la natura allo specchio… per conoscere chi ha realizzato questo lavoro per conoscere il progetto...

La Natura allo Specchio…

Per conoscere chi ha realizzato

questo lavoro

Per conoscere il

progettoINDICE

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Dopo aver letto chi siamo, vi sarete chiesti perché abbiamo strutturato questo sito e cosa esso contenga…

… la risposta alla prima domanda è semplice: siamo stati contagiati dal “virus Scienza” ed abbiamo pertanto deciso di contribuire al suo processo divulgativo.

Il percorso da noi proposto vi condurrà attraverso diverse aree tematiche, riguardanti la Natura, lo spazio, le formule, accomunate da un unico filo conduttore: la Simmetria.

L’idea di simmetria è cambiata nel corso della storia dell’uomo e delle scienze: infatti, c’è una grande differenza tra i concetti di simmetria classica, esemplificata dai solidi platonici, e di quella moderna che traspare nei frattali.

Per entrare nel mondo affascinante del “Caos ordinato”, dalla geometria frattale all’elica del DNA, siamo partiti dall’analisi del moto browniano, un fenomeno che ci ha permesso di spiegare questo nuovo tipo di simmetria.

E’ sorprendente che l’enigma del moto browniano, quando fu associato dalla geniale intuizione di Einstein, alla teoria cinetica dei gas, svelasse sotto l’apparente moto caotico alcune regolarità inattese.

E allora…… Buon viaggio……

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Chi siamo

Sitografia e Bibliografia

Benvenuti a tutti…are you ready?

È la classe 4F del Liceo Scientifico “Galileo Ferraris” di Varese che vi parla…

Foto

P.S.come potete vedere le combinazioni genetiche in noi hanno dato buoni frutti..

In seguito all’invito fattoci dalle nostre insegnanti di fisica e chimica, la prof.ssa

Patrizia Iotti e la prof.ssa Luisella Magnani, abbiamo deciso di partecipare al concorso

proposto dal sito “scienza per tutti”, scegliendo il tema

“le simmetrie nelle scienze moderne”…

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I

N

D

I

C

E

Storia della simmetria

Definizioni di simmetria

Simmetrie nelle formule

Moto Browniano e gas

Leonardo da Vinci , “Uomo Vitruviano”

Leonardo diede alla sua opera

una struttura emblematica,

che esprime l'idea della “divina proporzione”, associata

in matematica alla sezione aurea…

Il famoso disegno di Leonardo, che i é sempre stato collocato

nell'ambito dei tradizionali studi sulle

proporzione umane,

viene così a rivelarsi un disegno matematico.

Leonardo da Vinci ,“Uomo

Vitruviano”,1490 ca

Inchiostro su carta, 344x245 mm

Galleria dell’Accademia,

Venezia

«Tanto apre l’omo ne’ le braccia, quanto è lla sua alteza»

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Chi siamo



http://liceofrisi.altervista.org/

http://Beepword.de/members44/ranma-sun99/mangaanimegallerie.htm

Frattali : - Webfract.it

- Fractalia.it

Simmetrie : - http://www.miorelli.net/

- http://www.newton.rcs.it/

- http://digilander.libero.it/interlabor/musica-simmetria

A. Einstein, L. Infeld - L’Evoluzione della Fisica,Boringhieri -Bollati

Feynman- La legge fisica, Boringhieri Bollati

Bersanelli e Gargantini- Solo lo stupore conosce , BUR

Autori vari, Coordinatore Gargantini- Einstein 1905 il Genio all’opera

Dan Brown- Il Codice Da Vinci, Arnoldo Mondadori

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Storia delle Simmetrie

SIMMETRIA ANTICA• Simmetria nello spazio

• Solidi Platonici

•Keplero

SIMMETRIA MODERNA•Gli scopritori della geometria Frattale

•Introduzione ai frattali

• Tipi di Frattali ( da Newton a…)

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SIMMETRIA IN NATURA DNA

Mitosi

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Newton

Kock

Mandelbrot

Julia

Insiemi di Mandelbrot e Julia

Colorazioni di base

Nuvole


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Quando dalle mani vi scivola un bicchiere, esso cade a terra e se siete sfortunati si romperà… se vi chiedessero cosa sarebbe accaduto sulla Luna, rispondereste che sarebbe caduto ugualmente e così su Saturno, e su qualunque pianeta disperso nel cosmo…

Implicitamente state applicando una legge di simmetria: state considerando che in qualsiasi punto dello spazio il bicchiere continuerà a cadere...

Naturalmente il fenomeno di per sé sarà soggetto a mutamenti, sulla luna il bicchiere subirà un' accelerazione minore, ma questo è legato alla minor massa del nostro satellite: le leggi alla base del fenomeno, sono sempre le stesse.

Il nostro universo è davvero grande e naturalmente i fenomeni che avvengono sono diversi: la Terra non ha niente a che vedere con galassie lontanissime ... ma per fortuna le leggi che regolano l’Universo sono le stesse nei vari punti.

E sono proprio queste leggi che si richiede siano invarianti: altrimenti i fisici potrebbero mettere da parte i loro calcoli e le speranze di giungere ad una teoria che descriva il nostro universo, se questa dovesse valere solo per i nostri dintorni…

Le simmetrie, quindi, oltre a rendere bella ed elegante una teoria, sono indispensabili…

Simmetrie nello spazio

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Non tutte le simmetrie però sono uguali, e non tutte portano agli stessi risultati... voi potete girare e rigirare una sfera, alla fine resterà sempre una sfera... questo perché essa è simmetrica rispetto alla rotazione.

Lo stesso non avviene per un oggetto irregolare: se ad esempio ruotate una pietra piena di sporgenze difficilmente nella posizione finale la sua forma sembrerà la stessa...

In poche parole un sistema è simmetrico rispetto ad una determinata operazione, se al termine di questa conserva ancora le proprietà iniziali : tali proprietà sono invarianti. Nel nostro esempio la sfera dopo la rotazione continua ad essere una sfera, quindi la proprietà che si conserva è la forma…

Nel nostro esempio ad ogni punto della sfera è stata applicata la stessa rotazione.

Si parla quindi di “simmetria globale” poiché le trasformazioni hanno avuto tutte la stessa entità.

Si parlerà di “simmetria locale” se ogni punto è stato ruotato di un diverso angolo.

In ogni punto si è applicata una trasformazione particolare e differente.

Le simmetrie alla base del modello standard sono proprio simmetrie locali, conosciute come

“invarianza di Gauge”

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Introduzione ai frattali

I frattali sono divenuti molto di moda e non c’è libreria scientifica, e non solo scientifica, che non sia ricca di magnifiche pubblicazioni a colori con le straordinarie figure degli insiemi di Mandelbrot e di Julia, che tra i frattali sono sicuramente i più famosi. Certamente l’occhio vuole la sua parte e queste immagini, che ripropongono in chiave informatica l’antica visione pitagorica secondo la quale tutto è numero e ogni armonia è rapporto tra numeri, hanno conquistato la sensibilità artistica anche dei non esperti di matematica e calcolo per ricorsione.

I frattali, con le loro forme misteriose e affascinanti, suscitano la nostra meraviglia e ci colpiscono innanzitutto per la loro bellezza.Ma che cosa sono i frattali ?Gli oggetti frattali sono figure geometriche, esattamente come il cerchio o il triangolo, che hanno nuove proprietà . Qual è il loro campo di applicazione? E' la realtà in tutte le sue forme, anche le più complesse, è il disordine, è il caos … ordinato.

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Quali sono le caratteristiche dei frattali ?•Autosomiglianza

•Dimensione frattale

•Perimetro infinito in un’area finita

•Problema della tangenza alle curve frattali

•Dinamica caotica

•Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione

Quale base scientifica c’è dietro ai frattali?

Che cosa sono i frattali?

A che cosa servono?Clicca qui per tornare a questa pagina

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I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica peculiare: se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali simili.La struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualunque sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.Questo fatto ci permette di riprodurre un frattale, anche di forma complessa, mediante un algoritmo di poche e semplici istruzioni da ripetersi più volte; la riproduzione della stessa immagine punto per punto richiederebbe in input centinaia di valori numerici.

Quando due figure si dicono simili? se hanno la stessa forma?No, perché non basta una vaga somiglianza; in matematica simile è un termine univoco. Ad esempio, due poligoni sono simili se e solo se hanno gli angoli uguali e i lati corrispondenti in proporzione costante.

I mattoni, infatti, pur se di forma rettangolare non sono simili, invece i rettangoli sottostanti, come vediamo, sono simili.

In effetti, ogni volta che è possibile ottenere una figura da un'altra con un ingrandimento o una riduzione si può affermare che queste sono simili: un esempio comune è quello delle fotocopie, che si possono riprodurre anche in scala.

Questi rettangoli invece sono simili

Questi mattoni non sono simili

Autosomiglianza

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Il problema della tangenza alle curve

frattaliNel XVII secolo Newton e Leibniz crearono il calcolo differenziale che, dal punto di vista geometrico, permette, fra l'altro, di trovare

la tangente ad una curva in un dato punto.

Ora, se ingrandiamo una qualunque porzione di un frattale (immaginiamo addirittura di osservarli al microscopio) essa è

simile all'intero frattale. Ecco che ogni irregolarità permane sotto qualunque scala di riproduzione. Ad esempio gli infiniti vertici del fiocco di neve di Koch sono tutti punti angolosi, così come quelli del triangolo di Sierpinski. La lunghezza dei lati tende invece a zero, per cui non si riesce a trovare alcuna zona "regolare" che ammetta tangente. In generale i frattali sono delimitati da un

contorno infinitamente irregolare costituito di soli punti angolosi.

La peculiarità dei frattali di non avere tangente rende però inefficace un approccio classico allo studio delle loro proprietà.

D'altra parte la semplicità del procedimento costruttivo di molti di essi permette di affrontarne lo studio in maniera efficace,

soprattutto grazie alla possibilità di visualizzazione grafica e alla potenza di calcolo offerte dal computer.

Quello che poteva sembrare a prima vista un problema si rivela così un'utile risorsa per affrontare, come vedremo, numerosi

aspetti della realtà che non si prestano ad un approccio classico.

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TRIANGOLO DI SIERPINSKI

Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si triplicano mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.

Perimetro infinito in un’area finita

Dimensione frattaleI frattali possono avere dimensione non intera, anche con infinite cifre dopo la virgola.

Applichiamo il concetto di dimensione intera al triangolo di Sierpinski, ricordando che, in generale,se n è il numero di ingrandimenti lineari, il numero di copie è rappresentato da una potenza di base n e di esponente la dimensione. Come si vede dall'immagine a fianco, sono quattro i triangoli che possono comporre un triangolo con i lati ordinatamente doppi. Il triangolo ha infatti la dimensione di una superficie, e cioè due. Home P

age

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Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione

Molti oggetti frattali hanno infiniti dettagli.

Dalle immagini si può vedere che la complessità dell'insieme di Mandelbrot non accenna a diminuire, anche se lo ingrandiamo quanto vogliamo. Visto che presenta questa caratteristica,

si dice che un frattale è dotato di struttura complessa a tutte le scale di riproduzione.I frattali autosimili godono sicuramente di questa proprietà, mentre non è vero il contrario. E' infatti evidente, ad esempio, che il frattale di Mandelbrot non è autosimile. In ogni caso ogni

parte dell'insieme di Mandelbrot presenta caratteristiche strutturali simili a quelle dell'oggetto di partenza, e ciò è vero per tutti i frattali di questo tipo. E' anche evidente che questa

caratteristica è strettamente collegata alle altre proprietà distintive dei frattali, quali ad esempio la dimensione frazionaria o il perimetro infinito e l'area finita. Se vediamo la terra dallo

spazio, possiamo osservare i continenti con le loro coste, gli oceani e i mari, i fiumi maggiori.Se ci avviciniamo, possiamo vedere solo una parte, ingrandita, dell'immagine precedente, ma

la struttura del paesaggio non cambia: ancora coste, e "piccoli mari" e corsi d'acqua. Le coste, in particolare, hanno infinita lunghezza anche se sono chiuse in una superficie finita, e

i dettagli, per quanto ingranditi, non cambiano. Ecco, di nuovo, i frattali!Nel regno vegetale si trovano esempi comuni di ramificazioni frattali: dalle felci, agli alberi, ai

fiori.

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Dinamica caotica

Le leggi matematiche che generano i frattali sono molto semplici, pur tuttavia basta una minima variazione in un parametro per determinare una

trasformazione significativa delle figure finali.

Variazioni nel triangolo di Sierpinski (al centro) al minimo variare di un solo parametro ma, attenzione, questo non è il caos!

Si usa dire che l'aspetto di un oggetto frattale dimostra un'estrema sensibilità alle condizioni di partenza che usiamo per costruirlo: nel caso del triangolo di

Sierpinski, che è generato da un'equazione di primo grado, tuttavia, si riconosce sempre la forma iniziale. Invece i frattali generati da equazioni

almeno di secondo grado sono esempi tipici di sistemi caotici.

