La Modelacin Matemtica: alternativa didctica en la enseanza de preclculo Dr. Orlando Planchart Mrquez, UIPR-PonceResumenEn el presente trabajo se analiza, primeramente, la problemtica y el significado del proceso de aprendizaje relacionado con los sistemas de representaciones que conducen a la modelacin de las funciones en cursos de preclculo. En segundo lugar, se identifican algunos obstculos que surgen al momento de cambiar de registros semiticos del concepto en estudio. Por ltimo, mediante un proceso de reflexin, se proponen actividades de simulacin y modelacin como una alternativa para integrar distintas representaciones de las funciones en los cursos de preclculo y mejorar la enseanza en este nivel. Se incluyen las conclusiones de un trabajo de investigacin (Planchart, 2002) en el cual se analizaron entrevistas y resultados de actividades de simulacin y modelacin que condujeron a la construccin de modelos geomtrico-dinmico, tabular-numrico, grfico y algebraicos.IntroduccinLa resolucin de problemas con informacin y datos recolectados de fenmenos fsicos adquiere da a da mayor auge como alternativa de enseanza en los salones de clases. Las corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras reas (estadstica, geometra, modelacin y simulacin matemtica, etc.) en los cursos de Preclculo y Clculo. Se ha observado que, durante las ltimas dcadas, se han incorporado nuevas estrategias en la enseanza de las funciones y herramientas tecnolgicas en el saln de clases. El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de preclculo, este concepto permite desarrollar el proceso de la simulacin y modelacin desde situaciones fsica y geomtrica, lo que tambin permitir que se puedan exponer conocimientos matemticos en forma gil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) seal que a travs de las funciones podemos modelar matemticamente un fenmeno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripcin verbal o un clculo complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo. La modelacin relacionada con sistemas de representaciones integra: smbolos, signos, figuras, grficas y construcciones geomtricas. stos expresan el concepto y suscriben en s mismos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenmenos fsicos. La simulacin y la modelacin son representaciones de un objeto matemtico que est vinculado a una situacin fsica o real. Cuando se logra la simulacin matemtica en el saln de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matemtica formal excluye cuando se transita de lo concreto a lo abstracto en la enseanza del conocimiento matemtico. Una simulacin es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa construir una representacin de algo. La diferencia semntica reside en que un modelo es una representacin de estructuras, mientras que una simulacin infiere un proceso o interaccin entre las estructuras del modelo para crear un patrn de comportamiento (Steed M, 1991. p.39). El trmino modelo se refiere a la generalizacin conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el propsito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias (Von Glasersfeld & Steefe, 1987, citado en Steefe, 1991, p.190). Se puede evidenciar que las actividades de simulacin y de modelacin que se desarrollan con los estudiantes sern efectivas en el logro del concepto matemtico. Adems, pueden motivar a quines en el proceso de simular y modelar construyen el concepto y ste adquiere sentido para ellos. Ball & Wittrok (1973) [citados en Castro y Castro, 1997, p. 104] sealaron que "Los sujetos que han dibujado por s mismos un diagrama para la formacin de un concepto, recordarn dicho concepto con mayor significacin que cuando se les ha proporcionado el dibujo". Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo de la adquisicin del concepto de funcin, se provoca que el estudiante, al aproximarse a fenmenos reales, analice y describa los siguientes elementos matemticos: la significacin de objetos: simblicos, verbales, grficos, algebraicos y numricos. En el proceso de simulacin y de modelacin se produce la distincin de variables y la relacin entre las variables, los cuales a su vez impulsa la construccin de otros registros de representacin. Monk (1992) consider que los modelos fsicos proveen a los estudiantes una visin del procesamiento de la situacin funcional, la cual puede ampliar en stos las perspectivas que tienen acerca de las funciones.En este sentido, se considera que la enseanza se dirige a planteamientos ms dinmicos en la adquisicin del conocimiento. Por lo tanto, la simulacin y la modelacin son alternativas de transferencia dinmica del conocimiento desde situaciones fsicas y geomtricas hasta la estructuracin mental en el proceso de aprendizaje. La simulacin y la modelacin matemticas, la matemtica en contexto y la incorporacin de la nueva tecnologa pueden fortalecer el proceso enseanza-aprendizaje. Los procesos matemticos son complicados en trmino de aislar el problema que se est tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la dcada pasada y lo que va de sta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matemticas planteadas desde contextos reales en la adquisicin de conceptos. La simulacin de fenmenos fsicos a travs del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generacin de procesos de la mate matizacin y formacin de conceptos, Hitt (1993, p.13).La situacin del concepto de funcin en el entorno de la modelacinLos autores de la mayora de los textos de Preclculo presentan el tema de las funciones tomando como referencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto fsico-real. En el mbito matemtico, esta relacin se considera como una clase de correspondencia llamada funcin. La definicin de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relacin entre dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: Una funcin describe cmo una cantidad depende de otra. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades: como una relacin con lo fsico-real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial didctico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o modelos matemticos o a travs de una simulacin del problema real. Como se mencion anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matemticas a partir de situaciones y fenmenos del mundo fsico han cobrado fuerza en los ltimos aos. stas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificacin de las variables participantes, la recoleccin de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelacin de las situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia las matemticas y no en la otra direccin. No: primero hacer las matemticas y despus regresar al mundo real, sino el mundo real primero, y despus la mate matizacin. El mundo real qu significa? perdonen esta expresin descuidada. Al ensear a mate matizar el mundo real est representado por un contexto significativo que involucra un problema matemtico. Significativo por supuesto quiere decir significativo para quienes aprenden. Las matemticas deberan ser enseadas dentro de contextos y a m me gustara que las matemticas ms abstractas fueran enseadas dentro de los contextos ms concretos, Freundental (1980, p. 20).El concepto de funcin responde a diferentes definiciones y etapas histricas. Las definiciones han sido alteradas conforme a los avances tecnolgicos que se han promovido en la enseanza de la matemtica (calculadoras grficas, paquete de programacin de instruccin interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro definiciones. La definicin dada en trminos de variables que seala que: cuando dos variables estn relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es funcin de la segunda. Muy distinta a la ofrecida en trminos de conjunto de pares ordenados: una funcin es un conjunto de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el conjunto de los segundos elementos rango de la funcin. La definicin como una regla de correspondencia se explica de la siguiente manera: una funcin f de un conjunto A un conjunto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto D de A un elemento determinado de manera nica f(x) de B. Y por ltimo, la definicin en trminos de mquina, ms acorde con los tiempos: una funcin es un procedimiento P que toma una o ms entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida". Dubinsky, Schwingendorf & Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: a) funcin como expresin, b) funcin como computer function, d) funcin como sucesin. Por otra parte, algunos investigadores han buscado en la historia de las matemticas lo relativo a la construccin del concepto de funcin con la finalidad de lograr ideas que permitan superar dificultades que se presentan en el proceso enseanza-aprendizaje. El concepto pas por diferentes etapas histricas, en las que se fueron definiendo elementos matemticos tales como: cantidad, variable y constante, y se integran en la definicin de funcin. De manera ms general, cuando se razona en la relacin que establece una variable en dependencia de otra, se habla de una variable que est en funcin de otra, es decir, se simplifica la idea de funcin. Formalmente, usamos el trmino funcin de una manera ms precisa: una variable y se dice que es funcin de otra variable x si cada valor de x determina un nico valor de y. Callahan & Hoffman (1995, p.24), sealan que: una funcin describe cmo una cantidad depende de otra. En la funcin S(t) la variable t es llamada "input" (entrada) y la variable S, "output" (salida). Una funcin es una regla que especifica cmo el valor de una variable, la entrada determina el valor de la segunda variable, la salida. Larson & Hostetler (2001) explica que: las funciones comnmente estn representadas en cuatro formas: verbalmente, por una oracin que describe cmo la variable de entrada est relacionada con la variable de salida; numricamente, por una tabla o lista de pares ordenados que hace corresponder un valor de entrada con un valor de salida; grficamente, por puntos sobre una grfica en un plano coordenado en el cual los valores de entradas son representados por el eje horizontal y los valores de salida por el eje vertical y, algebraicamente, por una ecuacin de dos variables. Es nuestro inters de este trabajo que se aborde la simulacin y la modelacin como un proceso que conduce al concepto de funcin y de su aplicacin en diferentes escenarios. En el desarrollo del estudio se detectan diversos elementos que participan en la simulacin y modelacin. Entrevistas y anlisis En esta seccin mostraremos fragmentos de las entrevistas realizadas a estudiantes (JR., S.R. y C.B.) de Preclculo y se analizarn las respuestas y los resultados del proceso de exploracin conducente al concepto de funcin. En una segunda parte se hace un anlisis reflexivo de las actividades de modelacin, fragmentos de reportes de trabajo y se resalta la importancia de la integracin de distintos sistemas de representacin.algunas ideas intuitivas y asociacin de imgenes determinan respuestas errneas en la definicin de funciones El siguiente episodio, pertenece a la entrevista a S.R.. Nos conduce a reflexionar acerca del papel de las ideas intuitivas y la asociacin de imgenes. A S.R. se le presentan tres grficas (vase). Se le pide que responda cul de ellas es funcin. A continuacin describimos el fragmento. O.P: En esta segunda, es funcin o no?SR.: S.R.: Se repite en el eje y, est tocando el eje y. Sera x cero aqu, tiene punto aqu (interseccin arriba) y este punto aqu (interseccin abajo). O.P: O.P.: Si eliminramos el punto arriba y el punto bajo, sera funcin?SR: S.R.: No, porque all es que termina. Si fuera una lnea que no termina y no fuera un segmento, podramos decir que es una funcin lineal. O.P: Quitando la de abajo o dejando la de abajo?S.R:Cualquiera. Despus que no sea un segmento. O.P: Si yo elimino la de abajo y queda la de arriba, es una funcin?SR.: Si, sera esa lnea de este valor a este valor... . O.P: Sera funcin?S.R.: S, pero bien limitado.O.P:Si la amplo?S.R.: Si, es sta.S.R.: Igual.O.P.: Entonces t dices que un segmento es una funcin?S.R.: S, de nmeros limitados.

