONSUMIDORES

“Cualquiera puede convertir a un loro en un sabio economista: todo lo que

debe aprender son las dos palabras oferta y demanda“.

Anónimo

En la figura 6.12 se muestra una curva de oferta para un producto. Indica el precio por unidad al que un fabricante venderá (o suministrará) unidades. Por lo regular las funciones de oferta son crecientes, porque los

x

y

1 3

12

5

160

Figura 6.11

productores con todo gusto proveerán más si consiguen precios más altos. También se muestra la curva de demanda para el producto. Indica el precio por unidad al que los consumidores comprarán (o demandarán) unidades. Las funciones de demanda generalmente son decrecientes, indicando que los consumidores dejarán de comprar si el precio se incrementa.

El punto en que las curvas se intersecan, se llama punto de equilibrio.Aquí es el precio por unidad al que los consumidores comprarán la misma

cantidad de un producto que los productores desean vender a ese precio.En resumen, es el precio en el que se presenta estabilidad en la relación

productor - consumidor.Supongamos que el mercado está en equilibrio y el precio por unidad del

producto es . De acuerdo con la curva de demanda, hay consumidores que estarían dispuestos a pagar más que . Por ejemplo, al precio por unidad, los consumidores comprarían unidades. Esos consumidores se benefician del precio de equilibrio, por estar dispuestos a pagar precios superiores a .

La franja vertical de la figura tiene un área de . Esta expresión puede también considerarse como la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando unidades del producto si el precio por unidad fuese . Como el precio es en realidad , esos consumidores gastan sólo en esas unidades y se benefician así en la cantidad , o sea

que es el área de un rectángulo de ancho y altura .Sumando las áreas de todos los rectángulos entre y por medio

de la integral definida, tenemos, .

Esta integral representa la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio. Esta ganancia total se llama excedente de los consumidores y se escribe CS.

El excedente del consumidor es la diferencia entre lo que está dispuesto a pagar un consumidor por un bien y lo que paga realmente cuando lo compra.

Si la función de demanda está dada por , entonces:

.

Geométricamente, CS se representa por el área entre la recta y la curva de demanda entre y . (Véase la figura 6.13)

161

Figura 6.13 Figura 6.14

Algunos de los productores también se benefician del precio de equilibrio, ya que están dispuestos a suministrar el producto a precios menores que . La ganancia total de los productores se representa geométricamente por el área entre la línea y la curva de oferta entre y . (Véase la figura 6.14). Esta ganancia se conoce como excedente de los productores, y se

escribe PS. Está dada por: .


La función de demanda para

un producto es ,

donde p es el precio por unidad de q unidades. La función de

oferta es .

Determinar los excedentes de consumidores y productores bajo equilibrio del mercado.

Solución: En la Figura 6.15 se

representan gráficamente los Excedentes de Consumidores y Productores.

Hallando el equilibrio de mercado:

Precio de oferta = Precio de demandaPs = Pd

; . Luego, .

Punto de equilibrio.

INTEGRALES IMPROPIAS

162

10

12

p

14

0 q20 40 60 80 100 120

2

4

6

8PE(100;5)

CS

PS

Figura 6.15

10

12

p

14

0 q20 40 60 80 100 120

2

4

6

8PE(100;5)

CS

PS

Figura 6.15

p

14

0 q20 40 60 80 100 120

2

4

6

8PE(100;5)

CS

PS


Hasta el momento hemos condicionado la integral definida a que:1. El intervalo de integración sea finito. 2. La función a integrar esté acotada en el intervalo de integración.

¿Tendría sentido plantearnos las siguientes integrales?

La respuesta es SÍ. Este tipo de integral también tiene aplicación en la Economía. Estudiemos los diferentes casos que se nos presentan.

Integrales impropias de Primera EspecieSe denominan integrales impropias de primera especie aquellas integrales

de funciones continuas, cuyo intervalo de integración no es finito. Estos intervalos infinitos pueden ser de las formas: ; , y .

Intervalos de la forma Dada una función continua en el intervalo ; si el límite

existe y es finito, la integral impropia es convergente,

y en este caso:

= . En caso contrario, se dice que la integral

impropia es divergente.Ejemplo resuelto 6.13

Determinar si la integral impropia es convergente o no, y si es

convergente, hallar su valor.Solución:

= =

Luego, la integral impropia es convergente, y su valor es .