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La parola caos richiama alla mente uno stato di totale disordine e si usa per indicare appunto tutte quelle situazioni nelle quali non si riesce ad individuare una regola. Del resto già gli antichi greci chiamavano caos la materia primordiale senza ordine che preesisteva al cosmos, cioè all'universo ordinato. Precipitare nel caos sembra essere il finire in un mondo senza leggi, nel mondo della casualità: tutto l'opposto, quindi, di ciò che siamo abituati a comprendere nell'ambito della scienza, un mondo ordinato.Così riconosciamo ordinato il mondo della natura quando possiamo predire con millimetrica precisione non solo la data della prossima eclisse ma anche la zona dove si potrà ammirare meglio lo spettacolo; se la scienza non sa darci risposte esatte in alcuni casi, immaginiamo che questo accada perché le leggi che governano certi fenomeni sono troppo difficili per essere comprese dall'uomo, almeno fino a questo momento. (Come diceva Bertrand Russel, filosofo del nostro secolo, le leggi della Natura sono semplici perché non siamo capaci di scoprire quelle difficili...).In effetti, il metodo adottato dalla scienza classica tende a releganre nella sfera del disordine certe turbolenze o irregolarità che pure spesso convivono nella realtà di tutti i giorni.L'attuale definizione di caos invece è : " sensibilità alle condizioni di partenza". Ma cerchiamo di spiegarci meglio.Le leggi della natura permettono di predire con sicurezza molti fenomeni naturali. Alcuni aspetti della realtà sono però molto difficili da descrivere e da interpretare. Le condizioni atmosferiche, ad esempio, diventano imprevedibili a lungo termine, perché ogni piccola variazione nelle condizioni iniziali si amplifica e si ingigantisce in breve tempo: tutto questo anche se l'atmosfera ubbidisce a leggi fisiche ben precise che esprimono, ad esempio, il legame fra pressione e temperatura, fra pressione e velocità del vento e così via.

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Nel 1961, avendo fretta, inserì nel suo computer dei numeri approssimati a tre cifre decimali invece che a sei come faceva di solito. Ora, ci si aspetta che partendo da condizioni iniziali simili anche il comportamento finale non vari di molto. Senza questa regola, la fisica non avrebbe fatto grandi passi avanti, perché spesso la realtà è talmente complessa che occorre trascurarne vari aspetti.Quello che apparve agli occhi di Lorenz non fu invece un’evoluzione del fenomeno in parte simile, ma una parte totalmente diversa. Dopo un iniziale smarrimento, egli comprese che sebbene i frattali non presentino la stessa turbolenza di un uragano, essi tuttavia costituiscono un buon modello per lo studio di molte perturbazioni, proprio per la loro dinamica caotica.

Questa sensibilità alle condizioni iniziali è detta effetto farfalla, da quando, nel 1972, il meteorologo Edward Lorenz raccontò, per illustrare la difficoltà di predire a lungo termine certe turbolenze climatiche, di come sia possibile, teoricamente, che un battito d'ali di una farfalla in Brasile provochi un tornado in Texas. Che cosa intendeva dire in realtà?

Edward Lorenz, meteorologo presso il MIT (Massachusetts Institute of Technology), aveva sviluppato al computer un modello delle condizioni atmosferiche. Anche se i suoi risultati non erano utili per le previsioni del tempo reale, tuttavia erano realistiche nel riprodurre la sua variabilità , e in particolare nel non presentarsi mai in aspetto identico a se stesso.

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Quale base scientifica c’è

dietro ai frattali?Ai frattali si è giunti partendo da differenti approcci e seguendo vie di indagine diverse, che all’inizio non avevano tra loro alcun apparente elemento in comune; solo in un secondo tempo ci si è accorti della stretta parentela che intercorre tra i risultati ottenuti nei diversi settori di ricerca. Del resto, come quasi sempre accade nell’ambito dei problemi fisico-matematici, le diverse questioni, così come pure i risultati, possono essere esaminate dai tre classici punti di vista che costituiscono tre modi di vedere complementari:

—analitico

—geometrico

—fisico–dinamico.

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Che cosa sono e a che cosa servono i frattali?Ingrandendo sempre più una immagine frattale scopriamo sempre nuovi particolari, nuove forme prima invisibili soltanto perché troppo piccole, fino all'infinito. Questi particolari che si vanno man mano scoprendo assomigliano alla figura nella sua totalità.

Come si può matematicamente ottenere un simile risultato?

Queste figure sono generate, per la maggior parte dei casi, mediante l'applicazione di formule iterative nel piano dei numeri complessi: numeri aventi, cioè, una parte reale e una immaginaria. L'unità immaginaria è definita come la radice quadrati di –1. Si applicano proprietà matematiche che non sono state utilizzate precedentemente, come, per esempio, le teorie sulla risoluzione di sistemi non lineari..

I frattali sono utilizzati in molti campi delle scienze moderne.

Con semplicissimi regole gli studiosi sono in grado di riprodurre comportamenti anche complessi, come il movimento delle folle, oppure ancora la crescita di una pianta.

Da regole semplici si possono ottenere risultati totalmente inaspettati ed interessanti.

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La matematica dei frattali nasce ufficialmente nel 1980, quando Benoit B. Mandelbrot riuscì, tramite un computer VAX (un computer miracoloso nella preistoria dei computer), ad ottenere la prima stampa su carta dell'insieme che, giustamente, porta il suo nome. Tuttavia la teoria fondamentale della "Iterazione di Applicazioni Razionali nel Piano Complesso" era già stata sviluppata, anche se non completamente, nel 1918, nei lavori degli studiosi Julia e Fatou. Sono gli stessi lavori che lesse Mandelbrot e che lo convinsero ad effettuare ricerche in quel senso.

La dimensione non intera è necessaria per spiegare certe proprietà, ad esempio che una linea di lunghezza infinita riesca a stare dentro una regione finita di piano.

Benoit Mandelbrot usa un esempio “classico”: la costa dei continenti; via via che misuriamo la lunghezza di una costa con una incertezza sempre minore - con righelli sempre più piccoli - la lunghezza tende ad infinito.

la dimensione non intera non è un concetto semplicissimo, soprattutto per il fatto che risulta anti-intuitivo.

In pratica i frattali sono caratterizzati da una dimensione compresa tra uno ( linea) e due (superficie) oppure tra due e tre (volume) e così via. Un frattale con dimensione 1.5 può essere poco più di un segmento e poco meno di un piano.

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I frattali sono importanti per vari motivi. Quello più evidente ed appariscente è che, nel loro complesso, si adattano meglio a spiegare le varie forme presenti in natura.

Molti oggetti che vediamo nella nostra vita quotidiana hanno una struttura, per così dire, frattale: per esempio una foglia di felce. Se fate attenzione, notate come ogni parte della foglia sia simile all'intera foglia. Sotto si può vedere un frattale (un frattale iterativo, per la precisione), che con una semplice legge matematica rappresenta appunto una foglia di felce, con una grande fedeltà delle forme.

Per esempio, la foglia di felce reale non è un frattale perfetto, perché le ripetizioni non sono tali all'infinito: ad un certo punto i particolari si fondono, poi ingrandendo ancora di più la somiglianza non c'è più perché appaiono le cellule, etc.

Per lo stesso motivo non è un frattale ideale, per esempio, un albero con i suoi rami.

Ovviamente ciò non è rigorosamente vero, perché c'è un limite intrinseco nelle cose reali che la matematica non ha: le dimensioni.

Quando ingrandiamo una figura frattale, a successivi ingrandimenti vediamo sempre una parte che è coerente con il resto; si ingrandisce senza interruzione di continuità: questa è una proprietà che gli oggetti reali non hanno.

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Tuttavia, se non sono frattali da questo punto di vista, lo sono dal punto di vista statistico. Godono di una autosomiglianza statistica: ad esempio, il rapporto fra zone piene e zone vuote rimane costante (sempre entro un determinato range di dimensioni).

Un'infinità di forme naturali ha natura frattale: piante, montagne, coste, nuvole, alberi etc, mentre ben poche hanno una struttura geometrica definita (a parte alcuni esseri unicellulari, aventi delle forme simili a vari poliedri).

Dal punto di vista geometrico le caratteristiche dei frattali risultano molto più intuitive in quanto possiamo rappresentare visivamente i risultati delle procedure che generano un immagine frattale. Un esempio molto semplice è offerto dalla procedura geometrica che genera la curva di Von Koch.

Il calcolatore consente l’iterazione un numero molto grande di volte, in modo tale da approssimare abbastanza significativamente la figura limite.

La ripetizione all’infinito della medesima struttura all’interno di ogni parte di una figura è una proprietà nota in geometria come autosomiglianza ed è una conseguenza del processo iterativo con cui si è costruita l’immagine; è una proprietà tipica che caratterizza i frattali.

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Il punto di vista della dinamica dei sistemi giunge ai frattali attraverso il problema del caos. Una piccola perturbazione delle condizioni iniziali può crescere esponenzialmente

con i tempo, per cui l’evoluzione del sistema diviene del tutto impredicibile. È come se, a causa della non linearità le equazioni divenissero pressoché inservibili per fare previsioni

attendibili.

Bisogna aspettare fino agli anni ’60, quando Lorenz ha scoperto l’attrattore caotico che porta il suo nome, perché lo studio sistematico dei sistemi

dinamici non lineari e degli attrattori strani (caotici) inizi il suo vero cammino.

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A che cosa servono i frattali?

Possiamo classificare i diversi tipi di frattali che si conoscono secondo criteri differenti.

a)classificazione fisico-geometricaDistingue i frattali su base qualitativa (fisica) per le loro caratteristiche geometriche e fisiche in immagini che:

—corrispondono ad oggetti verosimili, come felci, foglie, profili di montagne, nubi, paesaggi, insetti, ecc.;

—non corrispondono ad oggetti verosimili, ma sono piuttosto figure decorative dotate spesso anche di altre simmetrie oltre a quella autosomigliante;

La geometria della natura sembra essere molto più aderente allo schema frattale che a quello tradizionale.

Dalla forma del cervello a quella delle diramazioni dei dendriti nervosi, dal profilo frastagliato delle foglie allo schema di sviluppo dei coralli, dalla forma delle scariche dei fulmini alla distribuzione dei domini nel materiali ferromagnetici, dai profili delle montagne e delle nubi alle linee di frattura dei materiali da costruzione, tutto sembra essere frattale. E questi campi di ricerca sono ormai divenuti oggetto anche di numerosi convegni scientifici internazionali. Un altro settore di grande interesse per l’informatica delle reti e delle telecomunicazioni è poi quello della compressione delle immagini con metodi frattali che significherebbe, oltre ad un risparmio di tempo rilevante, l’eliminazione pressoché totale degli errori.

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b)classificazione analitico-geometricaDistingue i frattali su base quantitativa (matematica) a partire dal tipo di legge ricorsiva mediante la quale vengono generate le immagini.

Si hanno in questo modo:

—frattali generati dall’iterazione di funzioni di variabili reali a valori vettoriali reali che possono essere:

• lineari: metodo IFS (Iterated Function Systems);

• non lineari: metodo particolarmente impiegato per realizzare immagini verosimili.

—frattali generati dall’iterazione di una funzione di variabile complessa a valori complessi imponendo certe condizioni di non convergenza della serie associata (insiemi di Mandelbrot e Julia: standard e generalizzati).

c)classificazione dinamico-fisicaQuesta classificazione identifica i frattali che nascono da problemi di natura fisica governati da una dinamica caotica.

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I Frattali, NewtonIl frattale di Newton, a contrario di quanto potrebbe far sospettare il nome, non fu scoperto da Newton; furono altri studiosi a scoprirlo ed a studiarlo. Si chiama così per il semplice fatto che viene creato da delle formule di newton.

L’algoritmo è quello che permette di calcolare gli zeri di una funzione. Un procedimento che Newton aveva proposto per la risoluzione di equazioni nel campo reale, che invece danno questo affascinante frattale, se studiato nel dominio dei complessi.

Vediamo prima come funziona il metodo di Newton: è un procedimento numerico per il calcolo degli zeri di un polinomio (o di una funzione in generale): si basa sulla seguente formula iterativa:

questa formula è chiamata anche formula delle tangenti. In pratica funziona così: si prende un x0 che si suppone vicino alla soluzione, e, proseguendo con l'iterazione, si ci avvicinerà sempre di più alla soluzione cercata: per ogni iterazione, si traccia la retta tangente al punto (xn), f(xn), e la sua intersezione con l'asse x rappresenta il nuovo punto da iterare. Si può capire come, al variare di x0, possa variare la soluzione cui converge, se l'equazione ne possiede più di una.

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Qui a lato si può vedere una funzione reale, col metodo di newton applicato. Le due Qui a lato si può vedere una funzione reale, col metodo di newton applicato. Le due sequenze di rette rappresentano l'iterazione per due semi iniziali diversi: si può notare sequenze di rette rappresentano l'iterazione per due semi iniziali diversi: si può notare come a seconda del seme cambia la soluzione cui converge. Avremo, quindi, delle come a seconda del seme cambia la soluzione cui converge. Avremo, quindi, delle "regioni" di punti, caratterizzati dal fatto che qualsiasi punto appartenente ad una "regioni" di punti, caratterizzati dal fatto che qualsiasi punto appartenente ad una regione fa convergere l'algoritmo ad una determinata soluzione. regione fa convergere l'algoritmo ad una determinata soluzione.