Figura 1La percepcin visual es una de las vas de acercamiento a los objetos, pero en algunas ocasiones, sta puede perturbar la aprehensin del objeto, el cual puede estar determinado por los tipos de imgenes mentales que tengan establecidas los individuos. En este episodio se observ que SR. asoci la imagen de una recta infinita con la definicin de funcin. Tal idea puede considerarse intuitiva, pues surgi al momento de querer dar una respuesta sin sta estar dentro de una estructura de conocimiento. Para S.R., la grfica de un segmento (por supuesto, acotado) no es una funcin, haciendo la salvedad, al decir que si lo es, pero es de nmeros limitados. La idea intuitiva de S.R. se reafirma cuando la estudiante seala que: no, porque all es que termina. Si fuera una lnea que no termina y no fuera un segmento, podramos decir que es una funcin lineal. Al final, concluye que podra ser funcin siempre que no sea un segmento. Los resultados de investigaciones han concluido (EVIDENCIADO?) que los procesos visuales intuitivos no son suficientes para alcanzar los niveles de abstraccin que permitan las representaciones semiticas. Hunt (1961) [citado en Resnisck y Ford, 1990, p.224] seal que el conflicto cognitivo es lo que suele acabar impulsando a los individuos a adoptar formas de pensamientos nuevas y ms poderosas. Hitt (dem) seala que: la dificultad de una tarea provoca que durante el proceso de resolucin emerjan ideas intuitivas (algunas de ellas errneas) sin que el individuo tenga conciencia de ello. (p. 251).Otro escenario que puede conducir a dar respuestas incorrectas es cuando se aprehende el objeto localmente y no globalmente. Monk (1992) seala que algunos estudiantes, quienes no tienen dificultades para entender datos representados grficamente de una manera puntual, pero presentan serias dificultades para el entendimiento global. Predominio de las funciones continuas sobre las funciones discretas Qu lleva a los estudiantes a unir los puntos? Ser la inclinacin a una imagen continua? o un condicionamiento en la enseanza?. Los psiclogos de la corriente Gestaltistas sostienen que la mente humana interpreta todas las sensaciones y experiencias de entrada segn ciertos principios organizativos. En ese sentido, Resnick & Ford (1990, p.159) sealan que: la teora de la Gestalt, muestra que la percepcin de los puntos est dominada por nuestra tendencia a verlos en agrupamientos que podemos reconocer como formas: rombos, tringulo, cuadrado, hexgono.... La percepcin tiende a buscar el cierre en tales figuras. La tensin que se origina por la incogruencia visual se resuelve en la percepcin de un todo unificado.

