La matematica, questo mondo così

sorprendentemente intorno a noi, vicino a noi!

Liceo Vittorini

Principi di equità distributivaPrincipi di equità distributiva

Principali teorie nella soluzione Principali teorie nella soluzione di problemi di ripartizione dei benidi problemi di ripartizione dei beni

Principio di equità di Aristotele: beni ripartiti in proporzione alle richieste avanzate dai partecipanti alla divisioneUtilitarismo classico: beni ripartiti in modo da massimizzare la somma dei benefici totali degli aventi dirittoTeoria di John Rawls: beni ripartiti in modo che colui che è in posizione più sfavorevole o gode di minori diritti sia avvantaggiato il più possibile

Introduzione principi generali della Introduzione principi generali della contested Garment rulecontested Garment rule

La contested Garment rule è applicabile nella ripartizione di beni o risorse che riguardi esclusivamente

due soggetti e riesce a rispettare principi auspicati nelle tre teorie viste

in precedenza. In un secondo momento tratteremo di ripartizione di beni che coinvolga più soggetti. A tele

scopo utilizzeremo due estensioni della c.g.r: lo Shapey-value e la regola

del Talmud.

Contested Garment RuleContested Garment Rule

Andremo ad osservare tre casi differenti di ripartizione di un patrimonio nei quali vi è l’applicazione della contested Garment rule:

Patrimonio disponibile è minore delle richiesta più piccola dei partecipanti

Patrimonio disponibile compreso tra le due richieste dei partecipanti

Patrimonio disponibile è maggiore della richiesta più grande dei partecipanti

1° caso1° caso

Siano c1= 200 e c2= 300 le richieste e sia il A0=100 il patrimonio totale da ripartire

La quota “uncontested” del primo soggetto è m1 = (A0 - c2)+ = max (100- 300)= 0La quota “uncontested” del secondo soggetto è m2 = (A0 - c1)+ = max (100- 200)=0La soluzione “garment contested” è A1 = m1 + s/2 A2 = m2 + s/2 dove s = A0 - m1 - m2.

Ad entrambe le parti verrà attribuita una quota pari a A0/2 = 50

Osserviamo che la “Contested Garment Rule” (C.G.R.) attribuisce ai partecipanti la metà del patrimonio

2° caso2° caso

Siano c1 = 200 e c2 = 300 le richieste e A0 = 400 il patrimonio totale da ripartire

m1 = (400 - 300)+ = 100 m2 = (400 - 200)+ = 200 con s = 400 – 100 – 200 = 100.

Pertanto al primo soggetto andranno A1 = 100 + 50 = 150 ed al secondo andranno A2 = 200 + 50 = 250.

Osserviamo che secondo la C.G.R la perdita di 100 verrà equamente ripartita tra i due.

3° caso3° caso

Siano c1 = 200 e c2 = 300 le richieste e A0 = 280 il patrimonio totale da ripartire

m1 = (280 - 300)+ = 0 m2 = (280 - 200)+ = 80. Ne deriva poi s = 280 – 80 – 0 = 200

Al primo soggetto spetterà A1 = 100 ed al secondo A2 = 180.

Osserviamo che la C.G.R attribuisce al minor richiedente esattamente la metà della sua richiesta

Ripartizione di beni fra più di due soggettiRipartizione di beni fra più di due soggetti

Regola del Talmud

Shapey-value

Shapey-value Shapey-value Consideriamo un

ordinamento di giocatori; sia il caso di tre soggetti

A, B, C con richieste rispettivamente pari a 100,

200, 300. Rispetto a questo, paghiamo ogni soggetto fino a che il

patrimonio, in questo caso pari a 400, non venga

esaurito. Al variare degli ordinamenti i giocatori

ricevono diversi pagamentiLo shapey-value non è altro che il pagamento

medio effettuato secondo ogni possibile

ordine dei giocatori

TalmudTalmud“Il Talmud (che significa insegnamento) è uno dei

testi sacri dell’Ebraismo, riconosciuto solo da quest’ultimo. Consta di 60 trattati, che riguardano discussioni fra sapienti e maestri circa significati e

applicazioni di passi della Torah. Il Talmud, inoltre,viene considerato come la Torah orale, rivelata sul Sinai a Mosè e trasmessa a voce, di generazione in generazione, fino alla conquista romana. Quest’ultimo fu fissato per iscritto solo

quando, gli ebrei temettero che le basi religiose di Israele potessero sparire.”

Regola del TalmudRegola del TalmudConsideriamo il

problema di come suddividere il patrimonio di un uomo che muore e lascia un’eredità da dividere tra le sue tre precedenti mogli, nel caso in cui esse abbiano diritto rispettivamente a 100, 200, 300

50

150100

Entità patrimonio: 100

Entità patrimonio: 200

Entità patrimonio: 300

33,533,533,5

5075

75

150

100

Conduzione di due Conduzione di due esperimentiesperimentiFisica: Processo di Riscaldamento

Chimica: Processo di Conversione del Glucosioα in Glucosioβ

Stesso modello matematico

Dati dell’ Esperimento di fisicaDati dell’ Esperimento di fisica

Grafico temperatura-tempo per la misura della Grafico temperatura-tempo per la misura della risposta del termometrorisposta del termometro

y = 0,5135x - 0,2533

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

tempo (sec)

Rappresentazione lineare Risposta di un termometro

0,010,020,030,040,050,060,070,080,090,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

tempo (sec)

tem

per

atu

ra (

°C)

τ=1/m 1,95

Δτ=Δm/m2 0,14

τ = 1.95+0.14 secondi

Questa curva in fisica è caratteristica di tutti i processi di raggiungimento di equilibrio.