In questo caso, In questo caso, le regioni di le regioni di decisione sono decisione sono le due semirette le due semirette che partono dal che partono dal punto di minimo punto di minimo della funzione. della funzione. Le due regioni Le due regioni sono ben sono ben distinte. quello distinte. quello che rende che rende questo processo questo processo capace di capace di generare generare immagini frattali immagini frattali è quello di è quello di estendere il estendere il processo ad processo ad equazioni e equazioni e funzioni a zeri funzioni a zeri complessi. complessi.

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Tralasciando tutta la matematica, vediamo alcune semplici conclusioni. Prendendo l'equazione Z3+1 = 0, è facile notare che ci saranno tre soluzioni, e quindi anche tre bacini d'attrazione: com'è logico supporre, i bacini tendono a formarsi attorno il punto di 0, le soluzioni dell'equazione. Ciò che non ci si aspettava, invece, è stato il comportamento della zona di confine fra queste tre regioni. Ci si aspettava un limite netto, come nell'immagine a destra. Invece, si è visto che non è così. Non appena ci si avvicina al confine fra i bacini 1 e 2, per esempio, ecco che spunta una piccola zona di bacino 3, per dividerli: a sua volta questo nuovo confine che si forma tra bacino 1 e 3, a sua volta è interrotto dal bacino 2 e così via, all'infinito, creando appunto il frattale di Newton.

L'immagine a sinistra è stata ottenuta per la semplice equazione Z3+1 = 0, e al crescere della complessità dell'equazione, cresce anche quella del frattale che si ottiene. Le altre immagini sono ottenute usando il metodo di newton per trovare gli zeri nelle equazioni Z5+1 = 0 e Z3+4Z5+10 = 0. Si vede come si diversifichino di molto. Come ci si aspettavano i bacini d'attrazione, dedotti dal comportamento reale.

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Immagine ottenuta, con i tre bacini d'attrazione colorati in modo diverso, per l'equazione Z3+1 = 0

Frattale di Newton corrispondente all'equazione Z5+1 = 0

Frattale di Newton corrispondente all'equazione Z3+4Z5+10 = 0

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La curva di Koch è una ripetizione successiva di una determinata regola costruttiva, applicata di volta in volta in tutte le parti: si parte da una geometria semplice, per arrivare ad una forma che è sempre più complessa man mano che aumenta il numero di iterazioni. La stessa regola, ad ogni iterazione, si applica a porzioni via via più piccole dell'immagine. Da qua viene il dettaglio.

Possiamo vedere a destra la prima iterazione, cui corrisponde la forma principale che determinerà la forma finale della curva di Koch; in questo caso abbiamo preso un triangolo, che forma la curva più classica e famosa.. Si prende un segmento, e si sostituisce il suo terzo centrale con un triangolo: questa è appunto la prima iterazione. Adesso, vediamo che la figura ottenuta dalla prima iterazione è formata da vari segmenti: per ottenere la figura della seconda iterazione, applichiamo un'altra volta lo stesso procedimento, stavolta per ogni segmento: ad ogni segmento che compone la figura della prima iterazione, sostituiamo il terzo centrale con un triangolo equilatero, ottenendo l'immagine corrispondente alla seconda iterazione. Vediamo che aumenta il dettaglio dell'immagine, pur avendo applicato la stessa regola.

Ripetendo ancora una volta il procedimento, si arriva al risultato della terza iterazione, e così via. Sotto si vede anche il risultato per un grande numero N di iterazioni: i triangoli divengono sempre più piccoli, ed aumenta il dettaglio creando, per N che tende ad infinito, una figura frattale.

Koch

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Dalla curva di Koch si può vedere facilmente una caratteristica delle figure frattali: il loro perimetro infinito: si vede, infatti, che ad ogni iterazione la lunghezza totale di tutti i segmenti aumenta di un fattore 4/3: se, quindi, il segmento originario aveva una lunghezza unitaria, dopo n iterazioni la figura avrà una lunghezza totale pari a 1* (4/3)n

e si vede come, per n che tende ad infinito, il perimetro della "costa" tende ad un valore infinito.

Le linee di lunghezza infinita non sono una novità nella geometria: basti pensare alle rette. La particolarità di questa figura, però, è che il suo perimetro diventa infinito pur restando confinato in un'area finita.

Questa caratteristica è collegata anche al fatto che la figura di Koch è una figura a dimensione non intera: è come se fosse più di una linea, e meno di un piano: in particolare, la dimensione di questa figura particolare è pari a log(4)/log(3).

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Possiamo disegnare gli insiemi di Mandelbrot e di Julia. Ambedue si basano sulla medesima formula:

zn+1 = zn2+c

ma viene applicata in modo differente nei due casi.

Per l'insieme di Mandelbrot, si prende z0 = 0; poi si fa variare c nel piano complesso, e per ogni punto si vede se |zn| tende ad infinito oppure no. Se |zn| non

tende ad infinito, allora il punto appartiene all'insieme di Mandelbrot.

Per l'insieme di Julia, si sceglie un c fisso (chiamato seme dell'insieme), e si fa variare invece z0 nel piano complesso, e si ripete la storia: se |zn| tende ad infinito,

allora il punto non appartiene all'insieme di Julia. Se non converge ad infinito, invece, vi appartiene. C'è da dire che per essere pignoli Julia definì il suo insieme

non come quello contenente tutti i punti per cui non va ad infinito, ma come i punti di frontiera fra questi due insiemi.

Insiemi di Mandelbrot e di Julia

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Colorazione di baseSiamo riusciti a capire come si creano gli insiemi di Mandelbrot e di Julia. Adesso, dobbiamo capire come si fanno ad ottenere tutte quelle stupende immagini; in altre parole, come facciamo a creare tutte quelle

immagini colorate.

Ovviamente potremo mettere noi dei colori dove vogliamo, ma in questo senso perderemmo la "matematicità" del disegno. Si usa colorare invece, questi frattali in determinate maniere: si prende un

punto del piano complesso e, a seconda di alcune sue caratteristiche o proprietà matematiche, si colorano i punti in modo diverso. Questi metodi si chiamano di solito algoritmi di colorazione.

Una delle cose interessanti è che possiamo associare un colore ad ogni distanza: variando quest'ultima con continuità, possiamo ottenere delle colorazioni morbide.

Di questi algoritmi ce n'è un'infinità, e vanno da semplici proprietà a formule davvero complesse.

Ci sono molte elaborazioni che permettono, ad esempio, di avere dei passaggi sfumati di colore fra una zona e l'altra.

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Mandelbrot Il frattale di Mandelbrot fu "scoperto" nel 1980, dal matematico Benoit Mandelbrot. Sicuramente è il frattale più famoso, perché è stato il fondamento della teoria dei frattali, anche se non è stato il primo (lo precedettero i frattali di Julia, la curva di Koch e quella di Peano).

Per la sua scoperta, è stato necessario l’uso del calcolatore, dato che bisognava visualizzare una fitta griglia di punti, ognuno dei quali viene colorato a seconda dell'andamento dell'iterazione, che può richiedere molti passi per scoprire la convergenza o divergenza.

La sua forma è stata studiata molto attentamente, sfruttando proprietà del calcolo combinatorio: si vede che è formato da un corpo principale a forma di cardioide. Su questo corpo principale sono "attaccati" una infinità di cerchi, le cui dimensioni e posizioni reciproche rispettano considerazioni combinatorie sofisticate. La frontiera del frattale di Mandelbrot è ricca di "filamenti", privi di area come le normali linee, che intrecciano profondamente l'immagine, collegando l'insieme di Mandelbrot e rendendolo connesso; il frattale è composto da un singolo pezzo.Il frattale di Mandelbrot contiene infinte copie di se stesso collegate al corpo principale

soltanto dalla struttura a “filamenti”. L'autosomiglianza in questo caso non è perfettamente verificata, in quanto ogni copia del frattale di Mandelbrot è circondata da una struttura a filamenti sempre più ricca man mano che aumentiamo l'ingrandimento.

Una delle zone più affascinanti del frattale di Mandelbrot, dal punto di vista estetico, è la zona del “cavalluccio marino”, che si trova al confine fra il cardioide e il cerchio più grande. In questa solo i filamementi formano spirali di rara complessità e bellezza , cui corrispondono insiemi di Julia altrettanto complessi e con le medesime spirali.

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JuliaGli insiemi di Julia furono scoperti dagli studiosi Julia e Fatou, già nel 1918, e ne spiegarono le principali caratteristiche (tutto questo a mano, privi quindi di qualsiasi calcolatore...).

I frattali di Julia si possono distinguere facilmente in due categorie: quelli 'vuoti' e quelli 'pieni'; quando generiamo un insieme di Julia, vediamo quali punti del piano complesso divergono, e quali invece no: se l'area dell'insieme di questi punti non è nulla, allora il frattale di Julia si dice pieno, altrimenti si tratta di un frattale di Julia vuoto.

C'è da dire, però, che il frattale di Julia è definito come la zona di confine fra l'insieme di punti divergenti e convergenti: nel caso che l'insieme sia vuoto, è definito come una polvere cantoriana: la struttura resta frattale, ma l'insieme è formato da un insieme di punti isolati, anche se disposti in modo da creare sempre spirali, e strane figure.

Inoltre, prendendo come semi di Julia punti del piano complesso prossimi alla frontiera del frattale di Mandelbrot. si ottengono i frattali con le forme più suggestive.

Questo è dovuto alla transizione che avviene al passaggio fra punti divergenti e convergenti, con una zona di confine molto labile e complicata da studiare. Il loro aspetto dipende profondamente dal numero complesso che si prende come seme, e molte caratteristiche per così dire estetiche riguardano direttamente le proprietà matematiche locali, come il numero di ramificazioni di una loro parte, il coefficiente esponenziale delle loro spirali logaritmiche.

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Nell'antichità classica il ruolo della simmetria come principio ispiratore nella concezione del mondo fisico veniva accentuato dalla rarità di figure solide simmetriche analoghe ai poligoni regolari.Mentre infatti nel piano abbiamo un'infinità numerabile di poligoni regolari corrispondenti alle rotazioni finite, nello spazio tridimensionale si possono realizzare soltanto cinque poliedri regolari: l’Esaedro, il Tetraedro, l' Ottaedro, il Dodecaedro e l' Icosaedro.Questi poliedri regolari sono tradizionalmente chiamati Solidi Platonici per il ruolo fondamentale che giocano nella cosmogonia elaborata da Platone. In realtà negli Elementi di Euclide (libro XIII), si puntualizza che l'attribuzione a Platone della scoperta di questi poliedri regolari è inesatta.

Il cubo, la piramide (il tetraedro) e il dodecaedro vengono attribuiti ai Pitagorici, mentre la scoperta dell' ottaedro e dell' icosaedro viene fatta risalire a Theaetetus. Di fatto, l'esistenza del cubo, del tetraedro, e dell'ottaedro non sorprende più di tanto data la particolare semplicità di queste figure. Ben diverso è il caso del dodecaedro e dell'icosaedro.

I solidi platonici

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Nel bacino culturale greco, la scoperta del dodecaedro può esser fatta risalire al ritrovamento nella Magna Grecia (in particolare in Sicilia) di bellissimi cristalli di pirite di questa forma.E’ significativo che oggetti scolpiti in forma di dodecaedro regolare, databili intorno al VI sec.A.C., siano stati rinvenuti in vari siti archeologici italiani.

Platone nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro, l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco, aria, terra, e acqua.

Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per gli altri poliedri citati), veniva invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza.Questa identificazione suggerisce un'immagine di perfezione che indubbiamente nasce anche dal fatto che il dodecaedro, in volume, approssima più degli altri poliedri regolari la sfera. Un'idea, quest’ultima, già sfruttata da Platone nel dialogo Fedone e sviluppata poi ampiamente nella cosmologia Tolemaico-Aristotelica.

La fortuna dei solidi Platonici nell'immaginario scientifico della cultura occidentale è stata enorme ed è forse connessa ad un punto di vista filosofico che riteneva di poter penetrare profondamente nei segreti della creazione guardando a questi simulacri euclidei del mondo delle idee di Platone.

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Keplero

Si va dallo studio della classificazione di tutte le geometrie tridimensionali possibili, allo studio dei metodi di quantizzazione del campo gravitazionale tramite l'utilizzo di poliedri generati incollando un grande numero di tetraedri. La dinamica nasce dalla competizione fra ordine e rottura di simmetria: l'antico paradigma si ripete anche nelle moderne teorie, forse ad un livello più sofisticato, ma sostanzialmente simile a quello che ha ispirato gli antichi filosofi della natura.