En el siguiente episodio de la entrevista con J.R., el estudiante no concibe grficas de funciones no continuas ni discretas. J.R. dibuja una serie de puntos provenientes de un problema de datos discretos, se le pregunt por qu los uni. O.P: Y por qu t uniste las lneas [puntos], Cul es la razn de que t unas todas las lneas [puntos]?J.R: Pues para como me dice que grafique... O.P: Grafique qu?J.R: La funcin de r (x)O.P: La funcinJ.R: Pues si no se unieran los puntos qu va a dar eso un chorrito de puntos y eso no va ser una grfica. Figura 2Duval (1993) expresa que graficar (x,y) de una ecuacin y = x no es suficiente para determinar trazos continuos, para ello se debe interpolar y aceptar la pertinencia de la "ley gestaltista de contigidad.El modelo tabular y la idea de continuidad de las funciones En el siguiente dilogo, J.R. reconoci la representacin tabular como una funcin, pero no concibi que la representacin grfica-discreta ni una grfica segmentada fueran funcin. En esta oportunidad el estudiante hace la conversin de tabla a grfica, pero no accede trasladar las propiedades que estn inmersas en la representacin grfica. En el siguiente episodio, el profesor inicia la entrevista al mostrar la Figura 3 y luego le propone la Figura 4 para observar si desde all podra dar una respuesta adecuada. O.P: Por ejemplo, tienes esta tabla podemos considerarla como una funcin?xy

36

69

715

Figura 3J.R: Puede que s S, porque le diste un valor a x y te dio y. O.P: Fjate ahora: y si tuviramos, por ejemplo, algo as...(Vase figura 4). J.R: Ms que este segmento [sealando el segmento horizontal] O.P: Los dos segmentos Figura 4 J.R: Mmm, cmo funcin? O.P: Como funcin. J.R: No. O.P: Cul es la idea de funcin?J.R: La grfica de una funcin tiene que ser continua o dos segmentos no hacen una sola funcin.Hitt (1996), en estudios realizados con treinta profesores de matemticas de enseanza media, observ que hubo una tendencia de considerar el concepto de funcin ligado a la idea de funcin-continuidad expresada por una nica frmula. Hitt (1996, p.252) en una de sus conclusiones dice que: "Los resultados muestran que los profesores tienen una marcada preferencia en las funciones continuas definidas exclusivamente con una frmula". Por su parte, S.R, otro estudiante de preclculo, en el siguiente episodio, mostr que tiene la prueba geomtrica desconectada de la definicin. En el dilogo se refleja que no tiene problema con la discontinuidad, cuando en la segunda grfica de la Figura 5, ella afirma: "sta segunda es funcin". Reconoci la funcin por la prueba geomtrica y tambin a travs de la definicin: "Es que para x hay dos valores, eso no sera funcin". Figura 5