Intervalos de la forma Si es una función continua en el intervalo , y el límite

existe y es finito, la integral impropia es

convergente, y se cumple:

= . En caso contrario, se dice que la integral

impropia es divergente.Intervalos de la forma Dada una función , continua en el intervalo , si para un número

real c, las integrales impropias ; son convergentes,

163

Figura 6.16

diremos que la integral impropia es convergente, y se cumple:

= + . El número c se selecciona según

convenga, pues la convergencia de no depende de esta selección.


Determinar la convergencia o divergencia de la integral impropia . En

caso convergente, calcular su valor. Solución:

=

La integral es convergente, y su valor es 1.


Determinar si la integral impropia es convergente, y si es

convergente, calcular su valor.Solución:Como c se puede escoger arbitrariamente, lo seleccionamos de tal manera

que simplifique el proceso de solucionar la integral. Tomaremos c = 0. Entonces:

= + = =

= =

= .

Luego, = La integral converge, y su valor es .


Determinar si la integral impropia converge. En este caso, calcule su

valor. Solución:

= . Observe que, en este caso,

tiende hacia + cuando b , por lo que la integral diverge.

Integrales impropias de Segunda EspecieSe denominan integrales impropias de Segunda Especie a aquellas

integrales en las que la función no es acotada en un intervalo finito [a, b].Estudiemos cada caso en particular:

164

Figura 6.18

No acotada en el extremo superior del intervaloSea una función continua en [a, b) y

supongamos que: o cuando . (Véase la figura 6.16). Si el límite

existe y es finito, entonces se dice

que la integral impropia es convergente,

y se cumple: . En caso

contrario, la integral diverge. Ejemplo resuelto 6.17

Determinar si la integral impropia es convergente, y si lo es,

encontrar su valor. Solución:

es continua en [0; 1) y . Es impropia de

segunda especie.

Luego, =

=

Por lo tanto, la integral impropia es convergente y se cumple: = 4

No acotada en el extremo inferior del intervalo

Sea una función continua en (a, b] y supongamos que o cuando . (Véase la figura 6.17). Si el

límite existe y es finito, se dice

que la integral impropia es

convergente, y se cumple:

. En otro caso, la integral es

divergente.

165

0

y

xbaFigura 6.16

0

y

xbaFigura 6.16Figura 6.16

0

y

xa bFigura 6.170

y

xa bFigura 6.17Figura 6.17


Determinar si es convergente o no, y si lo es, calcular su valor.

Solución:

es continua en (0; 1] y . La función no está

acotada en x = 1 (extremo inferior del intervalo). Luego, la integral impropia es de segunda especie.

Entonces,

Luego, la integral es divergente.

No acotada en un punto interior del intervalo

Sea una función continua en [a, c) y (c, b] para todo , y

supongamos que . (Véase la figura 6.18). Se dice que la

integral impropia es

convergente, si son convergente las

integrales , y

se cumple: =

. En caso contrario, la integral es divergente.


Analice la convergencia de la integral impropia .

Solución:

166

a c = 0

y

b x

Figura 6.18

a c = 0

y

b x


3 2 1 1 2 3x

302010

102030y

Figura 6.19

es continua en [0; 1) y (1; 3]; además, .

Observe en la figura 6.19, que la función no está acotada en x = 1. Por lo tanto es una integral impropia de segunda especie. Luego, se cumple:

= +

Luego, = 3 + 6 = 9

OTRAS APLICACIONES ECONÓMICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDAReserva de divisas de un paísSupongamos que designa las reservas de divisas de un país en el

instante t. Suponiendo que F es derivable, la tasa de variación de estas reservas por unidad de tiempo es . (Véase la figura 6.20).

Si > 0, esto significa que hay un flujo neto de divisas que entran en el país en el instante t, mientras que < 0 significa que salen divisas. Del

concepto de integral definida se deduce que

Esta expresión mide la variación de las reservas en divisas en el intervalo de tiempo .

Ejemplo:

167

Hay un flujo de entradas de divisas entre y , luego un flujo neto de salida entre y y, finalmente, un flujo neto de entrada entre y .

Nótese que no es

igual al área total limitada por la gráfica, el eje de las X y las rectas t = t0 y t = t1 en este caso.