Noto ai più per il suo contributo fondamentale all'astronomia, diede un non meno fondamentale contributo sia alla teoria delle tessellazioni del piano, sia allo sviluppo della teoria dei solidi Platonici (Harmonice mundi 1619). Questi due ruoli di Keplero si fondono poi singolarmente nel suo tentativo (Mysterium cosmographicum) di attribuire le regolarità del sistema planetario alle proprietà dei solidi platonici.Come avviene per i poligoni nel piano, la regolarità dei solidi platonici è strettamente legata alle proprietà di simmetria dello spazio fisico.I gruppi finiti di rotazioni associati alle simmetrie dei poliedri regolari costituiscono il punto di partenza di molti campi di ricerca estremamente attivi nella matematica e nella fisica teorica moderna.

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Storia del DNA

StrutturaIl DNA è un polimero costituito dall'unione di

nucleotidi. Ciascun nucleotide è costituito dall' insieme di una base azotata, di una molecola di acido fosforico e da uno zucchero pentoso il desossiribosio .

I singoli nucleotidi sono legati tra loro a formare l’impalcatura della catena che risulta un susseguirsi di

zuccheri e fosfati ai quali sono collegate quattro diverse basi azotate legate tra loro a formare una doppia elica. Le due catene sono unite da legami

idrogeno tra le basi azotate che formano le seguenti coppie fisse tra loro complementari per motivi

geometrici e chimici . Adenina- Timina e Citosina –Guanina. La sequenza delle basi è fortemente variabile

e a queste variazioni corrispondono informazioni diverse . La doppia elica risulta poi avvolta su sé

stessa in modo estremamente regolare.

Per molto tempo la struttura del DNA rimase ignota alla maggior parte degli studiosi che si occupavano di studiare l'ereditarietà dei caratteri. Agli inizi degli anni Cinquanta (1953) M. Wilkins, R. Franklin e R. G. Goslin iniziarono una serie di studi di diffrazione dei raggi X su

microcristalli di DNA fornendo basilari informazioni a J. D. Watson e F. H. Crick sulla struttura dell' acido nucleico, una molecola regolare, costituita da due filamenti associati tra di loro e

avvolti ad elica. Il DNA (insieme con l'RNA) è un acido nucleico (composto da carbonio C, idrogeno H, ossigeno O e azoto N e fosforo P), così chiamato perché si trova, anche se non

unicamente, nel nucleo delle cellule.

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All'adenina si oppone sempre la timina e alla guanina la citosina. La stabilità della doppia elica è assicurata dalla formazione di legami

a idrogeno tra le basi azotate delle due catene e dalla stessa struttura elicoidale.

ReplicazioneDurante il processo di duplicazione la molecola a doppia elica del DNA

si srotola e le catene complementari si allontanano.

Ciascuna di esse si comporta, poi, come una matrice per la sintesi di

una nuova catena ad essa complementare: si attengono, in

tal modo due nuove catene identiche a quella di partenza,

ciascuna formata da una catena "vecchia" e una catena "nuova". Questo tipo di replicazione viene

chiamato semiconservativo, proprio perché ogni filamento di

DNA duplicato mantiene una parte del filamento originario.

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I due disegni rappresentano due superfici di Dini (matematico italiano), una avvolta in senso orario, l'altra in senso antiorario. Le due superfici si trasformano l'una nell'altra

per riflessione in uno specchio. Come vedremo questa trasformazione è

fondamentale per comprendere le leggi della fisica e le simmetrie che governano il mondo

intorno a noi.

La comprensione delle leggi che regolano le interazioni tra le particelle subnucleari ha

richiesto l'introduzione di un tipo di simmetrie molto particolari, le quali

impongono l'invarianza di un sistema per inversione spaziale, inversione temporale e

coniugazione di carica.

DNA

Ma esistono anche forme asimmetriche. Un esempio classico è la struttura della molecola del DNA, la quale

contiene il codice genetico degli esseri viventi. La molecola del DNA ha la forma di una scala che si

attorciglia solo in senso levo-giro. Già da molto tempo i fisici hanno imparato a riconoscere l'intima connessione

esistente tra le simmetrie geometriche e il comportamento dinamico dei corpi materiali. Quindi le

fondamentali leggi della fisica riguardo la conservazione dell'impulso, del momento angolare e dell'energia di un

sistema meccanico, derivano in modo semplice e sorprendente dalle proprietà di simmetria geometrica (traslazione e rotazione) e temporale (ogni istante è

equivalente per descrivere un sistema meccanico) del sistema stesso..

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• Niels Fabian Helge von Koch

• Giuseppe Peano

• Waclaw Sierpinski

• Gaston Maurice Julia

• Benoit Mandelbrot


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Niels Fabian Helge von KochNato il 25 gennaio 1870 frequentò una buona scuola superiore di Stoccolma, completando i suoi studi nel 1887, quindi si iscrisse all'Università della stessa città. Fu molto apprezzato per alcune pubblicazioni riguardanti i sistemi lineari e le equazioni differenziali. Nel 1911 ottenne una cattedra all’Università di matematica di Stoccolma.

Von Koch è famoso per la curva che porta il suo nome e che apparve nel suo lavoro “Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes”, pubblicato nel 1906.

Questi sono i passaggi per la costruzione della sua curva:

1-Si divide un segmento in tre parti uguali.

2-Si sostituisce il segmento centrale con altri due segmenti in modo da formare un triangolo equilatero privo della base.

3-Si ripete il procedimento su ognuno dei quattro segmenti così ottenuti.

4-Si ripete il procedimento indefinitamente.

Si ottiene una curva di tipo frattale che ha le seguenti caratteristiche: perimetro infinito, area finita, autosomiglianza, dimensione frazionaria. Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun punto. Se si parte da un triangolo equilatero e si applica questo procedimento si ottiene il "fiocco di neve" di von Koch.

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Giuseppe PeanoNasce a Tetti Galant provincia di Cuneo. Frequenta la facoltà di matematica all’Università di Torino, dove si laurea a 22 anni. Nel 1880 diventa assistente universitario, nel 1887, viene nominato professore stabile alla Reale Accademia di Artiglieria e Genio, nel 1890 diventa professore straordinario e quindi, nel 1895, professore ordinario. Nel 1890 pubblica “Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”, dove per la prima volta al mondo si parla di una curva che copre tutti i punti di un quadrato.

Il più grande contributo di Peano, comunque, rimane nei campi della logica e dell'assiomatizzazione della matematica.

La sua “Rivista di matematica”, fondata nel 1891, vuole estendere il simbolismo usato per gli assiomi sui numeri naturali a tutte le proposizioni della matematica. L'idea di un linguaggio universale era già stata propugnata da Leibniz un secolo prima, ma Peano dà nuovo vigore all'idea: egli, da socialista romantico, è convinto che le guerre, ad esempio, dipendono dalla scarsa comunicazione fra gli uomini. L'impegno che profonde nel suo progetto per quindici anni, aiutato dai suoi studenti, si concreta nel “Formulaire de mathématique”, pubblicato nel 1908. Peano non è uno scienziato che vive nella sua torre d'avorio, anzi è molto attento alle problematiche sociali del suo tempo. Estremamente affabile e disponibile con i suoi allievi ed impegnato nelle organizzazioni per l'educazione primaria e secondaria, comprende l'importanza di far amare la matematica: nel 1925, ad esempio, pubblica il libro “Giochi di aritmetica e problemi interessanti”, con lo scopo di rendere dilettevole e meno noioso lo studio dell'aritmetica per i bambini che hanno paura della matematica. Muore nel 1932 a Torino. Nel corso della sua vita ha ricevuto numerosi riconoscimenti dal governo italiano.

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Waclaw Sierpinski Nacque il 14 marzo a Varsavia. Waclaw Sierpinski visse in un periodo in cui la Polonia si trovava sotto l'occupazione della Russia. I Russi avevano imposto la loro lingua e la loro cultura a tutte le

scuole secondarie della Polonia e preferivano che i polacchi restassero analfabeti, tanto che il numero di studenti era crollato.

Nonostante le difficoltà, Sierpinski entrò nel dipartimento di matematica e fisica dell'Università di Varsavia nel 1899. Nel 1903 vinse anche una medaglia d'oro per un suo saggio sulla teoria dei numeri, ma, non volendo che fosse pubblicato in russo, attese fino al 1907 quando fu edito in

inglese.I suoi studi spaziarono in vari campi, dalla teoria degli insiemi, ai numeri irrazionali,

all'astronomia, alla filosofia. Al termine della prima guerra mondiale ritornò in Polonia, dopo essere stato esiliato, e ottenne una cattedra di

matematica presso l'Università di Varsavia,città dove rimase fino alla fine dei suoi giorni. In questo periodo studiò alcune curve: il tappeto e il triangolo che portano il

suo nome. Nel 1939, allo scoppio della seconda guerra mondiale, la sua vita cambiò

drammaticamente. Il suo lavoro continuò nella clandestinità, ed egli si ingegnò a spedire in

Italia le sue carte affinché venissero pubblicate.

Dopo la rivolta del 1944 i nazisti incendiarono la sua casa, distruggendo la sua biblioteca e tutti i documenti personali. Egli stesso parlerà di questi tragici eventi durante una conferenza all'Università di Cracovia, rivolgendo commosso omaggio ai tanti studenti e professori di matematica polacchi uccisi in quel periodo per la barbarie nazista.

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Gaston Maurice Julia

Gaston Julia dimostrò, fin dalla giovinezza, uno spiccato interesse per la matematica. A soli 25 anni pubblicò il suo capolavoro Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles, che contiene una descrizione antelitteram del dialetto frattale non lineare e divenne famoso fra i matematici del suo tempo.Era stato gravemente ferito durante la prima guerra mondiale, ma, mentre si trovava ricoverato in un ospedale militare, fra un'operazione e l'altra, aveva continuato ad occuparsi delle sue ricerche, riuscendo in un'impresa tanto più notevole in quanto, non esistendo ancora i computers, poteva contare solo sulla sua capacità intrinseca di visualizzazione.In seguito divenne un apprezzato professore all'Ecole Polytechnique di Parigi.Il suo lavoro, che lo aveva reso famoso negli anni 20, fu però dimenticato fini a quando Mandelbrot non fu capace di trovare un metodo per catalogare gli insiemi di Julia, nei loro differenti aspetti.

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Benoit Mandelbrot Nato a Varsavia nel 1924 nel 1936 si trasferì in Francia, ed un suo zio, insegnante di matematica, si occupò della sua educazione.

In quel periodo frequentò la scuola in modo saltuario e dovette arrangiarsi: ora, egli attribuisce molti dei suoi successi alla sua educazione non convenzionale. Di certo, Benoit Mandelbrot sviluppò la capacità di visualizzare problemi di ogni genere soprattutto attraverso un approccio geometrico, che gli ha permesso di intuire in modo unico alcuni aspetti della realtà, magari già affrontati, ma lasciati cadere.

Dopo la liberazione di Parigi, entrò all' Ecole Polytechnique, dove completò i suoi studi.Nel 1958 si trasferì definitivamente negli Stati Uniti, iniziando la sua lunga e fruttuosa collaborazione con l'IBM. Si trovò infatti in un ambiente che gli permise di affrontare problemi in diversi settori, con un'autonomia che nessuna Università, forse, gli avrebbe consentito.Avuto contatto con le idee di Gaston Julia le sviluppò e le rese celebri attraverso uno dei primi programmi di grafica al computer. Les objets fractals, forn, hasard et dimension (1975) e The fractal geometry of nature (1982) sono le sue opere più importanti.

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Il successo fu travolgente. Oggi i frattali irrompono in ogni campo: suscitano

l'interesse degli scienziati e la curiosità del grande pubblico, al punto che oggetti frattali

si trovano comunemente in vendita.Mandelbrot sostiene che le proprietà frattali

da lui scoperte sono presenti quasi universalmente in natura. Secondo il suo

punto di vista, oggi condiviso da molti studiosi, i modelli storici della matematica e

della fisica usati per descrivere la Natura sono incompleti: la Natura è frattale!

Ha ricevuto numerosi riconoscimenti e premi per la sua opera.

Fu lo stesso Mandelbrot a creare il nome frattale nel 1975, quando, cercando per

l'appunto un nome che potesse descrivere i suoi

oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio,

s'imbatté nell'aggettivo fractus, che, per la sua

risonanza con parole come frattura e frazione, sembrò

adattissimo allo scopo.

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Definizioni simmetria

L'etimologia della parola 'simmetria' è greca. Essa proviene da

che significa letteralmente "stessa misura". Per estensione, se ne amplia il significato ad espressioni del tipo 'equilibrio fra parti', 'armonia di proporzioni' e simili. Per i greci, infatti, la simmetria indicava un intimo ed armonico rapporto di proporzioni e di 'ritmi' dell'opera d'arte. Il termine veniva usato soprattutto in architettura per definire i rapporti che esprimevano le proporzioni numeriche che dovevano intercorrere fra i vari elementi architettonici di una composizione o di una struttura.

Simmetria centrale

Simmetria assiale

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C'erano sempre stati sul pianeta del piccolo principe dei fiori molto semplici, ornati di una sola raggiera di petali, che non tenevano posto e non disturbavano nessuno.

Apparivano un mattino nell'erba e si spegnevano la sera. Ma questo era spuntato un giorno, da un seme venuto chissà da dove, e il piccolo principe aveva sorvegliato da vicino questo ramoscello che non assomigliava a nessun altro ramoscello.Poteva essere una nuova specie di baobab. Ma l'arbusto cessò presto di crescere e cominciò a preparare un fiore.