O.P: Cul de esas grficas) son funciones y cules No?,Por qu no son funciones? Cul de stas es funcin? SR: La primera no es funcin, porque aqu toca y aqu toca, si hacemos una recta vertical, tocara en dos puntos. sta s es funcin (se refiere a la segunda). O.P: Y el problema en este punto ac (en la discontinuidad)? (la segunda figura) S.R: Este punto est vaco y este punto est sombreado. ste no, porque igual si trazamos lneas verticales tocara aqu y aqu. O.P: De qu otra manera t veras si es funcin o no? S.R: (Piensa). Pues s, otra manera para ver si es funcin o no? Es que para x hay dos valores, eso no sera funcin.Los estudiantes, en su mayora, no tienen dificultad para decidir si es funcin o no en aquellas grficas donde puedan acomodar la recta vertical como lo hicieron los estudiantes entrevistados.

Necesidad de patrones para identificar las funciones en tablasEn otro episodio de la entrevista se trat la definicin con respecto a tablas. S.R intent hallar patrones que condujeran a ecuaciones lineales. Se le mostr la tabla de la figura 6 y se desarroll el dilogo como se presenta a continuacin.xY

27

31

46

67

109

O.P: Ahora, con esta tabla, sta sera funcin? Sera funcin esta tabla? S.R. Estoy tratando de buscarle la ecuacin. O.P: Si no consigues la ecuacin? S.R. Si no consigo la ecuacin, pues no....no es funcin. Figura 6S.R. explic en la entrevista que si los valores no se comportaban dentro de un patrn que respondiera a una ecuacin lineal y si no poda encontrar, entonces no sera funcin. Textualmente, ella dijo: si no consigo la ecuacin, pues no... es funcin. Este caso tiene particularidades similares a los resultados de la investigacin que llev a cabo Hitt (dem), donde para un tercio de la poblacin, la existencia de una expresin algebraica estaba asociada a una curva (p. 256). Estas respuestas, tanto la de S.R. como la de los maestros participantes de la investigacin citada, coinciden en que hay una fijacin y asociaciones a ciertas imgenes memorsticas de frmulas que se van estabilizando en el proceso de aprendizaje y que perturban, en algunos momentos, el proceso de aprendizaje. D Dificultades en la traslacin de tabla a grfica En el siguiente episodio se muestra que el entrevistador influy en la estudiante para que recapacitara en la manera de responder a la pregunta que se le haba formulado y a la cual haba dado una respuesta incorrecta. Se trat que la estudiante relacionara la tabla con la representacin grfica donde el estudiante haba comprobado con la prueba geomtrica que no era funcin. Sin embargo, no se le hizo fcil conectar estas representaciones. En el dilogo que se presenta a continuacin se evidencia esta problemtica.O.P: T no relacionas este concepto de funcin con ste [Se presenta la grfica donde aplic la recta vertical]

Figura 7xY27314667109

S.R: sta no es funcin [tabla].O.P: Entonces no la relacionas con sta?.(Al lado de la tabla se puso la funcin que anteriormente ella haba negado que fuera funcin con la idea de contrastarlas y ver si esta grfica poda ser interpolada con la tabla) O.P sta sera funcin?xy

27

31

106

67

109

(segunda tabla)

