la matem´atica como arte creativo -...
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Apendice A
La matematica como arte
creativo
Conferencia dictada por P.R. Halmos en la Universidad de Illinois
el 12 de diciembre de 1967. 1
¿Conoces a algun matematico? Si ası es, ¿conoces algo de lo que hacen
con su tiempo? La mayorıa de las personas no lo saben. Cuando converso con
el hombre que esta a mi lado en un avion y el me dice que es algo respetable,
como medico, abogado, comerciante o decano, me siento tentado de decir que
soy un hombre con un trabajo extrano. Si le digo que soy matematico, su
respuesta mas probable sera que el nunca podrıa balancear su chequera, y que
debe ser divertido ser un experto en matematicas. Si mi vecino es un astronomo,
un biologo, un quımico o cualquier otro tipo de cientıfico natural o social, la
situacion es peor; pues este hombre cree que sabe lo que es un matematico,
y muy probablemente este equivocado. El piensa que me dedico (o deberıa
1 Traduccion de Mario F. Rosales, original en [19].
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dedicarme) a convertir diferentes ordenes de magnitud, comparando coeficientes
binomiales y potencias de 2, o resolviendo ecuaciones que involucran tasas de
reacciones.
A C.P. Snow 2 le preocupa el fısico cuya idea de la literatura moder-
na es Dickens, y censura al poeta que no puede expresar la segunda ley de la
termodinamica. Los matematicos, en conversacion con laicos 3 bien intenciona-
dos, inteligentes y educados, estan mucho peor que los fısicos en conversacion
con los poetas. Me entristece que las personas educadas ni siquiera sepan que
mi tema existe. Hay algo que ellos llaman matematica, pero ni siquiera saben
como los profesionales usan esa palabra, ni pueden concebir por que alguien
deberıa saberlo. Es, sin duda, posible que una persona inteligente y educada
no sepa que exista la egiptologıa o la hematologıa, pero todo lo que se tiene
que decir es lo hacen, y de inmediato comprendera de una manera aproximada
por que deberıa saberlo, incluso tendrıa cierta empatıa con el academico que
encuentra interesante al tema.
Por lo general, cuando un matematico da conferencias, el es un mi-
sionero. Ya sea que este hablando tomando una taza de cafe con un colabo-
rador, dando una conferencia a una clase de graduados especialistas, ensenando
a un renuente grupo de ingenieros de primer ano o dirigiendose a una audiencia
de laicos, predica y busca hacer conversos. El declarara teoremas y discutira las
pruebas y esperara que cuando termine su audiencia sepa mas matematicas que
antes. Mi objetivo hoy es diferente, no estoy aquı para hacer proselitismo, sino
para iluminar, no busco conversos sino amigos. No quiero ensenarte que son las
matematicas, solo el que son.
2 Charles Percy Snow (1905-1980), fue un fısico y novelista ingles autor de una serie de
novelas en las que lamenta la brecha entre cientıficos y literatos intelectuales... dos culturas.
3 Me refiero a todos los no matematicos como laicos...
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A lo que me dedico lo llamo matematicas, ası es como mis colegas en
todo el mundo lo llaman, y allı muy posiblemente esta el inicio de la confusion.
La palabra abarca dos disciplinas, muchas mas, en realidad, pero dos, al menos
dos en el mismo sentido en que Snow habla de dos culturas. Para tener algunas
palabras con las cuales referirme a las ideas que quiero discutir, ofrezco dos
neologismos 4 temporales ad hoc. Las matematicas, como se usa habitualmente
la palabra, constan de al menos dos asignaturas distintas, y propongo llamarlas
matologıa y matofısica. A grandes rasgos, la matologıa es lo que habitual-
mente se llama matematica pura, y la matemofısica se denomina matematica
aplicada, pero los terminos emocionalmente no son lo suficientemente fuertes
como para ocultar que califican el mismo nombre. Si la concatenacion de sılabas
que elijo aquı te recuerda otras palabras, no hara gran dano; las rimas aludi-
das no son completamente accidentales. Originalmente planee llamar a esta
conferencia algo como “Matematicas es un arte”, o “Las matematicas no son
una ciencia”, o “las matematicas son inutiles”, pero cuanto mas pensaba en
ello, mas me di cuenta de que me refiero a que “la matologıa es un arte”, “la
matologıa no es una ciencia y es inutil”. Cuando yo haya terminado, espero
reconozcan que la mayorıa de ustedes ya sabıan sobre la matofısica, solo que
ustedes probablemente la llamaban matematica; deseo que todos ustedes re-
conozcan la distincion entre matologıa y matofısica; y espero que algunos de
ustedes esten listos para aceptar, o aplaudir, o cuando menos reconocer a la
matologıa como un esfuerzo humano respetable.
En el curso de la conferencia tendre que usar muchas analogıas (lite-
ratura, ajedrez, pintura), cada una imperfecta por sı misma, pero espero que
en su totalidad sirvan para delinear, lo que quiero decir. A veces en interes
de economıa del tiempo, y a veces sin lugar a dudas, sin intencion, exagerare.
Cuando termine, estare encantado de rescindir cualquier cosa que fuera ine-
4 Acepcion o giro nuevo en una lengua.
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xacta o que ofendiera de alguna manera.