"Non ho paura dei leopardi, ma ho orrore delle correnti d'aria... Non avresti per caso un paravento? Alla sera mi metterai al riparo sotto a una campana di vetro. Fa molto freddo qui da te... Da dove vengo io..."Ma si era interrotto.Era venuto sotto forma di seme.Non poteva conoscere nulla degli altri mondi.Umiliato, aveva tossito un paio di volte per mettere il piccolo principe dalla parte del torto."E questo paravento?""Andavo a cercarlo, ma tu mi parlavi!"Allora aveva forzato la sua tosse per fargli venire dei rimorsi. Così il piccolo principe, nonostante tutta la buona volontà del suo amore, aveva cominciato a dubitare di lui."Avrei dovuto non ascoltarlo" mi confidò un giorno "non bisogna mi ascoltare i fiori".Basta guardarli e respirarli. Il mio, profumava il mio pianeta, ma non sapevo rallegrarmene. I fiori sono così contraddittori!Ma ero troppo giovane per saperlo amare.“

"Beh, a fare i fiori belli, non c'è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare. Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai? "" Cosa ?" " Ad esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...l'uomo! ""Mai stata neve né api sul mio pianeta "Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore." Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello".Così l'aveva ben presto tormentato con la sua vanità ombrosa. Per esempio, un giorno, parlando delle sue quattro spine, gli aveva detto:

Il piccolo principe

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http://digilander.libero.it/initlabor/musica-simmetria/classi-di-simmetrie.htm

"Beh, a fare i fiori belli, non c'è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare. Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai? "" Cosa ?" " Ad esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...l'uomo! ""Mai stata neve né api sul mio pianeta "Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore." Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello".Così l'aveva ben presto tormentato con la sua vanità ombrosa. Per esempio, un giorno, parlando delle sue quattro spine, gli aveva detto:"Possono venire i leopardi, con i loro artigli!""Non ci sono leopardi sul mio pianeta " aveva obiettato il piccolo principe "e poi i leopardi non mangiano l'erba"."Io non sono un'erba", aveva dolcemente risposto il fiore."Scusami".

"Non ho paura dei leopardi, ma ho orrore delle correnti d'aria... Non avresti per caso un paravento? Alla sera mi metterai al riparo sotto a una campana di vetro. Fa molto freddo qui da te... Da dove vengo io..."Ma si era interrotto.Era venuto sotto forma di seme.Non poteva conoscere nulla degli altri mondi.Umiliato, aveva tossito un paio di volte per mettere il piccolo principe dalla parte del torto."E questo paravento?“

"Non ho paura dei leopardi, ma ho orrore delle correnti d'aria... Non avresti per caso un paravento? Alla sera mi metterai al riparo sotto a una campana di vetro. Fa molto freddo qui da te... Da dove vengo io..."Ma si era interrotto.Era venuto sotto forma di seme.Non poteva conoscere nulla degli altri mondi.Umiliato, aveva tossito un paio di volte per mettere il piccolo principe dalla parte del torto."E questo paravento?""Andavo a cercarlo, ma tu mi parlavi!"Allora aveva forzato la sua tosse per fargli venire dei rimorsi. Così il piccolo principe, nonostante tutta la buona volontà del suo amore, aveva cominciato a dubitare di lui."Avrei dovuto non ascoltarlo" mi confidò un giorno "non bisogna mi ascoltare i fiori".Basta guardarli e respirarli. Il mio, profumava il mio pianeta, ma non sapevo rallegrarmene. I fiori sono così contraddittori!Ma ero troppo giovane per saperlo amare."

da “Il Piccolo Principe”

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http://digilander.libero.it/initlabor/musica-simmetria/classi-di-simmetrie.htm

Mitosi"Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico..."

“Tutto in natura nasce da una simmetria, tante cose sono simmetriche, non lo sai?”

Nell’affermazione della rosa c’è più verità di quanto si possa immaginare. Il fiore, sebbene applichi un sillogismo mirato a esaltare se stesso, giunge ingenuamente ad una affermazione quanto mai veritiera.Infatti, seguendo il discorso, il ragionamento della rosa è il seguente: se la natura è bella e la simmetria è bella allora la natura è simmetrica e tutto ciò che nasce dalla natura nasce quindi dalla simmetria ed è bello.

Il pensiero è espresso senza conoscere le leggi biologiche che governano il processo di mitosi che (per quanto se ne sa fino ad oggi) sta alla base della riproduzione cellulare nella creazione di un individuo (e quindi “da vita” ad esso), ma può essere considerato una propria interpretazione del mistero della vita come un qualcosa che anela alla simmetria.

Viene riportato l’intervento di Pier Carlo Marchisio, professore ordinario di istologia all’Università San Raffaele di Milano, che ci illustra come sia fondamentale il concetto di simmetria in quel processo che si ripete da milioni di anni che è la mitosi cellulare, e che ci appare, nonostante i numerosi studi a riguardo, ancora estremamente ignoto in certi passaggi fondamentali. Esempi di simmetria biologica si trovano anche altrove in natura, ma la mitosi e la polarità embrionale sono secondo chi scrive i paradigmi di fenomeni che si sono affermati e mantenuti nel corso dell'evoluzione in virtù dell'efficienza funzionale che hanno garantito.

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Ne è prova la straordinaria stabilità evolutiva delle molecole implicate nel fenomeno della rnitosi. Lo stesso vale per la polarità embrionale. Inoltre se si rimuove anche uno solo di questi geni fondamentali le cellule muoiono perché diventano incapaci di dividersi. Un esempio recente è costituito proprio dalla rimozione del gene di survivina che è così indispensabile e funzionalmente conservato da bloccare lo sviluppo embrionale proprio all'inizio prima che si formi quella simmetria di divisione che abbiamo visto essere indispensabile.

Sulla non rinunciabilità della simmetria embrionale si è già detto. Ma quale è l' origine della simmetria biologica? Non deriva certo dalla simmetria delle molecole di base come il DNA o le proteine. Anzi è proprio la fondamentale dissimmetria dei mattoni di costruzione del mondo biologico a garantire quella variabilità di forme tridimensionali indispensabile alla genesi e al mantenimento della complessità naturale.

Tuttavia la simmetria si genera proprio dall'interazione di strutture dotate di forme altamente variabili e prevalentemente quando si richiede un controllo ordinato, rapido e inflessibilmente preciso nel riassortimento di strutture biologiche complesse. Manca ancora la certezza su quale sia il direttore che dirige l'orchestra della simmetria dove strumenti e suoni sono complessi e variabili."

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Per questa ragione si sviluppò una struttura simmetrica nota come fuso mitotico che, ancora oggi, è sostanzialmente invariata in tutte le cellule dotate di nucleo: da quelle del lievito a quelle umane. Il fuso mitotico, il più affascinante esempio di simmetria biologica, è una macchina molecolare regolata in maniera perfetta con il compito fondamentale di garantire la suddivisione fedele dei geni da una cellula madre a due cellule figlie.

La complessità del genoma e quindi il numero dei geni nelle cellule eucariote sono diventati tali da richiedere la compressione del materiale genetico in cromosomi che costituiscono una sorta di bagaglio da viaggio indispensabile per garantire la corretta ridistribuzione.

Il fuso, quando si forma in maniera quasi istantanea alla fine della metafase mitotica, appare come un duplice cono con le basi attaccate. Agli apici dei coni si trovano i corpi polari che altro non sono che i centrioli con la loro nuvola di proteine pericentriolari.Tra i corpi polari passa l' asse di simmetria del fuso che attraversa, al centro, le basi del doppio cono. Proprio su queste basi si vanno a porre i cromosomi nella fase successiva detta metafase. Il concetto di simmetria del fuso si basa quindi sull'asse ideale tra i corpi polari. Questi, come si è detto, sono già presenti prima della mitosi nel centrosoma e non è difficile pensare che l'asse di simmetria mitotico sia già potenzialmente definito prima che la cellula si divida e che il meccanismo che porta alla separazione dei corpi polari sia precostituito nel centrosoma.

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Sappiamo, perché riusciamo a descrivere il fenomeno, che i centrioli si separano e vanno a trovare la loro posizione già nella profase, il momento più precoce della mitosi. Purtroppo poco si sa del meccanismo di controllo responsabile della definizione dell' asse di simmetria mitotico. A tutti i biologi interessa sapere di più del fascino sottile del centrosoma ma dopo più di cent'anni dalla sua scoperta, la nostra conoscenza è finora poco più che descrittiva. Siamo giunti alla metafase senza sapere ancora che cos'è che forma il fuso e come lavori la struttura simmetrica.

Il fuso è un sistema complesso di «cavi» formati di microtubuli, strutture filamentose polimeriche responsabili della definizione della forma e di molti movimenti cellulari. Tre sistemi di cavi definiscono la simmetria. Alcuni vanno diritti tra un polo e l'altro, altri vanno dal polo ai cromosomi, altri ancora si irradiano dal polo in tutte le direzioni fino a connettersi con la membrana cellulare. Questa struttura è destinata a staccare i cromosomi omologhi gli uni dagli altri e a trascinarli in numero identico ai poli opposti. Il risultato è di avere due copie identiche del genoma in due cellule figlie. Prima che si verifichi l'evento cruciale della divisione del genoma, che avverrà rapidamente nella successiva anafase, il fuso mitotico si prende una pausa di controllo; si tratta del fenomeno più critico e delicato dell'intera operazione. Esso verifica che ciascun cromosoma sia perfettamente allineato e collegato ai microtubuli e solo quando questa operazione si è completata si ha la rapida separazione di due cellule geneticamente identiche.

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In questa macchina simmetrica (molto più complessa di quanto non si sia detto), tutto procede in modo controllato nella stragrande maggioranza delle cellule. In qualcuna, però, qualcosa si inceppa.Un cavo non perfettamente collegato a un cromosoma può alterare la simmetria; se ciò avviene la macchina della mitosi si blocca e, in luogo della divisione, si attiva un processo che porta ambedue le cellule malformate a morte. La natura nel lungo divenire dell'evoluzione, ha preferito adottare la strategia di eliminare due sole cellule dell'intera popolazione piuttosto di correre il rischio di alterare la simmetria del sistema e di propagare alle altre cellule copie abnormi del patrimonio genetico.Una strategia che ricorda quella della Rupe Tarpea! Ora possiamo dire di conoscere almeno uno di questi meccanismi di controllo che è anche il primo istigatore al suicidio. Esso è basato su una proteina, la survivina, che si va a porre sul fuso mitotico e, funge da guardiana severa della fedeltà di distribuzione del genoma ma è anche capace, quando occorra, di indurre le cellule a morte con inflessibile rigore. Se si impedisce questa funzione di controllo della survivina il primo risultato è la perdita della simmetria del fuso e la formazione di mitosi multipolari in cellule destinate a morte sicura. Talvolta però la survivina, prodotta in maggiore quantità e forse alterata, viene meno alla propria funzione di controllo, lasciando sopravvivere cellule abnormi, o tumorali. Il genoma di tali cellule si altera rapidamente alimentando la progressione neoplastica attraverso un fenomeno conosciuto come aneuploidia. L'alterazione della simmetria naturale del fuso mitotico è quindi alla radice di un fenomeno patologico multifattoriale come il cancro. Il mantenimento della simmetria del fuso mitotico si basa sull'interazione di molte decine e, forse, centinaia di proteine diverse.

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Molte di queste sono conosciute in dettaglio, non solo per la loro struttura primaria e quella dei geni che le codificano; inoltre, di molte si conosce la struttura tridimensionale. La loro conservazione evolutiva è stupefacente tanto che scoprire forma e funzione di una nuova proteina di controllo mitotico in un eucariote primitivo come il lievito fa immediatamente presagire l'identificazione del gene omologo nei mammiferi e nell'uomo. Si ritiene che, alla base di tutto ciò, stia il controllo della simmetria strutturale del fuso.La mitosi non è l'unico esempio di rigorosa simmetria nel mondo biologico; è solo quello più antico e spettacolare. Le fasi precoci dello sviluppo embrionale dei cordati sono un esempio altrettanto affascinante di simmetria che ha come risultato lo sviluppo di un individuo sostanzialmente formato da due metà uguali. L'uomo non fa eccezione. Tutto comincia nei primi giorni dello sviluppo embrionale che si iniziano con la proliferazione tumultuosa dell'uovo , fecondato. A un certo punto, preciso nel tempo, alcune cellule, questa volta ben definite anche nello spazio, diventano diverse dalle altre e cominciano a produrre molecole capaci di influenzare il destino delle cellule circostanti. Il risultato è che si forma una struttura allungata chiamata notocorda che rappresenta il futuro asse di simmetria bilaterale dell'embrione e successivamente dell'adulto. Dietro la definizione del concetto di notocorda e di simmetria bilaterale sta un secolo di ricerca affascinante. Fu l'embriologo tedesco Hans Spemann, con Lide Mangold, a dimostrare per la prima volta, intorno alla metà degli anni venti, l'esistenza di quelle cellule demiurghe in grado di produrre un fattore in grado di generare simmetria. Lo chiamò organizzatore primario e per questo prese il premio Nobel nel 1937.