Figura 8

O.P: No hay una relacin entre tabla y grfica? O.P: Esta segunda tabla sera funcin? O. P: T dijiste que sta no era funcin, y ests viendo esta tabla por el lado de la ecuacin o si puedes hacer una funcin algebraica. Entonces, hay una similitud entre tabla y grfica? S.R: Estoy tratando de buscarle el jueguito a esto. El episodio anterior muestra cmo la estudiante incurri en una contradiccin cuando utiliz la definicin de funcin y la prueba geomtrica para tratar de decidir si las grficas representaban una funcin. SR dijo que: "para x hay dos valores y eso no sera funcin." Esta respuesta muestra que vincul la tabla con las grficas en el plano cartesiano, pero no pudo trasladar esta aseveracin a la tabla, e incluso, provoc que se equivocara en la definicin de funcin. Se puede concluir que la estudiante no estableci el vnculo entre la prueba geomtrica y la definicin de funcin en la tabla propuesta. Definicin de funcin en el contexto vivencial versus la expresin algebraicaLas preguntas de la parte de la entrevista que se presenta a continuacin, tenan como objetivo conocer la idea del estudiante acerca de la definicin de funcin. La pregunta se expres en forma abierta. SR. respondi con una expresin algebraica explicada y apoyada con situacin ficticia O.P: Para ti qu es una funcin? SR.: Una funcin... SR.: Una funcin es una ecuacin que se utiliza cuando uno tiene una tienda, y uno quiere saber las ganancias. Vamos a suponer que en la ecuacin tuya la ganancia es tal, es que si vendes tantas cosas, vendas tres. Vamos a suponer que mi funcin imaginariamente, vamos a suponer, vendo tres libros ..F(x) = x2+ 18 S.R: Vendo tres libros y sustituyo. Vendo tres libros y tengo en total 27. Pero si no vendo nada y me sale el total negativo, me doy cuenta que estoy perdiendo. Esto es una ayuda. Si vendo 10,000 libros no voy a estar contando todos los chavos[1], quizs pierda el tiempo en eso, hago una ecuacin y salgo ms rpido, hago una grfica y le puedo demostrar a un superior mo.Este texto mostr que la estudiante S.R. imagin una situacin y la traslad a una expresin simblica. Conjug esta operacin de tipo comercial con una frmula matemtica y profundiz en la capacidad que posee la frmula para inferir respuestas a nuevas situaciones, que no es otra cosa que el modelo matemtico. Definicin de funcin en trminos de la regla de correspondencia A otro estudiante entrevistado, C.B., se le presentaron cuatro grficas para que escogiera cules eran funciones. Como se pudo percibir, los elementos de anlisis que l tena estaban relacionados con la prueba geomtrica y con la definicin de funcin en trminos de correspondencia. OP: Cules de stas son funciones? El estudiante identificado como C.B., seal con mucha seguridad dos grficas que lo son. Tambin explic porqu las otras grficas no eran funciones. Veamos el episodio siguiente: C.B: De estas cuatro, son funciones la segunda y la terceraOP: Por qu la primera no es funcin?C.B: No es funcin porque como todos sabemos, toda x puede tener un solo valor en y, sta tiene dos valores en y, sta tiene tres y sta tiene tres; en la tercera parece que aqu le correspondieran dos, pero le corresponde uno.O.P: Y la otra (crculo) la descartas?C.B: Al ser un crculo y al trazar desde el eje x una recta ocupa dos espacios.C.B. utiliz la regla de correspondencia de la funcin A cada elemento de X le corresponde un solo elemento en Y. En otro momento, C.B. relacion la unicidad con la prueba geomtrica. El entrevistado cambi la estrategia y utiliz la prueba de la recta vertical cuando tuvo que trabajar con el crculo.Cuando se le pregunt acerca de una definicin de funcin en forma abierta, el estudiante, a diferencia del entrevistado anterior -SR-, consider una tabla de valores como una primera alternativa de funcin. Su primera referencia fue una expresin simblica (F(x) = x2+ 18) y su segunda opcin fue la descripcin verbal de una situacin real.OP: Qu es una funcin para ti? En los puntos la vimos pero, ahora, como t crees que sea? Puedes hacer grfica si quieres.El entrevistado, CB, escribe valores en una tabla y dice: "En x tiene estos valores, en y estos..."Figura 9

C.B: Un valor para cada uno. Para que sea funcin le tiene que pertenecer un lugar (un valor). Y explic que "a esto no le pertenece ste y ste". El estudiante, a pesar de que construy una tabla, no identific los pares ordenados, prefiere relacionarlos como conjuntos por separados, y dibujar una flecha que va de un conjunto al otro. Es decir, estaba presente la regla de correspondencia. De esta misma manera, S.R trabaj con las tablas, tal vez, fue ms lejos, la escribi como conjuntos (diagrama sagital).

Cmo predomina el modelo algebraico con respecto al modelo grficoEl diagrama que presenta la figura 10 describe el proceso que concluy en un error y la negacin de la grfica correcta que haba propuesto C.B. ste logr en su primer intento, construir la grfica correcta, pero cuando obtuvo la frmula algebraica, acept que haba cometido un error y no estuvo de acuerdo con la grfica anterior. No se detuvo a reflexionar en el error y no le confiri ninguna confiabilidad a su pensamiento visual-geomtrico. El episodio siguiente confirma su inclinacin por las ecuaciones algebraicas. O.P: Ahora, cul es la ecuacin de la funcin que determina el movimiento de este punto?,Cul va a ser esa funcin?C.B: Decimos que AP es igual a 8 AP = AB - BP AP = 8 BP O.P: Vamos a llamar AP como x y PB como y. Entonces escribes nuevamente lo que escribiste all. Figura 11O.P: Cul de sta ser la variable dependiente y la variable independienteC.B: x se est moviendo e y sera la variable dependiente, la y depende de x.O.P: Cmo escribimos la ecuacin?El estudiante responde de esta forma: x = 8 y -y = x + 8 [aqu comete un error] (-1)(-y) = x + 8 (-1) y = -x - 8

O.P: Grafica sta para ver si funciona como aqulla que hiciste all..................................................................................... C.B: Si x vale 0 y sera 8 y = -(0) 8 = -8 Cuando x es igual a cero y es igual a - 8, cuando x es 8 y es igual a 16.