Lo que hacen los matematicos
Como primer paso para decir lo que hacen los matematicos, permıtan-
me que les cuente algunas de las cosas que no hacen. Para comenzar, los
matematicos tienen muy poco que ver con los numeros. Ya no se puede supo-
ner que un matematico sea capaz de agregar una columna de numeros rapida y
correctamente de lo que se puede esperar de un dibujante al dibujar una lınea
recta o un cirujano para hacer una incision, leyenda popular atribuye tales ha-
bilidades a estas profesiones, pero dicha leyenda es incorrecta. Hay, sin duda,
una parte de las matematicas llamada teorıa de numeros, pero incluso eso no
se ocupa de los numeros en el sentido legendario: un teorico de numeros y una
maquina sumadora encontrarıan muy poco de que hablar. Una maquina podrıa
disfrutar demostrando que 13 + 53 + 33 = 153, e incluso podrıa descubrir que
solo hay cinco enteros positivos (1, 370, 371, 407) con la propiedad que indi-
ca la ecuacion, pero a la mayorıa de los matematicos no les importa; muchos
matematicos disfrutan y respetan el teorema de que cada entero positivo es la
suma de no mas de cuatro cuadrados, mientras que el infinito involucrado en la
palabra “cada”asustarıa y paralizarıa cualquier maquina ordinaria de oficina,
y en cualquier caso, eso probablemente no es el tipo de cosas que la personas
que relegan a los matematicos a los numeros, tenıan en mente.
Ni siquiera los objetos romanticos de la ciencia ficcion de los ultimos
dıas, los cerebros gigantes, las maquinas de computacion que en estos dıas
corren en nuestras vidas, son de interes para el matematico como tal. Algunos
matematicos estan interesados en el problema logico involucrado en la reduccion
de preguntas difıciles al tipo de hablar de un bebe moronico 5 que las maquinas
entienden: el diseno logico de las maquinas de computacion es definitivamente
5 Trastorno caracterizado por una deficiencia muy profunda de las facultades mentales.
iv
matematico. Su construccion no lo es, eso es ingenierıa, y su producto, ya sea
una nomina, un lote de correo ordenado o un supersonico plano, no tiene interes
o valor matematico.
Las matematicas no son numeros o maquinas; tampoco es la deter-
minacion de alturas de las montanas por trigonometrıa, o interes compuesto
por algebra, o momentos de inercia por calculo. Hoy no lo es. De acuerdo a
algun momento de la historia algunas de estas cosas, y otras como ellas, podrıa
haber sido un importante y no trivial problema de investigacion, pero una vez
que se resuelve el problema, su aplicacion repetitiva tiene tanto que ver con
las matematicas como el trabajo de un telegrafo de correos con el genio de
Marconi.
Hay al menos otras dos cosas que la matologıa no es; una de ellas es
algo que nunca fue. . . los calculos algorıtmicos, y la otra es algo que alguna vez
incluyo, pero que actualmente no posee. . . la matofısica. Algunos laicos con-
funden la matematica y la fısica teorica y hablan, por ejemplo, de Einstein
como un gran matematico. No hay duda de que Einstein era un gran hom-
bre, pero no era mas un gran matematico que un gran violinista. El utilizo la
matematica para descubrir hechos sobre el universo, y para ese proposito em-
pleo con exito algunos aspectos de la geometrıa diferencial agregandole cierto
atractivo a la geometrıa diferencial. Sin embargo la teorıa de la relatividad y la
geometrıa diferencial no son la misma cosa. Einstein, Schrodinger, Heisenberg,
Fermi, Wigner, Feynman, todos grandes hombres y fısicos excepcionales, pero
no matematicos.
Lo que alguna vez fue matematica siempre sigue siendo matematica,
pero puede trabajarse concienzudamente, entenderse por completo y, a la luz
de milenios de contribuciones, tan trivial en retrospectiva, que los matematicos
nunca mas necesitaran o querran dedicar tiempo a ella. Los celebres problemas
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griegos (la triseccion de un angulo, la cuadratura de un cırculo, la duplicacion de
un cubo) son de este tipo, al contrario del irreprimible matematico aficionado,
los actuales matematicos ya no intentan resolverlos. Por favor entiendan que
no es que se hayan dado por vencidos, tal vez hayas escuchado o leıdo que,
de acuerdo con los matematicos, es imposible cuadrar un cırculo, o trisecar un
angulo, por lo cual, los matematicos son un grupo pusilanime de corazones de
gallina, que se dan por vencidos facilmente, y usan sus declaraciones ex-catedra
para justificar su ignorancia. La conclusion puede ser cierta, y puede creerla si
lo desea, pero la prueba es inadecuada. El punto es pequeno pero famoso y de
interes historico, dejenme hacer una digresion para discutirlo por un momento.
Una breve digresion
El problema de trisectar el angulo es el siguiente: dado un angulo,
construya otro que sea un tercio del inicial. El problema es perfectamente facil,
y se conocen varios metodos para resolverlo. El problema es que la formulacion
griega original del problema es mas estricta: requiere una construccion que
solo usa regla y compas. Incluso eso se puede hacer, y podrıa mostrarte un
metodo perfectamente simple en un minuto y convencerte de que funciona en
dos minutos mas. Pero la verdadera dificultad es que la formulacion precisa del
problema es aun mas estricta. La formulacion precisa exige una construccion
que utiliza una regla y brujulas solamente y, ademas, restringe severamente
como se van a usar; prohıbe, por ejemplo, marcar dos puntos en la regla y
usar los puntos marcados en otras construcciones. Se necesita un legalismo
cuidadoso (o algunas matematicas moderadamente pedantes) para formular
real y precisamente lo que era y lo que no estaba permitido por las reglas
griegas. El triseccion de un angulo moderno no conoce esas reglas, o bien las
conoce pero piensa que la idea es una aproximacion cercana, o conoce las reglas
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y sabe que se requiere una solucion exacta, pero deja de desear ser “padre de la
escritura”y simplemente comete un error. Con frecuencia, su actitud es la del
visitante de un campo de golf: si todo lo que se quiere es tener una pequena
bola blanca en un pequeno agujero verde... ¿porque no van y la ponen allı?