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La scoperta dell'organizzatore primario diede origine a un vero fiume di ricerche, che ancora oggi generano nuova conoscenza. Ma perché l'organizzatore è così importante? Soprattutto per il fatto di essere un generatore di simmetria. Se per esempio si isolano cellule che lo producono in un embrione di rana o di pollo, e le si trapianta altrove nello stesso embrione rispettandone l'orientamento si forma un secondo embrione parallelo al primo. Se si varia l'orientamento delle cellule trapiantate l'asse di simmetria si modifica e produce un embrione con asse angolato. Tutte le combinazioni sono possibili fino a generare embrioni con parti in comune o perfino con le teste orientate in direzioni opposte. Ma è la notocorda, figlia primogenita dell' organizzatore primario, a portare con se il massimo potenziale di simmetria.

Alla notocorda spetta essenzialmente la guida dell' organizzazione del sistema nervoso. Essa assolve questo compito non solo creando una traccia ideale al primo sviluppo del tubo neurale ma anche determinando in esso il destino di quelli elementi cellulari che sono i precursori di tutti i nostri neuroni. Lo fa mediante la produzione di fattori specifici di controllo genetico che sono a loro volta spazialmente e temporalmente coordinati. Esempi di simmetria biologica si trovano anche altrove in natura, ma la mitosi e la polarità embrionale sono secondo chi scrive i paradigmi di fenomeni che si sono affermati e mantenuti nel corso dell'evoluzione in virtù dell'efficienza funzionale che hanno garantito. Ne è prova la straordinaria stabilità evolutiva delle molecole implicate nel fenomeno della rnitosi. Lo stesso vale per la polarità embrionale. Inoltre se si rimuove anche uno solo di questi geni fondamentali le cellule muoiono perché diventano incapaci di dividersi. Un esempio recente è costituito proprio dalla rimozione del gene di survivina che è così indispensabile e funzionalmente conservato da bloccare lo sviluppo embrionale proprio all'inizio prima che si formi quella simmetria di divisione che abbiamo visto essere indispensabile.

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Benoit Mandelbrot in una famosa intervista, alla domanda : “A cosa servono i frattali?” ripose “ I frattali servono a descrivere le nuvole”Le nuvole sono un esempio significativo di frattale. Quelle che noi proponiamo sono facili da realizzare e, secondo noi, anche belle da vedere.

Nuvole frattali

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Primo passoSi parte da un quadrilatero, ad esempio un parallelogramma, e si calcolano le coordinate del punto di incontro delle diagonali.Indicati con

A(x1,y1); B(x2,y2); C(x3,y3); D(x4,y4);

dai quattro vertici del parallelogramma, si ottengono con facilità le coordinate del punto di incontro delle diagonali:

O [(x1+x2+x3+x4)/4 ; (y1+y2+y3+y4)/4) ]

Disegneremo il punto O sullo schermo.

Secondo passo

M [ (x1+x4)/2, (y1+y4)/2] il lato AD;

e in P [ (x2+x3)/2, (y2+y3)/2] il lato BC

Dal punto O condurre la parallela a CD che incontra in

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Dal punto O condurre la parallela ad AD che incontra in

Terzo passoN [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2] il lato AB;

e in Q [(x3+x4)/2, (y3+y4)/2] il lato CD.

Ora il parallelogramma ABCD risulta diviso in quattro parallelogrammi. In ognuno di essi potremo ripetere il procedimento precedente.

Osserviamo come si evolve il nostro bozzetto di nuvola passo per passo premendo su successivo nella colonna a fianco. Come si può osservare, i punti si dispongono in modo troppo ordinato per poter formare una nuvola.

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Aggiungiamo allora qualche elemento di casualità. Potremo spostare i punti a destra o a sinistra, in alto o in basso, di una piccola percentuale rispetto alla loro posizione standard.

Osserviamo come si evolve il nostro bozzetto di nuvola passo per passo premendo su successivo nella colonna a fianco dopo che abbiamo aggiunto qualche elemento di casualità. All'inizio i punti sono disposti in modo simile al precedente, ma già dalla terza iterazione accennano a formare proprio una nuvola.

Ora pensiamo ad aggiungere il colore, per ottenere, ad esempio, una nuvola come quella della figura a lato. Per prima cosa conviene scegliere una tonalità di base come rosa o grigio. L'idea di tridimensionalità si ottiene aggiungendo delle chiazze di colore diverso ma sempre abbastanza in scala. Nel nostro caso, inoltre, la nuvola si schiarisce gradatamente andando da in alto a sinistra verso il basso a destra.

Quarto passo

Quinto passo

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...All'improvviso gli parve di essere ritornato ad Harvard, davanti ai suoi studenti del corso "il simbolismo nell'arte" e di scrivere alla lavagna il suo numero preferito

1,618 Langdon si era voltato verso la sua aula piena di studenti ansiosi. "Chi mi sa dire che numero è?" Un diplomato in matematica, nelle ultime file, aveva alzato la mano. "Il numero phi ". Lo pronunciava "fi"."Bene, Stettner" aveva commentato Langdon. "Signori, vi presento phi". "Da non confondere con il pi greco" aveva commentato Stettner, sorridendo "come diciamo noi matematici, il phi è di un'acca più interessante del pi." Langdon aveva riso, ma nessun altro aveva capito la battuta.Stettner era tornato a sedere deluso."Questo numero phi" aveva continuato Langdon, "uno virgola seicentodiciotto, è un numero molto importante per l'arte. chi mi sa dire il perché?"Stettner aveva cercato di riabilitarsi. " Perché è bello?". Tutti avevano riso. "A dire il vero" -aveva commentato Langdon , -" Stettner ha di nuovo ragione. In genere , phi è considerato il più bel numero dell'universo." Le risate erano cessate e subito Stettner aveva sorriso.

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Mentre caricava il proiettore delle diapositive, Langdon aveva spiegato che il numero "phi" dalla sequenza di Fibonacci, una progressione famosa non solo perché la somma di due termini adiacenti era uguale al termine successivo, ma perché il quoziente di due numeri adiacenti tendeva sorprendentemente al valore

1, 618, phi!Nonostante la bizzarra origine matematica del phi, aveva spiegato Langdon, il suo più sorprendente aspetto era il suo ruolo di mattone fondamentale della natura. Piante, animali e persino uomini avevano misure che rispettavano esattamente il rapporto tra phi e uno. "L'onnipresenza del phi in natura" aveva detto Langdon mentre spegneva la luce, "va chiaramente al di là delle coincidenze e perciò gli antichi pensavano che fosse stato stabilito dal Creatore dell'universo. I primi scienziati la chiamarono

" proporzione divina" ." Un momento," aveva detto una giovane donna seduta in prima fila. "Io sono diplomata in biologia e non ho mai visto questa divina proporzione in natura.“"No?" Langdon aveva sorriso. "Non ha mai studiato il rapporto tra femmine e maschi in un alveare?""certo, le femmine sono sempre in numero superiore ai maschi."

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"Esatto. E sa che in qualsiasi alveare si prende il numero delle femmine e lo si divide per quello dei maschi di ottiene sempre lo stesso numero?""Davvero?""Si, Il numero del phi."La ragazza era rimasta a bocca aperta. " non è possibile!" - " certo che lo è!" aveva ribattuto Langdon, sorridendo, e aveva proiettato la diapositiva di una conchiglia. "riconosce questa?" " E' un nautilus", aveva detto la diplomata in biologia " un mollusco cefalopodo che pompa gas nelle camere della sua conchiglia per regolare la spinta di galleggiamento." - " Esatto: E mi sa dire il rapporto tra il diametro di una spira e quello della successiva?“La ragazza aveva guardato con aria incerta le curve concentriche della spirale del nautilus. Langdon aveva annuito. " phi, la proporzione divina, uno virgola seicentodiciotto a uno." La ragazza l'aveva guardato con aria stupita. Langdon era passato alla successiva diapositiva, l'ingrandimento dei semi di un girasole. " i semi di girasole crescono secondo spirali opposte. chi sa dire il rapporto tra una rotazione e la successiva?"" il numero phi?" avevano chiesto tutti."Tombola!"

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Langdon aveva continuato a proiettare altre diapositive, ma assai più in fretta: una pigna e la sua suddivisione secondo due serie di spirali, la disposizione delle foglie sui rami, i segmenti di alcuni insetti. Tutti rispettavano in modo stupefacente la proporzione divina."Incredibile" aveva esclamato qualcuno."D'accordo," - aveva commentato qualcun altro "ma cosa c'entra con l'arte?" "Ah,!"aveva esclamato Langdon," sono lieto che l'abbia chiesto." Proiettò un'altra diapositiva: una pergamena ingiallita in cui si scorgeva il famoso nudo maschile di Leonardo da Vinci, l'uomo vitruviano, così chiamato dal nome di Marco Vitruvio, il grande architetto romano che aveva tessuto le lodi della proporzione divina nel suo libro De Architectura." Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano. Leonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito di elementi che stanno tra di loro in rapporto di phi."Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa. "Non mi credete?" li aveva sfidati Langdon , " la prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro."

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Un paio di giocatori di football avevano riso di lui. " Non soltanto voi scimmioni insicuri" aveva continuato Langdon. "Tutti , maschi e femmine.Fate la prova. Misurate la vostra altezza poi dividetela per la distanza da terra del vostro ombelico. Indovinate che numero si ottiene.""non phi!" aveva detto uno degli "scimmioni". "Proprio phi, invece" - aveva risposto Langdon. " uno virgola seicentodiciotto. Volete un altro esempio? Misurate la distanza dalla spalla alla punta delle dita e dividetela per la distanza dal gomito alla punta delle dita. Di nuovo phi. Altro esempio? Dal fianco al pavimento diviso per la distanza dal ginocchio al pavimento. di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le sezioni della colonna vertebrale, Ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è il tributo ambulante alla proporzione divina." (...)

tratto da:Dan Brown "IL CODICE DA VINCI" (The da Vinci Code)pubblicato in Italia da Arnoldo Mondadori Editore, traduzione italiana di Riccardo Valla

Simmetrie nelle leggi fisiche La simmetria da sempre ha affascinato l’uomo. Non saprei dire perché, ma forse è per la curiosità che genera. E’ strano, infatti, come dal caos possa avere origine una armonia geometrica così particolare. Ma la simmetria geometrica non esiste solo in natura, infatti possono essere considerare simmetriche anche molte leggi fisiche che regolano lo sviluppo dei fenomeni.

Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955)

Richard Phillips Feynman, 1918- 1988

Hermann Weyl, matematico tedesco, definì la simmetria molto chiaramente: “Una cosa è simmetrica se è possibile cambiare in essa qualche cosa lasciandone immutato l’aspetto” ed è proprio tramite questa definizione che si può dimostrare la simmetria di molte leggi. Infatti non è difficile comprendere come da una singola formula, modificando opportunamente dei parametri o delle condizioni, si possa ottenere il medesimo.

Un facile esempio sono le equazioni e le loro proprietà. Sommando o sottraendo ad ambo i membri una uguale quantità, secondo i principi d’uguaglianza, l’equazione non cambia, rivelandosi simmetrica.

A riguardo Richard Phillips Feynman affermò che “in certe formule, ci sono delle cose che possiamo fare ad esse, o al nostro modo di rappresentarle, che non produco nessuna differenza e lasciano tutto invariato nei suoi effetti”. E’ proprio sulle dimostrazione compiute da Feynman, tratte dagli appunti delle sue lezioni, che ora vi presenteremo vari esempi di simmetrie nelle leggi fisiche.

Ma come può essere simmetrica una legge fisica ?

Traslazione spaziale Rotazione nello spazio Home della presentazione

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E’ però fondamentale traslare anche tutto quello che può influenzare l’esperimento, poiché non è difficile comprendere che se ciò non avviene vi sarà un fattore che influenzerà in modo differente il fenomeno analizzato dall’esperimento, dando origine ad un risultato diverso.

Traslazione spaziale

Questa conclusione però, come sottolinea Feynman, non deve portare necessariamente a credere che se un esperimento non viene verificato in un altro luogo (secondo il metodo sperimentale, che prevede la verificazione della validità di una teoria solo se l’esperimento dimostrativo può essere riproducibile

Quindi, tenendo presente che bisogna traslare tutto ciò che influenza l’esperimento o il fenomeno, la traslazione spaziale si può considerare simmetrica.

Il primo esempio di simmetria che il fisico prende in considerazione è la traslazione spaziale. Se noi facciamo un qualunque esperimento con certi oggetti e poi andiamo a ricostruire la stessa situazione in un altro luogo con oggetti simili, cioè semplicemente traslati nello spazio, nel secondo esperimento accadranno le stesse cose che succedono nel primo.

perché non sono stati traslati abbastanza oggetti, ma dovrebbe evidenziare che “in natura è possibile traslare abbastanza roba in modo che essa si comporta nello stesso modo”.

ovunque, con i dovuti accorgimenti) è

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Se, per esempio, prendiamo in considerazione un moto astronomico, esplicabile in una rotazione di un pianeta intorno al proprio sole, risulta indifferente se facciamo cominciare questo fenomeno prima o dopo, poiché i risultati saranno esattamente gli stessi. Questo perché le leggi che regolano il moto non si interessano dell’istante di partenza rispetto a tutta l’espansione temporale. Infatti osservano solo dell’arco di tempo preso in considerazione, che per l’omogeneità del tempo stesso, sarà esattamente uguale sia prima che dopo.