Figura 12O.P: Aj, grafica eso con estos dos valores, para ver si coincides con la que t hiciste primero. En el episodio siguiente se observa cmo el estudiante muestra su preferencia por la expresin algebraica.O.P: Cul t crees que tiene razn: aqulla o sta?C.B: sta [seala la de abajo].C.B: Porque a sta la analic ms a fondo, busqu la frmula.O.P: Crees ms en sta porque es frmula?C.B: [Piensa]. Por lo menos tiene algo que acert, que iba descendiendo Vinner (1989), en uno de sus trabajos, reconoci la preferencia que tienen los estudiantes por una representacin algebraica. Pudo comprobar la preferencia por las argumentaciones algebraicas de los estudiantes que cursaban el curso Clculo I. Zimmerman & Cunningham (1991), han advertido las preferencias que tienen los estudiantes por las representaciones algebraicas, en los resultados de sus investigaciones. Vinner (1989) seala que podra haber dos razones para la preferencia del tratamiento algebraico. La primera razn es que: "la creencia que la prueba algebraica es ms matemtica y para un examen final es preferible tener la seguridad que arriesgarse por la claridad, simplicidad, inmediatez de la prueba visual. Mientras que la segunda es que: "la preparacin para un examen final es a menudo por enseanza memorizada. Los estudiantes dan y prefieren la memorizacin de frmulas y tcnicas algebraicas, lo cual es una receta efectiva para tener xito en los exmenes." (p.92)Una experiencia de simulacin y modelacinEn la resolucin de las cuatro actividades desarrolladas en el curso de preclculo se esperaba que los estudiantes simularan cada problema con el programa Cabr Gomtre II. De la simulacin geomtrica respectiva recogieron datos en la tabla, graficaron los puntos, y hallaron la representacin simblica de la grfica. La tabla 1, abajo, muestra el nmero y porcentaje de estudiantes que respondieron a cada modelo.ModeloActividad 1:X vs. YActividad 2: Long. vs. reaActividad 3:Distancia vs. CableActividad. 4 :Cuadrado y crculo

Dinmico-geomtrico (100 %) (82 %) (93 %) (64 % )

Tabular (95 %) (82 %) (93 %) (58 %)

Grfico (Manual) (95 %) (82% ) (76 %) (58 %)

Grfico (Cabr Gomtre II) (79 %) (33 %) (71 %) (52 %)

Algebraico (41 %) (35 %) (23 %) (17 %)

Tabla I. Resultados obtenidos (en nmeros y porcentajes) con 24 estudiantes. Construyeron cinco modelos para cada actividadActividad IUn punto que se mueve de izquierda a derecha sobre un segmento. Al inicio de este episodio, se le hace la siguiente indicacin a C.B.:O.P: Construye un segmento horizontal, coloca un punto encima del segmento. Ponle letras a los puntos extremos A y B y P a este otro punto. Mueve el punto P a travs del segmento. Vemos que AP aumenta y PB va disminuyendo y hay un valor AP y otro PB. Ahora, Cul sera la grfica que genera la relacin AP con PB?C.B: La relacin?O.P: Si, la relacin.Cmo el estudiante configura este procedimiento? Podemos considerar si ste es un proceso estable, y qu grado de credibilidad tiene para el estudiante? El trabajo de Ben-Chaim, Lappan & Houang (1989 p. 49) permiti la interpretacin de este procedimiento. Se toman en cuenta las afirmaciones de Piaget & Inhelder (1956) y de Bishop (1983) para ampliar esta explicacin acerca de la visualizacin. Se considera la necesidad de plantear el anlisis de la visualizacin desde dos perspectivas: la psicolgica y aqullas que tratan con aspectos que se toman en cuenta en el campo de la matemtica. En la primera, se integra el pensamiento figurativo (patrones e imgenes estticas) y el pensamiento operacional (manipulacin de imgenes y patrones en el movimiento de los objetos). En la segunda, el campo de la matemtica educativa comprende la habilidad de interpretar y entender la informacin figurativa y tambin la capacidad para conceptualizar y traducir relaciones abstractas e informacin no figural y cambiarla a trminos visuales.

Figura 13 El entrevistado llamado C.B manej las variables AP y PB dentro de un patrn que se determina en el contexto geomtrico de un segmento, e inmediatamente lo traslad a un sistema de coordenadas cartesianas (vase la figura 13). Consider que la traslacin se bas en la va del punteo, uno de los tres tratamientos de las representaciones grficas a las cuales se refiere Duval (1992). El estudiante distingue las dos variables AP y PB, y le asigna valores variables y estos valores pasan a ser pares de nmeros que van ser graficados en el plano cartesiano.Actividad III Dos postes de alumbrado estn distanciados uno del otro por 30 metros. Los postes miden 12 y 28 metros de altura, respectivamente. Se pretende tender un cable fijo en un punto P en el suelo, entre los extremos de los postes. A qu distancia x del poste ms pequeo se debe fijar el cable para que la longitud del cable que une a los dos postes sea mnima? En este problema, son varios los elementos participantes en la modelacin. Sin embargo, 93 % de los estudiantes pudieron lograr el traslado de la situacin verbal a la simulacin. Es un problema que adquiere importancia cuando se construye como una simulacin, se detectan las variables y las constantes, y se distinguen las variables independientes de las variables dependientes. En este problema lo visual es una herramienta fundamental para desarrollar otras representaciones. La gua estaba complementada de preguntas formuladas de tal manera que los estudiantes sealaran cules eran variables y cules eran constantes y cmo se relacionaban las variables.