Permıtanme anadir una breve digresion a la digresion. Me gustarıa
recordar que cuando un matematico dice que algo es imposible, no quiere decir
que sea muy difıcil, que este mas alla de sus poderes y que probablemente
este mas alla de los poderes de la humanidad en el futuro previsible. Eso es
lo que a menudo se entiende cuando alguien dice que es imposible viajar a la
velocidad del sonido a cinco millas por encima de la superficie de la tierra, o
comunicarse instantaneamente con alguien a miles de kilometros de distancia,
o alterar el codigo genetico para producir una raza de ciudadanos que son
simultaneamente inteligentes y amantes de la paz. Eso es lo que menosprecia
el clasico fanfarron empresarial (lo imposible lleva un poco mas de tiempo).
El imposible matematico es diferente: es mas modesto y mas seguro... es el
imposible logico. Cuando el matematico dice que es imposible encontrar un
numero positivo cuya suma con 10 es menor que 10, simplemente nos recuerda
que eso es lo que significan las palabras (positivo, suma, 10, menos); cuando dice
que es imposible trisectar cada angulo por regla y compas, significa exactamente
el mismo tipo de cosa, solo que el numero de palabras tecnicas involucradas
es lo suficientemente grande y el argumento que las une es lo suficientemente
extenso como para llenar un libro, no solo una linea
El comienzo de las matematicas
Nadie sabe cuando y donde comenzo la matematica, o como, pero
parece razonable suponer que surgio de las mismas observaciones fısicas primi-
tivas (contar, medir) con las cuales todos comenzamos nuestra propia vision
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matematica (la ontogenia 6 recapitula la filogenia 7). Probablemente fue ası en
el comienzo, y aun es cierto que muchas ideas matematicas no se originan en el
pensamiento puro sino en la necesidad material; muchas, pero probablemente
no todas. Casi tan pronto como un ser humano encuentra necesario contar sus
ovejas (¿o antes?) comienza a preguntarse sobre numeros y formas, movimien-
tos y arreglos; la curiosidad sobre tales cosas parece ser tan necesaria para el
espıritu humano como la curiosidad sobre la tierra, el agua, el fuego y el aire,
y la curiosidad -pura pura curiosidad intelectual- sobre las estrellas y sobre
la vida. Los numeros, las formas, los movimientos y los arreglos, y tambien
los pensamientos y su orden, y conceptos tales como “propiedad”y “relacion”:
todos estos elementos son la materia prima de las matematicas. El concepto
matematico basico pero tecnico de “grupo”es lo mejor que puede hacer la hu-
manidad para entender el concepto intuitivo de “simetrıa”y las personas que
estudian los espacios topologicos y los caminos ergodicos, y los graficos orien-
tados estan haciendo precisos nuestros crudos y vagos sentimientos sobre las
formas, los movimientos, y los arreglos.
¿Porque los matematicos estudian tales cosas y porque deberıan hacer-
lo? En otras palabras, ¿que motiva al matematico individual y porque la so-
ciedad alienta sus esfuerzos, al menos hasta el punto de proporcionarle la ca-
pacitacion y, posteriormente, el sustento que, a su vez, le da el tiempo que
necesita para pensar? Hay dos respuestas para cada una de las dos preguntas:
porque las matematicas son practicas y porque las matematicas son un arte. Las
matematicas ya existentes tienen cada vez mas aplicaciones nuevas cada dıa, y
el rapido crecimiento de las aplicaciones deseadas sugiere cada vez mas nuevas
matematicas practicas. Al mismo tiempo, a medida que aumenta la cantidad
de matematicas y el numero de personas que piensan en ello se duplica una y
6 Desarrollo del individuo, referido en especial al perıodo embrionario.
7 Origen y desarrollo evolutivo de las especies, y en general, de las estirpes de seres vivos.
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otra vez, se necesitan mas explicaciones sobre nuevos conceptos, mas nuevas
interrelaciones logicas claman por estudio, comprension y simplificacion, y mas
y mas, el arbol de las matematicas posee flores elaboradas y chillonas que, para
muchos observadores, valen mas que las raıces de las que todo proviene y las
causas que lo llevaron a la existencia.
Matematicas de hoy
Las matematicas de hoy estan muy vivas. Hay mas de mil revistas
que publican artıculos matematicos; cada ano se imprimen de 15,000 a 20,000
artıculos matematicos. Los logros matematicos de los ultimos cien anos son
mayores en cantidad y en calidad que los de toda la historia anterior. Los
difıciles problemas matematicos, que dejaron perplejos a Hilbert, Cantor o
Poincare, estan siendo resueltos, explicados y generalizados por jovenes im-
berbes (y barbudos) en Berkeley y Odesa.
Los matematicos a veces se clasifican a sı mismos y a los demas co-
mo solucionadores de problemas o creadores de teorıas. Los que resuelven
problemas responden sı o no y discuten los casos especiales vitales y ejemp-
los concretos que son la carne y la sangre de las matematicas; los creadores
de la teorıa ajustan los resultados en un marco, lo iluminan todo y lo ori-
entan en una direccion definida: proporcionan el esqueleto y el alma de las
matematicas. Uno y el mismo ser humano puede ser tanto un solucionador de
problemas como un creador de teorıa, pero por lo general, es principalmente
uno u otro. Los solucionadores de problemas hacen construcciones geometricas,
los teoricos-creadores discuten los fundamentos de la geometrıa euclidiana; los
solucionadores de problemas descubren que hace que funcionen los diagramas
de cambio, los teoricos-creadores prueban los teoremas de representacion para
las algebras de Boole. En ambos tipos de matematicas y en todos los cam-
pos de las matematicas, el progreso en una generacion es impresionante. Nadie
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puede llamarse a sı mismo un matematico hoy en dıa si no tiene al menos una
vaga idea de algebra homologica, topologıa diferencial y analisis funcional, y
cada matematico es probablemente un tanto experto en al menos uno de estos
temas y sin embargo, cuando estudie las matematicas en la decada de 1930
no se habıa inventado ninguna de esas frases, y los temas que describen solo
existıan en formas seminales.