Traslazione temporale

La traslazione temporale potrebbe essere facilmente riletta come simmetria basandosi sui criteri della dimostrazione della traslazione spaziale, ma come afferma Feynman “è forse meglio dire che uno spostamento nel tempo non ha nessuna differenza”.

Quindi si potrebbe dire che la traslazione temporale è una legge simmetrica, ma non abbiamo la certezza totale che la “distanza” temporale assoluta non influisca sulle forze. Da quando scrisse questi appunti Feynman, le nostre conoscenze a riguardo non sono aumentate, quindi si può ancora affermare che un ritardo nel tempo non fa nessuna differenza.

Sembra, però, che il cosmo abbia avuto un inizio preciso e questo valorizzerebbe la teoria dell’influenza del tempo sui fenomeni fisici. Ma riguardo alle nostre considerazioni porrebbe solo ad una condizione analoga a quella della traslazione spaziale: infatti si potrebbe comunque dire che le leggi non variano nel tempo se si trasla l’espansione di tutto l’universo insieme.

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Ma più che la dimostrazione fisica del fenomeno, come sottolinea Feynman, è interessante la sua descrizione matematica. Mettiamo che una persona si trovi a guardare un punto fisso e che un'altra persona, alla sinistra della prima, stia guardando nello stesso istante lo stesso punto. Ora la prima persona individuerà matematicamente le coordinate del punto con la variabile x per la distanza davanti-dietro e con la variabile y per la distanza destra-sinistra. Allo stesso modo la seconda persona definirà le coordinate del punto con le variabili x’ e y’.

Un altro esempio di simmetria è la rotazione nello spazio attorno ad un punto fisso. Infatti, posta la rotazione di tutto ciò che può influenzare il fenomeno, se costruisco un apparecchiatura e poi ne costruisco un'altra esattamente identica ma ruotata attorno ad un punto fisso nello spazio, rileverò che i due corpi si muovono esattamente allo stesso modo.

Chiaramente i punti di vista delle due persone sono differenti, ma confrontando i due risultati, ci si accorge facilmente che la variabile x è una “mescolanza” delle variabili x’ e y’ e che la variabile y risulta essere a sua volta una “mescolanza” delle variabili y’ e x’.

Quindi, generalizzando la dimostrazione, si può concludere che la rotazione per un punto fisso è perfettamente simmetrica.

Rotazione nello spazio

Così si arriva a dimostrare che vi sono delle relazione tra le quattro coordinate che sostituite nelle equazioni non ne modifica la forma, ma permettono di ruotare il sistema di riferimento indifferentemente nelle due posizioni.

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Simmetrie e invarianti

Traslazione Spaziale

Traslazione Temporale

Rotazione nello Spazio Momento angolare totale del sistema

Simmetrie nelle formule Principi di coservazione

Conservazione dell’energia totale del sistema

Quantità di moto totale del sistena

Ad ogni principio di conservazione di una grandezza fisica è associata una simmetria nella formula che la descrive; in particolare alla conservazione di una grandezza scalare Energia si associa una simmetria per traslazione che conserva lo scalare tempo mentre alla conservazione di una grandezza vettoriale (quantità di moto) si associa una simmetria che conserva un vettore (vettore spostamento).

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MOTO BROWNIANO

Nel 1827, mentre osservava al microscopio il polline di alcune piante, il botanico inglese Robert Brown si era accorto che i piccolissimi granuli di polline si muovevano nella goccia d'acqua usata per preparare il vetrino. I granuli si muovevano continuamente, a scatti e in modo del tutto imprevedibile.

Brown aveva creduto che il polline si muovesse perché era ancora “ vivo”; lo aveva fatto bollire a lungo in modo da “uccidere” qualunque microrganismo, ma anche dopo la cottura i granuli nell'acqua del vetrino continuavano a muoversi.

Si era allora procurato un cristallo di quarzo nel quale, al momento della sua formazione, cioè milioni di anni prima, era rimasta imprigionata qualche goccia di acqua. Certamente quell'acqua non conteneva forme viventi!

Osservando al microscopio, aveva visto che anche le piccolissime particelle di quarzo sospese nell'acqua......si muovevano!

La causa di questo strano movimento era rimasto un mistero per tutto il XVIII secolo.

Abbiamo studiato in laboratorio questo interessante fenomeno chiamato moto browniano che puoi simulare cliccando qui Simulazione del Moto Browniano

Ma cos’è il moto browniano?

Cosa c’entra con la materia e il modello della teoria cinetica dei gas La spiegazione di Einstein

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<<Una sorprendente manifestazione del moto di particelle nei liquidi si ebbe, per la prima volta, con il cosiddetto moto browniano, un importante fenomeno che, senza la teoria cinetica della materia, rimarrebbe assolutamente misterioso ed incomprensibile. Esso fu osservato per la prima volta dal botanico inglese Brown e venne spiegato ottanta anni dopo, al principio del secolo scorso. L’unico apparecchio occorrente per studiare il moto browniano è un microscopio, anche non molto buono.

Brown stava lavorando con granuli di polline di talune piante, ossia “particelle o granuli d’insolite dimensioni, la cui lunghezza variava fra un quattromilionesimo ed un cinquemilionesimo, circa, di pollice(circa da cinque a sei millesimi di millimetro, ndr)”.

Egli continua: “Esaminando la forma di queste particelle nell’acqua mi accorsi che molte di esse si trovavano in moto[..] Questi movimenti erano tali da convincermi, dopo ripetute osservazioni, che essi non potevano essere causati né da correnti nel fluido, né dalla sua graduale evaporazione, ma che dovevano appartenere alle particelle stesse”. Ciò che Brown osservava era l’incessante agitazione dei granuli sospesi in acqua, visibile al microscopio. È uno spettacolo impressionante!

La scelta di speciali piante è forse essenziale per il fenomeno? Brown rispose all’interrogativo ripetendo l’esperimento con i pollini di una grande varietà di piante e costatò che tutti i granuli sospesi in acqua esibivano lo stesso moto, purché fossero abbastanza piccoli. Egli riscontrò inoltre la stessa specie d’incessante ed irregolare movimento con minutissime particelle di sostanze non soltanto organiche ma anche inorganiche. Il fenomeno si manifestò perfino con un frammento di sfinge finemente polverizzato!

Come può spiegarsi questo movimento? Esso sembra in contraddizione con tutta l’esperienza anteriore. La disanima delle successive posizioni occupate da una particella ogni trenta secondi circa,rivela la fantastica forma del suo percorso. Tuttavia la cosa più stupefacente è il carattere manifestamente eterno del movimento. Un pendolo oscillante immerso nell’acqua si arresta ben presto se non è soccorso da una forza esterna. L’esistenza di un moto che non s’indebolisce mai, sembra contrastare con ogni esperienza. Questo enigma venne brillantemente chiarito dalla teoria cinetica della materia.>>

A. Einstein, L. Infeld, L’Evoluzione della Fisica

Vediamo cosa ci dice a proposito Einstein

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Proponiamo ora la sua interpretazione di questo fenomeno

<<Guardando nell’acqua, anche con i più potenti microscopi, non riusciamo a distinguere né le molecole, né il loro moto così come viene rappresentato nella teoria cinetica della materia. Dobbiamo inferirne che se la teoria considerante l’acqua come un aggregato di particelle è corretta, le dimensioni delle particelle stesse debbono essere inferiori ai limiti di visibilità dei migliori microscopi. Continuiamo ciò malgrado ad appoggiarci alla teoria cinetica e ad ammettere che essa ci offra una raffigurazione coerente della realtà. Le particelle browniane, visibili al microscopio, vengono bombardate da quelle molto più piccole di cui si compone l’acqua. Il movimento browniano si verifica sempre che le particelle bombardate siano abbastanza piccole. Il movimento si produce perché il bombardamento non è uniforme su tutti i lati e non può venir compensato a motivo del suo carattere irregolare e casuale. Il moto osservabile è quindi il risultato di un moto invisibile. Il comportamento delle particelle immerse rispecchia, fino a un certo punto, quello delle molecole d’acqua e ne costituisce, per così dire, un ingrandimento tale da renderlo visibile al microscopio. Il carattere irregolare e accidentale delle particelle browniane rispecchia un’analoga irregolarità nel percorso delle particelle più piccole costituenti la materia nel liquido. Perciò plausibile che uno studio quantitativo del movimento browniano ci offra una più profonda comprensione della teoria cinetica della materia. È chiaro che il movimento browniano visibile dipende dalla dimensione delle molecole bombardanti. Il movimento browniano non esisterebbe affatto se le molecole bombardanti non possedessero una certa dose di energia, o in altre parole se non possedessero massa e velocità. Non fa perciò meraviglia che lo studio del movimento browniano conduca alla determinazione della massa di una molecola>>

A. Einstein, L. Infeld, L’Evoluzione della Fisica

Se vuoi approfondire questo argomento clicca qui legge del moto browniano

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Solo lo stupore conosce (Bersanelli - Gargantini)

Come può aver concepito Leucippo questa audace idea? Quando l’acqua gela e diventa ghiaccio-qualcosa all’apparenza interamente diverso dall’acqua-perché la fusione del ghiaccio dà origine a qualcosa che non sembra distinguersi dall’acqua originaria? Leucippo è perplesso e cerca una “spiegazione”. Giunge alla conclusione che in queste transizioni “l’essenza” della cosa non è cambiata affatto. Può darsi che la cosa consista di particelle immutabili e che il cambiamento sia solo un cambiamento nella loro disposizione spaziale. Non potrebbe essere vero per tutti gli oggetti materiali che si manifestano ripetutamente con proprietà quasi identiche?

Questa idea non è andata del tutto perduta durante il lungo letargo del pensiero occidentale. Duemila anni dopo Leucippo, Bernoulli si chiede perché un gas esercita una pressione sulle pareti di un contenitore. Si potrebbe “spiegare” questo fenomeno con la mutua repulsione delle parti del gas, nel senso della meccanica newtoniana? Questa ipotesi sembra assurda, poiché la pressione del gas dipende dalla temperatura, a parità delle altre condizioni. Supporre che le forze newtoniane di interazione dipendono dalla temperatura è contrario allo spirito della meccanica newtoniana. Dato che a Bernoulli è nota la concezione atomista, è portato a concludere che gli atomi (o le molecole) collidono con le pareti dei recipiente e così facendo esercitano una pressione. Dopo tutto, si deve supporre che gli atomi siano in movimento: in quale altro modo si potrebbe spiegare la variazione di temperatura dei gas?

Una semplice considerazione meccanica dimostra che questa pressione che dipende soltanto dall’energia cinetica delle particelle e dalla loro densità nello spazio. Questo avrebbe dovuto far concludere ai fisici di quel tempo che il calore consiste nel moto casuale degli atomi. Se essi avessero tenuto questa considerazione nel debito conto, lo sviluppo della teoria del calore- in particolare la scoperta dell’equivalenza del calore e dell’energia meccanica- sarebbe stato notevolmente facilitato.

Da “Sulla teoria generalizzata della gravitazione” di A. Einstein

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Abbiamo studiato in laboratorio (foto & filmati) il moto di agitazione termica molecolare che puoi simulare cliccando qui.

Il moto browniano è un esempio di moto di agitazione termica molecolare.

L’avvento della teoria atomica permise di dare un’interpretazione teorica microscopica delle leggi empiriche che descrivono il comportamento dei gas: il volume rappresenta lo spazio disponibile per il moto delle molecole; la pressione, che può essere misurata con un manometro fissato alla parete del contenitore, rappresenta la variazione media della quantità di moto subita dalle molecole quando entrano in collisione con le pareti e vengono di conseguenza riflesse; la temperatura è proporzionale all’energia cinetica media delle molecole, cioè al quadrato della loro velocità media.

La riduzione di queste grandezze macroscopiche alle variabili di posizione, velocità, quantità di moto ed energia cinetica delle molecole permette di studiare il comportamento dei gas in termini statistici, sulla base dei principi della meccanica classica.

La teoria che collega le proprietà dei gas alla meccanica classica prende il nome di cinetica dei gas: il volume è lo spazio occupato dal gas, la pressione è legata al numero di urti delle particelle del gas contro le pareti, la temperatura è una misura dell’energia cinetica media delle particelle.

Quando una massa di gas occupa un certo volume ad una data temperatura , la natura fissa in modo univoco la pressione; in altre parole, i parametri di stato di un sistema gassoso non sono tra loro indipendenti: noti due di essi, si può ricavare il terzo utilizzando una relazione del tipo f (V, p,t) = 0, la cui formula esplicita dipende dalle particolari proprietà della sostanza gassosa considerata.