El programa computarizado que se utiliz es muy til en la construccin geomtrica. Se puede trabajar en la parte aritmtica con las medidas de los segmentos y con la manipulacin del punto P. Estas manipulaciones que se hacen con la figura determinan acciones que conforman un marco visual en un proceso cognoscitivo con fines de establecer imgenes mentales en los individuos. Las representaciones conjugadas con las representaciones geomtricas acercan a los individuos a conceptualizaciones matemticas.

La grfica de la relacin x con la longitud del cable fue hecha de dos maneras. Una, recolectando valores en la tabla (la lograron 76% de estudiantes) y luego graficando los puntos, la otra, por las herramientas que provee el programa Cabr Gomtre II (71% de estudiantes pudieron construirla) para trasladar medidas y proceder a la grfica. Slo el 23% de estudiantes alcanz a responder correctamente la representacin algebraica. Figura 14

El proceso de visualizacin que comprende este problema amerita que se puedan relacionar variables y constantes, y conducir a la utilizacin del Teorema de Pitgoras. Sin un componente visual del problema, tal vez resultara ms complicado alcanzar la representacin algebraica. El ambiente dinmico-geomtrico permiti acceder a imgenes mentales, una construccin anticipada en la mente, observar cules son los elementos estticos y cules las variables. La manipulacin del punto a lo largo del segmento fue de mucho beneficio para el estudiante, pues permiti ver en forma aproximada cundo la longitud del cable era menor, calcular la longitud por la va aritmtica (el programa da la medida de los segmentos) y ver cmo se comporta la longitud cuando se acercan los postes. Al proponer el Teorema de Pitgoras, la longitud del cable se divide en dos y pasan a ser hipotenusas de un tringulo rectngulo, en el cual los postes son los catetos (con valores fijos) al igual que las distancias del punto P a los postes. Es decir, que los elementos de la simulacin adquieren otras categoras en el Teorema de Pitgoras. El estudiante debe ser capaz de hacer estas interpretaciones para que le sirva este modelo para la representacin algebraica. Los resultados de la actividad realizada por los estudiantes as lo confirma. Los estudiantes trabajaron en esta direccin, compararon la grfica construida punto a punto con la otra grfica que se construye al trasladar medidas al plano coordenado y hallar el lugar geomtrico con el programa Cabr Gomtre II. Con el programa, 17 estudiantes lograron construir la grfica, 22 estudiantes con el mtodo manual, y slo cinco estudiantes pudieron proporcionar la expresin simblica de la distancia x vs. longitud del cable. La construccin dinmica que se hizo con el programa computadorizado permiti observar cmo se corresponden las grficas de la hipotenusa con la grfica de la funcin longitud del cable versus x. Tambin se observ que los estudiantes conjugan lo tecnolgico con lo manual en los distintos sistemas de representaciones.Actividad IVLa actividad se desarroll en torno al siguiente problema: Un alambre se corta en dos piezas. Una pieza se usa para construir un crculo y la otra para formar un cuadrado. Exprese la suma de las reas como una funcin de la longitud de x cortada para formar el crculo.Este problema result difcil para los estudiantes, pues no les fue claro comprender la estructura global del problema geomtrico ni establecer la relacin entre las variables, por lo tanto, muchos no lograron realizar la representacin geomtrica dinmica. En la construccin de la simulacin era necesario que establecieran relaciones particulares de estructuras inherentes al problema.

En la Figura 15 se establecen las relaciones entre las variables y entre las figuras geomtricas. La estructura del problema se puede explicar en dos ni-veles. En el nivel superior se relacionan las variables AP y PB; y en el nivel inferior hay relacin entre el crculo y el cuadrado y, a su vez, cada figura se encuentra relacionada con las variables AP y PB. Modelar esta situacin desde una simulacin geomtrica a una grfica o a una frmula plantea varias condiciones: el manejo parcial o global de la situacin geomtrica, la no-conexin entre las variables, la no-congruencia entre las unidades significantes para producir la conversin, y la necesidad de unificacin de conocimientos aislados. Figura 15

Cuando se pregunt a los estudiantes: -puedes observar y explicar cmo se relacionan las variables en este problema?- se obtuvieron respuesta como las siguientes: "Cuando la medida de x aumenta, el cuadrado se agranda y PQ disminuye, al mismo tiempo el crculo disminuye. Cuando se mueve P hacia (a) el crculo (B) aumenta y cuando P se mueve hacia (b) el cuadrado aumenta (A); a medida que se desplaza el punto P las reas del crculo y el cuadrado cambian. Las sumas de stas dan y; fue muy til para m, porque pude construir y observar cmo se construye el crculo y el cuadrado con este modelo, y tambin pude comparar que el cuadrado y el crculo son inversamente proporcionales, es decir que al aumentar el crculo el cuadrado disminuye." En estas respuestas se puede apreciar la ayuda que les provey a los estudiantes poder observar lo que pasa en el contexto dinmico del problema. ste, generalmente, se resuelve con los instrumentos matemticos del clculo diferencial. Las Figuras 16 y 17 muestran cmo los estudiantes construyeron las grficas en forma manual y con el programa Cabr Gomtre II. Muchos de ellos no compararon las grficas punto a punto que obtenan de la tabla con las construidas con el programa computadorizado. Figura 16