Las matematicas son pensamiento abstracto, las matematicas son pu-
ra logica, las matematicas son arte creativo. Todas estas afirmaciones son
erroneas, pero todas tienen un poco de razon, y todas estan mas cerca de
“las matematicas son numeros”o “las matematicas son formas geometricas”.
Para el matematico profesional puro, las matematicas son la combinacion logi-
ca de un conjunto disperso de supuestos cuidadosamente seleccionados con sus
conclusiones sorprendentes a traves de una prueba conceptualmente elegante.
La simplicidad, la complejidad y, sobre todo, el analisis logico son el sello dis-
tintivo de las matematicas. El matematico esta interesado en casos extremos: a
este respecto, es como el experimentador industrial que rompe bombillas, des-
garra las camisas y rebota autos sobre surcos. ¿Cuan extensamente se aplica
un razonamiento, el quiere saber, y que pasa cuando no lo hace? ¿Que sucede
cuando debilitas una de las suposiciones, o bajo que condiciones puedes fort-
alecer alguna de las conclusiones? Es la pregunta perpetua, de tales preguntas
es lo que hace que haya una comprension mas amplia, una mejor tecnica y una
mayor elasticidad para los problemas futuros.
Las matematicas, esto puede sorprenderlo o incluso impresionarlo, nun-
ca es deductiva en su creacion. En el trabajo el matematico hace conjeturas
vagas, visualiza amplias generalizaciones y salta a conclusiones injustificadas.
Arregla y reorganiza sus ideas, y se convence de su verdad mucho antes de
que pueda escribir una prueba logica. La conviccion no es probable que llegue
temprano; generalmente ocurre despues de muchos intentos, muchos fracasos,
x
muchos desalientos y muchos comienzos en falso. A menudo ocurre que meses
de trabajo resultan en la prueba de que el metodo de ataque en el que se basan
no puede funcionar, y el proceso de adivinar, visualizar y concluir comienza
otra vez. Se necesita una reformulacion, y esto tambien puede sorprender, se
necesita mas trabajo experimental. Para estar seguro, por “trabajo experimen-
tal”no me refiero a tubos de ensayo y ciclotrones. Me refiero a los experimentos
mentales. Cuando un matematico quiere probar un teorema sobre un espacio
de Hilbert de dimension infinita, examina su analogo de dimension finita, exa-
mina en detalle los casos bidimensionales y tridimensionales, a menudo prueba
un caso numerico particular y espera que obtendra de ese modo una idea de
que los malabarismos de definicion pura no han cedido. La etapa deductiva,
escribir el resultado y escribir su prueba rigurosa es relativamente trivial una
vez que llega la percepcion real; es mas como el trabajo del dibujante, no del
arquitecto.
La Fraternidad Matematica
La fraternidad matematica es un poco como un sacerdocio que se au-
toperpetua. Los matematicos de hoy entrenan a los matematicos del manana y,
de hecho, deciden a quien admitir en el sacerdocio. A la mayorıa de las personas
no les resulta facil unirse: el talento matematico y el genio son aparentemente
tan raros como el talento y el genio en la pintura y la musica, pero cualquiera
puede unirse, todos son bienvenidos. Las reglas no estan explıcitamente for-
muladas en ninguna parte, pero son sentidas intuitivamente por todos en la
profesion. Se olvidan los errores y tambien la exposicion oscura: el requisito
indispensable es la comprension matematica. El pensamiento descuidado, la
verbosidad sin contenido y la polemica no tienen ningun papel, y esto para
mı es uno de los aspectos mas maravillosos de las matematicas: son mucho mas
faciles de detectar que en los campos no matematicos de la actividad humana
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(mucho mas facil que, por ejemplo, en literatura entre las artes, en crıtica de
arte entre las humanidades, y en tu abominacion favorita entre las ciencias
sociales).
Aunque la mayorıa de la creacion matematica es realizada por un hom-
bre en un escritorio, en una pizarra, o paseando, o, a veces, por dos hombres
conversando, las matematicas son, sin embargo, una ciencia sociable. El creador
necesita estimulacion mientras crea y necesita una audiencia despues de haber
creado. Las matematicas son una ciencia sociable en el sentido de que no creo
que pueda ser hecha por un hombre en una isla desierta (excepto por un tiempo
muy corto), pero no es una ciencia de la mafia, no es una ciencia de equipo.
Un teorema no es una piramide; la inspiracion nunca se sabe que desciende
en un comite. Un gran teorema no puede obtenerse mas por un enfoque de
“proyecto”que una gran pintura; No creo que un equipo de pequenos Gauss
podrıa haber obtenido el teorema de los polıgonos regulares bajo la direccion
de un contraalmirante mas de lo que un equipo de pequenos Shakespeare podrıa
haber escrito Hamlet bajo tales condiciones.
Un problema matematico pequeno y trivial
He estado tratando de dar una descripcion de lo que son las matemati-
cas y como lo hacen los matematicos en terminos generales, y no culparıa
si lo hubieran encontrado completamente insatisfactorio. Me siento un poco
como si hubiera estado describiendo la nieve a un isleno de Fiji. Si le dijera
que la nieve era blanca como un huevo, humeda como el barro y frıa como
una cascada de montana, ¿entenderıa entonces lo que es esquiar en los Alpes?
Mostrarle una cucharada de raspaduras del recien descongelado refrigerador
de su Excelencia el Gobernador”no es mucho mas satisfactorio, pero es algo.
Permıtanme, entonces concluir este planteamiento mencionando un pequeno y
trivial problema matematico y describiendo su solucion; posiblemente entonces
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obtendran (si aun no lo han hecho) una pequena sensacion de lo que atrae y
divierte a los matematicos, y de que se trata la naturaleza de la inspiracion de
la que he estado hablando.