ELABORAZIONE DEI DATI: Rappresentando il grafico della temperatura in funzione del tempo, si ottiene una curva riconducibile a un’esponenziale.

Dat

i del

l’esp

erim

ento

di c

him

ica

Dat

i del

l’esp

erim

ento

di c

him

ica

Trasformazione del glucosio alfa in beta

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50

tempo(min)

anol

o di

rot

azio

ne (°)

Mutarotazione del glucosio

y = 0.064x + 0.0476

0.000.501.001.502.002.503.003.50

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

tempo(minuti)

An

go

lo d

i ro

tazio

ne (

°)

m, q 0.0641051 0.0445755

εm,εq 0.0005026 0.0128224

r2, Δy 0.9954106 0.0509439

F, gradi di libertà 16266.906 75

costante di tempo in

minuti15,60 minuti

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0

tempo (min)

E' una funzione esponenziale?

)( 122

12

tt

Grafico esperimento di chimicaGrafico esperimento di chimica

Matematica per relazionare Matematica per relazionare dati,dati,

Ricavare informazioni…Ricavare informazioni…

È rapido con excel!È rapido con excel!

Rapidità di evoluzione dei fenomeni Rapidità di evoluzione dei fenomeni studiatistudiati

Funzione esponenziale

E' una funzione esponenziale?

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

tempo (min)

)( 122

12

tt

Grafico esperimento di chimicaGrafico esperimento di chimica

CRESCITA DI UNA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE …POPOLAZIONE …

LA FUNZIONE LA FUNZIONE ESPONENZIALE…ESPONENZIALE…

… MA ATTENZIONE AI LIMITI DI VALIDITA’ DI UN MODELLO

Crescita esponenziale di una popolazione, vincolata da fattori naturali in un ecosistema

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

3000,00

3500,00

0 2 4 6 8 10

tempo(mesi)

n.

ro d

i es

empl

ari

Andamento iniziale: crescita libera descritta da una funzione esponenziale crescente

vincolo naturale cambiamento del modello di sviluppo dovuto ai vincoli naturali

Teoria dei GiochiTeoria dei GiochiOggetto: studio matematico di qualunque

situazione che comporti un conflitto di interessi.

Scopo: indicare le scelte ottimali o le decisioni che possano portare all’esito desiderato.

Equilibrio di NASHEquilibrio di NASH Scopo del gioco è trovare l'eventuale sussistenza di una situazione di equilibrio del gioco (detto di Nash) che sia non migliorabile da azioni individuali, ma solo da azioni collettive, frutto della collaborazione fra i giocatori. Scelta più utile razionalmente ma non in assoluto.

Giochi simmetrici-qualitativiGiochi simmetrici-qualitativi

Dilemma del prigionieroCorsa del coniglio o guerra freddaCaccia al cervoPolitica ONU

Dilemma del PrigionieroDilemma del Prigioniero

Preferenze del giocatore 1:NC>CC>NN>CNScelte auspicabili per il giocatore 1: conviene sempre

non collaborare

Collabora Non Collabora

Collabora 2 - 2 0 -3

Non Collabora 3 – 0 1 - 1

1° Giocatore

2° Giocatore

Corsa del coniglio (o guerra fredda)Corsa del coniglio (o guerra fredda)

Preferenze del giocatore 1:NC>CC>CN>NNScelte auspicabili per il giocatore 1: non esiste una scelta

razionale, ma la meno rischiosa è quella di collaborare.

Collabora Non Collabora

Collabora 2 - 2 1 -3

Non Collabora 3 – 1 0- 0

1° Giocatore

2° Giocatore

Caccia al cervoCaccia al cervo

Preferenze del giocatore 1:CC>NC>NN>CNScelte auspicabili per il giocatore 1: conviene seguire la

scelta del giocatore 2. La decisione, pertanto, è dettata dalla fiducia posta nella collaborazione dell'altro giocatore

Collabora Non Collabora

Collabora 3 - 3 0 -2

Non Collabora 2 – 0 1- 1

1° Giocatore

2° Giocatore

Politica ONUPolitica ONU

Preferenze del giocatore 1:CC>NC>CN>NNScelte auspicabili per il giocatore 1: conviene sempre

collaborare

Collabora Non Collabora

Collabora 3 - 3 1 -2

Non Collabora 2 – 1 0- 0

1° Giocatore

2° Giocatore

Modellizzare eventi quotidianiModellizzare eventi quotidianiFalchi VS Colombe

Le percentuali nella tabella esprimono esclusivamente le percentuali di sopravvivenza di ciascun membro della società incontrandone un altro.

Falchi Colombe

Falchi 50% / 50% 100% / 80%

Colombe 80% / 100% 100%/100%

1° Giocatore

2° Giocatore

La matematica con i suoi metodi e i suoi strumenti ci aiuta ad interpretare i

fenomeni intorno a noi e SORPRENDENTEMENTE a prendere

decisioni.