Figura 17Esta actividad result ms difcil que las anteriores por lo comentado anteriormente: 64% simul el problema, y 17% alcanz a escribir la frmula algebraica correspondiente a esta situacin. La representacin algebraica de los problemas de las actividades 3 y 4 reflejan, segn los porcentajes de respuestas correctas, un grado mayor de dificultad en todo el proceso. El ambiente tecnolgico puede ayudar, pero se observa que no es significativo, pues slo cinco estudiantes en la actividades 3 y cuatro en la 4 respondieron a esta pregunta.Referencias Aspinwal L., Shaw K. & Presmeg (1997). Uncontrollable mental imaginary: Graphical Connections between a function and its derivate. Educational Studies in Mathematics 33: 301-317. Kluwer Academic Publishers.Ben-Chaim, Lappan & Houang. (1989). The Role of visualization in the middle school mathematics curriculum. Focus Learning Problems in Mathematics. Winter Edition, Vol. 11, N.1. p. 49-60.Callahan J. & Hoffman K. (1995), Calculus in context: The five college calculus. ProjectW.H. Freeman and Company, New York 1995, USA.Castro E., Castro E. (1997). La educacin matemtica en la secundaria. Coordinador: Luis Rico . Editorial Horsori, pg 95 -124. Connally, Hughes-Hallet & Gleason. (1997). Precalculus: Functions modeling change. Wiley Edition.Cunningham, S. (1991). The visualisation environment for mathematics education. In W. Zimmerman & S. Cunningham (Eds.), MAA notes number19: Visualization in Teaching and Learning Mathematics (pp.67-76). MAA.Duval R. (1998). Registro de representacin semitica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En Investigaciones en Educacin Matemtica II. (Editor F. Hitt), Grupo Editorial Iberoamrica, 1998, Pgs. 173-201). Mxico.Hans Freundental (1980). Major Problems of Mathematics Education Conferencia Plenaria del ICME 4, Berkeley (1980). Educational Studies in Mathematics 12. Antologa de Educacin Matemtica. Seccin de Matemtica Educativa del CINVESTAV-IPN. (pgs: 7-42).Hitt F. (1993). Simulacin de fenmenos fsicos va la microcomputadora para la formacin de conceptos matemticos. Memorias del Quinto Simposio Internacional sobre Investigacin en Educacin Matemtica. Mrida, Yucatn.Hitt F. (1996). Sistemas semiticos de representacin del concepto de funcin y su relacin con problemas epistemolgicos y didcticos. Investigaciones en Educacin Matemtica Vol. I (Editor F. Hitt), Grupo Editorial Iberoamrica, Mxico.Hitt (1997). Visualizacin matemtica, representaciones, nuevas tecnologas y curricullum. Departamento del Matemtica Educativa, Cinvestav- IPN. Mxico.Hitt y Planchart (1998). Graphing of discrete function versus continuos: Case study. Proceeding PME-NA, Raleigt, North Carolina, USA. Vol. I. 271-276.Hitt F. (2000). Funciones en Contexto. Proyecto sobre Visualizacin Matemtica. Departamento de Matemtica Educativa. Mxico. Monk, S. (1992). Students undertanding of a function given by a physical model. In The concept of Function Aspects of Epistemology and Pedagogy, Harel g. & Dubinsky E. (eds.), Mathematical Association of America, USA.Planchart O.(2002). La visualizacin y modelacin en al adquisisin del concepto de funcin. Tesis doctoral. Instituto de Ciencias de la Educacin. Unidad de Matemtica Educativa. Cuernavaca, Mxico. Resnick L. B., Ford W.W. (1990). La Enseanza de las Matemticas y sus Fundamentos Psicolgicos. Editorial Paids. Barcelona, Espaa.Smith K. (1993). Precalculus with Graphing and Problem Solving. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, California.Steed M. (1992). Stella a simulation construction kit: cognitive process and Educational implications. Journal of Computers in Mathematics and Sciense Teaching, Vo. 11 No 1 Pgs 39-52)Vinner S.(1989). The Avoindance of visual considerations in Calculus. Focus Learning Problems of Mathematics. Antologa de Educacin Matemtica. Seccin de Matemtica Educativa del CINVESTAV-IPN. (pgs: 85-93).

[1] Dinero.

Dr. Orlando Planchart Mrquez oplancha@ponce.inter.edu Catedrtico Asociado de Matemticas.Licenciatura, Universidad de Oriente, Venezuela. M.S., Politcnico Nacional de Mxico. Ph.D., Universidad Autnoma del Estado de Morelos