Imaginen una grupo de 1025 tenistas. Los que tienen una mentalidad
matematica de ustedes, si aun no han escuchado de este famoso problema,
han sido alertados de inmediato por el numero. Es sabido por cualquiera que
haya continuado duplicando algo, cualquier cosa, que 1024 es 210. Todos los
entendidos saben, por lo tanto, que la presencia en el enunciado de un problema
de un numero como 1+210 seguramente es un fuerte indicio de su solucion; las
posibilidades son, y esto puede adivinarse incluso antes de que la declaracion
del problema este completa, que la solucion dependera de duplicar o reducir a
la mitad algo diez veces. Los mas conocedores tambien admitiran la posibilidad
de que ese numero no sea una pista, sino una trampa. Imagine entonces que los
tenistas estan a punto de realizar un torneo gigantesco de la siguiente manera:
planean partidos apareando al azar lo mas que puede y el hombre impar no
juega en la primera ronda, en la segunda ronda solo participan los ganadores de
la primera ronda y el hombre inicialmente aislado. El procedimiento es el mismo
para la segunda ronda que para la primera: par al azar y se juega, con un nuevo
hombre impar esperando. Las reglas exigen que este procedimiento continue,
una y otra vez, hasta que se seleccione al campeon del grupo. El campeon,
en este sentido, no derroto exactamente a todos los demas, pero puede decir,
de cada uno de sus companeros jugadores, que vencio a alguien, que a la vez
vencio a alguien, ..., que vencio a alguien, que vencio a ese jugador. La pregunta
es: ¿cuantos partidos se jugaron en total, en todas las rondas de todo el torneo?
Hay varias maneras de atacar el problema, e incluso la mas ingenua
funciona. Segun ella, la primera ronda tiene 512 partidos (ya que 1025 es impar
y 512 es la mitad de 1024), la segunda ronda tiene 256 partidos (de los 512 los
ganadores en la primera ronda, junto con el hombre impar de esa ronda hacen
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513, lo cual es non de nuevo, y 256 es la mitad de 512), etc. El et cetera produce,
despues de 512 y 256, los numeros 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 y 1 (la ultima ronda,
que consiste en un solo partido y es la unica donde no hay hombre impar), y
todo lo que se necesita es sumarlos. Es un trabajo simple que con lapiz y papel
puede realizarse en unos pocos segundos; la respuesta (y de ahı la solucion del
problema) es 1024.
El matematico procederıa de forma un poco diferente. El reconocerıa
rapidamente, como se anuncia, que el problema tiene que ver con mitades
repetidas, de modo que los numeros que se sumen son las potencias sucesivas
de 2, desde la novena hasta la primera (no, desde la novena hasta la cero) junto
con el ultimo 1 causado por el obviamente intento malicioso del que plantea
el problema para confundir al solucionador usando 1025 en lugar de 1024. El
matematico exhibirıa con orgullo su conocimiento de la formula para la suma
de una progresion geometrica, por lo tanto, sabrıa (sin sumar) que la suma de
512, 256, ..., 8, 4, 2 y 1 es 1023, y luego agregrıa el impar 1 para obtener el
mismo total de 1024.
El problema con esta solucion es que es demasiado especial. Si el
numero de jugadores de tenis hubiera sido 1000 en su lugar de 1025, el sabio
no estarıa mejor que el profano laico. Su solucion funciona, pero es tan libre de
inspiracion como la del laico. Es mas corta pero sigue siendo, en los terminos
despectivos del matematico, computacional.
El problema tambien tiene una solucion inspirada, que no requiere
computo, ni formulas, ni numeros, solo puro pensamiento. Razonando como
sigue: cada partido tiene un ganador y un perdedor. Un perdedor no puede
participar en ninguna ronda posterior; todos en el grupo, excepto el campeon,
pierden exactamente un partido. Hay por lo tanto, exactamente tantos partidos
como hay perdedores, y en consecuencia, el numero de partidos es exactamente
xiv
uno menos que el de la membresıa del grupo. Si el numero de miembros es
1025, la respuesta es 1024. Ahora si el numero ha sido 1000, la respuesta serıa
999, y obviamente, el presente metodo de pensamiento puro da la respuesta sin
computacion, para cada numero posible de jugadores.
Eso es todo: esto es lo que ofrezco como ejemplo microcosmico de una
bonita pieza de matematicas. El ejemplo es malo porque, despues de toda mi
advertencia de que los matematicos estan interesados en otras cosas ademas
de contar, trata de contar, es malo porque no muestra ni puede exhibir el
poder conceptual y la tecnica intelectual de matematicas no triviales, y es malo
porque ilustra las matematicas aplicadas (es decir, las matematicas aplicadas
a un problema de la “vida real”) mas que ilustrar las matematicas puras (es
decir, la forma destilada de una pregunta sobre las interrelaciones logicas de
conceptos, no jugadores de tenis, torneos y partidos). Como una ensenanza lo
hace bastante bien; pues si la imaginacion es mentalmente lo suficientemente
buena para reconstruir al oceano a partir de una gota de agua, entonces se
pueden reconstruir las matematicas del problema del jugadores de tenis...
Matologıa versus Matofısica
He estado describiendo a las matematicas, pero la verdad, he tenido a
la matologıa (pura) en la mente, mas que matofısica (aplicada), hace mucho
esto me ocurre, estoy seguro. Por alguna razon, los practicantes de la matofısica
tienden a minimizar las diferencias entre ellas y los otros, los matologos, tienden
a enfatizarlos. Cada matematico esta en un campo u en otro, bueno casi todos
pues unos pocos estan en ambos campos, y yo soy un matologo por nacimiento
y entrenamiento. Pero en un escrito como este, debo tratar de no exagerar mi
prejuicios, por ello comenzare diciendo que las similitudes entre la matologıa y
la matofısica son realmente buenas. Esto es un hecho historico que, en ultima
instancia, todas las matematicas nos llegan, nos las sugiere el universo fısico, en
xv
ese sentido toda la matematica es aplicada. Es, creo, un hecho psicologico que
incluso el mas puro de los puros entre nosotros se emociona cuando sus pen-
samientos hacen un contacto nuevo e inesperado con el universo no matematico.