Ejemplo resuelto 6.20Supongamos que designa el stock de capital de una economía en el

instante t. Se define la inversión neta en el instante t, y se designa por , como la tasa de crecimiento de .

a) Si (t 0), ¿cuál es el aumento total del stock de capital en el intervalo de t = 0 a t = 5?

b) Si , hallar la expresión del aumento total del stock de capital entre el instante t = t0 y t = T cuando la función de inversión es la parte a).

Solución:

a) (5) – (0) =

b) (T) – = (T 3 – (t0)3) + (T 2 –(t0)2 + 5(T – t0)

168

0

y

xt1

x = f(t)

t’ t’’t0

Tasa de variación de la reserva de divisas

Figura 6.23

0

y

xt1

x = f(t)

t’ t’’t0

Tasa de variación de la reserva de divisas


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Diga si son o no integrables las siguientes funciones en los intervalos correspondientes. Justifique.

a) , en el intervalo [6; 8]

b) , en [0; 4].

2. Si y , halle:

a) b) c) d)

3. Si y , encuentre .

4. Si , y , encuentre .

5. Calcular las siguientes integrales:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

6. Calcular:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

7. Encuentre las integrales definidas que se indican:

169

a) b) c)

d) e) f)

g)

8. Calcular: , donde

9. Demostrar:

10. Suponga Evalúe .

11 Evalúe +

12. Calcular e interpretar la integral .

13. Calcular:

a) b)

14. Calcular las siguientes integrales definidas.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

15. Encuentre si

16. Calcular:

170

a) b) c)

d)

17. Calcular:

a) b) c)

d) e)

18. Calcular las siguientes integrales definidas.

a) b) c)

d) e) f)

g)

19. Calcular las áreas de las figuras limitadas por:a) ; b) ; ; c) ;

20. Dada la función: , determine el área de la región

limitada por la gráfica de , el eje de las X, y la recta x = 3. Incluya un esbozo gráfico.

21. La ecuación de demanda para un producto es , y la ecuación de

oferta es . Determinar el excedente de los productores y de los consumidores cuando se ha establecido el equilibrio de mercado.

22. Calcular el área de la región R limitada por la recta , la curva = y el eje x.

23. Determinar el área de la región R comprendida entre las dos curvas =

y en el intervalo [1; 2].

171

24. Determinar el área de la región R limitada por el eje de las Y, y la parábola , para .

25. Determinar el área de la región R comprendida entre la recta , y la

parábola para .

26. Encontrar el área limitada por las curvas:a) = ; = x b) ; .

27. Encontrar el área de la región limitada por la curva , y la recta , entre x = -2 y x = 2.

28. Encontrar el área de la región entre las curvas ; , entre x = 0, y x = 3.

29. La ecuación de demanda de un producto es , y la ecuación de

oferta es . Encuentre el excedente de productores y el de

consumidores bajo equilibrio del mercado.

30. Encontrar el área de la región limitada:a) Por la curva , y las líneas y = 3; x = 0.

b) Por las gráficas de , y .

31. La función de costo marginal de un fabricante es: . Si la

producción actual es de unidades por semana, ¿cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?

32. La función de ingreso marginal de un fabricante es: . Si r está

dada en dólares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 400 a 900 unidades.

33. Calcular el área de las figuras limitadas por: ; .

34. Si la tasa de inversión de capital (miles de pesos por año). ¿Cuál será la formación de capital durante el segundo, tercer y cuarto años?

35. La ecuación de demanda para un producto es: , y la

ecuación de oferta es . Determinar el excedente de productores y consumidores cuando se ha establecido el equilibrio de mercado.

36. La función de demanda para un producto es , donde p es el precio por unidad de q unidades. La función de oferta es .

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Determinar los excedentes de consumidores y productores bajo equilibrio del mercado.

37. Calcular el área de las figuras limitadas por , el eje x, y las rectas x = -2 y x = 1.

38. Encuentre el área de la región limitada por la curva , y el eje x.

39. Determine si son convergentes o no las siguientes integrales impropias, y en caso de serlo, calcule sus valores.

a) b) c)

d) e)

40. Analice la convergencia de las siguientes integrales impropias.

a) b) c)

d) e) f)

173

la integral definida teoria y ejercicios

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