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LEGGE DI BOYLE:

In una trasformazione isoterma (nella quale la temperatura del gas rimane costante) pressione e volume sono grandezze inversamente proporzionali:

pV = k p(Pa)

V(m3)

Rappresentando i dati nel piano di Clapeyron si ottiene un ramo di iperbole.

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ESPERIMENTO:

Poniamo il gas in un cilindro graduato sormontato da un pistone libero di scorrere senza attrito. Sul pistone poniamo un pesetto e, quando il pistone si è fermato, determiniamo il valore del volume.Dato che la sezione S è costante, per aumentare la pressione P, essendo P=F/S

basta aumentare la forza F, cioè il numero dei pesetti.

In effetti, mettendo sul pistone 2 e poi 3 pesetti, vediamo che il volume man mano diminuisce.

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PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC:

In una trasformazione isobara (trasformazione nella quale la pressione del gas rimane costante) le variazioni di temperatura e le corrispondenti variazioni di volume sono direttamente proporzionali.

Il valore k/V0 non è solo costante per il gas preso in esame, ma resta invariato per tutti i gas e si indica con α

La rappresentazione dell’isobara nel piano di Clapeyron è una retta parallela all’asse dei volumi

p(Pa)

V (m3)

isobara

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ESPERIMENTO:

Prendiamo in esame un cilindro con un volume V di gas e mettiamo su un pistone scorrevole senza attrito due pesetti, senza mai cambiarli, allo scopo di mantenere così costante la pressione. Se riscaldiamo allora il gas e di misuriamo ogni tanto temperatura t e volume V occupato, notiamo che all’aumentare della temperatura aumenta con proporzionalità diretta anche il volume.

Prima legge di Gay-Lussac: per vedere le formule

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SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC:

In una trasformazione isocora (trasformazione nella quale il volume del gas rimane costante) le variazioni di temperatura e le corrispondenti variazioni di pressione sono direttamente proporzionali.

Il valore k/p0 non è solo costante per il gas preso in esame, ma resta invariato per tutti i gas e si indica con α

La rappresentazione dell’isocora nel piano di Clapeyron è una retta parallela all’asse delle pressioni

p(Pa)

V (m3)

isocora

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ESPERIMENTO:

Dopo aver introdotto nel cilindro una certa quantità di gas, riscaldiamo il sistema, misurando regolarmente la temperatura e la pressione. Poiché il volume V deve restare invariato e il gas ovviamente tende ad espandersi, dobbiamo disporre sul pistone un numero di pesetti via via crescente.

Seconda legge di Gay-Lussac: per vedere le formule

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LA LEGGE DI DALTON:

La pressione esercitata da un miscuglio gassoso è pari alla somma delle pressioni parziali che ciascun gas eserciterebbe da solo occupando lo stesso volume del miscuglio.

+ =

Infine un breve approfondimento sui gas perfetti.

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Ma cosa c’entra il moto browniano con le simmetrie?

Il moto browniano può essere considerato un esempio di simmetria per due ragioni:

pur essendo un moto caotico, come abbiamo dimostrato, vi si può trovare un ordine determinato da semplici leggi, quindi rispecchia il perfetto ordine della natura che si manifesta in ogni fenomeno (moto perfettamente irregolare)

è l’espressione nel micro della meccanica newtoniana (come del resto la teoria cinetica dei gas), infatti il moto caotico delle particelle si può spiegare attraverso gli urti tra le particelle stesse e le molecole del fluido, secondo una legge deterministica

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Teoria cinetica dei gas: la spiegazione di Einstein

<<E’ forse possibile spiegare i fenomeni del calore in termini del moto di particelle interagenti con forze semplici? Prendiamo un recipiente contenente una certa massa di gas-aria, ad esempio- ad una certa temperatura. Comunicandole calore, innalziamo la temperatura ed accresciamo perciò l’energia del gas. Ma qual è il legame fra questo calore e il moto? Il calore deve essere energia meccanica se tutti i problemi hanno da essere d’indole meccanica. Scopo della teoria cinetica è per l’appunto quello di presentare il concettosi materia sotto tale aspetto. Secondo questa teoria i gas sono aggregati di un enorme numero di particelle o molecole che si muovono i tutte le direzione, urtandosi a vicenda e cambiando la direzione del proprio moto a ogni collisione.

Questa teoria non è un mero gioco della fantasia. Si può dimostrare che la teoria cinetica dei gas, non soltanto concorda con l’esperimento, ma che essa conduce altresì ad una comprensione più profonda dei fatti

Prendiamo un recipiente chiuso superiormente da un pistone, libero di muoversi in senso verticale e portante dei pesi. Il recipiente contiene un certo quantitativo di gas che terremo a temperatura costante. Se inizialmente il pistone è a riposo, in una data posizione, esso potrà venir mosso verso l’alto togliendo dei pesi o verso il basso aggiungendone. Per spingere il pistone in basso occorre impiegare una certa forza che agisce contro la pressione interna del gas. Qual è, secondo la teoria cinetica, il meccanismo di questa pressione interna? Un enorme numero di particelle, costituenti il gas, si muovono in tutte le direzioni. Esse bombardano le pareti e il pistone, rimbalzando come palle lanciate contro un muro. Questo continuo bombardamento, effettuato da un grandissimo numero di particelle, mantiene il pistone ad una certa altezza opponendosi alla forza di gravità che attira verso il basso il pistone ed i pesi sovrapposti.

Supponiamo ora che che-sempre mantenendo la temperatura costante- il pistone venga spinto verso il basso, in modo da comprimere il gas e ridurne il volume a una frazione del primitivo, diciamo la metà. Che cosa possiamo aspettarci che avvenga, secondo la teoria cinetica? La forza dovuta al bombardamento sarà più efficace di prima, o meno? Le particelle sono ora stipate più fittamente. Benché l’energia cinetica media sia la stessa, le collisioni fra particelle e pistone si verificheranno ora con maggior frequenza. La forza sarà, pertanto, maggiore. È evidente che secondo questa raffigurazione offertaci dalla teoria cinetica, occorrerà un maggior peso per mantenere il pistone nella posizione inferiore. Questo semplice fatto sperimentale è notissimo, ma la sua predizione scende logicamente dalla rappresentazione cinetica della materia.>>

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Possiamo interpretare il moto browniano rileggendolo come moto di agitazione termica molecolare. In tale ambito l'energia cinetica di una particella è riletta come quella di una molecola di gas. EC

rappresenta l'energia media del moto rettilineo di una molecola che urta elasticamente con altre molecole di gas o con le pareti del contenitore. EC è proporzionale alla temperatura assoluta T del gas e

non dipende dalla massa m della molecola.

Possiamo scrivere con Boltzmann:

da cui si ricava per una mole di gas, applicando l’ equazione di stato dei gas perfetti che

con

La teoria cinetica molecolare dei gas fu sviluppata da scienziati come Bernoulli, Clausius, Maxwell e Boltzmann. La teoria suggerisce che l'energia cinetica di una molecola è proporzionale alla temperatura, dove P è la pressione esercitata dal gas e V è il volume del recipiente che lo contiene.

ossia

da cui

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Con considerazioni di carattere meccanico e utilizzando il teorema dell'impulso , supponendo il gas estremamente rarefatto e lontano dal punto di liquefazione e che le pareti del recipiente siano perfettamente elastiche negli urti con le molecole, si dà la seguente interpretazione del moto: le molecole urtano continuamente le pareti del recipiente per cui la pressione p del gas non è altro che il numero di urti per unità di superficie; ogni molecola segue un suo percorso casuale a zig zag quando si scontra con le altre molecole o con le pareti del contenitore. In qualsiasi momento c'è una ridistribuzione delle velocità; alcune molecole si muovono più velocemente altre più lentamente rispetto alla velocità media.

Ogni molecola in un gas possiede energia cinetica e salta di qua e di la, scontrandosi con le altre molecole. Per averne un'idea immaginatevi delle palline da Ping-Pong che rimbalzano nell'urna della lotteria, come si vede alla TV. Il numero di molecole di gas in qualsiasi volume anche piccolo è enorme. Poiché le molecole di gas sono in continuo movimento, esse possiedono energia cinetica di movimento 1/2mv2.

Quindi la temperatura è associata alla velocità quadratica media.

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Leggi del Moto Browniano

Per interpretare il moto browniano Einstein cambia approccio, scegliendo come grandezza caratteristica del moto di agitazione la distanza percorsa da un granello dal punto di partenza a quello di arrivo, che è tanto più grande quanto più il moto è vivace. Detta x la misura della spostamento nel tempo considerato t, ipotizzando un moto caotico, scopre che la relazione tra spazio e tempo è molto semplice:

In questo modo si quantifica il moto browniano mediante un coefficiente di diffusione che sarà misurato da Perrin. “ Dal momento che si è compresa l’essenza del moto browniano, improvvisamente sono svaniti tutti i dubbi… sulle leggi della termodinamica

X2/t=costante X

X

X

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Nel frattempo, vengono messe a punto tecniche di nuova concezione per l’indagine sperimentale del moto browniano: come l’ultramicroscopio, col quale Theodore Svedberg esegue accurate misure per verificare l’interpretazione einsteiniana. I risultati però sono insoddisfacenti e Einstein stesso esprime la convinzione che la velocità delle particelle ultramicroscopiche non possa essere direttamente osservata: uno scetticismo peraltro giustificato dalla mancanza di un accordo quantitativo tra tutti i lavori sperimentali allora disponibili. Tale situazione durerà fino al 1908, anno in cui Jean Baptiste Perrin pubblica i risultati di una serie di esperimenti con i quali era riuscito a confermare quasi tutte le predizioni di Einstein con una precisione fino ad allora mai raggiunta. Ecco i due passaggi principali del lavoro di Perrin.

Verifica della perfetta irregolarità del moto browniano.

Considerando la traiettoria nota del granello e riportando ogni segmento al punto iniziale si ottiene la distribuzione circolare e di intensità decrescente allontanandosi dal centro. L’immagine è simile a quella di un tiro al bersaglio e dimostra che nessuna direzione é privilegiata così come richiesto dalle leggi della probabilità.

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Verifica della legge di diffusione

Perrin considera dei granelli di gommagutta messi in sospensione nella glicerina. Inserisce poi nel liquido una parete perfettamente assorbente, che cattura tutti i granelli che vengono a contatto con essa. La variazione del numero di granelli incollati rispetto al tempo determina il coefficiente di diffusione.

L’anno seguente Einstein scrive a Perrin:

“Ritenevo fosse impossibile studiare il moto browniano in maniera così precisa; è davvero una fortuna che Lei abbia deciso di occuparsene” .

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Scheda di laboratorio: il moto casuale delle particelle di polline

Ecco le immagini della nostra esperienza sul moto browniano.

Abbiamo tentato di ripetere l’esperimento di Brown osservando come delle particelle di polline in acqua si muovano di moto casuale. A questo scopo abbiamo fatto bollire dell’acqua al fine di eliminare eventuali microrganismi che avrebbero potuto influenzare il moto delle particelle di polline. In seguito abbiamo aggiunto il polline come documentato in queste foto scattate nel laboratorio di chimica della nostra scuola.

Scheda di laboratorio: il moto casuale delle particelle di brodo di carne

Come nella pagina precedente vi proponiamo le immagini di un’esercitazione sul moto browniano questa volta con delle particelle di brodo di carne.Per studiare le teorie sul moto proposte da Brown abbiamo fatto bollire dell’acqua al fine di eliminare eventuali microrganismi che avrebbero potuto influenzare il moto delle particelle di dado. In seguito abbiamo aggiunto il dado di carne come documentato in queste foto scattate nel laboratorio di chimica della nostra scuola.

Cliccando qui a fianco potrete vedere un filmato che illustrerà il movimento del polline in una soluzione acquosa, tipico esempio del movimento browniano.

Qui a lato potrete vedere un ulteriore filmato, sempre sul movimento delle piccole particelle di polline in sostanza acquosa, visto dall’alto.

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Formule prima legge di Gay-Lussac:

00

0

0

V

k

V

VV

kVV

kt

V

t

t

t

t

tVVt 10

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Formule seconda legge di Gay-Lussac:

00

0

0

p

k

tp

pp

kt

pp

kt

p

t

t

tppt 10

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L’equazione dei gas perfetti

Il comportamento descritto da tre coordinate termodinamiche di una quantità stabilita di gas perfetto è caratterizzato da una regola: solo due coordinate su tre possono essere fissate a piacere, in quanto la terza è determinata dall’equazione dei gas perfetti. Questa è una conseguenza delle tre leggi analizzate finora, che è possibile sintetizzare in un’unica relazione valida in ogni situazione, purché non avvengano reazioni chimiche e non ci siano cambiamenti di stato. Si tratta appunto dell’equazione di stato dei gas perfetti:

p è la pressione in PaV è il volume in m3n è il numero di moli in molR è la costante universale dei gasT è la temperatura assoluta in KLa costante universale R uguale per tutti i gas dipende dal fatto che i gas, se molto rarefatti, tendono a comportarsi tutti allo stesso modo.

p V = n R T

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la natura allo specchio… per conoscere chi ha realizzato questo lavoro per conoscere il progetto...

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