El tipo de talento requerido para ser buen matotologo esta ıntimamente rela-
cionado con el que demanda un matofısico. Los artıculos que los matofısicos
escriben frecuentemente son indistinguibles de los de sus colegas matologos.
Como yo lo veo, la principal diferencia entre la matologıa y la matofısica
es el proposito de la curiosidad intelectual que motiva el trabajo, o tal vez
serıa mas exacto decir que es el tipo de curiosidad intelectual que es relevante.
Dejenme hacer una pregunta, peculiar pero definitivamente matematica: ¿se
puede cargar un par de dados para que todas las tiradas posibles sean mejores?
Todas las sumas posibles que se pueden mostrar en una tirada, los numeros
entre 2 y 12 ¿son igualmente probables? La pregunta es una ejemplo legıtimo de
las matematicas; la respuesta es conocida y no es trivial. Lo menciono aquı para
que se pueda realizar un rapido psicoanalisis personal. Cuando hice la pregunta
¿se penso en distribuciones homogeneas y no homogeneas de masa en formas
curiosas al traves de los dos cubos? o ¿se penso en sumas de productos de doce
numeros (las dos de las seis probabilidades asociadas a las dos caras de las seis
de los dos dados)? Si el pensamiento fue el primero, usted es un criptomatofısico,
y si fue el ultimo, es un matologo potencial.
¿Como se elige un problema de investigacion y que es lo que lo hace
atractivo? ¿Se quiere saber sobre la naturaleza o sobre la logica? ¿se prefiere
hechos concretos a relaciones abstractas? si lo que se desea es estudiar la natu-
raleza, si lo concreto tiene mayor atractivo, entonces se es un matofısico. En
la matofısica, la pregunta siempre viene del exterior, del “mundo real”, y la
satisfaccion que obtiene el cientıfico de la solucion proviene, en gran medida,
de la luz que arroja sobre los hechos.
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Seguramente nadie puede objetar a la matofısica o pensar menos de
ella debido a eso, y sin embargo muchos lo hacen. No quise identificar “concre-
to”con “practico”por lo que no cabe menospreciarla, y tampoco quise asociar
“abstracto”con “inutil”. (El que 211213 + 1 es un primo es un hecho con-
creto, pero seguramente inutil, y que E=mc2 es una relacion abstracta pero
desafortunadamente practica) sin embargo, tales identificaciones -aplicadas-
concretas-practicas-crudas y puras-abstractas -pedante-inutil - son bastante
comunes en ambos campos. Para el matematico aplicado, el antonimo de “apli-
cado”es “inutil”, y para el matematico puro el antonimo de “puro”es “sucio”.
La historia no ayuda a la confusion. Historicamente, las matematicas
puras y aplicadas (matologıa y matofısica) han estado mucho mas unidas de lo
que estan hoy en dıa. En este momento, la propia terminologıa (matematicas
puras versus matematicas aplicadas) crea confusion semantica pues implica
identidad con pequenas diferencias, en lugar de diversidad con conexiones im-
portantes.
De la diferencia en los propositos sigue una diferencia en los gustos y,
por lo tanto, de los juicios de valor. El matofısico quiere saber los hechos, y a
veces, no tiene paciencia para las sutilezas pedantes del rigor matematico (que
ridiculiza como rigor mortis). El matologo quiere entender las ideas, y le da
gran valor a los aspectos esteticos de la comprension y la forma en que se llega
a ella, usa palabras como “elegante”para describir la motivacion, el proposito,
frecuentemente el metodo, y casi siempre en el gusto el matofısico y el matologo
difieren.
Cuando digo que soy un matologo, no estoy tratando de defender al
conocimiento inutil, o de convertirlos a la opinion de que es lo mejor. Sin
embargo, serıa deshonesto con ustedes si no te dijera que eso es lo creo. Me
gusta la idea de que las cosas se hagan por su propio bien. Me gusta en la
xvii
musica, me gusta en la artesanıa, y me gusta incluso en medicina. Nunca confıo
en un medico que dice que eligio su profesion por el deseo de beneficiar a
la humanidad... me siento incomodo y esceptico cuando escucho tales cosas.
Prefiero que el medico diga que lo hizo porque le gusto la idea, porque penso que
serıa bueno en eso, o incluso porque obtuvo buenas calificaciones en la zoologıa
de la escuela secundaria. Me gusta el tema por sı mismo, tanto en medicina
como en musica, y desde luego me gusta en la matematica.
Permıtanme hacer una breve digresion con una historia breve y tal vez
apocrifa sobre David Hilbert, probablemente el matematico mas importante
de los siglos XIX y XX. Cuando estaba preparando un discurso publico, le
pidieron que incluyera una referencia al conflicto (¡incluso entonces!) Entre las
matematicas puras y las aplicadas, con la esperanza de que si alguien podıa
dar un paso hacia su resolucion, el podrıa hacerlo. Obedientemente, se dice que
comenzo su discurso diciendo: me pidieron que hablara sobre el conflicto entre
las matematicas puras y las aplicadas. Me alegra hacerlo, porque es una gran
tonterıa, no debe haber conflicto, no puede haber conflicto, no hay conflicto,
de hecho, las dos no tienen nada que ver una con la otra.
Creo que es innegable que una gran parte de la matematica nacio y vive
con respeto y admiracion, sin mas motivo que el hecho de que es interesante; es
interesante en sı misma. La triseccion angular de los griegos, el celebre problema
del mapa de cuatro colores y la espectacular contribucion de Godel a la logica
matematica son buenos porque son hermosos, porque son sorprendentes, porque
queremos saber: ¿no sentimos todos la fuerza irresistible del rompecabezas?
¿Hay realmente algo de malo en decir que la matematica es una creacion gloriosa
del espıritu humano y merece vivir incluso en ausencia de alguna aplicacion
practica?
xviii
La Matematica es un lenguaje
¿Por que la matematica ocupa una posicion tan aislada en el firma-
mento intelectual? ¿Porque para los intelectuales es buena para estremecerse
y anunciar que no pueden soportarla, o al menos reırse y decir que nunca po-
drıan entenderla? Una razon tal vez es que la matematica es un lenguaje. La
matematica es un lenguaje preciso y sutil disenado para expresar ciertos tipos
de ideas de manera mas breve, mas precisa y mas util que el lenguaje ordinario.
No me refiero aquı a que los matematicos usan una jerga, como los miembros
de las demas camarillas profesionales. Lo hacen a veces, y no lo hacen con fre-
cuencia, pero es un fenomeno personal, no el profesional que estoy describiendo.
Lo que quiero decir al decir es que la matematica es un lenguaje incompleto
que ilustro con la diferencia entre las siguientes dos oraciones (Nota: la oracion
mas larga no solo es incomoda, tambien es incompleta):
1. Si dos numeros se multiplican por sı mismos, la diferencia de los dos
resultados es la misma que el producto de la suma de los dos numeros y
la diferencia de ellos.
2. x2 − y2 = (x+ y)(x − y).
Algo que a veces molesta y repele al profano es la terminologıa que
los matematicos emplean. Las palabras matematicas son meramente como eti-
quetas, a veces sugerentes, posiblemente graciosas, pero siempre definidas con
precision; sus connotaciones cotidianas deben ser ignoradas con firmeza. Como
nadie hoy en dıa infiere del nombre Fitzgerald que es el hijo ilegıtimo de Ger-
ald, un numero que se le llama irracional debe no ser considerado irracional;
ası como el poema dramatico llamado La divina comedia no es necesariamente
divertido, un numero llamado imaginario tiene la misma existencia matematica
que cualquier otro. (Racional para los numeros, no se refiere a la frase latina
en el sentido de la razon, sino a la razon inglesa asociada a un cociente).
xix
Ninguno de nosotros se siente insultado cuando un sinologo 8 utiliza
algunas usa frases en chino, y estamos resignado a vivir sin el chino o pasar
algunos anos aprendiendolo. Nuestra actitud hacia la matematica deberıa ser la
misma, es un lenguaje y lleva anos aprender a hablarlo bien. Todos hablamos un
poco, solo porque parte de esto esta en el aire todo el tiempo, pero lo hablamos
con acento y con frecuencia de manera inexacta; la mayorıa de nosotros lo hace
aproximadamente tan bien como cuando uno solo puede decir Oui, monsieur
y S’il vous plait en frances. El matematico no ve nada malo en ello mientras
no sea reprochado por el resto de la comunidad intelectual por tener secretos.
Le llevo mucho tiempo aprender su idioma, y no menosprecia al amigo que
sin tener esos estudios no lo habla. Sin embargo, a veces es difıcil mantener la
calma en un coctel con conocidos que exigen que se le ensene el idioma entre
bebidas, y que considera el fracaso o la negativa a hacerlo como signos seguros
de estupidez o esnobismo.
Algunas analogıas
Un pequeno sentimiento por la naturaleza de la matematica y el pen-
samiento matematico se puede obtener mediante la comparacion con el ajedrez,
la analogıa como todas las analogıas, es imperfecta, pero de todos modos ilu-
mina. Las reglas para el ajedrez son tan arbitrarias como a veces parecen ser
los axiomas de la matematica.
El juego de ajedrez es tan abstracto como las matematicas, que el
ajedrez se juega con piezas solidas, hechas de madera, plastico o vidrio, no
es una caracterıstica intrınseca del juego. Tambien se puede jugar con lapiz
y papel, como en la matematica, o con los ojos vendados, como se hace en
la matematica. El ajedrez tambien tiene su lenguaje tecnico elaborado, y es
completamente determinista.
8 Persona dedicada al estudio de las lenguas y culturas de China.
xx
Tambien hay alguna analogıa entre la matematica y la musica. El
matologo siente la necesidad de justificar la matematica pura tan escasamente
como el musico lo siente con la musica. ¿Acaso los hombres practicos, los hom-
bres que cumplen por las nominas, exigen jazz relajante para hacer que un
trabajador de la cadena de un montaje se vuelva loco mas rapido, o marchas
exitantes para hacer que un soldado mate con mas entusiasmo? No, segura-
mente ninguno de nosotros cree en ese tipo de justificacion; la musica y las
matematicas son de valor humano porque los seres humanos sienten que sı lo
son.
La analogıa con la musica se puede analizar un poco mas, pero antes de
juzgar la contribucion artıstica de un interprete o ejecutante, se da por sentado
que el toca las notas correctas, pero simplemente tocar las notas correctas
no lo convierte en musico. Nosotros no entendemos el pintar si felicitamos a
la Maja desnuda por ser una buena imagen, y no comprendemos el trabajo
de un historiador si todo lo que podemos decir es que el no dijo mentiras.
Mera precision en el rendimiento, semejanza en apariencia, y la verdad en la
narracion no hace buena musica, pintura, historia: de la misma manera, la mera
la correccion logica no es buena matematica.
La bondad, la alta calidad, se juzgan por motivos mas importantes
que la validez, pero menos descriptibles. Una buena pieza de la matematica
esta conectado con muchas otras ramas de la matematica, es nueva sin ser tonta
(piense en una “nueva”pelıcula occidental en la que se cambian los nombres y
el vestuario, pero la trama no), y es profunda en una sentido inefable pero
ineludible: el sentido en el que Johann Sebastian es profundo y Carl Philip
Emmanuel no lo es. El criterio de calidad es la belleza, la complejidad, la
pulcritud, la elegancia, la satisfaccion, la adecuacion, todo subjetivo, pero todo
de alguna manera misteriosamente compartido por todos.
xxi
La matematica tambien se parece a la literatura, a diferencia de la
forma en que se parece a la musica. La escritura y lectura de la literatura
esta relacionada con la escritura y la lectura de periodicos, anuncios y senales de
trafico de la manera la matematica esta relacionada con la aritmetica practica.
Todos necesitamos leer y escribir para la vida diaria, pero la literatura es mas
que leer y escribir, y la matematica son mas que calculos. La analogıa de la
literatura puede ser utilizada para ayudar a comprender el papel de los docentes
y el papel del dualismo puramente aplicado.
Muchos cuyos intereses estan en el lenguaje, en la estructura, en la
historia y en la estetica, ganan su pan y mantequilla ensenando los rudimentos
del lenguaje a sus futuros usuarios practicos. Del mismo modo muchos, tal
vez la mayorıa, cuyos intereses estan en las matematicas de hoy, ganan su
pan y mantequilla ensenando aritmetica, trigonometrıa o calculo. Esto es una
economıa solida: la sociedad de forma abstracta e impersonal esta dispuesta
a subsidiar el lenguaje puro y la matematica pura, pero no muy lejos. Deja
que el aspirante a purista haga su trabajo ensenandole a la proxima generacion
los aspectos aplicados de su oficio; entonces se le permite pasar una fraccion
de su tiempo haciendo lo que el prefiere. Desde el punto de vista de lo que
debe ser un buen maestro, esto es bueno. Un maestro debe saber mas del
mınimo indispensable que debe ensenar; debe saber mas para evitar mas y mas
errores, para evitar perpetuacion de malentendidos, para evitar una ineficiencia
educativa catastrofica. Para mantenerlo vivo, para evitar que se seque, juega
un papel necesario su interes en la sintaxis, su busqueda en la etimologıa, o
incluso su incursion en la poesıa.
El dualismo puro-aplicado tambien existe en la literatura. La fuente
de la literatura es la vida humana, pero la literatura no es la vida de la que
proviene, y escribir con un proposito sombrıo no es literatura. Ciertamente hay
casos lımite: ¿es literatura o propaganda la ”jungla”de Upton Sinclair? (Para el
xxii
caso: ¿es Chiquita Banana un tintineo publicitario o o una encantadora opera
ligera?) Pero la frontera difusa no altera el hecho de que en la literatura (como
en la matematica) lo puro y aplicado es diferente en intencion, en metodo y en
criterio de exito.
Quiza la analogıa mas cercana sea entre la matematica y la pintura.
El origen de la pintura es la realidad fısica, y tambien lo es el origen de la
matematica, pero el pintor no es una camara y el matematico no es un ingeniero.
El pintor de Your Country Needs You obtuvo su recompensa del patriotismo,
de un aumento en los alistamientos, de ganar la guerra, que probablemente sea
diferente de la recompensa que Rembrandt obtuvo con un trabajo terminado.
Que tan cerca de la realidad la pintura (y la matematica) deberıan estar, es una
cuestion delicada. Pidiendole a un pintor que cuente una “historia concreta”es
como pedirle a un matematico que resuelva un “problema real”. La pintura
moderna y la matematica moderna estan lejos-demasiado lejos para el juicio de
algunos. Quizas lo ideal es tener una pizca de realidad siempre presente, pero
no llenarla en la forma de la geometrıa descriptiva.
Hable con un pintor y con un matematico, y se sorprendera de lo similar
que reaccionan. Casi cada aspecto de la vida y del arte de un matematico tiene
su contraparte en la pintura y viceversa. Cada vez que un matematico oye
“nunca podrıa balancear mi talonario de cheques”o un pintor escucha “nunca
podrıa dibujar un lınea recta”, los comentarios son igualmente relevantes e
igualmente interesantes. La invencion de la perspectiva dio al pintor una tecnica
util, como lo hizo la invencion del cero para el matematico. El viejo arte es tan
bueno como nuevo: la matematica antigua es tan buena como nueva. Los gustos
cambian, sin duda en ambos temas, pero un pintor del siglo XX tiene simpatıa
por las pinturas rupestres y un matematico del siglo XX por los malabares de
las fracciones de los babilonios.
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Una pintura debe ser pintada y luego observada, un teorema debe ser
impreso y luego leıdo. El pintor que piensa buenas imagenes, y el matematico
que suena con bellos teoremas son diletantes; una obra de arte invisible es in-
completa. En la pintura y en la matematica hay algunos estandares objetivos
del bien, el pintor habla de buena estructura, lınea, forma y textura, donde
el matematico habla de verdad, validez, novedad, generalidad, que son rela-
tivamente mas faciles de satisfacer. Tanto los pintores como los matematicos
debaten entre ellos si estos estandares objetivos deben incluso ser contados a los
jovenes, el principiante puede malinterpretarlos y exagerarlos y al mismo tiem-
po pierden de vista los estandares subjetivos mas importantes de la bondad.
La pintura y la matematica tienen una historia, una tradicion, un crecimiento.
Los estudiantes, en ambas materias, tienden a acudir en masa a lo mas nuevo,
pero excepto los mejores, pierden la direccion; carecen de la vitalidad en lo que
imitan, porque, entre otras razones, carecen de la experiencia basada en las
tradiciones del tema.
He estado hablando acerca de la matematica, pero no de ella, y en
consecuencia, lo que he estado diciendo no posible demostrarlo en el sentido
matematico de la palabra. Espero haber mostrado que hay un tema llamado
matematica (¿matologıa?), y que esa materia es un arte creativo. Es un arte
creativo porque los matematicos crean hermosos conceptos nuevos; es un arte
creativo porque los matematicos viven, actuan y piensan como artistas; y es un
arte creativo porque los matematicos lo consideran ası. Estoy muy convencido
de ello, y estoy agradecido por esta oportunidad de hablar sobre ello.
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